Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - Hoàng Mạng Dũng

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian
véc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc
tơ và phép nhân một số với véc tơ
Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm
ánh xạ tuyến tính (1888)

5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5.1.1 Định nghĩa và ví dụ
Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả
mãn với mọi u, v  V,   R:

 f (fu(vu))  f (fu()u) f (v)

Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng
cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép
nhân hai ma trận
Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó
Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình
tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính
và ngược lại
10/07/2017

1

được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là
đồng cấu) từ V vào W
Khi V  W thì f được gọi là tự đồng cấu

10/07/2017

2

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
6) Cho ma trận A   aij 

Ví dụ 5.1

0 :V  W
u  0(u )  0

1) Ánh xạ không
2) Ánh xạ đồng nhất
3) Phép vị tự tỉ số k

IdV : V  V
u  IdV (u )  u
f :V  V
u a f (u )  ku

T : n  m
( x1 ,..., x n ) a T ( x1 ,..., x n )  ( y1 ,..., y m )
 y1 
 x1 
     a     là một ánh xạ tuyến tính
Xác định bới

   ij   
 ym 
 xn 
Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn
vào Rm đều có dạng như trên
3

10/07/2017

4

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

7) Phép quay góc 

f:  
2

5.1.2. Tính chất
2

f (v )  ( X , Y )

( x, y)  f ( x, y)  ( X , Y )

Định lý 5.1 Nếu f : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì



v  ( x, y)

(i) f (0)  0
(ii) với mọi v  V : f (v)   f (v)



n



n



i 1

 xivi    xi f (vi ) ,

X  iY  ei ( x  iy)  (cos  i sin  )( x  iy)

(iii) f 

X  iY  ( x cos  y sin  )  i( x sin   y cos )

Định lý 5.2

 i 1

x1,..., xn  , v1,..., vn V .

Ánh xạ f : V  W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi

 f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos )

với mọi u, v  V,   R:

Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính

10/07/2017

Ta có thể kiểm tra được đẳng thức

Do đó ánh xạ

Ánh xạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu;
10/07/2017

mn

  x1 
 x '1  
 x1 
 x '1 


A              A      A   
 x 


 x 'n  
 xn 
 x 'n 
  n

f ( u   v)   f (u )   f (v)
5

10/07/2017

6

1


CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác
định bởi ảnh một cơ sở của V.

f , g : V  W là hai ánh xạ tuyến tính

Hệ quả 5.4

B  {e1, … , en} là một cơ sở của V

Nghĩa là với cơ sở B  {e1, … , en} cho trước của V
Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V  W sao cho

 Tồn tại:

Ví dụ 5.2 Giả sử f : V  W là đồng cấu tuyến tính

f (ei )  u i , i  1,..., n
Với mọi v V , giả sử ( x1,..., xn ) là tọa độ của trong cơ sở
là v  x1e1  ...  xnen . Đặt f (v)  x1u1  ...  xnun W

v

B , nghĩa

f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (ei )  ui , với mọi i  1,...,n
 Duy nhất: Giả sử g : V  W là ánh xạ tuyến tính sao cho g (e )  u , với mọi
i
i
i  1,...,n khi đó với bất kỳ v V , v  x1e1  ...  xnen

B   e1,..., en  là một cơ sở của W

Tồn tại u1,..., un V sao cho f (ui )  ei

g f

10/07/2017

Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu
g : W  V sao cho f  g(v)  v, v W
Giả sử f toàn cấu,

g (v)  g ( x1e1  ...  xnen )  x1g (e1)  ...  xn g (en )  x1u1  ...  xnun  f (v)
Vậy

f  g  f (ei )  g (ei ); i  1,..., n

Khi đó

khi đó với mỗi hệ véc tơ u1, … , un  W

7

Xét ánh xạ tuyến tính g : W  V xác định bởi g (ei )  ui
Vì f  g (ei )  ei ; ei  B do đó f  g  IdW
10/07/2017

8

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính
Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức

( f  g )(v)  f (v)  g (v)

Ví dụ 5.3:

Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức

Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3  R2 có công thức xác định ảnh

(kf )(v)  kf (v)

f ( x, y, z)  (3x  5 y  2 z,4 x  y  6 z)
g ( x, y, z)  (2 x  6 y  7 z, x  5z)
 3 f ( x, y, z)  (9 x  15 y  6 z,12 x  3 y  18z )

2 g ( x, y, z)  (4 x  12 y  14 z,2 x  10 z)

 (3 f  2 g )( x, y, z)  (5x  27 y  20 z,10 x  3 y  8z)

10/07/2017

9

10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

ta ký hiệu
Trong đó

p( f )  a0 IdV    an f

f n  f  f



CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

p(t )  a0    ant n

Cho f và đa thức bậc n

Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính

n

f  IdV
0

10

Nhân của f

f  f
1

Ker f  f 1 0  v V f (v)  0  V
v V : v  Ker f  f (v)  0

n lÇn

Ví dụ 5.4:
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 có công thức xác định ảnh

Ảnh của f

f ( x, y)  (3x  5 y,4 x  y)

u W : u  Im f  v V : u  f (v)

f 2 ( x, y)   3(3x  5 y)  5(4 x  y),4(3x  5 y)  (4 x  y)   (11x  20 y,16 x  19 y)
2
Cho đa thức p(t )  50  9t  2t



Hạng của f

r ( f )  dim Im f

Định lý 5.5



 p( f )( x, y)  50IdV  9 f  2 f 2 ( x, y)  ( x  5 y, 4 x  3 y)
10/07/2017

Im f  f (V )   f (v) v V   W

Kerf là không gian con của V, Im f là kg con của W
11

10/07/2017

12

2


CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Định lý 5.6

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V  W ta có

S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f

dimV  r ( f )  dimKer f
Giả sử

e1,..., em 

là một cơ sở của Ker f (khi Ker f  0 thì m = 0)

Đặc biệt nếu B  e1 ,..., en  là một cơ sở của V thì

Ta có thể bổ sung để e1,..., em , em1,..., em k  là một cơ sở của V

là một hệ sinh của

Ta sẽ chứng minh  f (em1),..., f (em k ) là một hệ sinh, độc lập tuyến
tính của Im f (do đó là một cơ sở)

 u  Im f , v V : u  f (v); v  x1e1  ...  xmem  xm1em1  ...  xm k em k

u  f (v)  x1 f (e1)  ...  xm f (em )  xm1 f (em1)  ...  xm k f (em k )
 u  xm1 f (em1)  ...  xm k f (em k )

 f (e1 ),..., f (en )

Im f

Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

 f (e1),..., f (en ) là cơ

sở của Im f

 y1 f (em1)  V  v V f (v)  v  Ker  f   IdV 

( x, y)  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos )

f (v )

Định lý 5.14



1)

v

 là giá trị riêng của f khi và chỉ khi V  {0}

2) Nếu  là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v  0 của V

 Khi   0 , f  là ánh xạ đồng nhất Id 3 2 : chỉ có giá trị riêng là 1.

đều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng



 Khi    , f  : chỉ có giá trị riêng là 1.
 Khi   0, , f  không có giá trị riêng.
10/07/2017

45

10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.5.3 Đa thức đặc trƣng

Nhận xét 5.4
Cho f  End(V),

46

B là một cơ sở của V.

Đăt A  [ f ]B

 A là một ma trận vuông cấp n. Định thức

P ( )  det( A   I )

Khi đó v  V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của f khi và
chỉ khi ( v )B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

 của A

là một đa thức bậc n của  được gọi là đa thức đặc trưng của A
 Cho f  End(V),

Nghĩa là

 x1  0 
v  V ;  v  B  ( x1,..., xn ), v  0 : f (v)  v   A  I        
   
 xn  0 

B là một cơ sở của V.

Đăt A  [ f ]B

Khi đó định thức

P ( )  det  f   IdV   det( A   I )
không phụ thuộc vào cơ sở của V, cũng được gọi là đa thức
đặc trưng của f

10/07/2017

47

10/07/2017

48

8


CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 5.15

Ví dụ 5.18

0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi 0 là
nghiệm của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f )

Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không
gian R2 (ví dụ 6.13)

f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y)

0 là giá trị riêng khi và chỉ khi V0  0
Điều này tương đương với các điều sau:

a) Ánh xạ f  0 IdV không đơn cấu

 x1  0 
b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  A  0 I         có nghiệm
 
không tầm thường
 xn  0 

Vậy

0 là giá trị riêng khi và chỉ khi r  f  0 IdV   n

Nghĩa là

P (0 )  0

10/07/2017

Đa thức đặc trưng

P ( ) 

do đó det  f  0 IdV   0 hoặc det  A  0 I   0

49

3

1

2

4

3  2 1   x  0
hay 
    
 2 4  2   y  0

Vậy v  (x,x)  x (1,1) , x  0
 Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 2  5 là nghiệm của hệ
hay

 2 1  x  0
 2 1  y   0

   

Ví dụ 5.19



2

1

0

5

 (2  )(5  )

50

Phép quay góc  có công thức xác định ảnh

Đa thức đặc trưng

P ( )  det  f   IdV  

 sin 

sin 

cos   

 (cos    ) 2  sin 2 

   0

  cos
  1

 2

sin


0
  



   1

Vậy v  (x,  2x)  x (1,  2) , x  0
51

cos  

Do đó f chỉ có giá trị riêng khi

Hệ phương trình tương đương với phương trình 2 x  y  0  y  2 x

10/07/2017

1

2 4

f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos )

Hệ phương trình tương đương với phương trình x  y  0  y  x

 x  0
 
 y  0

2

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

 Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 1  2 là nghiệm của hệ

 A  2 I  



10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

 x  0
 A  1I      
 y  0

 3 1
A

 2 4 

có ma trận chính tắc

10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

52

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Định lý 5.16
Giả sử v1, … , vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng

5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc
Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếu
tồn tại một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có
dạng chéo
Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của

V gồm các véc tơ riêng của f

phân biệt 1, … , m của tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) thì hệ
véc tơ {v1, … , vm } độc lập tuyến tính

Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ v1,..., vk  độc lập tuyến tính với 1  k  m
Giả sử hệ v1,..., vk  với 1  k  m  1 độc lập tuyến tính

x1v1  ...  xk vk  xk 1vk 1  0 (*)

 f ( x1v1  ...  xk vk  xk 1vk 1 )  0  1x1v1  ...  k xk vk  k !xk 1vk 1  0

Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không
suy biến T sao cho T 1AT là ma trận chéo

(**)

Nhân  k1 vào (*) rồi trừ cho (**) ta được

(k 1  1) x1v1  ...  ( k 1   k ) xk vk  0
Vì v1,..., vk  độc lập và các 1,...,  m khác nhau từng đôi một suy ra

x1  ...  xk  0  xk 1  0

10/07/2017

53

10/07/2017

54

9


CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
() : Trong mỗi Vi ta chọn một cơ sở gồm mi véc tơ

Hệ quả 5.17
Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n
chiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thực
phân biệt thì f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được
Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương
ứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm
các véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được

Hệ quả 5.18 Giả sử
( )  (1) (  1 ) ...(  k )
m1  …  mk  n và các giá trị 1, … , k khác nhau từng đôi một
n

P

mk

m1

Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi

dimVi  mi ;  i  1,..., k

Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập
tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f
Vậy f chéo hoá được

() : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ
riêng để ma trận f có dạng chéo
 1






n 


Do đó các giá trị riêng 1 ,..., n phải trùng với 1 ,..., k

1 ,..., n có đúng mi giá trị bằng i , với
i  1,..., k và có đúng mi véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i

Vì vậy trong các giá trị riêng

Nói cách khác

10/07/2017

55

dimVi  mi

10/07/2017

56

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bƣớc 2: Với mỗi giá trị riêng
riêng Vi

5.5.5 Thuật toán chéo hoá
Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng

 Nếu m1    mk  n (khi bậc của Q()  2 ): không chéo hóa
được
 Nếu m1    mk  n thì chéo hóa được. 1,...,  k là các giá
trị riêng; tiếp tục bước 2

 x1   0 
   

A


I

i      
 x n 0 

 Nếu d i  mi với i nào đó, 1  i  k thì f không hoá chéo được

57

10/07/2017

58

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bƣớc 3: Với mỗi giá trị riêng

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

i ; i  1, … , k ta đã chọn được

Đa thức đặc trưng của A

mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính
Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồm m1  …  mk  n véc

B’ cần tìm

P ( ) 

2

1

0

9

4

6

8

0

3  

Ma trận T có các cột là tọa độ của hệ véc tơ B’

1



3 

9

4

6

8

0

3  

0

5  

8

 2 1 0 
A 9 4 6 


 8 0 3

3


0

 (3   ) 9

Ví dụ 5.21

10/07/2017

dimVi  di  n  r  A  i I 

 Nếu d i  mi , i :1  i  k . Tiếp tục bước 3

10/07/2017

Chéo hóa ma trận

 x1 ,..., xn 

là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

k

trong đó Q() là đa thức không có nghiệm thực

tơ riêng độc lập, đó là cơ sở

i tìm một cơ sở của không gian

Các véc tơ riêng v  x1e1  ...  xnen có

P ( )  (1   )m ...(k   )m Q( )
1

 P ( )  (1)n (  1 )...(  n )

3  (3   )
5

8

3 

 5

3

8

 5



 (3   ) (  25)  24  (  1)(  1)(3   )
2

Do đó A có các giá trị riêng

59

10/07/2017

1  1, 2  1, 3  3
60

10

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giá trị riêng    1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của
hệ phương trình

Ta có

 3 1 0   x  0
 9 5 6   y   0

   
 8 0 2   z  0 

 3 1 0 
 3 1 0 
3
 9 5 6    0 0 0   0





 8 0 2 
 8 0 2 
4

Ta có

1 0 
0 0

0 1 

Vậy hệ phương 3 x  y  0

 y  3x v   x,3x,4 x   x(1,3,4)
trình trên tương 

đương với hệ
4 x  z  0 z  4 x chọn e'1  (1,3,4)

10/07/2017

Giá trị riêng
phương trình

61

  1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ
 1 1 0   x  0
 9 3 6   y   0

   
 8 0 4   z  0 

 1 1 0 

 1 1 0 
1
 9 3 6    9 3 6   0





 8 0 4 
 2 0 1 
 2

Vậy hệ phương
trình trên tương
đương với hệ

 1 1 0   x  0 
 9 1 6   y   0 

   
 8 0 6   z  0 

10/07/2017

62

Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng

e'1  (1,3,4)

Ta có

x   y
0
 x y



4
4
x

3
z

0

 z  3 x
4  x

v   x,  x, x   (3, 3, 4)
chọn e '3  (3, 3, 4)
3  3

63

Ma trận chéo

Xét tự đồng cấu f :3 3
3

3

Giá trị riêng
phương trình



1 1 3
T   3 1 3 


 4 2 4 

 1 0 0 
T 1AT   0 1 0 


 0 0 3 
64

  5 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ
 2 2 0   x  0 
 2 2 0   y   0 

   
 0 0 4   z  0 

 3 2 0 
A   2 3 0 



 0 0 1 
Đa thức đặc trưng
3   2
0
1   2
0
P ( )  2 3   0  1   3   0
0
0 1
0
0 1 
1   2
0
 0 5   0  (5  )(  1) 2
0
0 1
Ma trận chính tắc

10/07/2017

e '3  (3, 3, 4)

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

xác định bởi

f ( x, y, z )  3x  2 y, 2 x 3 y, z

B '  e '1, e '2, e'3 

10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ví dụ 5.22

e' 2  (1,1,2)

Ma trận chuyển cơ sở

Vậy hệ phương trình trên
tương đương với hệ

10/07/2017

0

0
0

1 

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

  3 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ

 1 1 0 
1 1 0 
 9 1 6   0 0 0 





 8 0 6 
4 0 3 

0

x  y 0
x  y v   x, x,2 x   x(1,1,2)


2
x

z

0

z  2x chọn e' 2  (1,1,2)

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giá trị riêng
phương trình

1

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

0
x  y

z0

v   y, y,0  y(1,1,0)

65

10/07/2017

x   y
 
z  0
chọn e'1  (1,1,0)

66

11


CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giá trị riêng
phương trình

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

  1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ

Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu f : P2  P2 có công thức xác định ảnh

f (a0  a1t  a2t 2 )  (a0  a1  a2 )  (a0  a1  a2 )t  (a0  a1  a2 )t 2

 2 2 0   x  0  Vậy hệ phương trình
 2 2 0   y   0  trên tương đương với x  y  0;

     phương trình
z tuỳ ý
 0 0 0   z   0
v   x, x, z   x(1,1,0)  z (0,0,1)
chọn e '2  (1,1,0) e '3  (0,0,1)

Chọn cơ sở

B '  e '1, e '2 , e '3

f (e '1 )  5e '1 , f (e '2 )  e '2 , f (e '3 )  e '3
Ma trận của f trong cơ sở

Ma trận chính tắc

5 0 0 
1 0

0 0 1 
67

 a0  a2  0
a0  a2


 a0  a1  0
a0  a1

p V1  p  a0  a0t  a0t  a0 (1  t  t ) chọn p '1  1  t  t
 Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  0 ứng với giá trị riêng
2

Xét cơ sở

B '   p '1, p '2 , p '3

f ( p '1 )  p '1

Ma trận của f trong cơ sở

2

p '2  1  t , p '3  1  t 2

10/07/2017

69

P ( ) 

4
6

1  

3

5   3

4

1    3

4

0
1
0  (1   )
1   7 7  

Đa thức đặc trưng có nghiệm

0
0

1   1 (kép) và 2  3

Giá trị riêng    1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ
phương trình

7  
8  2  2 1  
0  (1   ) 0
7
7

6
7 7  
8

 (1   )

B ’ có dạng

70

Đa thức đặc trưng có nghiệm

Đa thức đặc trưng

3

f ( p '3 )  2 p '3

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 3 4 
A   4 7 8 


 6 7 7 

1 

f ( p '2 )  2 p '2

p '3  1  t 2

10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4

p '2  1  t

1 0 0 
A '   f B '  0 2 0 


0 0 2 

p V2  p  a1  a2  a1t  a2t  a1 (1  t )  a2 (1  t )

3

1  1 là

 2 1 1 
 2 1 1 
 1 0 1 
 1 2 1    3 3 0   1 1 0







 1 1 2
 0 0 0
 0 0 0

p '1  1  t  t 2
Thỏa mãn

2

1 

1  

68

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: a0  a1  a2  0

Xét ma trận

1

1

 (1   )(  2)2

10/07/2017

2  2 là

1 1 1  a0 0 
1 1 1  a   0 

  1  
1 1 1  a2 0 

Ví dụ 5.24

1

Gồm các véc tơ riêng

2

nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất

chọn

1

1  

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Vậy hệ phương trình trên tương đương với 
2

1

1
2

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

2

1  

 Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  0 ứng với giá trị riêng
nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất

 2 1 1   a0 0 
 1 2 1   a   0 

  1  
 1 0 2  a2  0

B ’ có dạng A '   f B '  0

10/07/2017

Đa thức đặc trưng

 1 1 1 
A   1 1 1 


 1 1 1

4

1 0
7 7  

4

1
0  (3   )(  1)2
4 3  

1   1 (kép) và 2  3

 2 3 4   x  0 
 4 6 8   y   0 

   
 6 7 8   z   0
 y  2z
hệ có nghiệm 
x  z
Không gian riêng

 2 3 4
 2 3 4 
 2 0 2 
 4 6 8    0 0 0    0 0 0 







 0 2 4
 6 7 8 
 0 1 2

 v   z, 2 z, z   z(1, 2,1)

V1   z (1,2,1) z  , dimV1  1  2

Vì vậy ma trận không chéo hoá được
BÀI TẬP

10/07/2017

71

10/07/2017

72

12