Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông
HSG: Học sinh giỏi
BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi
SK: Sáng kiến
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
BT: Bài tập
NC: Nâng cao
CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát.
CSC: Cấp số cộng
CSN: Cấp số nhân
CMR: Chứng minh rằng
CM: Chứng minh
BĐT: Bất đẳng thức

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 1


Trng THPT Triu Thỏi Vnh Phỳc

Toỏn 11

BO CC KT QU NGHIấN CU, NG DNG SNG KIN:

Một số kĩ thuật tính giới
hạn của dãy số cho bởi hệ
thức truy hồi
I.

LI GII THIU:
Bi toỏn tỡm gii hn ca mt dóy s cho bi h thc truy hi l mt dng bi toỏn

khú, ũi hi nhiu k thut bin i tớnh toỏn. Bi toỏn ny thng xut hin trong
cỏc thi HSG cp tnh, thi Olympic 30 thỏng 4, thi quc gia v quc t. Cỏc ti
liu chuyờn sõu v chuyờn gii hn ca dóy s vn cũn rt hn ch; V hụm nay,
vi mong mun nõng cao cht lng ging dy BDHSG, cung cp cho cỏc em hc
sinh, c bit l cỏc em hc sinh khỏ - gii toỏn v yờu thớch toỏn cú thờm mt ti liu
tham kho v gii hn ca dóy s cho bi h thc truy hi, tụi ó nghiờn cu v hon
thnh SK nho nh ca mỡnh vi ta : Mt s k thut tớnh gii hn ca dóy s
cho bi h thc truy hi.
II. TấN SNG KIN:
Mt s k thut tớnh gii hn ca dóy s cho bi h thc truy hi
III. TC GI SNG KIN:
- H v tờn: Nguyn Th Thanh Lan
- a ch: Trng THPT Triu Thỏi
- S in thoi: 0978 205 898
- Email:
IV. CH U T TO RA SNG KIN: Nguyn Th Thanh Lan

Sỏng kin: Mt s k thut tớnh gii hn ca dóy s cho bi h thc truy hi

Trang 2

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi:
Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức
truy hồi - Đại số & giải tích 11.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:



GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và
đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy
hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:
A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTSHTQ của dãy số.
B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass.
A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:
1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ un của dãy số.
2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các

số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ un
Bước 2: Tính giới hạn của dãy số un  bằng cách tính lim un  ?
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 3


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

3. Một số ví
dụ: Ví dụ 1:

Tính giới hạn của dãy số un 



1

cho bởi: 





Phân tích: Ta nhận thấy: u1  3 
9

; u2 

18

u 3
u

 1u2;n1
n

 n 1


10



; u3 
28

11

;
38

u4  12  4  8 ; u5  13  5  8  Dự đoán: u n  n  8
Lời giải:
* Chứng minh u n  n  8 (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp).
* Tính giới hạn của dãy số un : Ta có: limun = lim n  8 

Ví dụ 2:

Tính giới hạn của dãy số un  cho bởi: u 1
1

u n 1  u n  3; n  1
Phân tích: Nhận thấy: un  un  3; n 1 nên dãy số un  là một CSC  un  ?
1
Lời giải:
u 1

nên dãy số un  là một CSC có số hạng đầu u1 1 và công

* Do  1
u n 1  u n  3; n  1

sai d = 3, do đó dãy số un có CTSHTQ là un  u1   n  1d  un  3n 
4 * Tính giới hạn của dãy số un : Ta có: lim un = lim 3n  4 

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 4


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)

 u  10
 1 1

Cho dãy số un xác định bởi: 
 un  3,n  1
u
 n 1
5


a) CMR dãy số vn  xác định bởi vn  un  15 là một CSN
4
b) Tính limun

Phân tích:
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm limun thì bài toán trở nên rất
khó và lạ đối với học sinh.
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số un nhờ
vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để
tính limun .
- Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt: vn  un 

15

4 để chứng minh dãy vn  là một CSN?
Thực ra vấn đề này không quá khó. Để chứng minh dãy vn  xác định bởi công

thức v 
u

u

n 1

 15 là một CSN, với u  1 u  3 (1), ta cần tìm số b sao cho
n 1
4
n
n
5 n
 b  1 (un  b)  un 1  b  1 b  1 un (2). Từ (1) và (2) suy ra: b  15 .
5
5
4
5
Do vậy, nếu đặt vn  un  15 thì vn 1  1 vn ,n 1 nên vn là một CSN

4
5
- HS có thể áp dụng phân tích này với các bài toán tương tự:

u  A

,

1

với A, B, C là các số thực.

u n 1  B.u n  C , n  1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 5



Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

 v  3.5n1 , n 1. Suy ra

- Ngoài ra, có thể đặt v  5n.u , n 1, khi đó ta có v
n

n

n 1

n

vn  15 (5  1)  35  un  v  15 5 1  35  1  1 n3  15
. n
 
n
n
4
4
5
5
4
5

4  5
n

n

n

Lời giải:
a) Thật vậy, ta có: vn 1  u n 1 

15

1
15 1
15
3 1
4  5 u n  3  4  5 (vn  4)  4  5 vn .

Vậy vn  là một CSN có công bội q  1 và có số hạng đầu v1  u1  15  25 .
5
4
4
n1
25  1
1 1

 n 1

Do đó vn  v1 .q



.





.



4  5
15 1  1 n3 15
b) Từ câu a) suy ra u n  vn 
 .  
.
4 4  5
4
15 

15 
1 
Do đó lim u n  lim  vn

4  5

n3





1 n2

  lim  . 
4 
 4 5 




15


.
4 4


Ví dụ 4:

Tính giới hạn của dãy số un xác định bởi: u1  2


u n 1  2u n  1; n 1
Phân tích:
- Ta nhận thấy: Dãy số un  xác định bởi:
u  A
1

u  2

có dạng:

1

u  2u n  1; n 1

 n 1
, với A, B, C  nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS

u n 1  B.u n  C ,n  1
có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 6


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

- Có: un 1  2un 1 (1), ta cần tìm số b để un 1  b  2(un  b)  un 1  2un  b (2). Từ

(1) và (2) suy ra: b 1. Vậy ta sẽ đặt vn  un 1 để giải quyết bài toán trên.
Lời giải:
Đặt: vn  un 1  vn 1  un 1  1  2un  2  2(un  1)  2vn . Suy ra dãy số vn  là
một
CSN có công bội q  2

và có số hạng đầu v  u  1 1  v  v .qn 1  n1
11

n



1

2



 un  vn  1  2 n1 1. Do đó lim un  lim vn  1  lim 2 n1  1  .

Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007)

Cho dãy số u xác định bởi:

u1  3


2un 1  un  1,n  1

n

Đặt S n  u1  u2  u3  ...  un ; n 1
a) CMR dãy số vn  với vn  un 1 là một CSN lùi vô hạn
b) Tính limSn
Lời giải:

a) Ta có v
n 1


u

n 1

 1  1 u  1  1  1 ( 1)  1 v , n  1
2
2
2u
n

n

2n
Suy ra dãy số vn là một CSN lùi vô hạn với công bội q = 1 . Nên v  1 n2
n
2
2
b) Từ câu a) suy ra u n
n

n

1

Vậy: Sn   u k  ( )
k 1

k 1 2

k 2

 1 n2

  1, n  1
 2
 1  n2

 vn  1  

 n 4  n  



2 

 limSn



 1 n2 

= lim  4  n  






 2

 




Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy un  bằng phép đổi biến: vn  2 n.un , n 1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 7



Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

1

Toán 11

1

Ta có vn 1  2n 1.u n 1  2n 1 ( 2 u n  2)  vn  2n ,n  1  vn 1  vn  2n ,n 1
Do đó v  v  v  v  v  ....  v  v  v  2n 1
... 26
 n2
n

n

n 1

n 1

n2

2

Hay vn  2(2 n 1  1)  6 

2  4  un  1  
n

1

2

1

 1 n2

2

Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007)

Cho dãy số un , xác định bởi: 

u  1
u 4

 1
n
u

 n1





un  6

,n  1

a) CMR: un 4, n 1
b) CMR: Dãy vn với vn  un 1 là một CSN. Tính limun
un  4

Lời giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un 4, n  1.
Khi n = 1 ta có u1  1 4 . Đúng
Giả sử uk 4, k 1, ta chứng minh uk 1 4 . Thật vậy, giả sử ngược lại uk 1 4 ,

khi đó uk  4 4  uk 4 , trái với giả thiết quy nạp. Vậy un 4, n 1
u 6
k

b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi n 1. Ta có:

u 1

un  4 1

2(un 1)

n 1





u

6

 2 v ,n .
n 1
n  4
 4 5(un  4) 5 n
u n 1  4
un  6
Vậy vn  là một CSN lùi vô hạn với công bội q = 2 và số hạng đầu v1  u1 1  2 .
v

n

u

5
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

u1  4

5

Trang 8


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

 2 n
n

Suy ra v   2  nên u 
n





4.

1

5
2

n

 5



1

 2 n
n

4.



1

5 
2 

. Do đó lim u  lim
n

n



1

5

1



 5

Ví dụ 7:

u  1


Tính giới hạn của dãy số un , xác định bởi: 
u


1

n 1

 un 



1
n(n 1)

,n  1

Phân tích:
u  1


u

- Nhận thấy dãy số un , xác định bởi:



1

n 1

 un 

1

,n  1

không có dạng:

n(n 1)

, với A, B,C  nên ta không thể áp dụng các ví dụ trên để

u  A
1

un 1  B.un  C,n  1

giải quyết bài toán này.
 u n 1  un 

1

Để ý rằng: Từ u n 1  u n 

n ( n  1)
u u  1 1 1
2

1
n(n

nên suy ra:

1)

1.2
2
1
1
u u 
 1
2
3
2.3 2 3
u  u  1  1 1
4
3
3.4 3 4
...

1
1
1
u u
 n  2  n 1
n 1
n2  n  2 . n  1


un

1

u

1

n1

1



1

 n  1 .n  n 1  n




Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 9


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Cộng vế theo vế ta được: u  u  1  1
n
1
n

 u  u  1 1  2  1
n
1
n
n

- Từ Ví dụ 7 ta có thể áp dụng với bài toán tổng quát khi cho dãy số un , xác định

u  A


bởi công thức dạng: 



n 1 

u

; P n là đa thức ẩn n.

, với A

1

u

 P n , n  1

n


Lời giải:
Từ giả thiết ta có: u n 1  un 

1

u

 1

1

n 1

n ( n 1)



1

 un 

n ( n  1) n n 1

u n  u n  u n 1  u n 1  u n2  .....  u 2  u1  u1

1
1
1
1
1 1
1
n  1  n  n  2  n  1  ......  1  2  1  2  n


Do đó lim un



1



n

 lim  2 

 2

Ví dụ 8:

u1  1



Tính giới hạn của dãy số un , xác định bởi: 

u



u  1
1

n 1

u
n

n

u n 1  u n   1 

Phân tích: Dễ thấy dãy số  un , xác định bởi: 



 2

 1n



 

, n  1

u  A
1





u

n 1 


Lời giải:

u

n

 P n , n  1

,n  1

có dạng:

nên cách giải quyết bài tập này giống với Ví dụ 7

 1 n
Ta có : u n 1  un







2

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 10


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11


 u n  u n  u n 1  u n 1  u n2  .....  u 2

1  ( 1 )n
un 

2
1



 u1  u1

 2

 n 2




.....  







1

2 

 2





12

 1 1

 2   2
 n1
1 

  lim un  lim  2

 2







1  n 1

1  n 1

1

2





4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1:

u 5
 1
2

u
 n 1
u n  6, n 1
3


Tính giới hạn của dãy số un , xác định bởi: 

(ĐS: lim un = -18)
Bài 2:

Tính giới hạn của dãy số un , xác định bởi: 

1

u  a; a 
1



u

n 1





u

2

n

 1, n  1

(ĐS: lim un  2 )
Bài 3:

u

u1  3
Cho dãy số un xác định bởi 



u

n

 4un  1,n  1

. Tính lim

2n

2

n 1

(ĐS: lim 2

un

2 n

2

 3)

Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

Cho dãy số un  xác định bởi công thức: un  2  2 ....
(n dấu căn
; n 1 ). Tính lim u1 .u2 ....un

2

2n
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

u
n



2

Trang 11


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Hƣớng dẫn: Ta có:
u
1

2  2.cos   2.cos 
4
22

u2 

2

2

2  2.cos

u3 

2

2

2

4







2 1  cos



2  2.cos

....  u  2 cos  ,n 
n

2n1 u1 .u 2 ....un

Từ đó tính được: lim
2n
Bài 5:



8


4


21




 cos

2.2.cos




8

2

8

 2.cos

8

2

2.2.cos



 2.cos


3
2




 2.cos
 2.cos 4
16
16
2

2




Cho dãy số un 
(n dấu căn

xác định bởi công thức: un  2 n. 2 2....
; n 1 ). Tính lim un

2

(ĐS: limun   )



B - KĨ THUẬT 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦAuDÃY2SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY 22nn 3

HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ
KẸP
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số Vn  bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa.
Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích
NC/Trang 153/NXBGD2007)
Cho 3 dãy số (Un), (Vn), (Wn) sao cho:  n

U  V  W ;n  limVn
n
n
a
a

limUn  lim Wn
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 12


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Chứng minh: v n  un  w n , n  n0 ; n, n0  bằng phương pháp quy
nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét.
Bước 2: Chỉ ra : lim vn  lim wn  a , kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới
hạn của dãy số vn cho bởi hệ thức truy hồi.
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (BT2/SGK/Đại số & Giải Tích 11/Trang 121/NXBGD 2007)

1

Biết dãy số un  thỏa mãn un  1  n

3

;n . Chứng minh rằng lim un 1

Phân tích:

1

- Ta có: un  1  n

1

3

;n  n

1

3

 un  1  n

3

;n

- Coi như: Dãy Un , Un  13 ; dãy Vn , U n  un 1; dãy Wn , Wn  13
n
n
1
 1
 lim un  1  0  lim un 1
- limUn  lim  

n



3

  0;lim Wn  lim



n

3

 0  limVn

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: u n  1  1 ;n  1  u n  1  1 ;n

Mà lim  

3
1 n

1
3





0;lim

3

0

n3

n3

 lim un  1  0  lim un 1(Theo nguyên lí kẹp)

n
 n 
Nhận xét: Ta có thể trình bày cách khác: u n  1  1 ;n  0  u n  1  1 ;n
Mà lim 0  0; lim 1  0  lim u  1  0
n

n3
(Theo nguyên lí kẹp)

n3

n3
 lim un 1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 13


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007)


Cho dãy số un xác định bởi : 



u 
1

u

 n 1



1
4

un

un

2



2

, n  1

1

a) CMR: 0  u n  4 ,n
b) CMR:

u

n 1



3

, n . Tính limun

un4

Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy un

 sẽ gặp nhiều khó

khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được
giải quyết rất đơn giản.
Lời giải:
a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0  un ,n

1

* Chứng minh un  4 ,n bằng phương pháp quy nạp:
Với n = 1 ta có: u  1  1 . Đúng

1
4 4
Giả sử BĐT u k  1 ; k 1 đúng, ta cần chứng minh BĐT u k 1  1 ; k 1 cũng đúng
4

4
Thật vậy: Do 0  u k  1 
uk

2

 1 và uk  1 nên

16

4

2

8

u

 uk  u  1  1  3  1
2

k 1

k

2

16

8

16

4

Vậy 0  u  1 ,n
n

4
b) Từ câu a) suy ra u

 u  1  1  1  3 ,n

n1

un

n

2

4

2

4

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 14


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

un u
Do đó ta có 0  u n

Mà lim 0  0; lim



.

u



1 

3

 0 , nên theo nguyên lí kẹp thì

4 4 

3 n1

. ..... .u1  .   ,n
4
4  4
4 4

u1

n2

1  3 n1
.

3 3
.u1 

......

u

n 1

2

u

n1

Toán 11

lim un  0

Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007)



u 



Cho dãy số (un) xác định bởi 

1
2

1




a) CMR: un  0 và

un1

un



u

 n1



1

n 1

,n  1

,n

un2
b) Tính limun

Hƣớng dẫn:
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un  0 , n


Từ hệ thức truy hồi ta có u

1  1 , n 1

n1

n 1 2

un

u

b) Từ câu a) ta có : 0  un



n

u

.
n 1

Mà lim 0  0; lim 

u n1

u

u
.......

2

u

n2

1 1
.u1 

1

1 1

. ..... .
2222

1



n

 ,n 1
 2

 1 n


 0 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0

2

Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007)

u  10
Cho dãy số (un) xác định bởi 





1

u



n 1

. Tính limun

 u n , n  1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 15


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Hƣớng dẫn:
Dễ ràng chứng minh được un  1;n bằng phương pháp quy nạp toán học.


 1  un . Tuy nhiên dấu
un
1.un
2

n1
n1
“=” không xảy ra vì u  1;n . Do đó u  1  ,n  u  1  un 1 ,n (*)
un
n
2
2
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có u n 1 

Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có:
0un1u

n 1

 1  u 1  ....  u1 1 

9 ,n  1  1  u n  1 

9 ,n 1

n2

2

22

2n 1

2n 1

2n1

Mà lim(1  9 ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1

2n1
Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi : 

a) CMR: 0  un 1  1 

1

u  a
 1
, (với – 1 < a < 0)
un 1

 1, n  1
u
2
 n1
un 1

(un  1),n 1

1

a2
b) Tính limun

limun
Hƣớng dẫn:

Dễ dàng chứng minh được: 1  un  0,n bằng chứng minh quy nap.
1  u n  1  0,n


u 1

u 1

Từ đó suy ra 
 u n 1 
1 n
 1  u n , n  1
2
2
1
u 1
 un  1  1
n

Do đó dãy (un ) là dãy giảm 1  un  un1  ....  u1  a  0, n 1
n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 16

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

u2 a2 
n

u2
n

Toán 11

1

 1  a2  1 

1

u2

n

Nên 0  u n 1  1  un 1 
u 2 1



1
(u

n 1

2

a 1

 1  lim



1 2

1) 

 a21
.( a  1)  1, n  1

a21
1 n1
Hay 1  u n  


2
 a 1 
1

Vì 0

2

1 (u n  1), n  1
a21

n

0un1

1
a 1





1

 ( a  1) 

n1




2

(u

n2

1

n1

1)  .... 

 a2 1 

(u1  1), n  1



 1 1.


 a 1 

Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1




4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)

u  1
1
Cho dãy số un , xác định bởi: 

u


u 

a) CMR u
n 1

n 1


1 , n  1

u

n

 1 , n  1
n
2

n

2n1
(ĐS: lim un = 1)

b) Tính lim un

Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)

Cho dãy số un , xác định bởi: 

a) CMR u  1 , n  1
n


u

n

0



u



2
n

 u n  u n1 ,n  1

n

b) Tính lim un

(ĐS: lim un  0 )

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 17

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)




Cho dãy số un xác định bởi 

u


u
 k

a) CMR: 1  1 
u
n


1

0

1
2
1

 uk 

1
n

2
uk

,k  0, n 1

n

b) Tính lim un

(ĐS: lim un 1)

C – KĨ THUẬT 3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số un  bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass.
Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang
154/NXBGD2007) :
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dƣới thì có giới hạn hữu hạn”
2. Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới
Bƣớc 2: Tính giới hạn của dãy số
Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêu
chuẩn (định lí) Weierstass còn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau:

- Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  M ,n và tồn tại giới hạn limun
thì limun  M ; nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  m, n và tồn tại giới
hạn limun thì limun  m
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 18


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

- Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un  lim un1
n 

n

3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN)

u 
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 





2

1

u



n 1



2  un ,n  1

. Tính limun



Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là un  2cos 2

n1

,n 1 , tuy

nhiên việc xác định CTSHTQ của (un) không phải là đơn giản. Ta có thể sử dụng phần
C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này.
Lời giải:
* Chứng minh dãy số ( un ) tăng bằng phương pháp quy nạp  CM : un 1  un , n 1
Với n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 . Đúng
Giả sử uk 1  uk , khi đó uk  2  2  uk 1  2  uk  uk 1 .
Vậy un1 > un , n 1 nên dãy số ( un ) tăng và bị chặn dưới bởi u1  2 .
* Chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp :
Khi n = 1 ta có u1  2  2

Giả sử uk  2, k 1, khi đó uk 1  2  uk  2  2  2 .
Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
* Tìm giới hạn của dãy số (un) :
Giả sử limun = a, thì 2  a  2 . Ta có limun 1  lim 2  un
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 19


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

a 1
Hay a 

 2 . Vậy lim un  2
a

2aa2 a2

a  2

Ví dụ 2: (Giáo trình giải tích 1 - Jean-Maria Monier)
u  1

Cho dãy số thực un xác định bởi: 



u

1

n

u

 n1



2



1

un

, n  1

Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm giới
Hƣớng dẫn:
* HS chứng minh un  0,n bằng phương pháp quy nạp
* Xét tính tăng – giảm của dãy số un :
Từ hệ thức: u n 1  u
u

2

n

n

 u n 1  u n  u

1

u

2
n

 un  un3  0 Dãy un  giảm

n

2

1

un  1

Vậy dãy số un  giảm và bị chặn dưới nên dãy un  có giới hạn hữu hạn
* Tìm giới hạn của dãy số un :
Giả sử limun  a , chuyển qua giới hạn của hệ thức un1 

un

ta có phương trình:

u2 1
n

a

a  a2 1  a  0 . Vậy lim un  0
Ví dụ 3:

u 
u
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 



2

1

1

u





n 1

 un 

u n1 , n  2

. Tính lim un

Lời giải:
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 20


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Ta thấy u1  u2 1, u3  1  1  2  u2 ; u4  u3  u2  2  1  u3 .
Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng.
Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp, tức là un 1  un , n 
2 Rõ ràng un  0, n 1. Khi n = 2 ta có u3  2  u2 1
Giả sử uk 1  uk , k  2 . Ta có uk  2  uk 1  uk  uk  uk 1  u k
1,k

 2 Nên dãy (un) là dãy số dương tăng  un  u1  1, n 1

Hơn nữa, ta thấy n  3, un  u
Hay u 2 
4u
n

n

n 1

 u

 un  un  2 un

n 2

 u  4( do u  0) . Nên (u ) bị chặn trên bởi 4
n

n

n

Do đó dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
Giả sử limun = a, khi đó a 1. Chuyển qua giới hạn của hệ thức hệ thức truy hồi
limun 1  lim un  lim un1 ta có phương trình: a 

a

a  0
aa

2

 4a  

a  4

Do a 1> 0 nên a = 4. Vậy lim un  4 .

Nhận xét: Ta có thể gặp những bài toán có dạng tương tự, ví dụ như trong quyển Bài
tập giải tích - W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK có bài toán sau:


u 1

có giới hạn hữu hạn khi

1

CMR dãy số ( un ) xác định bởi u2  2




n . Tìm giới hạn đó?

u



n 1

 un  un1 ,n  2
(Đáp án: lim un  4 )

Ví dụ 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)


u
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 



 2010
1

u n

2

 2u . n1  2011  0 , n 1
u

n

Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.


Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 21