Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi

SỞ
SỞ GD&ĐT
GD&ĐT VĨNH
VĨNH PHÚC
PHÚC
TRƢỜNG
THPT
TAM
DƢƠNG
TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG II
II

BÁO
BÁO CÁO
CÁO KẾT
KẾT QUẢ
QUẢ
NGHIÊN
NGHIÊN CỨU,
CỨU, ỨNG
ỨNG DỤNG
DỤNG SÁNG
SÁNG KIẾN
KIẾN

Tên Tên
sángsáng
kiến:kiến:

MỘT
MỘT SỐ

SỐ BÀI
BÀI TOÁN
TOÁN
VỀVỀ
KHOẢNG
CÁCH
GIAN
GIỚI HẠN
CỦATRONG
DÃY SỐKHÔNG
TRUY HỒI.

Tác giả
Phùng
Thế Bằng
Tácsáng
giả kiến:
sáng kiến:
Phùng
Thế Bằng
Mã sáng
kiến
:
08.52.
Mã sáng kiến : 08.52.01

Tam dƣơng năm 2018
Vĩnh phúc, năm 2019
1

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu.
1.1. Lí do chọn sáng kiến.
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến giới hạn của
dãy số là một những mảng kiến thức hay và khó, đặc biệt khi bài toán chưa cho
công thức số hạng tổng quát của dãy. Một trong những kiểu dãy số như vậy
chính là dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi
nhiều kĩ thuật; bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp
tỉnh, quốc gia và quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và
bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kỹ thuật tìm
giới hạn của các bài toán dạng này.
Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài
“Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi ” sẽ cho ta một phương pháp
để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ
thức truy hồi. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và
cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan tính giới hạn
của dãy số được cho bởi công thức truy hồi.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TRUY HỒI.
3. Tác giả sáng kiến.
- Họ và tên: Phùng Thế Bằng
- Địa chỉ: Trường THPT Tam Dương II - Tam Dương - Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0912 911 921
- Email:
4. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến: Phùng Thế Bằng

2


5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh khối 11 ôn thi HSG, thi THPT QG.
- Phạm vi nghiên cứu thuộc Chương III, IV của bộ môn Toán Đại số và Giải tích 11.
6. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: 10/3/2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

Phần 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trong nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó
khăn trong giải các bài tập liên quan đến giới hạn của dãy số cho bởi công thức
truy hồi, đặc biệt là những bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập các dạng toán này không nhiều nhưng
nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Các tài liệu tham khảo,
loại bài tập này khá đa dạng nhưng sử dụng nhiều bằng phương pháp sai phân,
khá xa lạ với học sinh phổ thông.

3


Phần 2. NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT.
I. Dãy số.
1. Định nghĩa.
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên

được gọi là dãy số vô hạn

(gọi tắt là dãy số)

u:
n

Đặt u n

u n

un và gọi là số hạng tổng quát của dãy số un .

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ ℕ*, được gọi là
dãy số hữu hạn.
c) Dãy số cho bằng công thức truy hồi, tức là:
+ Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
+ Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng
(hay vài số hạng đứng trước nó).
Ví dụ: Dãy Fibonaxi được xác định bởi
u1 u2 1
un

un

un

1

2

n

3

2. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn.
- Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un

un 1.

- Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un

un 1.

- Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:
n

, un

M.

- Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:
n

, un

m.

- Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dưới, nghĩa là tồn tại số M và m sao cho : n
3. Giới hạn của dãy số.
4

,m

un

M.


a) Dãy số có giới hạn 0.
- Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết : lim un
0 hoặc lim un

0 hoặc un

0

Định lí 1: Cho hai dãy số un và vn
0 thì lim un

vn với mọi n và lim vn

Nếu un

1 thì lim q n

Định lí 2: Nếu q

0.

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn.
- Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là số thực L nếu lim un
số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Định lí 3: Giả sử lim un A, limvn
lim un

lim un .vn

lim

A

vn

un
vn

L

0. Khi đó

L hoặc un ⟶𝐿. Dãy số có giới hạn là một

L hoặc lim un

ta viết : lim un

0.

B và c là một hằng số. Khi đó:

B ; lim un

AB
. ; lim cun

A
(Nếu B
B

A

vn

B

cA

0)

Định lí 4:(Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn)
Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q 2, ..., u1q n ,... có công bội q với q

1 gọi

là một cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó

S

u1

u1q

u1q 2

...

u1q n

c. Dãy số có giới hạn vô cực.
- Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là

...

u1
1 q

nếu với mỗi số dương tùy ý cho

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số
dương đó. Khi đó ta viết : Lim un
hoặc lim un
hay un
- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là

nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước,

mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó.
Khi đó ta viết: Lim un
hoặc lim un

hay un
Định lí 5: Nếu lim un

thì lim
5

1
un

0


II. Các dãy số đặc biệt.
1. Cấp số cộng.
u1

a) Định nghĩa: Dãy số un xác định bởi

a

un

un

1

d, n

( a, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng. Trong đó: a là số hạng
đầu tiên, d là công sai.

Đặc biệt khi d 0 thì un là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau
và gọi là dãy số không đổi.
b) Các tính chất:
Tính chất 1: Ba số un , un 1, un

là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng un

2

nếu:
un

un

un

2

1

2
Tính chất 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng un được cho bởi công thức:

un

u1

n

1 d, n

2

Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S n ) của cấp số cộng un
được cho bởi công thức:
Sn

u1

u2

...

n
u
2 1

un

n
2u
2 1

un

n

1d

2. Cấp số nhân.

a) Định nghĩa: Dãy số un xác định bởi

u1

a

un

1

unq , n

( a, q là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số nhân. Trong đó: a là số hạng
đầu tiên, q là công bội.
b) Các tính chất:
Tính chất 1: Ba số un , un 1, un

2

là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân un

nếu:
un2

un .un

1

2

Tính chất 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân un được cho bởi công thức:

u1.q n

un

6

1


Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S n ) của cấp số nhân un
với công bội q

1 được cho bởi công thức:
Sn

u1

u2

1 qn
u1.
1 q

un

...

3. Một số tổng đặc biệt.

Với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
n n 1
a) 1 2 3 ... n
2
n n
b) 12 22 32 ... n 2
c) 13

23

33

...

1 2n
6

n2 n

n3

1

1

2

4

B. NỘI DUNG.

1. Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định công
thức tổng quát (CTTQ) của dãy.
DẠNG 1: Cho dãy số un biết
hằng số.
Ta chỉ xét với trường hợp q

u1

a

un

1, q

qun

1

0, d

d, n

1

, trong đó q, d là các

0 vì nếu xảy ra dấu bằng ở một trong

ba trường hợp này thì dãy đã cho là CSC, hoặc dãy không đổi, hoặc CSN.
Ta sẽ đưa dãy này về một CSN, bằng cách đặt un vn c , thay vào hệ thức

truy hồi của dãy ta có:
vn 1 c q vn
Ta chọn c sao cho q

1c

c

d

d

vn

c

0

qvn

1

d
1 q

q

1c

, khi đó vn

1

d

qvn nên vn là

một CSN.
Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định như sau:
Tính lim un .
Giải:

7

u1
un

1

2020
1
u
2019 n

2018, n

1


Đặt un

vn

2018
1
1
2019
1
v
2019 n

vn

2019

1

v1.q n

1
1.
2019

1

vn

2019

2019 , ta có:

u1

Ta có: 3un
Đặt un

vn

1

u2

n 1

1
2019

un

1

2
v
3 n

un

1

1

3
2
1
3

vn

1

u1
3un

n 1

2019 . Do đó lim un
2
2un

1

1, n

vậy vn

Suy ra Sn

v1

un

1

vn

1
3

1

vn

1 . Khi đó:
2
v , n
3 n

1

n 1

suy ra un

v2

1

....

vn

vn

2
3

1
2
3

n
1

Vậy l imSn =lim

1

Giải:
2
1
un
.
3
3

Suy ra dãy số vn là một CSN lùi vô hạn với công bội q
2
1.
3

2019 .

un . Tính lim Sn

...

2un

1

1
v . Nên vn là một
2019 n

1 . Do đó

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
Đặt Sn

vn

2018

1
và v1
2019

CSN có công bội q
vn

un

2
3
3

n

n

8

2
và v1
3

n 1

1, n

1

n

2
3

n

2
3

3

n

n.

1 . Do


u1

DẠNG 2: Cho dãy số un biết
là các hằng số và q
+ Nếu q

0;c

a0

un

qun

1

cn

d, n

1

, trong đó q, c, d

0

1 , từ hệ thức truy hồi ta có:
u1 a 0
u2 u1 c.1 d
u 3 u2 c.2 d
....................
un

un

c. n

1

d

1

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
un

a0

c.1

c.2

c. n

...

1 , khi đó ta đặt un

+ Nếu q

qvn

1

Chú ý: Nếu un

1

a n

1

vn

1

qvn

d

a

c

d

1 q

qun

1

vn

vn

Ta xác định a sao cho qa
Khi đó vn

n

1

c

1d

1

2

n

1d

en

f

an, khi đó:

q vn
a

0

cn n

a0

an

cn

a

c n

qa
a

c
1 q

d

.

. Đây chính là dạng 1.

cn 2

dn

e hoặc un

qun

1

cn 3

dn 2

thì cũng làm tương tự như trên.
Ví dụ 3: Cho dãy số un được xác định bởi
Hãy tính lim

un
n2

Giải:
Ta có:
u1 5
u2 u1 3.1 2
u 3 u2 3.2 2
....................
un

un

1

3. n

1

2

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
9

u1
un

5
1

un

3n

2

n

1

.


un

5

31

Do đó, lim

2

un

lim

n2

n

...

3n

2n

1

2

7n
2n 2

3n n

1

2n

2

3

14

1

7

lim

Ví dụ 4: Cho dãy số un được xác định bởi

1
n
2

7

14
n2

u1

3n 2

7n
2

14

3
2

11

un

10un

1

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy và tính lim

un

1

9n

n

1

.

n

2018n

Giải:
Đặt un

vn
v1

1

9n
1 10
10 vn

vn

n

1

10 và công bội q

đó ta có lim

un

n

vn

n , ta có:

n

1

9n

DẠNG 3: Cho dãy số un biết
các hằng số và q
+ Nếu q

0;c
1

10vn

1

10.10n

10 , do vậy vn
10n
lim
2018n

2018n

vn

un

10n

1

un

n . Từ

0

a0
rc n

qun

1

10n

n

5
lim
1009
u1

vn là một CSN có

n

1

, trong đó q, c là

0
u1
un

a0
1

un

rc n n

u1
u2

a0
u1

1

, ta có thể làm như sau:

rc

u 3 u2 rc 2
....................
un

un

1

rc n

1

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
un

+ Nếu

c3

...

1
, ta đặt un
c

vn

acn , thay vào hệ thức truy hồi ta có

r c

10

1

1

c2

a0

q
q

cn

cr 1 c n

a0

1 c


vn

1

acn

1

ac n

q vn

xác định a sao cho r

a q

rc n

c

vn

r

a

0

c

cn r

qvn

1

q

a q

, khi đó vn

c . Ta

qvn

1

vn là

một CSN.
+ Nếu q

u1

c

un

a0
qun

1

n

rq , n

Thay vào hệ thức truy hồi ta được: q n 1vn

1

q q nvn

1

q n .vn .

, khi đó ta đặt un
rq n

vn

1

vn

r
q

vn là CSC.

u1

Ví dụ 5: Cho dãy số un được xác định bởi

un

2019
1
2

un

1

n

n

.

1

Hãy tìm lim un
Giải:
Ta có:
u1

2019

1
2
2
1
u 3 u2
2
....................
u2

u1

un

un

1

1
2

n 1

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
un

2019

1
2

1
2

Do vậy lim un

2

1
2

lim 2020

3

...

1
2

1
2

n 1

2019

1

2020

1
2

2020

un
3n

1

n 1

Ví dụ 6: Cho dãy số un được xác định bởi
Hãy tìm lim

1
.
2

n 1

1
2

1

11

u1
un

8
1

2un

3n

n

1

.

1
2

n 1


Giải:

Đặt un
vn

3n

vn

3 2
2 vn 3n

n 1

3

1

un
3n

5 và công bội q

đầu v1

Do đó lim

un
3n

vn

2vn

1

5.2n

vn

2

5.2n 1
lim
3n

1

3n , thay vào hệ thức truy hồi ta có:

vn

3n

1

u1

5.2n

un

5 2
lim .
6 3

1

DẠNG 4: Cho dãy số un biết

vn là một CSN với số hạng
n

1
3

1

3n.

1
.
3

a

un

cun
,
q dun

1

n

1

, trong đó q, c là

các hằng số.
1
Đặt un
, thay vào hệ thức truy hồi ta có:
vn
c
vn

1
vn

d
vn

q

1

c

1
vn

1

q.vn

d

u1

a

DẠNG 5: Cho dãy số un biết
là các hằng số.
Đặt un vn
vn

vn

Ta xác định
d

un

vn

b
q

1

q
v
c n

1

cun
,
dun

d
(quy về dạng 1)
c

n

1

, trong đó q,b, c, d

, thay vào hệ thức truy hồi ta được:
1

c

b

c vn

q

d vn

d

vn

1

vn

d
q

2

1

c

b

c vn

q

d vn

q

b

d vn

.

là nghiệm của phương trình:
2

c

q

b

0

vn

c
1

q

d
d vn

vn

(quy về dạng 4)

Ví dụ 7: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2014 - 2015) Cho dãy số  un  được xác định
2014 u1 1 u2 1 ... un 1
un
, n 1,2,3,... Tính lim
bởi: u1 1, un 1
.
2015n
un 1
12


Giải:
1
, thay vào hệ thức truy hồi ta có:
vn

Đặt un

1
vn

1
vn

1
vn

1

1
vn

1

vn

1

1
u1

vn là CSC với v1

un

1

vn

1

vn

1

1 với công sai d

1

1

vn

1

n

1 .1

n

1
. Do đó
n

1
1
1
1
1 ...
1
2014 u1 1 u2 1 ... un 1
1
2
n
lim
lim
2015n
2015n

2014.2.3....n. n 1
2014 n 1
2014
lim
lim
2015n.1.2....n
2015n
2015
u1 2
Ví dụ 8: Cho dãy số un được xác định bởi
.
un
un 1
n 1
2 un
2014

Hãy tìm lim 2n un
Giải:
Đặt un

1
, thay vào hệ thức truy hồi ta có:
vn
1
vn

1
vn

Đặt vn

yn

với y1

v1

q

yn

2

1
vn

2

1

1 , ta có: yn
1

1
2

3 n
.2
2

n

Do đó lim 2 un

1
1

lim

1
vn

2

1

1

1

1

vn

1

2vn

yn

1

2yn

, công bội
3 n
.2
2

vn
2n
3.2n

2vn

2 yn

1

1

1

2

1

1

1

un

3.2n
4
4
lim
1
3
3
n 2
2
13

1
2

1

.

1

yn là CSN


u1

Ví dụ 9: Cho dãy số un được xác định bởi

3
1

un

1

n

un

2

.

1

Hãy tìm lim un .
Đặt un

Giải:
, từ hệ thức truy hồi ta có:

vn

vn

Ta xác định

1

2

sao cho

2

1

là một CSC, với số hạng đầu y1
yn

1
2

n

1.

Do vậy lim un

1

3
2

2
vn

2

1 , khi đó: vn

1
yn
1

1

0

1

1
yn

2

vn

vn

2

1
1
, ta có:
yn 1
vn

đặt yn

1
vn

yn

1
v1

1
yn

1

1
u1

1

yn

1
vn
. Ta lại
1 vn

1

yn

1

1
và công sai d
2

1

n . Khi đó un

vn

u1

1

1

1
yn

1 , do đó

2n
2n

1

1.

Ví dụ 10: Cho dãy số un xác định bởi

un

1

un
un

4
, n
6

1

Tìm số hạng tổng quát của un và tính lim un .
Đặt un

Giải:
, từ hệ thức truy hồi ta có:

vn

vn

1

vn
vn

4
6

vn

1
1

4 0 , chọn
Ta xác định sao cho 2 5
5vn
1
, khi đó:
vn 1
. Ta lại đặt yn
vn
vn 2

14

vn
vn

2

yn

1

5
6

4 , ta được

4

5
.
3


5
yn

1
yn

1
yn

1

yn

1

an

vn

lim un

yn

2

1

1
, ta có: an
3

số hạng đầu a1
do đó an

5

1
3

y1

2 2
.
15 5

2
4.
5

1

1

1
3

2
a
5 n

1
v1

un

1

1
5

u1

3.5n
2n 5n

4

2
a

5 n

1

1
3

4
n 1

1
. Tiếp tục đặt
5

an

1

2 2
.
15 5

yn

2
y
5 n

1
3

1
3

n 1

3.5n
2n 5n

lim

1

2yn

yn

an

là CSN có

2
và công bội q
15

2n 5n
3.5n

1
3

5n 4.2n
. Do vậy
2n 5n

n

1
2
5

n

1

BAI TẬP TỰ LUYỆN:
1. Cho dãy số (un) xác định bởi

u1
un

5
2
u
3 n

1

ĐS: limSn = -18
u

3
2. Cho dãy số (un) xác định bởi 1
un 1 4un
ĐS: lim

un
u1

ĐS: lim un

1

.Tính limun

.Tính lim

un
22 n

un

1
un

1

1
n(n

1)

, n

1

.Tính limun

2

u1

4. Cho dãy số (un) xác định bởi

1, n

1

2
3

22n

3. Cho dãy số (un) xác định bởi

6, n

1
un

1

2

ĐS: lim un

2

un

1

15

n

, n

1

. Tính limun

2
,
5


u1

5. Cho dãy số un xác định bởi

un

2
un
1

3un

2

, n

1

Tìm số hạng tổng quát của un và tính lim 2n.un .
1

ĐS: un

6. Cho dãy số un

4
7

; lim 2n.un

7.2n 2 3
u1 2
xác định bởi
2un
un 1

un

ĐS: lim un

1
, n
2

1

. Tính lim un

1

2. Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính
đơn điệu và bị chặn.
* Cơ sở lí thuyết:
Định lí : Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì có giới
hạn hữu hạn.
Nhận xét :
- Nếu dãy số un thỏa mãn điều kiện un
lim un

M , n và tồn tại giới hạn lim un thì

M ; nếu dãy số un thỏa mãn điều kiện un

hạn lim un thì lim un

m, n và tồn tại giới

m

- Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un
n

lim un

n

1

Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi
hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.
u1 1
Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định bởi
un 1
un
un2 1 1

n

2

. Tính lim un .

Giải :

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un

0, n

1, vậy un bị chặn

dưới.
Xét hiệu un

1

un

un
un2

1

un

un3
un2

16

1

0, n

, vậy un giảm.

Khi đó dãy đã cho tồn tại giới hạn. Ta đặt lim un

a

lim un

a

chuyển qua giới hạn hai vế của hệ thức truy hồi ta được: a
Vậy lim un

a, a

1

a2

a

1

0 ,
0

0

Ví dụ 2: Cho dãy số un xác định bởi

u1

2

un

1
u
2 n

2018
, n
un 1

1

2

. Chứng

minh dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải:
Ta dễ dàng chứng minh được un
1
u
2 n

Mặt khác ta lại có : un

1

0, n

1.

2018
un 1

1
.2.
2

un 1.

2018
un 1

2018 , vậy

un bị chặn dưới.

n

, ta có : un

1
u
2 n

un

1

2018
un

2018 un2
2un

un

0, do vậy

un là dãy bị giảm.

Do un giảm và bị chặn dưới nên dãy đã cho có giới hạn. Đặt
lim un

a

a

2018 . Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi của dãy ta
1
a
2

được phương trình : a
a

2018

a

2018
a

a2

2018 . Vậy lim un

Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định bởi

a

2018 . Do

2018 .

u1
un

2018

2
1

2

un , n

1

. Tính lim un

Giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số un tăng và bị chặn trên.
Chứng minh dãy ( un ) tăng bằng quy nạp, tức là un 1 > un , n
Khi n = 1 ta có u2

2

u1

2

2

17

2

u1

1


Giả sử uk

uk , khi đó uk

1

un 1 > un , n

uk

2

2

uk

2

1

uk 1 . Vậy

2 . Ta sẽ chứng minh dãy ( un )

1 . Do đó un bị chặn dưới bởi

bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy
Khi n = 1 ta có u1
Giả sử uk

2

2, k

2

1 , khi đó uk

uk

2

1

2

2

2.

Vậy dãy số un bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số un có giới hạn hữu hạn, giả
sử lim un

a , thì

a

2

2.

Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un
Hay a
Vì

2

a

a2

a

2

a

a
a

2

un

1
2

2 . Vậy lim un

2 nên a

lim 2

1

Ví dụ 4 : Cho dãy số un xác định bởi:

2.

u1

0

un

6

un 1 ,

Giải:
bị chặn. Dễ thấy un

0, n

n

2

. Tính

lim un

Trước hết ta chứng minh un
minh un

3 1, n

.

Với n

1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n

n

1 , ta có uk

k

6

1

uk

6

3

k k

(do 0

1

un

un

un

un

6

3 1, n

1 , ta có uk

3 . Với

3 , vậy (1) luôn đúng với mọi

n
.
Ta chứng minh un đơn điệu tăng. Thật vậy n
un

. Ta chứng

, ta có :

un2

un

6

un

6

un

3

un un

2

0

un

6

un

0

a

3 . Từ hệ thức

).

Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un

a

truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
lim un

Do 0

a

lim 6

un

3

lim un

1

a

6

a

3.
18

a2

a

6

0

a
a

3
2

.


u1

Ví dụ 5: Cho dãy số un xác định bởi:

1
2 2un

un

un

1

1

3

1

n

,

. Tính

2

lim un

Giải:
bị chặn. Dễ thấy un

Trước hết ta chứng minh un
minh un

2 1, n

1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n

n

1 , ta có uk

2 2uk
1

uk

1
3

k k

10

4

uk

(do 0

1

un

un

2 2un
un

1

un

3

2 1, n

2

lim un

2 ), vậy (1)

un un

2

un

1

0

3

).

truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
2 2un 1 1
4a 2
lim un lim

a
un 1 3
a 3
a

2 . Với

, ta có :

un2 un 2
un 3

Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un

Do 0

1 , ta có uk

2 (do uk

3

luôn đúng với mọi n
.
Ta chứng minh un đơn điệu tăng. Thật vậy n
un

. Ta chứng

.

Với n
k

0, n

a2

a

a

a

0

2

0

2 . Từ hệ thức

a
a

2
1

.

2.

Nhận xét : Ta cũng có thể tính giới hạn này bằng cách sử dụng dạng 5 trong
mục 1.
Ví dụ 6: Cho dãy số un

u1
xác định bởi: u2
un

1
2
1

.
un

un 1 , n

2

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó.
Giải :
Dễ thấy un

0, n

. Ta chứng minh un

19

un 1 , (1) n

.


Với n

1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n

Với n

k

1 , ta có uk

uk

1

uk

uk

1

. Do dãy tăng nên un

đúng với mọi n
Ta lại có un

un

un

1

2 un

2

k k

uk

1

u1

un

1 , ta có uk

uk 2 , vậy (1) luôn

1, n

.

4, n

Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un

uk 1 .

.

a

1

a

4 . Từ hệ thức

0

a
a

4
.
0

0, n

1

truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
lim un

Do 1

lim un

1

a

lim un

lim un

4

a

1

a2

2 a

4a

4.

Ví dụ 7: Cho dãy số un xác định bởi

u1

2

un 2

2un .un

4

1

Chứng minh rằng dãy un có giới hạn và tính giới hạn đó.
Giải:
Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n,
Thật vậy, ta có u1

0 . Giả sử uk

2

Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk
Do đó ta có un
un

1

1

un 2 4
2un

Mặt khác ta có
(vì un

un 2 4
2un

2, n

un .

un

1

1

uk

1

1
(u
2 n

4
un

2, n

un 2

4

2un 2

un

2
un 2

0, k
2

4

1 , ta chứng minh uk

uk

0

1

uk 2 4
2uk

0

1

0

4
) . Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
un
1.

1
2

2
un 2

1
2

1
2

1

1
)
2

Nên un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2, do đó dãy un có giới hạn hữu
hạn. Giả sử lim un
Và ta có un
a2

4

a , khi đó 0

un 2 4
2un

1

a

lim un

2 . Vậy lim un

a

2

un 2 4
lim
2un

1

2

20

a

a2 4
2a


Ví dụ 8: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2015-2016) Cho dãy số  xn  được xác định
bởi: x1  2016, xn1  xn2  xn  1, n  1, 2,3,...
a) Chứng minh rằng dãy  xn  tăng và lim xn  .
1 1
1
  ...   . Tính lim yn .
xn 
 x1 x2

b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn  2016 
Giải:
a) Ta có n
xn

x1

, xn

1

xn2

xn

2 xn

1

xn 1

2

0

xn là dãy tăng và

2016 .

Giả sử dãy bị chặn trên, khi đó dãy tồn tại giới hạn hữa hạn. Đặt
lim xn  a  a  2016 . Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương
trình:
a a2

a

a2

1

2a

1

1 (Vô lí vì a  2016 ). Vậy  xn 

a

0

không bị chặn trên và do đó lim xn  .
b) Từ hệ thức truy hồi ta có:
xn1  xn2  xn  1  xn1  1   xn  1 xn 

1
xn

1
xn1  1



1
xn

1
1
1


 xn  1 xn xn  1 xn

1
xn

1

1

1

Nên ta có
1 1
 1
1
1
1
1
1
1 
yn  2016    ...    2016 



 ... 


xn 
xn  1 xn1  1 
 x1 x2
 x1  1 x2  1 x2  1 x3  1
 1
 1
1 
1 

 2016 


  2016 

 x1  1 xn1  1 
 2015 xn1  1 

Từ đó lim yn

2016
.
2015

Ví dụ 9: Cho dãy số un xác định bởi
Tính lim (

u1
u2

u2
u3

.....

un
)
un 1

21

u1
un

1
1

un 2
2019

un , n

1


Giải:
Từ hệ thức truy hồi ta có
un 2
un 1 un
0, n 1(*)
2019
số tăng
un u1 1 0, n 1
Từ (*) suy ra 2019. un
hay

un
un 1

2019

u1
u2

1
un

u2
u3

u1
u2

Do đó lim

un

1

un

un

2

un , n

1

2019.

un

1 , do đó dãy un là dãy
un 2
un 1.un

un

1

un 1.un

1
un

un
un 1

.....

u2
u3

1

2019

un
un 1

.....

1
u1

1
un

2019 1
1

lim 2019. 1

1
un

1

1
un

1

Giả sử un bị chặn trên, khi đó dãy un có giới hạn hữu hạn, giả sử lim un
(Vì un

1, n

a

1

1 ).

Từ hệ thức truy hồi suy ra
un 2
a
lim un 1 lim(
un )
2019
Vậy un không bị chặn trên, tức là lim un
lim un

. Vây lim (

1

a

u1
u2

u2
u3

a2
2019

a

un
)
un 1

.....

a

0 (vô lý).

2019

Ví dụ 10: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2013-2014) Cho dãy số x n được xác định
như sau: x1

3, x n

x n2

1

3x n

4, n

1,2,... Chứng minh rằng x n là một

dãy đơn điệu tăng và không bị chặn. Tìm giới hạn của dãy số yn trong đó yn
được xác định bởi công thức:

yn

1
x1

1
1

x2

1
1

xn

1

, n

1,2,

Giải:
Ta có n 
xn

x1



, xn1  xn  xn2  4 xn  4   xn  2   0   xn  là dãy tăng và

2

3.

22


Giả sử dãy bị chặn trên, khi đó dãy tồn tại giới hạn hữa hạn. Đặt
lim xn  a  a  3 . Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình:

a

a2

3a

a2

4

4a

4

2 (Vô lí vì a  3 ). Vậy  xn  không

a

0

bị chặn trên và do đó lim xn  .
Từ hệ thức truy hồi ta có:

xn1  xn2  3xn  4  xn1  2   xn  1 xn  2  


1
1

xn1  2  xn  1 xn  2 

1
1
1
1
1




xn  2 xn  1
xn  1 xn  2 xn1  2

1

Do đó yn

x1

1

x2

2

1

1
x1

Khi đó lim yn

x2

2
xn

1

x3

2

1
2

1

1

xn

2

2

xn

1

2

1

1

2

1

xn

2

1

1.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1. Cho dãy un xác định bởi

un

1

un

un 1 , n

6

số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó
(ĐS: lim un
2. Cho dãy un

u1
xác định bởi u2
un

1

. Chứng minh rằng dãy

3)

9
6

. Chứng minh rằng
un

1

un 1 , n

2

dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó.
4)
(ĐS: lim un
3. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

1
u1

1
u2

....

1
un

u1
un

3
1

1 2

u
2 n

un

(ĐS: 1)

23

2, n

1


u1

4. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

1
u1

1
u2

un

1

un

1
u2

1

(ĐS: lim

1
u1

u1

u2

1
u1

u2

....

1
un

2

un ( un

1

1

un

u1
un

...

...

1)2 , n

1

1

1
1

...

un

1
1

2019

)

2
1
( un 2
2

1

1), n

1

1
un

u1
un

1)

1

u2

1

1

1

2

1
u2

1

7. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

1, n

2019

1

1
1

un

...

1

6. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

un 2

1
u1

u1

5. Cho dãy ( un ) xác định bởi

u1

1

1
un

....

(ĐS: lim

Tính lim

2

1
8
1
( un 2
3

1

7un

25), n

1

1
un

2

C. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại nhà trường
+) Nhóm thực nghiệm : Đội tuyển học sinh giỏi
+) Lớp đối chứng : 11A1
Kết quả: Các học sinh đội tuyển HSG đa phần có thể làm được các bài tập dạng
này, còn các em không trong đội tuyển và chưa tìm hiểu các kỹ thuật giải toán
này thì rất khó khăn và hầu như không thể giải quyết được yêu cầu của bài toán.
Điều đó cho thấy học sinh ở nhóm thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng
kiến thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với đối
chứng.
24


8. Những thông tin cần bảo mật: Không có
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.
Môn Toán là môn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử của học sinh, vì
vậy luôn được sự quan tâm nhà trường, các em học sinh cũng như các bậc phụ
huynh. Không những thế đây còn là môn học được nhiều lĩnh vực khác áp dụng.
Đối với học sinh: Cần rèn luyện tư duy logic, nắm được kỹ thuật giải để

nhận dạng nhanh và áp dụng vào giải bài tập.
Đối với giáo viên: Cần giảng dạy theo chủ đề, phân dạng bài tập, có
phương pháp và bài tập tự luyện. Thường xuyên cập nhật kỳ thi học sinh giỏi
tỉnh, kỳ thi THPT Quốc Gia để bổ sung kiến thức kịp thời phù hợp với chương
trình và cấu trúc đề thi.
Đối với nhà trường: Cho phép giáo viên linh hoạt trong việc thực hiện
phân phối chương trình chuyên đề. Điều này giúp giáo viên thuận tiện hơn trong
việc áp dụng dạy học và kiểm tra đánh giá theo yêu cầu đổi mới.
10. Đánh giá lợi ích thu đƣợc hoặc dự kiến có thể thu đƣợc do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung
sau.
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả:
Sau khi học xong chuyên đề này các em có thể sẽ cảm thấy rất tự tin và có
khả năng giải quyết được một số bài toán về tính giới hạn của dãy số truy hồi.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Với những kết quả đạt được sáng kiến đã khẳng định được tính khả thi,
hiệu quả của đề tài và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất
lượng dạy học bộ môn Toán nói riêng.
Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo hơn
trong các giờ học, phần lớn các em có thể làm được những bài tập phức tạp và
có thể giải được một số bài về về tính giới hạn của dãy số truy hồi trong các đề
HSG, thi THPT QG.

25