Tích Vô Hướng ƯD trong Đại số

Hình học 10
Tìm hiểu thêm về tích vô hớng
Định nghĩa: (Có nhiều định nghĩa tích vô hớng của hai véc tơ, ở đây ta chỉ
nêu một số định nghĩa quen thuộc trong chơng trình phổ thông).
Cho hai véc tơ
vu

,
(
0
r
) tích vô hớng của hai vec tơ đó kí hiệu là
vu

.
đợc xác định
nh sau:
( )
vuvuvu

,cos...
=
.
Trong hệ toạ độ
Oxy
tích vô hớng còn đợc xác định nh sau:
Cho
( ) ( )
2211
,,, yxvyxu

khi đó
2121
... yyxxvu
+=

.
Trong hệ toạ độ oxyz tích vô hớng cũng đợc xác định .
Cho
( ) ( )
222111
,,,,, zyxvzyxu

khi đó
212121
. zzyyxxvu
++=

.
Ngoài ra ta còn viết
( )
[ ]
22
2
2
1
. vuvuvu

+=
.
Từ định nghĩa ban đầu ta có thể suy ra rằng

vuvu

..

.
(*)
Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.
Thí dụ 1. Cho ba số
zyx ,,
dơng. Chứng minh rằng:
.
2
222
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++

+
+
+
+
+
Giải. Trong hệ toạ độ
Oxyz
lấy

( )
,;;,;; yxxzzyv
yx
z
xz
y
zy
x
u
+++








+++


Theo (*) ta suy ra:

( ) ( )
..
222
2
yxxzzy
yx
z

xz
y
zy
x
zyx
+++++








+
+
+
+
+
++
Hay
2
222
zyx
yx
z
xz
y
zy
x

++

+
+
+
+
+
. (đpcm)
Dấu = xảy ra khi hai véc tơ cùng hớng
.zyx
yx
z
xz
y
zy
x
==
+
=
+
=
+

Thí dụ 2. Với bốn số
dcba ,,,
bất kì, cmr:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba

++++++
.

Giải. Chọn ba véc tơ
( ) ( ) ( )
dcvbaudbcaw ,,,,,

++
ta có:

( ) ( ) ( )
22
. dbcavuw
+++=+

Mặt khác:
( )
( )
( ) ( )
(
)
....
2222
22
dcbadbcavuwvuw
++++++=++


Từ hai điều trên suy ra:
( ) ( )

22
2222
dbcadcba
++++++
.(đpcm)
Thí dụ 3. Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
.
2
3
coscoscos
++
CBA
THPT Triệu Sơn 4
Trang 1
Hình học 10
Giải. Gọi đờng tròn (I;r) nội tiếp
ABC

có các tiếp điểm
111
,, CBA
lần lợt thuộc
ABCABC ,,
khi đó xét:
2
1 1
1
0.IA IB IC

+ +

ữ

uur uur uur

.0...2
111111
2
1
2
1
2
1







+++++


IAICICIBIBIAICIBIA

(1)
Mà
.cos..;cos..;cos..;
2
1
2

11
2
11111
1
BrIAICArICIBCrIBIArICIBIA
======


Nên

(1)
( )
.0coscoscos.2.3
22
++
CBArr


.
2
3
coscoscos
++
CBA
Dễ thấy đấu bằng có đợc khi
I
trùng với
G
hay tam giác
ABC

đều.

Thí dụ 4. Chứng minh rằng tam giác
ABC
có:
.
4
9
sinsinsin
222
++
CBA
Từ đó cmr:

.
2
3.3
sinsinsin
++
CBA
Giải. Gọi (O;R) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
khi đó xét:

.0
2

++

OCOBOA

0...2
222







+++++


OAOCOCOBOBOAOCOBOA

(1)
Ta có:
.sin42..2
222222
2
22
CRRABOBOAOBOAOBOAOBOA
=+=

+=





Tơng tự cho hai tích vô hớng còn lại ta thu đợc:

(1)
( )
0sinsinsin..4.9
22222
++
CBARR


.
4
9
sinsinsin
222
++
CBA

Dấu bằng có đợc khi

O
trùng với
G
hay tam giác
ABC
đều.
Để chứng minh:
.
2
33
sinsinsin
++
CBA
Ta chọn
( ) ( )
1;1;1,sin;sin;sin vCBAu

và áp
dụng
(*)
ta có ngay:
.
2
33
4
9
.3sinsinsin.3sinsinsin
222
=++++
CBACBA

Dấu bằng đạt đợc khi tam giác
ABC
đều.

Vận dụng trong các bài toán liên quan đến ph ơng trình và
hệ ph ơng trình.
Thí dụ 5. Giải phơng trình sau:
.9
1
22
+=+
+
xx
x
Giải. Điều kiện
0

x
.
Chọn
( )

++
+
1
;
1
1
,1;22
x
x
x
vxu

, áp dụng (*) ta suy ra:

.9
1
1
.18
1
22
+=
+
+
+++
+
x
x
x
xx
x

THPT Triệu Sơn 4
Trang 2
Hình học 10
Nh vậy dấu bằng đạt đợc khi:
.
7
1
1
1
22
==
+
x
x
x
Kết luận phơng trình đã cho có nghiệm
7
1
=
x
.
Thí dụ 6. Giải hệ phơng trình sau:





=+
=
=+

0
0
1
2
2
2
zyz
zxy
yzx
Giải. Chọn ba véc tơ:
( ) ( ) ( )
xywzxvzyu

;,;,;

.
Từ phơng trình thứ ba suy ra:
0.
=
vu


Từ phơng trình thứ hai suy ra :
0.
=
wu

Nếu
0

u
thì suy ra
wv

,
cộng tuyến
0
2
=+
yzx
trái với phơng trình đầu.
Nh vậy
0


=
u
hay
0
==
zy
. Từ pt đầu
10
2
==+
xyzx
.
Kiểm tra lại ta có nghiệm của hệ (x;y;z) là: (1;0;0) và (-1;0;0).

Thí dụ 7. Giải hệ phơng trình sau:
2 2 2
3 3 3
1
1
1
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

Giải. Chọn
( )
( )
2 2 2
; ; , ; ;u x y z v x y z
r r
từ đề bài suy ra
3 3 3
1, . 1.u u v x y z= = + + =
r r r
Mặt khác ta lại có
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2

1 2 1.v x y z x y y z z x= + + = + +
r
Nên suy ra
. 1u v
r r
.
Nh vậy dẫn đến
( )
( )
0
1, 0, 0
1
0
0, 1, 0
0
cos , 1
0, 0, 1
, 0
xy
x y z
v
yz
x y z
zx
u v
x y z
u v
=

= = =

=
=


= = =


=
=




= = =


=

r
r r
r r

Thử lại ta đợc nghiệm của hệ là
( ) ( ) ( ) ( )
; ; 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1x y z =
.
Thí dụ 8. Giải hệ

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )





+=+
=+
=+
2
222
132
032
01
zyzxz
zxyzx
yzyx

Giải. Chọn
( ) ( ) ( )
zxzwzyvyxu

;32,;1,;

.
Từ pt đầu suy ra:
0.
=

vu

. (1)
Từ pt hai suy ra:
0.
=
wu

. (2)
Từ pt ba suy ra:
22
wv

=
. (3)
Nếu
0


=
u

0
==
yx
thay vào hệ suy ra:
1
=
z
hoặc

.2
=
z
Nếu
0



u
từ (1) và (2) suy ra
wv

,
cộng tuyến.
THPT Triệu Sơn 4
Trang 3
Hình học 10
Mà từ (3) có
22
wv

=
nên ta suy ra:
wv

=
.
Với

=
=




=
=
=
zx
zy
zxz
zy
wv
2
22321

Thay
,y z
vào (1) ta đợc
.
3
4
,
3
2
,
3
8

===
zyx
Với



=
=




=
=
=
0
24231
x
zy
xzz
zy
wv

Thay vào (1) ta đợc
0,4,0
===
zyx
hoặc
.2,0,0
===

zyx
Kết luận nghiệm của hệ (x;y;z) là: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) và
.
3
4
;
3
2
;
3
8






Thí dụ 9. Giả sử hệ





=++
=++
16
3
22
22
zyzy

yxyx
có nghiệm. Cmr:
8
++
zxyzxy
.
Giải. Chọn








+








+
2
;
2
3
,

2
3
;
2
z
yzvx
x
yu

. Từ hệ ta có:
.4,3
==
vu

Mặt khác:
( )
zxyzxyvu
++=
2
3
.

, mà
.34..
=
vuvu

Nh vậy suy ra:
8
++

zxyzxy
.(đpcm).
Thí dụ 10. Cho
.,,, Rdcba

Có
1
2222
=+=+
dcba
và
0=+ bdac
. Tính
cdab
+
.
Giải. Chọn
( ) ( )
.;,; dcvbau

Khi đó theo đề bài có:
1
==
vu

và
0.
=
vu

.
Do
0.
=
vu

nên
( )
bau ;

cộng tuyến với
( )
.;cdw


Theo gt có
.1
==
wu

Nên
wu

=
.
Nếu
.0
=+=

=
=
=
dcabdcab
cb
da
wu

THPT Triệu Sơn 4
Trang 4
Hình học 10
Nếu
.0
=+=



=
=
=
dcabdcab
cb
da
wu


Kết luận:
.0
=+

dcab
Thí dụ 11. Giả sử hệ





=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
có nghiệm, cmr:
.3
333
abccba
=++

Giải. Chọn
( ) ( ) ( )
bacwacbvcbau ;;,;;,;;

và
( )
1;;

yxm

. Nh vậy hệ tơng đơng với:

=
=
=
0.
0.
0.
mw
mv
mu



, do
0



m
nên ta suy ra ba véc tơ
( ) ( ) ( )
bacwacbvcbau ;;,;;,;;

là đồng phẳng. Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra đợc các
góc

( ) ( ) ( )
uwwvvu

,,,
==
. Điều này tơng đơng với
wvu

==
hoặc
( ) ( ) ( )
uwwvvu

,,,
==
=
3
2

.
Nếu
wvu

==
thì
cba
==

.3
333

abccba
=++
(đpcm)
Nếu
( ) ( ) ( )
uwwvvu

,,,
==
=
3
2

thì suy ra
wvu

=+
.0
=++





=+
=+
=+

cba
bac

acb
cba
Theo hằng đẳng
thức
( )
( )
cabcabcbacbaabccba
++++=++
222333
3


=++
03
333
abccba
.3
333
abccba
=++
(đpcm)
Thí dụ 12. Giả sử hệ



=++
=++
4
8
222

zxyzxy
zyx
có nghiệm, cmr:
.
3
4
,,
3
4

zyx
Giải. (Quy ớc số 0 có dấu dơng hoặc âm).
Do vai trò của
, ,x y z
là nh nhau nên ta chỉ cần chứng minh cho biến
x
là đủ.
Từ hệ ta chỉ ra ngay đợc
, ,x y z
cùng dấu. Thật vậy không mất tổng quát:
Giả sử
.0;0,
<>
zyx
Ta
.4
2
8
22
4

22222
==
++
<
+
<
zyxyx
xy
( Vô lí).
Giả sử
.0,;0
<>
zyx
Ta suy ra:
4
2
8
22
4
22222
==
++
<
+
<
zyxzy
yz
.(Vô lí).
Nên ba số
.0,,

zyx
hoặc
.0,,

zyx
Ta có
( ) ( )
zxyzxyzyxzyx
+++++=++
2
222
2
, theo gt suy ra:
THPT Triệu Sơn 4
Trang 5