chuyên đề các ứng dụng của định lý viét

Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu
NH Lí VIET

ý tởng
khai thác

Hệ thức
Viét(sgk)

đL Viét
Thuận

Đảo

ứng dụng

Pt bậc
2; 3 và
các
loại
toán
đại số

Mặt
phẳng
toạ độ
và hình
học

Số
học


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

Các ứng dụng của định lý viét
Phần I: cơ sở xuất phát.
Phần II: nội dung - phơng pháp.
A. lý thuyết (Kiến thức cơ bản và mở rộng).
B. Các ứng dụng của định lý viét.
* các ứng dụng cơ bản.
* các ứng dụng khác.

Phần III: các biện pháp thực hiện.
Phần IV: kết quả - bài học kinh nghiệm.
PhầnV: kết luận


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

Phần i: cơ sở xuất phát
1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về
phơng diện suy luận và ứng dụng trong chơng trình toán nói chung cũng nh
chơng trình toán THCS nói riêng.
2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa

các nghiệm số của một phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ
số của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét
(F. Viete) (1540- 1603) tìm ra đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét.
Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc
biệt là nêu lên đợc nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến
phơng trình bậc hai nh:
- Tìm tổng và tích các nghiệm của một phơng trình bậc hai khi có nghiệm.
- Biết một nghiệm của phơng trình bậc hai suy ra nghiệm kia.
- Nhẩm nghiệm của một phơng trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trờng hợp.
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
- Lập một phơng trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trớc
Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò một chìa khoá quan
trọng mở ra hớng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của
phơng trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng nh: Chứng minh bất
đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ giữa đờng thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề
các; tính giá trị các biểu thức bậc cao của các nghiệm số
3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chơng trình đại 9
có ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của
một phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng của các nghiệm
số với các hệ số của phơng trình bậc 2. Có thể nói: Các nghiệm số của phơng
trình bậc 2 dới lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ.
4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng,
phong phú) các dạng bài tập về phơng trình bậc 2 (phơng trình qui về bậc hai);
các bài toán có liên quan đến nghiệm số của phơng trình bậc 2; những kỹ thuật
giải phơng trình; hệ phơng trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét.
5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây đợc hứng thú giải bài tập
cho HS, hình thành cho HS những ý tởng phong phú, trau dồi t duy và óc sáng
tạo cho các em khi giải các bài toán có liên quanđến phơng trình bậc hai.
6. Phơng trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số
đợc gắn kết với nhau nh hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng

dụng phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ.
7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm
giàu t duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài
toán trong mối liên hệ sinh động dới con mắt động của sự ràng buộc giữa
biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lợng
học tập môn toán.
8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó
trong Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của
bất kì một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho ngời dạy, ngời học
một phong cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi
mới phơng pháp dạy học một cách hiệu quả.
9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của ngời dạy và
ngời học phần nào còn nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; các


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể
loại bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: Nghiên cứu
khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phơng tiện
Đại số, Hình học, Số học.
Phần ii: Nội dung phơng pháp
a. lý thuyết:

1. Định lý Viet thuận:
Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì
S = x1 + x 2 =

b
a

P = x1 . x2 =

c
a



(a 0 và 0 )



* Hệ quả:

b

x 1 + x 2 = a



x .x = c

1 2 a

PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0

(*)

- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 =
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 =

c
a
c
a

2. Định lý đảo:

x 1 + x 2 = S
Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn
thì chúng là nghiệm số của phơng
x 1 .x 2 = P
trình: t2 - st + p = 0
(Điều kiện 2 số x1, x2 là s2 - 4p 0)
Chú ý:
* Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm

a 0

0 ( ' 0 )
*a+b+c=0x=1;a-b+c=0x=-1


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

x + y = S

* Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phơng trình
thì , là
xy = P

nghiệm phơng trình: t2 - st + p = 0
3. Các ứng dụng cơ bản (thờng dùng):
a. Kiểm tra nghiệm phơng trình bậc 2.
b. Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc 2.
c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia
d. Tìm 2 số biết tổng và tích.
e. Lập 1 phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm
4. Một số kết quả thu đợc từ định lý Viet:
a. Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử:
Khi (*) có 0 x1, x2 / x1 + x2 =

c
b
; x1 . x2 = thì
a
a

c
2 b
2
ax2 + bx + c = a x + x + = a x ( x 1 + x 2 )x + x 1 x 2
a
a


[

]

= a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2)
b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
* Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2
- Nếu S = x1 + x2 (không đổi) còn P = x1 . x2 thay đổi.

S2
Do S - 4P 0 P
4
2

S2
b S
=
P=
x1 = x 2 =
4
2a 2
S2
S
maxP =
x1 = x2 =
(Vì x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép)
2
4
KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau.
- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi)
Còn S = x1 + x2 (thay đổi)

(

)(

)

Do: S2 - 4P 0 S 2 P S + 2 P 0
S - 2 P 0 ; S = 2 P x1 = x2 =

P

KL: 2 số dơng có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu
2

c. Xét dấu các nghiệm của phơng trình ax + bx + c = 0 (*) (a 0)

b
c

;P =
S =
a
a

- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0

0
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là
P > 0

0

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dơng là: P > 0
S > 0

0

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là: P > 0
S < 0

= 0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dơng là:
S > 0
= 0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là:
S < 0
x + y = f( m )
d. Điều kiện của tham số để hệ phơng trình:
có 1 nghiệm duy
x.y = g ( m )

nhất là: f2(m) - 4g(m) = 0
(Chính là điều kiện để phơng trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép)
b. các ứng dụng của định lý viet:

i. tìm 2 số biết tổng và tích của chúng:

1. Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet:
u + v = S
Nếu 2 số u và v có
thì u và v là nghiệm của phơng trình:
u.v = P

t2 - St + P = 0

(1)

Nh vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phơng trình (Tìm nghiệm của

phơng trình đó 2 số cần tìm).
Chú ý:

Nếu S2 - 4P 0 thì tồn tại 2 số.
Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số.


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

2. Ví dụ:
a. Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a2.
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).

2 u + 2 v = 6 a

2
uv = 2 a

Ta có:

u + v = 3a

2
vu = 2a



Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phơng trình bậc 2.
t2 - 3at + 2a2 = 0 giải đợc t1 = a ; t2 = 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
x 12 + x 22 = 13
b. Tìm phơng trình bậc 2 nhận x1; x=2 là nghiệm và
(*)
x 1 x 2 = 6
x 1 + x 2 = 5
(x 1 + x 2 ) 2 2 x 1 x 2 = 13

Biến đổi hệ (*) ta có:
x 1 + x 2 = 5

x 1 x 2 = 6
x 1 x 2 = 6

x 1 + x 2

x 1 .x 2 =
x +x

2
1
x 1 . x 2 =

= 5
6

x1 , x2 là nghiệm phơng trình: x2 - 5x + 6 = 0

= 5 x1 , x2 là nghiệm phơng trình: x2 + 5x + 6 = 0
6

3 x + 3 y = 4
c. Giải hệ phơng trình:
xy = 27

(1)
(2 )

x + y = 5
(Ta quy về tìm x, y /
)
xy = P

Từ (1) có

3

x + 3 y = 4 x + y + 33 xy

(

3

)

x + 3 y = 64 x + y = 28

x + y = 28
Vậy hệ (1) (2) có dạng
do 282 - 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm
xy
=
27

của phơng trình: t2 - 28t + 27 = 0. Giải đợc t1 = 1 ; t2 = 27. Hệ có 2 nghiệm:

x = 1
x = 27

;
y = 27 y = 1

5x
5x
. x +

= 6 (Đ/K: x -1)
d. Giải phơng trình: x
x +1
x +1


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

5x
5x

; v = x +
=6
x +1
x +1


Đặt: u = x
u+v=5

(Đ/K: x -1)

u + v = 5
(2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho:
u.v = 6

Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phơng trình t2 - 5t + 6 = 0

t1 = 3; t2 = 2.

u 1 = 3
u 2 = 2
Từ đó có:
hoặc
.
v 1 = 2
v 2 = 3

x 2 2 x + 3 = 0
2
Phơng trình đã cho x 3 x + 2 = 0 giải đợc x1 = 1; x2 = 2 (TM)

x 1

e. Cho phơng trình: x2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phơng trình x 2 + cx
+ d = 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0.

Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phơng trình đã cho có:

Từ

c+d=-a

(1)

c.d=b

(2)

a+b=-c

(3)

a.b=d

(4)

(1) a + c = - d

b =d

(3) a + c = - b
Từ

(2) c =1

(Vì b = d 0)

Từ

(4) a = 1

(Chia 2 vế cho b = d 0)

Thay a = c = 1 vào (1) d = - 2 b = - 2
Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)
ii. tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm:

1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm:
Biểu thức f(x1, x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu:

f(x1 , x2) = f(x2, x1)
(Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 và x2 thì biểu thức không thay đổi).
- Nếu f(x1, x2) đối xứng thì f(x1, x2) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức
đối xứng là S = x1 + x2; P = x1 . x2.
- Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phơng trình bậc 2 ax2 +
bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x1 và x2.


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

Ta có thể biểu thị đợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo
S và P. Ví dụ:
2

x 12 + x 22 = (x 1 + x 2 ) 2 x 1 x 2 = S 2 2 P
3

x 13 + x 32 = (x 1 + x 2 ) 3 x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 3SP

(

x 14 + x 24 = x 12 + x 22

)

2

2 x 12 x 22 = ( S 2 2 P ) 2 2 P 2

x + x2
1
1
S
+
= 1
=
x1
x2
P
x 1x 2
1
1
x 12 + x 22
S2 2P
+ 2 =
=
x 12
x2
x 12 x 22
P2

...
2. Các ví dụ:
a. Bài toán 1: Cho phơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0)
n

n
Có 2 nghiệm là x1, x2. Chứng minh rằng: Với S n = x 1 + x 2

Thì

a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0

Giải:
ax 12 + bx 1 + c = 0
Do x1, x2 là nghiệm (*) 2
ax 2 + bx 2 + c = 0

ax 1n .x 12 + bx 1n .x 1 + cx 1n = 0
ax 1n + 2 + bx 1n +1 + cx 1n = 0
n 2
n+2
ax 2 .x 2 + bx 2n .x 2 + cx 2n = 0
ax 2 + bx 2n +1 + cx 2n = 0

(

n +2

a. x 1

) (

) (

)

+ x 2n + 2 + b x 1n +1 + x 2n +1 + c x 1n + x 2n = 0

hay: a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0

b. Bài toán 2: Cho phơng trình x2 + 5x + 2 = 0
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức:

x 12 + x 22 ; x 13 + x 32 ; x 14 + x 24 ; . . . ; x 17 + x 72 ; x12 x 32 + x13 x 22 ; x 1 x 2
Giải: Trớc hết kiểm tra phơng trình đã cho nghiệm hay không.
= 25 - 8 = 17 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm x1 x2
Suy ra:

2
2
2
x 1 + x 2 = S 2 P = 21
3
3
2
x1 + x 2 = S(S 3P ) = 95


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

4
1

4
2

2

2

2

x + x = (S 2 P ) 2 P = 441 8 = 433

(

)(

)

7
7
3
3
4
4
3
3
x 1 + x 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 .x 2 (x 1 + x 2 )

= - 95 . 433 - 8 . (- 5) =
2 3
3 2

2 2
2
x 1 x 2 + x 1 x 2 = x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = P .S = 20

(x 1 x 2 )2

x1 x 2 =

=

(x 1 + x 2 )2 4x 1 x 2

= S 2 4 P = 17

* Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của

x 1n + 2 + x 2n + 2 = S n + 2 ; Sn + 1 ; Sn bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1.
Sn +2 = - b Sn + 1 - cSn
7

7

Ví dụ: Cho x1, x2 là nghiệm phơng trình: x2 - 2x - 2 = 0 Tính x 1 + x 2
Ta có: = 3 > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm x1, x2.
2
2
2
S1 = 2 S 2 = x 1 + x 2 = ( x 2 + x 2 ) 2 x 1 .x 2 = 8

S3 = - bS2 - cS1 = 16 + 4 = 20

S4 = - bS3 - cS2 =

= 56

S5 = - bS4 - cS3 = 152 =
S6 = - bS5 - cS4 = 416
S7 = - bS6 - cS5 =1136

c. Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002).
Gọi a, b là nghiệm phơng trình: 30x2 - 3x = 2002.

(

) (

30 a 2002 + b 2002 3 a 2001 + b 2001
Rút gọn (Tính) M =
a 2000 + b 2000

)

* Nhận thấy phơng trình đã cho: 30x2 - 3x - 2002 = 0 có > 0

x1 = a ; x2 = b Sn = an + bn

áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A . Sn + 1 + B . Sn + 1 + C. Sn = 0
Theo đầu bài ta có: Sn = a2000 + b2000
Sn + 1 = a2001 + b2001
Sn +2 = a2002 + b2002

30 Sn + 2 - 3Sn + 1 - 2002Sn = 0
30 Sn +2 - 3Sn + 1 = 2002Sn


Cap2sondong @gmail.com

M=

Su tm v gii thiu

2000S n
= 2002
Sn

d. Bài toán 4: Cho phơng trình x2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2.

3x 12 + 3x 22 3
Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức: M = 2
.
x 1 x 2 + x 1 x 22
Giải: Trớc hết kiểm tra xem phơng trình đã cho có nghiệm không ?
Ta có: = a2 - 4 (a - 1) = (a - 2)2 0
Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 và x2.

áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 1.

3(x 1 + x 2 ) 2 6 x1 x 2 3 3a 2 6(a 1) 3 3a 2 6a + 3
M=
=
=

(a 0; a 1)
a(a 10
x 1 x 2 (x 1 + x 2 )
a2 a
2
e. Bài 5: Cho a 0; Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình: x ax

1
=0
a2

4
4
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x 1 + x 2

Ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 =

E = a4 +

1
2
4
4
2
2 x 1 + x 2 = (S 2 P ) 2 P
a

2
+42 2+4
a4

E = 2 2 + 4 a8 = 2 a = 8 2
8
Min E = 4 + 2 2 tại a = 2

* Chú ý: Nếu biến đổi phơng trình đã cho thành phơng trình

a 2 x 2 a 3 x 1 = 0 (a 0) thì việc xét xem phơng trình có nghiệm hay
4
4
không và tìm GTNN E = x 1 + x 2 tiện lợi hơn.

iii. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số:

1. Phơng pháp:
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1
phơng trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bớc sau:

a 0
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm x1 và x2 là:
0


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

x 1 + x 2 = f( m )
x 1 .x 2 = g ( m )

- áp dụng hệ thức Viet ta đợc

(*)

- Khi m từ hệ (*) ta đợc hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng).

2. Ví dụ:
a. Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa
các nghiệm của phơng trình không phụ thuộcm (Độc lập với m).

Giải: Trớc hết tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 là:

m 1 0
m 1
a 0



2
2m 11 0
' 0
(m 4) (m 1)(m 5) 0
1m

11
2

Khi đó theo Viet phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:

2( m 4 )

4( m 4 )

x
+
x
=
2( x 1 + x 2 ) =
1
2


m 1

m 1



x .x = m 5
3 x .x = 3( m 5 )
1 2
1 2
m 1
m 1
2 (x1 + x2) - 3x1x2 = 1 (Không chứa m).
Đó chính là hệ thức cần tìm.
b. Cho phơng trình: (m2 + 1)x2 - 2mx + 1 - m2 = 0.
* CMR với mọi m > 1 phơng trình luôn có nghiệm.
* Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m.

Giải:
* Ta có: a = m2 + 1 > 0 (m2 0) nên phơng trình đã cho là1 phơng trình
bậc 2 ẩn x tham số m.
Mặt khác, C = 1 - m2 < 0 (Vì m > 1 m2 > 1).
Nh vậy: a và c trái dấu ac < 0 Phơng trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1, x2 với mọi m > 1.

* áp dụng hệ thức Viet có:

2m

x 1 + x 2 = 1 + m 2

2
x .x = 1 m
1 2 m 2 + 1

(*)


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

- Khử m từ hệ (*) bằng nhận xét:
2

2

(x 1 + x 2 )

2

+ (x 1 .x 2 )

1 m2
2m

=
+

2
2
1+ m
1+ m





2

4m 2 + m 4 2m 2 + 1 m 4 + 2m 2 + 1
= 4
=1
=
( m 2 + 1) 2
m + 2m 2 + 1
Vậy ta có hệ thức cần tìm là:

(x1 + x2)2 + (x1.x2)2 = 1

iv. tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi 1 hệ
thức cho trớc (điều kiện cho trớc):

1. Phơng pháp:
Có thể thực hiện các bớc:
* Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình đã cho có nghiệm x1, x2.
* Bớc 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có:

x 1 + x 2 = f( m )

x 1 .x 2 = g ( m )

(*)

* Bớc 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trớc) suy ra phơng trình có
ẩn là tham số từ đó tìm đợc tham số.

(Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm đợc với điều kiện để phơng trình
đầu có nghiệm số).
2. Các ví dụ:
a. Tìm m để phơng trình: 3x2 + 4 (m - 1)x + m2 - 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x1. x2 thoả mãn:

1
1 1
+
= (x 1 + x 2 )
x1 x 2 2

Giải:
* Trớc hết phơng trình phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x21 0 nên phải
có: > 0.
4 (m - 1)2 - 3 (m2 - 4m + 1) > 0 m2 + 4m + 1 > 0.
m<-2-

3 hoặc m > -2 +

* Theo hệ thức Viet ta có:

3 (*)


Cap2sondong @gmail.com

x1 + x 2 =

Su tm v gii thiu

4(1 m)
m 2 4m + 1
x
.
x
=
; 1 2
3
3

(m2 - 4m + 1 0) m 2

3

(**)

Từ hệ thức của x1, x2 ta có:

1
x1 + x 2 x1 + x 2
1
=
(x 1 + x 2 )
= 0
x1x 2
2
x1x 2 2
x1 + x2 = 0

(1)

hoặc

1
1
=0
x1x 2 2

- Từ (1) có:

4

(1 m) = 0 m = 1
3

- Từ (2) có:

3
1
=
m2 - 4m + 1 = 6
m 2 4m + 1 2

(2)

m2 - 4m - 5 = 0

m = 1

m = 5
* Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta đợc m = 1 ; m = 5.
Nh vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phơng trình đã cho thoả mãn đầu bài
(Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau:

' 0

x 1 + x 2 = 4 (1 m )
3


m 2 4m + 1

x
.
x
=
0
1 2
3

1 + 1 = 1 (x + x )
2
x 1 x 2 2 1
Khi có:

x1 + x 2 x1 + x 2
=
nếu chia cho x1 + x2 sẻ làm mấy nghiệm)
x1x 2
2

b. Cho phơng trình: x2 + bx + c = 0 có các nghiệm x1, x2; phơng trình: x2 - b2x
+ bc = 0 có các nghiệm x3, x4. Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Tìm b và c.

Giải:


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

b 2 4 c 0

* Trớc hết phải có: 4
b 4bc 0

(*)

* Theo giả thiết và theo hệ thức Viet có:

x 1 + x 2 = b

x 1 .x 2 = c

2
x 3 + x 4 = b
x .x = bc
3 4

x 1 + x 2 = b

x 1 .x 2 = c
(1 + x ) + (1 + x ) = b 2
1
2

(x + 1)(x + 1) = bc
1
2

(1)
(2 )
(3)

( 4)

(Vì x3 = x1 + 1 ; x4 = x2 + 1)
b = 1
Từ (1) và (3) có: b2 + b - 2 = 0 (b - 1) (b + 2) = 0
b = 2

Từ (4) có: x1x2 + x1 + x2 + 1 =bc

c - b + 1 = bc

(5)

- Với b = 1 thì (5) đúng khi đó phơng trình: x2 + bx + c = 0
trở thành x2 + x + c = 0
Có nghiệm nếu = 1 - 4c 0 c

1
4

Phơng trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - x + c = 0 cũng có nghiệm
nếu c

1
:
4

- Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c c = - 1
Khi đó phơng trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - 4x + 2 = 0 có nghiệm
là 2 2 .

Phơng trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 - 2x - 1 = 0 có nghiệm là 1 2
* Kết luận: (b = 1 ; c

1
) hoặc (b = - 2 ; c = - 1)
4

(Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*))
c. Tìm m để phơng trình: mx2 - 2 (m - 1)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x1. x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1.

Giải: Có thể giải hệ hỗn hợp sau để tìm m:


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu


m 0 ; và 2 m 2 4 m 1 < 0

2m

x 2 =
m


2(2 m )
x 1 = 1
m

2 ( 2 m ) 3( m 2 )
2m

. 1
=
m
m
m


m 0
' > 0


2 ( m 1)
x1 + x 2 =
m


3( m 2 )
x1 . x 2 =
m

x1 + 2 x 2 = 1


2 6
2+ 6
m 0; và

2
2
2
m = 2 hoặc m =

3
( 2 m )( 6 m 4 ) = 0
2

m

d. Tìm các số p và q của phơng trình: x2 + px + q = 0 sao cho các nghiệm của
x 1 x 2 = 5
nó thoả mãn: 3
3
x 1 x 2 = 35

Giải: * Trớc hết phải có điều kiện: > 0 p2 - 4q > 0
x 1 + x 2 = p

x 1 .x 2 = q
Giải hệ sau: x x = 5
2
1
3
3
x 1 x 2 = 35

(1)
(2 )

(3)
( 4)

Từ (3) có: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25

[

(5)

]

2

Từ (4) có: x 13 x 32 = ( x 1 x 2 )(x 12 + x 1 x 2 + x 22 ) = 5 (x 1 + x 2 ) x 1 x 2 = 35
(x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = 7
p 2 4 q = 25
Kết hợp (5) và (6) ta có: 2
p q = 7

(6)
(*)

Giải đợc q = - 6 ; p1, 2 = 1
p = 1
p = 1
;
thoả mãn điều kiện: p2 - 4q > 0
q = 6 q = 6

Nghiệm của hệ (*) là:

p = 1
p = 1
hoặc
q = 6
q = 6

Kết luận:

e. Xác định tham số m sao cho phơng trình:
(1) 2x2 - 3(m + 1)x + m2 - m - 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
(2) mx2 - 2 (m - 2)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

Giải:
(1) Có 2 nghiệm trái dấu m2 - m - 2 < 0 (m + 1) (m - 2) < 0
-1
m 0

(2) Giải ' 0
-1m<0
3( m 2)

>0
m

V. Thiết lập phơng trình bậc 2:

* Ta thiết lập 1 phơng trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa
trên cơ sở (Định lý Viet).
Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phơng trình
x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P 0)

* Các ví dụ:
1. Gọi , là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không phải
phơng trình hãy thành lập phơng trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm
của nó là:



và
.
1
1

7

+ = 3
* Giải: Theo định lý Viet ta có:
với 1 và 1.
4
. =

3

2 + 2 ( + ) 2 ( + ) 2 23
+
=
=
Ta có:
=
1 1
( 1)( 1)
( + ) + 1
21




6
.
=
=
1 1 ( + ) + 1 21

Vậy

23
6


2
=0
và
là nghiệm của phơng trình X X +

1
1
21
21

Hay phơng trình: 21X2 - 23X + 6 = 0

* Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng cách lập phơng trình tích rồi đa
về phơng trình bậc 2 cần tìm.



X
X
=0
1
1



Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

2. Cho a là số thực sao cho a + 1 0. Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm
x1; x2 thoả mãn các hệ thức:
4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2)
(x1 - 1) (x2 - 1) =

(1)

1
a +1

(2)

Giải: * Để lập đợc 1 phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm
đợc x1 + x2 và x1.x2 theo a.
Ta có: (2)

x1.x2 - (x1 + x2) + 1 =

a
a +1

(3)

4x1x2 - 5 (x1 + x2) = - 4

(4)

x1.x2 - (x1 + x2) =
(1)

1
a +1

4

x 1 + x 2 = a + 1

Từ (3) và (4)
x .x = 4 a
1 2 a + 1

x1, x2 là nghiệm của phơng

4a
4
2
= 0 hay (a + 1)x2 - 4x + 4 - a = 0.
x +
trình: x
a +1
a +1
3. Viết phơng trình bậc 2 có nghiệm x1; x2 thoả mãn:
2x 1 x 2 3(x 1 .x 2 ) = 2

(x 1 2)(x 2 2) = k + 5

(1)
(2 )

* Ta cần tìm đợc x1 + x2 và x1 .x2 theo k.
Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có:

S = 2 k
2 P 3S = 2


P 2S = k + 1

P = 3k + 1
Phơng trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 (
ĐK: S2 - 4P 0 k2 + 4k - 1 0)
* Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phơng trình
bậc 2 biết 2 nghiệm cho trớc hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú
ý điều kiện S2 - 4P 0.
vi. xét dấu các nghiệm số:

1. Phơng pháp:


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phơng trình ax2 + bx + c
= 0 (a 0) dựa trên kết quả:
* Nếu p =

c
< 0 phơng trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2
a

0
* Nếu
phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.
p > 0
0

* Nếu p > 0 phơng trình có 2 nghiệm dơng 0 < x1 x2

s > 0

0

* Nếu p > 0 phơng trình có 2 nghiệm âm: x1 x2 < 0
s < 0


2. Các ví dụ:
a. Cho phơng trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0

(1)

Xác định m để phơng trình:
- Có đúng 1 nghiệm âm
- Có 2 nghiệm đối nhau.

Giải: Xét 2 trờng hợp:
* TH1: Với m =0 ta có: (1) - 6x - 4 = 0 x =

2
là nghiệm âm duy
3

nhất của phơng trình.
* TH2: Với m 0 khi đó để (1) có đúng 1 nghiệm âm cần điều kiện là:

f ( 0 ) = 0 vàS < 0
x 1 < 0 = x 2

x 1 < 0 x 2

x 1 < 0 < x 2 p < 0


x 1 = x 2 < 0

x 1 = x 2 < 0
b
< 0
= 0 và
2a


Vậy m (0; 4] hoặc m =


m = 4

0 < m < 4

9
m =

2

9
thì phơng trình có đúng 1 nghiệm âm.
2

b. Cho phơng trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0

(1)

* Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
* Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 x2) với các giá trị tìm đợc của m.


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

Giải: * Vì (1) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số
0 (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) 0 - m2 + 6m - 5 0
m2 - 6m + 5 0 (m - 1) (m - 5) 0 1 m 5.
m 2 4m + 3
* Theo hệ thức Viet có: P = x1x2 =
2

S = x1 + x 2 = m - 1
- Xét dấu của P = x1.x2.
Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 m = 1 hoặc m = 3
m
x1x2

1
+

0

3
-

0

+

Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 x1 = x2 = 0
Nếu m = 3 thì p = 0 ; s > 0 0 = x1 < x2
Nếu 3 < m 5 thì p > 0 ; s > 0 0 < x1 < x2
Nếu 1 < m < 3 thì p < 0 x1 < 0 < x2.
c. Tìm giá trị của m để phơng trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0

(1)

có ít nhất 1 nghiệm không âm.

* Giải:

* Nếu m = 1 x =

1
< 0 vậy m = 1 (loại)
2

* Nếu m 1 thì (1) là 1 phơng trình bậc 2.
= - m2 + m + 1 có nghiệm 0
m2 - m - 1 0
* Xét S =

1 5
1+ 5
m
2
2

2
có 2 trờng hợp:
1 m

- Nếu m < 1 S > 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm dơng
- Nếu m > 1 S < 0 ta cha kết luận mà phải xét: P =

m
vì m > 1
m 1

P > 0 kết hợp với S < 0 (1) có 2 nghiệm âm nên loại m > 1.

* Kết luận: Giá trị của m cần tìm là:

1 5
m < 1.
2


Cap2sondong @gmail.com

Sưu tầm và giới thiệu

* C¸ch gi¶i 2:
XÐt P =

m
m −1

- (1) cã nghiÖm x = 0 ⇔ P = 0 ⇔ m = 0

(1)

- (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ P < 0 ⇔ 0 < m < 1

(2)

1 − 5
1+ 5
≤m≤

2
 2
∆' ≥ 0
m < 0

- (1) cã 2 nghiÖm d−¬ng ⇔ P > 0 ⇔   m > 1

A > 0

m < 1



⇔

1− 5
≤m<0
2

Tõ (1), (2), (3) ⇒

(3)

1− 5
≤m<1
2


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

ứng dụng khác
I. Phơng trình đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) với Parabol (P):

y = mx2 (m 0):
1. Dạng 1:
Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (a 0) đi qua 2 điểm A (xA; yA);
B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m 0)
* Cơ sở lý luận: Do đờng thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ
giao điểm là nghiệm của phơng trình: mx2 = ax + b mx2 - ax - b = 0.
a

x
+
x
=
A
B

m
Từ đó theo Viet ta có:
x .x = b
A B
m

(*)

Từ (*) tìm a và b PT (d)

2. Dạng 2:
Lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM)
* Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phơng trình:
mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Viet, ta có:

x 1 + x 2 = a


b
x 1 x 2 = m

a và b

phơng trình tiếp tuyến.

3. Ví dụ:
a. Cho parabol (P) có phơng trình: (P): y = x2.
Gọi A và B là 2 điểm (P) có hoành độ lần lợt là xA = - 1 ; xB = 2. Lập
phơng trình dờng thẳng đi và A và B.
* Giải: (Ta có thể ứng dụng hệ thức Viet).
* Giả sử phơng trình đờng thẳng (AB): y = ax + b
Phơng trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b
x2 - ax - b =0

(*).

Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phơng trình (*).
Theo Viet ta có:


Cap2sondong @gmail.com

x A + x B = a

x A x B = b

Su tm v gii thiu

a = 1
b = 2

Vậy phơng trình đờng thẳng (AB) là: y = x + 2
b. Cho (P): y =

x2
; A (P) có hoành độ xA = 2 lập phơng trình đờng
4

thẳng tiếp xúc với (P) tại A.

Giải:
Giả sử phơng trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phơng trình hoành
độ giao điểm của (d) và (P) là:
x2
= ax + b x2 - 4ax - 4b = 0
4

(*)

Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*) (x1 = x2 = 2)

x 1 + x 2 = 4 a
a = 1
Theo Viet ta có:

b = 1
x 1 x 2 = 4 b
Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1
ii. bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:

1. Từ hệ thức S = x1 + x2 ; P = x1.x2.
a. Nếu S = x1 + x2 không đổi còn P thay đổi.

S2
Do: S - 4P 0 P
4
2

S2
b S
= (Vì PT: x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép)
Nên Pmax =
x1 = x2 =
4
2a 2
* Vậy: Nếu 2 số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau.
b. Giả sử: x1 > 0 ; x2 > 0 và x1.x2 = P (không đổi) còn S = x1 + x2 (thay đổi)
vì S2 - 4P 0 (S - 2 P ) (S + 2 P ) 0
S - 2 P 0 S 2 P > Min S = 2 P x1 = x2 =

P

* Vậy: Nếu 2 số dơng có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi chúng
bằng nhau.

2. Tìm cực trị của biến số trong hệ điều kiện ràng buộc.
a. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện:


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

a > 0
a c

=
Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)
b a
a + b + c = abc
bc = a 2
* Giải: Từ giả thiết bài toán ta có:
3
b + c = abc a = a a

Theo Viet: b, c là nghiệm của phơng trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0

= (a3 - a)2 - 4a2 0 a2 [(a2 - 1)2 - 4] 0
(a2 - 3) (a2 + 1) 0 a2 - 3 0 a2 3

a

3 (a > 0) min a =

Vậy: amin =

3 tại b = c =

3 tại b = c = 3

3

* ở bài toán trên do vai trò của a, b, c nh nhau nên có thể yêu cầu tìm
min của1 trong các biến a, b, c.
Mặt khác, trong bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại của hệ thức
Viet là S2 - 4P 0 (Điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2) từ đó suy ra
GTNN.
iii. bài toán chứng minh bất đẳng thức:

* Liên quan tới nghiệm của 1 phơng trình bậc 2 ta có thể sử dụng hệ thức
Viet để chứng minh bất đẳng thức có chứa các nghiệm của 1 phơng trình bậc 2
đã cho. Hoặc chứng minh các bất đẳng thức có hệ điều kiện ràng buộc cho trớc.

1. Ví dụ 1: Cho phơng trình: mx2 - (m + 2)x + 1 = 0 (1) (m là tham số).
a. Chứng minh rằng (1) có nghiệm với mọi m.
b. Giả sử (1) có 2 nghiệm là a và b.
2
(
m
+
2
)
Chứng minh rằng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2
2

Giải:
a. Với m = 0 thì (1) trở thành - 2x + 1 = 0 x =

1
2

(Phơng trình có nghiệm với m = 0).
Với m 0: (1) là 1 phơng trình bậc 2 có = (m + 2)2- 4m = m2+ 4 > 0
m (1) có nghiệm với m 0


Cap2sondong @gmail.com

Su tm v gii thiu

* Vậy (1) có nghiệm với m.
b. Muốn phơng trình đã cho (1) có 2 nghiệm a, b thì m 0.
Do a, b là các nghiệm của (1) nên theo Viet ta có:
a+b=

m+2
m

Đặt: X = am - 1; Y = bm + 1 X + Y = m(a + b)

X + Y = m(m + 2) : m = m + 2
Chứng minh đợc: 2 (X2 + Y2) (X + Y)2 với mọi X, Y

X2 + Y2 (X + Y)2 / 2 X, Y
Thay: X + Y = m + 2 ta có: X2 + Y2 (m + 2)2 /2
Hay (am - 1)2 + (bm - 1)2 (m + 2)2 /2
x + y + z = 5
2. Ví dụ 2: Cho x, y, z thoả mãn
(*)
xy + yz + xz = 8

Chứng minh rằng: 1 x, y, z

7
3

y + z = 5 x
Giải: Từ hệ (*) ta có:
yz = 8 x(y + z ) = 8 x(5 x)
y + z = 5 x

2
yz = x 5 x + 8

Theo Viet: y. z là nghiệm của phơng trình: t2 - (5 - x)t + (x2 - 5x + 8) = 0
Vì phơng trình trên có nghiệm 0
(5 - x)2 - 4 (x2 - 5x + 8) 0 - 3x2 + 10x - 7 0
3x2 - 10x + 7 0 1 x

7
3

Bằng cách chứng minh tơng tự ta có: 1 y, z

7
3

* ở bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại 2 số y và z chính là điều
kiện phơng trình (*) có nghiệm số là 0 hay S2 - 4P 0. Từ đó suy ra các
bất đẳng thức cần chứng minh.