D01 từ 1 điểm đến 1 đường thẳng muc do 2

Câu 26:

[1H3-5.1-2]
(THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương
ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng
a 6
a 6
a 3
a 3
A.
B.
C.
D.
3
2
3
2
Lời giải
Chọn C

Do ABCD. ABCD là hình lập phương cạnh a nên tam giác ABD là tam giác đều có cạnh
bằng a 2 . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD là AO 
Câu 1389:

a 2 

3

2



a 6
.
2

[1H3-5.1-2] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và

OA  3a, OB  2a, OC  a . Gọi d là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Khi đó, tỉ số
bằng:
A.

2
3

B.

5
7

C.

3
8

Lời giải
Chọn B

Dựng OH  BC ta có OA  BC  BC  AH
Khi đó d  A, BC   AH  OA2  OH 2
Mặt khác OH 

OB.OC
OB 2  OC 2



2a
4 7a
 AH  9  
5
5
5

D.

6
5

a
d


Do đó tỷ số

a
5
.

d
7

[1H3-5.1-2] Cho tứ diện SABC trong đó SA , SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một
và SA  3a , SB  a , SC  2a .Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Câu 2396.

A.

3a 2
.
2

B.

8a 3
.
3
Lời giải.

7a 5
.
5

C.

D.

5a 6
.
6

Chọn B
B

H

a

?
S

2a
C

3a

A

+ Dựng AH  BC  d  A, BC   AH .

 AS   SBC   BC  AS  BC
+
, AH cắt AS cùng nằm trong  SAH  .

 AH  BC

 BC   SAH   SH  BC  SH .
Xét trong SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

4a 2

1
1
1
1
1
5
2a 5
2
.
 SH 
 2
 2  2  2  SH 
2
2
5
5
SH
SB
SC
a
4a
4a
+ Ta dễ chứng minh được AS   SBC   SH  AS  SH  ASH vuông tại S .
Áp dụng hệ thức lượng trong ASH vuông tại S ta có:

AH 2  SA2  SH 2  9a 2 
Câu 2397.

4a 2 49a 2
7a 5


.
 AH 
5
5
5

[1H3-5.1-2] Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh

bằng a . Biết AC  a 2 và M làtrung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng
AM bằng
A. a

2
.
3

B. a

6
.
11

C. a
Lời giải.

Chọn B

7
.

5

D. a

4
.
7


A

a 2

?
a

H
a

C

D
a

M

B

Dựng CH  AM  d  C, AM   CH .
Vì BCD là tam giác đều cạnh a và M làtrung điểm của BD nên dễ tính được CM 

a 3
.
2

Xét ACM vuông tại C có CH là đường cao, ta có:

1
1
1
1
1
11
6
6a 2
2





 CH  a
.

CH

2
2
2
2

2
2
3a
CH
CA CM
2a
6a
11
11
4
Câu 2398.

[1H3-5.1-2] Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh

bằng a . Biết AC  a 2 và M làtrung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD
bằng:
A.

3a 2
.
2

B.

2a 3
.
3

C.

4a 5
.
3

D.

a 11
.
2

Lời giải
Chọn D

 AC  BD
 BD  AM (Định lý 3 đường vuông góc)  d  A; BD   AM .
Ta có: 
CM  BD
CM 

a 3
(vì tam giác BCD đều).
2

3a 2 a 11

Ta có: AM  AC  MC  2a 
.
4
2
2

Câu 2399.

2

2

[1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thoi cạnh

bằng a và Bˆ  60 . Biết SA  2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .


A.

3a 2
.
2

B.

4a 3
.
3

C.

2a 5
.
5

D.

5a 6
.
2

Lời giải
Chọn C.

Kẻ AH  SC , khi đó d  A; SC   AH .
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ  60  ABC đều nên AC  a .
1
1
1
Trong tam giác vuông SAC ta có:
 2
2
AH
SA
AC 2
SA. AC
2a.a
2 5a
.
 AH 


2
2
2

2
5
SA  AC
4a  a
Câu 2401.
[1H3-5.1-2] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên
và mặt đáy bằng  . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
A. a 2 cot  .

B. a 2 tan  .

C.

a 2
cos .
2

D.

a 2
sin  .
2

Lời giải
Chọn D.

SO   ABCD  , O là tâm của hình vuông ABCD . Kẻ OH  SD , khi đó d  O; SD   OH ,   SDO .
Ta có: OH  OD sin  
Câu 2402.

a 2
sin 
2

[1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi

một. Biết SA  3a , AB  a 3 , BC  a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng
A. a 2 .

C. 2a 3 .

B. 2a .
Lời giải

Chọn B.

D. a 3 .


Vì SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB  SB .
Kẻ BH  SC , khi đó d  B; SC   BH .
Ta có: SB  SA2  AB 2  9a 2  3a 2  2 3a .
Trong tam giác vuông SBC ta có:
1
1
1
SB.BC
 BH 
 2a .
 2

2
2
BH
SB
BC
SB 2  BC 2

Câu 2417.

[1H3-5.1-2] Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh

bằng a . Biết AC  a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng
A. a

2
.
3

B. a

6
.
11

C. a

7
.
5

D. a

4
.
7

Lời giải.
Chọn B.
A

a 2

?
a

H
a

C

D
B

M

a

Dựng CH  AM  d  C, AM   CH .
Vì BCD là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được CM 
Xét ACM vuông tại C có CH là đường cao, ta có:

1
1
1
1
1
11
6
6a 2
2





 CH  a

CH

.
2
2
2
2
2
2
3a
CH
CA CM
2a
6a

11
11
4
Câu 2514. [1H3-5.1-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có
khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD :

a 3
.
2

AB  a, AD  b, AA  c . Tính


a b2  c 2

A.

a 2  b2  c 2

.

b b2  c 2

B.

.

a 2  b2  c 2

c b2  c 2

C.

a 2  b2  c 2

.

D.

abc b 2  c 2
a 2  b2  c 2

.

Lời giải
Chọn A
D'

C'
B'

A'

c
H

b

C

D
a

A

B

Do AB  AD nên tam giác ABD vuông tại A . Trong tam giác ABD kẻ đường cao AH thì

AH  d  A, BD
Trong tam giác ADD ta có:

AD  AD2  DD2  b2  c 2
BD  AB2  AD2  a 2  b2  c 2
Xét tam giác ADD :

AH .BD  AB. AD  AH 
Vậy d  A, BD  

Câu 2518:

AB. AD
a b2  c 2

BD
a 2  b2  c 2

a b2  c 2
a 2  b2  c 2

.

[1H3-5.1-2] Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm của đáy và

a 3
. Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu của O lên SI . Tính khoảng cách
3
từ điểm O đến SA.
SO 

A.

a 5
.
5

B.

a 3
.
3

a 2
.
3
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dựng OH  SA tại H  d  O, SA  OH

C.

D.

a 6
.
6


Ta có OA 

1
1 a 3
a 6
2
2 a 3 a 3
. 2
.
AI  .

 SO . Suy ra: OH  SA  .
2
2 3
6
3
3 3
3

Vậy d  O, SA 

a 6
. Vậy chọn đáp án D.
6

Câu 2519:
[1H3-5.1-2] Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm
C đến AC.
A.

a 6
.
7

B.

a 3
.
2

a 6
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

a 6
.

2

Chọn C.
D

C
B

A

H
C'

D'
A'

B'

Nhận xét rằng:
BAC '  CA ' A  DAC '  A ' AC  B ' C ' A  D ' C ' A nên khoảng cách từ các điểm
B, C, D, A ', B ', D ' đến đường chéo AC ' đều bằng nhau.
Hạ CH vuông góc với AC ' , ta được:
1
1
1
a 6
. Vậy chọn đáp án C.


 CH 

2
2
2
CH
AC CC '
3
Câu 2521:
[1H3-5.1-2] Cho tứ diện ABCD có AB   BCD  , BC  3a, CD  4a, AB  5a . Tam giác

BCD vuông tại B . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD .
A. a 34 .

B.

a
.
2

a
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

Chọn A.

Ta có: AC  CD  d  A, CD   AC

ABC vuông tại A  AC 2  AB2  BC 2   5a    3a   34a 2
2

 AC  a 34

2

a 3
.
2


Câu 2522:

[1H3-5.1-2] Cho tam giác ABC có AB  14, BC  10, AC  16 . Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng  ABC  tại A lấy điểm O sao cho OA  8 . Khoảng cách từ điểm O đến
cạnh BC là:
A. 8 3.

B. 16.

C. 8 2.
Hướng dẫn giải

D. 24.

Chọn B.

Nửa chu vi tam giác ABC : p 

14  16  10
 20.
2

S ABC  20. 20  14  20  16  20  10   40 3.
2S ABC 80 3

 8 3.
BC
10
Nối OH thì OH  BC . Khoảng cách từ O đến BC là OH :
AH 

OH  OA2  AH 2  16. Vậy chọn đáp án B.
Câu 21: [1H3-5.1-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a , AB AC a . Gọi M là điểm
2a
thuộc AB sao cho AM
. Tính khoảng cách d từ điểm S đến đường thẳng CM .
3
2a 110
a 110
2a 10
a 10
A. d 
.
B. d 
.

C. d 
.
D. d 
.
5
5
5
5
Lời giải
Chọn C


4a 2 2a 10
a 2 a 10
, SM  4a 2 
, SC


9
9
3
3
MC SC
.
2

Ta có CM  a 2 
Đặt p

SM

Diện tích tam giác SMC : S

SMC

p p SM

p CM

p SC

a 6.

a 2 11
3

a 110
2S SMC
.
5
CM
(SGD Đồng Tháp - HKII 2017 - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có SA

Suy ra khoảng cách từ S đến CM : SH
Câu 4:

[1H3-5.1-2]

vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình thang vuông có đáy lớn AD gấp đôi đáy
nhỏ BC , đồng thời đường cao AB  BC  a . Biết SA  a 3 , khi đó khoảng cách từ đỉnh B

đến đường thẳng SC là.
A. a 10

B. 2a

C.

2a 5
5

D.

a 10
5

Lời giải
Chọn C

 BC  AB
Ta có: 
 BC  SB  SBC vuông tại B .
 BC  SA
Trong SBC dựng đường cao BH  d  B; SC   BH .

SB  2a ;

1
1
1
 BH 

 2
2
BH
SB
BC 2

BS .BC
BS 2  BC 2



2a 5
.
5

Câu 401: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a
và Bˆ  60 . Biết SA  2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .
A.

3a 2
.
2

B.

4a 3
.
3

C.

Lời giải

Chọn C

2a 5
.
5

D.

5a 6
.
2


Kẻ AH  SC , khi đó d  A; SC   AH .
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ  60  ABC đều nên AC  a .
Trong tam giác vuông SAC ta có:
1
1
1
 2
2
AH
SA
AC 2
SA. AC
2a.a
2 5a
.

 AH 


2
2
2
2
5
SA  AC
4a  a
Câu 402: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  , SA  2a , ABCD là hình vuông cạnh
bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC .
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
4

C.

a 2
.
3

D.

a 2
.
4

Lời giải
Chọn A

Kẻ OH  SC , khi đó d  O; SC   OH . Ta có: SAC

OHC (g.g) nên:

OH OC
OC

 OH 
.SA .
SA SC
SC
1
a 2
Mà: OC  AC 
, SC  SA2  AC 2  a 6 .
2
2
OC
a
a 3
.SA 


Vậy OH 
.
SC
3
3

Câu 403: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và
mặt đáy bằng  . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:
A. a 2 cot  .

B. a 2 tan  .

C.

a 2
cos .
2

D.

a 2
sin  .
2


Lời giải
Chọn D

SO   ABCD  , O là tâm của hình vuông ABCD .

Kẻ OH  SD , khi đó d  O; SD   OH ,   SDO .
Ta có: OH  OD sin  

a 2
sin  .
2

Câu 404: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một.
Biết SA  3a , AB  a 3 , BC  a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng:
A. a 2 .

C. 2a 3 .

B. 2a .

D. a 3 .

Lời giải
Chọn B

Vì SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB  SB .
Kẻ BH  SC , khi đó d  B; SC   BH .
Ta có: SB  SA2  AB 2  9a 2  3a 2  2 3a .
Trong tam giác vuông SBC ta có:
1
1
1
SB.BC
 BH 
 2a .

 2
2
2
BH
SB
BC
SB 2  BC 2
Câu 411: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp O. ABC có đường cao OH 

2a
. Gọi M và N lần lượt là trung
3

điểm của OA và OB . Khoảng cách giữa đường thẳng MN và  ABC  bằng:
A.

a
.
2

B.

a 2
.
2

C.
Lời giải

Chọn D

a
.
3

D.

a 3
.
3


Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB MN //  ABC  .
1
a 3
Ta có: d  MN ;  ABC    d  M ;  ABC    OH 
(vì M là trung điểm của OA).
2
3

Câu 896. [1H3-5.1-2]Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , cạnh bên SA vuông
góc với đáy, M là trung điểm BC , J là trung điểm BM . Kí hiệu d ( A,( SBC )) là khoảng cách
giữa điểm A và mặt phẳng ( SBC ) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d ( A,(SBC ))  AK với K là hình chiếu của A lên SC .
B. d ( A,(SBC ))  AK với K là hình chiếu của A lên SJ .
C. d ( A,(SBC ))  AK với K là hình chiếu của A lên SB .
D. d ( A,(SBC ))  AK với K là hình chiếu của A lên SM .
Lời giải
Chọn D
S

K

C

A
J

M

B

 BC  SA
 BC  (SAM )
Ta có 
 BC  AM
Với K là hình chiếu vuông góc của A lên SM  AK  (SAM )

 AK  SM
 AK  (SBC )  d ( A,(SBC))  AK .
ta có 
 AK  BC
Câu 897. [1H3-5.1-2]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh bên SA vuông
góc với đáy, H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SI, SD . Kí hiệu d ( A,( SBD)) là khoảng
cách giữa điểm A và mặt phẳng (SBD ) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d ( A,(SBD))  AH . B. d ( A,(SBD))  AI . C. d ( A,(SBD))  AK . D. d ( A,(SBD))  AD .


Lời giải
Chọn A

S
K

j

H
A

D
I
C

 BD  AI (vi ABCD la hinh thoi )
Tacó: 
 BD  SA(vi SA  ( ABCD))
 BD  ( SAI )  ( SBD)  ( SAI ) ( vi BD  ( SBD)).
Mặt khác:

( SBD)  ( SAI )  SI .

AH  SI
Suy ra AH  (SBD) hay d ( A,(SBD))  AH .

Câu 899. [1H3-5.1-2]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt phẳng (SAB )
vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  SB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

45 . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ABCD ) được kết quả
A.

a 3

.
2

B.

a 5
.
2

C.

a
.
2

D.

a 2
2 .

Lời giải
Chọn B
S

45°

C

A
H

B

D

Gọi H là trung điểm AB . Do  SAB cân tại S nên SH  AB .
Ta có ( SAB )  ( ABCD ), ( SAB )  ( ABCD )  AB .
Do đó SH  ( ABCD ) , hay d ( S , ( ABCD ))  SH .
Hình chiếu của SC lên mặt đáy là HC nên góc tạo bởi SC và mặt đáy ABCD là góc


SCH  45 .
Do đó: SH  HC 

AC 2  AH 2  a 2 

a2 a 5

.
4
2


Câu 900. [1H3-5.1-2]Cho lăng trụ ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB  a ,
AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm


AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng ( ADDA) và ( ABCD ) bằng 60 . Tính khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng ( ABD ) theo a được kết quả

A.

a 2
.
2

B.

a 3
.
2

C.

a
.
2

D.

a 5
2 .

Lời giải
Chọn B
A'

B'
C'

D'

A
H
D

B

K

60°

O
C

Ta có: AB // DC và BD // BD , suy ra ( ABD ) //( BDC ) .
Do đó: d ( B, ( ABD))  d (( ABD), ( BDC ))  d (C, ( ABD))  CK (với K là chân đường vuông
góc kẻ từ C đến BD ).
Ta có

a 3
1
1
1
1
1
4
.


 2  2  2 , suy ra CK 

2
2
2
2
CK
BC
DC
a
3a
3a

Câu 34: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh
bằng a . Biết AC  a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD
bằng:
a 11
3a 2
2a 3
4a 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
3
3

Lời giải
Chọn D

Do M là trung điểm của BD nên CM vừa là trung tuyến
vừa là đường cao của BCD .
 BD  CM
 BD   ACM   BD  AM
Ta có: 
 BD  AC


Vậy d  A; BD   AM .
Xét ACM có AC  a 2 ; CM 

AM  AC 2  CM 2  2a 2 

a 3
2

3a 2 a 11
a 11
.

 d  A; BD  
4
2
2

Câu 35: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a
và B  600 . Biết SA  2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .

3a 2
4a 3
2a 5
A.
.
B.
.
C.
.
2
3
5
Lời giải
Chọn C

D.

5a 6
.
2

Kẻ AH  SC trong  SAC  . Vậy d  A; SC   AH .
Do ABC cân và ABC  600 nên ABC đều
 AC  a
1
1
1
1
1
 2

 2 2
Xét SAC có:
2
2
AH
SA AC
4a a
2a 5
 AH 
 d  A; SC  .
5
Câu 34: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh
bằng a . Biết AC  a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD
bằng:
a 11
3a 2
2a 3
4a 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
3
3

Lời giải
Chọn D


Do M là trung điểm của BD nên CM vừa là trung tuyến
vừa là đường cao của BCD .
 BD  CM
Ta có: 
 BD   ACM   BD  AM
 BD  AC
Vậy d  A; BD   AM .

Xét ACM có AC  a 2 ; CM 

AM  AC 2  CM 2  2a 2 

a 3
2

3a 2 a 11
a 11

.
 d  A; BD  
4
2
2

Câu 35: [1H3-5.1-2] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a
và B  600 . Biết SA  2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .

3a 2
4a 3
2a 5
A.
.
B.
.
C.
.
2
3
5
Lời giải
Chọn C

D.

5a 6
.
2

Kẻ AH  SC trong  SAC  . Vậy d  A; SC   AH .
Do ABC cân và ABC  600 nên ABC đều
 AC  a
1
1
1
1
1
 2

 2 2
Xét SAC có:
2
2
AH
SA AC
4a a
2a 5
 AH 
 d  A; SC  .
5
Câu 736. [1H3-5.1-2] Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là a, b, c.
A.

1 2 2 2
a b c .
2

B.

a  b  c.

C.

a 2  b2  c 2 .

D.

1
a  b  c.

2

Lời giải
Chọn C


B'

C'

A'

D'
B

c

C

b

A

a

D

Có AC  AC 2  A A2  AD2  AB2  A A '2  a2  b2  c 2 .