Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc_11

WWW.VNMATH.COM
Chương 11
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1. Để có hai đường thẳng d và d
′
vuông góc, có thể chứng minh :
•
−→
u .
−→
v = 0, ở đó
−→
u và
−→
v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d
′
.
• Góc giữa chúng bằng 90
◦
.
• d song song với đường thẳng ∆, còn d
′
vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).
• d⊥(α) mà (α) chứa d
′
, hoặc d
′
⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d
′

cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo
của định lí Pytago, . ..
2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :
• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).
• d ∥ d
′
mà d
′
⊥(α).
• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).
• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).
• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).
• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và
(α) thì d⊥(α).
3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :
• Góc giữa chúng bằng 90
◦
.
• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.
4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.
A
B
C
H
M
201
WWW.VNMATH.COM

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• AB
2
+ AC
2
= BC
2
(Định lí Pytago);
•
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
; AH =
AB.AC
BC
;
• AB
2
= BH.BC; AC
2
= CH.BC;
• AM =

BC
2
, nếu

C = 30
◦
thì AB =
BC
2
.
Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; h
a
, h
b
, h
c
và m
a
, m
b
, m
c
lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất
phát từ A, B,C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p =
a + b + c
2
là
nửa chu vi tam giác.
1. Định lí hàm số cosin :

a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A; cos A =
b
2
+ c
2
− a
2
2bc
.
2. Định lí hàm số sin :
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sinC
= 2R ⇒ a = 2R sin A.
3. Công thức trung tuyến :
m
2
a
=

2(b
2
+ c
2
) − a
2
4
.
4. Công thức diện tích tam giác:
(a) Tam giác thường
S =
1
2
a.h
a
=
1
2
b.c. sin A =
abc
4R
= pr =

p(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ h
a
=
2S
a
, R =
abc

4S
, r =
S
p
.
(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S =
1
2
AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S =
a
2
2
.
(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S =
a
2
√
3
4
và đường cao bằng
a
√
3
2
;
5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a
2
.
6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.
7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin


BAD =
1
2
AC.BD. sin(AC, BD).
8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin

BAD =
1
2
AC.BD.
9. Diện tích hình thang là S =
( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao
2
.
10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S =
1
2
tích hai đường chéo.
11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

Nếu ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c không đồng phẳng thì vectơ
−→

d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c ; nghĩa là tồn tại duy
nhất bộ ba số m, n, p sao cho
−→
d = m
−→
a + n
−→
b + p
−→
c .
Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Đặt
−−→
AA
′
=
−→

a ,
−−→
AB =
−→
b ,
−−→
AD =
−→
c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD
′
C
′
, J là điểm trên
cạnh B
′
C
′
sao cho JB
′
= k.JC
′
(k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ
−−→
CB
′
,
−→
AI,
−→
IJ theo ba vectơ

−→
a ,
−→
b ,
−→
c .
Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Đặt
−→
a =
−−→
AC
′
,
−→
b =
−−→
BA
′
,
−→
c =
−−→
CB
′

. Gọi M là trung điểm AA
′
và G là trong tâm tam giác
ABC. Hãy biểu diễn các vectơ
−−→
AA
′
,
−−−→
B
′
G,
−−−→
MN theo ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c .
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 202
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ

1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.
2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng
−−→

AB +
−−→
AD +
−−→
AE =
−−→
AG.
Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
−−→
S A +
−−→
SC =
−−→
S B +
−−→
S D.
Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng
−−→
S A
2
+
−−→
SC
2
=
−−→
S B
2
+
−−→

S D
2
.
Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho
CA
CB
=
m
n
, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta
luôn có
−−→
SC =
n
m + n
−−→
S A +
m
m + n
−−→
S B.
Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Gọi O và O

′
theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A
′
B
′
C
′
D
′
.
1. Hãy biểu diễn các vectơ
−−→
AO,
−−−→
AO
′
theo các vectơ
−−→
AA
′
,
−−→
AB,
−−→
AD.
2. Chứng minh rằng
−−→
AD +
−−−→
D

′
C
′
+
−−−→
D
′
A
′
=
−−→
AB.
Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và
đủ để bốn điểm A, B,C, D tạo thành một hình bình hành là :
−−→
OA +
−−→
OC =
−−→
OB +
−−→
OD.
Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song

1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể
• Chứng minh vectơ hai
−−→
AB và
−−→
AC cùng phương, tức là

−−→
AB = k
−−→
AC.
• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh
−→
IC = m
−−→
OA + n
−−→
OB với m + n = 1.
2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ
−−→
AB và
−−→
CD cùng phương.
3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc
−−→
AB = x
−→
u + y
−→
v trong đó các vectơ
−→
u và
−→
v có giá song song hoặc nằm trên (P).
Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B

′
C
′
D
′
. Xét các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng A
′
C và C
′
D sao cho
−−−→
MA
′
= k
−−→
MC,
−−−→
NC
′
= l
−−→
ND (k và l đều khác 1). Đặt
−−→
BA =
−→
a ,
−−→
BB
′
=

−→
b,
−−→
BC =
−→
c .
1. Hãy biểu thị các vectơ
−−→
BM và BN qua các vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c .
2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD
′
.
Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho
−−→
MA = m
−−→

AB. Tìm điểm N trên đường thẳng
B
′
C và điểm P trên đường thẳng A
′
C
′
sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m  0).
Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho
−−→
MA = −2
−−→
MB,
−−→
ND = −2
−−→
NC. Các điểm I, J, K
lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho
−→
IA = k
−→
ID,
−−→
JM = k
−−→
JN,
−−→
KB = k
−−→
KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆
1
cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A
1
, B
1
,C
1
. Với điểm O bất kì
trong không gian, đặt
−→
OI =
−−−→
AA
1
,
−−→
OJ =
−−−→
BB
1
,
−−→
OK =
−−−→
CC
1
. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 203
www.VNMATH.com www.VNMATH.com

WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B
0
,C
0
, D
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G
0
là trọng tâm tam
giác BCD và B
0
C
0
D
0
. Chứng minh rằng ba điểm A,G
0
,G thẳng hàng.
Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. M là điểm trên cạnh AD sao cho
−−→

AM =
1
3
−−→
AD. N là điểm trên đường thẳng BD
1
, P là
điểm trên đường thẳng CC
1
sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính
¬
¬
¬
−−−→
MN
¬
¬
¬
¬
¬
¬
−−→
NP
¬
¬
¬
.
Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B

′
C
′
D
′
. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA
′
, BC,C
′
D
′
lân lượt tại M, N, P sao cho
−−−→
NM = 2
−−→
NP. Tính
MA
MA
′
.
Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA

1
và đỉnh C
1
thuộc một đường thẳng.
2. Tính tỉ số
GA
GC
1
.
Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB
′
A
′
. M là một điểm trên OB
′
.
Mặt phẳng (MD
′
C) cắt BC
′
ở I và DA
′

ở J. Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng.
Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi G và G
′
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
, gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AB
′
và A
′
B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG
′
song song với nhau.
Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA

1
, AB
1
của các mặt
bên sao cho EF ∥ BC
1
. Tìm tỉ số
EF
BC
1
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, điểm M là trung điểm cạnh bên AA
1
. Trên đường chéo AB
1
, BC
1
của các mặt
bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số
EF
CM
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1

B
1
C
1
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA
1
,CC
1
. Hai điểm E, F lần lượt trên
các đường thẳng CM, AB
1
sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ số
EF
BN
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA
1
, BB
1
,CC
1
sao cho
AM
AA

1
=
B
1
N
BB
1
=
C
1
P
CC
1
=
3
4
. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A
1
N sao cho EF ∥ B
1
P. Tìm tỉ số
EF
B
1
P
.
Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1

C
1
D
1
. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất
thuộc DC
1
sao cho MN ∥ BD
1
. Tính tỉ số
MN
BD
1
.
Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD
′
và DB sao cho
−−→
MA = k
−−−→
MD
′

,
−−→
ND = k
−−→
NB
(k  0, k  1).
1. Chứng minh rằng MN ∥ (A
′
BC) ;
2. Khi đường thẳng MN ∥ A
′
C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD
′
và DB.
Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD
′
; G, G
′
lần lượt là trọng tâm của các tứ diện
A
′
D

′
MN và BCC
′
D
′
. Chứng minh rằng đường thẳng GG
′
và mặt phẳng (ABB
′
A
′
) song song với nhau.
Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng

Muốn chứng minh các vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c đồng phẳng chúng ta có thể :
1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c có giá cùng song song với một mặt phẳng.
2. Ba vectơ
−→

a ,
−→
b ,
−→
c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho
−→
c = m
−→
a + n
−→
b , trong đó
−→
a ,
−→
b là hai vectơ không
cùng phương.
Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 204
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.

−−→
AB,
−−−→
A
′
C
′
,
−−−→
B
′
D
′
; 2.
−−→
AB,
−−→
BB
′
,
−−−→
B
′
C
′
; 3.
−−→
AB,
−−−→
B

′
D,
−−−→
C
′
D
′
.
Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho
−−→
AM = 3
−−−→
MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
−−→
NB = −3
−−→
NC.
Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
AB,
−−→
DC,
−−−→
MN đồng phẳng.
Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường
chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
BD,
−→
IK,

−−→
GF đồng phẳng.
Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho
AM
AC
=
BN
BD
= k (k > 0).
Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
PQ,
−−→
PM,
−−→
PN đồng phẳng.
Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB
′
C
′
D
′
có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ
−−→
BB
′
,
−−−→
CC

′
,
−−−→
DD
′
đồng phẳng.
Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA
′
B
′
C
′
D
′
có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng
các vectơ
−−→
AA
′
,
−−→
BB
′
,
−−−→
CC
′
,
−−−→
DD

′
đồng phẳng.
Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB
1
sao cho AM = BN. Chứng
minh rằng ba vectơ
−−−→
MN,
−−→
AB,
−−−→
B
1
D đồng phẳng.
Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :
−−→
OM =
−−→
OA + α
−−→
OB − 2
−−→

OC;
−−→
ON = (α + 1)
−−→
OA + 2
−−→
OB +
−−→
OC;
−−→
OP = (α − 2)
−−→
OB + 2
−−→
OC
với α là số thực. Tìm α để ba vectơ
−−→
OM,
−−→
ON,
−−→
OP đồng phẳng.
Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc

yOz,

zOx và phân giác ngoài của

xOy thuộc
một mặt phẳng.

Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D
1
song song với DA
1
và AB
1
. Mặt phẳng này cắt đường
thẳng BC
1
tại M, và giả sử
−−→
BM = k
−−−→
BC
1
. Hãy tính k ?
Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao
cho
AR
AC
=
BS

BD
. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB
′
và A
′
C
′
. Điểm K thuộc B
′
C
′
sao cho
−−−→
KC
′
= −2
−−−→
KB
′
.
Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho
−−→

MA = k
1
−−→
MC ; N là điểm
thuộc BD sao cho
−−→
NB = k
2
−−→
ND. Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k
1
= k
2
.
Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho
−−→
AM =
1
3
−−→
AB,
−−→
BN =
2
3
−−→
BC,
−−→
AQ =
1

2
−−→
AD,
−−→
DP = k
−−→
DC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.
11.2 Hai đường thẳng vuông góc
Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu
−−→
OA =
−→
a ,
−−→
OB =
−→
b thì (
−→
a ,
−→
b ) = (
−−→
OA,
−−→
OB) =

AOB. Đặ
c biệt

• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức
(
−−→
OA,
−−→
OB) = (
−−→
AO,
−−→
BO) =

AOB.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 205
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức
(
−−→
AO,
−−→
OB) = (
−−→
OA,
−−→
BO) = 180
◦
− (
−−→
OA,

−−→
OB) = 180
◦
−

AOB.
2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|
−→
u|.|
−→
v|
.
Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.
−−→
AC và
−−→
CD; 2.
−−→
CH và
−−→

CD.
Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.
−−−→
A
′
C
′
và
−−→
AB; 2.
−−−→
A
′
C
′
và
−−→
AB
′
; 3.
−−→

A
′
B và
−−−→
B
′
D
′
.
Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa
hai vectơ
−−→
OM và
−−→
BC.
Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = a và BC = a
√
2. Tính góc giữa hai vectơ
−−→
AB và
−−→
SC.
Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a
′
và b
′
cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc
giữa a và b bằng góc giữa a

′
và b
′
.
2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể
• Nếu (

−−→
AB,
−−→
CD) ≤ 90
◦
thì (

AB,CD) = (

−−→
AB,
−−→
CD).
• Nếu (

−−→
AB,
−−→
CD) > 90
◦
thì (

AB,CD) = 180

◦
− (

−−→
AB,
−−→
CD).
Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB,CD) =
¬
¬
¬
¬
cos(

−−→
AB,
−−→
CD)
¬
¬
¬
¬
.
Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D

′
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
1. AC và DA
′
; 2. BD và AC
′
.
Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc
giữa các cặp đường thẳng :
1. AM và BC ; 2. AM và OP, với P là trung điểm BC.
Bài 11.46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC.
1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.
2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không
phụ thuộc vào vị trí của I và J.
Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và
DM.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 206
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết
AB = CD = 2a và MN = a
√
3.
Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M
và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất.
Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90
◦

hoặc chứng minh
−−→
AB.
−−→
CD = 0.
Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB
′
. Chứng minh rằng MN⊥A
′
C.
Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.
1. Chứng minh rằng AC⊥BD ;
2. Tính cosin góc giữa hai vectơ
−−→
AB,
−−→
CD.
Bài 11.52 : Trên các đường chéo D
1
A, A
1
B, B

1
C,C
1
D của các mặt của hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
lấy các điểm M, N, P, Q sao
cho :
−−−−→
D
1
M = k
−−−→
D
1
A;
−−→
BN = k
−−−→
BA
1
;
−−−→
B
1

P = k
−−−→
B
1
C;
−−→
DQ = k
−−−→
DC
1
.
Tìm số thực k để MN⊥PQ.
Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD.
Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB
′
ta lần lượt lấy các điểm M, N không
trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC
′
⊥MN.
Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng
AB⊥CD.
Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A

′
B
′
C
′
D
′
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B
′
D
′
. Chứng minh rằng nếu

ABC =

B
′
BA =

B
′
BC = 60
◦
thì A
′
B
′
CD là hình vuông.
Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho
−−→

MB = k
−−→
MC và
−−→
NA = k
−−→
ND, với k là
số thực khác 0 cho trước. Đặt α = (
−−−→
MN,
−−→
BA), β = (
−−−→
MN,
−−→
CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45
◦
.
Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
1. Chứng minh rằng AD⊥BC.
2. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho
−−→
MA = k
−−→
MB,
−−→
ND = k
−−→
NB. Tính góc giữa hai đường thẳng
MN và BC.

Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD =
4
3
AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK =
5
6
AB, tính góc giữa các
đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.
Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và
CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a
2
cos α, b
2
cos β, c
2
cos γ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.
11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 207
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).
Bài 11.61 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.
1. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC).
2. Gọi G
1

,G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G
1
G
2
⊥(ABC).
Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và S A = SC.
1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD).
2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.
Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a,

AS B = 90
◦
,

BSC = 60
◦
,

ASC = 120
◦
. Gọi O là trung điểm cạnh AC.
Chứng minh rằng S O⊥(ABC).
Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(AID).
2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).
Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
√
3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên SCD

vuông tại D và có S D = a
√
5.
1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.
2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy
xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(SCD).
3. Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường
thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 11.67 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = SC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng
S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.68 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và

BAC = 120
◦
, đồng thời S A = S B = SC = 2a.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC).
Bài 11.69 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (

A = 90
◦
), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời
S A = SC = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a
′

của a trên (P).
3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 208
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm A trên các cạnh S B, SC,S D.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).
2. Chứng minh rằng SC⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).
3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.
Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = SC, S B = S D.
1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).
2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.
Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng:
1. OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB.
2. H là trực tâm của tam giác ABC.
3.
1
OH
2
=
1
OA
2
+
1
OB

2
+
1
OC
2
.
4. Tam giác ABC nhọn
5. sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC).
6. S
2
∆ABC
= S
2
∆OAB
+ S
2
∆OBC
+ S
2
∆OCA
.
Bài 11.74 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các
mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông.
Bài 11.75 : Cho chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC).

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB).
2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥SC.
Bài 11.76 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S .
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.
1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(SCD), S J⊥(S AB).
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC.
3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a.
Bài 11.77 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và SC = a
√
2. Gọi H, K là
trung điểm AB, AD.
1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K,CK⊥S D.
Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A
′
H⊥(ABC). Chứng minh rằng
1. AA
′
⊥BC và AA
′
⊥B
′
C
′
.

2. Gọi MM
′
là giao tuyến của mặt phẳng (AHA
′
) với mặt bên BCC
′
B
′
, trong đó M ∈ BC và M
′
∈ B
′
C
′
. Chứng minh rằng tứ giác
BCC
′
B
′
là hình chữ nhật và MM
′
là đường cao của hình chữ nhật đó.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 209
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.79 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là
điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD⊥CA, CD⊥(SCA).
Bài 11.80 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD)
trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).
2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.
Bài 11.81 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là
trung điểm của AB và CD.
Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H
2
= HA.HC.
Chứng minh rằng SC⊥(S AB).
Bài 11.83 : Cho hình chóp S .ABC có

BSC = 120
◦
;

CS A = 60
◦
;

AS B = 90
◦
và S A = S B = SC. Chứng minh rằng ABC là tam giác
vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.
Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a
′
của a
trên mặt phẳng (P).
2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0
◦

.
3. Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90
◦
.
4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông
góc H của B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng

BAH.
(P)
A
B
H
ϕ
a
a
′
Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa
nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy.
Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a
√
6. Tính góc
giữa
1. SC và (ABCD); 2. SC và (S AB); 3. S B và (S AC); 4. AC và (S BC).
Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a

√
2.
1. Tính góc giữa đường thẳng BC
′
và (ABB
′
A
′
).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 210
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Gọi M là trung điểm CC
′
. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A
′
B
′
C
′
).
Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có

A = 120
◦
, BC = a
√
3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

1. Chứng minh rằng AO⊥(DBC).
2. Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi

BDC = 90
◦
.
Bài 11.88 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
các cạnh S A và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
◦
.
1. Tính độ dài MN và SO; 2. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).
Bài 11.89 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,

BAC = α. Biết S A, S B, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC)
một góc α.
1. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Bài 11.90 : Cho lăng trụ đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC
′
của mặt bên BCC
′
B
′
hợp với ABB

′
A
′
góc 30
◦
.
1. Tính AA
′
.
2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA
′
C
′
).
3. Gọi N là trung điểm của cạnh BB
′
. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA
′
C
′
).
Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy ABC vuông cân tại A, AA
′
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của

AB và trung điểm N của B
′
C
′
có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC
′
B
′
) góc β.
1. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α; 2. Chứng minh rằng cos α =
√
2 sin β.
Bài 11.92 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc
30
◦
, cắt S A, S D lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BCNM.
Bài 11.93 : Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên S A, S B, SC cùng tạo với đáy một góc α. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.94 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a
√
3. Các cạnh bên S A, S B, SC cùng tạo
với đáy một góc 60
◦
. Tính góc tạo bởi
1. S A và (S BC); 2. S A và BC.
Bài 11.95 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a
√
2.Các cạnh bên S A, S B, SC, S D cùng tạo
với đáy một góc 45
◦

. Gọi M là trung điểm AD.
1. Chứng minh rằng BM⊥S A; 2. Tính góc giữa BM và SC.
Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.
1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳng xác định bởi hai
đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 211
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc
chứa b).
Bài 11.96 : Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a.
Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).
1. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α). Thiết diện là hình gì?
2. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A⊥(ABC) và S A = 2a. Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông
góc với S C. Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.
Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a. Tìm thiết diện của tứ diện S ABC
với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
1. (α) qua S và vuông góc với BC.
2. (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.
3. (α) qua trung điểm M của SC và vuông góc với BC.
Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.
M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).
Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β).
Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng
vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
1. mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. 2. mặt phẳng qua M và vuông góc với SC.

Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = SC = AB = AC = BC = a, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho
AM = x (với 0 < x < a). Xác định và tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của
M để diện tích thiết diện là lớn nhất.
Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CC
′
. Hãy xác định
và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN.
Bài 11.103 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a,

ABC = 60
0
. Cạnh SC = a và vuông góc với
(ABC). Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S ). Xác định và tính diện tích thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 11.104 : Cho lăng trụ đứng OAB.O
′
A
′
B
′
có đáy là tam giác vuông cân tại O với OA = OB = a, chiều cao AA
′

= a
√
2. Gọi M là
trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A
′
B. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α).
Bài 11.105 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc
với SC cắt S B, SC,S D lần lượt tại E, K, H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a
√
2.
Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (P) tại A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a. Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc
với AC. Đặt CM =
x
√
3
2
.
1. Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q). Tính diện tích của thiết diện.
2. Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.
Bài 11.107 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a,

ABC = 60
0
. C
ạnh SC = a và vuông góc với
(ABC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện
và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 212
www.VNMATH.com www.VNMATH.com

WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
11.4 Hai mặt phẳng vuông góc
Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử cần tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau :
1. Sử dụng định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nghĩa là,
lấy a⊥(P) và b⊥(Q) thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.
2. Giả sử c = (P) ∩ (Q). Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc ϕ giữa
(P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.
Trong nhiều bài toán thường có sẵn đường thẳng AB (A ∈ (P) và B ∈ (Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c
tại H. Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc

AHB (nếu

AHB ≤ 90
◦
) và là góc 180
◦
−

AHB (nếu

AHB > 90
◦
). Trong thực hành thường dùng công thức cos ϕ =
¬
¬
¬
cos


AHB
¬
¬
¬
.
3. Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm trong mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H
′
. Khi
đó, cos ϕ =
S
′
S
với S
′
là diện tích hình H
′
và S là diện tích hình H .
Bài 11.108 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a
√
3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau
1. (S BC) và (ABCD); 2. (SCD) và (ABCD); 3. (S BC) và (S CD).
Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có

ABC = 90
◦
, AB = 2a, BC = a
√
3, S A = 2a và S A⊥(ABC).
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

2. Mọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.
3. Tính tan ϕ, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S MC).
Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
1. (ABCD) và (A
′
B
′
C
′
D
′
); 2. (ABCD) và (CDD
′
C
′
); 3. (ACC
′
A
′
) và (ABB
′
A

′
); 4. (A
′
BD) và (ABCD).
Bài 11.111 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x.
1. Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60
◦
.
2. Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).
Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 2a
√
5 và

BAC = 120
◦
. Gọi M là trung điểm cạnh CC
1
.
Chứng minh rằng MB⊥MA
1
và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A
1

BM).
Bài 11.113 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, S A⊥(ABCD) và
S A = a
√
3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
1. (S AD) và (S BC); 2. (SCD) và (S BC).
Bài 11.114 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A⊥(ABC), S A = a. Gọi E và F lần lượt
là trung điểm các cạnh AB và AC. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
1. (S AC) và (S BC); 2. (S EF) và (S BC).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 213
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.115 : Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng sao cho

xOy = 90
◦
,

yOz =

zOx = 60
◦
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và
(zOx).
Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C) tâm O bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao
cho OS = R. Gọi M và N là hai điểm khác nhau trên (C), a và b là hai tiếp tuyến với (C) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(S, a) và (S , b) trong mỗi trường hợp sau :
1. MN là đường kính của đường tròn; 2.


MON = 90
◦
.
Bài 11.117 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (SCD) là các tam giác vuông lần lượt
tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết

ABC = ϕ.
1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD);
2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.
Bài 11.118 : Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,

BAC = α, S A⊥(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa
hai mặt bên (S AC) và (S BC).
1. Chứng minh rằng tan α. tan β =
√
1 + cos
2
α
cos α
;
2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60
◦
.
Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)
với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos
2
α + cos
2
β + cos
2

γ = 1.
Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc

BAD = 60
◦
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
các cạnh AA
′
và CC
′
.
1. Chứng minh bốn điểm B
′
, M, D, N đồng phẳng. Tứ giác B
′
MDN là hình gì ?
2. Tính độ dài AA
′
theo a để tứ giác B
′
MDN là hình vuông.
3. Khi tứ giác B

′
MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B
′
MDN) và (ABCD).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90
◦
.
2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).
Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D =
a
√
6
2
. Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).
Bài 11.122 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).
3. Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).
Bài 11.123 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB =
a
√
3
3
, S O⊥(ABCD), S O =
a
√
6

3
.
1. Chứng minh rằng

ASC = 90
◦
.
2. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 214
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
3. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).
Bài 11.124 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hai điểm
nằm trên BC, DC sao cho BM =
a
2
; DN =
3a
4
. Chứng minh rằng (S AM)⊥(S MN).
Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính đường cao SO theo a để hai mặt phẳng (S AB)
và (S AC) vuông góc với nhau.
Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a. Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ở cùng
nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M, N sao cho BM.DN =
a
2
2
. Đặt


BOM = α,

DON = β.
1. Chứng minh rằng tan α. tan β = 1. Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)⊥(ACN).
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Tính độ dài đoạn OH. Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN).
Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

1. Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c.
2. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).
Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ
AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD).
Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam
giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giác ACD.
1. Chứng minh rằng AB⊥(BCD).
2. Chứng minh rằng (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC).
3. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng OH⊥(ADC).
Bài 11.129 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a
√
2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB.
1. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D. 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD).
Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).
3. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (S HC)⊥(S DI).
Bài 11.131 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có

S AB = 30
◦
. Tính

góc giữa mặt phẳng (ABC) và (S BC).
Bài 11.132 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A,

ABC = 60
◦
, M là trung điểm AB. Các mặt phẳng (S AB) và (SCM)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa SC và (ABC) là 60
◦
, tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).
Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy là tam giác vuông cân tại B. Hai mặt phẳng (ABB
′
A
′
) và (ACB
′
) cùng vuông góc với
(ABC).
1. Chứng minh rằng BCC
′
B
′
là hình chữ nhật.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 215
www.VNMATH.com www.VNMATH.com