Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

MỤC LỤC
Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Đối tượng nghiên cứu.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Phương pháp
4.2. Cách thực hiện
PHẦN II: NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận.
2.Thực trạng vấn đề
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trường hợp 1: Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc
với nhau.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
2. Kiến nghị.

1
1
1
1
1
1
2
2
2
2

3
3
7
`15
16
16
17

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình môn Hình học lớp 11 – Ban cơ bản, trong hệ thống
kiến thức ôn thi THPT quốc gia, mảng kiến thức về khoảng cách, đặc biệt là tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chiếm một vị trí quan trọng, luôn
0


xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT và để xác định được
khoảng cách đó đòi hỏi học sinh cần có những kỹ năng và phương pháp giải
toán nhất định.
Tuy nhiên, qua nhiều năm thực tế giảng dạy, khi đứng trước bài toán tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, học sinh lớp 11, thậm chí cả học
sinh lớp 12 thường hay lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết bài
toán như thế nào. Do vậy, để nâng cao kỹ năng giải toán đối với dạng toán này
cho học sinh lớp 11 và lớp 12 ôn thi, để các em tiếp cận tốt nhất với đề thi THPT
quốc gia, tốt nghiệp THPT tôi đã mạnh dạn xây dựng cho học sinh các phương
pháp giải, cũng như hình thành cho các em những kỹ năng đối với những
phương pháp đó. Tất cả những nội dung này đều được thể hiện trong đề tài sáng
kiến kinh nghiệm : “ Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau ”.
2. Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải
dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu, tổng kết các phương pháp cơ bản tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
4. Phương pháp nghiên cứu:
4.1. Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy.
4.2. Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, đúc rút kinh nghiệm qua quá trình
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11, ôn thi các lớp khối
12 trong các năm học.
0


PHẦN II: NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Theo hình học không gian lớp 11 – Ban cơ bản, thì khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau ∆ 1 , ∆ 2 là đoạn thẳng MN với M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ 2 , MN ⊥ ∆1 và
MN ⊥ ∆ 2 . Khi đó, đường thẳng MN còn gọi là đường vuông chung của hai

đường thẳng chéo nhau ∆ 1 , ∆ 2 .
Ta lại có tính chất: “Với hai đường thẳng chéo nhau thì luôn có duy nhất
một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Với khái niệm và tính chất trên thì để tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau chúng ta thường: Xác định đường vuông góc chung hoặc xác

định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Và trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này chúng ta cùng bàn về những kỹ
năng để giải quyết các vấn đề trên.
2. Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy các lớp 11 (Cơ bản) tôi nhận thấy rằng
nếu giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa thế nào là khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau và nêu cách xác định đường vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau như sách giáo khoa Hình học 11 – Ban cơ bản, thì
học sinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa có kỹ năng trong việc xác
định, cũng như các bước để giải quyết vấn đề. Điều đó được thể hiện khá rõ khi
các em giải các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong
sách giáo khoa, trong bài kiểm tra định kỳ môn Hình học 11, hay tiếp cận với
các bài toán trong các đề thi THPT quốc gia. Ngoài ra, đối với học sinh khối 12
khi ôn thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT, khi gặp đến dạng toán tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là các em không có phương hướng giải
quyết. Nguyên nhân của việc ngại va chạm với dạng toán này, một mặt là do các
em không nắm chắc khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và
các tính chất liên quan. Mặt khác, do các em thiếu kỹ năng giải toán, kỹ năng
nhận dạng và các bước tiến hành trong quá trình trình bày lời giải.

0


3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
Với những nguyên nhân mà tôi đã nêu ở trên thì việc yêu cầu học sinh
nắm chắc khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và xây dựng
cho các em các kỹ năng, các phương pháp giải, các bước tiến hành là điều cần
thiết.
Hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể là: vuông góc với
nhau hoặc không vuông góc với nhau. Vì vậy, để tính khoảng cách giữa chúng

chúng ta có thể chia ra hai trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau
Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với
nhau
Bây giờ chúng ta xét đến những kỹ năng riêng và những ví dụ minh họa
cụ thể.
TRƯỜNG HỢP 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ
VUÔNG GÓC VỚI NHAU
Trong trường hợp này để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b
chéo nhau và vuông góc với nhau ta xác định đường vuông góc chung của a và
b và tiến hành theo các bước:
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( α ) ⊃ a
và ( α ) ⊥ b .
Bước 2: Xác định giao điểm
I = b ∩ ( α ) , vẽ IH ⊥ a ( H ∈ a ) . Khi

đó, IH là đoạn vuông góc chung của
a và b.

Bây giờ ta phân tích một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy.
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
0


* Phân tích bài toán:
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì ∆SBC đều, nên: SH ⊥ BC
Mà: ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )

Vì ∆ABC vuông cân tại A, nên:
AH ⊥ BC

⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SA .

Như vậy, BC và SA là hai đường
thẳng chéo nhau và vuông góc với
nhau.
Hơn nữa, ( SAH ) ⊃ SA và ( SAH ) ⊥ BC
tại H, nên nếu gọi K là hình chiếu
của H lên SA thì: d ( SA, BC ) = HK
* Lời giải bài toán:
Theo kết quả phân tích trên thì ta đã có: d ( SA, BC ) = HK
Ta có: SH =

BC a
a 3
=
; AH =
2
2
2

Trong tam giác vuông SHA, ta có:

1
1
1
16
a 3

=
+
= 2 ⇒ HK =
2
2
2
4
HK
SH
AH
3a

Vậy d ( SA, BC ) =

a 3
4

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
SA = a 2 , đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a . Gọi M là trung điểm

AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC.
*Phân tích bài toán:
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SM
 BC ⊥ AB

Ta có : 

Do đó, SM và BC là hai đường thẳng vừa chéo
Nhau, vừa vuông góc với nhau.

Lại có: SM ⊂ ( SAB ) và ( SAB ) ⊥ BC
Mà B = ( SAB ) ∩ BC nên từ B kẻ BH ⊥ SM ( H ∈ SM )
0


thì d ( SM , BC ) = BH
*Lời giải bài toán:
Theo phân tích trên ta có: d ( SM , BC ) = BH
·
·
Hai tam giác vuông ∆BHM , ∆SAM đồng dạng với nhau vì SMA
= BMH
(Hai góc

đối đỉnh)
⇒

BH BM
BM .SA
=
⇒ BH =
=
SA SM
SM

Vậy : d ( SM , BC ) =

a
a 2
a 2

2
=
3
a2
2a 2 +
4

a 2
3

Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và
DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng DM và SC.
* Phân tích bài toán:
Vì ∆AMD = ∆DNC ⇒ DM ⊥ CN
Mặt khác: DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ (SNC )
⇒ DM ⊥ SC .

Như vậy, DM và SC là hai đường
thẳng chéo nhau và vuông góc với
nhau.
Hơn nữa: ( SNC ) ⊃ SC và
( SNC ) ⊥ DM

Ta có: H = DM ∩ (SNC ) .
Do đó, từ H kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC )
thì: d ( DM , SC ) = HK
* Lời giải bài toán:
Theo kết quả phân tích trên thì ta đã có: d ( DM , SC ) = HK

0


a2 a2 a2
−
=
4
4
2
2
2
2
1
a
a
a
2a
Hơn nữa:
⇒ CH .DM =
⇒ CH =
=
=
2
2
DM
5
a2
2
a +
4

S ∆CMD = S ABCD − S ∆AMD − S ∆BMC = a 2 −

Trong tam giác vuông SHC, ta có:
1
1
1
19
2a 3 2a 57
=
+
=
⇒
HK
=
=
HK 2 CH 2 SH 2 12a 2
19
19

Vậy d ( DM , SC ) =

2a 57
19

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. có cạnh
SA = h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp

đường thẳng chéo nhau sau:
a) SB và CD

b) SC và BD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = a 3 . Tam giác
ABC đều cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng sau:
a)

SA và BC

b)

SB và CI với I là trung điểm của AB

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a ,
AD = a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =

a
, cạnh AC cắt MD tại H. Biết
2

SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a .Tính khoảng cách giữa SD và
AC
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn,
AD = 2a , AB = BC = CD = a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho HC = 2 HA . Góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và (ABCD) bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
* Nhận xét:

0

Ở trường hợp này việc xác định đường vuông góc chung cũng như tính
toán khoảng cách tương đối thuận lợi. Tuy nhiên, các bài toán thuộc dạng này
chúng ta thường ít gặp, mà hay gặp nhất là dạng toán tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau mà chúng không vuông góc. Sau đây ta sẽ xét phương
pháp giải đối với dạng toán này.
TRƯỜNG HỢP 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU NHƯNG
KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
Để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhưng không
vuông góc với nhau thông thường ta xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia. Để thực hiện phương pháp này chúng ta có
thể tiến hành theo hai bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( α ) ⊃ b và ( α ) / /a (Thông thường ta phải
xác định hay tạo ra mp ( α ) sao cho thuận lợi để thực hiện bước 2)
Bước 2: Tìm một điểm I ∈ a và xác định hình chiếu H của I lên ( α ).
Khi đó: d (a, b) = d ( I , (α )) = IH
Như vậy, ở trường hợp này bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau thực chất là bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng và “mẹo” thông thường hay sử dụng là chúng ta nên khéo léo
biến bài toán về “khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau về bài toán khoảng
cách từ một điểm đặc biệt đến một mặt phẳng nào đó, điểm đặc biệt đó thường
là hình chiếu vuông góc (của đỉnh hình chóp trên mặt đáy hoặc của một đỉnh
nào đó của lăng trụ trên mặt đáy còn lại)” nếu có thể.
Cần nhắc lại phương pháp xác định khoảng cách từ điểm I đến mp ( α ) như
sau:
Bước 1: Tìm một mp( β ) chứa
I và ( β ) ⊥ (α ) .
Bước 2: Xác định giao tuyến

0


d = ( β ) ∩ (α ) . Kẻ IH ⊥ d

( H ∈d) .

Khi đó: d ( I , ( α ) ) = IH

Ngoài ra, để làm tốt các bài toán trong trường hợp này, ta cần chú ý đến
các tính chất sau:
Tính chất 1: Tính chất của tứ diện vuông: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức:

1
OH

2

=

1
2

OA

+

1
OB

2

+

1
OC 2

Tính chất 2: Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì
d ( ∆, ( α ) ) = d ( M ,(α )) = d ( N ,(α )) .

Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không
trùng với I) thì

d ( M ,(α )) MI
=
.
d ( N ,(α )) NI

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là điểm I thuộc cạnh AB sao cho
BI = 2 AI . Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng AD và SC theo a.

0

* Phân tích bài toán:
Ta nhận thấy: AD và SC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc.
Thật vậy, vì: SI ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ AD
Mà: AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ ( SAB) ⇒ AD ⊥ SA
Do đó, nếu: AD ⊥ SC thì AD ⊥ (SAC )
⇒ AD ⊥ AC (Vô lý).

Bây giờ ta xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
với đường thẳng kia:
Ta có: AD // BC
Mà: ( SBC ) ⊃ BC ⇒ AD //( SBC ) .
Do đó: d ( AD, SC ) = d ( AD,( SBC )) = d ( A,( SBC )) =

AB
3
d ( I ,( SBC )) = d ( I ,( SBC ))
IB
2

(áp dụng tính chất 2), (cần lưu ý rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S của hình
chóp trên đáy là điểm I)
Như vậy, bài toán trở về xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
để tìm d ( I , ( SBC )) ta cần tìm hình chiếu của I trên ( SBC )
Ta có: SI ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ BC . Mà: BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB)
mà ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB nên ta chỉ cần vẽ hình chiếu K của I lên đường giao tuyến
SB là đã chỉ ra
* Lời giải bài toán:
0

Theo phân tích trên thì ta đã có:
d ( AD, SC ) = d ( AD,( SBC )) = d ( A,( SBC )) =

AB
3
d ( I ,( SBC )) = d ( I ,( SBC ))
IB
2

Trong mp( ABCD) qua I vẽ đường thẳng IE // AD ( E ∈ CD ) .
SI
0
·
Suy ra: SEI
= 600 , nên trong tam giác vuông SEI , ta có: tan 60 = IE ⇒ SI = a 3

Trong mp(SAB) qua I vẽ đường thẳng IK ⊥ SB ( K ∈ SB) .
1
1
1
9
1
2a 93
Trong tam giác vuông SIB , ta có: 2 = 2 + 2 = 2 + 2 ⇒ IK =
IK

3
2

SI

IB

4a

3
2

Vậy d ( AD, SC ) = d ( I , ( SBC )) = IK =

3a

31

3a 93
31

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi

M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SN theo a.

0


* Phân tích bài toán:
Rõ ràng SN và AB là hai đường thẳng chéo nhau mà không vuông góc. Bởi vì,

nếu: SN ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SMN ) ⇒ AB ⊥ SM (Vô lý, vì khi đó ∆SAM có hai góc
vuông).
Bây giờ ta xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
với đường thẳng kia:
Qua điểm N vẽ đường thẳng ∆ sao cho ∆ // AB . Gọi (α ) là mặt phẳng chứa
SN và ∆ . Khi đó: AB //(α ) , nên: d ( SN , AB) = d ( AB, (α ))
Tiếp theo ta xác định hình chiếu của một điểm trên đường thẳng AB lên
mp(α ) (thường thì nên chọn điểm A vì theo”mẹo”ta thấy A là hình chiếu vuông

góc của đỉnh S của hình chóp trên mặt đáy (ABC)), ta thấy:
d ( SN , AB ) = d ( AB, (α )) = d ( A, (α ))

Trong mp( ABC ) từ A kẻ AD ⊥ ∆ tại D. Khi đó: ( SAD) ⊥ (α ) . Như vậy, điểm
A ∈ AB và A nằm trong mp (SAD) vuông góc với (α ) , nên theo cách xác định hình

chiếu của một điểm lên một mặt phẳng nêu trên thì ta chỉ cần vẽ hình chiếu H
của A lên đường giao tuyến SD của mp(SAD) và (α ) là đã chỉ ra được khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SN và AB, đó chính là đoạn AH.

0


* Lời giải bài toán:
Theo phân tích trên ta có:
d ( SN , AB) = d ( AB, (α )) = d ( A, (α )) = AH

Hơn nữa: AD = MN = a
·
Theo giả thiết ta có: SBA
= 600

·
(Vì SBA
là góc của hai mặt phẳng
(ABC) và (SBC))
Trong tam giác vuông SAB, ta có:
tan 60 0 =

SA
⇒ SA = AB. tan 60 0 = 2a 3
AB

Trong tam giác vuông SAD, ta có:
1
1
1
13
2a 3 2a 39
=
+ 2 =
⇒ AH =
=
.
2
2
2
AH
AD
SA 12a
13
13

Vậy d ( SN , AB) = AH =

2a 39
13

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a

khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.

*Phân tích bài toán:

0


Ta thấy, AM và B′C là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông
góc với nhau.
Thật vậy, giả sử AM ⊥ B′C , mà AM ⊥ B′B ⇒ AM ⊥ ( BB′C ) ⇒ AM ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC ⇒ B ≡ M . Điều này vô lý.
Bây giờ ta xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
với đường thẳng kia:
Gọi E là trung điểm BB’. Khi đó ( AME ) / / B′C nên
d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C ,( AME ))

Tiếp theo ta xác định hình chiếu của một điểm trên đường thẳng B′C đến
mp ( AME ) (thường thì nên chọn điểm B’ hoặc C vì theo”mẹo”ta thấy B’ hoặc C

là hình chiếu vuông góc của đỉnh lăng trụ trên mặt đáy còn lại), ta nhận thấy:
d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C ,( AME )) = d ( C ,( AME ) ) = d ( B,( AME ) )

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME). Do tứ diện BAME có BA, BM,
BE đôi một vuông góc nên áp dụng tính chất 1 ta sẽ tính được khoảng cách cần
tìm.
*Lời giải bài toán:
Theo phân tích trên thì:
d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C ,( AME )) = d (C ,( AME )) = d ( B,( AME )) Gọi h là khoảng cách từ

B đến mặt phẳng (AME). Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc
nên:
1
h2

=

1
BA2

Do đó h =

+

1
BM 2

+

1
BE 2

=

1
a2

+

4
a2

+

2
a2

=

7
a2

.

a 7
a 7
. Vậy d ( AM , B ' C ) =
.
7
7

* Nhận xét:

Như vậy, để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong
trường hợp, việc xác định được một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia sao cho thuận lợi và phù hợp là điều quan trọng, quyết
định sự thành công trong việc tìm lời giải của bài toán.
Bài tập áp dụng:
0


Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh
AB = a . Đường cao SO của hình chóp vuông góc với đáy (ABCD) và có SO = a .

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài 2: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA′ = a , AB’ tạo với (ABC) góc 600 .
Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung
điểm của DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA = 2 HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a , góc
·
BAC
= 600 , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a . Gọi M là trung điểm của
cạnh AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
Một số câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: (Đề minh họa Toán 2020 – lần 1)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB = 2a , AD = DC = CB = a ,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . Gọi M là trung điểm của AB.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng:
A.

3a
4

B.

3a
2

C.

3 13a
13

D.

6 13a
13

Câu 2: (Đề minh họa Toán 2020 – lần 2)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a , AC = 4a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng:
A.

2a
3

B.

6a
3

C.

3a
3

D.

a
2

Câu 3: (Đề Toán THPT quốc gia 2018 – Mã đề 101)

0


Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
bằng:
6a
2

A.

B.

2a
3

C.

a
2

D.

a
3

Câu 4: (Đề thi thử THPT Cộng Hiền – Lần 1- 2018 - 2019)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB’ và BC’ bằng:
a 3
3

A.

B.

a 2
2

C. a 3

D. a 2

Câu 5: (Chuyên đại học Vinh – lần 1 – 2018-2019)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E
là trung điểm của AB. Biết AB = 2a , BC = 13a , CC ' = 4a . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng A’B và CE bằng:
4a
7

A.

B.

12a
7

C.

6a
7

D.

3a
7

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Đề tài này tôi đã triển khai ở các lớp 11 mà tôi trực tiếp giảng dạy là lớp
11N trong năm học 2019 – 2020 ở trường THPT Ba Đình - Nga Sơn. Để kiểm
tra hiệu quả của đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi đã tiến hành tổng hợp, phân
tích số lượng học sinh làm được câu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong đề kiểm tra định kỳ - Chương III –Hình học 11 qua các năm học

trước và sau khi triển khai đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Kết quả thu được như
sau:
Số lượng học sinh làm được
Năm học

Lớp

Sĩ số

câu tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng

Ghi chú

chéo nhau
Chưa triển
2018-2019

11C

40

10

khai đề tài
SKKN
0


2019-2020

11N

42

30

Đã triển khai
đề tài SKKN

Với kết quả như trên tôi nhận thấy đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã mang
lại kết quả đáng khích lệ.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Mảng kiến thức về hình học không gian là một trong những nội dung
quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 và 12. Nhưng đối với học sinh
đây lại là một mảng kiến thức tương đối khó, trừu tượng, đây cũng là phần nhiều
thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy
lớp 11, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ. Với đề tài
này, chúng ta có thể phát triển thành một đề tài rộng hơn đó là: “Rèn luyện kỹ
năng cho học sinh trong bài toán tính khoảng cách giữa hai đối tượng trong
không gian cho học sinh THPT”, như: khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song,…
Mong rằng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu tham khảo
bổ ích cho các em học sinh lớp 11, các em học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc
gia, tốt nghiệp THPT.
2. Kiến nghị
Mặc dù tôi đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều

thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của
tất cả các đồng chí, đồng nghiệp để đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

0


Thanh Hóa, ngày 30 tháng 6 năm 2020
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Phạm Thị Mai

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Một số đề thi thử THPT quốc gia các năm 2019 và 2020
[2]. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

0


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Mai

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên- Trường THPT Ba Đình

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá

Kết quả

xếp loại

đánh giá

Năm học

(Ngành GD cấp

xếp loại

đánh giá

huyện/tỉnh;

(A, B,

xếp loại

Tỉnh...)

hoặc C)
0


1.

Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ

Sở GD&ĐT

túi trong các bài toán chứng

Thanh Hóa

C

2016-2017

minh bất đẳng thức, tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức bằng phương pháp tiếp
tuyến.

0