Đề thi HSG lớp 6(Có Đáp án)

Đề thi chọn HSG lớp 6
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1(2 điểm)
Tính tổng:
2450
1
2352
1
...
20
1
12
1
6
1
2
1
++++++=
S
Câu 2 (2 điểm)
Tính tích sau:

=
100
1
1
99
1
1...
5
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1P
Câu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 3
2
+ 3
3
++ 3

118
+ 3
119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Câu 4 (3 điểm):
Khi viết liền nhau hai số 2
2008
và 5
2008
dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao
nhiêu chữ số?
Câu 5 (5 điểm)
a)Tính:
A = 2
100
- 2
99
- 2
98
- 2
97
- - 2
2
- 2 1
b) Tìm x biết:
312
=+
x
Câu 6 (4 điểm)

Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100
a) Tính giá trị của biểu thức C?
b) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
D = 2
2
+4
2
+6
2
++98
2
.............................Hết.............................
Mã ký hiệu
Đ01T-08-HSG6
Hớng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp 6
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Câu 1(2 điểm)
Tính tổng:
2450
1
2352
1
...
20
1
12
1
6
1

2
1
++++++=
S
50.49
1
49.48
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+++++=
S
50
1
49
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1

2
1
1
1
++++=
S
50
1
1
=
S
50
49
=
S
Câu 2 (2 điểm) Tính tích:

=
100
1

1
99
1
1...
5
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1P
100
99
.
99
98
...
5
4
.
4
3
.
3
2

.
2
1
=
P
100.99...5.4.3.2
99.98...4.3.2.1
=
P
100
1
=
P
Câu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 3
2
+ 3
3
++ 3
118
+ 3
119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Giải:
a) (2 điểm)
M = 1 +3 + 3
2
+ ++ 3

118
+ 3
119
3M = 3.(1 +3 + 3
2
+ ++ 3
118
+ 3
119
)
= 3 + 3
2
++ 3
119
+ 3
120

3M- M =(3 + 3
2
++ 3
119
+ 3
120
) - (1 +3 + 3
2
+ ++ 3
118
+ 3
119
)

2M = 3
120
1

2
13
120

=
M
b) (2 điểm)
M = 1 +3 + 3
2
+ ++ 3
118
+ 3
119
= (1 +3 + 3
2
)+( 3
3
+3
4
+3
5
)++(3
117
+3
118
+ 3

119
)
= (1 +3 + 3
2
)+3
3
(1 +3 + 3
2
)++3
117
(1 +3 + 3
2
)
= 13 + 3
3
.13 + + 3
117
. 13
= 13( 1+ 3
3
++ 3
117
)
0,5 đ
1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Mã ký hiệu
HD01T-08-HSG6
Vậy M chia hết cho 13.
M = 1 +3 + 3
2
+ ++ 3
118
+ 3
119
= (1 +3 + 3
2
+3
3
) +(3
4
+3
5
+3
6
+3
7
) + +( 3

116
+3
117
+3
118
+ 3
119
)
= (1 +3 + 3
2
+3
3
)+3
4
(1 +3 + 3
2
+3
3
)++3
116
(1 +3 + 3
2
+3
3
)
= 40 + 3
4
.40 ++3
116
.40

= 40(1+3
4
++ 3
116
)
Vậy
40M
, mà
40 5M
nên
5M M
Câu 4 (3 điểm)
Khi viết liền nhau hai số 2
2008
và 5
2008
dới dạng hệ thập phân ta đợc
số có bao nhiêu chữ số?
Giả sử số 2
2008
, 5
2008
khi viết dới dạng thập phân có x, y chữ số (x, y
> 0, x,yN)
Ta có 10
x
< 2
2008
< 10
x+1

10
y
< 5
2008
< 10
y+1
Do đó 10
x+y
< 2
2008
.5
2008
< 10
x+1
.10
y+1
Hay 10
x+y
< 10
2008
< 10
x+y+2
x+y < 2008 < x+y+2
2006 < x+y < 2008
x+y= 2007 ( Do x+y N )
Vậy khi viết liền nhau hai số 2
2008
và 5
2008
dới dạng hệ thập phân ta

đợc số có 2007 chữ số
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 5 (4 điểm)
a) (2 điểm)Tính:
A = 2
100
- 2
99
- 2
98
- 2
97
- - 2
2
- 2 1
A = 2
100

( 2
99
+ 2
98
+...+ 2 + 1)
Đặt B = 2
99
+ 2
98
+ 2
97
+ + 2
2
+ 2 + 1
Ta có: 2B =2(2
99
+ 2
98
+ 2
97
+ + 2
2
+ 2 + 1)
= 2
100
+2
99
+ + 2
2
+ 2

2B - B = (2
100
+2
99
+ + 2
2
+ 2) (2
99
+ 2
98
+ + 2 + 1)
B = 2
100
1
Vậy A= 2
100
(2
100
1) = 1
b) (2 điểm) Tìm x biết:
312
=+
x
Ta có: 2x + 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3
Xét 2x + 1 = 3
1
=
x
Xét 2x + 1 = -3
2

=
x
Vậy x=1 hoặc x=-2
Câu 6 (5 điểm)
Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100
c) Tính giá trị của biểu thức C?
d) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
D = 2
2
+4
2
+6
2
++98
2
Giải:
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
a) (2,5 ®iÓm)
C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100
3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3.99.100

=(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ (99.100.101- 98.99.100)
= 99.100.101
C= (99.100.101) : 3
C= 33.100.101= 36300
b) (2,5 ®iÓm)
C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100
= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) +...+ (97.98 + 98.99) + 99.100
= (1+3)2 + (3+5)4+...+(97+99)98 + 99.100
= 2.2.2 + 2.4.4 + ...+ 2.98.98 + 9900
= 2(2
2
+ 4
2
+…+ 96
2
+ 98
2
) + 9900
VËy 2(2
2
+ 4
2
+…+ 96
2
+ 98
2
) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400
⇒ 2
2
+ 4

2
+…+ 96
2
+ 98
2
= 13200
0,25 ®
0,5 ®
1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,5 ®
0,5 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
*Lu ý: Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.