Phương pháp bất đẳng thức trong phương trình và hệ phương trình lượng giác

ầ


ẻ

ầè ầ
ặ ặ

ặ ộặ ẻ ặ ỡặ

ẩ ặ ẩ ẩ è ặ è
èấầặ ẩ ặ èấỡặ ẻ
ở ẩ Ỉ ÌÊìỈÀ Ä Ỉ Á
ÙÝịỊ Ị Ị

ÈÀ Ỉ ÈÀ È èầ ặ ậ
ì ẳ ẳẵ ẵ

èỵ è è ặ ẻ ặ è

ậợ ầ

ặ ề ạ ặ ẹ ắẳẵ

ẩ


Ị ØỊ

ÁÀ

Ỉ

Ị

Ĩ ỊØ Ị Ø

Ỉ Ỉ

Ị Ĩ



˺ÌËÃÀº Ỉ

Í

È Ị ữề ẵ ẩ ậèậ èệề ẫ

ộặ ẻ

ặ



ụề

ẩ ề ÷Ị ¾ Ì˺ ÀĨ Ị ÉÙ Ị ÌÙÝơỊ

ÄÙ Ị Ú ề
íũề ề ề

ề ẹ ắẳẵ

ả

ể ữ ỉ
ẩ

ỉ ử ØøĐ Ø

Ị Ơ

ÝØ

Ơ ØĨ Ị ×

Ị
Đ ÄÙ ề ề ỉ ỉ ề ữễ ỉ
ìỳ
ễ ễỉ
ặ ề ể ề í ẵ ỉ ề

ề ỉ Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ø

¹ ÌỨỊ Ø Đ Ì ề ỉ ề ạ
é ữá
ạ è ữề ỉệ ề

ậ ễ ẹá

ặề


ặề


½

Å

½º Äù Ĩ
Ị ó Ø

Í

Ø Ị Ø
Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị Ú Ị ó
ưỊ Ị Ø
ØĨ Ị
¸ Ý
Ị Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị Ơ Ị ØĨ Ị ×
ễ ủễ ỉ ề ỉ ặ ề ĩíũề
ì Ø
ÐÙ Ị Ú Ị Ð ÷ Ø Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø
ØƯĨỊ Ơ Ị ØỊ
Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị
º
ưĐ
÷ظ Ị Ø Ị Ị Ø

Ø Ị Ø
ỉệểề ỉể ề ì
ễ é
ệ ỉ á Ị Ị
Ø ư Ị
Ị ư Ơ ề ỉệứề ữ ễ ề ỉệứề
é ề
á ề Ú Ø ÕÙ
Ị

Ị ØỊ ØĨ Ị
ễ ỉ ề ẻ ữ
ỉứẹ

ỉể ềá Ð
Ú Ơ Ị ÐĨ
Ị Ð Ị óĐ × í ẹũ
ề ựỉ
ề á
ữỉ é ề ề Ị
Ị ØƯ
Ø ơƠ Ị Ý ØĨ Ịº
ØĨ Ị
× Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø
Ư Ø
Ị Úó ó Ø ¸ Ơ ĨỊ Ơ Úó
Ị
ÐĨ Ú Ơ
Ơ Ú Ị óÙ Ø Ị Ø Ù

Ơ

Ị Ùº
ó Ø È Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø
ØƯĨỊ Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ
Ð Ị
Ị Đ Ơ Ị ĐĨỊ ĐÙ Ị
Ị Ø Ị Úó Đ Ø ó Ø Ơ
ƠĐ
× Ù Ị Ý
Ø ư Ơ
Ú Ø Ø

Ĩ Ú ÷
Ị Ị
Ĩ
Ø Ð Ị Ị Ý
ĐøỊ ØƯĨỊ Ị ØƯ Ị Ơ Ø Ị º
ó Ø Ị Ý Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị óÙ
ÙÝịỊ ó¸ ØƯĨỊ


Ú Ị ó Úó
ØƯ Ị ¸ ØùỊ
Ø Ú ừề
ẹ ì á ì ề

ỉ ề ỉ

ế ề ỉ
ề
ạ á
í ạ ề
ểì á

ắ
ự
ề ũề


ặ ẹ ữ ỉ ề ỉ ề ÕÙ Ị

ØĨ Ị Úó
Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị
ØỊ Ð Ị



Ị Đ ẹ
ặ ẹ
ẹ ỉ ì ỉ ỉ ú ữ
ì ề ẹ ỉ ì é Ơ Ø Ị Ø
ư
Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị
º

¿º

Ø Ị Ú Ơ Đ Ú Ị ịỊ

Ù

Ỉ ịỊ
Ù

ØĨ Ị
× Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø
ư Ú
÷ Ø Ị

ơỊ Ø
Ð ịỊ ÕÙ Ịº
Ỉ ịỊ
Ù Ø

ỉ é ữá ể ỉệứề
ậèậ ặ íừề ẻ ề á

ỉ é ữ
ề
ìề
á ỉ ì

íũề ỉể ềá ỉ ễ
ù ØĨ Ị
Ú ØÙ
ØƯ𸠺 º º

ºÈ

Ị Ơ Ơ Ị ịỊ
Ù

Ỉ ịỊ
Ù ØƯ
Ø ơƠ Ø

Ø Ð ÷Ù
Ø Ý
Ị Ị

Ị
Ú ịỊ ØƯĨỊ Ð ễ

ề ỳ

èể

ể

ẹ ỉ úỉ ễ



ễ
ể ữ

ề

ề

íá

ềá


Ị Ị ÷Ơ
Ị

Ĩ Ú ịỊ Ú




¾

× Ị ØỨỊ
Ơ Ø Ị º
ó Ø Ị Ơ Ø Ø

Ĩ Ú ÷
Ị Ò
Ó
Ø Ð Ò Ý



ÙÝịỊ
ó ØĨ Ị ØƯĨỊ ØƯ Ị ÌÀÈ̸ Đ Ð Ị óĐ Đ Đị × Ị Ø Ĩ Ø Ị Ị
ØĨ Ị
Ị Ị غ

º

Ù ØƯ
ÐÙ Ị Ú Ị

ÄÙ Ị Ú Ị Ĩ Đ Ơ Ị Đ Ù¸ ¿
Ị ¸ Ơ Ị ÐÙ Ị ề ẹ
ỉ
é ữ ỉ ẹ ể
ề ẵ ụề ỉ

ề
ặ
é ẹ ỉì ỉ ề ỉ

ề ỉ
ề ỉ
ạ á ỉ ề ỉ

íạ ề
ểì á ỉ ề ỉ
ềì ề
ĩ ẹ àá ỉ ề Ø
Ð Ị
ØƯĨỊ Ø Đ
´Ü ẹ à
ề ắ ẩ

ề ỉệứề á ữ ễ

ề ỉệứề é

ề



ề Ơ

ØĐ Ø×
ØĨ Ị × Ùº
· Ơ Ị ØỊ Ð Ị
Ị Ơ Ị Ơ Ơ × Ị ØùỊ
Ø Ị Ø
¸ Ø Ị Ø

Ị¸ Ø Ị Ø
Ð Ị
ØƯĨỊ
·Ë Ị Ø Ị Ø
Ð Ị
ØƯĨỊ Ø Đ
ư × Ị Ø Ĩ Ú
Ø Ù Ø Ơ Ị ØỊ Ð Ị
ề
Ã
ữ ễ ề ỉệứề
ề ễ ề ễ ễ ìể ì Ị º
· ØĨ Ị ØøĐ

ØƯ ¸ Ị Ị Ị Ø Đ
º
Ị ¿º Å Ø ×
ØĨ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị
Ø Đ Ø × Ơ Ị ØỊ Ú
ØỊ Ị Ơ


Ø
Ð ề

ì
ìể ì ề

ề ễ

ễ

ỉ
ỉ ẹ
ĩí ề
ữễ

ề




ặ ẵ

ốặ è

ặ ỹ


ề ề í
ÙỊ
Ơ Đ Ø × Ø Ị Ø
ÕÙ Ị ØƯ Ị ư Ơ
Ú
Ĩ
Ú ÷

Ị Đ Ị Ø Ị Ø
Ð ịỊ ÕÙ Ị Ú
÷Ø Ð
Ị
ử ếíụỉ
ể

ễ ề ì

ẵẵ è ặ è
ạ
ề é ẵẵ ì x1, x2, . . . , xn Ð

×
√
n

x1 + x2 + Ã Ã Ã + xn
n
ề ỉ

ĩ íệ


ỷ

ẵắ è ặ è
ề é ẵắ ẻ ẹ

ẵẵà

x1 x2 . . . xn .

ạ ặ ầẻậ
ì

(xi) , (yi ) ỉ ÐÙ Ị
2

n

≤

xi yi
i=1

Ü ÝƯ

Ơ× Ø

Đº Ã

x1 = x2 = · · · = xn .

n

Ù Ò Ø
Ø
Ð ỉ ềỉ

ề


ỷ
,

n

xi

2

i=1

ề

ẵắà

yi 2 .
i=1

(xi) , (yi ) ỉ éữ ề á
ề ỉ
ề ẳì ể
ể

xi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, ..., nº

½º¿º è ặ è ặậ ặ
ề é ẵ ì ẹ × f (x) Ð ịỊ Ø

ØƯịỊ I(a, b) ´ØƯĨỊ
Ị Đ Ð Đ Ø ØƯĨỊ

Ø Ơ [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)µº Ã
Ú
ư Đ × f (x) Ð ØƯịỊ I(a, b) Ð

f

x1 + x2
2

f (x1) + f (x2)
, ∀x1 , x2 ∈ I(a, b).
2

½º è ậ

è ặ è

ẵ ẵ ề
ĩề

ặ



I(a, b)

ú ữề
ề

ẵà

èấầặ è


ØĨ Ị ½º½º

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ

ABC ¸ Ø óÙ
3
.
2

cos A + cos B + cos C

ỉể ề ẵắ

ề ẹ ề ệ ề ỉệểề Đ Ø Đ
A
B
C
cos + cos + cos
2
2
2

ØĨ Ị ½º¿º
ØĨ Ị ½º º

3
.
2

sin A sin B sin C

√
3 3
.
8

´½º µ

ABC ¸ Ø óÙ

1

.
8

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ ỉ ẹ

ẵ à

ABC á ỉ ú

ề ẹ ề ệ ề ỉệểề ẹ ỉ ẹ
A
B
C
sin sin
2
2
2

ẵ à

ABC á Ø óÙ

√
3 3
.
2

B
C
A

+ sin + sin
2
2
2

sin

ØĨ Ị ½º º

ABC ¸ Ø óÙ

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ ẹ ỉ ẹ
sin

ỉể ề ẵ

ẵ à


3 3
.
8

ề ẹ ề ệ ề ỉệểề ẹ ỉ ẹ

ẵ à

ABC ỉ ú

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ

sin A + sin B + sin C

ØĨ Ị ½º º

√
3 3
.
2

1
.
8

A
B
C
cos cos cos
2
2
2

ØĨ Ị ½º º

ABC Ø óÙ

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ
cos A cos B cos C

ẵ à

ẵẵẳà
ABC, ỉ ú
ẵẵẵà


ØĨ Ị ½º º

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ

ABC ¸ Ø óÙ
9
.
4

sin2 A + sin2 B + sin2 C

ỉể ề ẵẵẳ

ề ẹề ệ ề ỉ Đ

Ị Ị ABC ¸ Ø óÙ
√
3 3.

tan A + tan B + tan C

ØĨ Ị ½º½½º

Ị ĐỊ Ư ề ẹ ỉ ẹ

tan

ỉể ề ẵẵắ
ỉể ề ẵẵ

ề ẹề ệ Ò Ñ Ø Ñ

tan A tan B tan C

Ò Ø é ề

ỉể ề ẵẵ

ề ề ABC á ỉ é ề



ẵẵ à

ề ẹ ề ệ ề Ị Ð × Ị ÙÝịỊ
1

A
B
C
+ tan2n + tan2n
2
2
2

3n−1

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ

√

B
C
A
+ cot + cot
2
2
2

A
B
C
cot cot
2
2
2

´½º½ à
ẵẵ à

3.

ABC á ỉ ú

3 3.

ề ẹ ề Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ
cot

.

ABC ¸ Ø óÙ

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ
cot

ØĨ Ị ½º½ º

´½º½ µ

3 3.

cot A + cot B + cot C

ỉể ề ẵẵ

ẵẵ à

1
.
3 3

ề ẹ ề ệ Ị ØƯĨỊ Ø Đ

tan2n

√
3.

ABC ¸ Ø óÙ

A
B
C
tan tan
2
2
2

ØĨ ề ẵẵ ể ỉ ẹ
ABC

ẵẵà

ABC á ỉ ú

B
C
A
+ tan + tan
2
2
2

tan

ẵẵắà


3 3.

ẵẵ à

ABC, ỉ é ề
ẵắẳà


ØĨ Ị ½º½ º

Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Ø Ñ

Ò Ò ABC, Ø ÐÙ Ò
1
√ .
3 3

cot A cot B cot C

ẵắẵà

ẵ ắ ề
ề
ĩề
ỉể ề ẵẵ Ỵ Đ Ø Đ

ABC, Ø óÙ
−2k2 − 1
2k
−2k2 − 1
2k

a) cos 2A + cos 2B + k cos 2C
b) cos 2A + cos 2B + k cos 2C

Ị Ø
Ü ÝƯ

ÝØ Đ

Ú
û

cos(A − B)


cos C =
2k


cos2(A − B) = 1

ABC
Ị Ø

Ú

2

2

ØĐ

Ú
û


cos(A − B)

cos C =
2k
cos2(A − B) = 1

ABC
ề ỉ

ỉể ề ẵắẵ ể

ì
ABC, ỉ ú


ề

cos C =
x, y, z

k > 0.

ẵắ à

k < 0.

ẵắ à


cos C = 1

2k
A = B
1
.
2k

ì ể
Ó x1 + y1

x cos A + y cos B + z cos C

1
º
z

x + y − z.

Ò Ø

Ü ÝÖ
Ú
û A = B = 0, C = π.
Ỵ Ý Ị Ø
ØƯĨỊ
ØĨ Ị Ü Ý Ư
Ú
ỷ ỉẹ
A = B = 0, C = .

ẵắà

1
.
2k

(2k + 1)2
4k
(2k + 1)2
4k

2

b) sin2 A + sin2 B + k sin2 C

ÝØ Đ

k < 0.

¸ Ø óÙ

a) sin A + sin B + k sin C

Ù Ò Ø
Ü íệ

ẵắắà


1

cos C =
2k



A=B

cos C =

ỉể ề ẵắẳ ẻ ẹ ỉ ẹ

k > 0.



ẹ
ẵắ à

ABC ìí ụề

ặ ắ

ẩ ặ èấỡặá
ở ẩ ặ èấỡặ ặ
ặ ẩ ặ ẩ ẩ ậầ ậ ặ
ệ
ệ
ì
é

è Ð ÷Ù Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ơ Ị Ơ ễ ú
ễ ề ỉệứề á ữ ễ ề ỉệứề
ỉ ề óÙ¸
Ị
Ø ư Ú
Ơ Ị ØỊ ¸ ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị
Ð
Ø ùغ ÉÙ Ø
Ị Ị ịỊ
Ù¸ ØøĐ Ø Ú Ơ Ị ÐĨ Ø Ü Ị ØỊ Ý Đ Ø
Ị ÙỊ Úó ữ
ì ề ỉ ề ỉ
ễ ề ỉệứề á ữ ễ ề ỉệứề
ề

ề ề óÙ ØĨ Ị Úù Đ Ị
Ú Đ Ø× Ú Ị ề

ắẵ ẩ ặ èấỡặ ặ
ặ ẩ ặ
ẩ ẩ ậầ ậ ặ
ắẵẵ ẩ ề ễ ễ × Ị ØùỊ
Ø
Ø Ị Ø
ØĨ Ị ¾º½º Ơ Ị ØỊ
sin x +

ØĨ Ị ¾º¾º

Ơ

√

3 cos x sin 3x = 2.

Ị ØỊ

cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2º

ØĨ Ị ¾º¿º

Ơ

Ị ØỊ

sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) +

ØĨ Ị ¾º º

Ơ

5
cos 2xº
4

Ị ØỊ

sin6x + cos6 x
1
10
10
(sin x + cos x) =
º
4
sin2 2x + 4cos2 2x


ØĨ Ị ¾º º

Ơ

Ị ØỊ

cos5x + sin5x + sin 2x + cos 2x = 1 +

ØĨ Ị ¾º º

Ơ

√

2º

Ị ØỊ
sin13x + cos14 x = 1º

ØĨ Ị ¾º º

Ơ

Ị ØỊ

cos4x + sin4x +

ắẵắ ẩ
ỉể ề ắ

1
1
sin x

+
=
8
+
4
cos4 x sin x
2

ề Ơ Ơ×
Ơ

Ị

Ø Ị Ø


Ị ØỊ
sin8 2x + cos8 2x =

ỉể ề ắ ẻ

2nN

á

ễ

1
tan x + cot x
4

ỉể ề ắẵẳ

ễ

1

8

ẵà

ề ỉệứề
n

= sinn x + cosn x

ề ỉệứề



1
1
+
= 2 2, x 0;
sin x cosx
2

ỉể ề ắẵẵ

ễ

ề ỉệứề
sin5 x +



3 cos x = 3º

º

Ò


ỉể ề ắẵắ

ễ

4x +

ỉể ề ắẵ


2
+ sinx + cos x = 4 + 1,
x

ễ
cos x

ỉể ề ắẵ

ề ỉệứề

ề ØỊ
1
− 1 + cos 2x
cos x

Ơ

2 − sin2x + sin x. 2 − sin2x = 3º

Ơ

Ị ØỊ

2 cos x +

ØĨ ề ắẵ

ễ

1
1 = 1
cos 2x

ề ỉệứề

sin x +

ỉể ề ắẵ




2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x. sin xº

Ị ØỊ
sin x + sin 2x + sin 3x =

ỉể ề ắẵ

ễ

x 0;

5

2

ề ỉệứề
tan2 x + tan2 2x + cot2 3x = 1

ỉể ề ắẵ º

Ơ

Ị ØỊ

√
3 3
sin x + sin y + sin(x + y) =
2

ỉể ề ắẵ

ễ

()

ề ỉệứề

cos 3x +



2 cos2 3x = 2(1 + sin22x)º

π
2

º


ẵẳ



ắẵ ẩ
ỉể ề ắắẳ

ề ễ ễì
ễ

ề

ỉ ề ỉ

é ề

ề ØỊ

cos x + cos 3x − cos 4x =

ØĨ Ị ¾º¾½º

Ơ

3
2

(∗)

Ị ØỊ
(∗)º

8 cos x. cos 2x. cos 3x + 1 = 0

ØĨ Ị ¾º¾¾º

Ơ

Ị ØỊ

√
tan x + tan y + tan z = 3 3

ØĨ Ị ¾º¾¿º

Ơ

Ị ØỊ

sin2 x + sin2 y + sin2 z =

ØĨ Ị ¾º¾ º

Ơ

9
4

Ơ

(∗)º

Ị ØỊ

cos 2x − cos 2y + cos 2z =

ØĨ Ị ¾º¾ º

(∗)º

3
º
2

(∗)

Ị ØỊ

√
5
3 (cos 2x + cos 2y) + cos 2z = − º
6

ØĨ Ị ¾º¾ º

Ơ

Ị ØỊ

1
sin2 x + sin2 y + sin2 z = 2
2

(∗)º

(∗)

ØƯĨỊ Ø Đ


½½

ØĨ Ị ¾º¾ º

Ơ

Ị ØỊ
3
− cos2 3y
4

(∗)º

3 cos x + 7 cos y + 2 cos z = 8

(∗)º

sin2 3x + sin23z =

ỉể ề ắắ

ễ

ề ỉệứề

ắẵ ậ ề Ø Ị Ø
Ð Ị
ØƯĨỊ Ø Đ
ư × Ị
Ø Ĩ Ú Ü Ý Ị Ø Ù Ø Ơ Ị ØỊ Ð Ị
Ị
ØĨ Ị ¾º¾ º Ơ Ị ØỊ
sin2 x + sin2 y + sin2 (x + y) =

9
(1)º
4

È Ị ØỊ ØƯịỊ ơỊ Ø Ð ịỊ Ø Ị ơỊ Đ Ø Ø Ị Ø
Ð Ị
Ị ØƯĨỊ Ø Đ
ØƯĨỊ
ØĨ Ị ½º
sin2 A + sin2 B + sin2 C

9
(2)º
4



Ị Ø
Ü ÝƯ
Ú
û Ø Đ
ABC óÙº
ÌƯĨỊ Úơ ØƯ
(2) Ð Ý A = x, B = y, C = π − (x + y)¸Ø Ø Ù
Úơ ØƯ
(1)º
Ä
(1)
Ị Ø Ù
ØƯịỊ

× Ơ Ơ
Ị Đ Ị Ø Ị Ø
(2)º
Ä

º

Ì
(1) ⇔ 1 −

cos 2x + cos 2y
9
+ sin2 (x + y) =
2
4

⇔ 1 − cos(x + y) cos(x − y) + 1 − cos2 (x + y) =
⇔ cos2 (x + y) + cos(x − y) cos(x + y) +

È

Ò ØỊ

(3)

Ð Ơ

∆ = cos2 (x − y) − 1 ≤ 0

ể áễ

ề ỉệứề

(3)

ề ỉệứề

ề ữẹ



1
= 0.
4

9
4

(3)

ỉ ể cos(x + y)¸ Ø


½¾

cos2(x − y) = 1


 cos(x − y) = 1



1
cos(x − y)

=−
  cos(x + y) = −
2
2

⇔
  cos(x − y) = −1



cos(x − y) 1

 cos(x + y) = −
=
2
2



 x − y = k2π





2π



x
+
y
=
+
l2π


3


   x − y = k2π





  x + y = − 2π + l2π



3
⇔ 
⇔
  x − y = π + k2π






π


x + y = + l2π



3

   x − y = π + k2π





π

 x + y = − + l2π


3






⇔






x − y = k2π

2π
+ l2π
3
x − y = π + k2π
π
x + y = ± + l2π
3

x+y =±

π
+ kπ + lπ
3
π
y = + lπ − kπ
3π
x = − + kπ + lπ
3
π
y = − + lπ − kπ
3
2π
x=

+ kπ + lπ
3
π
y = − + lπ − kπ
3
π
x = + kπ + lπ
3
2π
y = − + lπ − kπ
3

x=

º

Ì Ĩ ØƯịỊ Ø ×ÙÝ Ư Đ Ø Ị ư × Ị Ø
Đ Ø ÐĨ Ø

Ơ Ị ØỊ Ð Ị

Ị Ø Ú Ì Đ Ø Ø Ị Ø

Ị ØƯĨỊ Ø Đ
¸ ØƯĨỊ Ø
Ị Ø

¸ ¸
Đ Ø Ø Đ
Ø ÐỊ Ð Ø Ð Ý
A = f (x, y), B = g(x, y), C = π − [f (x, y) + g(x, y)]

Ú Ø Ý Ù Ø Ò Ø
Ò Ù Ò ỉ
á ỉ ì
ẹ ỉ ễ ề ỉệứề
é ề
Ị x, y Ø Ị Ị º Ị Ú ÷
Ơ Ị ØỊ Ø ø Ø Ị

Ø ơỊ Ị Ø Ị Ø Ị

ØỊ Ý ØƯịỊº

Ð Đ ØƯịỊ
Ị Ơ Ð
Ị Ĩ
Ị Ø Ị
Ị ¸
Ø ư Ø × Ị Ø

Ị Ị Ơ Ị
ØỊ Ð Ị
ỊỊ Ị Ø
Ị
Ơ Ị ØỊ Đ Ø Ú × Ị
Ø

ºÌÙÝ Ị ịỊ Ý Ð Đ Ø Ơ Ị Ơ Ơ ØĨ Ị Đ Ư Ø Ị ÕÙ Ị Ø Đ¸ Ị
Ĩ Ø Ị óÙ Ơ Ị ØỊ Ø Ú
ó é ề é


ẻự

ắẵ ỉ ỉ ề ỉ
ỉệểề

ỉ ẹ
ABC óÙº
Ì Ð Ý A = x, B = y, C = π − (x + y) Ø

ØĨ Ị ẵẵá ề ỉ
ĩ í ệ


ỉể ề ì


û


ẵ

ỉể ề ắẳ

ễ

ề ỉệứề
cos x + cos y cos(x + y) =

Ä

3
º
2

º

È
2 cos

Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ị

Ị Ú

x+y
x−y
x+y
. cos
− 2cos2
−1
2
2
2

⇔ cos2

=

3
2

x+y
x−y 1
x+y
− cos
. cos
+ =0
2
2
2
4
2

x+y 1
1
x−y
x−y
⇔ cos
+ sin2
− cos
=0
2
2
2
4
2



x+y
1
x−y
1
x−y
x+y


 cos
 cos
= cos
= cos
2
2
2
2
2
2
⇔
⇔
x
−
y
x
−
y



 sin
 cos
=0
= ±1
2
2

x−y

 cos
=1

2

x+y
1

=
  cos
2
2

⇔
º
x−y

 cos
= 1

2

cos x + y = 1
2
2

ẻự

ắắ Ø Ø Ị Ø
ØƯĨỊ

B=

y 3y
3y
,C = π − x +
2
2
2

ỉể ề ắẵ

ễ

ề ỉệứề

cos x


ỉể ề ẵẵá ỉ Ð Ý A = x − y2 ,

= π − (x + y)á ỉ
ỉể ề ì

y
3
3y
cos(x + y) = º
+ cos
2
2
2

º

È
2 cos

Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ị

Ị Ú

x+y
x+y
x − 2y
. cos
− 2cos2
−1
2
2
2

=

3
2


½

⇔ cos2

x+y
x+y
x − 2y 1
− cos
. cos
+ =0
2
2
2
4
2

1
x − 2y
x − 2y
x+y 1
+ sin2
− cos
=0

⇔ cos
2
2
2
4
2


x+y
x+y
1
x − 2y
1
x − 2y


 cos
 cos
= cos
= cos
2
2
2
2
2
2
⇔
⇔
x
−

2y
x
−
2y


 sin
 cos
=0
= ±1
2
2

x − 2y

 cos
=1

2

1
x+y

=
  cos
2
2

⇔
º


x − 2y
  cos
= −1

2


 cos x + y = 1
2
2

ẻự

ắ ỉ ỉ ề ỉ
ỉệểề

ØÙ
ØĨ Ị ¾º¿¾º Ơ Ị ØỊ

C = π − (2x + 2y)

ỉể ề ẵ á ỉ é í A = 2x, B = 2y,
ØĨ Ị × Ùº

sin x + sin y + cos(x + y) =

ẻự

ắ ỉ ỉ Ị Ø

ØƯĨỊ

Ú ØÙ
ØĨ Ị ¾º¿¿º Ơ Ị ỉệứề

C = (2x + 2y)

ỉể ề ẵ á Ø Ð Ý A = 2x, B = 2y,
ØĨ Ị × Ùº

sin x sin y cos(x + y) =
Ä

3
º
2

1
º
8

º

È

Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ị

Ị Ú

4 cos(x + y) (cos(x − y) − cos(x + y)) = 1

⇔ 4cos2 (x + y) − 4 cos(x + y). cos(x − y) + 1 = 0

⇔ [2 cos(x + y) − cos(x − y)]2 + sin2 (x − y) = 0
⇔

2 cos(x + y) = cos(x − y)
sin(x − y) = 0

⇔

2 cos(x + y) = cos(x − y)
cos(x − y) = ±1


½







⇔





Ỵù

cos(x − y) = 1

1
2
cos(x − y) = −1
cos(x + y) =

cos(x + y) = −

º

1
2

¾º º Ì

Ø Ị Ø
ỉệểề
ỉể ề ẵ á ỉ é é í A = 2x − y,
ØĨ Ị × Ùº
B = 3y, C = π − 2(x + y) Ú Ø Ù

ØÓ ề ắ

ễ
sin

ẻự

ề ỉệứề

3y
1
y 2x
. sin . cos(x + y) = − º
2
2
8

¾º º Ù
Ị Đ
Ò Ý¸ Ø ÕÙ Ý Ð Ü Ø Ø Ò ỉ
ỉệểề

ẵẵá ỉ ỉệự
ệ



ễ

ề ỉệứề

cos x + cos y − cos(x + y) =

3
2

(1)

cos(2x − y) + cos(2y − x) − cos(x + y) =

Ị

(1)Ú (2)

Úơ Ø Ĩ ụ ỉ

ỉể ề ắ

ễ



3
2

(2)

ỉể ề ì

ề ỉệứề

cos x + cos y + cos(2x − y) + cos(2y − x) = 3 + 2 cos(x + y)º
Ä

º

È

Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ò

Ò Ú

[cos x + cos(2y − x)] + [cos y + cos(2x − y)] = 3 + 2 cos(x + y)
⇔ 2 cos y cos(x − y) + 2 cos x cos(x − y) = 3 + 2 cos(x + y)
⇔ 2 cos(x − y) (cos x + cos y) = 3 + 2 cos(x + y)
⇔ 4 cos(x − y) cos

x−y
x+y
x+y
cos
= 3 + 4cos2
−2
2
2
2

ØĨ Ị


½

⇔ 4cos2

x+y
x+y
x−y
− 4 cos(x − y) cos
cos

+1=0
2
2
2
2

x−y
x−y
x+y
+ 1 − cos2(x − y)cos2
− cos(x − y) cos
=0
⇔ 2 cos
2
2
2

x+y
x−y


− cos(x − y) cos
=0
 2 cos
2
2
⇔

x−y


 1 − cos2 (x − y)cos2
=0
2

x+y
x−y


 2 cos 2 − cos(x − y) cos 2 = 0
⇔


 1 − cos2 (x − y). 1 + cos(x − y) = 0
2

 2 cos x + y − cos(x − y) cos x − y = 0
2
2
⇔

cos3(x − y) + cos2 (x − y) = 2


 cos(x − y) = 1
(∗).
⇔

 2 cos x + y = cos x − y
2
2

Ỵø cos(x − y) = 1 ỊịỊ 2cos2 x −2 y − 1 = 0
Ó

⇒ cos2




 cos(x − y) = 1
 cos(x − y) = 1
1
(∗) ⇔
⇔
2x + y
 cos x + y = ± 1

 cos 2 = 4
2
2



 cos(x − y) = 1
 cos(x − y) = 1
⇔
1
1 + cos(x + y) 1 ⇔ 



cos(x + y) = .
=
2
2
4

ắắ ở ẩ ặ èấỡặ ặ
ẩ ẩ ậầ ậ ặ
ỉể ề ắ
ữ ễ ề ỉệứề

sin x + sin y =

Á

√

2
√
cos x + cos y = 2.

x−y
= 1º
2

Á Á

(∗)

Ỉ ÈÀ Ỉ

ẵ

ỉể ề ắ

ữễ

ề ỉệứề
sin x + sin y = sin(x + y)
|x| + |y| = 1.

ØĨ Ị ¾º¿ º

ØĨ ề ắ

ữễ




tan x + cot x = 2 sin y +
(1)
4
π

 tan y + cot y = 2 sin x
. (2)
4

ỉể ề ắ ẳ

ắ

ề ỉệứề

èầ ặ
ỉể ề ắ ẵ èứẹ

ữễ

ề ỉệứề


cos 2x + 3 cos x = 2 cos y



cos 2y + 3 cos y = 2 cos z



cos 2z + 3 cos z = 2 cos x.

÷Ơ

Ị ØỊ


tan2 x + tan2 y




2 cos 2x +
=2


1 + tan2 x


tan2y + tan2 z
=2
2 cos 2y +
2

1
+
tan
y




tan2 z + tan2x

 2 cos 2z +
= 2.
1 + tan2 z

ÌÊü¸ ỈÀ Ỉ

Ỉ Ì Å Á

ØƯ Ð Ị Ị Ø

Đ×

y = sin9x + cos12xº


ẵ

ỉể ề ắ ắ èứẹ

ỉệ ề ề ỉ

ẹì

y = (sin x + sin y)2 + sin2 z − 2(sin x + sin y) + 7º

ØĨ Ị ¾º ¿º ÌøĐ
y=

sin x +

√

ØƯ Ị Ị Ø

Đ×

3 cos x . sin 3x + cos x −

ØĨ Ị ¾º º ÌøĐ

ØƯ Ị Ị Ø

π
π
+ cos 2x −
+ sin 3xº
6
3

Đ×

y = sin8 2x + cos82x + 4cos42x − 4cos22x + 3



ØĨ Ị ¾º º Ĩ m, n Ð

× Ø Ị ịỊ Ð ề ề ẵ èứẹ

ẹì

y = cosm x.sinn x,

èứẹ

ỉể ề ắ º Ĩ a, b, c Ð
ØƯ Ð Ị Ị Ø

y=

αi ∈

ÌøĐ

asin2 x +

x ∈ 0;

× Ø
Ư ịỊ

Đ×

b
sin 2x + ccos2 x +
2


.
2

ữỉ ử ẹ ì ì
Ị ú º

acos2 x +

ØĨπ Ịπ ¾º º Ĩ

× Ø
αi(i = 1; 2016) Ø
;
6 2

ØƯ Ð Ị Ị Ø

b
sin 2x + csin2 xº
2

Đ ề ú ữề

ử ỉ
2016

2016

sini

C=
i=1

ỉể ề ắ ể ỉ Đ
ABC º ÌøĐ
M=

ØƯ Ð Ị Ị Ø

i=1

1
sin αi

º

ØƯ Ò Ò Ø

1
1
1
+
+
º
2 + cos 2A 2 + cos 2B 2 − cos 2C

öÙ Ø


½

ØĨ Ị ¾º º Ĩ Ø Đ
ABC º èứẹ

ử ỉ

ỉể ề ắ ẳ ể ỉ ẹ

ABC èứẹ

ử ỉ

ỉể ề ắ ẵ ể ỉ Đ
ABC º ÌøĐ

Ø

ØƯ Ị Ị Ø
cos 3A + cos 3B − cos 3C.º

ØƯ Ị Ị Ø
(1 + cos2 A)(1 + cos2 B)(1 + cos2 C)º
ØƯ Ị Ị Ø
√
2(cos 2A + cos 2B) + 3 cos 2C º

ØĨ Ị ¾º ¾º Ĩ Ø Đ
ABC Ị Ịº ÌøĐ

ØƯ Ị Ị Ø

Ø

tan5 A + tan5B + tan5C
K=
º
tan A + tan B + tan C

ØĨ Ị ¾º ¿º Ĩ Ø Đ
ABC Ø
cot

ÌøĐ

ØƯ Ị Ị Ø

Đ Ị ÷Ø

A
B
C
+ 2 cot 23 cot = 0
2
2
2

úề

cosC.

ầéíẹễ
ẳạ ạắẳẳ µ

ØĨ Ị ¾º º Ĩ Ø Đ
ABC Ị Ịº ÌøĐ
√
A
B

3 sin . sin
2
2 º
P =
5
4. 1 +
−1
C
sin
2

ØĨ Ị ¾º º Ĩ

×

Ị
1 1
−
x y

ÌøĐ

ØƯ Ð Ị Ị Ø

´ óỊ

x, y, z
1
z

Ø

ØƯ Ð Ị Ị Ø
ầéíẹễ
ẳạ ạắẳẳ à

ẹ ề ú ữề

1 1
+ .
x y

öÙ Ø
x sin A + y sin B − z cos C º

öÙ Ø


ắẳ

ặ

èậ

èầ ặ ổặ ẫ ặ

èệểề ễ Ị Ị Ý Ư Đ Ø × Ơ Ị ØỊ ¸ ÷ Ơ Ị ØỊ Ị Ơ


Ø

Ð Ị
Ú
× º Ú Ị Ị Ý Ø ø Ơ Ị Ơ Ơ ×Ĩ × Ị
× ề
é ề ề á
ữỉ
ì ĩ ỉ ÷Ị ØùỊ
Ø Ị ÷Ù¸ Đ
ØƯ Ị º

ØĨ ề ẵ

ễ

ề ỉệứề
cos2 (2016x) = ln(1 + e)

ỉể ề ắ

ễ

ề ØỊ
π |sin

ØĨ Ị ¿º¿º Ỵ

n∈N

Ú

√

n > 2.

x|

= |cos x|º

À Ý ØøĐ x ØƯĨỊ

sinn x + cosn x = 2

ØĨ Ị ¿º º

Ơ

2−n
2

ĨỊ

º

Ị ØỊ
ln sin2 x − 1 + sin3x = 0º

ØĨ Ị ¿º º

Ơ

Ị ØỊ

cos4 x + sin4 x +

ØĨ Ị ¿º º

Ơ

1
sin y
1
+
=
8
+
º
cos4 x sin4 x
2

Ị ØỊ
6 − 4x − x2 =

5
y
y
sin . cos
x
x

º

0;

π
2

Ø


¾½

ØĨ Ị ¿º º

Ơ

Ị ØỊ
2log3 tan x = log2 sin xº

ØĨ Ị ¿º º

Ơ

Ị ØỊ
2x

2

2cos

ØĨ Ị ¿º º

Ơ

+x
= 2x + 2x
6

().

ề ỉệứề
x2
1
= cos x
2

ỉể ề ẵẳ

ễ

ề ỉệứề

sin x + cos x − sin x cos x = 1 − ln

ØÓ Ị ¿º½½º

Ơ

3 + sin x + cos x
º
4 + sin x cos x

Ị ØỊ
log2(cos x + 1) = 2 cos x

ỉể ề ẵắ

ễ

ề ỉệứề

(1 + cos x)logcos x sin x = (1 + sin x)logsin x cos x º

ØĨ Ị ¿º½¿º
2+

√

2

Ơ
sin2 x

Ị ØỊ

√
− 2+ 2

cos2 x

+ 2−

√

2

cos 2x

=

√

2
1+
2

cos 2x

º


¾¾

ØĨ Ị ¿º½ º

Ơ

Ị ØỊ

√
21−3 sin x + 1 + 3 sin x = log2(1 − 9 sin x)º

ØĨ Ị ẵ

ễ

ề ỉệứề

sin1975x cos1975x =

ỉể ề ẵ

ễ

1
sin

2007

x

úề



1
cos2007x



ầéíẹễ

ẳạ ạắẳẳ à

ề ỉệứề

32009x+3 cos x 32009x+4cos x − 3 cos 3x = 0º
3

´ óỊ

ØĨ Ị ¿º½ º
sin x.

2008

Ơ

Ị ØỊ

√
sin2x + 2008 − (cos x + 1). 2008 cos2 x + 2 cos x + 2009 =
= cos x sin x + 1

úề

ỉể ề ẵ

ữễ

ữễ

ầéíẹễ
ẳạ ạắẳẳ à

ề ỉệứề

tan x tan y =
xy
cos x + cos y = 3

ỉể ề ẵ

ầéíẹễ
ẳạ ạắẳẳ à


x, y ;
2 2

ề ØỊ

cos x − cos 2y = x − 2y (∗)
tan x = 3 tan y.
(∗∗)

º


ắ

ỉể ề ắẳ

ữễ

ề ỉệứề
sin x = y
sin y = x.

ỉể ề ắẵ

ữễ

ề ỉệứề


tan x = tan y
x
y
sin x + sin y = √2

(0 < x, y <

π
)º
2

ØĨ Ị ắắ ể ữ ễ ề ỉệứề

cos x = x2
y tan y = 1.

Ị Đ Ị Ư Ị ÷
Ị ÷Đ ÙÝ Ị Ø (x; y) Ø

Đ Ị 0 < x < y < 1.