SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AMGM VÀ SCHUR ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
A. LỜI NÓI ĐẦU:
Trong bộ môn Toán học ở trường phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức được
xem là một trong những chuyên đề khó và hấp dẫn đối với nhiều người học. Nói
đến bất đẳng thức chúng ta thường quan tâm đến bất đẳng thức đại số mà ở đó có
nhiều kỹ thuật để khai thác và chứng minh. Như chúng ta đã biết bất đẳng thức
Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn khá
xa lạ với nhiều học sinh. Qua bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn việc sử
dụng bất đẳng thức Schur và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc AM-GM để
giải một số bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là trong các đề thi chọn học sinh giỏi.
B. NỘI DUNG:
Trước tiên tôi xin giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng
thức AM-GM và bất đẳng thức Schur.
I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM:
1. Các đại lượng trung bình của các số không âm:
 Cho n số không âm a1, a2 , a3 ,..., an ta có:
a  a  a3  ...  an
A 1 2
là trung bình cộng của n số a1, a2 , a3 ,..., an .
n
G  n a1a2a3...an
là trung bình nhân của n số a1, a2 , a3 ,..., an .

a12  a2 2  a32  ...an 2
là trung bình toàn phương của n số
Q
n

a1, a2 , a3 ,..., an .
n
là trung bình điều hòa của n số dương
H
1 1 1
1
    
a1 a2 a3
an
a1, a2 , a3 ,..., an .
Ta cũng có bất đẳng thức Q  A  G  H.
Dấu “=” xảy ra khi a1  a2  a3  ...  an .
Chú ý:
A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình
Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

1


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn
phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa).
2. Bất đẳng thức AM-GM:
Theo phần 1. thì ta đã có mối liên hệ giữa các đại lượng trung bình của các số
không âm: Q  A  G  H. Trong đó, bất đẳng thức A  G thường được sử
dụng hơn cả và được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt là bất đẳng thức A-G). Cách
gọi tên này khá phổ biến ở nước ngoài, nhất là ở các nước Âu, Mỹ. Cách
chứng minh này rất hay và nổi tiếng và được dùng nhiều trong nhiều bài toán
bất đẳng thức.

Nội dung của bất đẳng thức này như sau:
a1  a2  a3  ...  an n
Với n số không âm a1, a2 , a3 ,..., an ta có:
 a1a2 a3 ...an
n
Dấu “=” xảy ra  a1  a2  a3  ...  an .
 Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất
đẳng thức AM-GM như sau:
2
a  b

2
2
2
2
 2ab
1. a  b  2ab  a  b 
2
Dấu “=” xảy ra  a = b.
2
a  b  c

2
2
2
2
2
2
 ab  bc  ca
2. a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c 

3
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
a b
 2
3.
(ab > 0). Dấu “=” xảy ra  a = b.
b a
1
hay a   2 (a > 0). Dấu “=” xảy ra  a = 1.
a
1 1 1
1
n2
4.
     
a1 a2 a3
an a1  a2  a3  ...  an

1 1 1
1
       n2
an 
 a1 a2 a3

 a1  a2  a3  ...  an  

hay

 a1, a2 , a3 ,..., an  0 

Dấu “=” xảy ra  a1  a2  a3  ...  an .
Chú ý:
 Bất đẳng thức Cauchy thật ra lại là bất đẳng thức sau:
 a2  b2  x2  y 2    ax  by 2 hay có thể viết là

a

2

 b2  x 2  y 2   ax  by

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

2


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức

a b
 )
x y
Bất đẳng thức này đúng với 2 bộ số thực bất kì (a; b) và (x; y).
Mở rộng ra ta thu được kết quả với 2 bộ n số thực  a1, a2 ,..., an  và
 b1, b2 ,..., bn  như sau:
Dấu “=” xảy ra  ax  by và nếu x, y khác 0 thì

a

2
1

 a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2    a1b1  a2b2  ...  anbn 

hoặc

a

2
1

2

 a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2   a1b1  a2b2  ...  anbn

a1  kb1
a  kb

2
Dấu “=” xảy ra   2
...
an  kbn
 Bất đẳng thức Cauchy nêu trên còn có nhiều tên gọi khác như bất đẳng
thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki) hay bất đẳng thức Schwarz (Sờ-vác)
hoặc bằng cái tên rất dài Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Nhiều tài liệu ở
Việt Nam lại viết theo kiểu ngược lại, tức là Bunyakovsky - Cauchy Schwarz, do đó bất đẳng thức này được viết tắt là BCS.
II. BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR:
Với các số thực dương a, b, c và k  R  bất kì ta luôn có
a k (a  b)(a  c)  bk (b  c)(b  a)  c k (c  a)(c  b)  0
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng
nhau và số còn lại bằng không. Khi k là một số nguyên dương chẵn, thì bất

đẳng thức trên đúng với mọi số thực a, b và c.
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:

a(a  b)(a  c)  b(b  c)(b  a)  c(c  a)(c  b)  0 (i)

a 2 (a  b)(a  c)  b2 (b  c)(b  a)  c 2 (c  a)(c  b)  0 (ii)
III. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR ĐỂ CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
1. VÍ DỤ 1. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b, c
1 1 1
1
1
1
(*)
  


a b c
ab
bc
ca
Lời giải:
Áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM ta có:

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

3


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức

2

2

2

1 1 1  1   1   1 
1
1
1
  





a b c  a   b   c 
ab
bc
ca
1 1 1
Dấu “=” xảy ra     a  b  c
a b c
Nhận xét: Chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức (*) bằng cách nhân cả hai vế
của

bất

đẳng

thức

(*)

với abc  0 ,

ta

có

bất

đẳng

thức

1 1 1
mới: abc      a  b  c . Và nếu giả thiết cho thêm dữ kiện
a b c
a  b  c  1 thì chúng ta có một bất đẳng thức khá “đẹp” như sau:

1 1 1
1
. Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tìm tòi được nhiều bài toán
  
a b c
abc
mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây chính là cách suy nghĩ trên những bài toán
giúp ta nắm vững kiến thức, cũng như một cách rèn luyện tư duy, từ đó hình
thành một thói quen học toán tốt.

2. VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng a, b, c  0 ta có bất đẳng thức sau:
a
b
c
3



(**)
bc ca ab 2
Lời giải:
a
b
c
a bc bca ca b





3
Ta có:
bc ca ab
bc
ca
ab
1
1 
 1
 a  b  c



3
bc ca a b
1
1
1 
 1
  b  c    c  a    a  b  


3
2
bc ca ab
Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM ta có:
a
b
c
1
3


 9  3 
bc ca ab 2
2
Dấu “=” xảy ra  b  c  c  a  a  b  a  b  c
3. VÍ DỤ 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
1
1
1

1 1 1


  
a.
a bc bc a c  a b a b c
b.

 a  b  c b  c  a  c  a  b   abc
Lời giải:

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

4


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức

1 1
4
a. Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM:  
 x, y  0
x y x y
1
1
4
2


 (1)

a  b  c b  c  a  a  b  c   b  c  a  b
1
1
2
1
1
2
Tương tự
(2),



 (3)
a bc c  a b a
bc a c  a b c
Cộng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đccm.
a  b  c  b  c  a

Dấu “=” xảy ra  a  b  c  c  a  b  a  b  c
b  c  a  c  a  b

 Tam giác đó là tam giác đều.
b. Áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM:
2
 a  b   2ab hay a  b 2  4ab
(với mọi a, b), ta có:


2
2

 a  b  c    b  c  a    4  a  b  c  b  c  a 

 4b 2  4  a  b  c  b  c  a 
 b 2   a  b  c  b  c  a 
Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được:
a 2   a  b  c  c  a  b 

c2   b  c  a  c  a  b 

a, b, c  0
a  b  c  0

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 
b  c  a  0
c  a  b  0
Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng
thức ta thu được:

 abc 

  a  b  c  b  c  a  c  a  b 
(*)
Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
a  b  c  b  c  a

Dấu “=” xảy ra  a  b  c  c  a  b  a  b  c
b  c  a  c  a  b

 Tam giác đó là tam giác đều.
2

2

4. VÍ DỤ 4. Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện
1
1
1
1
1



 3 . Chứng minh abcd 
1 a 1 b 1 c 1 d
81
Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

5


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức

Lời giải:
Ta nhận ra 3 = 1 + 1 + 1 nên ta sẽ biến đổi điều kiện của đề bài như sau:
1
1
1
1




3
1 a 1 b 1 c 1 d
1
1  
1  
1 


 1 
  1 
  1 

1 a  1 b   1 c   1 d 

1
b
c
d
b
c
d



 33


1 a 1 b 1 c 1 d
1 b 1 c 1 d

1
a
c
d
a
c
d
Tương tự, ta cũng có:



 33


1 b 1 a 1 c 1 d
1 a 1 c 1 d
1
a
b
d
a
b
d



 33


1 c 1 a 1 b 1 d

1 a 1 b 1 d
1
a
b
c
a
b
c



 33


1 d 1 a 1 b 1 c
1 a 1 b 1 c
Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm.
1
Dấu “=” xảy ra  a  b  c  d 
3
Nhận xét: Bằng việc linh hoạt trong phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng


thức AM-GM, ta đã có một lời giải “nhanh, gọn, đẹp”. Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra
cho chúng ta sau khi giải, đó là, liệu bất đẳng thức trên có dạng tổng quát hay
không, và đó là gì? Nếu có, ta phải chứng minh như thế nào?
Câu trả lời là có. Bất đẳng thức tổng quát của nó như sau:
Với n số dương a1, a2 , a3 ,..., an  n  3 , thỏa mãn điều kiện
1
1

1
1


  
 n  1 , chứng minh rằng:
1  a1 1  a2 1  a3
1  an
1
a1a2a3...an 
. Các bạn chứng minh tương tự như ví dụ trên.
n
 n  1
5. VÍ DỤ 5.
Chứng minh rằng với mọi x, y, z  0 , ta có:

x3 y 3 z 3
 
 x yz
yz zx xy
Lời giải:
Trước tiên, ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ:
x4  y 4  z 4  xyz  x  y  z 
(1)
Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

6


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức

Thật vậy, áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2
2
2
x 4  y 4  z 4  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2   xy    yz    zx 

 xy. yz  yz.zx  zx.xy  xyz  x  y  z 
Dấu “=” xảy ra  x  y  z
Vì xyz  0 nên nhân cả hai vế bất đẳng thức (1) với

1
 0 ta có:
xyz

x 4  y 4  z 4 xyz  x  y  z 
x3 y 3 z 3

  
 x y z
xyz
xyz
yz zx xy
Dấu “=” xảy ra  x  y  z
6. VÍ DỤ 6. Đề thi Việt Nam, 1996

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab  bc  ca  abc  4.
Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại các số dương

a, b, c sao cho ab  bc  ca  abc  4 và a  b  c  ab  bc  ca.
Khi đó, ta có:

abc
1
ab  bc  ca
, dẫn đến 4  ( ab  bc  ca ).1  abc.1
 ( ab  bc  ca ).(

abc 2
abc 3
)  abc.(
)
ab  bc  ca
ab  bc  ca

( a  b  c )2
abc 3

 abc.(
)
ab  bc  ca
ab  bc  ca

abc( a  b  c )3
Từ đây, ta tìm được 2( ab  bc  ca )  ( a  b  c ) 
( ab  bc  ca )2
2

2

2

Nhưng mà theo bất đẳng thức Schur bậc 3 ở dạng phân thức thì

2( ab  bc  ca )  ( a2  b2  c2 ) 

9abc
. Điều này dẫn đến
abc

9abc
abc( a  b  c )3

a  b  c ( ab  bc  ca )2
Suy ra abc  0 và 9( ab  bc  ca )2  ( a  b  c )4 (mâu thuẫn bởi vì ta luôn có

( a  b  c )2  3( ab  bc  ca ) theo AM-GM. Bởi vậy, ta không thể có
a  b  c  ( ab  bc  ca ) với mọi a, b, c>0 thoả mãn giả thiết của bài.
Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

7


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
Điều này chứng tỏ rằng a  b  c  ab  bc  ca (Đpcm).
7. VÍ DỤ 7. Đề thi VMO 2015
Cho các số thực a, b, c  0. Chứng minh rằng

3(a 2  b2  c2 )  (a  b  c)( ab  bc  ca )  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  (a  b  c)2

Lời giải:
Ta đặt x  a , y= b , z= c rồi nhân tung hết ra. Khi đó bất đẳng thức cần
chứng minh có thể viết lại dưới dạng:

x

4

 xyz  x   xy( x 2  y 2 )  4 x 2 y 2 (1)

Đến đây ta sử dụng bất đẳng thức Schur bậc 4:

x2 ( x  y )( x  z )  y 2 ( y  z )( y  x )  z 2( z  x )( z  y )  0
Dạng khai triển của nó chính là:

x

 xyz  x   xy( x 2  y 2 ) (2)
Ta dùng (2) để đánh giá (1). Ta thấy (2) cũng có dấu bằng tại x  y  z và
x  y, z  0 (cùng các hoán vị) tương ứng với trường hợp đẳng thức (1).
Sau khi đánh giá, ta chỉ cần xét bất đẳng thức:
4

2 xy( x2  y 2 )  4 x 2 y 2  xy( x 2  y 2 )  2 x 2 y 2
Và nó chỉ là một hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM:

 xy( x

2

 y 2 )  ( xy.2xy ) 2 x 2 y 2

8. VÍ DỤ 8. Đề thi APMO 2004
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
( a 2  2 )( b2  2 )( c 2  2 )  9( ab  bc  ca )
Lời giải:
Lời giải 1: Khai triển bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh:
a 2b2c2  2( a 2b2  b2c 2  c 2a 2 )  4( a 2  b2  c 2 )  8  9( ab  bc  ca )
Ta có:
i) a2  b2  c2  ab  bc  ca
ii) ( a 2b2  1)  ( b2c 2  1)  ( c 2a 2  1)  2( ab  bc  ca )
9abc
 4( ab  bc  ca )  ( a  b  c )2
iii) a 2b2c 2  1  1  3 3 a 2b2c 2 
abc

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

8


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
(theo BDT Schur)
Áp dụng các BDT trên, ta có:
( a 2b 2c 2  2 )  2( a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  3 )  4( a 2  b 2  c 2 )

 2( ab  bc  ca )  4( ab  bc  ca )  3( a 2  b 2  c 2 )
 9( ab  bc  ca )
(Đpcm)
Lời giải 2:

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

( a 2  2 )( b 2  2 )( c 2  2 )  9( ab  bc  ca )
 4( a 2  b 2  c 2 )  2(( a 2b 2  1 )  ( b 2c 2  1 )  ( c 2 a 2  1 )) 
( a 2b 2c 2  1 )  1  9( ab  bc  ca )

 4( a 2  b2  c 2 )  4( ab  bc  ca )  2abc  1  9( ab  bc  ca )
 a 2  b2  c 2  2abc  1  2( ab  bc  ca )
Bất đẳng thức cuối đã rất quen thuộc, ta có đpcm.
9. VÍ DỤ 9. VMO 2002- Trần Nam Dũng
Chứng minh rằng với mọi a, b, c  0 , ta có:
2( a2  b2  c2 )  abc  8  5( a  b  c )
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
12( a 2  b2  c 2 )  6abc  48  30( a  b  c ) 

12( a 2  b2  c 2 )  3( 2abc  1)  45  5.2.3( a  b  c )

 12( a 2  b 2  c 2 )  9 3 a 2b 2c 2  45  5(( a  b  c )2  9 )
27
 7( a 2  b 2  c 2 ) 
 10( ab  bc  ca )
abc
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur, ta có:
9
 4( ab  bc  ca )  ( a  b  c )2  2( ab  bc  ca )  ( a 2  b 2  c 2 )
abc
Do đó

27

 10( ab  bc  ca )
abc
 7( a 2  b 2  c 2 )  6( ab  bc  ca )  3( a 2  b 2  c 2 )  10( ab  bc  ca ) 

7( a 2  b 2  c 2 ) 

4( a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca )  0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

9


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
10. VÍ DỤ 10. Moldova TST 2005:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương và a4  b4  c4  3 thì:
1
1
1


1
4  ab 4  bc 4  ca
Lời giải:
Quy đồng mẫu số rồi khai triển, ta cần chứng minh:
49  8( ab  bc  ca )  ( a  b  c )abc  64  16( ab  bc  ca )  4( a  b  c )abc 

a 2b 2 c 2
 16  3( a  b  c )abc  a 2b2c 2  8( ab  bc  ca )

Áp dụng bất đẳng thức Schur và giả thiết a4  b4  c4  3 , ta có:
( a3  b3  c3  3abc )( a  b  c )  ( ab( a  b )  bc( b  c )  ca( c  a ))( a  b  c )

 3  3abc )( a  b  c )  ( ab  bc )2  ( bc  ca )2  ( ca  ab )2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
( ab  bc )2  ( bc  ca )2  ( ca  ab )2  12  8( ab  bc  ca )
 15  3abc( a  b  c )  8( ab  bc  ca )
Mặt khác ta lại có: 1  a 2b2c 2
Vậy ta có đpcm.
11. VÍ DỤ 11. Vasile Cirtoaje:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab  bc  ca  3.
Chứng minh rằng: a3  b3  c3  7abc  10
Lời giải:
Áp dụng BDT Schur, ta có:
a3  b3  c3  3abc  ab( a  b )  bc( b  c )  ca( c  a )

 a3  b3  c3  6abc  ( ab  bc  ca )( a  b  c )  pq  3 p
p( 4q  p 2 ) p( 12  p 2 )

và r 
9
9
Ta cần chứng minh:
p( 12  p 2 )
3p 
 10
9
( p  3 ) ( 16  p 2 )  3( 4  p )  2 

0

9
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1.
.

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

10


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
IV. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC:

 x 2  y 2  1
1. VÍ DỤ 12. Cho bốn số thực x, y, z, t thỏa mãn điều kiện  2 2
.
 z  t  1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức:

 a  b   a  b
2

P

 x  z

2

2

 x  z   y  t
2

2



x  z   y  t
2

2

a  b  2  a  b  và hằng đẳng thức

 2  a 2  b2  , ta có:

  y  t 
2

x  z

2

  y t

2

2
2
2
2
 2  x  z    y  t    x  z    y  t  



 2  2  x 2  z 2   2  y 2  t 2    2.2  x 2  y 2  z 2  t 2 
(vì x 2  y 2  z 2  t 2  2 )
 2.2.2  2 2
Dấu “=” xảy ra  x  y  z  t  

2
2

2
2
2. VÍ DỤ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Vậy Max P  2 2  x  y  z  t  

a
b
c


với a, b, c  0 và a  b  c  3
1  b2 1  c 2 1  a 2
Lời giải:
a

a  ab2  ab2
ab2
ab2
ab

a
a
a
Ta có:
2
2
2
1 b
1 b
1 b
2b
2
b
bc
c
ca
b ,
c
Tương tự
2
2
1 c
2 1 a
2
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:

a  b  c 2
a
b
c
ab  bc  ca
3
3



3


3


1  b2 1  c 2 1  a 2
2
2
2
Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1
b
c  3
 a


  a  b  c 1
Vậy Min 
2
2

2 
1 b 1 c 1 a  2
Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

11


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
3. VÍ DỤ 14. Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ
a 2  b2  c 2 b2  c 2  a 2 c 2  a 2  b2
nhất của biểu thức: H 


c
a
b
Lời giải:
Ta có:
 a 2 b2 b2 c 2   b2 c 2 c 2 a 2   c 2 a 2 a 2 b2 
2H                    2  a  b  c 
c
a a a a b b  b b
c
c 
 c

a 2 b2 b2 c 2
b2 c 2 c 2 a 2
c2 a 2 a 2 b2
4

4
4
   4
   4
    2a  b  c
c c a a
a a b b
b b c c
4

 2  a  b  c   2.3 3 abc  6
Do đó H  3 . Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1
Vậy Min H  3  a  b  c  1
C. KẾT LUẬN:
Qua nghiên cứu trên tôi thấy sử dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức
Schur là phương pháp mạnh và hiệu quả cho việc chứng minh bất đẳng thức.
Phương pháp này là phương pháp quen thuộc với các em học sinh và gặp nhiều
trong các bài toán bất đẳng thức nên giáo viên cần dạy kỹ cho các em nắm được
các ứng dụng và cách vận dụng nó hiệu quả khi giải các bài toán bất đẳng thức.
Bài viết trong khoảng thời gian ngắn, tuy đã được xem xét kỹ nhưng cũng khó
tránh khỏi thiếu sót. Rất mong ý kiến đóng góp của quý thầy cô cho bài viết
thêm phong phú và hữu ích hơn.

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

12


Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Schur để giải một số bài toán bất đẳng thức
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1. Võ Quốc Bá Cần – Bất đẳng thức tuyển chọn; những bài bất đẳng thức từ
các cuộc thi giải toán.
2. Phạm Kim Hùng – Sáng tạo Bất đẳng thức.
3. Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, lời giải và bình luận đề thi
VMO 2015.
4. Internet.

Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú

13