Tích phân

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 86


1. Đònh nghóa tích phân:
Ta có công thức Niutơn – Laipnit:
b
b
a
a
f(x)dxF(x)F(b)F(a).==-
ò

Chú ý: Tích phân
b
a
f(x)dx
ò
chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký
hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
bbb
aaa
F(b)F(a)f(x)dxf(t)dtf(u)du...-====
òòò


2. Ý nghóa hình học của tích phân:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a ; b] thì tích phân
b
a
f(x)dx

ò
là diện tích
hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của hàm số yf(x,trụcOx)= và hai đường thẳng
x = a và x = b.

3. Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa
vào đònh nghóa tích phân ta có các tính chất sau:
Tính chất 1. Ta có
a
a
f(x)dx0=
ò

Tính chất 2. Ta có
ba
ab
f(x)dxf(x)dx.=-
òò

Tính chất 3. Ta có
bb
aa
kf(x)dxkf(x)dx,vớikR.=Ỵ
òò

Tính chất 4. Ta có
bbb
aaa
[f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.±=±

òòò

Tính chất 5. Ta có
cbc
aaa
f(x)dxf(x)dxf(x)dx.=+
òòò

Tính chất 6. Nếu
b
a
f(x)0,x[a;b]thìf(x)dx0³"Ỵ³
ò

Tính chất 7. Nếu
bb
aa
f(x)g(x),x[a;b]thìf(x)dxg(x)dx.³"Ỵ³
òò

§Bài 2: TÍCH PHÂN
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 87
Tính chất 8. Nếu
b
a
mf(x)M,x[a;b]thìm(ba)f(x)dxM(ba).££"Ỵ-££-
ò

Tính chất 9. Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) =

t
a
f(x)dx
ò
là nguyên hàm của
f(t) và G(a) = 0.

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/
2
2
3
1
x2x
Idx;
x
-
=
ò
b/
x
4
4
0
J(3xe)dx.=-
ò

Giải:
a/ Ta có:
2

2
2
1
1
122
Idxln|x|(ln21)(ln12)ln21.
xxx
ỉưỉư
=-=+=+-+=-
ç÷ç÷
èøèø
ò

b/ Ta có:
4
x
2
4
0
3
Jx4e(244e)(04)284e.
2
ỉư
=-=---=-
ç÷
èø

Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng đònh nghóa cùng các tính chất 1, 3 và 4 để tính tích
phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trò tuyệt
đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1
x
1
Je1dx.
-
=-
ò

Giải:
Xét dấu của hàm số y = e
x
– 1
Ta có: y = 0
x
e10x0Û-=Û=
Nhận xét rằng:
x
x0e1y0>Þ>Þ>

x
x0e1y0<Þ<Þ<
Ta có bảng xét dấu:
x –¥ –1 0 1 +¥
y’ – 0 +
Do đó:
01
1
0
xxx

10
10
1
J(1e)dx(e1)dx(xe)(ex)e2.
2
-
-
=-+-=-+-=+-
òò

Chú ý: Sử dụng tính chất 6, 7, 8 ta sẽ đi chứng minh được các bất đẳng thức tích phân.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
3/4
2
/4
dx
.
42
32sinx
p
p
pp
££
-
ò

Giải:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 88
Trên đoạn

3
;
44
pp
éù
êú
ëû
ta có:

22
2
2111
sinx1sinx1132sinx21.
22232sinx
££Þ££Û£-£Û£-£
-

Do đó:
3/43/43/4
2
/4/4/4
1dx
dxdx.
2
32sinx
ppp
ppp
££
-
òòò

(1)
trong đó:
3/4
3/4
3/43/4
/4
/4/4
/4
11
dxx&dxx2.
224
p
p
pp
p
pp
p
p
====
òò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
3/4
2
/4
dx
42
32sinx
p
p

pp
££
-
ò
(đpcm).
Ví dụ 4: Cho hàm số:
2
xakhix0
f(x)
x1khix0
+<
ì
=
í
+³
ỵ

a/ Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x
0
= 0.
b/ Với a để hàm số liên tục tại x = 0, hãy xác đònh
1
1
f(x).dx.
-
ò

Giải:
a/ Hàm số xác đònh với mọi
xR.Ỵ

Ta có:
2
x0x0x0x0
limf(x)lim(x1)1vàlimf(x)lim(xa)a.
++--
®®®®
=+==+=
f(0)1.=
Vậy:
· Nếu a = 1 thì
x0x0
limf(x)limf(x)f(0)1
+-
®®
===Û hàm số liên tục tại x
0
= 0
· Nếu
a1¹
thì
x0x0
limf(x)limf(x)
+-
®®
¹Û hàm số gián đoạn tại x
0
= 0
b/ Ta có:

10001
2
11110
11
f(x)dxf(x)dxf(x)dx(x1)dx(x1)dx.
6
----
=+=+++=
òòòòò

Chú ý: Như vậy chúng ta sử dụng hầu hết các tính chất để giải các ví dụ về tích phân,
duy còn tính chất thứ 9 ở đó có một dạng toán mà các học sinh cần quan tâm là “Đạo
hàm của hàm số xác đònh bởi tích phân”. Ta có các dạng sau:
Dạng 1: Với
x
a
F(x)f(t)dtF'(x)f(x).=Þ=
ò

Với
ax
xa
F(x)f(t)dtthìviếtlạiF(x)f(t)dtF'(x)f(x).==-Þ=-
òò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 89
Dạng 2: Với
u(x)
a

F(x)f(t)dtF(x)u'(x)f[u(x)].
¢
=Þ=
ò

Dạng 3: Với
u(x)
v(x)
F(x)f(t)dt=
ò
thì viết lại:

u(x)v(x)
aa
F(x)f(t)dtf(t)dtF'(x)u'(x)f[u(x)]v'(x)f[v(x)]=-Þ=-
òò

minh hoạ bằng ví dụ sau:

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của các hàm số:
a/
x
t2
a
F(x)(ecost)dt;=+
ò
b/
2
a
2

x
G(x)(t21)dt;=++
ò

c/
2
x
3
2x
H(x)(tsint)dt.=+
ò

Giải:
a/ Ta có:
x
t2x2
a
F(x)[(ecost)dt]'ecosx.=+=+
ò

b/ Ta có:
2
2
ax
222222
a
x
G(x)[(tt1)dt]'[(tt1)dt]'(u)'.(uu1)=++=-++=++
òò

trong đó: u = x
2
, do đó:
24444
G'(x)(x)'.(xx1)2x(xx1).=++=++
c/ Ta có:
22
xx2x
333
2xaa
H'(x)[(tsint)dt]'[(tsint)dt(tsint)dt]'=+=+-+
òòò


33
(u)'.(usinu)(v)'.(vsinv),=+++ trong đó:
2
uxvàv2x,== do đó:

262623
H'(x)(x)'.(xsin)(2x)'.(8xsin2x)2x(xsinx) 2(8xsin2x)=+++=+++
TỔNG KẾT CHUNG:
Để tính tích phân xác đònh ngoài các phương pháp cơ bản mà chúng ta đã biết để xác
đònh nguyên hàm, cụ thể có:
1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần.
5. Sử dụng các phép biến đổi.
còn có thêm một vài phương pháp khác ví dụ như phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt.

Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng
nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác đònh được giá
trò của tích phân.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 90
Ví dụ 1: (ĐHTM HN_95) Tính tích phân:
1
5
2
0
x
Idx.
x1
=
+
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
5533322
xxxxxxx(x1)x(x1)x.=+--+=+-++
Ta được:
1
1
3422
2

0
0
x11111
Ixxdxxxln(x1)]ln2.
42224
x1
ỉưéù
=-+=-++=-
ç÷
êú
ëû+èø
ò

Ví dụ 2: (Đề 91) Cho
sinx
f(x)
cosxsinx
=
+

a/ Tìm hai số A, B sao cho
cosxsinx
f(x)AB
cosxsinx
-
ỉư
=+
ç÷
+
èø

b/ Tính
/2
0
f(x)dx.
p
ò

Giải:
a/ Ta có:
sinxcosxsinx(AB)cosx(AB)sinx
AB
cosxsinxcosxsinxcosxsinx
-++-
ỉư
=+=
ç÷
+++
èø

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
AB0
1
AB.
AB1 2
+=
ì
Û==-
í
-=

ỵ

b/ Với kết quả ở câu a/ ta được:

/2
/2/2
0
00
1cosxsinx1
f(x)dxdxxln(cosxsinx).
22(cosxsinx24
p
pp
-p
éùéù
=--=--+=-
êúêú
+
ëû
ëû
òò


BÀI TẬP
Bài 1. Tính các tích phân:
a/
4
0
dx
;

x
ò
b/
1
0
x1xdx;-
ò
c/
1
2
0
x2x3
dx;
2x
--
-
ò
d/
2
1
dx
x1x1++-
ò

ĐS: a/ 4 b/
4
5
c/
1
ln2

2
- d/
1
(33221)
3
--
Bài 2. Tính các tích phân:
a/
3
2
0
4sinx
;
1cosx
p
+
ò
b/
8
22
0
tg2x(1tg2x)dx;
p
+
ò
c/
x
x2
0
e

dx;
(e1)+
ò
d/
3
e
1
dx
x1lnx+
ò

ĐS: a/ 2 b/
1
6
c/
1
6
d/ 2
Bài 3. Tìm các giá trò của a để có đẳng thức:
2
23
1
[a(44a)x4x]dx12.+-+=
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 91
ĐS: a = 3
Bài 4. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx.
a/ Tìm các số A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x)

b/ Tính
4
0
g(x)
dx.
f(x)
p
ò

ĐS: a/
21
A;B;
55
==- b/
17
ln
105
42
p
-

Bài 5. Tìm các hằng số A, B để hàm số f(x) = Asinpx + B thoả mãn đồng thời các điều
kiện:
2
0
f'(1)2vàf(x)dx4.==
ò

ĐS:
2

A;B2.=-=
p