Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam

Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

GIỚI HẠN

4

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

BÀI 1.

A. L TH
T
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0.
1. Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó.
Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau:

lim un  0     0, n0 : n  n0  un    .

Kí hiệu: lim  un   0 hoặc lim un  0 hoặc un  0
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số un

 1


n

4n  5

sau đây có giới hạn là 0.

Lời giải
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2. Nhận xét
lim un  0  lim un  0.
Nếu  un  có un  0 , n 

*

thì lim un  lim 0  0 .

 un  vn
Cho hai dãy số  un  và  vn  . Nếu 
thì lim un  0 .
lim  vn   0

Đây là một nhận xét quan trọng để chứng minh giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa.(giới hạn kẹp).
3. Các dãy số có giới hạn 0 thường gặp.
1
1
C
lim  0
lim   0   0 
lim  0 với C là hằng số
n
n
n
1
1
lim q n  0  q  1 .
lim k  0  k  2, k  
lim k  0  k   
n  n
n
4. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0

a). un

 1


n

3n  2

.

n sin 2n
b). un  3
.
n 2

c). un

 1


n

cos n
n

.

d.) un 

3sin n  4 cos n
.
2n 2  1

Lời giải
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II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.
1. Định nghĩa. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số thực L nếu lim  un  L   0 .
Khi đó ta viết

lim  un   L , viết tắt là lim  un   L hoặc lim un  L .

n 

Nhận xét:

Để chứng minh dãy số  un  có giới hạn là số thực L ta chuyển về việc đi chứng minh
lim  un  L   0 .

lim un  a  un  a nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn.
Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
 Ví dụ 2. Chứng minh rằng
  n3 
a). lim  3   1 .
 n 1

 n 2  3n  2  1
b). lim 
 .
2
 2n  n  2

Lời giải
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Ví dụ 3. Chứng minh rằng
 3.3n  s in3n 
a). lim 
  3.
3n



b). lim





n2  n  n 

1
.
2

Lời giải
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2. Một số định lý.

Định lý 1. ( tìm giới hạn của hàm trị tuyệt đối hoặc căn thức) Giả sử lim un  L . Khi đó
lim un  L và lim 3 un  3 L .

Nếu un  0 với mọi n thì L  0 và lim un  L .
Định lý 2. Giả sử lim un  L , lim vn  M và C là một hằng số. Khi đó

lim  un  vn   L  M .
u  L
lim  n  
với M  0 .
v
M
 n
Nhận xét.
Cho ba dãy số  un  ,  vn  và

lim  un .vn   L.M

lim  Cun   CL .

limc  c (c là hằng số).

 wn  . Nếu un  vn  wn ,  n và lim un  lim wn  a,  a  

thì

lim vn  a (gọi định lí kẹp).
Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân  un  có công bội q và thỏa q  1 .
Khi đó tổng S  u1  u2  u3    un   được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và
S  lim S n  lim

u1 1  q n 
1 q



u1
.
1 q

Vậy cấp số nhân  un  có công bội q thỏa mãn q  1 thì S  u1  u2  ... 
Ví dụ 4. Tính các tổng sau
1 1
1
a). S   2  ...  n  ...
3 3
3

3

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1 1
b). S  1   
2 4
Lời giải

  1 .
n

1

2n

u1
.
1 q

c). S  16  8  4  2  ...

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Ví dụ 5. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số
a). A  0,353535... .
b). B  5, 231231... .
Lời giải
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III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Dãy số có giới hạn 
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Khi đó ta viết
lim  un    hoặc lim un   .
Từ định nghĩa, ta có các kết quả
lim n  ;

lim n  ;

lim 3 n   .

2. Dãy số có giới hạn 
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Khi đó ta viết
lim  un    hoặc lim un   .
Nhận xét.
Nếu lim  un    thì lim  un    .

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Các dãy số có giới hạn  hoặc  được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần
đến vô cực.
1
Nếu lim un   thì lim  0 .
un
3. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân:
lim vn
lim un




• Quy tắc chia






lim  un .vn 

lim un

lim vn  L  0

lim  un .vn 


















lim un  L  0 có dấu

lim vn  0, vn  0 có dấu











lim










4. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 6. Tìm giới hạn của dãy  un  biết:





a). un  3n3  2n2  2

b). un  2n4  3n3  n

c). un 

d). un  4n  2.  3

e). un  n cos

n 2

 4n 2
10

f). un 

n 1

un
vn

4n 4  2n3  1
n2  1
n 4  4n 2  1  2n 2
n3  3n  2n

.

Lời giải
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B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA.
Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn là 0.

1. Phương pháp.
 Cách 1: Áp dụng định nghĩa.
 Cách 2: Sử dụng các định lí sau:
1
Nếu k là số thực dương thì lim k  0 .
n
Với hai dãy số  un  và  vn  , nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0 .
Nếu q  1 thì lim q n  0 .
2. Bài tập minh họa.
Bài tập 1. Chứng minh các dãy số  un  sau đây có giới hạn là 0.

 1 1
1  cos n3
b). un 
c). un  n 1  n 1
2n  3
2
3
Lời giải
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cos 4n
a). un 
n3

n

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Bài tập 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0
3n sin 2n  4n
a). un  n3  2  n3  1 .
b). un 
.
2n  4.5n
n
n  cos
n  sin 2n
5 .
c). un 
.
d). un 
2
n n
n n n
Lời giải
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Bài tập 3. Cho dãy số  un  với un 
a). Chứng minh rằng

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n
.
3n

un 1 2
 với mọi n 
un
3

*

.
n

2
b). Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng 0  un    với mọi n  * .
3
c). Dãy  un  có giới hạn 0.

Lời giải
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3. Câu hỏi trắc nghiệm.
 sin 5n

 2  bằng:
Câu 1. Kết quả của giới hạn lim 
 3n



A. 2.

B. 3.

C. 0.

D.

5
.
3

Lời giải.
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8

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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số
n  2 nk cos

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim
A. 0.

B. 1.

2n
C. 4.

1
n  1.
2
D. Vô số.

Lời giải.
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Câu 3. Kết quả của giới hạn lim
A. 1 .

3sin n  4cos n
bằng:
n 1

B. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải.
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n cos 2n 

Câu 4. Kết quả của giới hạn lim  5  2
 bằng:
n 1 

1
A. 4 .
B. .
C. 5 .
D. 4.
4
Lời giải.
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n


 2n3  là:
Câu 5. Kết quả của giới hạn lim  n 2 sin
5


A. .
B. 2.
C. 0 .
D. .
Lời giải.
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n

1 

 bằng:
Câu 6. Giá trị của giới hạn lim  4 


n

1


A. 1 .
B. 3 .

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C. 4 .

D. 2 .

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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

Lời giải.
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Câu 7. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un
bằng:
A. 3 .

B. 0 .

 1


n

n 1
2

và vn 
C. 2 .

1
. Khi đó lim  un  vn  có giá trị
n 2
2

D. 1 .

Lời giải.
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Dạng 2. Dùng định nghĩa chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn L .

1. Phương pháp.
Ta biến đổi lim un  L về dạng tìm lim có giới hạn bằng 0 tức là chứng minh lim un  L  0 .
Kết luận lim un  L .
2. Bài tập minh họa.
Bài tập 4. Chứng minh:
2n  3 1

a). lim
4n  5 2





4.3n  5.2n 2

c). lim n 2  2n  n  1 .
n
n
6.3  3.2
3
Lời giải
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b). lim

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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

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Dạng 3. Tìm giới hạn của dãy  un  có giới hạn hữu hạn bằng quy tắc, định lý.
Bài toán 1. Dãy  un  là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P n

Q n

(với P  n  , Q  n  là hai đa thức).

1. Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  (hoặc rút

n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định
lý về giới hạn.
Nếu k là số thực dương thì lim

1
 0.
nk

Nếu q  1 thì lim q n  0 .
2. Bài tập minh họa.
Bài tập 5. Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un 

2n 2  3n  1
5n 2  3

1
1
 2
d). un  2
n  2n 2n  3

b). un 

2n3  3n 2  4
n 4  4n 3  n

 2n  1  3  4n3 
e). un 
3
2
 4n  2   2  n 

c). un 

2n 4  3n 2  n
 2n  11  3n   2n 2  1

f). un 

2n n  1
n  2 n 3

2

2

Lời giải
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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

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 Bài tập 6. Tìm các giới hạn sau
4n 2  n  2
a). lim
.
2n 2  n  1

3
1
2

 2
b). lim  2n  1  2
.
 n  2n n  3n  1 
Lời giải
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4. Câu hỏi trắc nghiệm.
Câu 8. Giá trị của giới hạn lim

3
A.  .
4

3
là:
4n  2n  1
2

B. .

C. 0 .

D. 1.

Lời giải.
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Câu 9. Giá trị của giới hạn lim
A. 2 .

n  2n 2
bằng:
n3  3n  1

B. 1 .

C.

2
.
3

D. 0 .

Lời giải.
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Câu 10. Giá trị của giới hạn lim
A. .

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3n3  2n  1
là:
4n 4  2n  1

B. 0.

C.

2
.
7

D.

3
.
4

Lời giải.
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Câu 11. Giá trị của giới hạn lim
A.

3
.
2

n n 1
bằng:
n  2

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Lời giải.
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1
2
v
. Khi đó lim n có giá trị bằng:
và vn 
un
n 1
n2
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Lời giải.
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Câu 12. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un 

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Câu 13. Cho dãy số  un  với un 

an  4
trong đó a là tham số thực. Để dãy số  un  có giới hạn
5n  3

bằng 2 , giá trị của a là:
A. a  10.

B. a  8.
C. a  6.
D. a  4.
Lời giải.
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Câu 14. Cho dãy số  un  với un 
hữu hạn, giá trị của b là:
A. b là một số thực tùy ý.
C. không tồn tại b.

2n  b
trong đó b là tham số thực. Để dãy số  un  có giới hạn
5n  3
B. b  2.
D. b  5.

Lời giải.
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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

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n2  n  5
.
2n 2  1
1
B. L  .
2

Câu 15. Tính giới hạn L  lim

3
A. L  .
2

C. L  2.

D. L  1.

Lời giải.
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4n 2  n  2
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là:
Câu 16. Cho dãy số  un  với un 
an 2  5
A. a  4.
B. a  4.
C. a  3.
D. a  2.
Lời giải.
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n 2  3n3
.
2 n 3  5n  2
1
B. L  .
5

Câu 17. Tính giới hạn L  lim

3
A. L   .
2

1
C. L  .
2

D. L  0.

Lời giải.
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5n 2  3an 4
 0.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L  lim
1  a  n4  2n  1
A. a  0; a  1.

C. a  0; a  1.

B. 0  a  1.

D. 0  a  1.

Lời giải.
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 2n  n  3n  1 .
Câu 19. Tính giới hạn L  lim
 2n  1  n  7 
3

2

4

15

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3
A. L   .
2

Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

B. L  1.

C. L  3.

D. L  .

Lời giải.
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Câu 20. Tính giới hạn L  lim
A. L  0.

n

2

 2n  2n3  1  4n  5 

n

4

 3n  1 3n 2  7 

B. L  1.

.

8
C. L  .
3

D. L  .

Lời giải.
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Câu 21. Tính giới hạn L  lim

1

A. L  .
2

3
3

n 1
.
n8

B. L  1.

1
C. L  .
8

D. L  .

Lời giải.
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Bài Toán 2. Dãy un là một phân thức dạng un 

P n

Q n

(với P  n  , Q  n  là các biểu thức chứa căn

của n ).
1. Phương pháp.
 Bước 1. Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n 
(hoặc rút n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng
các định lý về giới hạn.

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 Bước 2. Khi đó ta có các kết quả sau
P n
Nếu lim un  lim
 C  giới hạn của dãy số là C.
Q n


0  
P n 
Nếu lim un  lim
    thì ta nói giới hạn đó có dạng vô định.
Q  n  



Khi đó để tính tiếp giới hạn ta phải khử dạng vô định bằng các kỹ thuật sau:
 Đối với căn thức: nhân lượng liên hợp của bậc hai và bậc ba( thêm đuôi)

a b 







a b





a b

a b







a  b2
a b

a b 







a b





a b

a b



  a   a .b  b 

a b
.
 a b 

 a   a .b  b
 a   a .b  b
 a  b   a   a .b  b 
ab
 a b 

 a   a .b  b
 a   a .b  b
 a  b  a  a. b   b  
a b
 a b 

a  a. b   b 
a  a. b   b 
 a  b  a  a. b   b  
a b
 a b 

a  a. b   b 
a  a. b   b 
 a  b   a   a . b   b  
a b
 a b

 a   a. b   b 
 a   a. b   b 

 a  b   a   a . b   b  
ab
 a b

 a   a. b   b 
 a   a. b   b 
3

3

a b 


2

3



a  b2
a b



2

3

3

2

3



3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

3

3

2

3

2

3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

3

3

2

3

2

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

3

2

3

3

3

2

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

3

3

2

.

2

3

3

.

2

3

3

3

2

3

2

3

3

3

2

3

2

2

 Đối với hàm đa thức: ta đặt nhân tử chung bằng phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
 Thừa số chung.
 Hằng đẳng thức đáng nhớ.
 Nhóm, tách và thêm bớt hạng tử.
 Nhớ:
 Nếu ax2  bx  c có hai nghiệm x1 , x2 thì ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2 
 Nếu bậc ba ax3  bx 2  cx  d thì ta đoán nghiêm x  x0 rồi chia đa thức để đưa về

ax3  bx 2  cx  d   x  x0  f  x  , với f  x  là hàm bậc hai.

2. Bài tập minh họa.
 Bài tập 7. Tìm giới hạn của dãy  un  biết:

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a). un 
c). un 

4n 2  n  1  n
9n  3n
2

4n  1  3 8n3  2n 2  3
2

16n 2  4n  4 n 4  1

b). un 
d). un 

Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số
2n  1  n  3
4n  5
n 2  n  3 n3  3n

16n 4  1
Lời giải
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4

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 Bài tập 8. Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un  n 2  3n  5  n

b). un  9n 2  3n  4  3n  2

c). un  3 n3  3n 2  n

d). un  3 8n3  4n 2  2  2n  3

e). un  4n 2  3n  7  3 8n3  5n 2  1

f). un 



n4  n2  1  3 n6  1



Lời giải
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 Bài tập 9. Tìm các giới hạn sau:

n2  n  n

a). lim



4n 2  3n  2n

c). lim 2n  9n 2  n  n 2  2n

b). un 



d). lim



2n  4n 2  n
n  3 4n 2  n 3

n 2  2n  2 3 n 2  8n3  3 n 2  n



Lời giải

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 Bài tập 10. Tìm các giới hạn sau
9n2  2n  3n
.
4n  3

a). lim
d). lim



3

b). lim



2n  n 3  n  1 .

e). lim

3 4 n 5  4n  2
2 n  3n
4

5

n2  3 1  n6

.

c). lim
f). lim







4n 2  2n  2n .
n 2  2n  3  3 n 2  n 3



n 1  n
Lời giải
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4

2

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5. Câu hỏi trắc nghiệm.
9n 2  n  1
bằng:
4n  2

Câu 22. Kết quả của giới hạn lim
A.

2
.
3

B.

3
.

4

C. 0.

D. 3.

Lời giải.
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Câu 23. Kết quả của giới hạn lim

2
A.  .
3

B.

 n 2  2n  1

1
.

2

3n 4  2

bằng:
C. 

3
.
3

1
D.  .
2

Lời giải.
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23

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân

Tel: 0935.660.880


Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam

Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

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2n  3
là:
2n  5

Câu 24. Kết quả của giới hạn lim
A.

5
.
2

B.

5
.
7

C. .

D. 1.

Lời giải.
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n 1  4
bằng:
n 1  n

Câu 25. Kết quả của giới hạn lim
A. 1.

C. 1.

B. 0.

D.

1
.
2

Lời giải.
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Câu 26. Biết rằng lim
A. S  1.

n  n2  1

 a sin

n n 2
B. S  8.
2


4

 b. Tính S  a 3  b3 .

C. S  0.
D. S  1.

Lời giải.
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Câu 27. Kết quả của giới hạn lim
A. .

10
n  n2  1
4

B. 10.

là:
C. 0.

D. .

Lời giải.
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Câu 28. Kết quả của giới hạn lim  n  1
A. .

24

B. 1.

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2n  2
là:
n  n2  1
C. 0.
4

D. .

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Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

Lời giải.
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3

Câu 29. Biết rằng lim

P

an3  5n 2  7
3n 2  n  2

 b 3  c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức

ac
.
b3

A. P  3.

1
B. P  .
3

C. P  2.

1
D. P  .
2

Lời giải.
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Câu 30. Kết quả của giới hạn lim 5 200  3n5  2n2 là:
A. .
B. 1.
C. 0.
D. .
Lời giải.

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Câu 31. Giá trị của giới hạn lim
A. 0.





n  5  n  1 bằng:

B. 1.

C. 3.

D. 5.

Lời giải.
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Câu 32. Giá trị của giới hạn lim

1
A.  .
2





n 2  n  1  n là:

B. 0.

C. 1.

D. .

Lời giải.
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25

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