SKKN một số DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG gặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 33 trang )
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
I/ PHẦN MỞ ĐẦU
I.1) Lý do chọn đề tài
Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một
bài toán quan trọng của môn hình học giải tích. Các bài toán này
thường có trong các đề thi về môn Toán ở các kỳ thi vào Đại học và
Cao đẳng trong tất cả các năm.
Đây là một bài toán mà đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong
việc tìm ra cách giải, học sinh nhiều khi không giải được các bài toán
này, mặc dù trình độ các em hoàn toàn có thể giải được.
Từ những nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của
bản thân, tôi hệ thống lại một số dạng toán viết phương trình đường
thẳng trong không gian thường gặp, nhằm giúp các em học sinh giải
các bài toán này một cách dễ dàng hơn.
I.2) Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Nhằm giúp các em học sinh giải được các bài toán viết phương trình
đường thẳng trong không gian, góp phần nâng cao chất lượng bài làm
trong thi cử.
I.3)Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 12
I.4) Giới hạn phạm vi nghiên cứu: học sinh các trường THPT
trong thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đăk Lăk.
I.5) Phương pháp nghiên cứu: tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về
dạng bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, tổng
hợp kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, đề thi Đại học qua nhiều
năm, …
II/ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG
DỤNG
II.1) Cơ sở lý luận
Qua quá trình dạy toán ở cấp THPT với đề tài “MỘT SỐ DẠNG
TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG
GẶP”, việc tìm ra cách để giải một bài toán viết phương trình đường
thẳng trong không gian là một vấn đề không quá khó. Tôi hy vọng đề
tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh lớp 12 trong việc giải các bài
toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, giúp các em có
phương pháp giải nhất định đối với bài toán này. Từ đó các em sẽ
hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi.
II.2) Thực trạng
a)Thuận lợi- khó khăn
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 1
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Học toán và tìm cách giải một bài toán là một vấn đề khó khăn đối
với nhiều học sinh có kiến thức chưa vững. Trong khi đó bài toán viết
phương trình đường thẳng trong không gian là một bài toán khá quan
trọng của chương trình lớp 12. Nhận ra được mối liên hệ giữa đường
thẳng trong mặt phẳng và trong không gian, nhưng khi bắt tay vào viết
phương trình đường thẳng, học sinh vẫn thường xuyên lúng túng. Do
đó kết quả bài làm không cao.
b) Thành công- hạn chế
Việc tìm ra cách giải và thực hiện một bài toán viết phương trình
đường thẳng trong không gian đối với học sinh không còn quá khó
khăn nữa. Tuy nhiên học sinh vẫn còn lúng túng, nhiều học sinh vẫn
thụ động, dù đã nhận biết được sẽ giải bài toán này theo phương pháp
nào, gồm những bước gì nhưng khi trình bày lại có nhiều thiếu sót.
c) Các nguyên nhân, yếu tố tác động
Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh rất
ngại học toán và giải các bài toán về viết phương trình đường thẳng
trong không gian. Trong giờ học các em tỏ ra mệt mỏi, lười suy nghĩ.
Nếu như các em không nắm được một số dạng bài toán về viết phương
trình đường thẳng trong không gian thường gặp thì khi làm bài kiểm
tra về phần này, cũng như khi thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học, Cao
đẳng, các em sẽ dễ dàng bỏ qua bài toán này, và như thế kết quả số học
sinh đạt điểm cao môn Toán là không nhiều.
III/ NỘI DUNG
III.1) Mục tiêu
Giúp học sinh có những tư liệu có ích, cải tiến phương pháp học
toán nói chung và phương pháp giải bài toán viết phương trình đường
thẳng trong không gian nói riêng.
III.2) Nội dung “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP”
A . Kiến thức cơ bản
Trước khi giới thiệu các dạng toán viết phương trình đường thẳng
thường gặp, tôi xin đề cập đến phần kiến thức cơ bản của phương trình
đường thẳng trong không gian. Đây không phải là một phương pháp
đặc biệt ,mà đây là kiến thức học sinh phải biết nếu muốn viết phương
trình đường thẳng.
Đường thẳng trong không gian được cho bởi các dạng cơ bản sau
Phương trình dạng tham số
Đường thẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 với vectơ chỉ phương
x x0 at
u a; b; c có dạng : y y0 bt t .
z z ct
0
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 2
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
(Mỗi giá trị t cho ta một giá trị tương ứng x, y, z là tọa độ của một điểm
M thuộc đường thẳng).
Phương trình dạng chính tắc:
Đường thẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 với vectơ chỉ phương
x x0 y y0 z z0
; với điều kiện abc 0.
u a; b; c có dạng :
a
b
c
B. Các yếu tố để một đường thẳng được xác định
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có
một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của
hai mặt phẳng đó. Đường thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt
phẳng.
- Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song
song với một đường thẳng nào đó của mặt phẳng.
- Qua một điểm cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng cho trước.
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
đó.
C. Một số dạng toán thường gặp
Khi nắm vững phần lý thuyết này các em sẽ xác định rõ nhiệm vụ
khi gặp bài toán viết phương trình đường thẳng, từ đó vận dụng linh
hoạt các phương pháp giải toán được đề nghị qua các bài toán sau đây.
Để tiện cho việc trình bày, tôi sử dụng một số từ viết tắt và ký hiệu
sau:
- VTPT: vectơ pháp tuyến.
- VTCP: vectơ chỉ phương.
- PTTS: phương trình tham số.
- PTCT: phương trình chính tắc.
- Vectơ u để chỉ vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Vectơ n để chỉ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 3
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và
thỏa mãn một số yếu tố cơ bản.
*Cách giải
- Tìm VTCP theo yêu cầu đề bài, cần lưu ý các dạng sau:
(1)
đi qua A;B u AB
(3)
/ / d u ud
(5)
a
u
ua , nP
/ / P
(2)
(P) u nP
(4)
a
u ua , ub
b
- Viết phương trình đi qua điểm M và có VTCP u dưới dạng
PTTS hoặc PTCT.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham
số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua hai
điểm A(1;2;3),B(3;5;7).
Giải
- đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương là AB 2;3; 4 .
-
x 1 2t
Vậy phương trình tham số của là : y 2 3t
z 3 4t
- Phương trình chính tắc của là:
x 1 y 2 z 3
2
3
4
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A 1; 4; 2 , B 1; 2; 4 . Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương
trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại G.
Giải
4 2 2
1
1
4
;
;
- Dễ thấy: G(0;2;2). OA, OB
12; 6;6
2 4 4 1 1 2
- Vectơ pháp tuyến n của (OAB) được xác định như sau:
n OA
n
2; 1;1 .
Chọn
n OB
- Đường thẳng d OAB nên vectơ chỉ phương của d chính là
n 2; 1;1 . Mà G(0;2;2) d
nên phương trình của d là:
x y 2 z 3
.
2
1
1
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 4
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 3: (Đề Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có
A 1;1;0 , B 0;2;1 và trọng tâm G 0; 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Giải
Ta có:
- G là trọng tâm tam giác ABC C 1;3; 4 .
-
AB 1;1;1 , AC 2; 2; 4
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có VTCP là
u cùng phương với AB, AC 6; 6;0 . Chọn u 1;1;0 .
- Đường thẳng đi qua điểm C nên phương trình của đường thẳng
x 1 t
: y 3 t
z 4
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;0) và
mặt phẳng P : x 2 y 2z 9 0. Viết phương trình đường thẳng qua A
và vuông góc với P .
Giải
- Mặt phẳng P có VTPT là n 1; 2; 2
-
P nhận n làm VTCP.
- Đường thẳng qua A(-2;1;0) nên có phương trình tham số là:
x 2 t
y 1 2t
z 2t
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
x 1 2t
đường thẳng qua A(1;2;3) và song song với đường thẳng d : y 3 t .
z 2t
Giải
- Đường thẳng d có VTCP là u 2;1; 2 .
-
/ /d nhận u làm VTCP.
- Đường thẳng qua A(1;2;3) nên có phương trình tham số là:
x 1 2t
y 2t
z 3 2t
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 5
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường thẳng qua A(1;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng
x 4 t
x 3 y 1 z 7
và b : y 2t
a:
2
1
2
z 3t 1
Giải
- Đường thẳng a và b lần lượt có VTCP là a 2;1; 2 ; b 1; 2;3
- Vì vuông góc với cả hai đường thẳng a và b nên ta có:
u a
VTCP của là a, b 1; 8;5
u b
- Đường thẳng qua A(1;1;1) nên có phương trình chính tắc là:
x 1 y 1 z 1
1
8
5
Ví dụ 7: (Đề Đại học khối B năm 2013)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho các điểm A 1; 1;1 , B 1;2;3
và đường thẳng :
x 1 y 2 z 3
. Viết phương trình đường thẳng đi
2
1
3
qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và .
Giải
- Ta có AB 2;3; 2 , VTCP của là u 2;1;3 .
- Đường thẳng vuông góc với AB và , có VTCP là v AB, u
Suy ra v 7; 2; 4 .
- Đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và
có phương trình là:
x 1 y 1 z 1
.
7
2
4
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
a/ Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng
P : x y z+1 0 , qua điểm M 1,1,1 và vuông góc với đường thẳng
d:
x 3 y z 2
.
3
1
2
b/ Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
: 3x y 5z 1 0 , qua một điểm thuộc Oy và vuông góc với đường
thẳng a :
x 1 y z 7
.
3
5
3
Giải
a) Mặt phẳng có VTPT n 1;1; 1 ; đường thẳng d có VTCP là
u 3;1; 2 .
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 6
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Gọi v là VTCP của đường thẳng . Vì song song với mặt
phẳng P và vuông góc với đường thẳng d nên ta có:
v n
VTCP của là n, u 3;1; 4
v u
- Đường thẳng qua M 1,1,1 nên có phương trình chính tắc là:
x 1 y 1 z 1
3
1
4
b)
- Gọi A là giao điểm của và Oy. Thế x z 0 , ta được y 1
A(0;1;0).
- Vì d nằm trong và đi qua điểm thuộc trục Oy nên d qua A.
- Lại có VTPT của là n 3;1; 5 và VTCP của a là a 3; 5; 3
nên VTCP của d là: n, a 2 14;3;9 .
- Do đó phương trình của d là:
x y 1 z
14
3
9
Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của
đường thẳng đi qua hai điểm
a) A(1;-2;3), B(3;0;0).
b) M( 0;2;-1), N(2;3;6).
2. Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với
trong mỗi trường hợp sau:
a) M 1;0; 1 ; : 2x y z 9 0
b) M 2;1;0 ; : x 2 y 2z 1 0
3. Viết phương trình đường thẳng qua M và song song với đường
thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a)
x 1 2t
M 4;3;1 ; d : y 3t
z 3 2t
b) M 2;0; 3 ; d :
x 1 y 3 z
2
3
4
4. Viết phương trình đường thẳng d qua A(3;1;0) và vuông góc với
trục Ox và đường thẳng a :
x 13 y 2 z 3
.
4
1
3
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 7
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
5. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
: 3x y 5z 1 0, cắt trục Oy và vuông góc với đường thẳng
a:
x 1 y z
.
2
5 1
BÀI TOÁN 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M , cắt
và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
*Cách giải
- Viết phương trình mp P qua M và vuông góc với d .
- Tìm tọa độ A d P
- Dễ thấy qua M và A, từ đó suy ra phương trình của .
Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 4; 2;4 và đường
x 3 2t
thẳng d : y 1 t . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A,
z 1 4t
cắt và vuông góc với d .
Giải
- Gọi P là mặt phẳng qua A và vuông góc với d .
P qua A(-4;-2;4) và có một VTPT là n ud 2; 1; 4 .
Phương trình P : 2 x 4 1 y 2 4 z 4 0 2x y 4z 10 0
- Gọi H d P Tọa độ H thỏa:
-
x 3 2t
y 1 t
H 1;0;3
z
1
4
t
2x y 4z 10 0
Ta có: AH 3; 2; 1 .
- Dễ thấy qua A(-4;-2;4) và H nên phương trình :
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 8
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
x4 y2 z4
.
3
2
1
Ta cũng có thể giải bài toán dạng này theo cách sau:
* Cách giải 2
- Viết PTTS của đường thẳng d .
- Gọi H d tọa độ của H theo tham số t .
- Ta có MH d MH .ud 0 . Từ đó suy ra giá trị của tham số và phương
trình đường thẳng .
Với ví dụ trên, ta có thể giải như sau
- Gọi H d H 3 2t;1 t; 1 4t AH 1 2t;3 t; 5 4t
- Đường thẳng d có VTCP là
ud 2; 1; 4
AH d AH .ud 0 2 1 2t 13 t 4 5 4t 0
t 1
AH 3; 2; 1
:
x4 y2 z4
3
2
1
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường
thẳng đi qua điểm A(3;2;1) vuông góc với đường thẳng
x y z3
2 4
1
và cắt đường thẳng đó.
BÀI TOÁN 3: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt
phẳng (P), cắt và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
*Cách giải
- VTCP của d là ud , VTPT của (P) là n
- Tìm giao điểm M d P
- VTCP của là u ud , n
- qua M và có VTCP u . Từ đó suy ra phương trình.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 9
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Ví dụ: (Đề tuyển sinh Đại học khối D-2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
:
cho
đường
thẳng
x2 y2 z
và mặt phẳng P : x 2 y 3z 4 0 .
1
1
1
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), vuông góc với và
cắt .
Giải
x 2 t
- Phương trình tham số của : y 2 t
z t
- Gọi M x; y; z P
Vì d P và cắt d nên Md. Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ
x 2 t
y 2 t
phương trình:
M 3;1;1
z t
x 2 y 3z 4 0
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n 1; 2; 3 ; đường thẳng có vectơ chỉ
phương là u . Gọi u là vectơ chỉ phương của d. Ta có:
d
u u , n 1; 2;1
d n
- Vậy d có phương trình là:
x 3 y 1 z 1
1
2
1
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
x 1 y z 1
1 1
2
và mặt phẳng P : x 2 y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm
trong (P), vuông góc với và cắt .
BÀI TOÁN 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt
đường thẳng d’ và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 10
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
*Cách giải
- Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và vuông góc với d.
- Tìm giao điểm N d ' P .
- Viết phương trình MN
Ví dụ 1: (Đại học khối D năm 2011)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường
thẳng d :
x 1 y z 3
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A,
2
1
2
vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
Giải
- Gọi M m;0;0 là giao điểm của với trục Ox, suy ra
-
AM m 1; 2; 3
VTCP của d là a 2;1; 2 .
d AM d AM .a 0 2 m 1 1 2 2 3 0 m 1
Đường thẳng đi qua M và nhận AM 2; 2; 3 làm VTCP nên
có phương trình:
x 1 y 2 z 3
2
2
3
Có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Cách 2
- đi qua A và cắt trục Ox nên nằm trên mặt phẳng (P) đi qua A
và chứa trục Ox.
- đi qua A và vuông góc với d nên nằm trên mặt phẳng (Q) đi
qua A và vuông góc với d.
- Ta có:
+ VTPT của (P) là nP OA, i
+ VTPT của (Q) là nQ ad
-
P Q VTCP của là: a nP , nQ
Cách 3
- Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d Q : 2x y 2z 2 0
- Gọi M là giao điểm của Ox và (Q) M 1;0;0
- VTCP của là AM .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm A 0;1;1 , vuông góc với đường thẳng
x 1
x 1 y 2 z
d1 :
và cắt đường thẳng d 2 : y t
.
3
1
1
z 1 t
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 11
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Giải
- Đường thẳng d1 có VTCP a 3;1;1 ; đường thẳng d 2 có VTCP
b 3;1;1 .
- Gọi là mặt phẳng đi qua A 0;1;1 và vuông góc với d1 . Suy ra
VTPT của là
a 3;1;1 , nên phương trình mặt phẳng là:
3 x 0 1 y 1 1 z 1 0 3x y z 2 0
- Gọi
B x, y, z d2 ,
tọa
độ
của
B
thỏa
x 1
x 1
y t
mãn:
y 2 hay B 1; 2;3 .
z
1
t
z 3
3x y z 2 0
Đường thẳng đi qua điểm A 0;1;1 , vuông góc với đường thẳng d1 và
cắt đường thẳng d 2
chính là đường thẳng qua A, B tức nhận
x
y 1 z 1
AB 1;1; 2 làm VTCP nên có phương trình:
.
1
1
2
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm A 2;1;3 , vuông góc với đường thẳng
x 2 y 1 z
x 1 y 1 z 1
và cắt đường thẳng d2 :
.
1
1 1
2
1
1
x 2 6t
Đs: : y 1 5t
z 3 11t
d1 :
BÀI TOÁN 5: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai
mặt phẳng P và Q .
*Cách giải
- Giả sử P : Ax By Cz D 0; Q : A ' x B ' y C ' z D ' 0
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 12
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Đường thẳng là tập hợp các điểm M x; y; z thỏa mãn hệ phương
Ax By Cz D 0
A' x B ' y C ' z D ' 0
trình
Ta có thể lập được phương trình của bằng một trong ba cách sau:
(1) Tìm tọa độ hai điểm phân biệt A và A’ thuộc rồi viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
(2) Tìm tọa độ một điểm A thuộc và một VTCP của nó rồi viết
PTTS của .
(3) Trong hệ (1) Cho z f t , t (thường cho z t hoặc y t hoặc
x t ), rồi tìm x, y theo t . Từ đó suy ra phương trình tham số
của .
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng
và ' lần lượt có phương trình
x 2 y z 1 0 và x y 2z 3 0 . Viết phương trình đường thẳng là
giao tuyến của hai mặt phẳng và ' .
Giải
- Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau vì bộ ba số (1;2;-1) không tỉ lệ
với bộ ba số (1;1;2).
- Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm
các điểm M x; y; z vừa thuộc vừa thuộc ' nên tọa độ của
x 2 y z 1 0
M là nghiệm của hệ:
1
x y 2z 3 0
- Bây giờ ta có thể viết phương trình tham số của d bằng một
trong các cách sau đây:
Cách 1. Tìm tọa độ hai điểm phân biệt A và A’ thuộc d rồi viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
- Trong hệ (1) cho z=0, ta tìm được x=-5, y=2. Vậy điểm A 5;2;0
thuộc d .
- Lại cho z=1, ta được x=-10, y=5. Vậy A ' 10;5;1 cũng thuộc d .
- VTCP của d là AA ' 5;3;1 nên d có phương trình tham số là:
x 10 5t
y 5 3t
z 1 t
Cách 2. Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một VTCP của nó rồi
viết PTTS của d .
- Trong hệ (1) cho z=0 rồi tìm x và y, ta được x=-5, y=2. Vậy điểm
A(-5;2;0) thuộc d .
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 13
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Gọi n1 1; 2; 1 là VTPT của mặt phẳng , n2 1;1; 2 là VTPT
của mặt phẳng ' . Đường thẳng d vuông góc với hai vectơ n1
và n2 nên nó có VTCP u n1 , n2 5; 3; 1 .
-
x 10 5t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: y 5 3t
z 1 t
Cách 3. Trong hệ (1) cho z t rồi tìm x, y theo z t , ta được
x 5 5t
y 2 3t
z t
Đó cũng là phương trình tham số của đường thẳng d .
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng : x z 1 0 và
: 2x 2 y 3z 1 0 .
x 4 2t
Đs: : y t
z 3 2t
BÀI TOÁN 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt
hai đường thẳng a, b cho trước.
*Cách giải
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa M và đường thẳng a.
- Tìm giao điểm B của b và (P).
- Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua M và B.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 14
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường thẳng d đi qua điểm M 3;10;1 và cắt cả hai đường thẳng
d1 :
x 2 y 1 z 3
x 3 y 7 z 1
.
, d2 :
3
1
2
1
2
1
Giải
- Đường thẳng d1 đi qua A 2; 1; 3 và có VTCP u1 3;1; 2
-
x 3 t
Đường thẳng d 2 có PTTS là: y 7 2t
z 1 t
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và đường thẳng d1 . Suy ra
AM 1;11; 4 , và (P) có VTPT n AM , u1 18;10; 32
Phương trình mặt phẳng
P :18 x 3 10 y 10 32 z 1 0 9x 5y 16z 61 0
- Gọi B d2 P . Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình
x 3 t
x 4
y 7 2t
y 5 B 4;5;0
z 1 t
z 0
9x 5 y 16z 61 0
- Đường thẳng d đi qua điểm M 3;10;1 và nhận vectơ MB 1; 5; 1
làm VTCP nên có phương trình:
x 3 y 10 z 1
.
1
5
1
Ta cũng có thể giải bài toán dạng này theo các cách sau:
*Cách giải 2
- Chuyển phương trình đường thẳng a, b về dạng tham số t và t’.
- Gọi A a A t ; B b B t ' .
t
t '
- Do M , A, B MA k MB
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình
đường thẳng d đi qua điểm A 1; 1;1 và cắt cả hai đường thẳng
x 2 t
x 1 y 3 z 1
và d 2 : y t
d1 :
2
1
2
z 3t
Giải
-
x 1 2t '
Đường thẳng d1 có phương trình tham số y 3 t '
z 1 2t '
- Gọi:
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 15
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
B d d1 B d1 B 1 2t '; 3 t '; 1 2t ' ,
-
C d d2 C d2 C 2 t ; t ;3t
Do A, B, C d AB k AC 2t '; 2 t '; 2 2t ' k 1 t; t 1;3t 1
2tt ' 2t ' 2 tt ' 2t t '
2t ' 2 t ' 2 2t '
1 t
t 1
3t 1
6tt ' 2t ' 2tt ' 2t 2t ' 2
3tt ' t ' 2t 2
t 1
tt ' t ' 0
4tt ' 2t 2
t ' 0
-
x 1
Với t 1 t ' 0 AB 0; 2; 2 ud 0;1;1 d : y 1 t
z 1 t
-
x 1
Với t ' 0 t 1 AB 0; 2; 2 ud 0;1;1 d : y 1 t .
z 1 t
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình
đường thẳng d đi qua điểm M 4; 5;3 và cắt cả hai đường thẳng
d1 :
x 1 y 3 z 2
x 2 y 1 z 1
.
, d2 :
3
2
1
2
3
5
- Phương
trình
tham
Giải
số
của
các
đường
thẳng
x 5 3t1
x 2 2t2
d1 : y 7 2t1 ; d 2 : y 1 3t2
z t
z 1 5t
1
2
- Gọi A d d1 , B d d2 A 5 3t1; 7 2t1; t1 , B 2 2t2 ; 1 3t2 ;1 5t2
MA 9 3t1; 2 2t1; 3 t1 , MB 6 2t2 ; 4 3t2 ; 2 5t2
MA, MB 13t1t2 8t1 13t2 16; 13t1t2 39t2 ; 13t1t2 24t1 31t2 48
t 2
A,M,B thẳng hàng MA, MB cùng phương MA, MB 0 1
t2 0
A 1; 3;2 , B 2; 1;1 AB 3;2; 1 .
-
Đường
thẳng
d
đi
qua
điểm
M 4; 5;3
và
có
VTCP
x 4 3t
AB 3; 2; 1 d : y 5 2t
z 3 t
*Cách giải 3: ngoài hai cách giải trên, ta có thể viết phương trình
đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Lấy bất kỳ điểm Aa; Bb (thường chọn luôn trên đề). Tính
AM ; BM .
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 16
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Gọi
P chứa AM và a
nQ AM , ub .
nP AM , ua và
Q chứa AM và b
Gọi P Q u nP , nQ ; từ đó đưa ra kết luận.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm M 1; 1;1 và cắt cả hai đường thẳng
x 1 2t
và
d1 : y t
z 3 t
d2
là
giao
tuyến
của
hai
mặt
phẳng
: x y 1 0; : y 2z 3 0
Giải
- Đường thẳng d1 đi qua điểm A 1;0;3 có VTCP u1 2;1; 1 .
- Đường
thẳng
d2
đi
qua
điểm
B 2;3;0
có
VTCP
1 1 1 1 1 1
u2
;
;
1; 2;1 .
1 2 2 0 0 1
- Gọi P là mặt phẳng qua M 1; 1;1 và chứa đường thẳng d1 , có
VTPT là nP . Ta có: MA 0;1; 2
nP u1
nP u1 , MA 3; 4; 2
nP MA
Do đó phương trình mp P là: 3 x 1 4 y 1 2 z 1 0 hay
3x-4y+2z 9 0
- Gọi Q là mặt phẳng qua M 1; 1;1 và chứa đường thẳng d 2 , có
VTPT là nQ . Ta có: MB 3; 4; 1
nQ u2
nQ u2 , MB 2; 2; 2
nQ MB
Do đó phương trình mp Q là: 2 x 1 2 y 1 2 z 1 0 hay
x y z 1 0
- Rõ ràng P cắt Q và xét đường thẳng d là giao tuyến của P
và Q .
4 2 2 3 3 4
;
;
6; 1;7 là VTCP của d .
1
1
1
1
1
1
+ Từ đó suy ra u không cùng phương với u1 và cũng không cùng
phương với u2 .
+ Gọi u
+ Vì thế trong P thì d cắt d1 ; trong Q thì d cắt d 2 . Vậy d là
đường thẳng duy nhất cần tìm.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 17
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 1;1 và nhận u 6; 1; 7 làm
VTCP nên có phương trình:
x 1 6t
y 1 t
z 1 7t
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm A 1;0;14 và cắt cả hai đường thẳng
x 1 y z 1
x 3 y 3 z 4
.
, d2 :
1
1
6
2
2
1
x 1 y z 14
Đs: d :
3
1
9
d1 :
BÀI TOÁN 7: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng
P , cắt hai đường thẳng a, b cho trước.
*Cách giải
- Gọi A a P Tọa độ A.
- Gọi B b P Tọa độ B.
- Phương trình đường thẳng AB là phương trình đường thẳng phải
tìm.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng nằm trong mặt phẳng P : y 2z 0 , cắt hai đường thẳng
x 1 t
x 2 t
1 : y t
và 2 : y 4 2t .
z 4t
z 1
Giải
- Gọi A 1 P Tọa độ điểm A thỏa mãn:
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 18
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
x 1 t
x 1
y t
y 0 A 1;0;0
z 4t
z 0
y 2z 0
- Gọi B 2 P Tọa độ điểm B thỏa mãn:
x 2 t
x 5
y 4 2t
y 2 B 5; 2;1
z 1
z 1
y 2z 0
- Đường thẳng cần tìm đi qua A và B nhận vectơ AB 4; 2;1 làm
VTCP nên có phương trình
x 1 y z
.
4
2 1
Bài tập áp dụng
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng nằm trong mặt phẳng : x z 0 , cắt hai đường thẳng
x 2 t
x2 y 5 z
và b : y 4 2t .
a:
1
3
1
z 1
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng nằm trong mặt phẳng : x 2y+1 0 , cắt hai đường thẳng
x 1 y z 1
x 2 y 1 z
và d 2 :
.
1 1
2
1
2
1
x 1 2t
Đs: : y 1 t
z 1 4t
d1 :
BÀI TOÁN 8: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng P , cắt hai đường thẳng a, b cho trước.
* Cách giải
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 19
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận VTPT nP
của (P) làm VTCP.
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và . Mặt
phẳng (Q) đi qua một điểm M thuộc a và có VTPT là nQ ua , nP .
- Tìm B b Q .
- Đường thẳng đi qua B và nhận nP làm VTCP, từ đó suy ra phương
trình.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 và cắt cả
x t
x 1 2t
hai đường thẳng d1 : y 4 t và d 2 : y 3 t
z 3 t
z 4 5t
Giải
- Mặt phẳng P có VTPT là nP 1; 2; 3 ; đường thẳng d1 có VTCP
là u1 1;1; 1 ; đường thẳng d 2 có VTCP là u2 2;1; 5 .
- Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P nên nhận nP
làm
VTCP.
- Gọi Q là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d1 có VTPT là
2 3 3 1 1 2
;
;
nQ . Ta có: nQ nP , u1
1; 2; 1
1 1 1 1 1 1
M 0; 4;3 d1 M Q
Phương trình mặt phẳng Q :
1 x 0 2 y 4 1 z 3 0 x 2 y z 5 0
- Gọi B d2 Q , tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình
-
x 1 2t
x 3
y 3 t
y 1 B 3; 1; 6
z 4 5t
z 6
x 2 y z 5 0
Đường thẳng d đi qua B và nhận nP
trình
làm VTCP nên có phương
x 3 y 1 z 6
.
1
2
3
Ta cũng có thể giải bài toán dạng này bằng các cách sau:
* Cách giải 2
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 20
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
- Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuông
góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng có VTPT là n nP , ua .
- Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng b và vuông
góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng có VTPT là n nP , ub .
- Tìm giao điểm M
- Từ đó viết phương trình qua M có VTCP nP
Với ví dụ 1, ta có lời giải sau:
- Mặt phẳng P có VTPT n 1; 2; 3 ; đường thẳng d1 có VTCP
-
u1 1;1; 1 và d 2 có VTCP u2 2;1; 5 .
Vì d P VTCP của d là n 1; 2; 3 .
- Gọi
R là mặt phẳng chứa
d1 và vuông góc với (P). Suy ra
2 3 3 1 1 2
;
;
1; 2; 1
1
1
1
1
1
1
VTPT của R là nR
Mặt khác, R lại qua điểm M1 0; 4;3 d1 nên có phương trình:
x 2 y 4 z 3 0 x 2 y z 5 0
- Gọi Q là mặt phẳng chứa
d 2 và vuông góc với (P). Suy ra
2 3 3 1 1 2
;
;
7;11;5
1 5 5 2 2 1
VTPT của Q là nQ
Mặt khác, Q lại qua điểm M 2 1; 3; 4 d2 nên có phương trình:
7 x 1 11 y 3 5 z 4 0 7x 11y 5z 20 0
- Do đó d R Q .
15
5
M ;0; có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
2
2
x 2 y z 5 0
nên M d .
7x 11y 5z 20 0
- Điểm
5
x 2 t
Suy ra phương trình của đường thẳng cần tìm d : y 2t
.
15
z 3t
2
*Cách giải 3
- Giả sử PTTS của hai đường thẳng a,b lần lượt là:
x x1 at
x x2 a ' s
a : y y1 bt , b : y y2 b ' s
z z ct
z z c ' s
1
2
- Lấy M a M x1 at; y1 bt; z1 ct , N b N x2 a' s; y2 b' s; z2 c' s
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 21
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Suy ra: MN x2 a ' s x1 at; y2 b ' s y1 bt; z2 c ' s z1 ct
-
t ...
d P MN k .n, k *
Tọa độ của M, MN
s ...
Đường thẳng d đi qua M và nhận MN làm VTCP, từ đó suy ra phương
trình của d.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P : x y z 1 0 đồng thời cắt
x 1 t
x 1 y 1 z
cả hai đường thẳng d1 :
và d 2 : y 1 , với t .
2
1 1
z t
Giải
-
x 1 2s
PTTS của d1 : y 1 s
z s
M d1 M 1 2s; 1 s; s ;
MN t 2s 2; s; t s
- Lấy
-
N d2 N 1 t ; 1; t .
Suy
ra
4
t
5
1 3 2
*
d P MN k .n, k t 2s 2 s t s
M ; ;
5 5 5
s 2
5
2 2 2
MN ; ;
5 5 5
1
3
2
y
z
5
5
5
Suy ra d :
1
1
1
x
-
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:
P : 2x y z 1 0, Q : x y 2z 3 0, R : x 2 y 3z 1 0 và đường thẳng
1 :
x 2 y 1 z
. Gọi 2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương
2
1
3
trình đường thẳng d vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng
1 , 2 .
Đs: d :
23
1
1
z
y
8 .
12
12
1
2
3
x
BÀI TOÁN 9: Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng d
lên mặt phẳng P cho trước.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 22
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
*Có các khả năng sau
Nếu d P (tức VTCP u của d song song với VTPT n của P ).
Khi đó hình chiếu của d lên mặt phẳng P là một điểm (cụ thể nó là
hình chiếu của một điểm bất kì của d trên P . Khi đó bài toán
quy về tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng.
Nếu d / / P ( tức là VTCP u của d vuông góc với VTPT n của
P ). Khi đó, hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là một đường
thẳng d’ song song với d.
- VTCP của d’ là VTCP của d.
- Tìm một điểm M’ trên d’ bằng cách:
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M bất kì trên d
và vuông góc với mặt phẳng (P).
+ Gọi M ' ( P) . Tìm tọa độ điểm M’.
- Đường thẳng d’ đi qua M’ và có VTCP là ud . Từ đó suy ra
phương trình của d’.
Nếu d không vuông góc và không song song với P , ta có thể
thực hiện theo các cách được trình bày sau đây.
- Cách 1
+ Chọn bất kỳ hai điểm A; B d ; sau đó tìm hình chiếu A’; B’
lên P bằng cách viết đường thẳng đi qua A, B vuông góc với
P ; sau đó tìm giao điểm A’; B’.
-
+ Kết luận A’B’.
Cách 2
+ Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d và Q P .
+ là hình chiếu của d lên mặt phẳng P P Q .
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng là
giao tuyến của hai mặt phẳng : x y z 5 0, : 2x 3 y z 4 0 và
mặt phẳng P : 3x 2 y z 15 0
a) Viết phương trình mặt phẳng Q chứa và Q P .
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên
mặt phẳng P .
Giải
a) Đường thẳng là giao tuyến của và nên có VTCP là
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 23
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
1 1 1 1 1 1
u
;
;
4;1;5 ; A 1;0;6 thuộc .
3 1 1 2 2 3
-
x 1 4t
Phương trình đường thẳng : y t
z 6 5t
Mặt phẳng P có một VTPT là nP 3; 2; 1
-
Gọi Q là mặt phẳng chứa và Q P , VTPT của Q là:
nQ u, nP 9;11;5
Mặt phẳng Q đi qua A 1;0;6 và có một VTPT nQ 9;11;5 nên có
phương trình 9 x 1 11y 5 z 6 0 9x 11y 5z 21 0
b) Gọi d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
9
x 4 t
P thì: d P Q Phương trình của d : y 24t
27
z
51t
4
Ví dụ 2: (Đề dự bị 1- Đại học khối A năm 2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’ có A 0;0;0 , B 2;0;0 , C 0;2;0 , A ' 0;0;2 .
a) Chứng minh A’C vuông góc với BC’. Viết phương trình mặt
phẳng (ABC’).
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’
trên mặt phẳng (ABC’).
Giải
a) A 0;0;0 , B 2;0;0 , C 0;2;0 , A ' 0;0;2 C ' 0;2;2
Ta có: A ' C 0;2; 2 , BC ' 2;2;2 A ' C.BC ' 0 4 4 0
A ' C BC '
A ' C BC '
A ' C ABC '
Ta có:
A ' C AB
Suy ra (ABC’) qua A(0;0;0) và có VTPT là A ' C 0; 2; 2 nên có phương
trình là ABC ' : 0 x 0 2 y 0 2 z 0 0 y z 0 .
b) Ta có B ' C ' BC 2; 2;0
Gọi là mặt phẳng chứa B’C’ và vuông góc với (ABC’).
VTPT của là: n cùng phương với vectơ
B ' C ', A ' C 4; 4; 4 . Chọn n 1;1;1
Phương trình :1 x 0 1 y 2 1 z 2 0 x y z 4 0
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 24
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
Hình chiếu d của B’C’ lên (ABC’) là giao tuyến của với
(ABC’).
x 4 2t
Phương trình d : y t
z t
Bài tập áp dụng
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình hình
chiếu vuông góc của đường thẳng d :
x 1 y 2 z
lên mặt phẳng
1
2
3
Oxy .
x t
Đs: : y 4 2t ( là hình chiếu của d trên Oxy ).
z 0
tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A 3;4;1 , B 1; 2;5 , C 1;7;1 , D 1;4;2 . Viết phương trình hình chiếu
2. Trong
không
gian
với
hệ
vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng ABC .
Đs: ABC : 3x 2 y 6z 23 0
Mặt
phẳng
chứa
AD
và
vuông
góc
với
(ABC)
là
P : 2x 15 y 4z 50 0
d ABC P là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD lên mặt
phẳng ABC .
BÀI TOÁN 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua A P , P và
vuông góc với đường thẳng d cho trước.
*Cách giải
- Tính VTCP u ud , nP
- Kết luận.
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột
Trang 25
