Bài giảng Nguyên hàm, tích phân

Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM
A. LÝ THUYẾT
Đạo hàm các hàm cơ bản
C' 0

 x  '   .x


 1

I. VI PHÂN
du( x)  u '( x).dx

Ví dụ 1: ứng dụng vi phân


1
 ax  b 
d  ax  b   a.dx  dx  .d (ax  b)  d 

a
 a 



d x 1    1 .x .dx  x .dx 



d ln x 







d x 1



(với   1 )

 1

1
1
dx hay dx  d ln x
x
x

Lưu ý:
f ( x).dx  dF ( x) {với F ( x) là một nguyên hàm của f  x  ( F '( x)  f ( x) }

Biến F ( x)

Biến x

II. Nguyên hàm
2.1 Định nghĩa.


F ( x) được gọi là một nguyên hàm của f  x  khi F '( x)  f ( x) . Khi đó F ( x)  C đgl họ

nguyên hàm của f  x 
 Kí hiệu:
 Lưu ý:

 f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x)
 f ( x)dx : đgl nguyên hàm của f(x) theo biến x

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM lưu k ý ỹ thuật đổi biến. Phần lớn sử dụng vi phân.

1


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
2.2 Các phép toán nguyên hàm



  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 k. f ( x)dx  k. f  x dx (với k là hằng số)

B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Có hai phương pháp tính nguyên hàm – tích phân:

 Phương pháp đổi biến
 Phương pháp từng phần
BẢNG NGUYÊN HÀM 1
ĐA THỨC – PHÂN THỨC


 ax  b  1
dx  d 
  d  ax  b 
 a  a




 x dx 

x 1
t  1
 C   t  dt 
C
 1
 1

Lưu ý: dt  t '.dx {với t chính là hàm t ( x) nào đó}




dx
dt

 ln x  C    ln t  C
x
t

MŨ


e x dx  de x



a x dx 

da x
ln a

LƯỢNG GIÁC


sin xdx  d   cos x 



cos xdx  d sin x
dx
dx
 d tan x; 2  d   cot x 
2
cos x
sin x



2


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

 f u( x) .u '( x).dx   f (u( x))du( x)   f t  dt
Biến x

{với t  u( x) }

Biến t

Sử dụng vi phân và bảng 1.
DẠNG TOÁN 1.
x 1
t  1

  x dx 
 C   t dt 
C
 1
 1


Ví dụ cơ bản 1. Tìm nguyên hàm
1.

 dx  x  C

x2
2.  ( x  3)dx   3x  C
2
1 7
7

 2 3
x  ln x  2  2 x  C
3.   x   3  2 =
x x
2x

 3

Để đưa ra đáp số câu 3, thực hiện NHÁP:
1

1

1
1 7
x2
x 31
x   3  2  x2 
;+x 1  ln x ;-7x 3  -7.

+2  2x
1
x x

3

1
1
2

1

x  x 2 dấu  là nguyên hàm tương ứng

Ví dụ cơ bản 2. Sử dụng vi phân đổi biến Tìm nguyên hàm
1.

1

1

 (ax  b)dx  a  (ax  b).d (ax  b)  a  tdt


(với t  ax  b )

t2
C
2a

(ax  b)2

C
2a

2.

 ( x  9) dx   ( x  9) d  x  9
4

4

 x  9


5

5

C

3


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
3.

 ( x  1)

xdx Phân tích: Biểu thức trong nguyên hàm dạng tích và  x  1 là biểu thức
6

6

phức tạp. Nên ta nghĩ đến đổi biến x thành biến x+1. Chuyển phức tạp về đơn giản
bằng cách đổi biến.
Bg

 ( x  1)

7
6
xdx    x  1  x  1  1 d ( x  1)    x  1   x  1 d  x  1


6

6

 x  1


 x  1


8

8

7

7

C

Lưu ý: x 
4.

 ax  b   b đây là cách đổi biến thường dùng.
a

1
1
 x  2 x 1 dx  4   2 x 1  1  2 x 1 d  2 x 1  4   2 x 1   2 x 1 d  2 x 1
3

3

4

5
4

1   2 x  1  2 x  1
 

 C
4

5
4



Bài tập áp dụng 1. Tìm nguyên hàm
1.
2.

  x  2
  3x  2 

2018

8

xdx

xdx





dx
dt
 ln x  C    ln t  C
x
t

Ví dụ cơ bản 3. (Dạng phân thức)
dx

1 d  ax  b  ln ax  b

C
ax  b
a

 ax  b  a 
dx

1.

 x  1  ln x  1  C

2.

 3x  1  3 .ln 3x 1  C

dx

1

KỸ THUẬT TÁCH MẪU SỐ
Công thức:
dx

1



 ax  b  a ln ax  b  C



 ax  b  ln ax  b  C

a.dx

4

3


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài toán tổng quát 1.

P( x)

 ax  bdx

với P( x) là đa thức

Phương pháp giải: Dùng kỹ thuật chia đa thức lấy tử số chia cho mẫu.
P( x)
c
 Q( x) 

ax  b
ax  b

Bài 1.1 Tìm nguyên hàm (Tạo hệ số x tử và mẫu giống nhau)
x5

( x  1)  4
4 

dx   1 
dx  x  4ln x  1  C
x 1
 x 1 

x5

1 2 x  10
1 (2 x  1)  11 1 
11 
dx  
  1 
dx
2x 1
2
2 x 1
2  2 x 1 

1.

 x  1dx  

2.

 2 x 1dx  2 


1  11

x  ln 2 x  1  C 

2
2

x 3

1 3x  9

1

 3x  2  7dx  1

3.

 3x  2dx  3  3x  2dx  3 

4.

 2 x  1dx  2  6 x  3dx  ...???

3x  1

3x  2

3 6x  2

Bài tập áp dụng 1.1 Tìm nguyên hàm
x3

1.

 x  1dx

2.

 3x  5dx

2x 1

Bài tập áp dụng 1.2 Tìm nguyên hàm
ln x  3

1.

 x(ln x  1)dx

2.

 x(3ln x  5)dx



7



x

7

1
dx   ln 3x  2  C
3   3x  2 
3 3

2 ln x  1

ex  3 x
 e x  1.e dx
sin x
dx
4. 
cos x  2
sin x  1
.cos xdx
5. 
2sin x  9
sin 2 x  sin x
dx
6. 
cos x  2

3.

5


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Bài toán tổng quát 2.


1

 ax  b  cx  d 

 ax
 ?.

2

P( x)
dx
 bx  c

?  ax  b   ?  cx  d 

 ax  b  cx  d 

Mạnh dạn lấy hai biểu thức ở mẫu trừ cho nhau

làm sao mất biến x. Mục tiêu tạo mẫu là hàm bậc nhất. Như vậy ? phải điền số tương
ứng như sau
1

 ax  b  cx  d 


x

 ax  b  cx  d 

 ?.



c  ax  b   a  cx  d 
1
1
a 
 c
.

.


cb  ad
cb  ad  cx  d ax  b 
 ax  b  cx  d 

?  ax  b   ?  cx  d 

 ax  b  cx  d 

Mạnh dạn lấy hai biểu thức ở mẫu trừ cho nhau

làm sao mất hằng số tự do. Mục tiêu tạo mẫu là hàm bậc nhất. Như vậy ? phải điền số
tương ứng như sau
x

 ax  b  cx  d 



d  ax  b   b  cx  d 
1
1
b 
 d
.

.


da  bc
da  bc  cx  d ax  b 
 ax  b  cx  d 

LƯU Ý:

a
A
Ax  B
  ax  b  cx  d dx  a
a.
c

b
c
B
A
ln ax  b 
b
a
c.
d
c

d
B
ln cx  d  C
b
d

Bài 2.1 Tìm nguyên hàm
1.

dx
1  x  1   x  3
1  1

1 

  x  1 x  3 4  ( x  1)( x  3) dx  4   x  3  x  1 dx



1
1 x 3
ln x  3  ln x  1   C  ln
C
4
4 x 1

Lưu ý: ln A  ln B  ln  AB  ;ln A  ln B  ln
2.

dx

1 2  x  3   2 x  1

  2 x  1 x  3  7   2 x  1 ( x  3)


dx 

A
B
1  2
1 



dx

7  2 x 1 x  3 

1
1 2x 1
ln 2 x  1  ln x  3   C  ln
C
7
7
x3

6


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
3.

x


2

x
x
1  x  1   x  1
1  1

1 
dx  
dx  
dx   

dx
1
2  x  1 x  1
2  x  1 x 1 
 x  1 x  1

1
1
ln x  1  ln x  1   C  ln x 2  1  C

2
2

Bài tập áp dụng 2.1 Tìm nguyên hàm
dx

1.

  x  1 x  2 

2.

  2 x  1 x  4 

3.

  x  1 x  3

4.

  x  1 2 x  3

5.

 2x

dx

xdx

xdx

2

xdx
 5x  2

Bài toán tổng quát 3. (Phương pháp hữu tỉ hóa)

f



u ( x) dx

Phương pháp giải.
 Đặt t  u ( x)  t 2  u ( x)  d  t 2   du ( x)  2tdt  u '( x)dx  dx 
 Suy ra:

f



u ( x) dx   f (t ).

2tdt
2tdt

u '( x) g  t 

2tdt
g t 

Bài 3.1 Tìm nguyên hàm
dx
x2
xdx
2. 
1  2x 1
x3
3. 
dx
1 x 1

1.

 1

Bài giải
1. Đặt t  1  x  2  t  1  x  2  t 2  2t  1  x  2  (2t  2)dt  dx
Suy ra

 1

dx
2t  2
2


dt    2  dt  2t  2ln t  C
t
t
x2


7


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN









 2 1  x  2  2ln 1  x  2  C

BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.
Bài 1. (Dạng toán xuất hiện ln x )
Dùng vi phân:

dx
 d ln x
x

Tìm nguyên hàm
ln x

1.

 x  3ln x  1dx

2.

x

3.

ln x. 3 9ln 2 x  1
dx


x

2ln x  1
dx (Dạng hữu tỷ hóa vì xuất hiện căn. Đặt t  ln x  1  t 2  ln x  1
ln x  1

Bài 2. (Dạng toán xuất hiện e x )
Dùng vi phân: e x dx  de x
Tìm nguyên hàm
e x dx
 ex  1
dx
2.   x
e 1
dx
3.  x
e 2
dx
4.  x
e  2e x  3

1.

5.



e2 x

ex 1
dx
6.  x
2 1

dx

Bài 3. (Dạng toán xuất hiện lượng giác)
Dùng vi phân cos dx  d sin x ; sin xdx  d   cos x   d cos x
Tìm nguyên hàm
1.

  2cos x 1 .sin xdx
3

8


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
2.

sin xdx

 3cos x  1

sin xdx
1  2 cos x
sin 2 xdx

4. 
1  3cos x
sin 2 x  cos x
5. 
dx Lưu ý: sin 2 x  2sin x.cos x
sin x  1

3.



tan

4

6. I

x
.sin x.(1 sin x)
2
dx
cos3 x

7. I

sin 3 x
dx
cos4 x

8.

tan x

I

9. I

tan3 x dx

dx
cos x sin 2 x
4

ĐS: I
ĐS: I
ĐS: I
ĐS: I

1
C.
cos x
1
1
3
3cos x cos x
tan 2 x
C.
2
tan 3 x
2 tan x

3

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
9

C.

1
tan x

C.


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

 f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x) . Do đó ta có  F '( x)dx  F ( x)  C
(u.v) '  u '.v  v '.u   (uv) ' dx   u '.vdx   v '.udx  uv   vdu   udv

 udv  uv   vdu



u ' dx

NHẬN XÉT: Dấu hiệu tích phân từng phần là ta thấy biểu thức dưới dấu nguyên hàm xuất
hiện tích hai họ hàm khác nhau:

 f ( x).g ( x)dx   g ( x)dF ( x)

{Quan sát xem hai hàm f  x  , g ( x) hàm nào dễ nhìn thấy nguyên hàm hơn. Dễ ta chọn đưa
vào làm dv }
DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM THƯỜNG XUẤT HIỆN
Dạng 1. Xuất hiện tích của hai họ hàm khác nhau {trong đó có hàm e x , hoặc hàm lượng
giác}. Đây là dấu hiệu dùng phương pháp từng phần. Các hàm dễ tìm nguyên hàm như
e x ,sin x, cos x,



1
1
, 2 ưu tiên làm dv .
2
cos x sin x

 f ( x).e dx   f  x .de
x

x

  udv  f ( x).e x   e x df ( x)  f ( x).e x   e x . f '( x).dx



f ( x)
dx   f ( x)d tan x
2
x

 f ( x).sin x.dx   f ( x)d ( cos x);  f ( x).cos xdx   f ( x)d sin x;  cos

  u.dv

Ví dụ cơ bản 1.1: Tìm nguyên hàm
1.
2.
3.

 x.e dx   x.de  x.e   e dx  xe  e  C
 (3x 1)e dx   (3x 1)de  (3x 1)e   e d 3x 1  (3x 1)   e .3.dx  3x 1  3e
 x e dx   x de  x e   e dx  x e  2 xe dx  ... Tiếp tục dùng từng phần.
x

x

x

x

2 x

x

x

x

2

x

2 x

x

x

x

2

x

2 x

x

x

10

x

C


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
4.
5.

6.

 x sin xdx
 x cos 2 xdx
x  e2 x
 e x dx

Lưu ý: e

ax b

  cos  ax  b   1
eax b 1 ax b
; sin(ax  b)dx  d 
dx  d
 de
  d cos(ax  b) …
a
a
a

 a

 f ( x).ln x.dx   ln x.dF ( x)  F ( x).ln x   F ( x)d ln x  F ( x) ln x  

DẠNG 2.

F ( x)
dx
x

{ ln x  u; dF ( x)  dv với F ( x) là một nguyên hàm của f  x  }
Ví dụ cơ bản 2.1 Tìm nguyên hàm
1.

 ln x.dx  x ln x   xd ln x  x ln x   dx  x ln x  x  C
1
x

{Giải thích: ln x  u; dx  dv và x.d ln x  x.  ln x  '.dx  x. .dx  dx }
2.
3.
4.

 x2  x2
x2
x2
x
x 2 ln x x 2
x
ln
xdx

ln
xd

ln
x

d

ln
x

ln
x

dx

 C
 


2
2
2
2
4
 2 2

  2x 1 ln xdx   ln xd ( x
 x ln xdx

2

 x)  ...

2

ln x
dx

x2
ln xdx
6. 
x

5.



7.

 ln( x  1)dx
 ln( x  x)dx

8.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Tính các nguyên hàm sau:
1.

I

(1 2x) e x dx

ĐS: I (3 2x) e x C.

2.

I

(2x

ĐS: I ( x2 x)ln x

3.

I

x2 ln 2 x dx

ĐS: I

4.

I

(x

ĐS: I

1) ln x dx

1) sin 2 x dx

11

x2
2

x

C.

x3 ln 2 x x3
C.
3
9
x 1
1
cos 2 x
sin 2 x
2
4

C.


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
x
dx
2

5. I

x sin

6.

I

x ln(1

7.

I

x sin 2 x dx

ĐS: I

ĐS: I

ĐS: I x ln( x

x2 ) dx

8. I

ln( x

1

9. I

x ln

1 x
dx
1 x

10. I
11. I
12. I

ĐS: I

x) dx

x
C.
2
x2
ln(1 x) (1 x)2
ln(1 x)
2
2
4
2
x
x sin 2x cos 2 x
C.
4
4
8
2 x cos

x
2

4 sin

x2 )

1

1 x
1 x

C.

1

x2

1

x2

ĐS: I

x

ln x
dx
x3

ĐS: I

x sin x cos x dx

ĐS: I

ln x
1
C.
2
2x
4 x2
1
1
x cos 2 x
sin 2 x C.
4
8
1
1
x tan x
ln cos x C.
2
2
x
1
sin 2 x
cos 2 x C.
2
4

x4 ln x x4
C.
4
16

1

x dx
cos 2 x

ĐS: I
ĐS: I

13. I

x (2 cos2 x

14. I

x3 ln x dx

ĐS: I

15. I

x
dx
sin 2 x

ĐS: I

16. I

x ln( x2

1) dx

2

x cot x

ln

ln sin x

C.

C.

ĐS: I ( x2 1)ln( x2 1) x2 1 C.

1) dx

BÀI 2.Tính các nguyên hàm sau:
1. I

x2 1
ln x dx
x2

ĐS: I

2.

I

cos x dx

ĐS: I 2 x sin x 2cos x C.

3.

I

sin x dx

ĐS: I

4.

I

(8x3

5.

I

x3 .e x dx

6.

I

x e

7.

I

x ln( x2

1) dx

ĐS: I

1

1)

ĐS: I

8. I
9.

I

ĐS: I

2

ln( x
x2

e x ln(e x

1
ln x
x

1 2 x2
xe
2

ĐS: I 2xe

dx

dx

x

C.

2sin x

2

4e x

1 x2
e
2
4 xe

1
x

x

2 x cos x

ĐS: I (4x2 1) e x

2

2x) e x dx

x

x

2

C.

C.

C.
x

4e

x

C.

1 2
( x 1)ln( x2 1) x2 x C.
2
1 1
x
ln x 1 ln
C.
x x
x 1

ĐS: I (e x 1)ln(e x 1) e x C.

1) dx

BÀI 3. Tìm nguyên hàm (Dạng lặp)
ex
(sin x
2

1.

I

e x cos x dx

ĐS: I

2.

I

e sin x sin 2x dx

ĐS: I 2sin x.esin x 2esin x C.
12

cos x)

C.

C.


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN

y
y  f  x

(H)

x

O
a

b

Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường: y  f ( x), y  0, x  a, x  b
(như hình vẽ f ( x)  0, x   a; b )
b

Diện tích hình phẳng (H): S   f ( x)dx
a

 ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . F ( x) là một nguyên hàm f  x  .



b

f ( x)dx  F ( x) |ba  F (b)  F (a)

a

 Tính chất.
b

a





a

f ( x)dx   f ( x)dx



b

c

b

a

c



a

b

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (Công thức áp dụng cho tích phân chứa

dấu giá trị tuyệt đối)
Ví dụ 1.



3

1



 

 



(2 x  1)dx  x 2  x |13  32  3  12  1  6

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Đổi biến:

 f u( x) .u '( x)dx   f u( x) du( x)
b

b

a

a



u (b)

u(a)

(Đặt t  u( x) khi đó ta phải đổi cận tương ứng)

f (t )dt

13


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Từng phần:



b

a

b

udv  uv |ba   vdu
a

NHẬN XÉT: Như vậy bài toán tích phân và bài toán nguyên hàm bản chất cách làm tương
tự nhau.

Ví dụ 2. Tính tích phân
1.

1
1
 x  2 x 1 dx  4  (2 x 1)  1  2 x 1 d  2 x 1  4  t  1t dt
1

0



2.

1

4



e

1

1

4

4

1

0

(với t  2 x  1 )

1 1 5 4
1  t6 t5  1
1
t

t
dt

  |1 


4 1
4 6 5 
10




e

x ln xdx   ln xd
1

2

e x
e xdx
x2 x2
e2
 ln x |1e 
d ln x   
1 2
2
2
2 1 2

e
x e e2 e2  1 e2  1
  |1  

2 4
2
4
4
2

2

Ví dụ 3. Tính tích phân (Phương pháp hữu tỷ hóa. Dấu hiệu nhận biết thấy xuất hiện căn
trong biểu thức tích phân)
1. A  

3

2. B  

e

0

1

dx
1 x 1

ln x. 3 9ln 2 x  1
dx
x

Bài giải.
1. Đặt t  1  x  1  t  1  x  1  t 2  2t  x  (2t  1)dt  dx
Đổi cận: x  0  t  2; x  3  t  3
Suy ra A  

3

2

3
2t  2
2
3
dt    2  dt   2t  2ln t  |32  2  2ln
2
t

t
2


2. Đặt t  3 9ln 2 x  1  t 3  9ln 2 x  1  3t 2 dt   9ln 2 x  1 '.dx 


ln xdx t 2 dt

x
6

Đổi cận: x  1  t  1; x  e  t  2
t3
t 4 e e4  1
Suy ra B  
dt 
|1 
1 6
24
24
e

BÀI TẬP 1.
14

18ln x
dx
x

Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau
1

1. ∫0 𝑥(1 + 2𝑥 2 )4 𝑑𝑥

5.

1
∫0 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥

1

2. ∫0

6.

2𝑥

𝜋

𝑑𝑥
2

3. ∫04

(𝑥 2 +4)

𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

5

4. ∫2 𝑥 5 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝜋
2

𝜋
∫0 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

7. ∫0 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

Bài 2. Tính tích phân.
𝑙𝑛3

1. 𝐴 = ∫0

𝑙𝑛3

4. 𝐴 = ∫0

𝑒 𝑥 𝑑𝑥
√(𝑒 𝑥 +1)3
𝑒 𝑥 𝑑𝑥

(𝑒 𝑥 +1)√𝑒 𝑥 +1

2

2. 𝐴 = ∫1

𝑑𝑥
𝑥√1+𝑥 3

𝑙𝑛5 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

5. 𝐴 = ∫𝑙𝑛2

√𝑒 𝑥 −1

2

3. 𝐴 = ∫1

4

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 DIỆN TÍCH
15

𝑥+√𝑥−1
√7

6. 𝐴 = ∫0

CÒN NỮA….

𝑑𝑥

𝑥 3 𝑑𝑥
3

1+ √𝑥 4 +1


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
 y  f ( x)

 Hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0
 x  a; x  b, (a  b)

b

Diện tích hình phẳng (H) là S( H )   f ( x) dx
a

Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f ( x)  0 khi
đó pt sẽ có nghiệm a hoặc b. ( y  0 chính là trục hoành Ox ).
 THỂ TÍCH
 y  f ( x)

 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0
. Xoay hình phẳng (H) quanh trục

 x  a; x  b, (a  b)


Ox ta được khối tròn xoay (T). Khi đó thể tích khối tròn xoay (T) là
b

V(T )    f 2 ( x)dx
a

Ví dụ 1.
 y  x2 1

1. Cho (H) giới hạn  y  0
. Tính diện tích hình phẳng (H)
 x  0; x  2


Bg
2

S( H )   x 2  1dx
0

Đến đây ta phải xét dấu biểu thức x 2  1 trên đoạn 0; 2 để phá dấu trị tuyệt đối.
Ta có trên đoạn 0; 2 pt: x2  1  0  x  1
1

2

1

2



Suy ra S( H )   x 2  1dx   x 2  1dx   (1  x 2 )dx   ( x 2  1)dx   x 
0

1

0

1



 y  x 2  3x  2

2. Cho (H) giới hạn  y  0
. Tính diện tích hình phẳng (H)
x  1


Bg. Hình phẳng (H) thiếu x  ? nên ta giải pt để tìm thêm 1 cận.
x  1
x  2

Ta có x 2  3x  2  0  

16

2
x2  1  x2
 |0    x  |1
2
 2



Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
2

Do đó S( H )   x 2  3x  2 dx
1

x  1
.
x  2

Nhận xét: Trên đoạn 1; 2 biểu thức x2  3x  2 không đổi dấu vì x 2  3x  2  0  
Suy ra S( H )   x 2  3x  2 dx     x 2  3x  2 dx  ...
2

1

2

1

17


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

PHÂN TÍCH ĐỊNH HƯỚNG CON ĐƯỜNG
GIẢI BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 DIỆN TÍCH


 y  f ( x)

Hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0
 x  a; x  b, (a  b)

b

Diện tích hình phẳng (H) là S( H )   f ( x) dx
a

Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f ( x)  0 khi đó pt
sẽ có nghiệm a hoặc b. ( y  0 chính là trục hoành Ox ).
 THỂ TÍCH


 y  f ( x)


Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0
. Xoay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được
 x  a; x  b, (a  b)

khối tròn xoay (T). Khi đó thể tích khối tròn xoay (T) là
b

V(T )    f 2 ( x)dx
a

KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG VỚI CÁC HÌNH PHẲNG HÌNH - HÌNH ĐA DIỆN – HÌNH
TRÒN XUAY.
 Tính diện tích hình cong phẳng (hay đa giác phẳng):
Phương pháp:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp
+ Chọn x trên đoạn  a; b nằm trên trục hoành.
+ Tính độ dài giá trị f  x  . Tổng tất cả các giá trị f  x  khi biến x chạy từ a đến b chính là diện
tích hình cần tìm.
 Tính thể tích khối tròn xoay (T) (hay khối đa diện):
Phương pháp:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp
+ Chọn x trên đoạn  a; b nằm trên trục hoành, tương ứng ta có thiết diện hình S là mp vuông góc
trục hoành tại x cắt hình (T)
+ Tính diện tích hình S là S  x  . Tổng tất cả các diện tích S  x  khi biến x chạy từ a đến b chính
là thể tích khối (T) cần tìm.

18


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài toán 1 [Nguyễn Việt Hải – CQT]. Một ruột xe như hình vẽ đường kính ruột xe d  10cm . Khi
đặt ruột xe nằm trên mặt phẳng thì đường kính đường tròn trong R1  0,5m . Tính thể tích ruột xe.

Phân tích:
- Đầu tiên học sinh cần nhận ra được hình vẽ của bài toán là một hình tròn xoay.
- Việc tiếp theo cực kỳ quan trọng: xác định được đường sinh của hình tròn xoay đó và trục của nó
(theo các khái niệm trong sách Hình học 12 – chương trình chuẩn, trang 31). Cụ thể trong bài, khi
đặt vòng xuyến nằm trên một mặt phẳng  P  thì trục là đường thẳng qua tâm của vòng tròn và
vuông góc với  P  , đường sinh là một đường tròn nằm trong mặt phẳng chứa trục (theo sách Hình
học 12 Nâng cao, trang 47 – 48). Cụ thể sẽ xuất hiện trong bài giải.
- Dựng mô hình thực tế: một học sinh cầm trên tay một vòng tròn, lòng bàn tay đặt vuông góc với mặt
đất. Dùng cơ thể làm trục, xoay đúng 1 vòng, vết của đường tròn sẽ tạo nên một hình, hình đó chính
là vòng xuyến.Ta bắt gặp rất nhiều hình ảnh của vòng xuyến trong đời sống như: ruột xe (xăm xe),
kiềng đeo cổ, các vòng đá đeo tay,…
Giải quyết bài toán
Giải tích hóa bài toán một cách đơn giản bằng hình
ảnh cụ thể như sau:
- Chọn trục là trục hoành.
- Đường sinh là đường tròn  C  có tâm I nằm trên
trục tung như hình vẽ. Khi đó:  C  có tâm

I  0; R  r  và bán kính r .
- Vậy hình xuyến trong bài toán chính là hình tạo thành
khi xoay  C  quanh trục Ox .
- Nhận xét: r  x  r

y

I

m

r

R

x
O

Phương trình đường tròn  C  : x 2   y  R  r   r 2  y  R  r  r 2  x 2 .
2

Gọi m là đường thẳng đi qua I và vuông góc với Oy . m chia  C  thành hai nữa đường tròn:

19


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
- 1/2 đường tròn phía trên m :  C1  : y  r 2  x 2  R  r .
- 1/2 đường tròn phía dưới m :  C2  : y   r 2  x 2  R  r .
Vậy thể tích của vòng xuyến:


V   
r 
r



r 2  x2  R  r

 
2



2

  r 2  x 2  R  r dx  4  R  r   r 2  x 2 dx

r
r

  
;
 dx  r cos tdt .
 2 2 

Đặt x  r sin t , t   

Đổi cận:

x
t

r



2

r

2



 V  4  R  r 

2







r 2  r 2 sin 2 t .r cos tdt  4 r 2  R  r 

2

 cos



2



2

tdt

2



 1
2
 2 r 2  R  r   1  cos 2t  dt  2 r 2  R  r   t  sin 2t   2 2 r 2  R  r  .
 2
 


2

2

2

Nhận xét:Ta có thể giải quyết một cách khác bằng cách dùng công thức tổng diện tích với thiết diện
của vòng xuyến cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox là một hình vành khăn có bán kính đường tròn
nhỏ là R và bán kính đường tròn lớn là R  2r . Tuy nhiên, xét về mặt kỹ thuật tính toán, giải theo
cách này thực sự không hiệu quả hơn phương pháp đã giải. Chi tiết xin dành cho đọc giả.
Đặt vấn đề: Khi chúng ta thay đổi đường sinh từ đường tròn sang một đường khác ta cũng được một
số kết quả khá thú vị. Ở đây tôi sẽ dùng đường sinh là một tam giác vuông, ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2

20


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Người ta dự định xây một bể chứa nước như
hình vẽ, phần hình trụ dùng để chứa nước, xung
quanh là khối bê tông. Hình trụ có bán kính đáy
là R , chiều cao a , bề dày phần bê tông xung
quanh đáy bể là b . Tính thể tích V khối bê
tông.

Phân tích: Cũng với ý tưởng như các bài toán trên, ta chỉ thay đổi đường sinh thành tam giác
vuông. Bài toán được giải tích hóa bằng hình ảnh đơn giản như hình bên.
y

C

 a
 2




a
2





Ta có: A   ; R  , C  ; R  b 

b

a

A

B

R

b
b
AB : y  R, AC : y  x  R 
a
2

x
O

Khi đó thể tích của khối bê tông:

V 

a
2

a
2

 b

 a b

b
b
1
2
2
x

R


R
dx


x

R


R
x

 ab  3R  b 









a  a
2
3b  a
2
3



a






2

3

2

2

Bài toán 3. Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng 10  cm  cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy một góc 45 . Tính
thể tích của khối gỗ nhỏ.

21


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Phân tích và định hướng
Đây là bài toán tính thể tích vật thể không có công thức tính sẵn. Vậy chúng ta đã biết có một cách
để tính đó là nhờ áp dụng Tích phân.
Trước tiên ta cần chọn một hệ trục .
Đối với khối trụ có hai cách thường chọn đó là Trục Ox song song với đường cao hoặc vuông góc
với đường cao.
Vấn đề tiếp theo là tìm được diện tích S  x  của thiết diện bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với
trục Ox .
Hướng dẫn giải
CÁCH 1.
Xét thiết diện là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy của khối trụ hay bổ dọc hình nêm

 Ta đi chứng minh bài toán tổng quát : Một vật thể có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy một góc
2
 . Ta được phần cắt ra là hình nêm loại 1có thể tích V  R3 tan 
3

22


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Chứng minh .
Ta chọn hệ trục như hình vẽ :
Tâm của đáy trùng gốc toạ độ, hai trục xOx và yOy chứa hai đường kính vuông góc của đáy .
Khi đó đáy của khối trụ là hình tròn , phương trình đường tròn đáy là x 2  y 2  R 2
Nên hình nêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình y  R 2  x 2 , x    R; R 
Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, x    R; R  , cắt hình Nêm
theo thiết diện là tam giác PMN vuông tại điểm N và có góc MPN   .
Rõ ràng PN  y  R 2  x 2  MN  PN tan   R2  x 2 tan 
Thiết diện có diện tích là S  x  

1
1
PN .MN   R 2  x 2  tan 
2
2

R

Suy ra thể tích cần tìm là : V 

R

1

2
2
 R S  x  dx  2 tan  R  R  x  dx
R


x3 
2
 V  tan    R  x  dx  tan  .  R 2 x    R3 tan 
3 0 3

0
R

2

Áp dụng CT : V 

2

2 3
R tan  vào bài ta có :
3

2
2000
 666, 7  cm3  .
Thể tích của khối gỗ nhỏ là V  103 tan 45 
3
3

CÁCH 2.

23


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Gọi S  x  là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox . Mặt phẳng này
cắt trục Ox tại điểm E .
Khi đó S  x   Shinh quat  S

HMN

( Hình quạt bán kính R  10 và góc ở tâm 2 )

Ta có OE  x  EF  x tan   x  HF  R  x  10  x
 cos  

HF 10  x
10  x

   arc cos
HN
10
10

1

10  x 1
10  x
 S  x   .102.2arc cos
 10  x  20.sin   100arc cos
 10  x  20 x  x 2
2
10
2
10
10

 V   100arc cos
0

10  x
 10  x  20 x  x 2 dx  666,7  cm3  là phần thể tích cần tìm.
10

Mở rộng kết quả bài toán khi cắt khối trụ bởi một mặt không đi qua tâm mặt đáy
Bài toán 4. Một vật thể có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R cắt khối trụ bởi một mặt phẳng
tạo với đáy một góc  và có giao tuyến với đáy là một dây cung AB  2a ( với a  R ). Tính thể
tích phần cắt ra

24


Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Thật vậy
TRƯỜNG HỢP 1 : Đáy hình nêm là phần giữa dây cung và cung nhỏ AB như hình vẽ,
Chọn hệ trục như trên , khi đó thiết diện vuông góc với trục Ox cắt dây AB tại H .
Tương tự ta có :
HN  PN  PH  PN  OI  R 2  x 2  R 2  a 2

MHN    MN  HN tan  







R 2  x 2  R 2  a 2 tan 

 tan 
2

 S  x 

1
1
HN .MN 
2
2

 S  x 

1

2 R 2  a 2  x 2  2 R 2  x 2 R 2  a 2 tan 
2





a

V 

R2  x2  R2  a2

 S  x  dx 

a

a



tan 
2

  2R



a

2

 a 2  x 2  2 R 2  x 2 R 2  a 2 dx

a



 V  tan   2 R 2  a 2  x 2  2 R 2  x 2 R 2  a 2 dx
0

TRƯỜNG HỢP 2 : Đáy hình nêm là phần giữa dây cung và cung lớn AB như hình vẽ,

25