SKKN THCS: Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................1
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU.......................................................................................2
I. Đặt vấn đề..........................................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu........................................................................................2
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.....................................................................2
I. Cơ sở lí luận của vấn đề.....................................................................................2
II. Thực trạng vấn đề.............................................................................................3
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:............................................4
IV. Tính mới của giải pháp..................................................................................16
V. Hiệu quả SKKN: ............................................................................................16
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..........................................................17
I. Kết luận: ..........................................................................................................17
II. Kiến nghị:.......................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................19

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

1

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề

Toán học là bộ môn rất quan trọng đóng vai trò chủ lực. Nó được vận dụng
và phục vụ rộng rãi trong đời sống con người chúng ta. Toán học hình thành cho
các em tính chính xác, hệ thống khoa học, logic và tư duy cao.
Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài về phân tích đa thức thành nhân
tử là một nội dung hết sức quan trọng. Việc áp dụng dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử vào giải toán rất phong phú và đa dạng. Vì vậy, để giúp học sinh
giải quyết tốt dạng Toán này là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên.
Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tôi nhận thấy đa số học
sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải toán
còn gặp nhiều sai sót, nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững các phương
pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt,
sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.
Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8” với
mong muốn chia sẻ một số kinh nghiệm của mình để các giáo viên dạy Toán
cùng trao đổi.
II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mình
khi phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Toán. Bên cạnh đó, chỉ ra một
số dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh tổng quát được cách
làm của mình cho phù hợp.
Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Toán phương
trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng Toán liên
quan.
Hơn nữa, tôi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chuyên môn của
bản thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích đa
thức thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và làm
Toán. Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử
dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em ngày càng
yêu thích và có hứng thú hơn đối với bộ môn Toán. Góp phần cải thiện chất

lượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán một
cách toàn diện.
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một bộ phận vô cùng quan trọng của
phân môn Đại số 8 nhưng nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung
học cơ sở. Vì vậy nếu các em không nắm được phương pháp nhớ và vận dụng
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

2

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

thì việc giải Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ gặp rất nhiều
khó khăn.
Ví dụ một số bài Toán rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu
thức… mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 55: (Trang 25/SGK Toán 8 tập 1) Tìm x, biết
1
a) x3 − x = 0
4
2
2
b) ( 2 x − 1) − ( x + 3) = 0
c) x 2 ( x − 3) + 12 − 4 x = 0

Bài 56: (Trang 25/SGK Toán 8 tập 1) Tính nhanh giá trị của đa thức:
1
1
a) x 2 + x +
tại x = 49,75
2
16

b) x 2 − y 2 − 2 y − 1 tại x = 93, y = 6

Bài 56: (Trang 14/SBT Toán 8 tập 1) Rút gọn biểu thức:
a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1)
b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Những bài Toán được liệt kê phía trên là những ứng dụng điển hình quan
trọng từ những hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử. Vì
vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần này để làm tiền đề giải những
dạng Toán liên quan sau này.
II. Thực trạng vấn đề
Sau khi các em học xong dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi
em cần hiểu rõ dạng Toán này đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc giải
quyết các bài Toán liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của
biểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ
nhất) … Vì vậy việc nắm vững các dạng phân tích đa thức thành nhân tử là rất
cần thiết.
Tuy nhiên trong quá trình giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử thì
đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý thuyết,
hoặc chỉ nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, còn khi các
công thức ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động và không biết giải
quyết như thế nào.
Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Toán khá nhanh, tuy nhiên chưa

biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các
em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính còn xảy ra sai sót về
dấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ…
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

3

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Cụ thể, năm học 2016 – 2017, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa
thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110
em, cho kết quả:
Phân tích đúng

Phân tích sai

Không biết phân tích

Số HS

40

40

30

Tỉ lệ %

36,4%

36,4%

27,2%

Từ những thực trạng nêu trên, tôi đã nghiên cứu tìm ra một số phương pháp
sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng phân tích
đa thức thành nhân tử vào giải Toán.
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
Để áp dụng tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử vào những bài
toán liên quan thì trước hết học sinh cần phải:
+ Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa bằng
công thức.
+ Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung
từng bài Toán yêu cầu.
+ Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức.
1. Kiến thức cơ bản:
* Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ:

( A + B)

2

= A2 + 2 AB + B 2

( A − B)

2

= A2 − 2 AB + B 2

A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

( A + B)

3

= A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3

( A − B)

3

= A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3

A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )
A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )

* Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

4

Giáo viên: H’An Niê Kdăm

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
2. Các bài tập
Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành
nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết.
2.1.1. Phương pháp:
- Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
- Xác định biểu thức A, B
- Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định.
2.1.2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x 2 + 2 xy + y 2
b) x 2 − 2 x + 1
c) x 2 − 4
d) x3 + 3x 2 + 3 x + 1
e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
g) x 3 + 27
h) x 3 − 1000
Giải:
Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng
được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong
từng câu rồi áp dụng công thức để phân tích:
a) x 2 + 2 xy + y 2 = ( x + y )

2

b) x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2.x.1 + 12 = ( x − 1)

2

2
2
2
c) x − 4 = x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 )

d) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 3x 2 .1 + 3x.12 + 13 = ( x + 1)

3

e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = x 3 − 3 x 2 .2 + 3x.22 − 13 = ( x − 2 )

(

3
3
3
2
g) x + 27 = x + 3 = ( x + 3) x − 3x + 9

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

5

3

)
Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

(

3
3
3
2
h) x − 1000 = x − 10 = ( x − 10 ) x + 10 x + 100

)

- Với những học sinh yếu kém, việc giải Toán dù là những bài đơn giản
cũng trở nên rất khó khăn. Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết đó là
dạng hằng đẳng thức nào rồi giúp các em phân tích kĩ càng hơn để đưa ra kết
quả. Đặc biệt khi bắt đầu đưa ra một bài Toán cần yêu cầu học sinh xác định
hạng tử A, hạng tử B trước khi làm bài để tránh được sự nhầm lẫn từ ban đầu.
Đối với ví dụ g và ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát hiện và làm xuất hiện
hằng đẳng thức.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x 6 − y 6
b) 4 x 2 + 4 x + 1
c) 4 x 2 − 12 x + 9
d)

x2
+ 2 xy + 4 y 2
4

Giải:
a) Đối với bài toán này giáo viên hỏi học sinh, ta có thể đưa về dạng hằng
đẳng thức nào. Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số 3. Để đưa về dạng
A2 - B2 = (A-B)(A+B) thì ta cần gì, sử dụng công cụ gì? Học sinh tự phát hiện

( )

đưa về dạng lũy thừa a m

n

= a m.n . Vậy trong bài toán này ta đưa ra được như

thế nào, học sinh đưa ra x 6 = (x3)2, y6 = (y3)2, đến đây học sinh tự giải quyết các
bài toán.
b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy,
học sinh khá giỏi sẽ giải bài này không khó khăn nhưng những học sinh yếu
kém sẽ thường nhầm lẫn như sau:
b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 4 x ) + 2. ( 4 x ) .1 + 12 = ( 4 x + 1)
2

2

c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 4 x ) − 2. ( 4 x ) .3 + 32 = ( 4 x − 3 )
2

2

(Cách làm sai của HS)

Học sinh cần phải nắm rõ với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là
một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc
và lũy thừa của cả biểu thức đó.
Ví dụ:

9 x 2 + 36 xy + 36 y 2 = ( 3 x ) + 2.3 x.6 y + ( 6 y ) = ( 3 x + 6 y )
2

2

2

Trong đó A = 3x; B = 6 y

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

6

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Hoặc x 2 − 20 xy + 100 y 2 = x 2 − 2.x.10 y + ( 10 y ) = ( x − 10 y )

2

2

Trong đó A = x; B = 10 y
Vì vậy bài Toán được giải đúng như sau:
b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x ) + 2.( 2 x ) .1 + 12 = ( 2 x + 1)
2

2

c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x ) − 2. ( 2 x ) .3 + 32 = ( 2 x − 3)
2

2

Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu
thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau.
d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu
học sinh xác định đúng A =

1
x và B = 2y, sau đó giáo viên cho học sinh phân
2

tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải.
2

2

x2
2
1 
1 
1

+ 2 xy + 4 y 2 =  x ÷ + 2.  x ÷.2 y + ( 2 y ) =  x + 2 y ÷
4
2 
2 
2


2.2. Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm
xuất hiện hằng đẳng thức.
2.2.1. Phương pháp:
- Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng
thức.
- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.
2.2.2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x 3 + 2 x 2 y + xy 2
b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3
Giải:
a) x 3 + 2 x 2 y + xy 2
Câu a giáo viên yêu cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có 3
hạng tử là x 3 , 2x 2 y , xy 2 nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức hoặc
đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử dụng hằng đẳng thức luôn có
được không, hoặc nếu đặt nhân tử chung ra ngoài thì ta nhận được biểu thức
nào, học sinh sẽ nhận thấy rằng sau khi đặt x là nhân tử chung ra ngoài thì sẽ

xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải như sau:
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 = x ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = x ( x + y )

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

7

2

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3
Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo
viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lập
phương của một hiệu và hiệu hai lập phương. Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ
rõ cách nhóm hạng tử để học sinh không bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị
nhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là

x3 − 3x 2 + 3 x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − y 3 ) − 1 = ( x − y ) − 13 (Cách làm sai
3

của HS). Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.
Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếu
sai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức.
Bài giải trên được giải đúng như sau:

x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − 1) − y 3
= ( x − 1) − y 3 = ( x − 1 − y ) ( x − 1) + y ( x − 1) + y 2 


3

2

= ( x − 1 − y ) ( x 2 + y 2 + xy − 2 x − y + 1)

Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể cho các em làm bài Toán tương tự
với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài x 2 − 2 x + 1 − y 2
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz
b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2

2

2

Giải:
a) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz
Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại
nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz
thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau:
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
= x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz
= (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)

= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)
= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]
= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

8

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Tương tự câu b
b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2

2

2

Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ
2
2
thể: khai triển hai biểu thức đầu tiên là x ( y + z ) + y ( x + z ) ta được
x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) , nhân đơn thức cho đơn thức ta được

xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + 4 xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức
thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Như vậy, bài giải được trình bày như sau:

x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2

2

2

= x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2

= xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + z ( x + y ) = xy ( x + y ) + z 2 ( x + y ) + z ( x + y )
2

2

= ( x + y ) . ( xy + z 2 + z ( x + y ) ) = ( x + y ) ( xy + z 2 + xz + yz )

= ( x + y ) ( xy + xz + yz + z 2 ) = ( x + y ) ( x ( y + z ) + z ( y + z ) )
= ( x + y) ( y + z) ( x + z)

Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài Toán
được ngắn gọn hơn.
Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài Toán
mở rộng, Cho hai biểu thức
A = xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz
B = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2

2

2

Chứng minh A = B. Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp để
được kết quả hoàn chỉnh.
2.3. Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa thức
thành nhân tử.
2.3.1. Phương pháp:
- Đặt nhân tử chung (nếu có).
- Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.
2.3.2. Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

9

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)
Giải:
a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng
đẳng thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳng
thức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để.
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y)

= (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x + y)(x + y + 1)(x + y - 1)
b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân
tử chung ra ngoài trước khi nhóm hạng tử thì bài Toán sẽ dễ nhìn hơn.
5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)
= 5[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 5[(x – y)2 – (2z)2]
= 5(x – y + 2z)(x – y – 2z)
Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học công thức càng
trôi chảy lưu loát bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi giải đề
càng nhanh nhẹn bấy nhiêu.
2.4. Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa thức
thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0.
2.4.1. Phương pháp:
- Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất.
- Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn.
2.4.2. Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức:
a) x2 + xy + x tại x = 0 và y = 1234
b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0
Giải:
a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị
vào biểu thức:
x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ).
Thay x = 0 và y = 1234, ta được 0.1235 = 0
Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích
thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì không cần tính
giá trị của thừa số thứ hai nữa.
Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x).
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

10

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y) 2, thay giá
trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.
2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thông qua phân tích đa thức thành nhân
tử.
2.5.1. Phương pháp:
- Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị
là 0
- Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải
phương trình tích.
2.5.2. Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 5x(x – 1) = x – 1
b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
Giải:
a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
5x(x – 1) = x – 1
⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = 0
⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0
⇔ 5x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0
• x–1=0⇔x=1
• 5x – 1 = 0 ⇔ x =
Vậy x = 1 hoặc x =

1
5

1
.
5

b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành
nhân tử.
2(x + 5) – x2 – 5x = 0
⇔ 2(x + 5) – (x2 + 5x) = 0
⇔ 2(x + 5) – (x + 5) = 0
⇔ (2 – x)(x + 5) = 0
⇔ 2 – x = 0 hoặc x + 5 = 0
• 2–x=0⇔x=2
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

11

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

• x + 5 = 0 ⇔ x = -5
Vậy x = 2 hoặc x = -5.
Với dạng Toán tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa
thức thành nhân tử vào thì việc giải Toán sẽ trở nên dễ dàng hơn.
2.6. Dạng 6: Một số bài Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên
quan đến các hằng đẳng thức.
2.6.1. Phương pháp:

- Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào.
- Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử.
2.6.2. Bài tập: Chứng minh:

a )29 − 1 chia hết cho 7
b)56 − 104 chia hết cho 9

c) ( n + 3) − ( n − 1) chia hết cho 8
2

2

d ) ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24
2

2

e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120
Phương pháp chung:
- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân
tử có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành
nhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho
các số đó.
Giải:
- Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 2 9 thành một số mũ 3 để biểu
thức cần chứng minh trở thành A 3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng
nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau

a )29 − 1 = ( 23 ) − 1 = 83 − 1 = 83 − 13 = ( 8 − 1) ( 82 + 8.1 + 12 ) = 7.73
3

Vậy 7.73 chia hết cho 7.
Do đó 29 − 1 chia hết cho 7
- Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân
tử chung. Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm như sau:
b)56 − 104 = 54.52 − 54.24 = 54 ( 52 − 24 ) = 54.9

Vậy 54.9 chia hết cho 9.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

12

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Do đó 56 − 10 4 chia hết cho 9.
- Câu c đề bài ( n + 3) − ( n − 1) giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới
hằng đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình phương
của một tổng, bình phương của một hiệu. Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinh
nhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức hiệu hai
bình phương.
2

2

Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho học
sinh làm bài:

c) ( n + 3) − ( n − 1) = ( n + 3 + n − 1) ( n + 3 − n + 1)
2

2

= ( 2n + 2 ) 4 = 8n + 8 = 8 ( n + 1)

Bài Toán trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức thứ
hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:

( n + 3)

2

− ( n − 1) = ( n + 3 + n + 1) ( n + 3 − n − 1) (Cách làm sai của HS)
2

do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu thức có
nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ.
- Với câu d cách làm hoàn toàn tương tự, ta có
d ) ( n + 6) − ( n − 6) = ( n + 6 + n − 6) ( n + 6 − n + 6)
2

2

= 2n.12 = 24n
Như vậy 24n chia hết cho 24 hay ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24.
2

2

e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.
Giáo viên định hướng học sinh phân tích số 120 thành tích các thừa số
nguyên tố, ta được 120 = 23.3.5. Từ bài toán chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2
+24x chia hết cho 120 ta đưa về chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia
hết cho tích của các thừa số 2, 3, 5. Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn các em
phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung nhiều lần. Bài giải
cụ thể như sau:
Dễ thấy 120 = 23.3.5. Ta có

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

13

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

x 5 + 10 x 4 + 35 x3 + 50 x 2 + 24 x

= x ( x 4 + 10 x3 + 35 x 2 + 50 x + 24 )
= x  x3 ( x + 1) + 9 x 2 ( x + 1) + 26 x ( x + 1) + 24 ( x + 1) 
= x ( x + 1) ( x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24 )

= x ( x + 1)  x 2 ( x + 2 ) + 7 x ( x + 2 ) + 12 ( x + 2 ) 
= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x 2 + 7 x + 12 )

= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
Mà ta có x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2, 3, 4, 5
Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên

x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2.3.4.5 = 120
Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.
2.7. Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua hằng
đẳng thức.
2.7.1. Phương pháp:
- Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương
của một hiệu.
- Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số.
- Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn nhất
(hoặc nhỏ nhất) của biểu thức.
2.7.2. Bài tập
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 6x + 11
b) B = 5x – x2
Giải:
a. Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương của
một hiệu, để ý hiệu x2 – 6x phân tích được x2 – 2.3.x, lúc này học sinh sẽ tìm
được hạng tử thứ hai là 3, vậy ta giải như sau
Ta có: A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2.3x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2
Vì (x – 3)2 ≤ 0 nên (x – 3)2 + 2 ≤ 2
Suy ra: A ≤ 2.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

14

Giáo viên: H’An Niê Kdăm

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.
b. Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách đưa
dấu “-“ ra ngoài ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x ra dạng A2-2.A.B
để tìm ra hạng tử B
B = 5x – x2 = -(x2 – 5x) = - [x2 - 2.
= - [(x Vì (x -

5
5
5
x + ( )2 – ( )2]
2
2
2

5 2 25
5
25
) - ] = - (x - )2 +
2
4
2
4

5 2

5
5
25 25
) ≤ 0 nên - (x - )2 ≥ 0 ⇒ - (x - )2 + ≥
2
2
2
4
4

Suy ra: B ≥

25
25
5
. Vậy B =
là giá trị lớn nhất tại x = .
4
4
2

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a) M = 2x2 - 6x
b) N = x2 + y2 – x +6y + 10
Giải:
a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngoài thì
trong ngoặc các em biến đổi về dạng bình phương của một hiệu để tìm ra hạng
tử thứ hai.
M = 2x2 - 6x = 2.(x2 - 2.
Vậy MinM = -

3
9
9
3
9
9
.x + ) - = 2.( x- ) 2 - ≥ 2
4
2
2
2
2

9
3
khi x =
2
2

b) Tương tự như trên, tuy nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh
rằng đối với bài này có thể phân tích được thành bao nhiêu hằng đẳng thức trong
bài. Để định hướng cho các em nhìn thấy được hai hằng đẳng thức.
N = x 2 + y 2 − x + 6 y + 10
1 1
3

=  x 2 − 2.x. + ÷+ ( y 2 + 2. y.3 + 9 ) +
2 4
4


2

1
3
2

=  x − ÷ + ( y + 3) +
2
4

2

1
2
 x − ÷ ≥ 0
1
3 3
2

2
Do 
⇒ N =  x − ÷ + ( y + 3) + ≥
2
4 4

2

y
+

3
≥
0
(
)


Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

15

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Dấu “=” xảy ra khi:
1
 1

x − = 0 x =
⇒
2
2

 y + 3 = 0
 y = −3

Vậy giá trị nhỏ nhất của N =

1
3
khi x = và y = -3
4
2

Tóm lại: một số bài Toán phân tích đa thức thành nhân tử tưởng rằng phức
tạp, khó khăn, thì lại hoàn toàn đơn giản. Mấu chốt của vấn đề là các em phải
hiểu cách biến đổi của từng dạng . Sau này không những áp dụng vào dạng Toán
phân tích đa thức thành nhân tử mà còn có trong dạng Toán tìm x, tính nhanh,
chứng minh, lượng giác… mà khi thuộc 7 hằng đẳng thức rồi thì việc học Toán
sẽ dễ tiếp thu hơn cả.
IV. Tính mới của giải pháp
Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc tìm
ra công thức để giải toán, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải toán phân
tích đa thức thành nhân tử và những dạng toán liên quan.
Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để giúp các
em định hướng cách làm đúng và nhanh nhất.
V. Hiệu quả SKKN:
Năm học 2017 – 2018, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức
thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,
cho kết quả:
Phân tích đúng

Phân tích sai

Không biết phân tích

Số HS

55

33

22

Tỉ lệ %

50%

30%

20%

Năm học 2018 – 2019, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức
thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,
cho kết quả:
Phân tích đúng

Phân tích sai

Không biết phân tích

Số HS

75

25

10

Tỉ lệ %

68,2%

22,7%

9,1%

Như vậy, sau hai năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tôi nhận thấy đa
số học sinh tham gia đều rất hứng thú học Toán, tự giác và chủ động trong
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

16

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

những kiến thức Toán giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quan
đến phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận:
Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳ
quan trọng, góp phần định hướng tư duy cho học sinh trong các kĩ năng giải
toán, dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử thì định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với các kĩ năng biến
đổi, thu gọn biểu thức để giải các dạng toán liên quan.
Đối với học sinh ngoài việc nắm vững lý thuyết thì cần phải nhận ra dạng
toán và vận dụng linh hoạt các kĩ năng để giải bài toán đó.
Những cách tôi thực hiện trong đề tài này là những kinh nghiệm mang tính
cá nhân trong quá trình tổ chức các tiết học. Chính vì vậy không thể tránh khỏi
những hạn chế thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của
các đồng chí để đề tài này được hoàn chỉnh hơn.
II. Kiến nghị:
Đối với các giáo viên dạy Toán: Thường xuyên bám sát lớp để hướng dẫn
và giúp đỡ các em hiểu và nắm rõ kiến thức. Bồi đắp các kiến thức bị hổng và
luôn luôn lắng nghe những điều thắc mắc của các em. Cần tạo một phong cách
nhẹ nhàng, thân thiện và gần gũi để học sinh dễ dàng trò chuyện, trao đổi thông
tin với giáo viên. Ngoài ra, mỗi giáo viên phải luôn theo sát hoạt động nhận thức
của học sinh “suy ngẫm về các phương pháp dạy học hay nhất của bản thân và
hiểu thấu đáo vì sao các phương pháp đó là hiệu quả hoặc chỉ hiệu quả với trò
này mà không hiệu quả với trò kia” để khi người học gặp khó khăn, kịp thời hỗ
trợ, giúp đỡ bằng những định hướng phù hợp, gợi ý cụ thể; Phải nỗ lực để xác
định “tầm nhìn” và phải cố gắng tạo cho nhóm người học có tinh thần đồng đội;
tìm cách cổ vũ người học, đưa ra những lời khuyên kịp thời có tính xây dựng để
người học hành động hướng tới tầm nhìn đó; đưa lời nhận xét phản hồi ý nghĩa
để nâng cao thành tích học tập của học sinh.
Bình Hòa, ngày 1 tháng 3 năm 2019
Người thực hiện

H’An Niê Kdăm

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

17

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

18

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8 tập 1 – NXB GD&ĐT
2. Sách bài tập Toán 8 tập 1 – NXB GD&ĐT
3. />4. />5.

/>
3974

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

19

Giáo viên: H’An Niê Kdăm

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Bình Hòa, ngày …. tháng…… năm 2019
CT HỘI ĐỒNG

Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp Huyện
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………….............
..
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………, ngày …. tháng…… năm 2019
CT HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

20

Giáo viên: H’An Niê Kdăm