Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH
VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:

1) Định lí Pitago: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình
phương của hai cạnh góc vuông

BC 2 = AB 2 + AC 2
Hay là: a2 = b2 + c2
2. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và
hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

Hay là:

AC 2 = CH .BC

AB 2 = BH .BC

b2 = ab
. ';

c2 = ac
. '

3. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai
hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
AH 2 = HB.HC

Hay là: h2 = b'.c '
4. Trong một tam giác vuông, Tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường
cao tương ứng.
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 1


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

AH .BC = AB.AC

.
Hay là: a.h = bc
5. Trong một tam giác vuông, Nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

1
1
1
=
+
2
2
AH
AC
AB 2
1

1
1
=
+
Hay là: h2 b2 c2
1
2

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S = ab
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, nếu biết độ dài hai trong sáu
đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại
Bài 1: Tính x, y trong mỗi hình vẽ sau
A

A

8

6

7

5
x

B

x

H

C

y

B

C

H
y

A

A

y

x

y
5

B

1

H

4

C

B

7

H

x

C

HD:
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 2


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

a. Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
Dùng định lý pytago tính BC = 10 (cm) ⇒ x = 3, 6(cm); y = 6, 4(cm)
b. Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
Dùng định lý pytago tính được: BC = 74 ⇒ x =

35 74

; y = 74
74

c. Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
AH 2 = HB.HC ⇔ AH 2 = 4 ⇒ AH = 2 ⇒ x = 5; y = 2 5

d. Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
AH 2 25
25
5 41
AH = HB.HC ⇔ HC =
=
⇒ x= ;y =
HB
7
4
4
2

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC,
AH, BH, CH hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết:
a) AB = 15cm; BC = 25 cm

b) BH = 18 cm; CH = 32 cm

c) AB = 6 cm; BH = 3,6 cm

d) AC = 12 cm; AH = 7,2 cm

e) AH = 7,2 cm; CH = 9,6 cm

f) BC = 25cm; AH = 12cm (AB
HD:

a) Tính AC,CH,BH,AH?
+) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có :
AC 2 = BC 2 − AB 2 = 252 − 152 = 400 = 202
⇒ AC = 20(cm)

+) Áp dụng hệ thức lượng ta có:
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 3


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

*) AC2= BC.CH . Suy ra: 202= 25 . CH ⇒ CH = 400: 25 = 16(cm)
*) BH = BC – CH = 25 – 16 = 9(cm)
*) AH.BC = AB . AC. Suy ra: AH . 25 = 15. 20 ⇒ AH = 300: 25 = 12(cm)
b) Tính BC,AH,AB,AC?
*)Ta có : BC = BH + CH = 18 + 32 = 50 (cm)
*) AH2 = BH. CH = 18.32 = 576 ⇒ AH = 24 (cm)
*)AB2 = BC . BH = 50. 18 = 900 ⇒ AB = 30(cm)
*)AC2 = BC. CH = 50. 32 = 1600 ⇒ AC = 40(cm)
c) Tính CH, BC, AC, AH?
+) AB2 = BC . BH . Suy ra: 62 = BC . 3,6 ⇒ BC = 36 : 3,6 = 10(cm)
+)CH = BC - BH = 10 – 3,6 = 6,4(cm)

+) AH2 = BH. CH = 3,6. 6,4 = 4,8(cm)
+) AC2 = BC . CH = 10 . 6,4 = 64 ⇒ AC = 8(cm)
d)Tính AB, BC, BH, CH?
+)

HC 2 = AC 2 − AH 2 = 122 − 7, 22 = 92,16 = 9, 6 2
⇒ HC = 9, 6(cm)

+) AH2 = BH. CH. Suy ra: 7,22 = BH.9,6 ⇒ BH = 5,4(cm)
+) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm)
+) AB2 = BC . BH = 15. 5,4 = 81 ⇒ AB = 9(cm)
e)Tính AB, AC, BH, BC?
+) AH2 = BH. CH. Suy ra: 7,22 = BH.9,6 ⇒ BH = 5,4(cm)
+) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm)
+) AB2 = BC . BH = 15. 5,4 = 81 ⇒ AB = 9(cm)
+) AC2 = BC . CH = 15 . 9,6 = 144 ⇒ AC = 12(cm)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 4


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

f)Tính AB,AC,BH,CH?
Đặt BH = x , CH = y ( ĐK : x < y vì AB< AC)
+) BC = BH + CH ⇒ x + y = 25 ⇒ x = 25 – y
+)Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH2 = BH. CH ⇒ x. y = 144 ⇔ (25 – y).y = 144
y 2 − 25 y + 144 = 0
⇒ x1 = 9; x2 = 16

⇒ y1 = 16; y2 = 9

Vì x < y nên x = 9; y = 16 hay BH = 9(cm); CH = 16(cm)
+) AB2 = BC . BH = 25. 9 = 225 ⇒ AB = 15(cm)
+) AC2 = BC . CH = 25 . 16 = 400 ⇒ AC = 20(cm)
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ),
a) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm. Tính BH, CH, AC và AH
b) Cho biết BH = 9cm, CH = 16cm Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC và AH
HD:
A

4

3

B

5

H

C

a) Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
9
5

+) AB 2 = BH .BC ⇒ BH = = 1,8(cm) ⇒ CH = 3, 2(cm)
+) AC 2 = CB.BC ⇒ AC 2 = 5.3, 2 = 16 ⇒ AC = 4(cm)
+)

1
1
1
1 1 1 1
=
+
= 2 + 2 = + ⇒ AH = 2, 4(cm)
2
2
2
AH
AB
AC
3 4
9 16

b) Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 5


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm, AH = 12cm

Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), có: AC = 10cm , AB = 8cm. Tính
BC, BH, CH và AH.

A

10

8

B

C

H

HD:
Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 ( pytago)
⇒ BC = 2 41(cm)
2
+) AB = BH .BC ⇒ BH =

AB 2
64
32
=
=
(cm)
BC 2 41
41

+) CH = BC − BH = 2 41 −

+)

32
50
=
(cm)
41
41

1
1
1
1
1
1
1
=
+
= 2+ 2 =
+
⇒ AH = 6, 4(cm)
2
2
2
AH
AB
AC
8 10
64 100

Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), có: BH = 10cm , CH = 42cm. Tính

BC, AH, AB và AC.
A

B

HD:

10

H

42

C

Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), Áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác vuông, có:
+) BC = BH + HC = 52(cm)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 6


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

+) AB 2 = BH .BC = 10.52 = 520 ⇒ AB = 2 130(cm )
+) AH 2 = AB 2 − BH 2 ⇒ AH = 2 105(cm)
+) AC 2 = AH 2 + HC 2 ( pytago) ⇒ AC = 2 546(cm)
Bài 6: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết AB : AC = 5 : 12 và BC = 26

cm. Tính HB và HC.
A

B

C

H

HD:
Theo giải thiết ta có:

 AB = 5k
AB 5
AB AC
= ⇒
=
= k (k > 0) ⇒ 
AC 12
5
12
 AC = 12k

Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ),
Ta có: AB 2 + AC 2 = BC 2 ( pytago) ⇒ 25k 2 + 144k 2 = 262 ⇒ k = 2 ⇒ AB = 10; AC = 24(cm)
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB 2 102 50
50 288
AB = BC.BH ⇒ BH =
=

= (cm); HC = BC − BH = 26 −
=
(cm)
BC
26 13
13 13
2

Bài 7: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết

AB 5
= ; BC = 122 ( cm ) . Tính
AC 6

HB và HC

A

HD:

B

H

C

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 7

DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Làm tương tự, ta tính được: BH = 50cm, CH = 72cm
Bài 8: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), AB = 12cm , AC = 16cm, phân giác
AD. Tính độ dài đoạn HD.

A

16

12

B
H

C
D

HD:
Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
AB 2 + AC 2 = BC 2 ( pytago) ⇒ BC = 20(cm)

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB 2 = BC.BH ⇒ BH =

AB 2 12 2
=
= 7, 2(cm)

BC
20

+) Ta có AD là phân giác của góc BAC
⇒

DB AB 3
BD DC 20
=
= ⇒
=
=
(cm)
DC AC 4
3
4
7

⇒ DB =

20
60
60 36 552
.3 =
(cm) ⇒ HD = DB − BH =
−
=
(cm)
7
7

7
5
35

Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 6cm, BC = 10cm, phân giác trong và ngoài tại đỉnh B cắt
AC lần lượt tại M và N. Tính BM, BN?

N

A
M
6

8

x
B

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

C

Trang 8


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

HD:
Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:

AB 2 + AC 2 = BC 2 ( pytago) ⇒ AC = 8(cm)

+) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
AM AB 6 3
AM MC AC
=
=
= ⇒
=
=
= 1 ⇒ AM = 3(cm)
MC BC 10 5
3
5
8

+) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông BMn, ta có:
AB 2 = AM . AN ⇒ 36 = 3.AN ⇒ AN = 12(cm); MN = AM + AN = 15(cm)
BM 2 = MN . AM = 15.3 ⇒ BM = 3 5(cm); BN 2 = MN . AN = 15.12 ⇒ BN = 6 5(cm)

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác AD (D ∈ BC). Biết
DB = 15 cm, CD = 20 cm. Tính AH, AD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
HD:

Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :
AB BD 15 3
AB AC
AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 352
=

=
= ⇒
=
⇒
=
=
=
=
= 49
AC DC 20 4
3
4
9
16
9 + 16
25
25

( Định lý pytago và dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó AB2 = 9 . 49 ⇒ AB = 21 (cm)
AC2 = 16.49 ⇒ AC = 28(cm)
*) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
+) AH.BC = AB . AC. Suy ra: AH . 35 = 21 . 28 ⇒ AH =

21.28
= 16,8 (cm)
35

+) AB2 = BC . BH . Suy ra: 212 = 35 . BH ⇒ BH = 12,6(cm)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 9


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Vì BH < BD nên H nằm giữa B và D ⇒ HD = BD – BH = 15- 12,6 = 2,4 (cm)
+) Áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD vuông tại H ta có :
AD = AH 2 + HD 2 = 16,82 + 2, 42 = 12 2 (cm)

Bài 11: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm, còn tổng của hai
cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.
HD:

Giả sử theo gt tam giác ABC vuông tại A có

BC – AB = 1

và AB +AC – BC = 4

(1)
(2)

Từ (1) ⇒ BC = 1 + AB thay vào (2) ta được : AB + AC – 1 – AB = 4
Do đó AC = 5 (cm)
Mặt khác theo định lý py-ta-go ta có :
BC 2 − AB 2 = AC 2 = 25 ⇔ ( BC − AB ).( BC + AB ) = 25

Thay BC – AB = 1 ⇒ BC+ AB = 25 (3)

Từ (1) và (3) ta có : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm)
Vậy : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm); AC = 5 (cm)
Bài 12: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và
2. Hãy tính các cạnh của ∆ vuông này.
HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 10


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh
A

H

B

C

Giả sử tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH vuông góc với BC
Theo GT ta có BH = 1; HC = 2 ⇒ BC = BH + HC = 1 + 2 = 3
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
+) AB2 = BC . BH = 3.1 = 3 ⇒ AB = 3
+) AC2 = BC . CH = 3. 2= 6 ⇒ AC = 6
Vậy AB = 3 ; AC = 6 ; BC = 3
Bài 13: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5, còn đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính
cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
HD:

A

B

H

C

Cách 1:Xét ∆ABC vuông tại A có AB < AC ; AH = 2; BC = 5
Đặt BH = x ( Điều kiện 0 < x < 2,5 ) ⇒ HC = 5 - x
Theo định lý 2: BH . CH = AH2
⇒ x ( 5 − x ) = 22 ⇔ 5 x − x 2 = 4 ⇔ x 2 − 5x + 4 = 0
 x −1 = 0
 x =1
⇔ ( x − 1) ( x − 4 ) = 0 ⇔ 
⇔
x − 4 = 0
x = 4

x = 1 ( thỏa mãn); x = 4 ( không thỏa mãn)
Theo định lý 1 ta có: AB 2 = BC.BH = 5.1 = 5 ⇒ AB = 5
Cách 2 Giả sử tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có BC = 5cm, AH = 2 cm
Đặt AB = x ; AC = y ( ĐK: x >0; y > 0)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 11


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

*) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
AH.BC = AB . AC ⇒ x . y = 10 (1)
Áp dụng định lý pytago ta có
x 2 + y 2 = 25
⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy = 25
⇔ ( x + y ) 2 − 2.10 = 25
⇔ ( x + y ) 2 = 45 ⇒ x + y = 3 5
⇒ x=3 5− y

Thay x = 3 5 − y vào (1) ta có : ( 3 5 − y ).y = 10 ⇔ y 2 − 3 5 y + 10 = 0
y1 = 2 5; y2 = 5

Từ đó x1 = 5; x2 = 2 5
Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông là 5
Bài 14: Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm.
Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
HD:
A

B

H

C

Xét ∆ABC vuông tại A có AB:AC=3:4 và BC = 125cm
Ta có AB:AC=3:4 ⇒

AB AC

=
= k ( với k > 0)
3
4

⇒ AB = 3k; AC= 4k
∆ABC vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có:
AB2 + AC2 = BC2⇒(3k)2 + (4k)2 = 1252
⇔ 9k 2 + 16k 2 = 15625 ⇔ 25k 2 = 15625 ⇔ k 2 = 625

⇔ k = 25 ( vì k > 0)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 12


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

AB = 3.25 =75cm; AC = 4.25 =100cm
Theo định lý 1:
AB 2 = BC.BH ⇒ BH =

AB 2 752
=
= 45cm
BC 125

CH = BC - BH=125 - 45 = 80cm
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết

AB 5
= , đường cao AH = 30 cm. Tính BH, HC.
AC 6

HD:
A

Ta có

C

H

B

AB 5
AB AC
= ⇒
=
= k ( với k > 0)
AC 6
5
6

⇒ AB = 5k; AC= 6k
∆ABC vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có:
AB2 + AC2 = BC2⇒(5k)2 + (6k)2 = BC2
⇔ 25k 2 + 36k 2 = BC 2 ⇔ BC 2 = 61k 2 ⇒ BC = k 61

Theo định lý 3:
AB.AC = BC.AH ⇒5k.6k = k 61.30 ⇒ k = 61
AB = 5 61 (cm); AC = 6 61 (cm)

BC = 61. 61 = 61

Theo định lý 1:
AB 2 = BC.BH ⇒ BH =

2

AB
BC

( 5 61 )
=
61

2

= 25cm

CH = BC - BH=61 - 25 = 36 cm
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết

AB 3
= , đường cao AH = 42 cm. Tính BH, HC.
AC 7

HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 13


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh
A

Ta có

C

H

B

AB 3
AB AC
= ⇒
=
= k ( với k > 0)
AC 7
3
7

⇒ AB = 3k; AC= 7k
∆ABC vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có:
AB2 + AC2 = BC2⇒(3k)2 + (7k)2 = BC2

⇔ 9k 2 + 49k 2 = BC 2 ⇔ BC 2 = 58k 2 ⇒ BC = k 58

Theo định lý 3:
AB.AC = BC.AH ⇒3k .7k = k 58.42 ⇒ k = 2 58
AB = 6 58 (cm); AC = 14 58 (cm)

BC = 2 58. 58 = 116 (cm)

Theo định lý 1:
AB 2

( 6 58 )
= BC.BH ⇒ BH =
116

2

= 18cm

CH = BC - BH=116 - 18 = 98 cm
Bài 17: Cho ∆ABC cân tại A. Gọi H là hình chiếu của B trên cạnh AC. Tính cạnh đáy BC của tam
giác, biết rằng AH = 7, HC = 2.
HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 14


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I

GV : Nguyễn Thị Lanh

Kẻ AK ⊥ BC .
Vì ∆ ABC cân tại A nên AK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với BC
Do đó CK = BK =

1
BC
2

Mặt khác: AC = AH + HC = 7+ 2 = 9(cm)
Xét ∆ CKA và ∆ CHB có : Cˆ chung
ˆ = CKA
ˆ = 900
CHB

Do đó ∆ CKA ~ ∆ CHB (g-g) ⇒
Nên

CK AC
=
⇒ CK .BC = AC.CH
CH BC

1
BC.BC = 9.2 ⇒ BC 2 = 36 ⇒ BC = 6
2

Vậy BC = 6
Bài 18: Trong tam giác ABC, biết AB = 10cm, BC = 17cm. Vẽ đường cao BD với D thuộc cạnh

AC và BD = 8cm. Tính AC.
HD:

Áp dụng định lý pytago vào ∆ ABD vuông tại D ta có:
AB 2 = AD 2 + BD 2 ⇔ 102 = AD 2 + 82 ⇒ AD = 6 (cm)

Áp dụng định lý pytago vào ∆ BDC vuông tại D ta có:
BC 2 = BD 2 + DC 2 ⇔ 17 2 = 82 + DC 2 ⇒ DC = 15 (cm)

Vậy AC = AD + DC = 6 + 15 = 21 (cm)
Bài 19: Cho ∆ABC, đường cao AH.
a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH.
b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.
HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 15


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

a) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có :
*)AB2 = AH2 + BH2 = 162+ 252 = 881 (cm) ⇒ AB = 881 ≈ 29, 68 (cm)
*)Áp dụng hệ thức lượng ta có +) AH 2 = BH .CH ⇔ 162 = 25.CH ⇒ CH = 10, 24 (cm)
Do đó BC = BH + HC = 25 + 10, 24 = 35, 24 (cm)
+) AC 2 = CH .BC = 10, 24.35, 24 = 360,8576 ⇒ AC ≈ 19 (cm)
b) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có :
*) AB 2 = AH 2 + BH 2 ⇔ 122 = AH 2 + 6 2 ⇒ AH 2 = 108 ⇒ AH = 6 3 (cm)

*) Áp dụng hệ thức lượng ta có +)AH2= BH.CH ⇔ 108 = 6.CH ⇒ CH = 18 (cm)
Do đó BC = BH + HC = 6 + 18 = 24(cm)
+) AC 2 = CH .BC =18.24=432 ⇒ AC = 12 3 (cm)
Bài 20: Cho ∆ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và
ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.
HD:

Tam giác ABC vuông tại A ⇒ BC = AC 2 + AB 2 = 10 cm
Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:
MA AB
MA
AB
=
⇒
=
(tính chất tỉ lệ thức)
MC BC
MA + MC AB + BC
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 16


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Suy ra: MA =

AB ( MA + MC )
AB + BC

=

6.8
48
=
= 3 cm
6 + 10 16

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥ BN .
Suy ra tam giác BMN vuông tại B .
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:
AB 2 = AM . AN

Suy ra: AN =

AB 2 62
=
= 12 cm.
AM
3

Bài 21: Cho ∆ABC vuông ở A, AB = 30cm, AC = 40cm, đường cao AH, trung tuyến AM.
a) Tính BH, HM, MC.

b) Tính AH.

HD:

a)Xét tam giác ABC vuông tại A ⇒ BC = AC 2 + AB 2 = 50 cm

Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB 2 302
2
=
= 18 cm.
AB = BC.BH ⇒ BH =
BC

⇒ AH =

50

AB − BH = 24 cm
2

2

1
2

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên AM = BC = 25 cm
⇒ HM = AM 2 − AH 2 = 7 cm.
1
MC = BC = 25 cm ( M là trung điểm của BC ).
2
b) AH = 24 cm.

Bài 22: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC.
Biết HM = 15cm, HN = 20cm. Tính HB, HC, AH.

HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 17


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Xét tam giác ABH vuông tại H có HM là trung tuyến nên HM =

1
AB
2

⇒ AB = 2 HM = 30 cm.

Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là trung tuyến nên HN =

1
AC
2

⇒ AC = 2 HN = 40 cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
1
1

1
1
1
1
1
=
+
⇔
= 2+ 2 =
⇒ AH = 24 cm
2
2
2
2
AH
AB
AC
AH
30 40
576
⇒ HB = AB 2 − AH 2 = 18 cm

⇒ HC = AC 2 − AH 2 = 32 cm.

Bài 23: Cho ∆ABC cân ở A, đường cao BK. Biết AK = 7cm, KC = 2cm.
Tính BC.
HD:

Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC = 7 + 2 = 9 cm.
Xét tam giác ABK vuông tại K .

⇒ BK = AB 2 − AK 2 = 92 − 7 2 = 4 2 cm.
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 18


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Xét tam giác BKC vuông tại K
⇒ BC = BK 2 + KC 2 =

( 4 2)

2

+ 2 2 = 6 cm.

Bài 24: Cho ∆ABC cân tại A, kẻ đường cao AH và CK. Biết AH = 7,5 cm;
CK = 12 cm. Tính BC, AB.
HD:

S ABC =

1
1
AH .BC = CK . AB
2
2

1
1
7,5.2 y 5
⇔ .7,5.2 y = .12. AB ⇒ AB =
= y.
2
2
12
4
AB 2 = BH 2 + AH 2 ⇔

⇔

25 2
y = y 2 + 7,52
16

9 2
y = 7,52 ⇔ y 2 = 100 ⇔ y = 10
16

⇒ BC = 20 ; AB =

25
.
2

Bài 25: Cho h.vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Tính độ dài đường chéo theo a.
HD:
A

D

B

C

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 19


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Tứ giác ABCD là hình vuông ⇒AB = BC =CD =DA=a
∆ABD vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có:
BD 2 = AB 2 + AD 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 ⇒ BD = 2a 2 = a 2

Bài 26: Hãy tính đường cao của tam giác đều cạnh a.
HD:
A

B

C

H

Xét ∆ABC đều có cạnh là a

Kẻ đường cao AH ⇒AH cũng là đường trung tuyến ⇒ BH =

BC a
=
2
2

∆AHB vuông tại H theo định lý Py ta go ta co
2

a 2 3a 2
a
2
BH + AH = AB ⇒ AH = AB − BH = a −  ÷ = a −
=
4
4
2
2

⇒ AH =

2

2

2

2

2

2

3a 2 a 3
=
4
2

Bài 27: Hãy tìm tam giác vuông trong các tam giác có độ dài 3 cạnh sau:
a) IJ = 6JK = 10

KI = 8;

b) RS = 7

ST = 24

c) AB =

1
3

d) MN = 6,5

BC =

1
4

ML = 3,3

TR = 25;
AC =

1
;
5

LN = 5,6.

HD:
Các tam giác vuông có độ dài 3 cạnh thỏa mãn đề bài là
+) ∆ IJK vuông tại I vì theo định lý pytago đảo
Ta có: JK 2 = IJ 2 + KI 2 ( vì 102 = 62 + 82 )
+) ∆ RST vuông tại S vì theo định lý pytago đảo
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 20


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Ta có: TR 2 = RS 2 + ST 2 ( vì 252 = 72 + 242 )
+) ∆ MNL vuông tại Lvì theo định lý pytago đảo
Ta có: MN 2 = ML2 + LN 2 ( vì 6,52 = 3,32 + 5, 62 )
Bài 28: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc của tam giác đối diện với cạnh có độ
dài 13.
HD:

Gọi tam giác ABC có độ dài 3 cạnh thỏa mãn đề bài là AB = 5 , AC = 12, BC = 13
Ta có AB2 + AC2 = 52 + 122 =169=132 = BC2
Theo định lý pytago đảo suy ra ∆ ABC vông tại A.
ˆ = 900
Vậy góc đối diện với cạnh có độ dài 13 là BAC
µ cắt đường chéo AC thành hai đoạn
Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của B
2
5
4 m và 5 m . Tính các kích thước của hình chữ nhật.
7
7

HD:

Gọi E là giao điểm tia phân giác góc B với AC.
Theo giả thiết ta có : AC = AE + EC =

40 30
+
= 10 (cm)
7
7

Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ABC ta có
40
AB AE
4
=
= 7 = .

30
BC EC
3
7

Áp dụng t/c tỉ lệ thức , tính chất dãy tỉ số bằng nhau và định lý pytago ta có:
AB BC
AB 2 BC 2 AB 2 + BC 2 AC 2 102
=
⇒
=
=
=
=
=4
4
3
16
9
16 + 9
25
25

Do đó AB 2 = 16.4 ⇒ AB = 8 (cm)
BC 2 = 9.4 ⇒ BC = 6 (cm)

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 8cm và 6 cm
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 21

DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Dạng 2: Tính diện tích, chu vi
Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ). Tính diện tích và chu vi của tam
giác ABC biết AH = 12 cm , BH = 9 cm
A

12
B

HD:

9

C

H

Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
+) AH 2 = BH .CH ⇒ CH =

AH 2 122
= 2 = 16 ⇒ CH = 4(cm )
BH
9

+) AB 2 = BH .BC = 9.13 = 112 ⇒ AB = 3 13(cm); AC 2 = BC .CH = 13.4 = 52 ⇒ AC = 2 13(cm)

+) S ABC =

1
1
AH .BC = .12.13 = 78(cm 2 )
2
2

+) Chu vi ∆ABC = AB + BC + CA = 3 13 + 2 13 + 13 = 13 + 5 13(cm)
Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), biết

AB 20
= ; AH = 420(cm).
AC 21

Tính chu vi ∆ABC ?
HD:
Ta có:

AB 20
AB AC
=
⇒
=
= k (k > 0) ⇒ AB = 20k ; AC = 21k
AC 21
20
21

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AH .BC = AB. AC ⇒ 420.BC = 20.21.k 2 = 420k 2 ⇒ BC = k 2

Lại có:
 BC = 29k
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 400k 2 + 441k 2 = 841k 2 = (29k ) 2 ⇒ 
→ k 2 = 29k ⇔ k = 29
2
 BC = k
 AB = 580(cm)

⇒  AC = 609(cm) ⇒ PABC = 2030(cm)
 BC = 841(cm)

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 22


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của ∆ABH là 30cm và ∆ACH là 40cm.
Tính chu vi của ∆ABC.
HD:

Gọi P1 ; P2 ; P3 lần lượt là chu vi của tam giác AHB , CHA và ABC .
P1 AB
=
(1)
P2 CA

AB 3
AB AC
= ⇒
=
Từ (1), ta có:
AC 4
3
4
2
2
2
AB
AC
AB + AC 2 BC 2
⇒ 2 = 2 =
= 2
3
4
32 + 4 2
5
AB AC BC
⇒
=
=
⇒ AB : AC : BC = 3 : 4 : 5 .
3
4
5
Mặt khác ∆AHB ∽ ∆CHA ∽ ∆CAB , suy ra:
P1 : P2 : P3 = AB : AC : BC = 3 : 4 : 5

Do ∆AHB ∽ ∆CHA suy ra:

Vậy nếu P1 = 30 cm, P2 = 40 cm thì P3 = 50 cm.
Bài 4: Cho ∆ABC vuông ở A có AC = 20cm, chiều cao AH = 12cm. Tính diện tích ∆ABC.
HD:

Xét tam giác AHC vuông tại H .
⇒ HC = AC 2 − AH 2 = 16 cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 23


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

AC 2 = BC.HC ⇒ BC =

AC 2 202
=
= 25 cm.
HC
16

Vậy diện tích tam giác ABC là: S ABC =

1
AH .BC = 300,5 cm2.
2

µ =D
µ = 900 ) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD ( A

nhau tại H. Biết HD = 18 cm, HB = 8 cm. tính diện tích hình thang ABCD.
HD:

⇒ HA2 = 8.18 ⇒ HA = 12 (

HA2 = HB.HD

cm)
HD 2 = HA.HC ⇒ 182 = 12.HC ⇒ HC = 27 (cm)
⇒ BD = 26 (cm); AC = 39 (cm)
⇒ S ABCD =

( 26.39 )
2

= 507 (cm2)

Dạng 3: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo 3 bước:
Bước 1: Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức
Bước 2: Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao

Bước 3: Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao CH. Chứng minh rằng:
a. AB 2 + CH 2 = AC 2 + BH 2
b. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, chứng minh rằng:
+) AB 2 + AC 2 =

BC 2
+ 2 AM 2
2

+) AC 2 − AB 2 = 2.BC.HM ( AC > AB)

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 24


DẠY THÊM – HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I
GV : Nguyễn Thị Lanh

HD:
A

B

C

H

M

a. Xét tam giác vuông HAB và tam giác vuông HAC , theo định lý pytao ta có:
AB 2 − BH 2 = AH 2 = AC 2 − HC 2 ⇒ DPCM

b. Áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:
AB 2 + AC 2 = BC 2 ;

BC 2
BC 2
BC 2 BC 2 BC 2
+ 2 AM 2 =
+ 2.(
) =
+
= BC 2 → dpcm
2
2
2
2
2

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có góc nhọn A. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B, D trên
đường chéo AC. Gọi M, N là hình chiếu của C trên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:
a. AK = IC

b. Tứ giác BIDK là hình bình hành

c. AC 2 = AD. AN + AB. AM

M

C

B
K

I
A

D

N

HD:
a. Ta có: AK = AI + IK ; IC = IK + KC ⇒ AK = IC (dpcm)
 BI // DK
⇒ ◊BIDK là hình bình hành.
 BI = KD

b. Xét tứ giác BIDK, có: 

c. Ta có: ∆AKD : ∆ANC ( g.g ); ∆ABI : ∆ACM ( g .g ) ⇒ AC 2 = AD. AN + AB. AM (dpcm)
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 25