Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông
HSG: Học sinh giỏi
BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi
SK: Sáng kiến
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
BT: Bài tập
NC: Nâng cao
CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát.
CSC: Cấp số cộng
CSN: Cấp số nhân
CMR: Chứng minh rằng
CM: Chứng minh
BĐT: Bất đẳng thức

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 1


Trng THPT Triu Thỏi Vnh Phỳc

Toỏn 11

BO CC KT QU NGHIấN CU, NG DNG SNG KIN:

Một số kĩ thuật tính giới
hạn của dãy số cho bởi hệ
thức truy hồi
I.

LI GII THIU:
Bi toỏn tỡm gii hn ca mt dóy s cho bi h thc truy hi l mt dng bi toỏn

khú, ũi hi nhiu k thut bin i tớnh toỏn. Bi toỏn ny thng xut hin trong
cỏc thi HSG cp tnh, thi Olympic 30 thỏng 4, thi quc gia v quc t. Cỏc ti
liu chuyờn sõu v chuyờn gii hn ca dóy s vn cũn rt hn ch; V hụm nay,
vi mong mun nõng cao cht lng ging dy BDHSG, cung cp cho cỏc em hc
sinh, c bit l cỏc em hc sinh khỏ - gii toỏn v yờu thớch toỏn cú thờm mt ti liu
tham kho v gii hn ca dóy s cho bi h thc truy hi, tụi ó nghiờn cu v hon
thnh SK nho nh ca mỡnh vi ta : Mt s k thut tớnh gii hn ca dóy s
cho bi h thc truy hi.
II. TấN SNG KIN:
Mt s k thut tớnh gii hn ca dóy s cho bi h thc truy hi
III. TC GI SNG KIN:
- H v tờn: Nguyn Th Thanh Lan
- a ch: Trng THPT Triu Thỏi
- S in thoi: 0978 205 898
- Email:
IV. CH U T TO RA SNG KIN: Nguyn Th Thanh Lan

Sỏng kin: Mt s k thut tớnh gii hn ca dóy s cho bi h thc truy hi

Trang 2

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi:
Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức
truy hồi - Đại số & giải tích 11.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:
 GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và
đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy
hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:
A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTSHTQ của dãy số.
B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass.
A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:
1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ un của dãy số.
2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các
số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ un
Bước 2: Tính giới hạn của dãy số ( un ) bằng cách tính lim un = ?
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 3


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

3. Một số ví
dụ: Ví dụ 1:

Tính giới hạn của dãy số ( un )



cho bởi: 



=

Phân tích: Ta nhận thấy: u1 = 3 =
9
u4 =

12 =

4 + 8 ; u5 =

13 =

u = 3

1

; u2 =
1+8

u

n +1
=

10

= 1+u2;n≥ 1
n

=

; u3 =
2+8

5 + 8 ⇒ Dự đoán: u n =

11

;
3+8

n+8

Lời giải:
* Chứng minh u n =

n + 8 (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp).

* Tính giới hạn của dãy số ( un ) : Ta có: limun = lim n + 8 = +∞

Ví dụ 2:

Tính giới hạn của dãy số ( un ) cho
bởi:

u = −1
1

u n +1 = u n + 3; n ≥ 1
Phân tích: Nhận thấy: un +1 = un + 3; n ≥ 1 nên dãy số ( un ) là một CSC ⇒ un = ?
Lời giải:
u = −1
* Do  1

nên dãy số ( un ) là một CSC có số hạng đầu u1 = −1 và
công

u n +1 = u n + 3; n ≥ 1

sai d = 3, do đó dãy số ( un ) có CTSHTQ là un = u1 + ( n − 1) d ⇒ un = 3n
− 4 * Tính giới hạn của dãy số ( un ) : Ta có: lim un = lim ( 3n − 4) = +∞

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 4


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)

 u = 10
 1 1
Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
= un + 3,∀n ≥ 1
u
 n +1
5


a) CMR dãy số ( vn ) xác định bởi vn =
un

− 15 là một CSN
4

b) Tính limun

Phân tích:

- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm limun thì bài toán trở nên rất
khó và lạ đối với học sinh.
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số ( un ) nhờ
vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để
tính limun .
- Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt: vn = un −

15

4 để chứng minh dãy ( vn ) là một CSN?
Thực ra vấn đề này không quá khó. Để chứng minh dãy ( vn ) xác định bởi công

thức v =
u

u

n +1

− 15 là một CSN, với u = 1 u + 3 (1), ta cần tìm số b sao cho
n +1
4
n
n
5 n
−b = 1 (un − b) ⇒ un +1 = b −1 b + 1 un (2). Từ (1) và (2) suy ra: b = 15 .
5
5
4
5

Do vậy, nếu đặt vn = un − 15 thì vn +1 = 1 vn ,∀n ≥ 1 nên ( vn ) là một CSN

4
5
- HS có thể áp dụng phân tích này với các bài toán tương tự:

u = A

,

1

với A, B, C là các số thực.

u n +1 = B.u n + C , ∀n ≥ 1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 5


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

− v = 3.5n+1 , ∀n ≥ 1. Suy
ra

- Ngoài ra, có thể đặt v = 5n.u , ∀n ≥ 1, khi đó ta có
v

n

vn
=

n +1

n

n

15 (5 − 1) + 35 ⇒ un = v = 15 5 −1 + 35 = 1 1 n−3 + 15

. n
 
n
n
4
4 5
5
4
5
4  5
n

n

n

Lời giải:

a) Thật vậy, ta có: vn +1 = u n +1 −

15
1
15
1
15
3 1
4 = 5 u n + 3 − 4 = 5 (vn + 4) − 4 = 5 vn .

Vậy ( vn ) là một CSN có công bội q
=
25  1

n−1

Do đó vn = v1 .q

=



1 1
n −1



.

1 và có số hạng đầu v1 = = 15 = 25 .

5
4
4
u1

4  5

=

.

n−3


4 5
15 1  1 n−3 15
b) Từ câu a) suy ra u n =
+ = .  +
.
4 4
4
vn
 5

1 
15 
15

1

15

n−2

+

Do đó lim u n = lim  vn



 = lim
4 


.



+

 4 5 



4

=


.

4



Ví dụ 4:

Tính giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 2


u n +1 = 2u n −1; n ≥ 1
Phân tích:
- Ta nhận thấy: Dãy số

( un ) xác

định bởi:

u =
2


1

u = 2u n −1; n ≥ 1

u = A


1

có dạng:

 n +1
, với A, B, C ∈ nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS

u n +1 = B.u n + C ,∀n ≥ 1
có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.


Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 6


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

- Có: un +1 = 2un −1 (1), ta cần tìm số b để un +1 − b = 2(un − b) ⇒ un +1 = 2un − b (2). Từ

(1) và (2) suy ra: b = 1. Vậy ta sẽ đặt vn = un −1 để giải quyết bài toán trên.
Lời giải:
Đặt: vn = un −1 ⇒ vn +1 = un +1 − 1 = 2un − 2 = 2(un − 1) = 2vn . Suy ra dãy số ( vn ) là một
CSN có công bội q = 2
và có số hạng đầu v = u − 1 = 1 ⇒ v = v .qn −1
= 2n−1
11

n

(

1

)

 un = vn + 1 = 2 n−1 +1. Do đó lim un = lim ( vn + 1) = lim 2 n−1 + 1 = +∞ .

Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007)

Cho dãy số ( u ) xác định bởi:

u1 = 3


2un +1 = un + 1,∀n ≥ 1

n

Đặt S n = u1 + u2 + u3 + ... + un ; n ≥ 1
a)

CMR dãy số ( vn ) với vn = un −1 là một CSN lùi vô hạn

b)

Tính limSn

Lời giải:

a) Ta có v
n +1

=
u

n +1

−1 = 1 u + 1 − 1 = 1 ( −1) = 1 v , ∀n ≥ 1
2
2
2u
n

n

2n
Suy ra dãy số ( vn ) là một CSN lùi vô hạn với công bội q = 1
. Nên vn
2
b) Từ câu a) suy ra u n
n

Vậy: Sn =

∑u

k
k
=1

n

=

∑(

k=1

1
2

)

k −2

 1 n−2
 
2

 1 n−2

 + 1, ∀n ≥
1
 2
 1  n−2

= vn + 1 = 

=

+ n = 4 + n −


2 


⇒ limSn

 1 n−2 

= lim  4 + n − 






 2

=
+∞




Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy ( un ) bằng phép đổi biến: vn = 2 n.un , ∀n ≥ 1


Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 7


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

1

1

Ta có vn +1 = 2n +1.u n +1 = 2n +1 ( 2 u n + 2) = vn + 2n ,∀n ≥ 1 ⇒ vn +1 − vn = 2n ,∀n ≥ 1
Do đó v = v − v + v − v
+ .... + v − v + v = 2n −1
+...+ 2+6
+ 2n−2
n

n −1

n

Hay vn = 2(2

n −1

n −1

n−2

2

− 1) + 6 =
2 + 4 ⇒ un = 1 + 
n

1

1

 1 n−2

2

Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007)

Cho dãy số ( un ) , xác định bởi: 

u = 1
u −4
 1
n
u

 n+1

=



un + 6

,∀n ≥ 1

a) CMR: un ≠ −4, ∀n ≥ 1
b) CMR: Dãy ( vn ) với vn
=

un +1 là một CSN. Tính limun
un + 4

Lời giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un ≠ −4, ∀n ≥ 1.
Khi n = 1 ta có u1 = 1 ≠ −4 . Đúng
Giả sử uk ≠ −4, ∀k ≥ 1, ta chứng minh uk +1 ≠ −4 . Thật vậy, giả sử ngược lại uk +1 = −4 ,

khi đó uk − 4 =
u + 6 −4

⇒ uk = −4 , trái với giả thiết quy nạp. Vậy un ≠ −4, ∀n ≥ 1

k

b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi ∀n ≥ 1. Ta có:

u +1
n +1

un − 4 +1

2(un +1)

= un + 6
=
= 2 v ,∀n .
u
n +1
n −4
+ 4 5(un + 4) 5 n
u n +1 + 4
un + 6
Vậy ( vn ) là một CSN lùi vô hạn với công bội q = 2 và số hạng đầu v1 = u1 +1 = 2 .
v

=

5
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

u1 + 4

5

Trang 8


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Suy ra v =

n

 2 n


Toán 11

 2 n
4.



−1

5

nên u =

2

n

 5



 2 n
4.

. Do đó lim u =

lim
n

−1

2 

n

n



1 −



5 
1 −

5

=
−1



 5

Ví dụ 7:

u = 1


Tính giới hạn của dãy số ( un ) , xác định bởi: 

1

u





n +1

=
un

+

1

,∀n ≥
n(n +1) 1

Phân tích:
u = 1

u

- Nhận thấy dãy số ( un ) , xác định bởi:



n +1

1

=
un

+

1

nên suy ra:

n(n
+1)

,∀n ≥
1

không có dạng:


, với A, B,C ∈ nên ta không thể áp dụng các ví dụ trên để

u = A



1

1

un +1 = B.un + C,∀n ≥ 1

giải quyết bài toán này.

Để ý rằng: Từ u n +1 = u n +

⇒ u n + 1 − un =

1

n ( n + 1)
u −u = 1 = 1 − 1
2

n(n

+1)

1.2
2
u −u = 1 = 1 −1
1

2

2.3 2 3
u − u = 1 = 1 −1
3

4

3

3.4

3

4

...
u

n −1

un

−u
−u

1

1

= n −2 . n −1 = n − 2 − n −1

(
)(

n−2

n−1

1
)

=

(

1
1
1
=
−
n − 1 .n n −1 n

)


Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 9


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Cộng vế theo vế ta được: u
n

Toán 11

− u = 1 −1
1
n

⇒ u = u + 1 −1 = 2 −1
n
1
n
n

- Từ Ví dụ 7 ta có thể áp dụng với bài toán tổng quát khi cho dãy số ( un ) , xác định

u = A


bởi công thức dạng: 

1

+ P ( n ) , ∀n
≥

u
u

 n +1 = n



; P ( n) là đa thức ẩn n.

, với A∈

1

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: u n +1 = un +

1

⇒u

n +1

n ( n +1)


= 1−

1

− un =

1

n ( n + 1) n n +1

u n = u n − u n −1 + u n −1 − u n−2 + ..... + u 2 − u1 + u1

1
1
1
1
1 1
1
n −1 − n + n − 2 − n −1 + ...... + 1 − 2 + 1 = 2 − n


Do đó lim un



1



n

= lim  2 −

= 2

Ví dụ 8:

u1 = 1


Tính giới hạn của dãy số ( un ) , xác định bởi: 

u



n +1

u = 1
1


n

n

Phân tích: Dễ thấy dãy số ( un ) , xác định bởi: 

u n +1 =
u

=u

n

+  1 

 2

+

 1 n
 

u = A
1



u
u
 n +1 = n


Lời giải:

có dạng:
,∀n ≥ 1

, ∀n ≥ 1

+ P ( n ) , ∀n ≥
1

nên cách giải quyết bài tập này giống với Ví dụ 7

 1 n

Ta có : u n +1 − un

=





2

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 10


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11


⇒ u n = u n −u n −1 + u n −1 −u n−2 + ..... + u 2

1 − ( 1 )n
⇒u n =

2
1



1

= 2−

− u1 + u1

= 



+ 

 1 1

 n −2


+..... + 

 2

 +1

2 

1 

 ⇒ lim un = lim 
2

  =
2

−







1 −2



 2

n−1

n −1

 2

1  n −1

1

2





4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1:

u = −5
 1
2
=
− 6, ∀n ≥ 1
u
 n +1
un
3


Tính giới hạn của dãy số ( un ) , xác định bởi: 

(ĐS: lim un = -18)
Bài 2:


Tính giới hạn của dãy số ( un ) , xác định bởi:  1

u = a; a
∈
1
=
u

 n +1



u

2

n

+ 1,∀n ≥
1

(ĐS: lim un = 2 )
Bài 3:

u

u1 = 3
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 

u



n +1

− 1,∀n ≥ 1 . Tính lim

=

4un

un

(ĐS: lim 2

n

2 n

=

2

2n

2

3)

Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

Cho dãy số ( un ) xác định bởi công thức: un = 2 + 2 +....+
(n dấu căn
; n ≥ 1 ). Tính lim u1 .u2 ....un

2

2n
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 11


u
n

=

2


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Hƣớng dẫn: Ta có:
u=
1

u2 =

4

2

=
π=
π
2.cos

2.cos
4
22
π

2+

2=

2 + 2.cos


=

2  1 + cos



π
u3 =

2+

2+

2=

2 + 2.cos

8

.... ⇒ u = 2 cos π ,∀n ∈
n

2n+1 u1 .u 2 ....un

Từ đó tính được: lim
n

2
Bài 5:



=

4


21

π
=


+ cos

π

2π

2.2.cos

π
=


8

8

π

= 2.cos

= 2.cos

π

π

8

2

2.2.cos

16

= 2.cos

2

3

π

16

= 2.cos

2
=

π

Cho dãy số ( un

)

(n dấu căn

xác định bởi công thức: un = 2 2+ 2+....+
n
.
; n ≥ 1 ). Tính lim
un

2

(ĐS: limun = π )

B - KĨ THUẬT 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦAuDÃY2SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY 22nn

=

HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ

3

KẸP
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số ( Vn ) bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa.
Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích
NC/Trang 153/NXBGD2007)

Cho 3 dãy số (Un), (Vn), (Wn) sao cho: 

n

U ≤ V ≤ W ;∀n ⇒ limVn
n

n

= a

2

4

=
limU
=
lim
W
n
n

a
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 12


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Chứng minh: v n ≤ un ≤ w n , ∀n ≥ n0 ; n, n0 ∈ bằng phương pháp quy
nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét.
Bước 2: Chỉ ra : lim vn = lim wn = a , kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới
hạn của dãy số ( vn ) cho bởi hệ thức truy hồi.
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (BT2/SGK/Đại số & Giải Tích 11/Trang 121/NXBGD 2007)

1

Biết dãy số ( un ) thỏa mãn un − 1 < n

3

;∀n . Chứng minh rằng lim un = 1

3

;∀n

Phân tích:

1

- Ta có: un − 1 < n

3

1

;∀n ⇔ − n

) , Un

- Coi như: Dãy
( Un

1

3

< un − 1 < n

= 1 ; dãy
3
− ( Vn
n

), U
n

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: u n − 1 < 1 ;∀n ⇔ − 1 <
u

Mà lim  −

1
3

n
 1
1
= lim ( un − 1) = 0 ⇒ lim un
3  = 0;lim Wn = lim 3 = 0 ⇒ limVn = 1
n
n



- limUn = lim  −



= un −1; dãy ( Wn ) , Wn
=

3
1 n

1
3



=

0;lim

3

= 0

n

−1 < 1 ;∀n

n3
n3

⇒ lim ( un − 1) = 0 ⇒ lim un = 1(Theo nguyên lí kẹp)

n
 n 
Nhận xét: Ta có thể trình bày cách khác: u n −1 < 1;∀n ⇔ 0 < u n −1 < 1 ;∀n
Mà lim 0 = 0;
lim

1 = 0 ⇒ lim u −1
n

n3
=
0 (Theo nguyên lí kẹp)

n3

n3
 lim un = 1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 13


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007)



u =



Cho dãy số ( un ) xác định bởi : 

1

u

b)

CMR:

u+

n 1

≤

3

un

= un


CMR: 0 ≤ u n ≤

4
2

 n +1

a)

1

+

2

, ∀n ≥ 1

1

4 ,∀n

, ∀n . Tính limun

un4

Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy ( un

)

sẽ gặp nhiều khó

khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được
giải quyết rất đơn giản.
Lời giải:
a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0 ≤ un ,∀n

* Chứng minh un ≤

1

4 ,∀n bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1 ta có: u = 1 ≤ 1 . Đúng
1
4 4
Giả sử BĐT u k ≤ 1 ; ∀k ≥ 1 đúng, ta cần chứng minh BĐT u k +1 1 ; ∀k ≥ 1 cũng đúng
≤

4
Thật vậy: Do 0 ≤ u ≤ 1 ⇒ uk

4
1 và uk ≤ 1 nên u

2

≤

k

≤ 1,∀n

Vậy 0 ≤
u

16

4

2

8

k +1

= uk 2 u ≤ 1 + 1 = 3 < 1
k
+
2 16 8 16 4

n

4
b) Từ câu a) suy ra u

= u + 1 ≤ 1 + 1 = 3,∀n
n+1

un

n

2

4

2

4

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 14


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

un u
=

Do đó ta có 0 < u n

Mà lim 0 = 0; lim

.

u

n−1

u1

1 3 n−1


.

3 3
.u1 ≤

n−2

n −1

2

u
......

u

Toán 11

1 

3

. ..... .u1 = .   ,∀n
4
4  4
4 4

= 0 , nên theo nguyên lí kẹp thì

4 4 

3 n−1

lim un = 0

Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007)



1

u =



Cho dãy số (un) xác định bởi 

2

1

= un ,∀n ≥
n +1 1



u
 n+1


a)

CMR: un > 0 và

un+1

1

≤

,∀n

un2
b)

Tính limun

Hƣớng dẫn:
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un
=

Từ hệ thức truy hồi ta có u

>0,
∀n

1 ≤ 1 , ∀n ≥ 1

n+1

n +1 2

un

u
b) Từ câu a) ta có : 0 < un

=

n

u n−1

u

.
n −1

u

2

u
.......

u

n−2

1 1
.u1 ≤

1 1

. ..... .
2222

1

1

n

 ,∀n ≥ 1
2

= 

n

Mà lim 0 = 0; lim 

1


= 0 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0

2

Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007)

u =
10
Cho dãy số (un) xác định bởi 



1

u
 n +1



. Tính limun

= u n , ∀n ≥ 1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 15


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Hƣớng dẫn:
Dễ ràng chứng minh được un > 1;∀n bằng phương pháp quy nạp toán học.
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có u n +1 =
“=” không xảy ra vì u > 1;∀n . Do đó
u

n+1

n

un

=

≤ 1+
1.un u
n

< 1 + ,∀n ⇒ u
un
2

n+1

. Tuy nhiên dấu

2
− 1 < un −1 ,∀n (*)
2

Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có:
0 < u n −1 < u −1 < u −1 < .... < u1 −1 =
n −1

n−2

2

22

2n −1

9 ,∀n ≥ 1 ⇔ 1 <
u

n

<1+

2n −1

9 ,∀n
≥1

2n−1

Mà lim(1 + 9 ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1

2n−1

Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007)

u =
a
 1

Cho dãy số (un) xác định bởi : 

a) CMR: 0 < un +1 + 1
≤

u
 n+1

1



+1

=

un +1
un

2

+1

− 1, ∀n ≥ 1

, (với – 1 < a < 0)

(un + 1),∀n
≥1

a2
b) Tính limun
limun
Hƣớng dẫn:

Dễ dàng chứng minh được: −1 < un < 0,∀n bằng chứng minh quy nap.
−1 < u n + 1 <
0,∀n


u +1

u +1

n
Từ đó suy ra 
⇒ u n +1 =
−1 < n
−1 = u n , ∀n ≥ 1
2
2
1
u +1
 un + 1 > 1

n

Do đó dãy (un ) là dãy giảm ⇒ −1 < un ≤ un−1 ≤ .... ≤ u1 = a < 0, ∀n


≥1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 16


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

⇒u 2 ≥ a 2 ⇒

1

+ 1 ≥ a2 + 1 ⇒

u2
n

n

Toán 11

+1

u2

n

Nên 0 < u n +1 + 1 = un +1 ≤
u 2 +1

1
a +1

≤

2

1 (u n + 1), ∀n ≥ 1
a2+1

n



1

1 



1

2
(u

⇒0 < u n + 1 ≤

2

a +1

Hay −1 < u n ≤ 



1


a +1 

a2+1



(u

n−2

 a2+1
.( a + 1) − 1, ∀n ≥ 1

n−1

+1) ≤ .... ≤



 a2 +1 

2



1
Vì 0<

+1) ≤ 

n −1

n−1

< 1 ⇒ lim






1

n−1




 ( a + 1) 



− 1 = −1.

2
 a +1 




Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)

u = 1
1
Cho dãy số ( un ) , xác định bởi: 
=
u


−u <

a) CMR u
n +1

n

n +1


1 , ∀n ≥
1

u

n

+ 1 , ∀n ≥ 1
n
2

2n+1
(ĐS: lim un = 1)

b) Tính lim un

Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)

Cho dãy số ( un ) , xác định bởi: 

a) CMR u < 1 , ∀n ≥ 1
n

u n > 0
2
≤ n − u n+1 ,∀n ≥ 1
u

u
n



n

b) Tính lim un

(ĐS: lim un = 0 )

(u1 + 1), ∀n ≥ 1


Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 17