3 PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Hình Học Tọa Độ Oxyz

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vec tơ chỉ phương

 x = x0 + a1t

a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , a ≠ 0 :  y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3

Nếu a1 ; a2 ; a3 đều khác không. Phương trình đường thẳng ∆ viết dưới dạng chính tắc như sau:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
với ∀A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 thỏa A12 + B12 + C12 > 0, A2 2 + B2 2 + C2 2 > 0.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Chương trình cơ bản

Chương trình nâng cao

1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

 x = x0 + a1t

d :  y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


 x = x0 + a1t

d :  y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


 x = x0 '+ a1 ' t '

; d ' :  y = y0 '+ a2 ' t '
 z = z '+ a ' t '
0
3



Vtcp u đi qua M 0 và d ' có vtcp u ' đi qua M 0 '

( d ) / / ( d ') ⇔  

u = ku '
u = ku '
d / /d ' ⇔ 
;d ≡ d ' ⇔ 
 M 0 ∉ d '
 M 0 ∈ d '
u , u ' không cùng phương:

(I )

 d chéo d’ ⇔ hệ phương trình (1) vô nghiệm
 d cắt d’ ⇔ hệ phương trình (1) có 1 nghiệm

76

Vtcp u đi qua M 0 và d ' có vtcp u ' đi qua M 0 '

 u , u ' = 0


u , u ' cùng phương:

 x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t '


 y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t '
 z + a t = y '+ a ' t '
0
3
 0 3

 x = x0 '+ a1 ' t '

; d ' :  y = y0 '+ a2 ' t '
 z = z '+ a ' t '
0
3


 M 0 ∉ d '

 u, u ' = 0


( d ) ≡ ( d ') ⇔  

 M 0 ∈ d '

(d )

 u , u ' ≠ 0


cat ( d ' ) ⇔ 
 u , u ' .MM 0 = 0

(d )

cheo ( d ') ⇔ u , u ' .MM 0 ≠ 0


Hình Học Tọa Độ Oxyz

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp 1

Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d

Trong không gian Oxyz cho:

qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp: a = ( a1 ; a2 ; a3 ) và

 x = x0 + a1t
(α ) :Ax+By+Cz+D=0 và d :  y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


(α ) :Ax+By+Cz+D=0

Pt:
A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = 0 (1)

(1)
Phương trình

vô nghiệm thì

( d ) cắt (α ) ⇔ a.n ≠ 0
a.n = 0

( d ) / / (α ) ⇔ 

 M ∉ (α )

d / / (α )

Phương trình

(1)

có 1 nghiệm thì d cắt

Phương trình

(1)

có vô số nghiệm thì

(d )

(α )

có vtpt n = ( A; B; C )

nằm trên mp

(α )

d ∈ (α )

a.n = 0
⇔
 M ∈ (α )

Đặc biệt: d ⊥ (α ) ⇔ a, n cùng phương

4. Khoảng cách
Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng
d ( M 0 ,α ) =

(α ) :Ax+By+Cz+D=0 cho

bởi công thức

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2
Khoảng cách từ M đến đường thẳng ( d )

Khoảng cách từ M đến đường thẳng ( d )
Phương pháp 1:

Phương pháp 2:

Lập ptmp (α ) đi qua M và vuông góc với d.

( d đi qua M 0 có vtcp u )

Tìm tọa độ giao điểm H của mp (α ) và d

d (M , ∆) =

d ( M , d ) = MH

M 0M , u 


u

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp 1:

Phương pháp 2:

d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ; có vtpt a = ( a1 ; a2 ; a3 )

d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ; có vtpt a = ( a1 ; a2 ; a3 )

d'

đi

qua

M ' ( x0 '; y0 '; z0 ') ;

vtpt

d ' đi qua M ' ( x0 '; y0 '; z0 ' ) ; vtpt a ' = ( a1 '; a2 '; a3 ')

a ' = ( a1 '; a2 '; a3 ')
Lập phương trình mp (α ) chứa d và song song
với d’: d ( d , d ') = d ( M ', (α ) )

5. Góc giữa hai đường thẳng
77

d ( ∆, ∆ ' ) =

 a, a ' .MM ' V


= hop
S day
 a, a '




Hình Học Tọa Độ Oxyz
 Góc giữa hai đường thẳng

( ∆ ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = ( a1 ; a2 ; a3 )
( ∆ ') đi qua M ' ( x0 '; y0 '; z0 ') có VTCP a ' = ( a1 '; a2 '; a3 ')

(

)

cos ϕ = cos a, a ' =

a.a '
a . a'

=

a1.a '1 + a2 .a '2 + a3 .a '3
2

a1 + a2 2 + a32 . a '12 + a '2 2 + a '32

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( ∆ ) đi qua M 0 có VTCP a , mặt phẳng (α ) có VTPT
n = ( A; B; C ) .

( )

Gọi ϕ là góc hợp bởi ( ∆ ) và mặt phẳng (α ) : sin ϕ = cos a, n =

Aa1 + Ba2 + Ca3
2

A + B 2 + C 2 . a12 + a2 2 + a32

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1.

Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vtcp a = ( a1 ; a2 ; a3 ) :

 x = xo + a1t

(d ) :  y = yo + a2t
z = z + a t
o
3


Dạng 2.

hoặc

Đường thẳng d đi qua A (hoặc B ) có vtcp ad = AB

•

Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .
Đường thẳng d đi qua A và có vtcp ud = u∆

•

Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Đường thẳng d đi qua A và có vtcp ud = nα

•

Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Đường thẳng d đi qua A và có vtcp u = ud1 , ud2 



•

Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

•

y − y0

Đường thẳng ( d ) qua A và vuông góc 2 đường thẳng d1 và d2 :

•

Dạng 6.

a1

=

Đường thẳng d qua A và vuông góc mp (α )

•

Dạng 5.

x − x0

Đường thẳng d qua A và song song ∆

•

Dạng 4.

(d ) :

Đường thẳng d đi qua A và B :

•

Dạng 3.

78

( t ∈ R)

Đường thẳng ( d ) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) :

Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp.

a2

=

z − z0
a3


Hình Học Tọa Độ Oxyz
( P )
– Tìm toạ độ một điểm A ∈ d : Bằng cách giải hệ phương trình 
(Q )

(với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại)
– Tìm một vtcp của d : ud =  nP , nQ 


•

Cách 2: Tìm hai điểm A , B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng 7.

Đường thẳng ( d ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng

d1 , d2 :

•

Vì d ⊥ d1 , d ⊥ d2 nên một vtcp của d là: ud = ud1 , ud2 



•

Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Dạng 8.
•

Đường thẳng ( d ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆ .

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng ∆
H ∈ ∆
Ta có 
⇒H
 M0 H ⊥ u△

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H (trở về dạng 2).
•

Cách 2: Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc với ∆ ; ( Q ) là mặt phẳng đi qua M 0
và chứa
∆ . Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) (trở về dạng 6).

•

Cách 3: Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc với ∆
- Tìm điểm B = ( P ) ∩ ∆

- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M 0 , B (quay về dạng 2).

Dạng 9.

Đường thẳng ( d ) nằm trong mặt phẳng ( P) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆

•

Tìm giao điểm M của ∆ và ( P) ⇒ M ∈ d

•

u ⊥ u
∆
⇒ ud = u∆ , nP 
Vì  d


ud ⊥ nP

Dạng 10. Đường thẳng ( d ) qua A và cắt d1 , d2 :
•

d = (α ) ∩ ( β ) với mp (α ) chứa A và d1 ; mp ( β ) chứa A và d2 (trở về dạng 6)

Dạng 11. Đường thẳng ( d ) nằm trong mặt phẳng ( P) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 :
•

Tìm các giao điểm A = d1 ∩ ( P ) , B = d2 ∩ ( P ) . Khi đó d chính là đường thẳng AB (về dạng
2).

Dạng 12. Đường thẳng ( d ) / / ∆ và cắt d1 , d2 :
79


Hình Học Tọa Độ Oxyz
•

Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d và d1 , mặt phẳng ( Q ) chứa d và d2
Khi đó d = ( P ) ∩ (Q ) (trở về dạng 6).

Dạng 13. Đường thẳng ( d ) qua A và ⊥ d1 , cắt d2 :
•

Cách 1:
- Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc với d1
- Tìm B = d2 ∩ (α )
- Khi đó ( d ) chính là đường thẳng AB (về dạng 2).

•

Cách 2:
- Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc với d1
- Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa A và d2
- Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) . (trở về dạng 6)

•

Cách 3:
- Viết phương trình tham số t của đường thẳng d2 (nếu chưa có).

- Tìm điểm B = d ∩ d2 ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn AB.ud1 = 0
Giải phương trình tìm được t ⇒ B
- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A , B .

Dạng 14. Đường thẳng ( d ) ⊥ ( P ) cắt d1 , d2 :
•

Tìm mp (α ) chứa d1 , ⊥ ( P ) ; mp( β ) chứa d2 , ⊥ ( P )

•

d = (α ) ∩ ( β ) (trở về dạng 6).

Dạng 15. Đường thẳng d’ là hình chiếu của d lên (α ) :
•

Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và vuông góc với (α ) .
- Đường thẳng d ' là giao tuyến của (α ) và ( β ) (trở về dạng 6).

•

Cách 2:
- Xác định A là giao điểm của d và (α ) .
- Lấy điểm M ≠ A trên d . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M vuông góc với (α ) .
- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của ∆ với (α ) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH (trở về dạng 2).

Đặc biệt: Nếu d song song (α ) thì d ' là đường thẳng đi qua H và song song với d .
80

Hình Học Tọa Độ Oxyz

Dạng 16. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ( d1 ) và ( d2 )
:
•

Cách 1:
- Chuyển phương trình đường thẳng ( d1 ) , ( d2 ) về dạng tham số và xác định u1 , u2 lần lượt là
vtcp của ( d1 ) , ( d2 ) .
- Lấy A , B lần lượt thuộc ( d1 ) , ( d2 ) (tọa độ A , B phụ thuộc vào tham số).

 AB ⊥ u = 0
1
⇔
- Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: 
 AB ⊥ u2 = 0

 AB.u = 0
1

 AB.u2 = 0

(* )

Giải hệ phương trình ( * ) tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A , B .
- Viết phương trình đường vuông góc chung AB .
•

Cách 2:
- Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên một vtcp của d là: ad =  ad1 , ad2 


- Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .
+ Một vtpt của ( P ) là: nP =  a , ad1 


- Tương tự lập phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d2 .
Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) (trở về dạng 6).

•

Cách 3:
- Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên một vtcp của d là: ad =  ad , ad 
 1 2
- Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .
+ Một vtpt của ( P ) là: nP =  a , ad1 


- Tìm M = d2 ∩ ( P ) . Khi đó viết phương trình d qua M có vtcp ad .

CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Dạng 1.
•

Tìm H là hình chiếu của M trên đường thẳng ( d )

Cách 1:
- Viết phương trình mp (α ) qua M và vuông góc với ( d ) : ta có nα = ad
- Khi đó: H = d ∩ (α ) ⇔ tọa độ H là nghiệm của hpt: ( d ) và (α ) .

81


Hình Học Tọa Độ Oxyz
•

Cách 2:
H ∈ d
- Đưa ( d ) về dạng tham số. Điểm H được xác định bởi: 
 MH ⊥ ad

Dạng 2.
•

Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d :

Cách 1:
- Tìm hình chiếu H của M trên ( d )
- Xác định điểm M ' sao cho H là trung điểm của đoạn MM ' (công thức trung điếm).

•

Cách 2:
- Gọi H là trung điểm của đoạn MM ' . Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M , M ' (công
thức trung điếm).


- Khi đó toạ độ của điểm M / được xác định bởi:  MM ' ⊥ ad .
H ∈ d

Dạng 3.
•

Đường thẳng ( d ') đối xứng đường thẳng ( d ) qua mặt phẳng ( P )

TH1: ( d ) ∩ ( P ) = A
- Xác định A là giao điểm của d và ( P)
- Lấy điểm M ∈ d ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AM ' .

•

TH2: ( d ) / / ( P )
- Lấy điểm M ∈ d ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng qua M ' và song song d .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

x + 4 y −5 z + 2
=
=
và cắt cả hai đường thẳng
3
−4
1
x −1 y +1 z − 2

x+2 y−3 z
và d 2 :
d1 :
=
=
=
= . Phương trình nào không phải đường
3
1
2
2
4
1
thẳng ∆

Đường thẳng ∆ song song với d :

x + 4 y +1 z +1
A. ∆ :
=
=
3
−4
1

C. ∆ :

Câu 2:

82

x+9 y+7 z+2
=
=
3
−4
1

7
2
y−
z−
x−3
3=
3
B. ∆ :
=
3
−4
1

D. ∆ :

x − 4 y −1 z −1
=
=
3
−4
1

x = 1− t

Cho đường thẳng (d ) :  y = 1 − t và mp (P) : x + y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng
 z = 2t

nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 x = 1 − 2t

A.  y = 1 + 2t
z = 0

Câu 3:

 x = 1 − 3t

B.  y = 1 + 3t
z = 5


 x = 1 − 2t

C.  y = 1 − 2t
z = 0


x = 1− t


D.  y = 1 + t
z = 5


x y −1 z − 2
và mặt phẳng
=
=
1
1
−1
( P ) : x + 2 y + 2 z − 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong ( P ) sao cho d cắt và

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :
vuông góc với đường thẳng ∆ là

Câu 4:

 x = −3 + t
A. d :  y = 1 − 2t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 1− t


 x = 3t
B. d :  y = 2 + t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 2 + 2t


 x = −2 − 4t

C. d :  y = −1 + 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 4−t


 x = −1 − t
D. d :  y = 3 − 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 3 − 2t


x−2 y+2 z
=
= và mặt phẳng
2
1
1
( P ) : x + 2 y − z − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) sao cho ∆ vuông

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và d bằng

Câu 5:

2.

 x−7 y z −4
 ∆ : 1 = −1 = −1
A. 
.
∆ : x − 3 = y = z


−1 −1
1

 x+7 y z−4
 ∆ : 1 = 1 = −1
B. 
.
∆ : x + 3 = y = z

1
1 −1

 x−7 y z −4
 ∆ : 2 = 1 = −1
C. 
.
∆ : x − 3 = y = z

1
4 1

 x −7 −y z − 4
 ∆ : 1 = −1 = −1
D. 
∆ : x − 3 = − y = z − 1

1
−1 −1

Cho hai điểm A ( 3;3;1) , B ( 0; 2;1) và mặt phẳng (α ) : x + y + z − 7 = 0 . Đường thẳng d nằm
trên (α ) sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A, B có phương trình là

x = t

A.  y = 7 − 3t .
 z = 2t

Câu 6:

x = t

B.  y = 7 + 3t .
 z = 2t


 x = −t

C.  y = 7 − 3t .
 z = 2t


x − 2 y +1 z
và mặt phẳng
=
=
1
−2
−1
( P ) : x + y + z − 3 = 0. Gọi I là giao điểm của d , ( P ) . Tìm M ∈ ( P ) sao cho MI vuông góc

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

với d và MI = 4 14.

 M ( 5;9; −11)
A. 
.
 M ( −3; −7;13)
83

 x = 2t

D.  y = 7 − 3t .
z = t


 M ( 5;7; −11)
B. 
.
 M ( −3; −7;13)


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 M ( −5;9; −11)
C. 
.
 M ( 3; −7;13)
Câu 7:

 M ( 5; −7;11)
D. 
.
 M ( 3;7; −13)

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua

( P ) : x − 2 y + 2 z = 0, ( Q ) : 2 x + 2 y + z − 1 = 0.
A ( 0; 0;1) , nằm trong mặt phẳng ( Q ) và tạo

với mặt phẳng ( P ) một góc bằng 450.

Câu 8:

x = t
x = t


; d 2 :  y = −t .
A. d1 :  y = t
 z = 1 − 4t
z = 1



x = t
x = t



B. d1 :  y = 2t − 1; d 2 :  y = 1 − t .
 z = 1 − 4t
z = 1



x = t
 x = 3t


C. d1 :  y = t − 1 ; d 2 :  y = −t .


 z = 1 − 4t
 z = 1 + 4t

 x = 1 + 4t
x = t


D. d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = −t
 z = 1 − 4t
z = 1



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa
mãn CD = 2 AB và diện tích bằng 27; đỉnh A ( −1; −1;0 ) ; phương trình đường thẳng chứa
x − 2 y +1 z − 3

=
=
. Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn
2
2
1
hoành độ điểm A.

cạnh CD là

A. D ( −2; −5;1) .
Câu 9:

B. D ( −3; −5;1) .

C. D ( 2; −5;1) .

D. D ( 3; −5;1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x +1 y + 2 z
=
= ;
1
2
1

x − 2 y −1 z −1
và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0. Lập phương trình đường

=
=
2
1
1
thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) và cắt d1 , d2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn
AB đạt giá trị nhỏ nhất.
d2 :

A. d :

x −1 y − 2 z − 2
.
=
=
1
1
1

B. d :

x −1 y + 2 z − 2
.
=
=
1
1
−1

C. d :

x +1 y − 2 z + 2
.
=
=
1
1
1

D. d :

x−2 y−2 z−2
=
=
1
1
1

x − 3 y + 2 z +1
và mặt
=
=
2
1
−1
phẳng ( P ) : x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm giữa d và ( P ) . Viết phương trình đường

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( P ) , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến ∆

bằng

42.

 x−5
∆ : 2 =
A. 
∆ : x + 3 =

2

84

y+2
=
−3
y+4
=
−3

z +5
1
.
z −5
1

 x−5
 ∆ : −2 =
B. 
∆ : x + 3 =


−2

y+2
=
−3
y+4
=
−3

z +5
1
.
z −5
1


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 x−5
∆ : 2 =
C. 
∆ : x + 3 =
2


y−2
=
−3
y+4

=
−3

z −5
1
.
z −5
1

 x−5 y + 2 z +5
∆ : 2 = 3 = 1
D. 
∆ : x + 3 = y + 4 = z − 5

2
3
1

x
y z +1
=
=
2 −1
2
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0. Gọi d ' là đường thẳng đối xứng với d qua ( P ) . Tìm

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2;3) , đường thẳng d :
tọa độ điểm B trên d ' sao cho AB = 9.
  62 + 16 151 −26 + 2 151 31 + 8 151 
;

;
 B 

27
27
27
 

.
A. 


62
−
16
151
−
26
−
2
151
31
−
8
151
B
;
;

 

27
27
27



  62 + 151 −26 + 151 31 + 151 
;
;
 B 

27
27
27
 

B. 
.


62
−
151
−
26
−
151
31
−
151

B
;
;

 
27
27
27

 
  16 151 2 151 8 151 
;
;
 B 

27
27 
  27
.
C. 
 B  −16 151 ; −2 151 ; −8 151 

 
27
27
27 
 
  62 + 4 151 −26 + 2 151 31 + 8 151 
;
;

 B 

27
27
27
 

D. 
 B  62 − 4 151 ; −26 − 2 151 ; 31 − 8 151 

 
27
27
27

 

Câu 12: Cho hai điểm M (1; 2;3) , A ( 2; 4; 4 ) và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0,

( Q ) : x − 2 y − z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng

∆ qua M cắt ( P ) , ( Q ) lần lượt tại

B, C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến.

85

A. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3

=
=
1
−1
−1

B. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
1
−1

C. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
1
1

D. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1

−1
1


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A ( −1; 0; −1) ,

x −1 y − 2 z + 2
=
=
, sao cho cos ( d ; ∆ 2 ) là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng
2
1
−1
x −3 y −2 z +3
∆2 :
=
=
. Phương trình đường thẳng d là?
2
2
−1

cắt

A.

x +1 y z +1
= =
2

2
−1

B.

x +1 y z +1
= =
4
5 −2

C.

x +1 y z +1
=
=
4
−5 −2

D.

x +1 y z +1
= =
2
2
1

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; 0; 2 ) và đường thẳng d có phương
trình:

x −1 y z +1

. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt d .
= =
1
1
2

A. ∆ :

x −1 y z − 2
.
= =
1
1
1

B. ∆ :

x−1 y z − 2
.
= =
1
1
−1

C. ∆ :

x −1 y z − 2
.
= =
2

1
1

D. ∆ :

x −1 y z − 2
.
=
=
1
1
−3

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình:
x −1 y +1 z
=
= . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương
2
1
−1
trình đường thẳng ∆ ?

x = 2 + t

A.  y = 1 − 4t
 z = −2t


x = 2 + t


B.  y = 1 − 4t
 z = 3 − 2t


x = 1+ t

C.  y = 1 − 4t
 z = −2t


x = 2 − t

D.  y = 1 − 4t
 z = −2t


Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ MN ⇒ N ( −t; −5 − 2t ;1 + t ) gọi d đi qua A ( −1; 0; −1) , cắt

x −1 y − 2 z + 2
x −3 y −2 z +3
=
=
=
=
, sao cho góc giữa d và ∆ 2 :
là nhỏ nhất.
2
1
−1
2

2
−1
Phương trình đường thẳng d là
∆1 :

x +1 y z +1
x +1 y z +1
x +1 y z +1
= =
. C.
=
=
. D.
= =
.
4
5 −2
4
−5 −2
2
2
1
x = 2 + t
x −1 y z + 2

= =
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ  y = −3 − 2t cho hai đường thẳng d1 :
và
2
1

−1
 z = −1 + 2t

A.

x +1 y z +1
= =
.
2
2
−1

B.

x −1 y + 2 z − 2
=
=
. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − 7 = 0 và cắt
1
3
−2
d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆
là.
d2 :

86


Hình Học Tọa Độ Oxyz


x = 6 − t

5

B.  y =
.
2

9

 z = − 2 + t


 x = 6 − 2t
 x = 12 − t

5


.
A.  y = 5
D.  y = + t .
2
 z = −9 + t


9

 z = − 2 + t
x y −1 z + 2

=
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : =
và
2
1
−1
 x = −1 + 2t

d 2 :  y = 1 + t . Phương trình đường thẳng vuông góc với ( P ) : 7 x + y − 4 z = 0 và cắt hai
z = 3

đường thẳng d1 , d2 là:

x−7 y z +4
= =
.
2
1
1
x + 2 y z −1
=
=
.
C.
−7
−1
4
A.



x = 6

5

C.  y = − t .
2

9

 z = − 2 + t

x − 2 y z +1
= =
.
7
1 −4
x − 2 y z +1
= =
.
D.
7
1
4
B.

x + 1 y − 2 z −1
=
=
và
3

1
2
x = 3
x −1 y z +1

∆2 :
= =
. Phương trình đường thẳng song song với d :  y = −1 + t và cắt hai
1
2
3
z = 4 + t


Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 :

đường thẳng ∆1; ∆ 2 là:

x = 2

A.  y = 3 − t .
z = 3 − t


 x = −2
 x = −2
x = 2




B.  y = −3 − t .
C.  y = −3 + t .
D.  y = −3 + t .
 z = −3 − t
 z = −3 + t
z = 3 + t



A ( −3;3; −3)
(α ) : 2 x – 2 y + z + 15 = 0 và
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho điểm
thuộc mặt phẳng
( S ) : (x − 2)2 + (y− 3)2 + (z − 5)2 = 100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng
mặt cầu

(α )

A.

cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:

x +3 y −3 z +3
=
=
.
1
4
6

 x = −3 + 5t

C.  y = 3
.
 z = −3 + 8t


B.

x +3 y −3 z +3
=
=
.
16
11
−10

D.

x +3 y −3 z +3
=
=
.
1
1
3

Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
 x = 1 + 2t


d:  y = −2 + 3t , t ∈ R trên mặt phẳng (Oxy):
z = 3 + t


87


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 x = 3 + 2t '

A.  y = 1 + 3t ' , t ' ∈ R
z = 0

 x = 1 + 2t '

C.  y = 2 + 3t ', t ' ∈ R
z = 0


 x = 1 + 4t '

B.  y = −2 + 6t ', t ' ∈ R
z = 0

 x = 5 − 2t '

D.  y = 4 − 3t ', t ' ∈ R
z = 0


x − 12 y − 9 z − 1
=
=
, và mặt
4
3
1
thẳng ( P ) : 3x + 5 y − z − 2 = 0 . Gọi d ' là hình chiếu của d lên ( P ) . Phương trình tham số của
d ' là

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

 x = −62t

A.  y = 25t .
 z = 2 − 61t


 x = 62t

B.  y = −25t .
 z = 2 + 61t


 x = 62t

C.  y = −25t .
 z = −2 + 61t


 x = 62t

D.  y = −25t .
 z = 2 + 61t


 x = 1 + 2t

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng d :  y = −2 + 4t . Hình chiếu song
z = 3 + t


song của aBH = nQ = (1; −2; 2 )

x = 1+ t

BH :  y = −1 − 2t
 z = 3 + 2t

lên mặt phẳng H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + 2t )
H ∈( P) ⇒ t = −

phương ∆ :

theo

10
 1 11 7 
⇒ H − ; ; 

9
 9 9 9

x +1 y − 6 z − 2
=
=
có phương trình là:
−1
−1
1

 x = 3 + 2t

.
A.  y = 0
 z = 1 − 4t


x = 3 + t

.
B.  y = 0
 z = 1 + 2t


 x = −1 − 2t

.
C.  y = 0
 z = 5 − 4t



 x = 3 − 2t

.
D.  y = 0
z = 1+ t


Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ ( Q ) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0 gọi d đi qua A ( 3; −1;1) , nằm trong
mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 5 = 0 , đồng thời tạo với ∆ :

x y−2 z
=
= một góc 450 . Phương
1
2
2

trình đường thẳng d là

 x = 3 + 7t

A.  y = −1 − 8t .
 z = −1 − 15t

 x = 3 + 7t

C.  y = −1 − 8t .
 z = 1 − 15t


88

x = 3 + t

B.  y = −1 − t .
z = 1

x = 3 + t

D.  y = −1 − t và
z = 1


 x = 3 + 7t

 y = −1 − 8t .
 z = 1 − 15t



Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d đi qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với

( P) : 2x − y − z + 3 = 0 ,

đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z
một góc lớn

=
=
1
−2
2

nhất. Phương trình đường thẳng d là.

A.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
1
−5
7

B.

x −1 y +1 z + 2
=
=
.
4
−5
7

C.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
4
5
7

D.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
1
−5
−7

Câu 26: Trong

không

gian

cho

đường

thẳng

∆:

x − 3 y z +1
= =
1
2
3

và

đường

thẳng

x + 3 y −1 z + 2
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ∆ và tạo với đường thẳng
3
1
2
d một góc lớn nhất.

d:

A. 19 x − 17 y − 20 z − 77 = 0.

B. 19 x − 17 y − 20 z + 34 = 0.

C. 31x − 8 y − 5 z + 91 = 0.

D. 31x − 8 y − 5 z − 98 = 0.

Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 2 = 0 và hai

x = 1+ t
 x = 3 − t′


đường thẳng d :  y = t
; d ' :  y = 1 + t′ .
 z = 2 + 2t
 z = 1 − 2t ′


Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với ( P ) ; cắt d , d ′ và tạo với d góc
30O. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

A.

1
.
5

B.

1
.
2

C.

2
.
3

D.

1
.
2

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2; 3; 1) và B ( 5; 6; 2 ) . Đường
thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) tại điểm M . Tính tỉ số

A.

AM 1
= .
BM 2

B.

AM
=2.
BM

C.

AM

.
BM

AM 1
= .
BM 3

D.

AM
=3.
BM

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( −2; −2; 1), B (1; 2; − 3) và đường

x +1 y − 5 z
=
=
. Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng ∆ qua A, vuông góc
2
2
−1
với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.

thẳng d :

A. u = (2;1; 6)

89

B. u = (2; 2; −1)

C. u = (25; −29; −6)

D. u = (1; 0; 2)


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 7; −2;3) và đường thẳng

 x = 2 + 3t

d có phương trình  y = −2t (t ∈ R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M
 z = 4 + 2t

đến A và B là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là:
A. M = ( 2;0; 4 ) .

B. M = ( 2; 0;1) .

C. M = (1; 0; 4 ) .

D. M = (1; 0; 2 ) .

6

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;3;0), B(0; − 2;0), M  ; − 2; 2 
5

x = t


và đường thẳng d :  y = 0 . Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ
z = 2 − t

dài CM bằng

A. 2 3.

B. 4.

C. 2.

D.

2 6
.
5

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao
cho tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua
điểm nào dưới đây?
A. M ( −1; −2;1) .

B. N ( 5;7;3) .

C. P ( 3; 4;3) .

D. Q ( 7;13;5 ) .

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;1;1) và hai đường thẳng

 x = 2 − 2t
 x = 5 + 3s


và d 2 :  y = 1
. Gọi B, C là các điểm lần lượt di động trên d1 , d 2 . Hỏi giá
d1 :  y = 1
 z = −2 + t
z = 3 − s


trị nhỏ nhất của biểu thức P = AB + BC + CA là?
A. 2 29 .
B. 2 985 .
C. 5 + 10 + 29 . D. 5 + 10 .

x = 0

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = t và A ( 0;4;0 ) . Gọi
z = 1

M là điểm cách đều d và trục x ' Ox . Khoảng cách ngắn nhất giữa A và M bằng:
65
1
A.
B. 3 2
C. 6
D.
2
2

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng có phương trình lần lượt là
x −1 y − 2
z
x−2 y−2
z
x y z −1
x − 2 y z −1
.
d1 :
=
=
; d2 :
=
=
; d3 : = =
; d4 :
= =
1
2
−2
2
4
−4
2 1
1
2
2
−1
Biết rằng đường thẳng ∆ có vector chỉ phương u ( 2; a; b ) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
Giá trị của biểu thức 2a + 3b bằng:

A. 5
90

B. −1

C. −

3
2

D. −

1
2


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A ( 2,1, 0 ) ,
song song với mặt phẳng

( P) : x − y − z = 0

và có tổng khoảng cách từ các điểm

M ( 0, 2, 0 ) , N ( 4,0, 0 ) tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉ phương của ∆ là?
A. u∆ = (1, 0,1)

B. u∆ = ( 2,1,1)

C. u∆ = ( 3, 2,1)

D. u∆ = ( 0,1, −1)

x − 2 y −1 z + 3
và hai điểm
=
=
2
2
3
A (1; −1; −1) , B ( −2; −1;1) . Gọi C, D là hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng ∆ sao

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

cho tồn tại điểm I cách đều tất cả các mặt của tứ diện ABCD và I thuộc tia Ox . Tính độ
dài đoạn thẳng CD .
12 17
3 17
.
.
A.
B. 17.
C.
D. 13.
17
11

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4 .
2

2

2

x = 1+ t

Xét đường thẳng d :  y = − mt
( t ∈ R ) , m là tham số thực. Giả sử ( P ) và ( P′) là hai mặt
z = m −1 t
)
 (
phẳng chứa d , tiếp xúc với ( S ) lần lượt tại T và T ′ . Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất
của độ dài đoạn thẳng TT ′ .
4 13
12 13
2 11
.
.
.
A.
B. 2 2.
C.
D.
5
13
3

91

Hình Học Tọa Độ Oxyz

D - HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

x + 4 y −5 z + 2
=
=
và cắt cả hai đường thẳng
3
−4
1
x −1 y +1 z − 2
x+2 y−3 z
và d 2 :
d1 :
=
=
=
= . Phương trình nào không phải đường
3
1
2
2
4
1
thẳng ∆

Đường thẳng ∆ song song với d :

x + 4 y +1 z +1
A. ∆ :
=
=
3
−4
1

C. ∆ :

x+9 y+7 z+2
=
=
3
−4
1

7
2
y−
z−
x−3
3=
3
B. ∆ :
=
3
−4
1

D. ∆ :

x − 4 y −1 z −1
=
=
3
−4
1

Hướng dẫn giải:
Giải: Gọi M, N là giao điểm của ∆ và d1, d2 .

 xM = 1 + 3t  xN = −2 + 2t '


Khi đó M, N thuộc d1, d2 nên  yM = −1 + t ,  y N = 3 + 4t ' .
 z = 2 + 2t  z = t '
 M
 N
Vector chỉ phương của ∆ là MN = ( −3 + 2t '− 3t ;4 + 4t '− t ; −2 + t '− 2t )
∆ song song với d :

x+4 y−5 z +2
−3 + 2t '− 3t 4 + 4t '− t −2 + t '− 2t
nên
=
=
=
=

3
−4
1
3
−4
1

4
7 2

Giải hệ ta được t ' = −1; t = − . Vậy N ( −4; −1; −1) , M  −3; − ; − 
3
3 3

Vậy ∆ :

x + 4 y +1 z +1
=
=
3
−4
1

Chọn A.
Câu 2:

x = 1− t

Cho đường thẳng (d ) :  y = 1 − t và mp (P) : x + y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng
 z = 2t


nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).
 x = 1 − 2t

A.  y = 1 + 2t
z = 0


 x = 1 − 3t

B.  y = 1 + 3t
z = 5


 x = 1 − 2t

C.  y = 1 − 2t
z = 0


x = 1− t

D.  y = 1 + t
z = 5


Hướng dẫn giải:
Gọi I là giao điểm của (d) và (P): I (1 − t ;1 − t ; 2t ), I ∈ ( P ) ⇒ t = 0 ⇒ I (1;1;0)
(d) có vectơ chỉ phương u = (−1; −1; 2) , (P) có vectơ pháp tuyến n = (1;1;0)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u ∆ = u , v  =(-2 ;2 ;0)

92


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 x = 1 − 2t

Phương trình mặt phẳng cần tìm là  y = 1 + 2t
z = 0

Chọn A.
Câu 3:

x y −1 z − 2
và mặt phẳng
=
=
1
1
−1
( P ) : x + 2 y + 2 z − 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong ( P ) sao cho d cắt và

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :
vuông góc với đường thẳng ∆ là
 x = −3 + t
A. d :  y = 1 − 2t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 1− t


 x = 3t
B. d :  y = 2 + t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 2 + 2t


 x = −2 − 4t
C. d :  y = −1 + 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 4−t


 x = −1 − t
D. d :  y = 3 − 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 3 − 2t


Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vectơ chỉ phương của ∆ : u ∆ (1;1; − 1) , vectơ pháp tuyến của ( P ) là n( P ) = (1; 2; 2 ) .
 d ⊥ ∆
u d ⊥ u ∆
Vì 
⇒
⇒ u d = u ∆ ; n ( P )  = ( 4; −3;1) .
 d ⊂ ( P ) u d ⊥ n( P )

Tọa độ giao điểm H = ∆ ∩ ( P ) là nghiệm của hệ
x = t
 y =1+ t

⇒ t = −2 ⇒ H ( −2; −1; 4 ) .


z = 2 − t
 x + 2 y + 2 z − 4 = 0

Lại có ( d ; ∆ ) ∩ ( P ) = d , mà H = ∆ ∩ ( P ) . Suy ra H ∈ d .
Vậy đường thẳng d đi qua H ( −2; −1; 4 ) và có VTCP u d = ( 4; − 3;1) nên có phương trình
 x = −2 − 4t

d :  y = −1 + 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 4−t


Câu 4:

x−2 y+2 z
=
= và mặt phẳng
2
1
1
( P ) : x + 2 y − z − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) sao cho ∆ vuông

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và d bằng

93

2.

Hình Học Tọa Độ Oxyz

 x−7 y z −4
 ∆ : 1 = −1 = −1
A. 
.
∆ : x − 3 = y = z

1
−1 −1

 x+7 y z−4
 ∆ : 1 = 1 = −1
B. 
.
∆ : x + 3 = y = z

1
1 −1

 x−7 y z −4
 ∆ : 2 = 1 = −1
C. 
.
∆ : x − 3 = y = z

1
4 1

 x −7 −y z − 4
 ∆ : 1 = −1 = −1
D. 
∆ : x − 3 = − y = z − 1

1
−1
−1

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP ud = ( 2;1;1) . Mặt phẳng

( P)

có VTPT n p = (1; 2; −1) , ta có

 n p , ud  = ( 3; −3; −3)


1
Vì ∆ ⊂ ( P ) , ∆ ⊥ d ⇒ VTPT u∆ = u∆ ; ud  = ( 0; −1;1)
3

Khi đó, phương trình mặt phẳng ( Q ) : y − z + m = 0
Chọn A (1; −2;0 ) ∈ d , ta có:
d ( A; ( Q ) ) = d ( ∆; d ) = 2 ⇔

−2 + m
2

m = 4
= 2⇔
m = 0

Với m = 4 ⇒ ( Q ) : y − z + 4 = 0
Vì ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ ∆ đi qua B ( 7; 0; 4 ) ⇒ ∆ :

x−7 y z−4
=
=
1
−1
−1

Với m = 0 ⇒ ( Q ) : y − z = 0
Vì ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ ∆ đi qua C ( 3; 0;0 ) ⇒ ∆ :

x−3 y
z
=
=
1
−1 −1

Chọn A.
Câu 5:

Cho hai điểm A ( 3;3;1) , B ( 0;2;1) và mặt phẳng (α ) : x + y + z − 7 = 0 . Đường thẳng d nằm
trên (α ) sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A, B có phương trình là

x = t

A.  y = 7 − 3t .
 z = 2t


x = t

B.  y = 7 + 3t .
 z = 2t


 x = −t

C.  y = 7 − 3t .
 z = 2t


 x = 2t

D.  y = 7 − 3t .
z = t


Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Mọi điểm trên d cách đều hai điểm A, B nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn
AB .

3 5 

Có AB = ( −3; −1;0 ) và trung điểm AB là I  ; ;1 nên mặt phẳng trung trực của AB là:
2 2 
94


Hình Học Tọa Độ Oxyz

3 
5

−3  x −  −  y −  = 0 ⇔ 3x + y − 7 = 0 .
2 
2

3 x + y − 7 = 0
 y = 7 − 3x
.
Mặt khác d ⊂ (α ) nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng: 
⇔
x + y + z − 7 = 0
z = 2x

x = t

Vậy phương trình d :  y = 7 − 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 2t

Câu 6:

x − 2 y +1 z

và mặt phẳng
=
=
1
−2
−1
( P ) : x + y + z − 3 = 0. Gọi I là giao điểm của d , ( P ) . Tìm M ∈ ( P ) sao cho MI vuông góc

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

với d và MI = 4 14.

 M ( 5;9; −11)
A. 
.
 M ( −3; −7;13)

 M ( 5;7; −11)
B. 
.
 M ( −3; −7;13)

 M ( −5;9; −11)
C. 
.
 M ( 3; −7;13)

 M ( 5; −7;11)
D. 
.

 M ( 3;7; −13)

Hướng dẫn giải:
Vì I ∈ d nên I ( 2 + t ; −1 − 2t ; −t ) .
Hơn nữa I ∈ ( P ) ⇒ 2 + t − 1 − 2t − 3 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ I (1;1;1)

 M ∈ ( P ) ⇒ a + b + c = 3
Gọi M ( a; b; c ) . Do: 
 MI ⊥ d ⇒ IM .ud = 0 ⇔ a − 2b − c + 2 = 0

( IM = ( a − 1; b − 1; c − 1) , u

d

= (1; −2; −1)

)

Do MI = 4 14 ⇒ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) = 224.
2

2

2

Khi đó ta có hệ phương trình:

a + b + c = 3
b = 2a − 1
a = 5

 a = −3




⇔ c = 4 − 3a ⇔ b = 9 ∪ b = −7
 a − 2b − c + 2 = 0




2
2
2
2
c = −11 c = 13
( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) = 224
( a − 1) = 16
Với ( a; b; c ) = ( 5;9; −11) ⇒ M ( 5;9; −11)
Với ( a; b; c ) = ( −3; −7;13) ⇒ M ( −3; −7;13)

Chọn A.
Câu 7:

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua
với mặt phẳng ( P ) một góc bằng 450.

95

( P ) : x − 2 y + 2 z = 0, ( Q ) : 2 x + 2 y + z − 1 = 0.
A ( 0;0;1) , nằm trong mặt phẳng ( Q ) và tạo


Hình Học Tọa Độ Oxyz

x = t
x = t


; d 2 :  y = −t .
A. d1 :  y = t
 z = 1 − 4t
z = 1



x = t
x = t


B. d1 :  y = 2t − 1; d 2 :  y = 1 − t .
 z = 1 − 4t
z = 1



x = t
 x = 3t



C. d1 :  y = t − 1 ; d 2 :  y = −t .


 z = 1 − 4t
 z = 1 + 4t

 x = 1 + 4t
x = t


D. d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = −t
 z = 1 − 4t
z = 1



Hướng dẫn giải:
Ta có n = ( 2; 2;1) là vecto pháp tuyến của ( Q ) , b = (1; −2; 2 ) là vec tơ pháp tuyến của ( P ) .
Gọi a = ( a; b; c ) , a 2 + b 2 + c 2 > 0 là một vecto chỉ phương của d .
Vì đường thẳng d đi qua A ( 0;0;1) mà A ( 0;0;1) , A ∈ ( Q )
Do đó d ⊂ ( Q ) ⇔ a ⊥ n ⇔ a.n = 0 ⇔ 2a + 2b + c = 0 ⇔ c = −2a − 2b
Góc hợp bởi d và ( P ) bằng 450 :

( )

⇔ sin 450 = cos a; b =

a.b
a.b

⇔

a − 2b + 2c
2
=
2 3 a2 + b2 + c2

⇔ 18(a 2 + b 2 + c 2 ) = 4 ( a − 2b + 2c ) ⇔ a = ±b
2

a = b ( b = 1 ⇒ a = 1; c = −4 )
a = −b ( b = −1 ⇒ a = 1; c = 0 )

x = t
x = t


; d 2 :  y = −t là các đường thẳng cần tìm.
Vậy d1 :  y = t
 z = 1 − 4t
z = 1


Chọn A.
Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa
mãn CD = 2 AB và diện tích bằng 27; đỉnh A ( −1; −1;0 ) ; phương trình đường thẳng chứa
x − 2 y +1 z − 3

=
=
. Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn
2
2
1
hoành độ điểm A.

cạnh CD là

A. D ( −2; −5;1) .

B. D ( −3; −5;1) .

C. D ( 2; −5;1) .

D. D ( 3; −5;1)

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng CD qua M ( 2; −1;3) có vec tơ chỉ phương u = ( 2; 2;1)
Gọi H ( 2 + 2t; −1 + 2t;3 + t ) là hình chiếu của A lên CD, ta có:

AH .u = 2 ( 3 + 2t; 2.2t + (3 + t ) ⇒ t = −1 ⇒ H ( 0; −3; 2 ) , d ( A, CD ) = AH = 3
Từ giả thiết ta có:
96


Hình Học Tọa Độ Oxyz
AB + CD = 3 AB =

2 S ABCD
= 18 ⇒ AB = 6; DH = 3; HC = 9
AH

Đặt AB = tu = ( 2t; 2t; t ) ⇒ t > 0 ( xB > xA ) ⇒ t =

AB
u

= 2 ⇒ AB ( 4;4; 2 ) ⇒ B ( 3;3; 2 )

9
AB = ( 6;6;3) ⇒ C ( 6;3;5 )
6
3
HD = − AB = ( −2; −2; −1) ⇒ D ( −2; −5;1)
6
HC =

Chọn A.
Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x +1 y + 2 z
=
= ;
1
2
1

x − 2 y −1 z −1
và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0. Lập phương trình đường
=
=
2
1
1
thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) và cắt d1 , d2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn
AB đạt giá trị nhỏ nhất.
d2 :

A. d :

x −1 y − 2 z − 2
.
=
=
1
1
1

B. d :

x −1 y + 2 z − 2
.
=
=
1
1

−1

C. d :

x +1 y − 2 z + 2
.
=
=
1
1
1

D. d :

x−2 y−2 z−2
=
=
1
1
1

Hướng dẫn giải:
Vì A ∈ d1 ; B ∈ d 2 ⇒ A ( −1 + a; −2 + 2a; a ) , B ( 2 + 2b;1 + b;1 + b )
Ta có AB = ( − a + 2b + 3; −2a + b + 3; − a + b + 1)

( P)

 AB ⊥ n
có vec tơ pháp tuyến n = (1;1; −2 ) , AB / / ( P ) ⇔ 
 A ∉ ( P )

AB ⊥ n ⇔ AB.n = 0 ⇔ −a + 2b + 3 − 2a + b + 3 + 2a − 2b − 2 = 0 ⇔ b = a − 4 ⇒ AB = ( a − 5; −a − 1; −3)
Do đó: AB =

( a − 5) + ( −a − 1) + ( −3)
2

2

2

= 2 ( a − 2 ) + 27 ≥ 3 3
2

⇒ min AB = 3 3 khi a = 2 ⇒ A (1;2; 2 )
AB = ( −3; −3; −3) , A (1; 2; 2 ) ∉ ( P )
Vậy phương trình đường thẳng d :

x −1 y − 2 z − 2
=
=
.
1
1
1

Chọn A.
x − 3 y + 2 z +1
và mặt
=

=
2
1
−1
phẳng ( P ) : x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm giữa d và ( P ) . Viết phương trình đường

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

97


Hình Học Tọa Độ Oxyz
thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( P ) , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến ∆
bằng

42.

 x−5
∆ : 2 =
A. 
∆ : x + 3 =
2


y+2
=
−3
y+4
=
−3

z +5
1
.
z −5
1

 x−5
 ∆ : −2 =
B. 
∆ : x + 3 =
−2


y+2
=
−3
y+4
=
−3

z +5
1
.
z −5
1

 x−5
∆ : 2 =
C. 

∆ : x + 3 =
2


y−2
=
−3
y+4
=
−3

z −5
1
.
z −5
1

 x−5 y + 2 z +5
∆ : 2 = 3 = 1
D. 
∆ : x + 3 = y + 4 = z − 5

2
3
1

Hướng dẫn giải:

 x = 3 + 2t


Phương trình tham số của d :  y = −2 + t
 z = −1 − t

Mặt phẳng ( P ) có VTPT nP = (1;1;1) , d có VTCP ud = ( 2;1; −1)
Vì M = d ∩ ( P ) ⇒ M (1; −3;0 )
Vì ∆ nằm trong ( P ) và vuông góc với d nên: VTCP u∆ = ud ; nP  = ( 2; −3;1)
Gọi N ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó: MN = ( x − 1; y + 3; z )
x + y + z + 2 = 0
 MN ⊥ u∆
 N ( 5; −2; −5 )


Ta có:  N ∈ ( P ) ⇔  2 x − 3 y + z − 11 = 0
⇒


2
2
 N ( −3; −4;5 )
2
x
y
z
1
3
42
−
+
+
+

=
MN
42
=
(
)
(
)


Với N ( 5; −2; −5 ) ⇒ ∆ :

x −5 y + 2 z +5
=
=
2
1
−3

Với N ( −3; −4;5 ) ⇒ ∆ :

x+3 y +4 z −5
=
=
−3
2
1

Chọn A.
x

y z +1
=
=
2 −1
2
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0. Gọi d ' là đường thẳng đối xứng với d qua ( P ) . Tìm

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2;3) , đường thẳng d :
tọa độ điểm B trên d ' sao cho AB = 9.
  62 + 16 151 −26 + 2 151 31 + 8 151 
;
;
 B 

27
27
27
 

A. 
.


62
−
16
151
−
26
−

2
151
31
−
8
151
B
;
;

 
27
27
27

 
98


Hình Học Tọa Độ Oxyz
  62 + 151 −26 + 151 31 + 151 
;
;
 B 

27
27
27
 


B. 
.
 B  62 − 151 ; −26 − 151 ; 31 − 151 

 
27
27
27

 
  16 151 2 151 8 151 
;
;
 B 

27
27 
  27
.
C. 


−
16
151
−
2
151
−
8

151
B
;
;

 
27
27
27 
 
  62 + 4 151 −26 + 2 151 31 + 8 151 
;
;
 B 

27
27
27
 

D. 
 B  62 − 4 151 ; −26 − 2 151 ; 31 − 8 151 

 
27
27
27

 

Hướng dẫn giải:
Có d cắt ( P ) tại I ( 2; −1;1) . Chọn M ( 0;0; −1) ∈ d và M ' là điểm đối xứng của M qua

( P ) . Khi đó

M ' ∈ ( d ') . Ta tìm M '.

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ( P )
⇒ VTCP u∆ = VTPT nP = (1; 2 − 1) ⇒ ∆ :

x y z +1
= =
1 2
−1

Gọi H là trung điểm MM ' thì tọa độ H định:

 x y z +1
1
2
2
 = =
 1 2 2
⇔ x = − ; y = − ; z = − ⇒ H  − ; − ; − .
−1
1 2
3
3
3
 3 3 3

 x + 2 y − z + 1 = 0
 2 4 1
Từ đó: M ' ( 2 xH − xM ; 2 yH − yM ; 2 zH − zM ) =  − ; − ; − 
 3 3 3
Suy ra d’ là đường thẳng đi qua I ( 2; −1;1) nhận VTCP:
x − 2 y +1 z −1
8 1 4
=
=
M 'I =  ; ;  ⇒ d ':
8
1
4
3 3 3

B ∈ d ' ⇒ B ( 2 + 8t ; −1 + t;1 + 4t )
Theo đề bài ta phải có:
AB = 9 ⇔ (1 + 8t ) + ( t − 3) + ( 4t − 2 ) = 81 ⇔ 81t 2 − 6t − 67 = 0 ⇔ t =
2

99

2

2

1 ± 2 151
27

Hình Học Tọa Độ Oxyz
  62 + 16 151 −26 + 2 151 31 + 8 151 
;
;
 B 

27
27
27
 

⇒
 B  62 − 16 151 ; −26 − 2 151 ; 31 − 8 151 

 
27
27
27

 

Chọn A.
Câu 12: Cho hai điểm M (1; 2;3) , A ( 2; 4; 4 ) và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0,

( Q ) : x − 2 y − z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng

∆ qua M cắt ( P ) , ( Q ) lần lượt tại

B, C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến.
A. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
−1
−1
1

B. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
−1
1

C. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
1
1

D. ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=

=
1
1
−1

Hướng dẫn giải:
Gọi B ( a; b; c ) , từ giả thiết suy ra M là trung điểm của BC , suy ra C ( 2 − a; 4 − b;6 − c ) .

B ∈ ( P ) , C ∈ ( Q ) nên có hai pt: a + b − 2c + 1 = 0 (1) ; − a + 2b + c − 8 = 0

( 2).

AM ( −1; −2; −1) , BC ( 2 − 2a; 4 − 2b;6 − 2c ) .
Tam giác ABC cân tại A nên: AM .BC = 0 ⇔ a + 2b + c − 8 = 0

( 3) .

 a + b − 2c + 1 = 0
a = 0


Từ (1) , ( 2 ) và ( 3) có hệ:  − a + 2b + c − 8 = 0 ⇔ b = 3 ⇒ B ( 0;3; 2 ) , C ( 2;1; 4 ) .
 a + 2b + c − 8 = 0
c = 2


Đường thẳng ∆ qua B và C có pt ∆ :

x −1 y − 2 z − 3
=

=
.
1
−1
1

Chọn D.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A ( −1;0; −1) ,

x −1 y − 2 z + 2
=
=
, sao cho cos ( d ; ∆ 2 ) là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng
2
1
−1
x −3 y −2 z +3
∆2 :
=
=
. Phương trình đường thẳng d là?
2
2
−1

cắt

A.

x +1 y z +1

= =
2
2
−1

B.

x +1 y z +1
= =
4
5 −2

C.

x +1 y z +1
=
=
4
−5 −2

D.

x +1 y z +1
= =
2
2
1

Hướng dẫn giải:
Gọi M = d ∩ ∆1 ⇒ M (1 + 2t ; 2 + t ; −2 − t ) .

100