skkn rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát
triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào
thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải
từng dạng toán là hết sức cần thiết. Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên
nghiệp những năm gần đây bao giờ cũng có một câu hình tọa độ trong không
gian, hoặc có những câu hình không gian mà khi dùng phương pháp tọa độ để
giải thì bài toán trở nên đơn giản. Vì vậy khi dạy chương phương pháp tọa độ
trong không gian, bản thân tôi luôn trăn trở làm thế nào để khi học chương này
học sinh không thấy khó, mà phải tự tin làm bài.Với suy nghĩ như vậy khi dạy
phần bài tập phương trình đường thẳng trong không gian tôi đã chuẩn bị một
chuyên đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy học để dạy cho các em:
“ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình
đường thẳng trong không gian “. Và trong năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục
lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ năng
giải các dạng toán là rất cần thiết vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra các bài toán này
nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán tốt hơn.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Trong đề tài cho phép tôi viết tắt: vtcp ( véc tơ chỉ phương ); vtpt (véc tơ pháp
tuyến).
- Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về đường thẳng,
phương trình của đường thẳng. Muốn viết phương trình đường thẳng cần biết
một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương.
Viết phương trình của đường thẳng
→

Bước 1: Tìm 1 vtcp u (a; b; c) của đường thẳng.
Bước 2: Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng:

1


 x = x0 + at

Phương trình tham số :  y = y 0 + bt
 x = z + ct
0


Phương trình chính tắc:

(t ∈ R)

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

(abc ≠ 0)

Chú ý
1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0) và ( P ′) : A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0

( A′2 + B′2 + C ′2 ≠ 0) . Khi đó:
→ →



- Đường thẳng ( d) có 1 vtcp u = n1 , n2  (Trong đó n1 ; n2 lần lượt là vtpt của


→

→

→

(P) và (P’) )
- Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y, z.
(Thường cho x một giá trị nguyên và tìm y, z nguyên).
uuu
r

2) Đường thẳng (d) qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là AB .
3) Đường thẳng (d) vuông góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P).
4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) thì (d) và (∆) có vtcp cùng
phương.
5) Hai đường thẳng vuông góc thì hai vtcp của chúng vuông góc với nhau.
II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Đứng trước những bài toán hình học tọa độ không gian học sinh thường lúng
túng không xác định được đường lối, phương pháp giải. Các em cho rằng nhiều
dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng và cách giải các dạng đó, nếu bài
toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được. Một số học sinh có thói quen
không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã kêu khó và không làm nữa. Số tiết bài tập
dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này không có
nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng không có tính chất hệ thống . Tuy nhiên nó
có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. Với thực

trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài tập nói
chung và các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng
2


giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai thác tính chất
đặc trưng hình học của bài toán để tìm các cách giải nhằm phát huy được tính tự
giác, tích cực của học sinh. Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ nêu được một số
bài toán, một số cách giải và một số bài tập.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một véc
tơ chỉ phương.
→

Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp u (a; b; c) của đường thẳng
hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp.
→

- Nếu cho trực tiếp vtcp u (a; b; c) của đường thẳng thì ta viết được
 x = x0 + at

Phương trình tham số :  y = y 0 + bt
 x = z + ct
0


Phương trình chính tắc:

(t ∈ R)

x − x0 y − y0 z − z0
(abc ≠ 0)
=
=
a
b
c
→

- Nếu cho gián tiếp véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì ta tìm vtcp u (a; b; c)
của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài toán.
Ví dụ1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường thẳng
(d) đi qua điểm M(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1= 0 .
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n(1;2;−2) . Do đó đường thẳng (d)
đi qua điểm M(-2;1;0) và nhận n(1;2;−2) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc
là :

x + 2 y −1 z
=
+
1
2
−2

Ví dụ2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết
phương trình tham số của đường thẳng BC.

3

Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận BC = (0;−1;2) làm 1
x = 1

vtcp. Vây BC có phương trình tham số là :  y = 2 − t
 z = 1 + 2t


Ví dụ3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d 1) là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z - 1 = 0.Viết
phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;-2) và song song
với đường thẳng (d1).
Hướng dẫn giải:


Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d) là u = n1 , n2  = (4;−7;−3) (Trong đó n1;n2 lần


→

→

→

→

→

lượt là vtpt của (P) và (P’)). Đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-2) nhận
→

u = (4 − 7 − 3) làm 1 vtcp có phương trình là:

x −1 y − 2 z + 2
=
=
.
4
−7
−3

Cách 2 : Gọi A(1;-4;-1), B(5;-11;-4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có
AB = (4;−7;−3) là 1 vtcp của (d). Khi đó (d) có phương trình:

x −1 y − 2 z + 2
=
=
.
4
−7
−3

Lưu ý: Có nhiều cách để chọn hai điểm thuộc (d 1), thông thường chọn một giá
trị x nguyên để tìm y nguyên và z nguyên, mục đích để việc tính toán dễ dàng
hơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đường
thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm. Nên học sinh
phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và (P) : 2x – 2y +
z – 1= 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông

góc với (P).

4


2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng
 x = 1 + 2t

(d 1 ) :  y = −3t . Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của
 z = 2 + 3t


đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1).
3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và
C(-1;1;2). Viết phương trình tham số của đường thẳng :
a, Đi qua hai điểm A và B.
b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam
giác ABC.
Bài toán 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng
chéo nhau (d1) và (d2).
Cách giải :
Cách 1: Viết

phương trình (d1 ) , (d 2 ) dưới dạng tham số, suy ra toạ độ

M ∈ (d1 ) theo tham số t, toạ độ của N ∈ (d 2 ) theo tham số t'.
MN ..u1 = 0

Giải hệ 

MN ..u2 = 0

 

tìm được t, t' ( u1;u2 lần lượt là vtcp của (d1 ) và (d 2 ) ), suy ra

toạ độ điểm M, N. Từ đó viết được phương trình MN và cũng chính là phương
trình của (d).
Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp


u1 và đi qua A; Đường thẳng (d 2 ) có 1



vtcp u2 và đi qua B. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d); Gọi (Q) là mặt phẳng
chứa (d 2 ) và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Từ đó suy ra được
phương trình của đường thẳng (d).

5


Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :
 x = −1 + 2t
x y −1 z + 2

=
=
và (d 2 ) :  y = 1 + t . Viết phương trình chính tắc đường vuông
2

−1
1
z = 3


góc chung (d) của (d1 ) và (d 2 ) .
Hướng dẫn giải:
→

Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 (2;−1;1) ; đường thẳng (d 2 ) có 1 vtcp
→

u 2 (2;1;0) .

Gọi

M (2t1 ;1 − t1 ;−2 + t1 ) ∈ (d1 ); N (−1 + 2t ;1 + t ;3) ∈ (d 2 ) .

Suy

ra

MN ..u1 = 0

3t − 6t1 + 3 = 0
⇔
⇔ t = t1 = 1 . Khi đó
MN ..u2 = 0
5t − 3t1 − 2 = 0

MN (2t − 1 − 2t1 ; t + t1 ;5 − t1 ) .Ta có 

M(2;0;-1); MN (−1;2;4) . Do đó phương trình chính tắc đường vuông góc chung
(d) là phương trình của đường thẳng MN :

x − 2 y z +1
= =
−1
2
4

→

Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 (2;−1;1) và đi qua A(0;1;-2); Đường


thẳng (d 2 ) có 1 vtcp u 2 (2;1;0) và đi qua B(-1;1;3); gọi u = u1 , u2  = (−1;2;4) .


→

→

→

→

Đường vuông góc chung (d) của (d1 ) và (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d) nên (P) đi qua A nhận
→

1 → → 
n1 = u , u1  = (2;3;−1) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y-1)-(z+2) = 0 hay
3


2x+3y-z-5=0. (Q) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và (d) nên (Q) đi qua B nhận

6


→
 → →
n2 = u 2 , u  = (4;−8;5) làm 1 vtpt có phương trình là: 4x - 8y + 5z – 3 = 0.Vậy tập



2x + 3y - z - 5 = 0 .
(I)
4 x − 8 y + 5 z − 3 = 0

hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 

x = 2 − t

x − 2 y z +1
= =
Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành  y = 2t
hay
.
−

1
2
4
 z = −1 + 4t


Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là:

x − 2 y z +1
= =
−1
2
4

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1);
C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vuông góc chung của
hai đường thẳng AC và BD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần
 x = −1 + 3t

x −2 y −3 z +4
=
=
lượt có phương trình là (d1) :
; (d2):  y = 4 − 2t .
2
3
−5
z = 4 − t



Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của chúng.
3.Trong

không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d 1):

x−2 y+2
z
=
=
và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0;
1
5
−2

x – 3z + 5 = 0. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của chúng.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với hai
đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :
→

→

Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 , đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp u 2 . Chọn
→ → 
u = k u1 ,u 2  (k ≠ 0) làm 1 vtcp của (d). Suy ra phương trình của (d).



→

7


Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó
(P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d1 ) ; (Q) là mặt phẳng đi qua M và
vuông góc với (d 2 )
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường
thẳng (d1):

x − 2 y −1 z +1
x − 3 y −1 z
=
=
=
= . Viết phương trình chính tắc
; (d2):
3
2
1
1
−1
1

đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải:
→

→

Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp u1 (3;2;1) , (d2 ) có 1 vtcp u 2 (1;−1;1) .


Chọn u = u1 , u 2  = (3;−2;−5) làm 1 vtcp của (d). Đường thẳng (d) đi qua M có
→

→

→



phương trình là:



x − 2 y +1 z −1
=
=
3
−2
−5

Giáo viên: Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số
đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vuông góc với hai đường thẳng có phương
trình lần lượt là

x −1 y +1 z − 2

x+4 y+2 z−4
=
=
=
=
và
.
3
2
−1
2
−3
1

Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với
đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
Cách giải :


Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d) và
(d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về dạng tham số), giải phương trình MN .u = 0
tìm được t. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp MN .
Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng
(d1). Tìm giao điểm N của (P) với (d 2), chọn véc tơ k MN (k ≠ 0) là 1vtcp của
(d). Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d).

8


Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng

(d1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng (d 2). Đường
thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường
thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d):

x−2 y+2 z −3
=
=
; (d'):
2
−1
1

x −1 y −1 z +1
=
=
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (∆) đi qua điểm A
−1
2
1

vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').
Hướng dẫn giải :
→

Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp u1 (2;−1;1) ; gọi (α ) là mặt phẳng qua A và
→

vuông góc với (d) thì (α ) nhận u1 (2;−1;1) làm 1 vtpt có phương trình là:
2x – y + z – 3 = 0. Gọi B là giao điểm của (d') và (α ) tọa độ điểm B là nghiệm

x = 2
2 x − y + z − 3 = 0


của hệ:  x − 1 y − 1 z + 1 ⇔  y = −1 Đường thẳng (∆) đi qua điểm A nhận
 − 1 = 2 = 1
 z = −2

AB(1;−3;−5) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
−3
−5

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập:
1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng
(d1):

x −1 y + 2 z
=
= ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2 = 0;
3
1
1

x + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A vuông góc

với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).

9


2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường thẳng
x = 3 + t
x − 2 y −1 z +1

=
=
(d1):
; (d2):  y = 1 − t . Viết phương trình chính tắc đường thẳng
3
2
1
z = t


đi qua M, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc và cắt
đường thẳng (d1).
Cách giải :


Cách 1 : Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)
và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số). Giải MN .u = 0 tìm được t,
viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp MN .
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d 1).Tìm
giao điểm N của (P) với (d1) chọn k MN (k ≠ 0) là 1 vtcp của (d) . Từ đó suy ra

phương trình của đường thẳng (d).
Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó
(P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1).
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đường
 x = −3 + 2t

thẳng (d):  y = 1 − t
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (∆) đi qua A,
 z = −1 + 4t


vuông góc và cắt đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải:
Cách1: Gọi M (−3 + 2t;1 − t ;−1 + 4t ) ∈ (d ) là giao điểm của (d) và (∆) thì
AM = (1 + 2t ;3 − t ;−5 + 4t ) ; đường thẳng (d) có 1 vtcp u = (2;−1;4) .Vì (∆) vuông góc

(d) nên AM .u = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1 . Với t = 1 thì AM = (3;2;−1) do đó (∆) đi qua A
nhận AM = (3;2;−1) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

x+4 y+2 z−4
=
=
3
2
−1

10


Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (P) đi qua A nhận

u = (2;−1;4) là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x - y + 4z -10 = 0.

Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(-1;0;3); (∆) đi qua 2
điểm A, M.Vậy phương trình (∆):

x+4 y+2 z−4
=
=
3
2
−1

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập:
1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng (d)
có phương trình:

x −1 y +1 z
=
=
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (∆)
2
1
−1

đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng (d).
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;0) và đường thẳng (d)
là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0. Viết
phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường
thẳng (d).

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường
thẳng (d1) và (d2).
Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1); (Q) là mặt phẳng đi qua
M và chứa (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và đường
x −1 y z − 3
= =
; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z - 1 = 0;
2
1
−1

thẳng (d1)

y + 2z - 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M cắt
cả hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1), (Q) là mặt phẳng đi qua M
và chứa (d2). Đường thẳng (d1) đi qua N(1;0;3) và có 1 vtcp u = (2;1;−1) . Ta chọn

[

]

n = u ; MN = (3;−4;2) là 1 vtpt của (P). Suy ra (P) có phương trình là :

11


3x - 4y + 2z - 9 = 0. Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z - 1 = 0.

3 x − 4 y + 2 z − 9 = 0
(I)
x + y + z − 1 = 0

Tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 

 x = 7 + 6t

Đặt y = t thì hệ (I) trở thành  y = t
Vậy đường thẳng (d) có phương trình
 z = −6 − 7t


chính tắc là:

x−7 y z+6
= =
6
1
−7

Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và (d) chính là đường
thẳng đi qua hai điểm đó. Hoặc lấy một điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và 1 vtcp
của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;5) và hai đường thẳng
 x = −3 + 3t
 x = 3 + 2t



(d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d1)  y = 1 + 4t ; (d2)  y = 1 − t .
 z = 2 + 2t
 z = 2 − 3t



Viết phương trình tham số đường thẳng (∆) đi qua A, cắt cả hai đường thẳng (d 1)
và (d2).
 x − 2 + 2t

2..Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1):  y = −5t và
z = 2 + t


(d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x – y +z + 1 = 0. Viết
phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả (d1) và (d2).
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với mặt
phẳng (P) và cắt đường thẳng (d').
Cách giải :
Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ độ
giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t. Giải phương trình

12


IM .n P = 0 ( do (d) // mp(P) ) tìm được t. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng

MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm.
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương
trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P). Từ đó đường thẳng (d) là giao

tuyến của (Q) và (R) .
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt phẳng
(P): x - 2y + 3z -1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α ) : 4 x + y − z − 6 = 0; ( β ) : x + y − 3 = 0 . Viết phương trình tham số đường

thẳng (d) đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
→

Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n = (1;−2;3) . Đường thẳng (d') là giao tuyến
của hai mặt phẳng (α ) : 4 x + y − z − 6 = 0; ( β ) : x + y − 3 = 0 nên tập hợp những
4 x + y − z − 6 = 0
(I) .
x + y − 3 = 0

điểm nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ 
x = t

Đặt x = t thì hệ (I) trở thành  y = 3 − t
 z = −3 + 3t


x = t

Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là:  y = 3 − t
 z = −3 + 3t


gọi N(t;3-t;-3+3t) là giao điểm của (d) và (d') ⇒ MN = (t − 1;1 − t ;3t − 4) ,
→

vì (d) // (P) nên MN . n = 0 ⇒ t =

5
. Đường thẳng (d) đi qua M nhận
4

x = 1 + t

4 MN = (1;−1;−1) làm 1 vtcp có phương trình tham số là:  y = 2 − t
z = 1 − t


Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.

13


Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;-3), đường thẳng
(d):

x−2 y z+2
= =
và mặt phẳng (P): 2x + y - z +1 = 0. Viết phương trình
1
3
2

đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d).
Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt

phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d').
Cách giải :
→

→

Cách 1 : Tìm vtcp u của đường thẳng (d'), vtpt n của mặt phẳng (P). Vì
→
(d ) ⊥ (d ′)
→ → 
nên (d) có 1 vtcp v = u , n  . Từ đó suy ra (d) là đường thẳng qua M và



(d ) ⊂ ( p )
→

có 1 véc tơ chỉ phương v .
Cách 2 :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường thẳng
(d'). Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆) :
x −1 y − 2 z − 3
=
=
và mặt phẳng (P): 2x + z -5 = 0 .Gọi A là giao điểm của (∆)
1
2
2

và (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên

(P), và (d) vuông góc với đường thẳng (∆) .
Hướng dẫn giải: Vì A ∈ (∆) ⇒ A(1 + t ;2 + 2t ;3 + 2t ) .Lại có A ∈ (P) nên
→
2(1+t)+3+2t-5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3). Đường thẳng (∆) có 1 vtcp u (1;2;2) ;

(d ) ⊥ (∆)



(P) có 1 vtpt n (2;0;1) ; Vì 
nên (d) có 1 vtcp v = u , n  = (2;3;−4) . Vậy (d)


(d ) ⊂ ( p )
→

→

→ →

→

là đường thẳng qua A và có 1 vtcp v = (2;3;−4) nên phương trình chính tắc của
đường thẳng (d) là :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
3

−4

Bài tập:

14


1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z -1 = 0
và đường thẳng (d'):

x −1 y z + 2
= =
.Viết phương trình đường thẳng (d) nằm
2
1
−3

trên (P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vuông góc với (d').
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17 = 0
và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x - y + 4z - 27 = 0 ;
6x +3y - z + 7 = 0. Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình
đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d) và nằm trong (P).
Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua M nằm trong mặt
phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến (∆) bằng
k (k > 0 ).
→
→
Cách giải : Đường thẳng (d) có 1 vtcp u ; (P) có 1 vtpt n . Vì (∆) nằm trên (P),




vuông góc với (d) nên (∆) có vtcp u1 = u , n  . Gọi N(a;b;c) là hình chiếu vuông


→

→ →

MN ⊥ ∆

góc của M trên (∆) khi đó từ hệ MN = k tìm được điểm N. Viêt phương trình
 N ∈ (P )


đường thẳng (∆) .
Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= 0
và đường thẳng (d ) :

x − 3 y + 2 z +1
=
=
.Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết
2
1
−1

phương trình đường thẳng (∆) nằm trên (P), vuông góc với (d) đồng thời thỏa
mãn khoảng cách từ M tới (∆) bằng 42 .
x = 1
x − 3 y + 2 z +1

=
=


1
− 1 ⇔  y = −3
Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ:  2
x + y + z + 2 = 0
z = 0

→

→

vậy M(1;-3;0). Đường thẳng (d) có 1 vtcp u (2;1;−1) ; (P) có 1 vtpt n (1;1;1) . Vì
→
→ → 
(∆) nằm trên (P), vuông góc với (d) nên (∆) có 1 vtcp u1 =  u , n  = ( 2;−3;1) . Gọi



15


N(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M trên (∆) khi đó MN = (a − 1; b + 3; c) ,
( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + z 2 = 42

mặt khác MN ⊥ (∆) và MN = 42 nên x + y + z + 2 = 0
2 x − 3 y + z − 11 = 0


Giải hệ tìm được 2 điểm N . Với N(5;-2;-5) ta có (∆) :
Với N(-3;-4;5) ta có (∆) :

x−5 y +2 z +5
=
=
2
−3
1

x+3 y +4 z −5
=
=
2
−3
1

Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y -z+1= 0
và đường thẳng (d ) :

x − 2 y −1 z −1
=
=
. Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết
1
−1
−3

phương trình tham số đường thẳng (∆) nằm trên (P), vuông góc với (d) và cách

M một khoảng bằng 3 2 .
Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P) và
cắt 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d1) và (P); Tìm giao điểm B của
đường thẳng (d2) và (P). Phương trình của đường thẳng (d) chính là phương
trình của đường thẳng AB.
Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho (P): x - 2y + z - 2 = 0 và hai đường thẳng
 x = 1 + 2t
x +1 3 − y z + 2

( d1 ) :
=
=
; ( d 2 ) :  y = 2 + t .Viết phương trình tham số của đường
1
−1
2
z = 1 + t


thẳng (∆) nằm trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải:
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d 1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A là
 x = 10
x +1 3 − y z + 2
=
=


−1

2 ⇔  y = 14 vậy A(10;14;20); tọa độ điểm B là
nghiệm của hệ:  1
x - 2y + z - 2 = 0
 z = 20


16


 x = 1 + 2t
x = 9
y = 2 + t


⇔  y = 6 vậy B(9;6;5). Đường thẳng (∆) đi qua B
nghiệm của hệ: 
z = 1 + t
z = 5

x - 2y + z - 2 = 0
x = 9 + t

nhận BA(1;8;15) làm 1 vtcp có phương trình là :  y = 6 + 8t
 z = 5 + 15t


Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z -26 = 0
và hai đường thẳng: (d1 ) :

x
y − 3 z +1
x−4 y z −3
=
=
; (d 2 ) :
= =
. Viết phương
−1
2
3
1
1
2

trình đường thẳng (∆) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y -13z+39= 0
x = 2
x −1 y − 5 z −1

=
=
; (d 2 ) :  y = −3 + t . Viết phương trình
và hai đường thẳng: (d1 ) :
1
2
−1
 z = 5 + 2t


đường thẳng (∆) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc
của (d') trên mặt phẳng (P).
Cách giải :
Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') . Tìm toạ độ hình
chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P). Từ đó suy ra phương trình
đường thẳng HK chính là phương trình của (d) .
Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó
(Q) là mặt phẳng chứa (d') và vuông góc với (P).
*Đặc biệt: + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A của (d') và (P). Lấy B ∈(d') tìm
hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).Suy ra đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P) : Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d').
17


 x = 4t

Ví dụ : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):  y = 4 + 3t và mặt phẳng
 z = −1 − 2t


(P): x - y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d') của
(d) lên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải :
→

Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;4;-1) và có 1 vtcp u (4;3;−2) . Mặt
→

phẳng (P) có 1 vtpt là n (1;−1;3) . Hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng
(P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa
→
→ → 
n
=
(d) và vuông góc với (P). (Q) đi qua A nhận 1 u , n  = 7(1;−2;−1) làm 1 vtpt có



phương trình: x - 2y - z + 7 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d') có tọa độ
 x = − 9 − 7t
x - y + 3z + 8 = 0 .

thỏa mãn hệ: 
(I) Đặt z = t thì hệ (I) trở thành  y = −1 − 4t
x − 2 y − z + 7 = 0
z = t


hay

x + 9 y +1 z
x + 9 y +1 z
=
=
=
=
.Vậy (d') có phương trình là:
7

4
−1
7
4
−1

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập:
1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và đường thẳng
x = 3

(d):  y = t
.
 z = −5 + t


Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - y + z + 10 = 0, đường thẳng
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + z + 1 = 0 và x + 2y - z -3 = 0 . Viết
phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua (P).
18


Cách giải :
+ Nếu (d') và (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A của (d') và (P), lấy điểm B trên
(d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P): Lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì (d) là
đường thẳng đi qua B’ và song song với (d’)
Chú ý: Có thể lấy 2 điểm A, B bất kỳ phân biệt trên (d') tìm A’, B’ lần lượt đối

xứng với A, B qua (P) thì đường thẳng A’B’ chính là (d).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d1 ) :

x − 2 y + 3 z −1
=
=
và
−1
1
1

(P): x + 3y - z + 2 = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với
đường thẳng (d1) qua mp (P).
Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (P) tìm được A(-4 ;3;7) lấy
B(2;-3;1) ∈(d1), Gọi (d 2 ) :

x − 2 y + 3 z −1
=
=
là đường thẳng qua B và vuông góc
1
3
−1

với (P), gọi H là giao điểm của (d2) và (P) suy ra H (

28 − 15 5
;
; ) ; B’ là điểm đối
11 11 11

xứng của B qua (P) thì H là trung điểm của BB’ ⇒ B ′(
(d) chính là đường thẳng AB’ có phương trình là:

34 3 − 1
; ; ) . Đường thẳng
11 11 11

x+4 y −3 z −7
=
=
39
− 15 − 39

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0. Viết
phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mặt
phẳng (P) biết:
a, Đường thẳng (d1 ) :

x−2 y −3 z −5
=
=
2
−3
5

b, Đường thẳng (d1 ) :

x−2 y −3 z −5
=

=
1
−2
−3

Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu song song của
(d1) lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2). (hai đường thẳng (d1) và (d2)
phân biệt và không song song).

19


Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 1) và song
song (hoặc chứa) (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
(d 1 ) :

x y −1 z
x −1 y z − 2
=
= ; (d 2 ) :
= =
. Viết phương trình chính tắc của hình
1
2
1
2
2
1

chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P) : x - 2y -2z - 1 = 0 theo phương
chiếu (d2).
→

Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1) có 1 vtcp u = (1;2;1) và đi qua điểm
→ →
n
=
M(0;1;0), đường thẳng (d2) có 1 vtcp v = (2;2;1) suy ra
 u , v  = (0;1;−2) . Gọi
→

→

(Q) là mặt phẳng chứa (d1) và song song (d2) thì (Q) đi qua điểm M và nhận véc
→

tơ n làm 1 vtpt. Do đó (Q) có phương trình là : y - 2z - 1 = 0. Đường thẳng (d)
là giao tuyến của (P) và (Q) nên giải tìm được (d) có phương trình chính tắc là:
x − 3 y −1 z
=
=
6
2
1

Bài tập:
1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
(d 1 ) :

x −1
y
z +1
x y+7 z+5
=
=
=
; (d 2 ) : =
. Viết phương trình tham số của hình
2
−3
1
1
2
3

chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x + y -2z - 4 = 0 theo phương
chiếu (d2).
x = t

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :  y = −11 + 2t
 z = 16 − t


; (d 2 ) :

x−5 y −2 z −6
=
=
. Viết phương trình tham số của hình chiếu song song

2
1
3

của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x - 2y -2z - 1 = 0 theo phương chiếu (d2).
Bài toán 14: Viết phương trình đường thẳng (d) song song (d') hoặc vuông
góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).
20


Cách giải :
−− →

Cách 1: Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra AB , mặt
→
→
phẳng (P) có 1 vtpt n (hoặc (d') có 1 vtcp n ), do (d ) ⊥ ( P) (hoặc (d)//(d') ) nên
−− →

→

→

−− →
AB và n cùng phương hay AB = k n (k ≠ 0) giải tìm được tọa độ A (hoặc B).

→

Khi đó đường thẳng (d ) đi qua A có 1 vtcp n .
Cách 2; - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d 1)và song song

với đường thẳng (d').
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 2) và song song với
đường thẳng (d').Từ đó suy ra phương trình (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2)
có phương trình lần lượt là

x y −1 z −1 x y z
=
=
; = = . Viết phương trình tham
1
−2
1
1 2 2

số đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 3x - y + z -1 = 0 đồng thời cắt
hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải :Gọi A(t ;1 − 2t;1 + t ); B (t1 ;2t1 ;2t1 ) lần lượt là giao điểm của (d) với
−− →

→

(d1) và (d2) suy ra AB = (t1 − t ;2t1 + 2t − 1;2t1 − t − 1) , (P) có 1 vtpt n (3;−1;1) . Do
→

−→
(d ) ⊥ ( P) nên −AB
và n cùng phương hay

t1 − t 2t1 + 2t − 1 2t1 − t − 1

=
=
giải tìm
3
−1
1

7

 x = 13 + 3t

14
7
7 14 14

được t1 =
khi đó B( ; ; ) . Vậy (d )có phương trình là  y = − t
13
13 13 13
13

14

 z = 13 + t


Bài tập:

21

1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình tham số đường thẳng
x
3

(d) song song với đường thẳng (∆) : =
(d1 ) :

y −1 z − 5
=
và cắt hai đường thẳng
−1
1

x −1 y + 2 z − 2
x+4 y+7 z
=
=
; (d 2 ) :
=
=
1
4
3
5
9
1

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) có
x = t

 x = 1 − 2t


phương trình lần lượt là (d1 ) :  y = −4 + t ; (d 2 ) :  y = −3 + t . Viết phương trình
z = 3 − t
 z = 4 − 5t



chính tắc của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxz và cắt hai đường thẳng
(d1) và (d2).
Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A song song với mặt
phẳng (α ) (hoặc nằm trên (α ) ; hoặc vuông góc với (∆) ) sao cho khoảng
cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ nhất.
Cách giải :
Cách 1:Viết phương trình của (P) đi qua A và song song (α ) .Gọi K là hình
chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d).
B

Ta có BK ⊥ KH nên BH ≥ BK khoảng cách BH nhỏ nhất
bằng BK khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
→

→

[

Cách 2: - Tìm 1 vtpt n của (P), tính n1 = n., AB
→

]

P

K

(d)
A H

[ ]

- Tìm 1 vtcp của (d): u = n, n1 , đường thẳng (d) đi qua
→

A có 1 vtcp u .
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) nằm trên (α ) thì không cần viết (P).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z -1= 0
và hai điểm A(1;1;0); B(2;-1;1). Trong các đường thẳng đi qua A và song song
với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B
đến (d) nhỏ nhất.
22


Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) đi qua A
và song song (P) có phương trình là: x – y + z = 0. Gọi K là hình chiếu vuông
→

góc của B trên (Q), đường thẳng BK đi qua B nhận n (1;−1;1) là 1 vtpt của (Q)
x = 2 + t


làm 1 vtcp có phương trình:  y = −1 − t . Tọa độ K là nghiệm của hệ
z = 1 + t



x = 2 + t
x = 2 / 3
 y = −1 − t


⇔  y = 1 / 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d) ta có

z = 1 + t

−1
 x − y + z = 0
z =
3

BH ≥ BK dấu bằng xảy ra khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
−− →

1
3

Đường thẳng (d) đi qua A nhận AK = − (1;2;1) làm 1 vtcp có phương trình tham

x = 1 + t

số là:  y = 1 + 2t

z = t


Bài tập:
1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z -3 = 0
và hai điểm A(1;-1;-1); B(2;1;0). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi
qua A nằm trên (P), sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất.
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;-8;5) và B(1;2;-3).
x
2

Trong các đường thẳng (d) đi qua B và cắt đường thẳng (∆) : =

y −1 z
=
viết
1
3

phương trình đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A đến (d) là nhỏ nhất.
Bài toán 16: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với
đường thẳng (∆) ( hoặc song song với mặt phẳng (α ) hoặc nằm trên (α ) )
sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn nhất.
23


Cách giải :
Cách 1: - Viết phương trình của mp(P) đi qua A và vuông góc với ( ∆ ).
- Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình
(∆)

chiếu vuông góc của B trên (d).

B

- Ta thấy BH ≤ BA khoảng cách BH lớn nhất bằng AB khi
H trùng A hay đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc (ABK). P

K

(d)
A H

Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với AB và ( ∆ )
Ví dụ:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) :

x −1 y − 2 z
=
= và
2
1
1

hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ∆ ) đi qua
A vuông góc với (d) sao cho khoảng cách từ B đến ( ∆ ) lớn nhất.
Hướng dẫn giải : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) suy ra (P)
nhận 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H là
hình chiếu của B trên (P), đường thẳng BH đi qua B vuông góc (P) có phương
 x = 2 + 2t


trình:  y = 1 + t H là giao điểm của BH và (P) nên tọa độ điểm H là nghiệm
z = 1 + t


 x = 2 + 2t
y = 1+ t
1 1

⇒ H (1; ; ) . Gọi K là hình chiếu của H trên ( ∆ ) suy ra
của hệ:  z = 1 + t
2 2


2 x + y + z − 3 = 0

BK ⊥ (∆) , d ( B; ∆) = BK mà BK ≤ AB (không đổi) nên BK lớn nhất bằng AB

khi K trùng A. Do đó ( ∆ ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (ABH) nên
→

[

]

→

( ∆ ) có 1 vtcp u = AB, v = (−1;1;1) ; (trong đó v = 2 HA = (0;1;−1) ). Khi đó ( ∆ ) có
phương trình chính tắc là :

x −1 y −1 z
=
=
−1
1
1

Bài tập:
24


1,Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) và B(2;0;1). Viết
x = t

phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với đường thẳng  y = 1 + t
 z = 1 + 2t


và cách điểm B một khoảng lớn nhất.
2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1):

x −1 y − 2 z
=
= và hai điểm
2
1
1

A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và
vuông góc với (d1) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng (d) lớn

nhất.
Bài toán 17: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) và
tạo với đường thẳng (∆) góc bé nhất, lớn nhất (đường thẳng (∆) không song
song hay nằm trên (P)).
Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với (∆) . Trên đường thẳng này lấy
điểm B khác A cố định. Hình chiếu vuông góc của B trên (d) và (P) theo thứ tự
là H và K.Ta có: (d, ∆ ) = BAH; sin(d, ∆ ) =

∆

BH BK
≥
AB AB

Vậy (d, ∆ ) nhỏ nhất khi và chỉ khi H ≡ K ,

P

A

B

d

K
H

hay (d) chính là đường thẳng AK.





Ta thấy 1 vtcp của (d) là v =  n , u  ( trong đó u =  n ,u1  ;




→

→ →

→

→ →

→

→

n là vtpt của (P) và u1 là vtcp của (∆) ). Còn đường thẳng (d) tạo với (∆) góc

→ → 
v
=
lớn nhất bằng 90 và có 1 véc tơ chỉ phương là
 n ,u1  .
→

0

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z -1= 0;
x
1

điểm A(1;1;-1) và đường thẳng (∆) : =

y −1 z
= . Viết phương trình chính tắc
2
1

đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d) và (∆)
là nhỏ nhất.
25