Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quan sơn tiếp cận và sử dụng máy tính cầm tay casio FX 570ES, FX 580VNX vào giải các bài tập trắc nghiệm phần số phức

MỤC LỤC
Nội dung
1: MỞ ĐẦU
- Lí do chọn đề tài
- Mục đích nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu
2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
- Cơ sở lí luận của vấn đề
- Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
- Giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
- Hiệu quả đề tài
3- KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ

Trang
2
2
3
3
3
3
3
4
5
20
20

1


1. MỞ ĐẦU

1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dựa trên thực tế giảng dạy môn Toán ở các lớp 12 của trường THPT Quan
Sơn, cùng với kết quả thi THPT Quốc Gia của những năm học 2016-2017 đến
2018-2019, tôi nhận thấy rằng điểm trung bình của môn Toán của các em lớp 12
đang còn rất thấp với nhiều lý do khách quan và chủ quan đem lại. Trường
THPT Quan Sơn đóng trên địa bàn thuộc vùng đặc biệt khó khăn của tỉnh Thanh
Hóa, chất lượng đầu vào lớp 10 của các học sinh còn thấp, không nhớ kiến thức,
thiếu kỹ năng tính toán từ lớp dưới. Học sinh làm bài đôi khi còn có tư tưởng
khoanh bừa, dựa vào yếu tố may mắn để lấy điểm, nên phổ điểm tầm khoảng 2
đến 3 là cao. Riêng với phần Số phức, là phần không khó để lấy điểm trong đề
thi, thế nhưng nhiều em không làm được hoặc làm nhưng không đúng đáp
án.Vậy nếu vẫn giữ nguyên cách dạy và truyền đạt như những năm học trước thì
điểm số không thể đạt được chỉ tiêu của sở giáo dục giao là 3,3 (tăng 0,25 điểm
so với năm học trước) mà còn có nguy cơ không đạt được điểm như kết quả
năm học trước. Bên cạnh việc thay đổi phương pháp dạy, cách truyền đạt đến
học sinh, cách kiểm tra đánh giá, biên soạn đề cương ôn tập một cách chi tiết…
thì học sinh nên cần sử dụng máy tính bỏ túi trong quá trình ôn và thi tốt nghiệp,
đặc biệt với các bài toán về Số phức. Học sinh có thể sử dụng máy tính là công
cụ hỗ trợ trong việc tìm ra đáp án với hình thức thi trắc nghiệm. Học sinh cảm
thấy việc tính toán đỡ áp lực, giúp các em hào hứng hơn trong các tiết học. Điểm
số của các em có sử dụng máy tính cao hơn các em không sử dụng máy tính
trong các bài thi trắc nghiệm.
Với mong muốn cung cấp một tài liệu học tập cho học sinh và những ưu
điểm mà việc sử dụng máy tính đem lại trong giải toán, tôi mạnh đưa ra đề tài
sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn
tiếp cận và sử dụng máy tính CASIO fx-570ES, fx-580VNX vào giải các bài
tập trắc nghiệm phần Số phức” sao cho phù hợp với đặc điểm tình hình thực
tiễn.

2

1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Quan Sơn và mục
tiêu đạt điểm theo chỉ tiêu của sở GD-ĐT Thanh Hóa trong kì thi Tốt
nghiệpTHPT 2020, đề tài được viết với mục đích:
- Cung cấp tài liệu ôn tập cho học sinh THPT Quan Sơn với nội dung và cách
tiếp cận phù hợp với trình độ nhận thức của các em, để từ đó các em có thể học
tập, nghiên cứu, luyện giải các bài tập trong các đề thi thử và áp dụng vào kì thi
Tốt nghiệp THPT năm 2020.
- Giúp học sinh hiểu biết thêm một số chức năng của máy tính cầm tay nói
chung và loại máy CASIO nói riêng để từ đó vận dụng vào giải toán trắc
nghiệm.
- Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán, tăng cường tính chính xác khi làm
bài, qua đó cải thiện chất lượng giảng dạy và học tập.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài nghiên cứu về phần Số phức trong chương trình lớp 12 THPT, là
phần luôn xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bên cạnh cách giải bài tập
theo cách giải quen thuộc thì đề tài nhằm cung cấp cho các em các dạng toán có
sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES, fx-580VNX giải quyết các bài tập
trắc nghiệm về Số phức.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài:
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế năng lực học sinh THPT Quan Sơn từ
đó phân loại đối tượng để có phương pháp ôn luyện phù hợp.
- Phương pháp thu thập dữ liệu, tổng hợp và phân tích, hệ thống hóa kiến thức
để đưa ra kết quả và vận dụng trong quá trình ôn luyện cho học sinh
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
2.1.1 Các yếu tố cơ bản của số phức

2
- Số phức z có dạng z = a + bi ( a, b ∈ R, i = −1) .
- Phần thực của z là a , phần ảo của z là b .
- Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là z = a .
- Số phức z = bi = 0 + bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)
- Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo.
uuuu
r

- Mô đun của số phức z là z = OM = a 2 + b 2 .
- Số phức liên hợp của z là z = a + bi = a − bi .
2.1.2 Các phép toán cơ bản về số phức :
Cho các số phức z1 = a1 + b 1i ; z2 = a2 + b 2 i ( a1 , a2 , b1 , b2 ∈ ¡ )
- Phép cộng hai số phức: z1 z2 = (a1a2 − b1b2 ) + (a1b2 + a2b1 )i .
- Phép trừ của hai số phức: z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i .
- Số đối của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) là số phức − z = − a − bi .
- Phép nhân hai số phức: z1 z2 = (a1a2 − b1b2 ) + (a1b2 + a2b1 )i .
3


- Chia hai số phức z1 = c + di và z2 = a + bi ≠ 0 ( a, b, c, d ∈ ¡ ) . Khi đó
z1 c + di (c + di )(a − bi ) ac + bd ad − bc
=
=
= 2
+
i (Nhân với liên hợp của mẫu).
z2 a + bi
a 2 − b 2i 2
a + b2 a 2 + b 2

2.1.3. Phương trình bậc hai với hệ số thực:
Xét phương trình : az 2 + bz + c = 0 với a, b, c ∈¡ ; a ≠ 0 ;
Xét biệt số : ∆ = b 2 − 4ac . Có các trường hợp sau xảy ra :
- Khi

∆ = 0,

phương trình có một nghiệm thực x = − b .
2a

- Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b ± ∆ .
2a

- Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x =
1,2

−b ± i ∆
2a

.

2.1.4. Sử dụng máy tính
- Sử dụng FX 570 ES:
Để tính toán trên tập số phức: MODE 2
Lệnh tính Môđun của số phức là SHIFT HYP
Lệnh tính số phức liên hợp z là SHIFT 2 2
- Sử dụng FX 580 VNX :
Để tính toán trên tập số phức: MENU 2
Lệnh tính Môđun của số phức là SHIFT HYP

Lệnh tính số phức liên hợp z là OPTN 2

2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM
- Việc sử dụng máy tính cầm tay vào giải các bài tập Toán ở Trường THPT
Quan Sơn có thể nói là chưa được rộng rãi và phổ biến, trong quá trình học tập

4


thì số lượng học sinh Trường THPT Quan Sơn biết vận dụng máy tính vào giải
bài tập là rất thấp.
- Hình thức thi trắc nghiệm khách quan được sử dụng trong kì thi TN - ĐHCĐ
đòi hỏi không chỉ các em học sinh phải nắm vững kiến thức, công thức, bản chất
mà còn cần đến sự nhạy bén, tính toán kịp thời nên phải dùng máy tính cầm tay
thành thạo.
- Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay vào giải các bài tập Toán có thể nói là
đã được nhiều thầy cô giáo đề cập. Tuy nhiên sẽ rất khó khăn để học sinh
Trường THPT Quan Sơn tiếp cận và đạt hiệu quả cao nhất. Chính vì thế để các
em học sinh Trường THPT Quan Sơn có thể hiểu một cách rõ ràng, sử dụng với
hiệu quả cao cần vận dụng phù hợp với tình hình thực tế.
- Dòng máy casio 580VNX mới ra đời với nhiều chức năng thuận tiện có thể
giải nhiều dạng toán, tuy nhiên vẫn chưa có nhiều tài liệu viết chi tiết về cách sử
dụng dòng máy này cho dạng toán số phức.
2.3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để tạo được hứng thú cho các em học sinh Trường THPT Quan Sơn khi sử
dụng máy tính cầm tay vào giải các bài tập Toán tôi thường đi theo các bước
sau:
Cho học sinh giải
cách truyền thống

Cho các em hệ
thống bài tập để
thực hành

Cho học sinh vận dụng
máy tính để giải theo
cách khác

Yêu cầu các em
rút ra nhận xét, so
sánh về thời gian
tìm ra đáp số

Tổ chức thi giải
nhanh bài tập Toán
bằng Máy tính cầm
tay

Việc vận dụng Máy tính cầm tay được thể hiện qua các dạng toán :
Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Dạng 2: Tìm liên hợp của số phức.
Dạng 3: Tìm Mô-đun của số phức.
Dạng 4: Giải phương trình bậc hai.
Dạng 5: Tìm căn bậc hai của số thực âm.
Dạng 6: Biểu diễn hình học của số phức.
Dạng 7: Tìm số phức z thõa mãn đẳng thức chứa z, z
Sau đây tôi xin phép trình bày các dạng toán chi tiết như sau:
1. DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
* Phương pháp casio:

Bước 1 : Vào môi trường số phức bằng cách nhấn các phím

5


- Máy CASIO 570 ES, Bấm MODE 2 khi trên màn hình xuất hiện CMPLX.
(Như hình bên dưới)

- Máy CASIO 580 VNX, Bấm MENU 2 khi trên màn hình xuất hiện i (Như
hình bên dưới)

- Để nhập đơn vị ảo (i) ta bấm: ENG
Bước 2 : Nhập số phức và phép toán theo đề bài, chờ kết quả.
* Các ví dụ:
Câu 1: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức z1 = 4− 3i và z2 = 7 + 3i .
Tìm số phức z = z1 − z2 .
A. z = 3+ 6i .
B. z = 11
C. z = −1− 10i .
D. z = −3− 6i .
Hướng dẫn giải
CASIO 570 ES
Bước 1 : CASIO 570 ES
: Nhấn các phím MODE 2
CASIO 580 VNX : Nhấn các phím MENU 2
Bước 2 : Nhập số phức và phép toán bằng cách bấm liên tiếp các phím
4 − 3 ENG − ( 7 + 3 ENG ) =

Được kết quả −3 − 6i . Vậy chọn đáp án D
Câu 2: (Đề minh họa lần 1, 2017) Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z

A. w = 7 − 3i .
B. w = −3 − 3i .
C. w = 3 + 7i.
D. w = −7 − 7i .
Hướng dẫn giải
Ta có liên hợp của số phức z = 2 + 5i là z = 2 − 5i . Sau đó thực hiện liên tiếp các
phím sau :
Bước 1 : CASIO 570 ES
: Nhấn các phím MODE 2
CASIO 580 VNX : Nhấn các phím MENU 2
ENG ( 2 + 5 ENG ) + 2 − 5 ENG =
Bước 2 : Nhập số phức và phép toán
Được kết quả −3 − 3i .Vậy chọn đáp án B
Câu 3: ( Đề minh họa lần 2, 2020)
6


Cho hai số phức z1 = 3− i và z2 = −1+ i. Phần ảo của số phức z1z2 bằng
A. 4.
B. 4i .
C. −1.
D. −i .
Hướng dẫn giải
- Để tính biểu thức trên ta thực hiện bấm liên tiếp các phím sau:
CASIO 570 ES

MODE 2 ( 3 − ENG ) ( − 1 + ENG ) =

MENU 2 ( 3 − ENG ) ( − 1 + ENG ) =
CASIO 580 VNX

Được kết quả −2 + 4i . Vậy chọn đáp án A

Câu 4:

1−
Biểu thức Z = (

A. −4 − 4i

3.i

)

3

bằng:

1− i
B. −4 + 4i
C. 4 + 4i
Hướng dẫn giải :

D. 4 − 4i

Để tính biểu thức trên ta thực hiện bấm liên tiếp các phím sau:
CASIO 570 ES :
CASIO 580 VNX :

MODE 2

MENU 2

W
( 1 −
W
W
( 1 −
W

W 3 > ENG ) xW 3 ∇ 1 − ENG =

W 3 > ENG ) xW 3 ∇ 1 − ENG =

được kết quả như sau: −4 − 4i . Chọn đáp án A
2. DẠNG 2: TÌM LIÊN HỢP CỦA SỐ PHỨC
* Phương pháp casio
+ Để tìm liên hợp của số phức Z ta thực hiện các thao tác sau:
CASIO 570 ES
Bước 1: Nhập số phức Z
Bước 2: Nhấn các phím = SHIFT 2 2 Ans ) = và chờ kết quả
CASIO 580 VNX
Bước 1: Nhấn các phím MENU 2 OPTN 2
Bước 2: Nhập số phức Z và chờ kết quả
* Các ví dụ:
Câu 1: (Trích Câu 30 Đề thi thử nghiệm lần 2 của Bộ GD và ĐT)
Liên hợp của số phức: Z = i ( 3i + 1) là:
A. Z = 3 − i
B. Z = −3 + i
C. Z = 3 + i
D. Z = −3 − i

Hướng dẫn giải
CASIO 570 ES
Bước 1: Nhập và lưu số phức Z = i ( 3i + 1) .

7


Nhấn các phím: ENG ( 3 ENG + 1 ) = khi đó màn hình xuất hiện số phức
−3 + i (ở bước này bạn nào nhớ công thức tìm số phức liên hợp thì suy ra ngay

kết quả là: Z = −3 − i )
Bước 2: Tìm liên hợp của số phức −3 + i
Nhấn liên tiếp các phím SHIFT 2 2 Ans ) = ta được kết quả: −3 − i
Vậy kết quả là Z = −3 − i . Chọn đáp án B.
CASIO 580 VNX
Bước 1: Nhấn các phím MENU 2 OPTN 2
Bước 2: Nhập số phức ENG ( 3 ENG + 1 ) = ta được kết quả Z = −3 − i
Câu 2 : ( Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017)
2
2
Số phức liên hợp của số phức z = ( 1 + i ) − 3 ( 1 + 2i ) là:
A. −9 − 10i
B. 9 − 10i
C. 9 + 10i
D. −9 + 10i
Hướng dẫn giải
CASIO 570 ES
Bước 1: Nhập và lưu số phức z = (1 + i )2 − 3(1 + 2i) 2
Nhấn các phím: ( 1 + ENG ) x 2 − 3 ( 1 + 2 ENG ) x 2 = khi đó màn hình xuất
hiện : 9 − 10i

Bước 2: Tìm liên hợp của số phức 9 − 10i
Nhấn liên tiếp các phím SHIFT 2 2 Ans ) = ta được kết quả: 9 + 10i
Chọn đáp án B.
CASIO 580 VNX
Bước 1: Nhấn các phím MENU 2 OPTN 2
Bước 2: Nhập số phức ( 1 + ENG ) x 2 − 3 ( 1 + 2 ENG ) x 2 = , ta được kết
quả z = 9 + 10i
Câu 3: Tìm số phức Z biết rằng
A. Z =

10 35
+ i
13 26

1

=

Z
8 14
B. Z = − + i
25 25

1
1
−
1− 2i (1+ 2i)2

C. Z =

8 14
+ i
25 25

D. Z =

10 14
− i
13 25

Hướng dẫn giải
- Để tìm Z ta rút Z từ phương trình đã cho được

Z=

1
1
1
−
1− 2i (1+ 2i)2

- Nhập Z vào máy tính và tính Z ( vì Z = Z ).
+ Các bước bấm máy.
CASIO 570 ES

8


Bước 1: Nhập và lưu số phức

Z=

1
1
1
.
−
1− 2i (1+ 2i)2

- Nhấn các phím:
MODE 2

W
W
W
1 ∇
1 ∇ 1 − 2 ENG > −
( 1 + 2 ENG ) ) x 2
W
W
W

- Nhấn dấu = được kết quả: Z =

10 35
− i
13 26

Bước 2: Tìm liên hợp của số phức Z =

10 35
− i
13 26

- Nhấn liên tiếp các phím SHIFT 2 2 Ans ) = ta được kết quả: Z = Z =

10 35
+ i
13 26

Vậy chọn đáp án A.
CASIO 580 VNX
Bước 1 : Nhấn các phím MENU 2 OPTN 2
Bước 2 : Nhập số phức :
W
W
W
1 ∇
1 ∇1 − 2 ENG > −
( 1 + 2 ENG ) ) x 2
W
W
W

ta được kết quả Z = Z =

10 35
+ i . Vậy chọn đáp án A.
13 26

3. DẠNG 3: TÌM MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
* Phương pháp casio
+ Để tìm mô - đun của số phức Z ta bấm ta thực theo cách sau:
CASIO 570 ES
Bước 1: CASIO 570 ES : Nhấn các phím: MODE 2 SHIFT HYP
CASIO 580 VNX : Nhấn các phím : MENU 2 SHIFT HYP
Bước 2: Nhập số phức Z và nhấn dấu = . Kết quả xuất hiện trên màn hình là giá
trị cần tìm.
* Các ví dụ:
Câu 1: (Đề THPTQG 2017-Mã đề 104) Cho số phức z = 2 + i . Tính | z | .
A. z = 5 .

B. z = 3 .

C. z = 2 .
Hướng dẫn giải

D. z = 5

+ Các bước bấm máy:
9


Bước 1: CASIO 570 ES : Nhấn các phím: MODE 2 SHIFT HYP
CASIO 580 VNX : Nhấn các phím: MENU 2 SHIFT HYP
Bước 2 : Nhập số phức Z : 2 + ENG và nhấn dấu = .
Được kết quả : 5 . Chọn đáp án D
Câu 2: (Trích Câu 31 Đề thi thử nghiệm lần 2 của Bộ GD và ĐT)
Tính mô-đun của số phức Z thỏa: Z(2 − i) + 13i = 1 là:
A. Z = 34

B. Z = 34

C. Z =

5 34
3

D. Z =

34
3

Hướng dẫn giải
Để tìm mô- đun của số phức Z ta rút Z từ phương trình đã cho được Z =
Sau đó tìm đáp án đúng bằng máy tính
+ Các bước bấm máy.
Bước 1: CASIO 570 ES : Nhấn các phím: MODE 2 SHIFT HYP
CASIO 580 VNX : Nhấn các phím MENU 2 SHIFT HYP
Bước 2: Nhập số phức Z :

1 − 13i
2−i

W
1 − 1 3 ENG ∇ 2 − ENG và nhấn dấu = .
W

Được kết quả: 34 . Vậy chọn đáp án A
Câu 3 : (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017)

Để số phức z = a + (a − 1)i (a là số thực) có z = 1 thì:
A. a =

1
2

B. a =

3
2

a = 0

C. 
a = 1

D. a = ±1

Hướng dẫn giải
+ Để làm được bài này ngoài cách giải theo phương pháp tự luận , ta có thể giải
nhanh bằng cách kiểm tra trực tiếp đáp án đúng hay sai.
+ Đầu tiên ta kiểm tra a = 1 ( xuất hiện ở đáp án C và D)
Bước 1: CASIO 570 ES
: Nhấn các phím: MODE 2 SHIFT HYP
CASIO 580 VNX : Nhấn các phím : MENU 2 SHIFT HYP
Bước 2: Nhập số phức Z : 1 + ( 1 − 1 ) ENG = và nhấn dấu = .
Được kết quả: 1
Vậy đáp án chỉ có thể là C hoặc D
+ Kiểm tra tiếp a = 0 ta cũng thu được kết quả là z = 1 .Vậy chọn đáp án C
4. DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

* Phương pháp casio

10


Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0, a, b, c ∈ ¡ )
Trong trường hợp này chúng ta thực hiện giải phương trình bậc 2 theo cách
thông thường mà các em đã biết đó là:
CASIO 570 ES
Bước 1: - Bấm MODE 5 3
Bước 2: - Nhập các hệ số a, b, c và nhấn dấu = , đọc kết quả trên màn hình.
CASIO 580 VNX
Bước 1: - Bấm MENU 9 2 3
Bước 2: - Nhập các hệ số a, b, c và nhấn dấu = , đọc kết quả trên màn hình.
* Các ví dụ:
Câu 1: (Đề minh họa THPT QG 2019) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của
phương trình z 2 − 3z + 5 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng
A. 2 5 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 10 .
Hướng dẫn giải
CASIO 570 ES
Bước 1: - Bấm MODE 5 3
Bước 2: - Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −3 = 5 =
3
11
3
11
i và z2 = −

i .
2
2
2
2
Bước 3: Tính mô đun z1 + z2 bằng cách ấn liên tiếp các phím

thu được 2 nghiệm z1 = +

MODE 2 SHIFT hip

W
W
3 ∇2 +
W
W

W1 1 ∇ 2 ENG +

MODE 2 SHIFT hip

W
W
3 ∇2 −
W
W

W1 1 ∇ 2 ENG =

Được kết quả là 2 5

CASIO 580 VNX
Bước 1: Bấm liên tiếp các phím MENU 9 2 3
Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −3 = 5 =
3
2

thu được 2 nghiệm z1 = +
Bước 3: Tính mô đun

11
3
11
i và z2 = −
i
2
2
2
z1 + z2
bằng cách ấn liên tiếp các phím

MENU 2 SHIFT hip

W
W
3 ∇2 +
W
W

W1 1 ∇ 2 ENG +

MENU 2 SHIFT hip

W
W
3 ∇2 −
W
W

W1 1 ∇ 2 ENG =

Được kết quả là 2 5 , chọn đáp án A
Câu 2: (Đề thi THPT QG 2019) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương
trình z 2 − 6z + 10 = 0 . Giá trị của z12 + z 22 bằng
11


A. 16.

B. 56.

C. 20.
Hướng dẫn giải

D. 26.

CASIO 570 ES:
Bước 1: - Bấm MODE 5 3
Bước 2: - Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −6 = 10 =
thu được 2 nghiệm z1 = 3 + i và z2 = 3 − i .
Bước 3: - Tính tổng z12 + z 22 bằng cách ấn liên tiếp các phím

MODE 2 ( 3 + ENG ) x 2 + ( 3 − ENG ) x 2 = được kết quả là 16.

Chọn đáp án A
CASIO 580 VNX
Bước 1: Bấm liên tiếp các phím MENU 9 2 3
Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −6 = 10 =
thu được 2 nghiệm z1 = 3 + i và z2 = 3 − i .
Bước 3: Tính tổng z12 + z 22 bằng cách ấn liên tiếp các phím
MENU 2 ( 3 + ENG ) x 2 + ( 3 − ENG ) x 2 = được kết quả là 16.

Câu 3: (Câu 36, đề minh họa lần 2, năm 2020)
Gọi z0 là nghiệm có phần ảo âm của phương trình z2 − 2z + 5 = 0. Môđun của số
phức z0 + i bằng
A. 2.

B.

2

C.

10 .

D. 10.

Hướng dẫn giải
CASIO 570 ES
Bước 1: - Bấm MODE 5 3
Bước 2: - Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −2 = 5 =
thu được 2 nghiệm z1 = 1 + 2i và z2 = 1 − 2i . Vậy z0 = 1 − 2i

Bước 3: Tính mô đun z0 + i = 1 − 2i + i = 1 − i bằng cách ấn liên tiếp các phím
MODE 2 SHIFT hip 1 − ENG = . Được kết quả là 2 , chọn đáp án B.
CASIO 580 VNX
Bước 1: Bấm liên tiếp các phím MENU 9 2 3
Bước 2: - Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −2 = 5 =
thu được 2 nghiệm z1 = 1 + 2i và z2 = 1 − 2i . Vậy z0 = 1 − 2i
Bước 3: Tính mô đun z0 + i = 1 − 2i + i = 1 − i bằng cách ấn liên tiếp các phím
MODE 2 SHIFT hip 1 − ENG = . Được kết quả là 2 , chọn đáp án B.
Câu 4: (Trích đề minh họa Bộ GD – ĐT lần 1 năm 2017)
Kí hiệu z1 ; z2 ; z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4 − z 2 − 12 = 0 .Tính
tổng : T = z1 + z2 + z3 + z4
A. T = 4
B. T = 2 3
C. T = 4 + 2 3
D. T = 2 + 2 3
Hướng dẫn giải
12


CASIO 570 ES : Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5.
Tuy nhiên máy tính 570ES chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính
được phương trình bậc 4 trùng phương z 4 − z 2 − 12 = 0 thì ta coi z 2 = t khi đó
phương trình trở thành t 2 − t − 12 = 0
Bước 1 : Bấm MODE 5 3
Bước 2 : Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = −1 = −12 =
thu được 2 nghiệm t1 = 4 và t2 = −3 . Vậy ta sẽ có 4 nghiệm z = ±1, z = ± 3i
Bước 3 : Tính tổng mô đun T = z1 + z2 + z3 + z4 bằng cách ấn liên tiếp các phím
MODE 2 SHIFT hip 2 > + SHIFT hip − 2 > + SHIFT hip
> + SHIFT hip −

W 3 > ENG

W 3 > ENG > =

Được kết quả là 4 + 2 3 , chọn đáp án C.
CASIO 580 VNX Máy 580VNX giải được phương trình bậc 4 dạng tổng quát .
Bước 1 : Bấm MENU 9 2 4
Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c, d , e bằng cách ấn liên tiếp các phím
1 = 0 = −1 = 0 = − 1 2 = thu được 4 nghiệm z1 = 2; z2 = −2; z3 = 3i; z4 = − 3i
Bước 3:Tính tổng mô đun T = z1 + z2 + z3 + z4 bằng cách ấn liên tiếp các phím
MENU 2 SHIFT hip 2 > + SHIFT hip − 2 > + SHIFT hip
hip −

W 3 > ENG > + SHIFT

W 3 > ENG > =

Được kết quả là 4 + 2 3 , chọn đáp án C
5. DẠNG 5: TÌM CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
* Phương pháp casio
- Dựa vào định nghĩa : Số phức Z được gọi là một căn thức bậc 2 của số phức
W nếu Z 2 = W . Nên để tìm Z ta đi giải phương trình bậc 2 ẩn Z
Để tìm một căn bậc của số phức Z ta thực hiện các thao tác sau:
+ Đưa yêu cầu tìm căn bậc 2 về giải phương trình bậc 2 với hệ số thực.
+ Sử dụng lệnh giải phương trình , nhập hệ số và chờ kết quả.
* Các ví dụ:
Câu 1: Trong £ , căn bậc hai của −121 là:
A. −11i
B. 11i
C. −11

Hướng dẫn giải
- Giả sử z là căn bậc 2 của -121 , ta có : z 2 = −121 ⇔ z 2 + 121 = 0

D. 11i và −11i

- Bài toán đưa về giải phương trình bậc 2 (dạng 4):
CASIO 570 ES
Bước 1: Bấm MODE 5 3
Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = 0 = 121 =
thu được 2 nghiệm z1 = 11i và z2 = −11i .Chọn đáp án D
13


CASIO 580 VNX
Bước 1: Bấm liên tiếp các phím MENU 9 2 3
Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = 0 = 121 =
thu được 2 nghiệm z1 = 11i và z2 = −11i . Chọn đáp án D
Câu 2: Trong £ , căn bậc hai của −3 là:
A. −3i
B. 3i
C. − 3
Hướng dẫn giải
- Giả sử z là căn bậc 2 của -3, ta có :

D. 3i và − 3i

z 2 = −3 ⇔ z 2 + 3 = 0

- Bài toán đưa về giải phương trình bậc 2(dạng 4):
CASIO 570 ES

Bước 1: Bấm MODE 5 3
Bước 2:
Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím
1 = 0 = 3 = Ta thu được 2 nghiệm z1 = 3i và z2 = − 3i . Chọn đáp án D
CASIO 580 VNX
Bước 1: Bấm liên tiếp các phím MENU 9 2 3
Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c bằng cách ấn liên tiếp các phím 1 = 0 = 3 =
Ta dễ dàng thu được 2 nghiệm z1 = 3i và z2 = − 3i . Chọn đáp án D
6. DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
* Phương pháp casio
+ Từ yêu cầu đề tìm cách rút số phức z rồi tính trên môi trường số phức, hoặc
tìm số phức z bằng lệnh giải phương trình.
+ Trong mặt phẳng Oxy số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M ( a; b )
* Các ví dụ:
Câu 1: (Câu 32 Đề thi thử nghiệm lần 1 của Bộ GD và ĐT)
Cho số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z = 3 − i. Hỏi điểm biểu diễn của là điểm nào
y
trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?
A. Điểm P
B. Điểm Q.
C. Điểm M. D. Điểm N.
M
Hướng dẫn giải
2
N
3−i
x
Rút z từ phương trình ( 1 + i ) z = 3 − i. ta được z =
1+ i

+ Các bước bấm máy
Bước 1: Nhấn MODE 2 ( với máy CASIO 570 ES )
Hoặc nhấn MENU 2 ( với máy CASIO 580 VNX )

-1

1
O

P

Q
-2
14


Bước 2: Tính z =

3−i
bằng cách ấn liên tiếp các phím
1+ i

W
3 − ENG ∇ 1 + ENG = , được kết quả là z = 1 − 2i. Chọn đáp án B
W

Câu 2: (Trích Câu 32 Đề thi thử nghiệm lần 2 của Bộ GD và ĐT)
Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z 2 − 16 z + 17 = 0.
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đậy là điểm biểu diễn của số phức w = iz0 ?
−1



A. M 1  ; 2 ÷.
2 



B. M 2  ; 2 ÷.
 2 

1

−1



C. M 3  ;1÷.
 4 
Hướng dẫn giải



D. M 4  ;1÷.
4 
1

+ Các bước bấm máy:
CASIO 570 ES
Bước 1: Giải phương trình 4 z 2 − 16 z + 17 = 0.

- Nhấn MODE 5 3
1
2

- Nhập các hệ số nhấn các phím: 4 = −16 = 17 = = được kết quả: x1 = z1 = 2 − i
1
2

- Nhấn tiếp dấu = được kết quả: z2 = 2 + i
1
2

1
2

- Nhận nghiệm z = 2 + i ( vì có phần ảo b = > 0 )
Bước 2: Tính w = iz0 .
- Nhấn MODE 2



1 


1

- Nhập biểu thức  2 + i ÷i và nhấn dấu = , được kết quả: − + 2i
2
2
- Suy ra w =

−1
 −1 
+ 2i. Vậy điểm biểu diễn của w là điểm M 2  ; 2 ÷, chọn đáp án B.
2
 2 

CASIO 580VNX
Bước 1: Giải phương trình 4 z 2 − 16 z + 17 = 0.
- Nhấn MENU 9 2 2
- Nhập các hệ số nhấn các phím: 4 = −16 = 17 = = được kết quả: x1 = 2 +
- Nhấn tiếp dấu = được kết quả: x2 = 2 +

i
2

i
2

1
2

- Nhận nghiệm z = 2 + i
Bước 2: Tính w = iz0 .
- Nhấn MENU 2


1 

1

- Nhập biểu thức  2 + i ÷i và nhấn dấu = , được kết quả: − + 2i
2 
2

- Suy ra w =

−1
 −1 
+ 2i. Vậy điểm biểu diễn của w là điểm M 2  ; 2 ÷, chọn đáp án B.
2
 2 

15


Câu 3: Tập biểu diễn của số phức z thỏa z + 2 + i = z − 3i là:
A. y = − x + 1.
B. y = x − 1.
C. y = − x − 1.
Hướng dẫn giải

D. y = x + 1.

Kiến thức bổ trợ :
- Bài toán quỹ tích luôn đi lên từ định nghĩa. Ta luôn đặt z = x + yi, biểu diễn
số phức theo yêu cầu đề bài, từ đó khử i và thu về một hệ thức mới. Nếu hệ thức
có dạng Ax + By + C = 0 thì tập hợp điểm là đường thẳng
- Ngoài cách giải bằng phương pháp tự luận , thì bài toán cho dưới dạng trắc
nghiệm nên tìm điểm đại diện thuộc quỹ tích cho ở đáp án rồi thế ngược vào đề

bài, nếu thỏa mãn thì là đúng.
- Các phương án đưa ra là những phương trình đường thẳng, mà một đường
thẳng hoàn toàn được xác định khi biết hai điểm phân biệt mà nó đi qua.
- Số phức z được biểu diễn bởi điểm M ( xM ; y M ) ∈ d : y = ax + b ⇔ yM = axM + b . Khi
đó z = xM + yM i , mà z thỏa z + 2 + i = z − 3i ⇔ xM + yM i + 2 + i = xM − yM i − 3i
- Vậy lấy hai điểm phân biệt nằm trên d và thế tọa độ của hai điểm đó vào
phương trình x + yi + 2 + i = x − yi − 3i nếu thỏa thì d là đường thẳng cần tìm. Từ
đó ta có thuật toán bấm máy như sau:
+ Thuật toán bấm máy:
- Đặt Z = X + Yi
- Nhập: X + Yi + 2 + i − X − Yi − 3i
- Chọn 2 điểm M ( xM ; y M ) ∈ d ; N ( xN ; y N ) ∈ d
- Bấm: CALC nhập xM ; y M nhấn = kiểm tra kết quả.
- Bấm: CALC nhập xN ; y N nhấn = kiểm tra kết quả.
+ Các bước bấm máy:
Bước 1: Nhấn MODE 2 với máy 570 ES và MENU 2 với máy 580VNX
Bước 2: Nhập biểu thức: X + Yi + 2 + i − X − Yi − 3i bằngcách nhấn các phím sau:
SHIFT hyp ALPHA ) + ALPHA S ⇔ D ENG + 2 + ENG > −
SHIFT hyp ALPHA ) − ALPHA S ⇔ D ENG − 3 ENG

Bước 3: Kiểm tra các phương án.
+ Kiểm tra phương án A (Chọn cặp X = 2; Y = −1 )
- Nhấn CALC máy hỏi X? Nhập số 2, nhấn dấu = máy hỏi Y? nhập số -1, nhấn
dấu = được kết quả: 4 − 2 2
- Kết quả khác 0 loại phương án A.
+ Kiểm tra phương án B (Chọn cặp X = 2; Y = 1 và cặp X = −1; Y = −2 )
- Nhấn CALC máy hỏi X? Nhập số 2, nhấn dấu = máy hỏi Y? nhập số 1, nhấn
dấu = được kết quả: 0

16

- Nhấn tiếp CALC máy hỏi X? Nhập số -1, nhấn dấu = máy hỏi Y? nhập số -2,
nhấn dấu = được kết quả: 0
- Kết quả 0 vậy chọn đáp án B.
7. DẠNG 7: TÌM SỐ PHỨC Z THÕA MÃN ĐẲNG THỨC CHỨA Z VÀ Z
* Phương pháp casio:
+ Nhập đẳng thức đã cho theo đề bài.
+ Kiểm tra trực tiếp các đáp án bằng cách dùng lệnh CALC ( hoặc gán các
giá trị thích hợp), từ đó tìm ra số phức.
* Các ví dụ:
Câu 1 : Xác định số phức z, biết z + (1 + i ) z = 5 + 2i
A. z = 1 + i
B. z = −2 + i
C. z = 2 + i
D. z = −2 − i
Hướng dẫn giải
Chuyển đẳng thức về 1vế : z + (1 + i ) z − 5 − 2i = 0
Bước 1: Nhấn MODE 2 với máy 570 ES và MENU 2 với máy 580VNX
Bước 2 : Nhập đẳng thức bằng cách ấn liên tiếp các phím:
CASIO 570 ES
MODE 2 ALPHA X + ( 1 + ENG ) SHIFT 2 2 ALPHA X ) − 5 − 2 ENG

CASIO 580 VNX
MENU 2 ALPHA X + ( 1 + ENG ) OPTN 2 ALPHA X ) − 5 − 2 ENG

Bước 3: Kiểm tra các phương án.
+ Kiểm tra phương án A : Nhấn CALC máy hỏi X? Nhập số 1 + i nhấn dấu =
được kết quả: −2 − i ≠ 0
+ Kiểm tra phương án B : Nhấn CALC máy hỏi X? Nhập số −2 + i nhấn dấu

= được kết quả: −8 − 4i ≠ 0

+ Kiểm tra phương án C : Nhấn CALC máy hỏi X? Nhập số 2 + i nhấn dấu =
được kết quả: 0 .Vậy C là đáp án đúng.
Câu 2: Tìm phần thực của số phức z , biết z + (1 + i ) z = 5 + 2i
A.1
B. −2
C. 2
Hướng dẫn giải

D. −1

Nhận xét : Cùng một đẳng thức nhưng bài này không thể thế đáp án như ví dụ
trên, vì đáp án chỉ có phần thực
Bước 1: Nhấn MODE 2 với máy 570 ES và MENU 2 với máy 580VNX
Bước 2 : Đặt z = x + yi . Chuyển vế và nhập x + yi + (1 + i)( x − yi) − 5 − 2i
Bước 3: Ấn CALC , gán x = 1000, y = 100 ,ấn dấu = . Kết quả : 2095 + 998i
Bước 4: Phân tích kết quả 2095 + 998i
17


2095 = 2000 + 95 = 2000 + 100 − 5 = 2 x + y − 5
998 = 1000 − 2 = x − 2

2 x + y − 5 = 0
x − 2 = 0

Sử dụng chức năng giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn : 

Ta được nghiệm x = 2; y = 1 . Chọn đáp án C.

CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z2 = 7 + 3i .
Tìm số phức z = z1 − z2 .
A. z = 3+ 6i .
B. z = 11
C. z = −1− 10i .
D. z = −3− 6i .
Câu 2: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức z = 1− i + i 3 . Tìm phần thực
a và phần ảo b của z .
A. a = 1,b = −2 .
B. a = −2,b = 1.
C. a = 1,b = 0.
D. a = 0,b = 1.
Câu 3: (MÃ ĐỀ 108 THPT QG 2019) Cho hai số phức z1 = −2 + i và z2 = 1 + i .
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là
A. ( −3; 2 ) .
B. ( 2; − 3) .
C. ( −3;3) .
D. ( 3; − 3) .
Câu 4: (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i
và z2 = 3 − 4i . Số phức 2 z1 + 3z2 − z1 z2 là số phức nào sau đây?
A. 10i .
B. − 10i .
C. 11 + 8i .
D. 11 − 10i .
Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của
1

1

phương trình z2 − z + 6 = 0 . Tính P = z + z .
1
2
1
1
1
B.
C. −
12
6
6
Câu 6: ( Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 3 năm 2017 )
A.

D. 6

Số phức liên hợp với số phức z = ( 1 + i ) − 3 ( 1 + 2i ) là:
2

A. −9 − 10i

B. 9 + 10i

2

C. 9 − 10i

D. −9 + 10i

Câu 7: (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Trên mặt phẳng phức tập

hợp các 2018 phức z = x + yi thỏa mãn z + 2 + i = z − 3i là đường thẳng có
phương trình
A. y = − x + 1 .
B. y = − x − 1 .
C. y = x − 1 .
D. y = x + 1 .
Câu 8: (THPT Chuyên Phan Bội Châu – 2017) Tìm tập hợp điểm biểu diễn
số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 3 .
A. Đường tròn tâm I ( 2; −1) , bán kính R = 1 .
B. Đường tròn tâm I ( −2;1) , bán kính R = 3 .
C. Đường tròn tâm I ( −2;1) , bán kính R = 3 .
D. Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 3 .
18


Câu 9: (Đề minh họa THPT QG 2017 lần 2 - câu 33)
Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) thõa mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i .Tính P = a + b
A. P =

1
2

B. P = 1

D. P =

C. P = −1

1
2

Câu 10: (Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm 2017)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức thõa mãn : z = z − 3 + 4i là phương trình có
dạng :
A. 6 x + 8 y − 25 = 0
B. 3 x + 4 y − 3 = 0
C. x 2 + y = 25
D. ( x − 3)2 + ( y − 4) 2 = 25
Câu 11 : Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 + 3i là
A.

1
( 1 + 3i ) .
10

B.

1
( 1 − 3i )
10

C. 1 − 3i .

.

D.

1
( 1 + 3i ) .
10

Câu 12 : Số nào trong các số phức sau là số thực.
A.

2 +i
.
2 −i

B. ( 2 + i 5 ) + ( 1 − 2i 5 ) .
1
2

Câu 13 : Cho số phức z = − +

A. 2 − 3i .

C.

(

) (

3+i −

)

(

)(

)

3 − i . D. 1 + i 3 1 − i 3 .

3
i . Số phức 1 + z + z 2 bằng.
2
1
2

B. 0 .

C. − +

3
i.
2

D. 1 .

Câu 14 : Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 6z + 13 = 0 .
6

Tìm số phức w = z0 + z + i
0
24 7
24 7
+ i . B. w = − − i .
5 5
5 5

: Gọi z1 là nghiệm phức có

A. w = −
Câu 15

Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức
A. P ( 3; 2 ) .

B. N ( 1; − 2 ) .

C. w =

24 7
− i.
5 5

D. w =

24 7
+ i.
5 5

phần ảo âm của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 .

7 − 4i
z1

trên mặt phẳng phức?

C. Q ( 3; −2 ) .

D. M ( 1; 2 )

Câu 16: Trong £ , nghiệm của phương trình z 2 + 4 z + 5 = 0 là z1 ; z2 . Tọa độ điểm
biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy của các nghiệm trên là:
A. ( 1; 2 ) & ( 1; −2 )
B. ( −1; 2 ) & ( −1; −2 ) C. ( −2;1) & ( −2; −1) D. ( 2;1) & ( 2; −1)
2.4. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

19


Với việc đưa ra đề tài làm sao để có thể vận dụng một cách có hiệu quả nhất
đáp ứng kì thi tốt nghiệp THPT. Tôi đã cố gắng trình bày một cách khoa học,
từng bước vận dụng một các linh hoạt để các em học sinh có thể hiểu, ghi nhớ
và tiến tới vận dụng một cách thuần thục. Kết quả của việc vận dụng máy tính
đã thu được kết quả như sau:
- Tạo được hứng thú học tập cho các em học sinh trường THPT Quan Sơn. Các
em rất tích cực với các buổi tổ chức thi giải toán số phức trắc nghiệm Toán bằng
máy tính cầm tay.
- Tạo ra được hiệu ứng học tập mang tính tích cực và lợi ích của việc vận dụng
máy tính cầm tay vào giải các bài tập số phức, tạo được niềm tin của các em
trước kì thi.
- Trong kì thi THPT quốc gia năm học 2018 - 2019 vừa qua nhờ vận dụng
phương pháp sử dụng máy tính cầm tay, kết hợp với phương pháp truyền thống
khéo léo số lượng các em thi điểm Toán đã được tăng lên so với năm học 20172018 đóng góp không nhỏ vào thành tính học tập của Trường THPT Quan Sơn:
điểm trung bình cộng tăng 0,15 điểm, trong đó có 1 em điểm 8,8; 2 em điểm
7,8. Đây có thể nói là thành tích ban đầu đáng khích lệ đối với một trường miền
núi như THPT Quan Sơn
3. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

3.1. KẾT LUẬN
Có thể nói đề tài được viết sau 3 năm Trường THPT Quan Sơn tham gia kì
thi THPT quốc gia cho môn Toán. Bằng kinh nghiệm, sự tâm huyết của một
người giáo viên vùng cao, tôi đã cố gắng học tập, tự bồi dưỡng, học hỏi các
đồng nghiệp để làm sao vận dụng phương pháp sử dụng máy tính vào giải các
bài tập Toán một cách tốt nhất với điều kiện dạy học ở Trường THPT Quan Sơn,
qua đó mong muốn cung cấp cho các em một tài liệu, một phương pháp học hữu
ích đáp ứng nhu cầu học tập của các em.
Đề tài có thể nói là không mới đối với các trường THPT miền xuôi, nhưng
tôi đã cố gắng hết mình để nhằm vận dụng một cách linh hoạt những kiến thức
về máy tính cầm tay sao cho phù hợp với đối tượng học sinh THPT Quan Sơn.
Rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo!
Xin chân thành cảm ơn!
3.2. KIẾN NGHỊ
Sở giáo dục nên tiếp tục duy trì cuộc thi viết sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA BGH
Quan Sơn, ngày 30 tháng 06 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Lê Thị Huyền
NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO
20


- SGK Giải tích 12 – NXB GD.
- Sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO fx-570ES, fx-580VNX.
- Đề thi chính thức các năm học, đề thi thử nghiệm của Bộ GD, của các trường.
- Một số bài viết về cách sử dụng máy tính CASIO trên mạng.

21