SKKN hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc trong không gian

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU

Trang

1.1. Lý do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1. Cơ sở lý luận
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các kiến thức liên quan
2.3.2.Các dạng toán và phương pháp
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Kết quả thực nghiệm
2.4.2. Kết quả chung
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận.
3.1. Kiến nghị.

1
1
1
1
2
2
2

2
2
3
11
11
11
12
12
12

1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình môn toán ở trường THPT, phần hình học không gian
giữ một vai trò hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức,
kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính,
phẩm chất của con người lao động mới: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính
sáng tạo, tính bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy cho học sinh. Không những thế hình
học không gian lại là phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ giáo
dục. Đặc biệt là phần quan hệ vuông góc trong không gian chiếm phần lớn trong


nội dung hình học. Các câu hỏi phần vận dụng cao thường rơi vào bài toán xác
định thiết diện hoặc tính diện tích thiết diện có yếu tố vuông góc bài toán mà
bấy lâu nay đa số các em học sinh thấy nản lòng.
Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THPT DTNT Ngọc Lặc, nhiều
học sinh khi đứng trước bài toán tìm thiết diện, đặc biệt là thiết diện có yếu tố
vuông góc trong không gian thường có tâm trạng hoang mang, không xác định
được phương hướng, không biết phải làm những gì để tìm ra lời giải cho bài
toán. Học sinh đọc phần hướng dẫn trong SGK, sách bài tập hay gợi ý của giáo

viên thì dễ hiểu nhưng để tự làm một bài toán tìm thết diện thì lúng túng và khó
khăn.
Xuất phát từ lý do trên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã
gom các dạng toán về thiết diện có yếu tố vuông góc và cách giải cụ thể để học
sinh dễ hình dung hơn về loại toán này, với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11
dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông
góc trong không gian” tôi mong muốn học sinh hứng thú học hình hơn, giáo
viên có phương pháp dạy học hiệu quả và nâng cao chất lượng giáo dục THPT
nói chung và của Trường THPT DTNT Ngọc Lặc nói riêng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Ôn tập, củng cố kiến thức một cách hệ thống phần quan hệ song song.
- Rèn luyện kỹ năng dựng thiết diện phần quan hệ song song.
- Học kĩ các tính chất về quan hệ vuông góc thuộc bài “Đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng và bài Hai mặt phẳng vuông góc”.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài này sẽ nghiên cứu hoạt động dựng thiết diện của học sinh cho các bài
toán thiết diện có yếu tố vuông góc - hình học không gian lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu thông qua các tài liệu có sẵn.
- Tự nghiên cứu thông qua các ý tưởng toán học của bản thân.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1. Cơ sở lý luận
Hình học không gian là môn học khó đối với học sinh lớp 11 và nhiều em
không làm được bài tập. Vấn đề xác định thiết diện đặc biệt là thiết diện có yếu
tố vuông góc gặp nhiều khó khăn: Về thời gian, phương pháp, trí tưởng tượng
không gian, vẽ hình, lập luận, trình bày...
Qua những tiết dự giờ, quan sát dạy và học môn hình học lớp 11 phần
quan hệ vuông góc đồng thời thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh trường

THPT DTNT Ngọc Lặc tôi thấy cần phải đưa ra phương pháp xác định cho từng


loại thiết diện nói chung và thiết diện có yếu tố vuông góc nói riêng nhằm tháo
gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Qua kết quả điều tra thực trạng học sinh học hình trong nhà trường THPT
DTNT Ngọc Lặc:
+ Rất ít học sinh có hứng thú đối với môn hình học, chưa có phương pháp học
tập hiệu quả đối với môn học.
+ Các kiến thức cơ bản về hình học nói chung và hình học không gian lớp 11 nói
riêng còn rất hạn chế.
+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong
hình không gian còn yếu.
+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian chưa tốt.
+ Kỹ năng dựng thiết diện nói chung và thiết diện có yếu tố vuông góc nói riêng
còn chưa thành thạo và còn mơ hồ.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các kiến thức liên quan
a / /( )
a ( )

thì

* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu ( ) ( ) b
a
b

a //b

b

*Tính chất 3: (SGK trang 101)
b
a
b) a b

a/ /

* Hệ quả 1(SGK trang 109):
( P)⊥(Q)
A ∈( P)

a∋ A
a ⊥(Q)

}

⇒a⊂( P )

a
a


2.3.2.Các dạng toán và phương pháp
* Dạng 1. Xác định thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường
thẳng.
Bài toán: Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a, áp dụng tính chất
3(trang 101 SGK) thì đường thẳng đó sẽ song song với (p), áp dụng định lý
2(trang 61 SGK) để tìm các giao tuyến.
Bước 2. Nếu trong bài toán không tìm thấy được đường thẳng vuông nào góc
với đường thẳng a, hoặc tìm chưa đủ các giao tuyến với hình chóp thì từ điểm M
ta dựng MH vuông với a để tìm tiếp các giao tuyến còn lại.
S . ABC
ABC
Ví dụ 1. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại B , cạnh bên
SB
đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với
SA ABC . Mặt phẳng ( P)
AC , SC , SB
N,P,Q
MNPQ

cắt

lần lượt tại

. Tứ giác

là hình gì?

A. Hình thang vuông.
B. Hình thang cân.
C. Hình bình hành.
D. Hình chữ nhật.

Phân tích: Theo bước 1 ta đi tìm các đường thẳng vuông góc với SB, ta dễ dàng
thấy được

BC

SB

từ đó áp dụng Tính chất 3(SGK trang 101) thì

Từ đó áp dụng Định lý 2(SGK trang 61) để tìm giao tuyến.
Lời giai

S
P
Q
A

N
M
B

C

BC / /( P)

.


AB BC

BC SB

SA BC

Ta có:
BC SB
Vậy

Mà

P SBP //BC
PABC

Từ (1) và (2)

(1)

MN (2)
MN / /BC

Tương tự ta chứng minh được

PQ / / BC, MN/ / BC, BC (SAB)

Mà SA BC PN NM

M,Q
MNPQ
Vậy thiết diện là hình thang
vuông tại

. Chon A Ví
dụ 2. (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN)

ABCD
SA
có đáy
là hình vuông cạnh a, cạnh bên
vuông
450
đi qua A và
góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc
. Một mặt phẳng

Cho hình chóp
vuông góc với

S . ABCD

SC

cắt hình chóp

S . ABCD

theo thiết diện là tứ giác AHKL có

diện tích bằng:
a2 3
A. 2 .

a2 3
B. 6 .

a2 3
C. 3 .

a2 3
D. 4 .

Phân tích: Giống với VD1 ta làm từng bước theo cách làm, ta dễ thấy rằng
BD SC BD / /( )

. Nhưng SC và A lại không cùng thuộc một mặt phẳng nên
trước khi sử dụng định lý 2 (SGK trang 61) ta phải tìm một điểm vừa thuộc
mp( ) vừa cùng thuộc mặt phẳng với BD. Do đó ta phải sử dụng bước 2 trước
là dựng AK vuông góc với SC, gọi I là giao điểm của SO và AK khi đó I là điểm

cần tìm rồi mới quay lại bước 1 để tìm giao tuyến.
Lời giai

S

K

H

L

I
B

A
O
D

C


SAC

Gọi K là hình chiếu của A trên SC . Trong
BD SA
BD SAC
Ta có
BD

BD

SO

AK

AC

SC mặt

I

gọi I

BD

SC

khác
SBD

nên

BD / /

SBD

Ta có
SBD HL / /BD, H SD, L SB

Thiết diện là tứ giác AHKL .
HL / /BD

HL AK

BD AK

Ta có

Suy ra
S

Vậy.
Ví dụ

.
1 AK.HL

S
AHKL

AHKL

a 6

HL
3 và BD

.Mà AK

2
1 AK.HL

a 2
2.a 2

1 HL
2

a 2
2 .

3 2
a

6 . Chon B

2

3. Cho hình chóp S . ABC có

SA SB SC b a b 2

SL
SB

đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng ( P) đi qua

B vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C. Diện tích thiết diện của

hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
S

a

2

2

3b a
2b

2

a

2

2

2

A.
S

3b a
2b

( P)

là?

S

.

B.
S

a 2 3b 2 a2
.
4b
a 2 3b 2 a2

4b
.

C.
.
D.
Phân tích: Theo bước 1 ta đi tìm các đường thẳng vuông góc với SC, nhưng
không có đường thẳng nào vuông góc với SC, Do đó ta sử dụng bước 2 là từ B
hạ đường thẳng vuông góc với SC, từ đó tìm các giao tuyến còn lại.
Lời giai
S

I

C

A
J

G

B


Kẻ

AI

SC

AIB

SC

. Thiết diện là tam giác AIB
2

AI AC sin ACS a 1 cos

Ta có
J
Gọi
2

IJAI

2

AJ

8, BC 6 ,

mặt phẳng qua M
diện tích bằng?
A.

ACS a

1

b2 b2
2 ab

a
2b

2

4b

2

a

là trung điểm của AB . AIB cân tại I suy ra IJ AB
a 3
2b b

Ví dụ 4. Cho hình chóp

lớn AD

a2

2

a

S . ABCD

2

1 AB.I J a 2 3b 2 a2
2
4b
. Chon B

S

có đáy

ABCD

SA ABCD ,

SA 6 .

và vuông góc với

10

.

là hình thang vuông tại
M là trung điểm

B.

20

Gọi

AB . Thiết diện của

.

C.

15

.

( P)

A , đáy

của

AB .

( P)

là
và hình chóp có
D.

16

.

Lời giai
S

I

K
A

D

M

N

B

C

P AB P //SA

Gọi

I,J,K

lần lượt là trung điểm

Thiết diện là hình thang
IK MN .MI
S
MNKI

2

SB , CD , SC

MNKI

vuông tại M
37.3 15
2

Chon C
*Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của
ABC SO
đườngOH
cao AH của tam giác O
,
vuông góc (với
đáy. Gọi I là điểm tùy ýOH
trên đoạn
P)
thẳng ( P)
(không trùng với và H ), mặt phẳng
qua I và vuông góc với
. Thiết
diện của
và hình chóp là hình gì?

A. Hình thang vuông.
C. Hình bình hành.

SA ABCD
Bài 2.
Cho hình chóp S . ABCD ,
,
nhật với AB a , AD 2a
. M là điểm thuộc cạnh

B.Hình thang cân.
D. Tam giác vuông.
SA a
ABCD
, mặt
là hình chữ
AM x 0 x a
AB , đặt
. Mặt


phẳng qua M và vuông góc với AB cắt
diện của

( P)

lần lượt tại

N,P,Q

. Thiết

và hình chóp là hình gì?

A. Hình thang vuông.
C. Hình bình hành.
Bài 3: Cho tứ diện đều

Mặt phẳng
dài bằng?

CD , SC , SB

P

ABCD

cạnh

a 12

B. Hình thang cân.
D. Hình vuông.
,

AP là đường cao của tam giác

đi qua B và vuông góc với AP cắt

9
A. .

6

B. .

ACD

.

theo giao tuyến có độ

8
C. .

7
D. .

Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD ,có đáy ABCD là hình vuông tâm O ,
BO

ACD

SA ABCD

P BC

P

.

Gọi M là trung điểm của
,
là mặt phẳng qua M và

. Thết diện
là hình gì?
A. Hình thang cân.
B. Hình thang vuông.
C. Hình bình hành.
D. Tam giác vuông.
S . ABC
ABC
Bài 5: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tai B ,
AB a , SA a 3
M
và SA ABC
Gọi
là điểm trên cạnh AB và
AM x 0 x a

.

mặt phẳngđi qua M và vuông góc với AB . Giả sử thiết diện
S . ABC
MNPQ
MNPQ
để thiết diện
lớn
của hình chóp
vớilà tứ giác
. Tìm x
a

nhất?
a
3a
x
B.
x
x
A. 2 .
C. 2 .
D. x a .
2.

* Dạng 2. Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt
phẳng.
Bài toán: Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) chứa đường thẳng a và
vuông góc với mp(Q).
Phương pháp giải.
Bước 1: Từ 1 điểm A trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được đường
thẳng b vuông góc với mp(Q) một cách dễ nhất.
Bước 2: khi đó, mp(a,b) chính là mp(p) cần dựng.
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp bằng các cách đã
biết.
B , SA ABC

Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
. Gọi
E là trung điểm cạnh SC, M là một điểm trên cạnh AB . Gọilà mặt phẳng
S

chứa EM và vuông góc với SAB

và tứ diện.

. Xác định thiết diện của

A. Hình thang.
B. Hình thang vuông.
C. Hình bình hành.
D. Tam giác. E
Phân tích: Theo cách làm, bước 1 từ một điểm trên ME dựng đường thẳng
F

vuông góc với (SAB), ta thấy điểm thuộc mp(SAB) nên từ E ta dựng EF vuông
A
M

B

N

C


góc với (SAB), ta lại dễ thấy BC cũng vuông góc với (SAB) nên EF//BC. Từ đó
ta có lời giải.
Lời giai
Ta có:

Ta lại có:

BC AB BC SAB
SA
BC
SAB
BC
BC SAB

Kẻ MN BC;EF BC
MF,NE
Nối
ta được thiết diện cần tìm
MNEF
là hình thang
. Chon A
Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABCD , ABCD là hình chữ nhật, SA ( ABCD) . Gọi I , J

P là mặt phẳng qua IJ và vuông góc
AB , CD
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
SBC
với mặt
. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng P .
Lời giai
IJ

IJ AB IJ SABIJ SB

S

SA
Ta có
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K.

Do đó
Ta có

P KIJ
PSAB KI

A

D
N

PABCD IJ

K
I

PIJBCPSBCKNBC
PSCD NI

B

J
C

Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= a , và

vuông góc với đáy, gọi ( ) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng
(SCD). Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi ( ).


Phân tích: Trong bài toán này ta chỉ cần tìm giao điểm của ( ) với hai cạnh SC
và SD. Vì (SCD) vuông góc với ( ) nên chắc chắn (SCD) sẽ chứa một đường
thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ). Dễ nghi ngờ đường
SD AB ( )
thẳng đó chính là SD vì ta có
.
Bây giờ ta giả sử ( ) cắt SD tại H. Nếu ta chọn H sao cho
SD ( ABH ) .

Suy

SD AH

thì lúc đó, kết hợp với SD AB , ta có

ra ( SCD ) ( ABH ) .

Như vậy ta có (ABH) Chứa AB và vuông góc với (SCD). Điều này buộc
ABH )
(
. Vậy mấu chốt giúp ta xác định được ( ) chính là điểm H.
Lời giai
Trong tam giác SAD kẻ
AB CD
Do

AH SD

(1).
AB SCDSD AB

SA AB

Từ (1) và (2) suy ra

SD AHBSCDAHB

AHB

góc với (SCD) nên

(2)
. Vì (ABH) chứa AB và vuông

.

Do CD / / AB nên SCD HK \ \CD .AB
Với
K thuộc
SCD
AB AH SC. Vậy thiết diện cần tìm là
hình thang ABKH. Mặt khác do
HK / / CD

HK / / AB

HK

, mà

( SCD ) HK

thang vuông tại A và H. Ta có

S

ABKH

AH . Vậy hình thang ABKH là hình
1 AH.(HK AB)
2
. Trong đó AB=a, Vì
HK a

SA=AD=a nên HK là đường trung bình của tam giác SCD, nên
1

1
2

AH

1

2

SA

1
2

AD

1 AH a

2

a

2

a

2

2

.

2 ,


S

ABKH

Vậy

1 AH.(HK AB)

1a 2 a

2

2 2

2

a

3 2a2

8

(đvdt)

*Bài tập tự luyện
S . ABCD
Bài 1. Cho hình chóp
có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). ABCD là hình
chữ nhật tâm O. Gọi (P) là mặt Sphẳng
qua SO và vuông góc với mặt phẳng (SAD).
. ABCD
Hãy tìm thiết diện của hình chóp
và mặt phẳng (P).
S . ABCD

ABCD
SA ( ABCD)
Bài
2.
Cho
hình
chóp
có
đáy
là
hình
vuông,
. Gọi
O
ABCD
SD
là tâm
của
hình
vuông
,
M là trung điểm của cạnh
.
Một
mặt
phẳng
ABCD
O,M

đi qua

và vuông góc với mặt phẳng

bởi và hình chóp S . ABCD .

. Hãy xác định thiết diện tạo

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song
song. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A, B và vuông
góc với mặt phẳng (SCD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song
song. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAB. Xác định
thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua E, F và vuông góc với (SCD).
SA ( ABCD)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có
gọi I là điểm trên đoạn SA sao
cho 2AI = SI. J là điểm trên đoạn CD sao cho DJ = 2 JC. Xác định thiết diện với
hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua I,J và vuông góc với (SBD).


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Kết quả thực nghiệm
Để hiểu rõ hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm tôi tiến hành thực nghiệm
sử dụng phương pháp trong sáng kiến kinh nghiệm dạy ở lớp 11A3 và dạy theo
giáo án bình thường ở lớp đối chứng 11A6 sau đó tôi cho học sinh thực hiện bài
kiểm tra 15 phút kết quả như sau:
SĨ
TB trở
Giỏi
Khá

T . Bình
Yếu
Kém
STT
LỚP
lên
SỐ
SL %
SL % SL %
SL %
SL %
SL %
Lớp
thực
11A3 30 16 53,3 2
6,7 7
23,3 3
10
2
6,7 0
0
nghiệm
Lớp đối 11A6 30 8
26,7 0
0
5
16,7 10 33,2 5
16,7 2
6,7
chứng

Nhận xét:
* Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm.
* Tỉ lệ học sinh đạt loại khá cũng không chênh lệch so với kết quả kiểm tra
trước thực nghiệm.
* Tỉ lệ học sinh trung bình ở lớp thực nghiệm nhiều hơn so với kết quả kiểm tra
trước thực nghiệm và nhiều hơn.
* Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu đã giảm rõ ở lớp thực nghiệm khi so với kết
quả kiểm tra trước thực nghiệm và lớp đối chứng.
Qua số liệu của bảng, chứng tỏ phương pháp tôi đưa ra đã giúp đỡ học
sinh tìm được thiết diện của hình chóp khi có yếu tố vuông góc. Tuy chưa làm
tăng tỉ lệ học sinh giỏi, chỉ làm tăng nhẹ tỉ lệ học sinh khá và trung bình nhưng
đã làm giảm tỉ lệ học sinh yếu kém. Và qua số liệu của bảng, tôi thấy tự tin và
rất mừng vì đã giúp đỡ được các em học sinh thích học toán và chất lượng tăng
lên rõ rệt, giúp các em tự tin hơn khi làm bài tập phần xác định thiết diện này.
2.4.2. Kết quả chung
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
+ Học sinh đã chủ động hơn trong các bài tập về tìm thiết diện khi có yếu tố
vuông góc.
+ Giúp các em hứng thú hơn khi học đến dạng toán này, từ đó hứng thú hơn khi
học môn hình học không gian, nâng cao hiệu quả giờ dạy.


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc
trong không gian” đã thu được một số kết quả:
+ Đề tài này tôi đã phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài
toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc một cách rõ ràng hơn.

+Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm cho
phép xác nhận giả thuyết của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục
đích nghiên cứu đã hoàn thành.
3.2. Kiến nghị.
Đôi vơi giao viên day hoc môn toan cân tach loc cac đôi tương hoc sinh
đê tư đo co phương phap day hoc phu hơp.
+ Đôi vơi hoc sinh ơ mưc trung binh va dươi trung binh thi trang bi cho cac em
phương pháp và các bài tập dạng đơn giản để các em thực hành.
+ Đối với học sinh khá giỏi thì ngoài kiến thức cơ bản cần trang bị them cho các
em các kiến thức rộng hơn và các bài tập có tính tư duy nhiều hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Tác giả

Trịnh Thị Hạnh


Tài liệu tham khảo
[1]. Bài tập Hình học 11 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc
Ban - Tạ Mân, Nhà xuất bản Gáo dục.
[2]. Bài tập Hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh –
Nguyễn Hà Thanh, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3]. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình học 11, Nguyễn Đức Tấn, Nhà
xuất bản Giáo dục.
[4]. Các bài giảng luyện thi môn Toán, Tập 1, Phan Đức Chính - Vũ Dương
Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Nhà xuất bản Giáo dục.

[5]. Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2002 đến 2013, Môn Toán.
[6]. SGK Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ
biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Nhà xuất bản
Giáo dục.
[7]. SGK Hình Học 11 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như
Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[8]. Đề thi quốc gia năm 2015 đến 2018, môn Toán


DANH MỤCCÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI
ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Thị Hạnh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT DTNT Ngọc Lặc.

TT

1

Tên đề tài SKKN

Hướng dẫn học sinh lớp 12
trườờ̀ng THPT Quan Sơn sử
dụng giá trị lớn nhất – Giá
trị nhỏ nhất của hàm số để
giải các bài toán thực tế
mang tính tối ưu.

Cấp đánh
giá xếp loại

(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá

Năm học

xếp loại

đánh giá xếp

(A, B,
hoặc C)

loại

SỞ
GD&ĐT

C

2016-2017