CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 21

Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Câu 1.

Câu 2.

A  1;1;  2 
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
u
u
u
r
B  2; 2;1
. Vectơ AB có tọa độ là
 1;  1;  3
 3;1;1
 1;1;3
 3;3;  1
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
uuur
uuu
r
AB   2  1; 2  1;1   2  
AB   1;1;3
hay
.

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
M  3;1; 1

trên trục Oy có tọa độ là
3;0; 1
0;1;0 
A. 
.
B. 
.
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm
Câu 3.

M  3;1; 1

C. 
Lời giải

3;0; 0 

.

D.

 0;0; 1 .

 0;1;0  .
trên trục Oy có tọa độ là

A  2; 4;3
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
B  2; 2; 7 

. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
 4; 2;10 
 1;3; 2 
 2;6; 4 
 2; 1;5
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
� x A  xB
�xI  2  2
�
y A  yB
�
 1
�yI 
2
�
� z A  zB
�zI  2  5
I
AB
I

Gọi là trung điểm của
, ta có tọa độ điểm là �
.
Vậy
Câu 4.

I  2;  1;5

.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các

A  3; 4;0  B  1;1;3 C  3,1, 0 
điểm
,
,
. Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD  BC
.
D  6;0;0  D  12;0;0 
D  0;0;0  D  6;0;0 
A.
,
B.
,
D  2;1;0  D  4;0;0 
D  0;0;0  D  6;0;0 
C.
,
D.
,

Lời giải
Chọn B
D  x;0;0  �Ox
Gọi

Trang 1/55 - Mã đề 161


AD  BC �
Câu 5.

Câu 6.

 x  3

2

x0
�
 16  5 � �
x  6.
�

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
uuur
A  1;1;  1
B 2;3; 2 
và 
. Vectơ AB
có tọa độ là

1; 2; 3
1;  2; 3
3;5;1
3; 4;1
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn A
uuu
r
AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A    1; 2;3 

M  2;1;  1
(Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
trên trục Oy có tọa độ là
A.

 0; 0;  1 .

B.

 2;0;  1 .

 0;1; 0  .

C.
Lời giải

D.

 2;0; 0  .

Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm
Câu 7.

M  2;1;  1

 0;1;0  .
trên trục Oy có tọa độ là

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm

A  2; 2;1

. Tính độ dài đoạn thẳng OA .

A. OA  5

B. OA  5

C. OA  3
Lời giải

D. OA  9

Chọn C
OA  22  2 2  12  3 .

Câu 8.

M  3; 1;1
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
trên trục Oz có tọa độ là
A.

 3; 1;0  .

B.

 0;0;1 .

Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm
Câu 9.

M  3; 1;1

 0; 1;0  .

C.
Lời giải

D.

 3;0;0  .

 0;0;1

trên trục Oz có tọa độ là

A  3; 2;3
B  1; 2;5 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ
trung điểm I của đoạn thẳng AB .
I  1;0; 4 
I  2;0;8 
I  2; 2; 1
I  2; 2;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
A  3; 2;3
B  1; 2;5 
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với
và
được tính bởi

Trang 2/55 - Mã đề 161

� x A  xB
�xI  2  1
�
�
y  yB
 0 � I  1; 0; 4 
�yI  A
2
�
� z A  zB
zI 
4
�
�
2
Câu 10.

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
M  2;1;  1

trên trục Oz có tọa độ là
2; 0; 0 
0;1;0 
A. 
.
B. 
.

C. 

Lời giải

2;1;0 

.

D.

 0;0;  1 .

Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm

M  2;1;  1

0;0;  1
trên trục Oz có tọa độ là: 
.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

AB cắt mặt phẳng
AM
3
A. BM

 Oxz 

AM
tại điểm M . Tính tỉ số BM .

AM
AM 1
2

B. BM
C. BM 3
Lời giải

Chọn D

M � Oxz  � M  x;0;z 

A  2;3;1

B  5; 6; 2 

. Đường thẳng

AM 1

D. BM 2

uuuu
r
AM   x  2;  3;z  1

;
và
�x  2  7 k
�x  9

�
�
��
3  3k � �
1  k
uuuu
r
uuu
r
�z  1  k
�z  0 � M  9;0;0  .
A, B, M thẳng hàng � AM  k . AB  k ��
�
�
uuuu
r
uuuu
r
BM   14;  6;  2  ; AM   7;  3;  1 � BM  2 AB.
Câu 12.

;

uuur
AB   7;3;1 � AB  59

và

A  3; 1;1
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm

. Hình

 Oyz  là điểm
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng
M  3;0;0 
N  0; 1;1
P  0; 1;0 
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B
Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng
phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của
Câu 13.

A  3; 1;1

lên

 Oyz 

D.

Q  0;0;1

 Oyz  , ta giữ lại các thành
là điểm

N  0; 1;1

.

[2H3-1.1-1] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
r
r
r
a  1; 2;3 ; b  2; 2; 1 ; c  4;0; 4 
Oxyz
gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vecto
. Tọa độ của vecto
r r r
r
d  a  b  2c là
r
r
r
r
d  7;0; 4 
d  7;0; 4 
d  7;0; 4 
d  7;0; 4 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Trang 3/55 - Mã đề 161

Chọn B
r r r
r
d  a  b  2c   1  2  2.4; 2  2  2.0;3  1  2.(4)    7;0; 4 
Ta có:
.
Câu 14.

[2H3-1.1-1] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
r
r
a   2; 2; 4  , b   1; 1;1 .
Oxyz
,
gian
cho vectơ
Mệnh đề nào dưới đây sai?
r r
r
r
a  b   3; 3; 3
A.
B. a và b cùng phương
r
r r
b  3
C.
D. a  b
Lời giải

Chọn B
 Xét đáp án A:

r r
a  b   3; 3; 3

đúng.
r
r
a  2  1; 1; 2  �b   1; 1;1

 Xét đáp án B:
Đáp án B sai.

r
r
. Suy ra a và b không cùng phương.

Câu 15.

[2H3-1.1-1] (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz , cho hai
uuu
r
A  0;1;  1  B  2;3; 2 
điểm
,
. Vectơ AB có tọa độ là
 2; 2;3 .
 1; 2;3 .
 3;5;1 .

 3; 4;1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
u
u
u
r
A 0;1;  1 B  2;3; 2 
2; 2;3
Hai điểm 
,
. Vectơ AB có tọa độ là 
.

Câu 16.

[2H3-1.1-1] (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz cho hai điểm A  3; 2;3 và B  1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
là :
I  2; 2;1
I  1;0; 4 
I  2;0;8 
I  2; 2; 1
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
A  3; 2;3
B  1; 2;5 
Cho hai điểm
và
.
�x A  xB 3   1

1
�
2
2
�
�y A  yB  2   2

0
�
2
� 2
�z A  zB 3  5
� 2  2 4
� I  1;0; 4 
Trung điểm I có tọa độ: �
.

Câu 17.

[2H3-1.1-1] (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
r
r
r
Oxyz cho a   2;3; 2  và b   1;1;  1 . Vectơ ar  b có tọa độ là
 3;4;1 .
 1;  2;3 .
 3;5;1 .
 1;2;3 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
r r
a  b   2  1;3  1;2  1   1;2;3
Ta có:
.

Trang 4/55 - Mã đề 161


Câu 18.

[2H3-1.1-1] (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019)
r
r
r

a   2; 3;3 b   0; 2; 1 c   3; 1;5 
Oxyz
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
,
,
. Tìm
r
r
r
r
tọa độ của vectơ u  2a  3b  2c .
10; 2;13
2; 2; 7 
2; 2;7 
2; 2; 7 
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Lời giải
r
r r
r
r
r

r
2a   4; 6; 6  3b   0;6; 3 2c   6; 2; 10  � u  2a  3b  2c   2; 2; 7 
Ta có:
,
,
.

Câu 19.

[2H3-1.1-1] (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019)
A 1;3; 2  B  3; 1; 4 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 
,
. Tìm tọa độ trung điểm I
của AB.

A.

I  2; 4; 2 

.

B.

I  4; 2;6 

.

C.
Lời giải

I  2; 1; 3 

.

D.

I  2;1;3

.

x A  xB
�
x

2
I
�
2
�
y A  yB
�
 1 � I  2;1;3
�yI 
2
�
� z A  zB
�z I  2  3
Ta có �
.

Câu 20.

[2H3-1.1-1] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong

A ( - 1; 2; - 3) , B ( 1;0; 2) , C ( x; y; - 2)
không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm
thẳng hàng. Khi
đó x + y bằng
A. x + y = 1 .

Có

B. x + y = 17 .

uuu
r
uuur
AB = ( 2; - 2;5) , AC = ( x +1; y - 2;1)

C.
Lời giải

x + y =-

11
5.

D.

x+ y =

11
5 .

.

�
3
�
x =�
x +1 y - 2 1 �
5
�
=
= ��
� x + y =1
�
8
2
2
5
�
uuu
r uuur
y=
�
�
A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương
� 5

.
Câu 21.

[2H3-1.1-1] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
r r
r
r
r
Oxyz
a


i

2
j

3
k
không gian với hệ trục tọa độ
, cho
. Tọa độ của vectơ a là
A.

 1; 2; 3 .

B.

 2; 3; 1 .

r r r
r
r
a  i  2 j  3k � a  1; 2; 3 

Câu 22.

C. 
Lời giải

2; 1; 3

.

D.

 3; 2; 1 .

.

[2H3-1.1-1] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian cho hệ trục toạ độ

Oxyz , cho ba điểm A  1; 2;3 , B  1; 2;5  , C  0;0;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác
ABC .

Trang 5/55 - Mã đề 161


A.

G  0;0;3

.

B.

G  0;0;9 

.

C.

G  1;0;3

.

D.

G  0;0;1

.

Lời giải
Toạ độ trong tâm G của tam giác ABC bằng
x A  xB  xC 1  1  0
�

0
�xG 
3

3
�
y A  y B  y C 2  2  0
�

 0 � G  0;0;3
�yG 
3
3
�
z A  z B  zC 3  5  1
�

3
�zG 
3
3
�
Câu 23.

[2H3-1.1-1] (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
r
r
r
r
r r r
a   2;  3; 3 b   0; 2;  1 c   3;  1; 5 
cho
,
,

. Tìm tọa độ của vectơ u  2a  3b  2c .
 10;  2;13 .
 2; 2;  7  .
 2;  2; 7  .
 2; 2; 7  .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
r
r
r
2a   4; 6;6  ; 3b   0;6; 3 ;  2c   6; 2; 10 
Có
.
r
r r r
u  2a  3b  2c   2; 2;  7 
Khi đó:
.

Câu 24.

[2H3-1.1-1] (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz cho A  1;3; 2  , B  3; 1; 4  . Tìm tọa độ trung điểm I của AB .
I  2; 4; 2 
I  4; 2;6 
I  2; 1;3

A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

I  2;1;3

.

Tọa độ trung điểm I của AB là

� 1 3
�xI  2  2
�
� 3 1
 1 � I  2;1;3 .
�y I 
2
�
� 24
�zI  2  3
�
Câu 25.

[2H3-1.1-1] (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không

A  1;5; 2 
B  3;  3; 2 
gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng
AB là
A.

M  1;1; 2 

Trang 6/55 - Mã đề 161

B.

M  2; 2; 4 

C.
Lời giải

M  2;  4;0 

D.

M  4;  8; 0 


x A  x B 1  3
�
�xM  2  2  1

�
y A  yB 5  3
�

 1 � M  1;1; 2 
�yM 
2
2
�
z A  zB 2  2
�
�zM  2  2  2
Trung điểm M có tọa độ là �
.
Câu 26.

[2H3-1.1-1] (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa
r
u
r
r r
u
r
x   2;1; 3
y   1;0; 1
Oxyz
a

x


2
y
độ
, cho hai vectơ
và
. Tìm tọa độ của vectơ
.
r
r
r
r
a   4;1; 1
a   3;1; 4 
a   0;1; 1
a   4;1; 5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
u
r
2 y   2;0; 2 
Ta có:
.
r r u

r
a  x  2 y   2  2;1  0; 3  2    4;1; 5 
.

Câu 27.

[2H3-1.1-1] (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Trong không gian
Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;3 và B  2; 2;7  . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

 2; 1; 5 .
 2; 6; 4  .
C.
D.
Lời giải
x A  xB 2  2
�
�xM  2  2  2
�
y A  y B 4  2
�

 1
�yM 
2
2
�
z A  zB 3  7
�
�zM  2  2  5
� M  2; 1;5 .

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có: �
A.

Câu 28.

 1;3; 2  .

B.

 2; 1;5  .

[2H3-1.1-1] (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz , cho các điểm
ABCD là hình bình hành.
A.

D  4;  2;9 

.

A  1; 0;3

B.

,

B  2;3;  4 

D  4; 2;9 

.

,

C  3;1; 2 

C.

D  4;  2;9 

. Tìm tọa độ điểm D sao cho
.

D.

D  4; 2;  9 

.

Lời giải
Gọi

D  x; y; z 

. Để ABCD là hình bình hành

�x  4
uuu
r uuur
�

� AB  DC �  1;3;  7    3  x;1  y; 2  z  � �y  2 � D  4;  2;9 
�z  9
�

Câu 29.

.

[2H3-1.1-1] (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa
A 1;3; 4  , B  2; 1; 0  , C  3;1; 2 
độ Oxyz , cho tam giác ABC với 
. Tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC là
�2 �
G�
3; ;3 �
G 2;1; 2 
G 6;3; 6 
G 2; 1; 2 
A. 
.
B. 
.
C. � 3 �.
D. 
.
Trang 7/55 - Mã đề 161


Lời giải

Tọa độ trọng tâm G là
� 1 2  3
2
�xG 
3
�
3 1  1
�
 1 � G  2;1; 2  .
�yG 
3
�
402
�
2
�zG 
3
�
Câu 30.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong

A  5; 2;0  , B  2;3;0  C  0; 2;3
không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết
,
.
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
 1; 2;1 .
 2;0; 1 .
 1;1;1 .

 1;1; 2  .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
G  x, y , z 
Giả sử
.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra
� 5   2   0
� x A  xB  xC
1
�x 
�x 
3
3
�
�
� y A  yB  yC
� 2  3  2
� �y 
 1 � G  1;1;1
�y 
3
3
�
�
� z A  zB  zC
� 003

1
�z 
�z 
3
3
�
�
.
Câu 31.

[2H3-1.1-1] (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Trong không gian
uuu
r
Oxyz , cho A  2; 1;0  và B  1;1; 3 . Vectơ AB có tọa độ là

A.

 3;0; 3 .

B.

 1; 2; 3 .

A  2; 1;0  B  1;1; 3
,
uuu
r
� AB   1  2;1  1; 3  0    1; 2; 3
Câu 32.

 1; 2;3 .

C.
Lời giải

D.

 1; 2;3 .

.

[2H3-1.1-1] (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Trong không gian
Oxyz , cho ba điểm A  1;0;0  , B  1;1;0  , C  0;1;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD

(theo thứ tự các đỉnh) là hình bình hành?
A.

D  2;0;0 

Gọi

.

D x; y ; z

B.

D  1;1;1

.

C.
Lời giải

D  0;0;1

.

uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ AD  BC .
uuur
uuur
AD   x  1; y ; z 
BC   1;0;1
Ta có
và
.

Trang 8/55 - Mã đề 161

.

D.

D  0; 2;1

.


Suy ra x  0; y  0; z  1 .

Vậy

D  0; 0;1

.

Câu 33.

[2H3-1.2-1] (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho
uuu
r
A  2; 2;1 , B  1; 1;3 .
Tọa độ vecto AB là:
A. (1;1; 2). .
B. ( 3;3; 4). .
C. (3; 3; 4). .
D. (1; 1; 2)
Lời giải:
uuu
r
AB   1;1; 2 
Ta có:
.

Câu 34.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong

 Oyz  ?
không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ

M  3; 4; 0 
P  2;0;3
Q  2;0;0 
N  0; 4; 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
 Oyz  có phương trình là x  0 � N  0; 4; 1 � Oyz  .
Mặt phẳng tọa độ
Câu 35.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
rr r
Oxyz
không gian
với i, j , k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Tính tọa độ
r r r
của vecto i  j  k .
r r r
r r r
r r r
r r r
i


j

k

(

1;

1;1).
i

j

k

(

1;1;1).
i

j

k

(1;1;

1).
A.
B.
C.

D. i  j  k  (1; 1;1).
Lời giải
r
r
r
Ta có i  (1; 0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1).
r r r
Do đó, i  j  k  (1;1; 1).

Câu 36.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục
tọa độ Oxyz cho
độ M �
.

 Oyz  là M �
. Hình chiếu của M xuống mặt phẳng
. Xác định tọa

M�
 4;0;0 .
C.
Lời giải
M  4;5;6
 Oyz  là M �
 0;5;6 .
Hình chiếu của
xuống mặt phẳng

A.

Câu 37.

M�
 4;5;0

M  4;5;6

.

B.

M�
 4;0;6

.

D.

M�
 0;5;6

.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục
M  x; y; z 
tọa độ Oxyz cho điểm
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 Oxz  thì M �

 x; y ;  z  .
A. Nếu M �
đối xứng với M qua mặt phẳng
M�
 x; y ;  z  .
B. Nếu M �
đối xứng với M qua Oy thì
 Oxy  thì M �
 x; y ;  z  .
C. Nếu M �
đối xứng với M qua mặt phẳng
M�
 2 x;2 y;0  .
D. Nếu M �
đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì
Lời giải
 Oxz  thì M �
 x;  y; z  . Do đó phương án A sai.
Nếu M �
đối xứng với M qua mặt phẳng
Trang 9/55 - Mã đề 161


M�
  x; y;  z  . Do đó phương án B sai.
Nếu M �
đối xứng với M qua Oy thì
M�
  x;  y;  z  . Do đó phương án D sai.
Nếu M �

đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì

Câu 38.

[2H3-1.1-1] (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian
r r r r
r
Oxyz
u
với hệ tọa độ
giả sử  2i  3 j  k , khi đó tọa độ véc tơ u là
 2;3;1 .
 2;3; 1 .
 2; 3; 1 .
 2;3;1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
r
r
r
i   1;0;0  j   0;1;0 
k   0;0;1
Theo định nghĩa ta có
,
và
.
r

r r r
r
u  2i  3 j  k � u   2;3; 1
Do đó,
.

Câu 39.

[2H3-1.1-1] (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,

M  1;  2; 2 
N  1; 0; 4 
cho 2 điểm
và
. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng MN là:
 1;  1;3 .
 0; 2; 2  .
 2;  2;6  .
 1;0;3 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Gọi I là trung điểm MN . Ta có:
� xM  xN 1  1

1
�xI 
2

2
�
y M  y N 2  0
�

 1
�yI 
2
2
�
� zM  z N 2  4

3
�z I 
2
2
�
Vậy
Câu 40.

I  1;  1;3

.

[2H3-1.1-1] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz ,
r
r
r
r r
b   1;3;0 

a   1; 2;1
cho
và
. Vectơ c  2a  b có tọa độ là
A.

 1;7;2 .

B.

 1;5;2 .

r
r
r r
c   c1 ; c2 ; c3 
Có c  2a  b , gọi

 3;7;2 .

C.
Lời giải

D.

 1;7;3 .

�
c1  2.1   1  1
�

��
c2  2.2  3  7
�
c3  2.1  0  2
�
r
c   1;7; 2 
Vậy
Câu 41.

[2H3-1.1-1] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy , cho hai điểm A  3; 4  và B  5;6  . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A.

 1;5 .

Trang 10/55 - Mã đề 161

B.

 4;1 .

 5;1 .

C.
Lời giải

D.

 8; 2  .


Chọn

A.

� x A  x B 3  5
x 

1
�
�I
2
2
�
�y  y A  yB  4  6  5
I
� I  1;5 
2
2
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó ta có: �
.
Câu 42.

[2H3-1.1-1] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

r
r
r

Oxyz , cho hai vectơ a   2;1; 2  và vectơ b   1;0;2  . Tìm tọa độ vectơ c là tích có
r
r
hướng của a và b .
r
r
r
r
c   2;6; 1
c   4;6; 1
c   4; 6; 1
c   2; 6; 1
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn

D.

Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ Oxyz ta được:

r
r r
�
c�

a
�, b �  2; 6; 1

Vậy chọn đáp án D
Câu 43.

[2H3-1.1-1] (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không
r
r r r
r
Oxyz
a


i  2 j  3k . Tọa độ của vectơ a là:
gian với trục hệ tọa độ
, cho
r
r
r
r
a  1; 2; 3
a  2; 3; 1
a  3; 2; 1
a  2; 1; 3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải
Chọn A
r
r r r
r
r
a  xi  y j  zk � a  x; y; z 
a  1; 2; 3 .
+) Ta có
nên
Do đó Chọn A

Câu 44.

[2H3-1.1-1] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN

A  2; 4;3
B  2; 2;9 
01) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn AB
có tọa độ là
� 3 3�
0; ; �
�
0;3;3
4; 2;12 

2; 1;6 



2 2 �.
�
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
� x A  xB 2  2
�xI  2  2  2
�
y A  yB 4  2
�

 1
�yI 
2
2
�
� z A  zB 3  9
�z I  2  2  6
� I  2; 1;6 
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có �

.
Câu 45.

[2H3-1.1-1] (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai điểm A
A. 26.

 1; 3;1 , B  3;0; 2  . Tính độ dài
B. 22.

AB .

C. 26 .
Lời giải

D.

22.

Trang 11/55 - Mã đề 161


uuu
r
AB  (2;3; 3) � AB  22  32  ( 3)2  22.

Câu 46.

[2H3-1.1-1] (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không

A  1;5; 2 
B  3;  3; 2 
gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng
AB là
A.

M  1;1; 2 

B.

M  2; 2; 4 

C.
Lời giải

M  2;  4;0 

D.

M  4;  8;0 

Chọn A
x A  x B 1  3
�

1
�xM 
2

2
�
y A  yB 5  3
�

 1 � M  1;1; 2 
�yM 
2
2
�
z A  zB 2  2
�
�z M  2  2  2
Trung điểm M có tọa độ là �
.

Câu 47.

[2H3-1.2-1] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian
r
r
r r
a   2; m  1;3 , b   1;3; 2n 
Oxyz
m
,
n
a
với hệ tọa độ
, cho các vectơ

. Tìm
để các vectơ , b
cùng hướng.
3
4
m  7; n  
m  7; n  
4.
3.
A.
B. m  4; n  3 .
C. m  1; n  0 .
D.
Lời giải

�
�k  2
�2  k
�
�
 k  0  � �m  1  3k � �m  7
�
�
3
3
3  k  2n 
r
ur
�
r r

�n  
m  7; n  
�
4 . Vậy
a và b cùng hướng � a  kb
4
Câu 48.

[2H3-1.1-1] (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz cho hai điểm
AB là
�1 1 �
B � ;3; �
A. �2 2 �.
B  5;3; 7 
C.
.

A  1;5;3

và

M  2;1;  2 

B.

B  4;9;8 

D.

B  5; 3; 7 

. Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của

.
.
Lời giải

B  xB ; y B ; z B 
Giả sử
.
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
x A  xB
�
� 1  x B
2
�xM  2
�
2
�xB  5
�
�
y A  yB
�
� 5  yB
�
��
1
� �y B  3
�yM 

2
2
�
�
�
�zB  7
z A  zB
3  zM
�
�
�zM  2
�2  2
B 5; 3; 7 
�
�
. Vậy 
.

Trang 12/55 - Mã đề 161


Câu 49.

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; 1;3) và C (3;5;1) . Tìm tọa độ
điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. D (2;8; 3)
B. D (4;8; 5)
C. D(2; 2;5)
Lời giải

Chọn D
Gọi D ( xD ; yD ; z D ) cần tìm
uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình bình hành � AB  DC
2  1  3  xD
�xB  x A  xC  xD
�
�xD  4
�
�
�
� �yB  y A  yC  yD � �
1  2  5  yD � �yD  8
�z  z  z  z
�
�
3  (1)  1  zD
C
D
�
�zD  3 .
�B A
Suy ra: D(4;8; 3) .

Câu 50.

D. D (4;8; 3)

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không

B  1; 2; 3 C  7; 4; 2 
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm
,
Nếu điểm E thỏa nãm đẳng
uuu
r
uuu
r
thức CE  2EB thì tọa độ điẻm E là:
8�
8�
� 8 8�
�8
�
� 1�
3; ;  �
3;3;  �
1; 2; �
�
� ;3;  �
�
�
3
3
3
3
3
3�
�
�

�
�
�
�
�
A.
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
E x; y; z 
Gọi 
uuu
r
uuu
r
CE   x  7; y  4; z  2  2 EB   2  2 x; 4  2 y ; 6  2 z 
Ta có:
;

�
�x  3
�x  7  2  2x
�
uuu
r
uuu
r

�
� 8
CE  2EB � �y  4  4  2 y � �y 
�z  2  6  2z
� 3
�
8
�
z
�
3
�
Câu 51.

[2H3-1.0-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong mặt

A  1; 3;3 B  2; 4;5 C  a; 2; b 
phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với
;
,
nhận điểm
G  1; c;3
A. 5

làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng a  b  c bằng.
B. 3
C. 1

D. 2

Lời giải
Chọn D
� 1 2  a
1
�
3
�a  0
�
� 3  4  2
�
c
��
b 1
�
3
�
�
c  3
�
� 35b
3
�
3
�
Trang 13/55 - Mã đề 161


Vậy a  b  c  2
Câu 52.

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
A 2; 1;5  , B  5; 5; 7  , M  x; y;1
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 
. Với giá trị nào của
x, y thì A, B, M thẳng hàng.

A. x  4; y  7

B. x  4; y  7

C. x  4; y  7
Lời giải

D. x  4; y  7

Chọn A
uuu
r
uuuu
r
AB   3; 4; 2  , AM   x  2; y  1; 4 
Ta có
uuu
r uuuu
r
�
A, B, M thẳng hàng � AB, AM cùng phương

Câu 53.

�x  4
x  2 y  1 4


��
3
4
2
�y  7 .

[2H3-1.1-2] (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

A  1; 2; 3  B  2;5;7  C  3;1; 4 
tam giác ABC với
,
,
. Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình
hành là
� 8 8�
D�
0; ; �
D  6;6;0 
D  0;8;8 
D  4; 2; 6 
3 3�
�
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Chọn D
1  3  x D
�
�xD  4
uuu
r uuur
�
�
� AB  DC � �
3  1  y D � �yD  2
�
�z  6
10  4  zD
�
�D
Tứ giác ABCD là hình bình hành
Vậy
Câu 54.

D  4; 2; 6 

.

[2H3-1.1-2] (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không

M  1; 2; 3
 Oyz  là
gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của
qua mặt phẳng

0; 2; 3
1; 2; 3
 1; 2; 3 .
 1; 2;3 .
A. 
.
B. 
.
C.
D.
Lời giải
 Oyz  � H  0; 2; 3
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng
M  1; 2; 3
 Oyz 
Gọi M ' là điểm đối xứng với
qua mặt phẳng
� H là trung điểm của MM ' � M '  1; 2; 3 .
Câu 55.

[2H3-1.1-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tam giác

ABC có A  1; 2;0  , B  2;1; 2  , C  0;3; 4  . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình
bình hành.
1;0; 6 
 1;6; 2  .
 1;0;6  .
 1;6; 2  .
A. 
.

B.
C.
D.
Lời giải
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r
Ta có: ABCD là hình bình hành � OA  OC  OB  OD � OD  OA  OC  OB

Trang 14/55 - Mã đề 161


�xD  xA  xC  xB
�xD  1  0  2
�
�
� �yD  y A  yC  yB � �yD  2  3  1
�z  z  z  z
�z  0  4  2 � D  1;0;6 
A
C
B
�D
�D
.
Câu 56.

[2H3-1.1-2] (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không

A  3;1;  2  B  2;  3;5
gian Oxyz , cho hai điểm
,
. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho
MA  2 MB , tọa độ điểm M là
17 �
�7 5 8 �
�3
;  5; �
� ; ; �
�
4;5;

9

.
 1; 7;12  .
2 �.
A. �3 3 3 �.
B.
C. �2
D.
Lời giải
M  x; y; z 
Gọi
. Vì M thuộc đoạn AB nên:

� 7

�x  3
�
3  x  2  2  x 
�
uuur
uuur
�
5
�
MA  2MB � �
1  y  2  3  y  � �y  
3
�
�

2

z


2
5

z


�
� 8
�z  3
�

Câu 57.

[2H3-1.1-2] (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ

A  0;1; 2 
B  3; 1;1
trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ điểm M sao cho
uuuur uuu
r
AM  3 AB .
A.
C.

M  9; 5;7 

.

M  9;5; 7 

Gọi

M  x; y; z 

B.
.

D.

M  9;5;7 

.
M  9; 5; 5 

.

Lời giải
uuuu
r
uuu
r
AM   x; y  1; z  2  ; AB   3; 2;3 

. Ta có:
�x  9
�x  9
uuuu
r
uuur
�
�
AM  3 AB � �y  1  6 � �y  5
�z  2  9
�z  7
M  9; 5; 7 
�
�
. Vậy
.

Câu 58.

.

[2H3-1.1-2] (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz ,

A  2;  2;1 B  0;1; 2 
Oxy 
cho hai điểm
,
. Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 
sao cho ba
điểm A , B , M thẳng hàng là
M  4;  5;0 
M  2;  3;0 
M  0;0;1
M  4;5;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
uuu
r
uuuu

r
M � Oxy  � M  x ; y ;0  AB   2;3;1 ; AM   x  2; y  2;  1
Ta có
;
.
x  2 y  2 1
uuu
r
uuuu
r


3
1
Để A , B , M thẳng hàng thì AB và AM cùng phương, khi đó: 2
�x  4
��
�y  5 .
Trang 15/55 - Mã đề 161


Vậy
Câu 59.

M  4;  5;0 

.

[2H3-1.2-2] (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian với hệ
r

r r r r
Oxyz
u

2
i  2 j  k , v   m;2; m  1 với m là tham số thực. Có bao
tọa độ
cho các véc tơ
r r
u
v
nhiêu giá trị của m để
.
B. 1 .

A. 0 .
Ta có

C. 2 .
Lời giải

r
u   2;  2;1

Khi đó

r
2
u  22   2   12  3

và

D. 3 .

r
2
v  m 2  22   m  1  2m 2  2m  5

m 1
�
2
r r
�
m

m

2

0
�
2
�
u  v � 9  2m  2m  5
m  2
�

Do đó
Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 60.

[2H3-1.1-2] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục
uuu
r
A  1; 2; 1 , AB   1;3;1
Oxyz
tọa độ
, cho hai điểm
thì tọa độ của điểm B là:
B  2;5;0 
B  0; 1; 2 
B  0;1; 2 
B  2; 5;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Gọi

B  x; y; z 

�x  2
�
� �y  5 � B  2;5;0 
uuu
r

�z  0
A  1; 2; 1 AB   1;3;1   x  1; y  2; z  1
�
Có
Câu 61.

[2H3-1.2-2] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ

B C D có A  0; 0;0  , B  a; 0; 0  ; D  0; 2a; 0  ,
tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A����
A�
 0;0; 2a  với a �0 . Độ dài đoạn thẳng AC�là
3
a
a
2a
3a
A. .
B.
.
C.
.
D. 2 .
Lời giải

uuur
uuur
uuur
AB   a;0;0  AD   0; 2a;0  AA�
  0;0; 2a 

Ta có
;
;
.
uuuu
r
uuur uuur uuur uuuu
r
�
�
AC
  a; 2a;2a 
 AC �
Theo quy tắc hình hộp ta có AB  AD  AA�
.
uuur
2
2
AC  AC  a 2   2a    2a   3 a
Suy ra
.
Trang 16/55 - Mã đề 161


Vậy độ dài đoạn thẳng
Câu 62.

AC �
3a

.

[2H3-1.1-2] (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho
A  3;1; 2 

, tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua trục Oy là
3; 1; 2 
3; 1; 2 
3;1; 2 
3; 1; 2 
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Lời giải
A x; y; z  , A '( x�
; y��
;z )
Gọi 
là điểm đối xứng với điểm A qua trục Oy .
�x '   x
�
�y '  y
�z '   z
A '   3;1; 2 
Điểm A ' đối xứng với điểm A qua trục Oy nên �

. Do đó
.
Câu 63.

A  3;1;0  B  0; 1;0  C  0;0; 6 
[2H3-1.1-2] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
,
. Nếu
uuur uuur uuuu
r r
B C có các đỉnh thỏa mãn hệ thức A�
B C có tọa
A  B�
B  C�
C  0 thì tam giác A���
tam giác A���
độ trọng tâm là
 3; 2;0  .
 2; 3;0  .
 1;0; 2  .
 3; 2;1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuu
r uuur uuur r
G  1; 0; 2 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có
và GA  GB  GC  0 .
uuur uuur uuuu
r r
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r r
�
�
�
�
�
�
A
A

B
B

C
C

0
�
GA

GA

GB


GB

GC

GC
0
Ta có:
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r r
� GA  GB  GC  GA�
 GB�
 GC �� GA�
 GB�
 GC �
0.
BC .
� G là trọng tâm của tam giác A���

B C là  1;0; 2  .
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác A���
Câu 64.

[2H3-1.1-2] (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A   1;0;1 , B   2;1; 2  và D   1;  1;1 . Tọa độ
điểm C là
2; 0; 2 

A. 
.

B.

 2; 2; 2  .

C. 
Lời giải

2;  2; 2 

.

D.

 0;  2;0  .

x; y; z
Gọi tọa độ điểm C là 

uuur uuu
r
Vì ABCD là hình bình hành nên DC  AB
uuur
uuu
r
DC   x  1; y  1; z  1 
AB   1;1;1
Ta có

và
�x  1  1 �x  2
�
�
�y  1  1 � �y  0
�z  1  1 �z  2
�
Suy ra �
2; 0; 2 
Vậy tọa độ điểm C là 
.

Trang 17/55 - Mã đề 161


Câu 65.

[2H3-1.1-3] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ
�8 4 8 �
B� ; ; �
A  1; 2;  2 
I  a; b; c 
tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và �3 3 3 �. Biết
là tâm của đường tròn
nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a  b  c bằng

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Lời giải
Chọn D

uuu
r �8 4 8 �
uuu
r
OB  � ; ; �
OA   1; 2;  2 
�3 3 3 �, do đó OA  3, OB  4 .
Ta có
,
uuur
DA uuur
OA uuur
DA  
.DB  
.DB
DB
OB
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ O , ta có
, suy ra
uuu
r
uuu

r
uuur
12 12 �
�
3 uuur uuur 4.OA  3.OB
D� ; ; 0�
DA   DB � OD 
�.
4
7
. Do đó �7 7
uuur �5
2 �
15
AD  � ;  ; 2 �� AD 
7 �
7 .
�7
Ta có
uur
uur 7 uuur
AD uur
5 uur
ID  
.IO   IO � OI  OD � D  1; 1; 0 
AO
7
12
Do đó a  b  c  0 .

Câu 66.

[2H3-1.1-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian tọa độ

Oxyz , cho A  2;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 2  . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa
�
�
�
mãn M không trùng với các điểm A, B, C và AMB  BMC  CMA  90�?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA .

�
�
�
Do AMB  BMC  CMA  90�nên các tam giác AMB, BMC , CMA vuông tại M .
AB
BC
AC
IM 
; JM 
; KM 
2
2
2 . Mặt khác AB  BC  AC  2 2 .
Khi đó

Vậy MI  MJ  MK  2 . Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách

 IJK  một khoảng không đổi là

Trang 18/55 - Mã đề 161

2 . Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên.


Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng
Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 67.

Oxyz
(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
r
r
r r
a   2;1;0 và b   1;0; 2 . Tính cos a,b .
r r
r r
r r
r r 2
2
2
2
cos a,b  
cos a,b  
cos a, b 

cos a,b 
25
5
25
5
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
rr
r r
ab
.
2
2
cos a, b  r r 

5
5. 5
a. b
Ta có:
.

 

 

 

 

 

Câu 68.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
M  2;3;  1

,

N  1;1;1

A. m  2

và

P  1; m  1; 2 

B. m  6

Chọn C
uuuu
r
uuur
MN  3; 2; 2  ; NP  2; m  2;1

.

. Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
C. m  0
D. m  4
Lời giải

uuuu
r uuur

N � MN .NP  0 � 6  2  m  2   2  0 � m  2  2 � m  0
Tam giác MNP vuông tại
.

Câu 69.

[2H3-1.4-1] (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy , cho tam giác ABC biết A  1; 3 , B  2; 2  , C  3;1 . Tính cosin góc A của tam giác.
2
1
2
1
cos A 
cos A 
cos A  
cos A  
17
17
17
17
A.
B.

C.
D.
Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
AB


3;

5
AC   2;  2  .


Ta có:
,
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB.AC 3.2  5.2
1
cos A  cos AB; AC 


AB.AC
34.2 2
17 .
Khi đó:



Câu 70.



[2H3-1.1-1] (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz ,
r
r
u
  3; 0;1
góc giữa hai vectơ i và
là
A. 120�.
B. 60�.
C. 150�.
D. 30�.
Lời giải
r
i   1; 0; 0 
Ta có
.





Vậy:





rr
1.  3  0.0  0.1
i.u 
2
r r r r
2
2
cos i, u
i . u 1.  3  0  1

 





r r
 3
� i, u  150�
= 2
.

 

Trang 19/55 - Mã đề 161

Câu 71.

[2H3-1.2-1] (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019
r
r
r
a   3; 4;0  b   5;0;12 
Oxyz
a
gian
, cho
,
. Côsin của góc giữa và
3
5
5

A. 13 .
B. 6 .
C. 6 .

LẦN 01) Trong không
r
b bằng
3

D. 13 .

Lời giải

Chọn D

rr
r r
a.b
cos a ; b  r r 
a. b



Ta có:
Câu 72.



3.5  4.0  0.12

 3

2

 42  02 . 52  02  122



3
13

.

[2H3-1.2-1] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian tọa độ
r
r
Oxyz góc giữa hai vectơ i và u   3;0;1 là
A. 120�.
B. 30�.
C. 60�.
D. 150�.
Lời giải
r
i   1;0;0 
Ta có
rr
rr
u.i
 3
cos u, i  r r 
rr
2
u
, i  150�
u
.
i
�
. Vậy
.



 



 

Câu 73.

[2H3-1.2-1] (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019)
r
r
u

3;0;1
v
  2;1;0 


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ
và
. Tính tích vô
rr
hướng u.v .
rr
rr
rr
rr
A. u.v  8 .
B. u.v  6 .
C. u.v  0 .

D. u.v  6 .
Lời giải
rr
Ta có u.v  3.2  0.1  1.0  6 .

Câu 74.

[2H3-1.2-2] (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian tọa độ

r
r
u
Oxyz , góc giữa hai vectơ i và   3 ;0;1 là
0
0
0
A. 30 .
B. 120 .
C. 60 .
Lời giải
r
r
u   3 ;0;1

Gọi
là góc giữa hai vectơ i và
, ta có:
rr
i .u
 3

cos  r r 
�  1500
2
i.u
.







Câu 75.

0

D. 150 .



[2H3-1.2-2] (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không
�
gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC là
9
9
9
9


35 .

A. 35 .
B.
C. 2 35 .
D. 2 35 .
Lời giải

Trang 20/55 - Mã đề 161


uuu
r uuur
AB
. AC
5  20  2
9
�  uuu
cosBAC

r uuur 
uuur
uuur
30. 42 2 35
AB . AC
AB  1;5; 2  AC  5; 4; 1
Ta có
;
.
.
Câu 76.

[2H3-1.1-2] (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz
A 5;1;5  ; B  4;3; 2  ; C  3; 2;1
I a; b; c 
cho các điểm 
. Điểm 
là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC . Tính a  2b  c ?

A. 1 .

B. 3.

D. 9.

C. 6.
Lời giải

uuu
r
�
uuu
r uuur
AB
�   1; 2; 3
� AB.BC  0 �
�uuur
BC   7; 5; 1
Ta có �
tam giác ABC vuông tại B .
� tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC .

� 1 �
I�
1;  ;3 �
� � 2 �. Vậy a  2b  c  3.

Câu 77.

[2H3-1.2-2] (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không

A  1;0;0  B  0; 0;1 C  2;1;1
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có
,
,
. Diện tích của
tam giác ABC bằng:
A.

11
2

7
B. 2

6
C. 2
Lời giải

5
D. 2

Chọn C
uuu
r
uuur
AB   1; 0;1 , AC   1; 1;1 �  1 .1  0.1  1.1  0 � AB  AC
Ta có:
.
Nên diện tích tam giác ABC là
Câu 78.

S

1
6
AB. AC 
2
2 .

[2H3-1.2-2] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian
r
r
u   1;1; 2  , v   1;0; m 
Oxyz
với hệ tọa độ
, cho véc tơ
. Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa
r r
u , v bằng 45�.
A. m  2 .

B. m  2 � 6 .

C. m  2  6 .
Lời giải

rr
u
.v
2
r r
r r
2 � r r 
u, v  45�� cos u , v 
2 �
u .v
2
+

 

 

1  2m
6. 1  m 2

D. m  2  6 .



1

2
2 � 3  m  1  1  2m

� 1
�m �
1  2m �0
�
�� 2
�� 2
�m 2  4m  2  0 � m  2  6
3m  3  1  4m  4m2
�
�
.

Trang 21/55 - Mã đề 161


Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng
Câu 79.

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện
ABCD biết A  3;  2; m  , B  2; 0; 0  , C  0; 4; 0  , D  0; 0;3 . Tìm giá trị dương của tham số
m để thể tích tứ diện bằng 8.
A. m  8 .
B. m  4 .
C. m  12 .
D. m  6 .
Lời giải
uuu

r
uuur
uuur
DA   3;  2; m  3 , DB   2; 0;  3  , DC   0; 4;  3 
Ta có:
.

V

m  6
�
1 uuur uuur uuur
1
�
�
DB
,
DC
.
DA
�
8

24

8
m

3
�



�
�
m6 .
6�
6
�

Thể tích tứ diện:
Vì m dương nên m  6. Do đó chọn
Câu 80.

D.

[2H3-6.0-1] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho bốn điểm A(1;  2;0) , B (2;0;3) , C ( 2;1;3) và D(0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD
bằng:
A. 6 .

B. 8 .

C. 12 .
Lời giải

D. 4 .

uuu
r
uuur

uuur
AB

(1;
2;3)
AC

(

3;3;3)
Ta có:
;
; AD  (1;3;1) .

uuur uuur
�
AB, AC �
�
� (3;  12;9) ;
uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD  (3).(1)  (12).3  9.1  24
�
�
.
u
u
u
r

u
u
u
r
u
u
u
r
1
1
VABCD  �
AB, AC �
. AD  24  4
�
�
6
6
.

Câu 81.

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
r r
r
r
�
u
, v � 14
u   1;1; 2  , v   1; m; m  2 
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

. Khi � �
thì
11
11
m
m
5 B. m  1 hoặc
3
A. m  1 hoặc
C. m  1 hoặc m  3

D. m  1
Lời giải

Chọn C
r r
r r
�
�  m  2; m; m  1 � �
�
u
,
v
u
� �
�, v �
r r

 u, v 
Câu 82.

 m  2

2

 m 2   m  1  3m 2  6m  5
2

m 1
�
 14 � 3m2  6m  5  14 � 3m2  6m  9  0 � �
m  3 .
�

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  2; 1;1 , B  3;0; 1 , C  2; 1;3  ,
D �Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các điểm D .
A. 6
B. 2
C. 7
D. 4
Lời giải
Chọn
A.

Trang 22/55 - Mã đề 161


uuur
uuur

uuur
D �Oy � D  0; y;0 
DA

2;

1

y
;1
DB

3;

y
;

1
DC   2; 1  y; 3 .




Do
, khi đó:
,
,
uuur uuur
�
DA, DB �

�  1  2 y;5; y  3
Khi đó �
2 y  6  30
�
�y  12
1 uuur uuur uuur
VABCD  �
DA, DB �
.DC  5 � �
��
�
�
2 y  6  30
6
�
�y  18 .
Và
Vậy y1  y2  12  18  6 .
Câu 83.

[2H3-1.2-2] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,
r
r
a   1; 2;3
b   1;1; 1
cho
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
r r
r r

r r
rr
�
a

b

5
a
, b �  1; 4;3
ab  3
A.
.
B. a.b  4 .
C.
.
D. � �
.
Lời giải
Ta có





r r r
ab  u 

 1  1

2

  2  1   3  1  4  1  4  3
2

2

rr
a.b  1.1   2  .1  3.  1  1  2  3  4
r r r
a b  u 

 1  1

2

(đúng).

(đúng).

  2  1   3  1  0  9  16  5
2

2

(đúng).

r r
�2 3 3 1 1 2 �
�

�
a
�, b � �1 1 ; 1 1 ; 1 1 �  1; 4;3
�
�

(sai).

Câu 84.

[2H3-1.2-2] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ

A ( 1; - 2;0) B ( 1;0; - 1) C ( 0; - 1; 2) D ( - 2; m; n)
tọa độ Oxyz , cho điểm
,
,
,
. Trong các hệ thức
liên hệ giữa m và n dưới đây, hệ thức nào để bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng?
A. 2m + n = 13 .
B. 2m - n = 13 .
C. m + 2n = 13 .
D. 2m - 3n = 10 .
Lời giải
Ta tính
uuu
r uuur
uuu
r
uuur

uuur
AB
, AC �
= ( 5;1; 2)
AB = ( 0; 2; - 1) ; AC = ( - 1;1; 2) ; AD = ( - 3; m + 2; n) �
�
;�
uuur uuur uuur
�
�
AB, AC �
. AD = 0 � m + 2n = 13
�
�
Bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng
Câu 85.

[2H3-1.2-2] (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không

A  1;0; 1 , B  1; 1; 2 
gian Oxyz, cho hai điểm
. Diện tích tam giác OAB bằng
A. 11.

6
.
B. 2

uuu
r uuu

r
�
�  1; 3; 1
OA
,
OB
�
�
r uuu
r
1 uuu
1
11
�
S OAB  �
OA
,
OB
1 9 1 
�
�
2
2
2

C.
Lời giải

11
.

2

D.

6.

.
Trang 23/55 - Mã đề 161


ur
r
ur
m   4 ; 3 ;1
n   0 ; 0 ; 1
Oxyz
Câu 86. [2H3-1.1-2] Trong không gian
, cho hai véc tơ
và
. Gọi p là
ur r
ur
ur
�
� p  15
m
,
n
�
�

véc tơ cùng hướng với
và
. Tọa độ của véc tơ p là

A.

 9 ;  12 ; 0  .

B.

 0 ; 9 ; 12  .

 9 ; 12 ; 0  .

C.
Lời giải

D.

 0 ; 9 ; 12  .

ur r
�
m
, n�
�  3 ;  4 ; 0  .
Ta có: �
ur r
ur
ur r

ur
�
�
�
�
m
,
n
p

k
.
m
�nên
� , n �  3k ;  4k ;0  , k  0 .
Vì p là véc tơ cùng hướng với �
ur
k  3
�
p  15 � 9k 2  16k 2  15 � �
k 3 .
�
Ta có:
ur
� p   9 ;  12 ; 0 
k

0
�
k


3
So sánh với điều kiện
.
Câu 87.

[2H3-1.5-3] (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4
A 2; 0; 2  B  1; 1; 2  C  1;1;0  D  2;1; 2 
điểm 
,
,
,
. Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
42
14
21
7
A. 3 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 3 .

Lời giải
uuur
uuu
r
uuur
AC   3;1; 2  ; AB   1; 1; 4  ; AD   4;1;0 
.
uuu

r uuur
�
AB, AC �
�
�  6; 10; 4  .
r uuur uuur 1
1 uuu
7
V  .�
AB
, AC �
. AD  14 
�
�
6
6
3.
Thể tích khối tứ diện là:
Câu 88.

[2H3-1.4-2] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho bốn điểm

A  0;  2;1 ; B  1;0;  2  ; C  3;1;  2  ; D  2;  2;  1

. Câu nào sau đây sai?
B. Tam giác ACD là tam giác vuông tại A .

A. Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng.
uuur

uuu
r
CD
AB
C. Góc giữa hai véctơ
và
là góc tù.
D. Tam giác ABD là tam giác cân tại B .
Lời giải
uuu
r
uuur
AB   1; 2;  3 ; CD   5;  3;1
uuur
uuur
AC   3;3;  3 ; BD   3;  2;1
uuur
AD   2; 0;  2 
uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�  3;  6;  3 � �
AB
,
AC
AB, AC �
. AD   2  .3  0.6   2   3  0
�
�
�

Ta có: �
.
uuu
r uuur uuur
� AB, AC , AD đồng phẳng hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng. Vậy đáp án A sai.
uuur uuur
AC. AD  3.  2   3.0   3 .  2   0 � AC  AD
Lại có
.
� tam giác ACD là tam giác vuông tại A . Vậy đáp án B đúng.
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB.CD  1.  5   2.  3   3 .1  14  0 � cos AB, CD  0 � AB, CD
Mặt khác:
là góc
tù. Vậy đáp án C đúng.
uuur uuur
AB  BD  14 hay AB  BD
� tam giác ABD là tam giác cân tại B . Vậy đáp án D đúng.



Trang 24/55 - Mã đề 161








Câu 89.

[2H3-1.1-4] (THPT LƯƠNG THẾ VINH - HN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz ,
A  2;3;1

cho ba điểm

B  2;1;0 

,

hình thang có đáy AD và S ABCD

A.

D  8;7; 1

C 3; 1;1
, 
. Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là
 3S ABC .

D  8; 7;1
�
�
D  12;1; 3
B. �

.

.

D  8;7; 1
�
�
D  12; 1;3
C. �
.
Lời giải

D.

D  12; 1;3

.

uuu
r
CB   5; 2; 1
AD
//
BC
�
AD
Ta có
nhận
là một VTCP.
�x  2  5t

�
� AD : �y  3  2t
�z  1  t
A 2;3;1
 t �� � D  5t  2; 2t  3;1  t  .
�
Kết hợp với AD qua 
1
Biến đổi S ABCD  3S ABC � S ACD  2 S ABC  
uuu
r
�AB   4; 2; 1
uuu
r uuur
��
�
AB
�
u
u
u
r
�
�� ; AC �  4;1; 18 
AC


1;

4;0

�


u
u
u
r
u
u
u
r
�
�
AC ; AD �
�uuur
��
�
�  4t ; t ;18t 
�
�AD   5t; 2t ; t 
Ta có

r uuur
�
1 uuu
1
�
�
S


AB
;
AC
� ABC
� 2
�
2�
��
1 uuur uuur
1
�
�
S

AC; AD �

ACD
�
�
�
�
2
2

Với
Với

2

 4t 

  t    18t 

2

 12   18  
2

2

2

341
2
t 341

2

t  2 � D  8;7; 1
�
341
 341 � �
2
t  2 � D  12; 1;3
�

t
Kết hợp với

 4 

 1

ta được
uuur
uuu
r
uuur
D  8;7; 1 � AD   10; 4; 2   2CB  2 BC

.
uuur
uuu
r
uuur
D  12; 1;3 � AD   10; 4; 2   2CB  2 BC

.
uuur
uuur
Hình thang ABCD có đáy AD thì AD  k BC với k  0 .
Do đó chỉ có

D  12; 1;3

thỏa mãn.

Dạng 3. Mặt cầu
Dạng 3. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu
Câu 90.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

 S :

x2   y  2    z  2   8

A. R  2 2

2

2

S
. Tính bán kính R của   .

B. R  64

C. R  8
Lời giải

D. R  4

Chọn A
Trang 25/55 - Mã đề 161