SKKN hướng dẫn học sinh lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng nghiên cứu bài học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 PHÂN TÍCH ĐA
THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO ĐỊNH HƯỚNG
NGHIÊN CỨU BÀI HỌC

Người thực hiện: Phạm Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Quang Trung
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán


MỤC LỤC
1. Mở đầu..................................................................................................................................... 1
1.1. Lí do chọn đề tài...................................................................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................................. 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................................... 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu:.................................................................................................. 2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm............................................................................. 2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................................. 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghi ệm. .................3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng khi giải quyết vấn đề................................................. 4
2.4. Hiệu quả thực hiện:........................................................................................................... 11
3. Kết luận, kiến nghị......................................................................................................... 11
3.1. Kết luận...................................................................................................................................... 11
3.2. Kiến nghị................................................................................................................................... 12
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................. 14

1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Là một giáo viên giảng dạy môn Toán học ở bậc THCS tôi nh ận th ấy:
Đổi mới phương pháp giảng dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo d ục,
bồi dưỡng nhân tài góp phần thực hiện mục tiêu như Nghị quyết 29-NQ/TW
ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị Trung ương 8 khóa XI đã ch ỉ rõ: “Đ ối
với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành
phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khi ếu, đ ịnh
hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn di ện,
chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ng ữ, tin
học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát
triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”. Nhằm đáp
ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nh ất là
nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông.
Qua nghiên cứu các tài liêu và đặc biêt từ thực tê viêc d ạy, viêc học t ại
Trường THCS Quang Trung, bản thân tôi nhân thây: Dạng toán phân tích đa
thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp
ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học ti ếp các ch ương
sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng m ẫu th ức
nhiều phân thức và việc giải phương trình. Dù mang nhiều ý nghĩa như vậy
nhưng rất nhiều học sinh lớp 8 còn lúng túng khi gặp bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, h ọc sinh y ếu. Đây
là vấn đề mà các thầy cô giáo giảng dạy toán 8 và các b ậc ph ụ huynh đ ều
rất quan tâm, lo lắng.
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi c ủa xã h ội, ch ất
lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh
nghiệm dạy và học toán, tôi đã nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh
lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng nghiên cứu bài

học” với kỳ vọng góp một phần kinh nghiệm giảng dạy của mình về vi ệc
dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinh học tốt hơn các bài toán v ề
phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và hứng thú hơn với bộ môn toán
nói chung.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nội dung trong đề tài cung cấp cho học sinh lớp 8 một cách có h ệ thống
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho h ọc sinh có
khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử, t ừ đó hình thành
cho các em các kĩ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và th ể hi ện tốt l ời gi ải
bài toán vận dụng tốt dạng toán này.


Giúp các em học sinh thấy được vai trò của việc phân tích đa th ức
thành nhân tử trong giải toán, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
Tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên cứu kĩ
càng các tài liệu để có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo phục vụ cho
quá trình học tập và giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu các vấn đề để hướng dẫn học sinh lớp 8 phân tích đa th ức
thành nhân tử theo định hướng nghiên cứu bài học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương phap nghiên cưu tài liệu
- Phương phap thu thâp, sư li thông tin.
- Phương phap lâp kê hoach.
- Phương phap phân tich, đanh gia, tông hơp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “Phải đổi mới ph ương pháp
giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp

tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện
thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Chương trinh giao duc phô thông ban hanh kem theo Quyêt đinh sô
16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngay 5/5/2006 cua Bô trương Bô Giao duc va Đao tao
đa nêu: “ Phai phat huy tinh tich cưc, tư giac, chu đông, sang tao cua hoc sinh;
phu hơp đăc trưng môn hoc, đăc điêm đôi tương hoc sinh, điêu kiên cua tưng
lơp hoc; bôi dương cho hoc sinh phương phap tư hoc; kha năng hơp tac; ren
luyên ky năng vân dung kiên thưc vao thưc tiên; tac đông đên tinh cam, đem
lai niêm vui, hưng thu va trach nhiêm hoc tâp cho hoc sinh”.
Theo phương hướng đổi mới phương phap day hoc này, giáo viên phải
là người tổ chức, điều khiển; phát huy tính tích cực chủ động trong lĩnh hội
tri thức Toán học của học sinh; còn học sinh là chủ thể nhận th ức, đòi h ỏi
phải có hứng thú trong học tập, từ đó mới tích cực tự học, tự rèn luy ện và có
được các năng lực cần thiết trong học tập cũng như trong lao động sản
xuất.
Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh
tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh ho ạt t ự tìm tòi ra ki ến th ức
mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn ph ải
hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng
đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát
huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó.


Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử một cách nhanh chóng và chính xác. Để làm được
điều này thì người giáo viên cần phải xây dựng cho học sinh kĩ năng quan
sát, phân tích, tổng hợp bài toán. Tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo
viên xây dựng cách giải bài toán cho phù hợp.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng

nghiệp, tôi nhận thấy: Khi đứng trước bài toán về phân tích đa th ức thành
nhân tử các em chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên
nên giải như thế nào, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương
pháp nào sau, hướng giải nào là tốt nhất và trong quá trình phân tích các
em còn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày.
Ví dụ: Phân tích đa thức x 2 – 2x – 9y2 – 6y thành nhân tử. Một số học
sinh đưa ra lời giải sau.
x2 – 2x – 9y2 – 6y = (x2 – 9y2 ) – (2x – 6y ) (đặt dấu sai)
= (x + 3y)(x – 3y) – 2(x – 3y) (sai từ trên)
= (x – 3y)(x + 3y – 2) (kết quả sai)
Hay trong ví dụ: Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử.
Một số học sinh đưa ra lời giải sau.
9x2y2 – 15x3y + 3x2y = 3x2y.3y - 3x2y.5x + 3x2y
= 3x2y (3y - 5x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số
1)
Trong chương trình SGK Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đ ẳng th ức, nhóm
các hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài t ập h ọc
sinh sẽ gặp khó khăn trong quá trình giải.
Ví dụ: Bài 52a (SGK.Toán 8 tập 1). Phân tích đa th ức x 2 – 3x + 2 thành
nhân tử. Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các ph ương pháp đã
học để phân tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = 4 + 6, từ đó đa thức dễ dàng được phân tích tiếp. V ậy với các đa th ức khác,
có dạng tương tự ta làm như thế nào?
Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng vận dụng ba phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử của HS khối 8 năm học 2017 - 2018:
Kĩ năng đặt nhân tử
Kĩ năng dùng hằng
Kĩ năng nhóm các
Lớp
chung.

đẳng thức.
hạng tử.
(sĩ số)
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
yêu cầu
%
yêu cầu
%
yêu cầu
%
8A1(32 HS)
9
28,1%
7
21,9%
8
25%
8A2(34 HS)
9
26,5%
8
23,5%
7
20,6%

* Phân tích kết quả trên:
Kết quả khảo sát năm học 2017 - 2018 và năm học 2018 - 2019 cho
thấy: 55% các em HS khối 8 chưa có được các kĩ năng c ần thi ết.
Qua đây cho thấy việc làm cho học sinh nắm vững phương pháp để
vận dụng kiến thức đã học vào giải toán là công việc rất quan tr ọng và
không thể thiếu được của người dạy toán. Vì thông qua đó có thể rèn được
tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho h ọc sinh. Đ ể làm
được điều đó thì theo tôi, giáo viên phải cung cấp cho học sinh các ph ương
pháp giải cụ thể, chi tiết để học sinh hiểu được thực chất của vấn đề, phát
hiện phương pháp phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau. Từ đó
giúp học sinh có các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán
nản, hoang mang, dẫn đến sợ môn toán.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng khi giải quyết vấn đ ề
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược).
a. Phương pháp
+ Bước 1: Tìm hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số
nguyên
dương.
+ Bước 2: Tìm biến (nếu có) của nhân tử chung: Biến có mặt trong
tất cả các hạng tử, với số mũ nhỏ nhất.
+ Bước 3: Xác định nhân tử chung: Lập tích của hệ số và biến chung
+ Bước 4: Xác định các hạng tử trong ngoặc.
Nhằm đưa đa thức về dạng: A.B + A.C + …+ A.H = A.(B + C +…+ H)
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Dạng bài chỉ đặt hệ số chung.
Ví dụ: (BT 39 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )
Phân tích đa thức 3x – 6y thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Ta xác định nhân tử chung như sau: Phần hệ số là

3 (ƯCLN(3,6))
Giải:
Ta có: 3x – 6y = 3.(x – 6).
* Dạng bài chỉ đặt biến chung.
Ví dụ: (BT 39 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )

2
5

x 2 5x

3

x2y

thành nhân
tử.
+ Giáo viên gợi ý: Ta xác định nhân tử chung như sau: Phần bi ến là
x2 Giải:
Phân tích đa thức

2 x 2 5x 3 x 2 y

2 5x y

5

= x2 ( 5
)
* Dạng bài đặt hệ số và cả đặt biến

chung. Ví dụ: (BT 39 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr
19 )
Ta có:

2. x y 1

2y y 1


5

thành nhân
tử.
+ Giáo viên gợi ý: Ta xác định nhân tử chung như sau:
Phân tích đa thức

5


2

5

Phần hệ số là: ; Phần biến là: y -1
Giải:
2. x y 1
5

2y y 1
5

2
5

.(y - 1).(x –
y).
* Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các
hạng tử.
Ví dụ: (BT 39 e/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )
Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý : Đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ng ược l ại đ ể xu ất
hiện nhân tử chung.
Phần hệ số là: 2 (ƯCLN(8,10)); Phần biến là: x –
y. Giải:
Ta có: 10x(x - y) - 8y(y - x) = 10x(x - y) + 8y(x - y)
= 2(x - y).5x + 2(x - y).4y = 2(x - y)(5x + 4y)
2.3.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp dùng hằng đẳng thức có mục đích là để đưa một đa
thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
a. Phương pháp:
Các hằng đẳng thức thường dùng là:
1. A2+2AB+B2=(A+B)2
2. A2-2AB+B2=(A-B)2
3. A2-B2=(A-B)(A+B)
4. A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3
5. A3-3A2B+3AB2-B3=(A-B)3
6. A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
7. A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)
- Để sử dụng được phương pháp này học sinh cần phải:
+ Nhận dạng hằng đẳng thức có thể phân tích qua số mũ các hạng tử

trong đa thức hoặc thông qua số hạng tử và các hệ số của các h ạng t ử đó.
Có trường hợp cần thay đổi vị trí của các hạng tử để nhận dạng hằng đẳng
thức dễ dàng hơn.
+ Phân tích đa thức theo dạng hằng đẳng thức đã chọn để xác định
nhân tử.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 1: Bình phương của m ột
tổng.
Ví dụ: (BT 43 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
Phân tích đa thức x2 + 6x + 9 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
Đa thức x2 + 6x + 9 thuộc dạng hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 = (A +
B)2.
Giải:
Ta có:

=


Ta có: x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 . x . 3 + (3)2 = (x + 3)2


hiệu.

B)2.

* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 2: Bình phương của m ột
Ví dụ: (BT 43 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20 )
Phân tích đa thức 10x – 25 - x2 thành nhân
tử. + Giáo viên gợi ý:

Đa thức 10x – 25 - x2 thuộc dạng hằng đẳng thức A2 - 2AB + B2 = (A Giải:
Ta có: 10x – 25 - x2 = - (x2 - 10x + 25) = - ((x)2 - 2.x.5 + (5)2) = - (x - 5)2
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình
phương. Ví dụ: (BT 43 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20 )
Phân tích đa thức

64 y2

1 x2

25

thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý:
Đa thức

25

1 x 264 y2

thuộc dạng hằng đẳng thức A2 - B2 = (A - B)(A + B)

Giải:
1
Ta có:

25

x

2

64 y

1

tổng.

1

2

=5

x 8y

2

8y

x

1

2

x 8y

=5

5
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 4: Lập ph ương của m ột
Ví dụ: (BT 44 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
Phân tích đa thức

8 x 3 12 x 2 y 6xy 2 y3

thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý:
thuộc dạng hằng đẳng thức:
A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3
Giải:
Đa thức 8 x

3

12 x 2 y 6xy 2

Ta có: 8 x 3 12 x 2 y
2x

hiệu.

y3

6xy 2 y3

y

=

2 x 2 3.(2 x ) 2 . y

3.2 x. y 2

y3

=

3

* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 5: Lập phương của m ột
Ví dụ: (BT 44 e/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
x 9 x 2 27 x 27
Phân tích đa thức 3
thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
x 9 x 2 27 x 27
Đa thức 3
thuộc dạng hằng đẳng thức:
A3-3A2B+3AB2-B3=(A-B)3
Giải:
Ta có:

x

3

9 x

2

27 x 27 =

= x3

x 3 9 x 2 27 x 27
3. x 2 .3 3. x.32 33


=

x 33

* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 6: Tổng hai l ập ph ương.
Ví dụ: (BT 44 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
x3

1

27

Phân tích đa thức
+ Giáo viên gợi 1
ý:

thành nhân tử.

x3

27
Đa thức
thuộc dạng hằng đẳng thức:
A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
Giải:

Ta có:

x

1

3

x

13

3

27 =

1

x x
3

3

1

2

3

x

1
9

=

* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 7: Hiệu hai l ập
phương. Ví dụ: (BT 43 c/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
8x3

Phân tích đa thức

1
8 thành nhân

tử.
8x3

1

+ Giáo viên gợi ý: Đa thức
8 thuộc dạng hằng đẳng thức:
A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)

Giải:
3

Ta có:

8x

1

2x

8 =
2x

2x

=

2

1

2

4x

1

3

1

3

x

2

2

2 x 2 x.

1

12

2

2

1

2
4
=
2.3.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử có mục đích là lựa chọn các h ạng
tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng
sau là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.
a. Phương pháp:

- Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức trong
đa
thức
- Bước 2: Nhóm các hạng tử đã phát hiện lại để áp dụng phương
pháp hằng đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử
chung: Ví dụ: (BT 47 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 22)
Phân tích đa thức xz + yz - 5(x + y) thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Nhóm xz + yz và -5(x + y)
Giải:
Ta có: xz + yz - 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z - 5)


* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng
thức. Ví dụ: (BT 48 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 22)
Phân tích đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân
tử. + Giáo viên gợi ý: Nhóm x2 + 4x + 4 và - y2
Giải:
Ta có:
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp
trên: Ví dụ: (BT 48 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 22)
3 x 2 6 xy 3 y 2 3z2
Phân tích đa thức
thành nhân tử.
+

Giáo viên gợi ý: - Nhóm

3 x 2 6 xy 3y2

- Đặt 3 làm nhân tử chung. Rồi sử dụng hằng đẳng thức số 1 và số
3. Giải:
Ta có: 3 x

2

6 xy 3 y 2 3z2 = 3.( x 2

=

2 xy y 2 ) 3z2

3.( x y ) 2 3z2
=
(Dùng hằng đẳng thức số 1)
3. x y 2 z2
3. x y z x y z

(Đặt nhân tử chung)

(Dùng hằng đẳng thức số 3)
2.3.4. Phương pháp: Phối hợp nhiều phương pháp.
Phối hợp nhiều phương pháp là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các
phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng
tử.
a. Phương pháp:
Để p hối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành

nhân tử cần chú ý các bước sau đây:
+ Bước 1: Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn
giản đa thức.
+ Bước 2: Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Bước 3: Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung,
hoặc là hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi
dấu hạng tử.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Dạng bài kết hợp phương pháp đặt nhân tử chung và hằng
đẳng
thức.
Ví dụ: (BT 51 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)

=

Phân tích đa thức

x3

2x 2 x

thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, rồi dùng
hằng đẳng thức số 2.
Giải:
x. x 2 2 x 1
3
2

Ta có: x

2x

x=

=

x. x 1 2

(Đặt nhân tử chung)

(Dùng hằng đẳng thức)


thức.

* Dạng bài kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng


Ví dụ: (BT 51 c/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
2 xy x 2 y2 16
Phân tích đa thức
thành nhân tử
+ Giáo viên gợi ý: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, rồi dùng h ằng
đẳng thức số 3.
Giải:
x2
2xy y2
16

2
2

Ta có: 2 xy

x

16 =

y

=

42

x y2

(Nhóm các hạng tử)

(Dùng hằng đẳng thức)

4 x y.4 x y

=
(Dùng hằng đẳng thức)
*. Dạng bài kết hợp phương pháp đặt nhân tử chung, nhóm
hạng tử và hằng đẳng thức .
Ví dụ: (BT 51 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
2 x 2 4 x 2 2 y2
Phân tích đa thức

thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, nhóm
hạng tử, rồi dùng hằng đẳng thức.
2. x 2 2 x 1 y2
2
2

Giải: Ta có: 2 x

4x 2 2y

=

(Đặt nhân tử chung)

= 2.[(x2 +2x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử)
= 2.[(x + 1)2 – y2] (Dùng hằng đẳng thức)
= 2.(x + 1 - y)(x + 1 + y)
2.3.5. Phương pháp tách hạng tử .
Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xu ất hi ện
các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
nhóm nhiều hạng tử.
a. Phương pháp:
Đối với đa thức có dạng ax2 + bx + c có thể thực hiện phương pháp
tách hạng tử bậc nhất hoặc hạng tử có giá trị không đổi (tự do), cụ thể như
sau:
- Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử
. Thực hiện các bước như sau:
+ Bước 1: Tìm tích 2 số a và c.
+ Bước 2: Tìm 2 số nguyên tố b1 , b2 có tổng bằng b và có tích bằng

a.c. Khi đó bx được tách thành 2 hạng tử bậc nhất b 1 x và b2x
Sau khi tách xong thì dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt
nhân tử chung.
- Cách 2: Tách hạng tử không đổi (tự do) thành 2 hạng tử r ồi đ ưa đa
thức về dạng hiệu hai bình phương hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và
có nhân tử chung với hạng tử còn lại.
b.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (BT 53 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
Phân tích đa thức

x2

3x 2

thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý:
Cách 1: Tách hạng tử bậc 1: - 3x = - x – 2x
Cách 2: Tách hạng tử tự do: 2 = - 4 + 6


Giải:


Cách 1: Tách hạng tử bậc 1.
x2 x
2
2
3x 2=x

x

x 2x 2=

xx 1 2x 1

2

(Nhóm các hạng tử)

(Đặt nhân tử chung)

=
=

2x

x 1 x 2.

Cách 2: Tách hạng tử tự do.
x2 3x 2=x2

=x
=
=

2

3x 4 6

(Nhóm các hạng tử)

4 3x 6

x 2 x 2 3x 2
x 1 x 2

(Dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)

(Đặt nhân tử chung).

Ví dụ 2: (BT 57 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 25)
Phân tích đa thức

x2

4x 3

thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý:
Cách 1: Tách hạng tử bậc 1: - 4x = - x – 3x
Cách 2: Tách hạng tử tự do: 3 = 4-1
Giải: Cách 1: Tách hạng tử bậc 1.
x2 4x 3=x2

=

x2 x

x 3x 3

3 x 3 (Nhóm các hạng tử)

x. x 1 3 x 1

=

(Đặt nhân tử chung)

= x 1 x 3

Cách 2: Tách hạng tử tự do.
x2 4x 3=x2

4x 4 1

=

x2 4x 4

=

x 2 2 12

1 (Nhóm các hạng tử)

=

x 1 x 3 (Dùng hằng đẳng thức)

2.3.6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương

pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Phương pháp:
+ Bước 1: Dựa vào hạng tử của đa thức để nhận dạng phương pháp
đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức.
+ Bước 2: Nhóm các hạng tử thuộc dạng đã được xác định với nhau và
phân tích tiếp. Yêu cầu khi phân tích đó phải xuất hiện dạng đặt nhân t ử
chung.
+ Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng
thức.
Ví dụ : (BT 57 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 25)


Phân tích đa thức

x4 4

thành nhân tử.


+ Giáo viên gợi ý: Thêm bớt hạng tử
4x2
Giải:

Ta có: x
=x2

4

4=x4
22

4 x 2 4 4x2

2x 2 (Dùng

=

x4 4x24

4x2

(Nhóm các hạng tử)

hằng đẳng thức)

= (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x).
* Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử
chung. Ví dụ : Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Thêm và bớt x3, x2, x .
Giải:
Ta có: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
* Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung và
hằng đẳng thức.
Ví dụ : Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Thêm và bớt x
. Giải:
Ta có: x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1
= x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) (Nhóm các hạng tử)
= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) (Dùng hằng đẳng thức)
= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) (Đặt nhân tử
chung)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1).
2.4. Hiệu quả thực hiện:
Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng vận dụng ba phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử của HS khối 8 năm học 2017 - 2018:
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này tôi nh ận
thấy: Kết quả học tập của học sinh được nâng lên, đặc biệt là các em h ứng
thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành
nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến vi ệc phân tích đa th ức đ ạt
kết quả tốt. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng các ph ương pháp phân
tích thông thường một cách thành thạo, một số em học sinh có kỹ năng nắm
vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã
được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các ph ương pháp này
các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các ki ến th ức m ới cũng
như việc hình thành một số thủ thuật trong quá trình học tập và giải toán
khi học bộ môn Toán.
Lớp
(sĩ số)

Kĩ năng đặt nhân tử

chung.
Hs đạt
Tỉ lệ

Kĩ năng dùng hằng
đẳng thức.
Hs đạt
Tỉ lệ

Kĩ năng nhóm các
hạng tử.
Hs đạt
Tỉ lệ


yêu cầu
%
yêu cầu
%
yêu cầu
%
8A1 (32 HS)
29
90,6
28
87,5
27
84,4
8A2 (34 HS)
28

82,4
27
79,4
26
76,5
Như vậy, so với trước khi áp dụng SKKN này, hiểu biết về các nhóm kĩ
năng của HS đều có sự tiến bộ rõ rệt: Cụ thể:
Kĩ năng đặt nhân tử chung: tăng 59,2% so với trước khi áp dụng.
Kĩ năng dùng hằng đẳng thức: tăng 60,7% so với trước khi áp dụng.
Kĩ năng nhóm các hạng tử: tăng 57,6% so với trước khi áp dụng.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng trải suốt chương
trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng
toán khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Vì vậy việc giúp học sinh phát
hiện các phương pháp để thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử và các bài
toán liên quan là vấn đề thật sự quan trọng và rất cần thiết.
Từ thực tế giảng dạy cho thấy: Các phương pháp nghiên cứu trong đề tài
được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và
phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát
triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán
đoán, tổng hợp kiến thức.
Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả
thì giáo viên và học sinh cần phải có những yêu cầu sau:
1. Đối với học sinh:
- Xac đinh cho minh đông cơ hoc tâp đung đắn, hoc tâp đê co kiên thưc
va ky năng để vận dụng vào cuộc sống sau này.
- Học sinh cần nắắ́m chắắ́c các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ
năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài
tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và

khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
2. Đối với giáo viên:
- Giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ,
hứng thú học tập của học sinh. Trong quá trình dạy phải chú ý khắắ́c sâu kiến
thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học và tự học.
- Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi các bài tập liên quan, cách
giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh nắắ́m vững
chắắ́c hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một
cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng


và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách đa dạng hơn trong giải toán.
- Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học
sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan tới việc phân tích
đa thức thành nhân tử.
- Giáo viên khi giảng bài nên tao ra cac tinh huông co vân đê môt cach di
dỏm, nhẹ nhang; nêu câu hỏi đăt vân đê; câu hỏi dẫn dắt gơi mở phu hơp vơi đôi
tương hoc sinh yêu; giang ki va hương dẫn môt cach ti mi.
- Bai tâp chon chưa phai vưa sưc vơi hoc sinh; giao viên chia môt bai tâp
ra thanh nhiêu phân; nhiêu y; sau đo hương dẫn hoc sinh giai qua nhiêu bươc
nhỏ đơn gian.
- Giao viên chi ra cho hoc sinh thây đươc vai tro, tac dung cua kiên thưc
Toan hoc trong thưc tiên đơi sông cua cac em.
3.2. Kiến nghị.
a) Đối với Nhà trường:
- Nhà trường tô chưc đươc cac buôi ngoai khoa cho hoc sinh vê phương
phap hoc tâp bô môn; biêu dương nhưng hoc sinh giỏi; nhưng tâm gương hoc
sinh vươt kho vươn lên trong hoc tâp, lam tâm gương sang đê cac hoc sinh khac
phân đâu noi theo.

- Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp
trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
b) Đối với Phòng Giáo dục:
- Tổ chức thêm nhiều buổi tập huấn chuyên đề về hướng dẫẫ̃n xây dựng
đề tài NCKH và viết SKKN cho giáo viên.
- Tổ chức các chuyên đề toán để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao
đổi học hỏỏ̉i các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân về “Hướng dẫn học
sinh lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng nghiên
cứu bài học”, được đúc kết từ thực tế giảng dạy, từ kết quả học tập của HS và
học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp. Tuy nhiên chắắ́c chắắ́n còn những giải pháp
khác để học sinh học tốt hơn mà bản thân cần phải học hỏỏ̉i. Kính đề nghị hội
đồng khoa học các cấp xem xét, điều chỉnh và bổ sung để qua đó nhằm rèn
luyện tay nghề của tôi ngày một vững vàng hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN
VỊ

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2019 Tôi
xin cam đoan đây là SKKN của
................................................................. mình viết, không sao chép nội dung của
................................................................ người khác.
Giáo viên
.


.................................................................
.................................................................
.................................................................

Phạm Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 8.
2. Phương pháp giải các dạng bài toán toán 8 - Nguyễn Văn Nho - NXBGD.
3. Toán bồi dưỡng đại số 8- Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều NXBGD.
4. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – NXBGD
5. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa
XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.


DANH MỤỤ̣C
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Hằng.
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Quang Trung, Ngọc
Lặc.
TT
1.
2.

Tên đề tài SKKN
Hướng dẫẫ̃n học sinh tìm lời giải
cho các bài toán
Hướng dẫẫ̃n học sinh chứng minh
tam giác đồng dạng

xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá xếp
loại

Sởỏ̉ GD&ĐT

B

2008-2009

Phòng GD&ĐT

B

2011-2012

Cấp đánh giá