CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 22

Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến
Câu 1.

(ĐỀ MINH HỌA BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

 P  : 3x  z  2  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của  P  ?
phẳng
r
r
r
r
n   3;0; 1
n   3; 1; 2 
n   3; 1; 0 
n   1;0; 1
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Lời giải
Chọn A
r
 P  : 3x  z  2  0 là n2   3;0; 1 .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Câu 2.

Oxyz ,

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian

 P  : 2 x  y  3z  1  0

A.

uu
r
n3   2;1;3 

có một vectơ pháp tuyến là:
uu
r
uu
r
n2   1;3; 2 
n4   1;3; 2 
B.
C.
Lời giải

D.

mặt phẳng

ur
n1   3;1; 2 

Chọn A
Mặt phẳng
Câu 3.

Câu 4.

 P  : 2 x  y  3z  1  0

có một vectơ pháp tuyến là

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  3 z  1  0.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P) ?
uu
r
uu
r
ur
uu
r
n3   1; 2; 1 .
n4   1; 2;3 .
n1   1;3; 1 .
n2   2;3; 1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
uu
r
n4   1; 2;3 .
Từ phương trình mặt phẳng (P) suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Oxyz,

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không giam

 P  : 2x  3 y  z 1  0
ur
n1   2;3; 1
A.

có một
uu
r vectơ pháp tuyến là uu
r
n3   1;3; 2 
n4   2;3;1
B.
C.
Lời giải

Chọn C

 P  : 2x  3 y  z 1  0
Mặt phẳng
Câu 5.

 2;1;3 .

có một vectơ pháp tuyến là

D.

uu
r

n4   2;3;1

mặt phẳng

uu
r
n2   1;3; 2 

.

 P  : 2 x  y  3z  1  0 .
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
 P ?
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
uu
r
ur
uu
r
uu
r
n3   2;3;1
n1   2; 1; 3 
n4   2;1;3
n2   2; 1;3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải
Chọn D
uu
r
P  : 2 x  y  3z  1  0
n2   2; 1;3

Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là

Trang 1/81 - Mã đề 135


Câu 6.

P : 2x  3y  z  2  0
(Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  
.
P
Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của  
r
r
r
r
n1   2;  3;1
n 4   2;1;  2 
n3   3;1;  2 

n 2   2;  3;  2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
r
 P  : 2 x  3 y  z  2  0 . Véctơ n1   2;  3;1 là một véctơ pháp tuyến của  P  .

Câu 7.

P : 4 x  3 y  z 1  0
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  
.
P
Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của  
r
r
r
n 4   3;1;  1
n3   4;3;1
n 2   4;  1;1
A.
.
B.

.
C.
.
Lời giải
Chọn B
 P  : 4 x  3 y  z 1  0 .
r
n3   4;3;1
P
Véctơ
là một véctơ pháp tuyến của   .

Câu 8.

A.

uu
r
n2   3; 2;1

có một vectơ pháp tuyến là
ur
uu
r
n1   1; 2;3
n3   1; 2;3
B.
C.
Lời giải

Chọn A

 P  :3x  2 y  z  4  0
Mặt phẳng
Câu 9.

Oxyz ,

D.

uu
r
n2   3; 2;1

có một vectơ pháp tuyến là

A.

r
n3   1; 2;3

có một véc tơ pháp tuyến là
r
r
n   1; 2; 3
n   1; 2;3
B. 4
C. 2
Lời giải

Chọn C

 P  : x  2 y  3z  5  0
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

là:

D.

r
n2   1; 2;3

.

mặt phẳng

uu
r
n4   1; 2;  3

.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz

 P  : x  2 y  3z  5  0

Câu 10.

D.

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian

 P  :3x  2 y  z  4  0

r
n1   4;3;  1

cho mặt phẳng

r
n1   3; 2;1

.

(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới
đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
ur
i   1;0;0
m  1;1;1
A.
B.

 Oxy ?
C.
Lời giải

r
j   0;1;0

Chọn D

 Oxy
Do mặt phẳng
tuyến

Trang 2/81 - Mã đề 135

vuông góc với trục Oz nên nhận véctơ

D.
r
k   0;0;1

r
k   0;0;1

làm một véc tơ pháp


Câu 11.

(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho mặt phẳng



. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của
r
r
n   2;3; 4 

n   2; 3; 4 
A.
.
B.
.

r
n   2;3; 4 

C.
Lời giải

Chọn C

.

   : 2x  3 y  4z  1  0

D.

r
n   2;3;1

.

uu
r
n0   2; 3; 4 

 : 2x  3 y  4z  1  0

Mặt phẳng  

có một véc tơ pháp tuyến
.
r
uu
r
uu
r
r
n   2;3; 4   n0
Nhận thấy
, hay n cùng phương với n0 .
r
n   2;3; 4 

Do đó véc tơ
cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Câu 12. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

 P  : 3 x – z  2  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của  P  ?
uu
r
n4  (1; 0; 1)

B.

A.

ur

n1  (3; 1; 2)

C.

uu
r
n3  (3; 1;0)

D.

uu
r
n2  (3;0; 1)

Lời giải
Chọn D
Câu 13. Trong không gian Oxyz , véctơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng

   : 2 x  3 y  1  0?
A.

r
a   2;  3;1

B.

r
b   2;1;  3

Chọn C


Mặt phẳng  
Câu 14.

có một VTPT là

r
c   2;  3; 0 

C.
Lời giải

r
r
n   2;  3; 0   c

D.

ur
d   3; 2; 0 

.

(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp

x
y z
  1
tuyến của mặt phẳng 2 1 3

là
r
r
A. n  (3;6; 2)
B. n  (2; 1;3)

r
r
n

(

3;

6;

2)
n
C.
D.  (2; 1;3)
Lời giải
x
y z
1
1
   1 �  x  y  z  1  0. � 3 x  6 y  2 z  6  0.
2
3
Phương trình 2 1 3
r

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n  (3;6; 2) .
Câu 15.

(THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong mặt phẳng tọa độ , cho phương trình tổng
quát của mặt phẳng
là:
1;  3; 4 
A. 

 P  : 2 x  6 y  8 z  1  0 . Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P 
B.

 1; 3; 4 

C. 
Lời giải

1;  3;  4 

D.

có tọa độ

 1;  3; 4 

Trang 3/81 - Mã đề 135


Phương trình tổng quát của mặt phẳng
mặt phẳng

Câu 16.

 P

có tọa độ là

 P  : 2 x  6 y  8z  1  0

 2;  6;  8

hay

nên một véc tơ pháp tuyến của

 1;  3;  4  .

(CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây
P : 2 y  3z  1  0
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  
?
uu
r
uu
r
ur
uu
r
u4   2;0;  3
u2   0; 2;  3
u1   2;  3;1

u3   2;  3;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
uu
r
u   0; 2;  3
P : 2 y  3z  1  0
Ta có 2
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  
.

Câu 17.

(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho mặt phẳng

 P  : 3x  y  2  0 .

Véc tơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt

 P ?
phẳng
 3; 1;2  .
A.

 3;0; 1 .
C.
Lời giải
 P  : 3x  y  2  0 là  3; 1;0  .
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
B.

 1;0; 1 .

D.

 3; 1;0  .

Dạng 2. Xác định phương trình mặt phẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình mặt phẳng cơ bản
Câu 18.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

 Oxz 

có phương trình là:
B. z  0

A. x  0

C. x  y  z  0
Lời giải

D. y  0

Chọn D
Câu 19.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng
A. y  0
B. x  0
Chọn B

 Oyz 
Mặt phẳng

đi qua điểm

phương trình mặt phẳng
Câu 20.

 Oyz 

O  0;0;0 
là :

 Oyz  ?
C. y  z  0
Lời giải
và có vectơ pháp tuyến là

D. z  0

r
i   1;0;0 

1 x  0   0  y  0   0  z  0   0 � x  0

nên ta có

.

 Oyz 
(SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
có phương trình là
A. z  0 .
B. x  y  z  0 .
C. x  0 .
D. y  0 .
Lời giải
Chọn
C.

Trang 4/81 - Mã đề 135


Câu 21.

(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Ozx ?
A. x  0.

B. y  1  0.

C. y  0.
Lời giải

D. z  0.

r

n   0;1;0 
Ta có mặt phẳng Ozx đi qua điểm
và vuông góc với trục Oy nên có VTPT
.
Do đó phương trình của mặt phẳng Ozx là y  0.
O  0;0;0 

Dạng 2.2 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết yếu tố vuông góc
Câu 22.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào
M  1; 2; 3
dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và có một vectơ pháp tuyến
r
n   1; 2;3
.
A. x  2 y  3 z  12  0 B. x  2 y  3z  6  0 C. x  2 y  3z  12  0 D. x  2 y  3z  6  0
Lời giải
Chọn A
r

n   1; 2;3
M  1; 2; 3
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và có một vectơ pháp tuyến
là
1 x  1  2  y  2   3  z  3  0 � x  2 y  3z  12  0
.

Câu 23.

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai

A  0;1;1
B  1; 2;3
 P  đi qua A và vuông góc với
điểm
) và
. Viết phương trình của mặt phẳng
đường thẳng AB .
A. x  y  2 z  3  0
B. x  y  2 z  6  0 C. x  3 y  4 z  7  0 D. x  3 y  4 z  26  0
Lời giải
Chọn A

 P  đi qua A  0;1;1 và nhận vecto
Mặt phẳng

uuu
r
AB   1;1; 2 

 P  :1 x  0   1 y  1  2  z  1  0 � x  y  2 z  3  0 .

Câu 24.

là vectơ pháp tuyến

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. 3x  y  z  0.
B. 3 x  y  z  6  0. C. x  y  2 z  6  0.

A  4;0;1

và

B  2; 2;3 .

D. 6 x  2 y  2 z  1  0.

Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là

uuur
AB    6; 2; 2 

và đi qua

I 1;1; 2 

trung điểm 
của đoạn thẳng AB. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là:
 6  x  1  2  y  1  2  z  2   0 � 6 x  2 y  2 z  0 � 3x  y  z  0.

Câu 25.

A  1; 2;0 
B  3;0; 2 
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. x  y  z  3  0 .
B. 2 x  y  z  2  0 . C. 2 x  y  z  4  0 . D. 2 x  y  z  2  0 .
Lời giải
Trang 5/81 - Mã đề 135


Chọn D

I  1;1;1
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Suy ra
.
uuu
r
AB   4; 2; 2 
Ta có
.
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận
uuu

r
AB làm vtpt, nên có phương trình là    : 2 x  y  z  2  0 .
Câu 26.

A  5; 4; 2 
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm
và

B  1; 2; 4  .

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là
A. 2 x  3 y  z  20  0 B. 3 x  y  3z  25  0 C. 2 x  3 y  z  8  0 D. 3x  y  3z  13  0
Lời giải
Chọn A
uuu
r
AB  ( 4;6; 2)  2(2; 3; 1)
r
 P  đi qua A  5; 4; 2  nhận n  (2; 3; 1) làm VTPT
 P  : 2 x  3 y  z  20  0
Câu 27.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

A  4;0;1

B  2; 2;3
và
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB ?

A. 3 x  y  z  6  0
B. 3 x  y  z  0
C. 6 x  2 y  2 z 1  0 D. 3x  y  z  1  0
Lời giải
Chọn B

   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Gọi
uuur
   đi qua I  1;1; 2  và nhận AB   6; 2; 2  làm một VTPT.
�    : 6  x  1  2  y  1  2  z  2   0 �    : 3x  y  z  0 .

Câu 28.

A  1;3;0 
B  5;1; 1
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
.
AB
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
có phương trình là:
A. x  y  2 z  3  0 . B. 3 x  2 y  z  14  0 .C. 2 x  y  z  5  0 . D. 2 x  y  z  5  0 .
Lời giải
Chọn D
I  3; 2; 1
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm
, có vec tơ pháp tuyến
r 1 uuu
r

n  AB   2; 1; 1
2  x  3  1 y  2   1 z  1  0 � 2 x  y  z  5  0
2
có phương trình:
.
Chọn đáp án

Câu 29.

B.

(Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 2) và B(6;5; 4) . Mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. 2 x  2 y  3 z  17  0 .
B. 4 x  3 y  z  26  0 .

Trang 6/81 - Mã đề 135


C. 2 x  2 y  3 z  17  0 .

D. 2 x  2 y  3 z  11  0 .
Lời giải

Chọn A
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm của AB là M (4;3; 1) và có
uuu
r
AB
 (4; 4; 6) nên có phương trình là

véctơ pháp tuyến là
4( x  4)  4( y  3)  6( z  1)  0
� 2( x  4)  2( y  3)  3( z  1)  0
� 2 x  2 y  3 z  17  0
Câu 30.

A  1; 2;1
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
và
B  2;1;0  .

Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. x  3 y  z  5  0
B. x  3 y  z  6  0
C. 3 x  y  z  6  0
D. 3x  y  z  6  0
Lời giải
Chọn D
uuu
r
uuur


AB  3; 1; 1 .
AB  3; 1; 1



Do mặt phẳng
cần tìm vuông góc với AB nên

nhận
làm vtpt. Suy ra, phương trình mặt phẳng

   : 3  x  1   y  2    z  1  0 � 3x  y  z  6  0.
Câu 31.

A  1;1;1
(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
B  2;1; 0  C  1; 1; 2 

. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình

là
A. 3 x  2 z  1  0

B. x  2 y  2 z  1  0 C. x  2 y  2 z  1  0
Lời giải

D. 3x  2 z  1  0

Chọn B
uuur
BC   1; 2; 2 
 P  cần tìm.
Ta
là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
r có uuur
n   BC   1; 2; 2 
 P .

cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
 P  là x  2 y  2 z  1  0 .
Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 32.

(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
không gian Oxyz , cho 2 điểm A(5; 4; 2) và B(1; 2; 4) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với
đường thẳng AB là?
A. 3x  y  3z  25  0

B. 2 x  3 y  z  8  0 C. 3 x  y  3 z  13  0 D. 2 x  3 y  z  20  0
Lời giải

Chọn D

uuu
r
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB nên nhận AB làm vectơ pháp tuyến,
uuu
r
AB  (4;6; 2)
uuu
r
AB
 (4;6; 2) có phương trình
A
(5;

4;
2)

Mặt phẳng đi qua
và có vectơ pháp tuyến,
4( x  5)  6(y 4)  2(z  2)  0 hay 2 x  3 y  z  20  0 . Vậy chọn
D.

Trang 7/81 - Mã đề 135


Câu 33.

(THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,
r
P
M  3; 1; 4 
a   1; 1; 2 

mặt phẳng
đi qua điểm
đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có
phương trình là
A. 3 x  y  4 z  12  0 . B. 3 x  y  4 z  12  0 . C. x  y  2 z  12  0 . D. x  y  2 z  12  0 .
Lời giải
Chọn C
 P  có dạng: 1.  x  3  1 y  1  2  z  4   0 �  x  y  2 z  12  0 .

Câu 34.

(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A  1;3; 4 

B  1;2;2 
   của đoạn thẳng AB .
và
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực
   : 4 x  2 y  12 z  7  0 .
   : 4 x  2 y  12 z  17  0 .
A.
B.
   : 4 x  2 y  12 z  17  0 .
   : 4 x  2 y  12 z  7  0 .
C.
D.
Lời giải
�5
�
uuu
r
I�
0; ; 1�
AB
  2; 1;6 
2
�là trung điểm của AB ;
Gọi �
.
�5
�
r
I�

0; ; 1�

n   2; 1;6 


2
�
�
Mặt phẳng
qua
và có VTPT
nên có PT:

   : 2  x   �
�y 
�

Câu 35.

5�
� 6  z  1  0 � 4 x  2 y  12 z  17  0
2�
.

(THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian hệ tọa độ

Oxyz , cho A  1;2; 1 ; B  1;0;1 và mặt phẳng  P  :x  2 y  z  1  0 . Viết phương trình mặt

 Q  qua A, B và vuông góc với  P 
phẳng

 Q  :2 x  y  3  0 B.  Q  :x  z  0
A.

 Q  : x  y  z  0

C.
Lời giải

D.

 Q  :3x  y  z  0

Chọn B
uuu
r
r
AB   2; 2; 2   2  1;1; 1 , u   1;1; 1
uuur
n P    1;2; 1
uuur
uuu
r uuur
�
n Q   �
AB
� , n P  �  1;0;1
Vậy
Câu 36.

 Q  :x  z  0 .

(THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho
hai điểm

A  2; 4;1 ,B  1;1;3

và mặt phẳng

 P : x  3y  2z  5  0 .

Lập phương trình mặt

 Q  đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  P  .
phẳng
A. 2 y  3 z  11  0 .
B. 2 x  3 y  11  0 .
C. x  3 y  2 z  5  0 . D. 3 y  2 z  11  0 .
Lời giải
uuu
r
uu
r
P
AB   3; 3; 2 
nP   1; 3; 2 

Ta có:
, vectơ pháp tuyến của mp
là
.

Trang 8/81 - Mã đề 135


r uuu
r uu
r
�
n�
AB,n
� P �  0;8;12 

 Q .
Từ giả thiết suy ra
là vectơ pháp tuyến của mp
 Q  đi qua điểm A  2; 4;1 suy ra phương trình tổng quát của mp  Q  là:
Mp
0  x  2   8  y  4   12  z  1  0 � 2 y  3 z  11  0
.
Câu 37.

(CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

A  1; 1; 2 

B  3;3;0 
và
. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. x  y  z  2  0 .
B. x  y  z  2  0 .
C. x  2 y  z  3  0 . D. x  2 y  z  3  0 .

Lời giải
uuu
r
AB  2  1; 2; 1
Ta có
.
AB � I  2;1;1
Gọi I là trung điểm của
.
r 1 uuu
r
n

AB
  1; 2; 1
   của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận
2
+ Mặt phẳng trung trực
làm
vectơ pháp tuyến có phương trình là
x  2  2  y  1   z  1  0 � x  2 y  z  3  0

.

Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là x  2 y  z  3  0 .
Câu 38.

(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho ba điểm

A  2;1; 1 , B  1;0; 4  , C  0; 2; 1

. Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC

là
A. x  2 y  5 z  5  0 .

B. 2 x  y  5 z  5  0 . C. x  2 y  5  0 .

D. x  2 y  5 z  5  0 .

Lời giải
uuur
BC   1; 2; 5 

Do mặt phẳng vuông góc với BC nên
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
1 x  2   2  y  1  5  z  1  0 � x  2 y  5 z  5  0
Vì vậy phương trình mặt phẳng là :
.
Câu 39.

(SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho hai
điểm

A  1;1; 2 

và

B  2;0;1

A. x  y  z  0 .
uuu
r
AB   1;  1;  1

. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là

B. x  y  z  2  0 . C. x  y  z  4  0 .
Lời giải

D. x  y  z  2  0 .

Ta có:
.
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là:
 x  1   y  1   z  2   0 � x  y  z  2  0 .
Câu 40.

(THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

 P

A  0;1;0  B  2;3;1
 Q  : x  2 y  z  0 có
đi qua hai điểm
,
và vuông góc với mặt phẳng
phương trình là
A. 4 x  3 y  2 z  3  0 . B. 4 x  3 y  2 z  3  0 .C. 2 x  y  3 z  1  0 . D. 4 x  y  2 z  1  0 .
Lời giải

Trang 9/81 - Mã đề 135


Ta có

uuu
r
AB   2; 2;1

uur

 Q  : nQ   1; 2;  1 .
, vectơ pháp tuyến mặt phẳng
uur uur uuu
r

 P  : nP  nQ �AB   4;  3;  2  .
Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng

 P

đi qua

 P

A  0;1;0 

Vậy phương trình mặt phẳng

Câu 41. Trong

không

có dạng 4 x  3 y  2 z  C  0 .

gian

A  1; 0; 2  , B  1;  1;3

nên: 3  C  0 � C  3 .

 P

là 4 x  3 y  2 z  3  0 .

Oxyz , cho mặt phẳng
. Mặt phẳng

 Q

 P  :2 x  y  2 z  1  0

và

hai

điểm

đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

 P

có phương trình là
A. 3 x  14 y  4 z  5  0 . B. 2 x  y  2 z  2  0 .
C. 2 x  y  2 z  2  0 . D. 3 x  14 y  4 z  5  0 .
Gọi

Lời giải

uur uur
nP , nQ

lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
uuur
uur
AB   2;  1;5  nP   2;  1; 2 
Ta có
,
.

 P

và

 Q .

uur uuur uur
uur uuur uur uur
n

�
AB, nP �
n

AB
n

n
Q
Q  P
P
�  3;14; 4  .
Vì   đi qua A, B và     nên Q
, Q
, chọn Q �
Do dó phương trình của

 Q

là

3  x  1  14  y  0   4  z  2   0
Câu 42.

hay 3 x  14 y  z  5  0.

(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho hai mặt phẳng

( a ) : 3x -

2y + 2z + 7 = 0,( b) : 5x - 4y + 3z + 1 = 0

độ O đồng thời vuông góc với cả
A. 2x - y - 2z = 0.
C. 2x + y - 2z = 0.

( a)

và

( b)

. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa

là:
B. 2x - y + 2z = 0.
D. 2x + y - 2z + 1 = 0.

Lời giải
Chọn C

uu
r
uu
r
n = ( 3;- 2;2) nb = ( 5;- 4;3)
Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là a
,
.
uu

r uu
r
�
�
��
na ;nb �
= ( 2;1;- 2)
�
�
u
r
n = ( 2;1;- 2) 2x + y - 2z = 0.
O ,VTPT
:
Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

Trang 10/81 - Mã đề 135


Câu 43. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

 P  : x  3y  2z  5  0 .

Một mặt phẳng

 Q

A  2; 4;1 ; B  1;1;3

và mặt phẳng

đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt

 P  có dạng ax  by  cz  11  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
phẳng
A. a  b  c  5 .
B. a  b  c  15 .
C. a  b  c  5 .
D. a  b  c  15 .
Lời giải
Chọn A
r
Q
P
Q
n   1; 3; 2 



 P  làm vtcp
Vì
vuông góc với
nên
nhận vtpt
của
uuu
r
Q
Q

AB
  3; 3; 2 



Mặt khác
đi qua A và B nên
nhận
làm vtcp
uur
r uuu
r
n, AB �
 Q  nhận nQ  �
�
�  0;8;12  làm vtpt
Vậy phương trình mặt phẳng
Vậy a  b  c  5 . Chọn A.
Câu 44.

 Q  : 0( x  1)  8( y  1)  12( z  3)  0 , hay  Q  : 2 y  3z  11  0

(THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với
A 1; 1; 2  ; B  2;1;1
P : x  y  z 1  0
Q
hệ tọa độ Oxyz , cho 
và mặt phẳng  
. Mặt phẳng  
P

Q
chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng   . Mặt phẳng   có phương trình là:
A. 3 x  2 y  z  3  0 . B. x  y  z  2  0 .
C.  x  y  0 .
D. 3x  2 y  z  3  0 .

Lời giải
Chọn A
uuur
AB   1; 2; 1
Ta có
P
Từ  

P
suy ra vec tơ pháp tuyến của  

uur
nQ

là

uur
nP   1;1;1

Q
Gọi vec tơ pháp tuyến của   là
uur uuur
nQ  AB  1
Q


A
,
B
Vì
chứa
nên
uur uur
nQ  nP  2 
Q   P

Mặt khác
nên
uur
uuu
r uur
�
nQ  �
AB
1 ,  2 

� , nP �  3; 2; 1
Từ
ta được

 Q

uur
nQ   3; 2; 1

A 1; 1; 2 
đi qua 
và có vec tơ pháp tuyến
3  x  1  2  y  1   z  2   0 � 3x  2 y  z  3  0

Câu 45.

nên

 Q

có phương trình là

.

(THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,
cho hai mặt phẳng

 P  : x  3 y  2 z  1  0,  Q  : x  z  2  0 . Mặt phẳng   

vuông góc với cả

 P

 Q đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp    là
và
A. x  y  z  3  0
B. x  y  z  3  0
C. 2 x  z  6  0
D. 2 x  z  6  0

Lời giải
Chọn A
Trang 11/81 - Mã đề 135


uur
nP   1; 3; 2 

 P

uur

 Q có vectơ pháp tuyến n   1;0; 1 .
có vectơ pháp tuyến
,
   vuông góc với cả  P  và  Q nên    có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng
Q

uur uur
�
�
n
�P , nQ �  3;3;3   3  1;1;1 .

   đi qua điểm M  3;0; 0  .
cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên
uur

n

  đi qua điểm M  3;0;0 và có vectơ pháp tuyến    1;1;1 nên    có phương trình:
Vậy
x  y  z  3  0.
Vì mặt phẳng

Câu 46.



(CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng

   : 3x  2 y  2 z  7  0

và

   : 5 x  4 y  3z  1  0 .

   và    có phương trình là
Phương trình mặt phẳng đi qua O đồng thời vuông góc với cả
A. 2 x  y  2 z  1  0 . B. 2 x  y  2 z  0 .
C. 2 x  y  2 z  0 .
D. 2 x  y  2 z  0 .
Lời giải
P
P
Gọi mặt phẳng phải tìm là   . Khi đó véc tơ pháp tuyến của   là:
uur uur uur
nP  �
n , n �

�
�  2; 1;  2  . Phương trình của  P  là 2 x  y - 2 z  0 .
Câu 47.

(ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và hai điểm A  1; 1; 2  ; B  2;1;1 . Mặt phẳng  Q 

 P  , mặt phẳng  Q  có phương trình là:
chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng
A. 3 x  2 y  z  3  0 . B. x  y  z  2  0 .
C. 3x  2 y  z  3  0 . D.  x  y  0 .
Lờigiải
uur
n p  (1;1;1)

uuur
có 1 véc tơ pháp tuyến là
. Véc tơ AB  (1; 2;  1) .
r
r
Q
Q
P



n
n
Gọi là một véc tơ pháp tuyến của
, do

vuông góc với
nên có giá vuông góc
uur
r
u
u
u
r
uu
r
n
 Q  nên n cũng vuông góc với uAB
với p , mặt khác véc tơ AB có giá nằm trong mặt phẳng
uur uuu
r
r
r �
uuur
�  3; 2;1
n
,
AB
 Q
P
n
�
Mà p và AB không cùng phương nên ta có thể chọn n = �
, mặt khác

 P

Mặt phẳng

A  1; 1; 2 
 Q  là:
đi qua
nên phương trình của mặt phẳng
3  x  1  2  y  1  1( z  2)  0 � 3 x  2 y  z  3  0
.
Câu 48.

(ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , phương
trình mặt phẳng đi qua hai điểm

A  0;1; 0  , B  2;0;1

và

P : x  y 1  0
vuông góc với mặt phẳng  
là:
A. x  y  3z  1  0 .
B. 2 x  2 y  5 z  2  0 .

C. x  2 y  6 z  2  0 .
Ta có:

uuu
r
AB   2; 1;1

Trang 12/81 - Mã đề 135

D. x  y  z  1  0 .
Lời giải

P
. Mặt phẳng  

có 1 véctơ pháp tuyến là:

r
n P    1; 1;0 

.


r
n
Gọi
là
véctơ
pháp
tuyến
r uuur
r
uuur r
�
n  AB
�
AB; n P  �

�r r � n  �
�
�  1;1; 1
n

n
 P
�
.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
Câu 49.

của

mặt

phẳng

cần

tìm.

Khi

1 x  0   1 y  1  1 z  0   0 � x  y  z  1  0

đó

.

(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ

H  2;1;1 .
tọa độ Oxyz cho
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A; B; C sao
cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. 2x  y  z  6  0.
B. x  2y  z  6  0. C. x  2y  2z  6  0.
D. 2x  y  z  6  0.
Lời giải
AB  OC
�
� AB   OHC  � AB  OH.
�
AB  CH
Ta có: �
BC  OA
�
� BC   OAH  � BC  OH
�
BC  OH
Tương tự �
.
AB  OH
�
� OH   ABC  .
�
BC


OH
�
Ta có:
uuuur uuur
OH   ABC  � n ABC  OH   2;1;1
Do
2  x  2   ( y  1)  ( z  1)  0 � 2 x  y  z  6  0
Phương trình mặt phẳng (P) là:
.
Dạng 2.4 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết yếu tố song song
Câu 50.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ

M  3;  1;  2

Oxyz , cho điểm

 
và mặt phẳng  :3x  y  2z  4  0. Phương trình nào dưới đây là phương

trình mặt phẳng đi qua M và song song với    ?
A. 3x  y  2z  6  0 B. 3x  y  2z  6  0
3x  y  2z  6  0
3x  y  2z  14  0
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Gọi

   //    , PT có dạng    : 3x  y  2z  D  0 (điều kiện

Ta có:
Vậy
Câu 51.

 

qua

M  3;  1;  2

D �4 );

nên 3.3  1  2. 2  D  0 � D  6 (thoả đk);

   : 3x  y  2z  6  0

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm
A  2; 1; 2  và song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  2  0 có phương trình là
A. 2 x  y  3z  11  0 B. 2 x  y  3z  11  0
C. 2 x  y  3z  11  0

D. 2 x  y  3z  9  0
Lời giải

Chọn C

Trang 13/81 - Mã đề 135

Gọi  Q  là mặt phẳng đi qua điểm A  2; 1; 2  và song song với mặt phẳng  P  .
 
Do  Q  // P nên phương trình của  Q  có dạng 2 x  y  3 z  d  0 ( d �2 ).
Do A  2; 1; 2  � Q  nên 2.2   1  3.2  d  0 � d  11 (nhận).
Vậy  Q  : 2 x  y  3 z  11  0 .
Câu 52.

(THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,
cho ba điểm A(2; 0;0) , B (0; 0;7) và C (0;3;0) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là
x y z
  1
A. 2 7 3

x y z
  0
B. 2 3 7

x y z
  1
C. 2 3 7
Lời giải

x y z
  1  0
D. 2 3 7

Chọn C
Phương trình mặt phẳng ( ABC ) đi qua ba điểm A(2;0;0) , B(0;0;7) và C (0;3;0) là

x y z
  1
2 3 7

 P  đi qua A  3;0;0  , B  0;0; 4  và song song trục Oy có phương trình
Câu 53. Mặt phẳng
A. 4 x  3 z  12  0
B. 3 x  4 z  12  0
C. 4 x  3 z  12  0
D. 4 x  3 z  0
Lời giải
Chọn A
uuu
r
uuu
r
uOy   0;1;0  ; AB   3;0; 4 
uur uuu
r uuur
�
nP  �
u
�Oy . AB �  4;0;3
Lấy
Do đó
Câu 54.

 P  : 4  x  3  3z  0 � 4 x  3z  12  0

(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi

A  1;3; 2 
 P  : 2 x  y  3z  4  0 là:
qua điểm
và song song với mặt phẳng
A. 2 x  y  3z  7  0 . B. 2 x  y  3z  7  0 .
C. 2 x  y  3z  7  0 .

Gọi

D. 2 x  y  3z  7  0 .
Lời giải
r
r
   là mặt phẳng cần tìm. Vì    //  P  � n( )  n( P )   2; 1;3

 
Ta có:

và có véctơ pháp tuyến là
   là:
Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng
2  x  1  1 y  3  3  z  2   0
hay 2 x  y  3z  7  0 .
Câu 55.

đi qua

A  1;3; 2 

r
n ( )   2; 1;3

.

(CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa

A  1; 0;1 B  1; 2; 2 
hai điểm
,
và song song với trục Ox có phương trình là
A. y  2 z  2  0 .
B. x  2 z  3  0 .
C. 2 y  z  1  0 .
D. x  y  z  0 .
Lời giải
Trang 14/81 - Mã đề 135


Ta có

uuur
AB  2; 2;1

.

uuur uuur r
n P   �
AB, i �
�

�  0;1; 2 

 P
Gọi mặt phẳng cần viết phương trình là
Vậy PT mặt phẳng
Câu 56.

 P

có dạng:

suy ra
y  2  z  1  0 � y  2 z  2  0

.

.

(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,
cho điểm A(1; 1;  1) . Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và chứa trục Ox là:
A. x  y  0.

B. x  z  0 .

C. y  z  0.
Lời giải

Mặt phẳng ( P) chứa trục Ox nên có dạng: By  Cz  0

B

2

 C 2 �0 

D. y  z  0.
.

( P) đi qua điểm A(1; 1;  1) nên B.1  C.  1  0 � B  C .
Chọn B  C  1 ta được ( P) : y  z  0 .

Câu 57.

(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với

 Q  : x  2 y  2 z  3  0 , mặt phẳng  P  không qua O ,
hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
d�
 P ; Q �
� 1 . Phương trình mặt phẳng  P  là
và �
B. x  2 y  2 z  0 .

 Q

song song mặt phẳng
A. x  2 y  2 z  1  0 .

C. x  2 y  2 z  6  0 .

D. x  2 y  2 z  3  0 .
Lời giải

 P  không qua O , song song mặt phẳng  Q 
Mặt phẳng
�  P  : x  2 y  2 z  d  0 ( d �0 , d �3 ).
d   3 
d 0
�
1
�
d�
 P ; Q �
d  6 .
� 1 � 12  2 2  22
� d 3  3 � �
Ta có �
Đối chiếu điều kiện ta nhận d  6 .
Vậy
Câu 58.

 P  : x  2 y  2z  6  0 .

A 1;1; 2 
(ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm 
và

 : 2x  2 y  z 1  0
song song với mặt phẳng  
có phương trình là

A. 2 x  2 y  z  2  0 B. 2 x  2 y  z  0
C. 2 x  2 y  z  6  0

D.

   : 2x  2 y  z  2  0
Lời giải

Chọn A
P
 : 2x  2 y  z 1  0
P : 2x  2 y  z  m  0
Có   song song  
nên  
, với m �1 .
P
A 1;1; 2 
Do   đi qua điểm 
nên 2  2  2  m  0 � m  2 (nhận)
P : 2x  2 y  z  2  0
Vậy măt phẳng cần tìm là  
.

Trang 15/81 - Mã đề 135


Câu 59.

(THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ
P : 2x  2 y  z  5  0

Q
tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  
. Viết phương trình mặt phẳng   song
P
P
song với mặt phẳng   , cách   một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ
dương.
Q : 2x  2 y  z  4  0
Q : 2 x  2 y  z  14  0
A.  
.
B.  
.
Q : 2 x  2 y  z  19  0
Q : 2x  2 y  z  8  0
C.  
.
D.  
.
Lời giải
 Q  song song  P  nên phương trình mặt phẳng  Q  : 2 x  2 y  z  C  0 ; C �5
Ta có,
M  0;0;5  � P 

Chọn
d   P ; Q   d  M ; Q  

5C

C4

3� �
�
2   2   1
C  14
�
2

2

2

Ta có

C  4 �  Q : 2x  2 y  z  4  0

khi đó

 Q

M 2;0;0 
cắt Ox tại điểm 1 
có hoành độ âm

Q
nên trường hợp này   không thỏa đề bài.
C  14 �  Q  : 2 x  2 y  z  14  0
 Q  cắt Ox tại điểm M 2  7;0;0  có hoành độ
khi đó

dương do đó

 Q  : 2 x  2 y  z  14  0

Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 60.

thỏa đề bài.
 Q  : 2 x  2 y  z  14  0

.

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho mặt phẳng

 Q :

x  2 y  2 z  3  0 , mặt phẳng  P  không qua O , song song với mặt

 Q  và d   P  ,  Q    1 . Phương trình mặt phẳng  P  là
phẳng
A. x  2 y  2 z  1  0
B. x  2 y  2 z  0
C. x  2 y  2 z  6  0 D. x  2 y  2 z  3  0
Lời giải
 P  song song với mặt phẳng  Q 
Vì mặt phẳng
uur
uur
� vtptnP  vtptnQ   1; 2; 2 
 P  có dạng x  2 y  2 z  D  0

Phương trình mặt phẳng
A  3; 0; 0  � Q 
Gọi
� d   P , Q   d  A, P   1
�
Câu 61.

3 D  3
D  0 (l ), qua O
3 D
�
�
1� �
��
3  D  3 �
D  6 ( n )
3
�

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Mặt phẳng

A  3;0;0  , B  0;0; 4 
qua
và song song với trục Oy có phương trình là
A. 4 x  3 z  12  0 .
B. 3 x  4 z  12  0 .
C. 4 x  3 z  12  0 .
D. 4 x  3 z  0 .
Trang 16/81 - Mã đề 135

 P

đi


Lời giải

uuu
r
AB  (3;0; 4) .

r
Oy có một vectơ chỉ phương là j  (0;1; 0) .
r
 P .
n
Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r r
�
�n  j
r
r uuur
r
�r uuu
�
n�
n  AB
�
�j , AB �  4;0;3  .
Do

nên ta có thể chọn

Khi đó phương trình mặt phẳng cần tìm qua điểm
r
n   4;0;3
 P  :4  x  3  3  z  0   0 .
là
 P  : 4 x  3z  12  0 .
Vậy
Câu 62.

A  3;0;0 

và có vectơ pháp tuyến

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz , cho A  2;0;0  , B  0; 4;0  , C  0;0;6  , D  2; 4;6  . Gọi  P  là mặt phẳng song song với

mp  ABC 

 P  cách đều D và mặt phẳng  ABC  . Phương trình của  P  là
,
A. 6 x  3 y  2 z  24  0 .B. 6 x  3 y  2 z  12  0 .
C. 6 x  3 y  2 z  0 .
D. 6 x  3 y  2 z  36  0 .
Lời giải
x y z
mp  ABC  2  4  6  1 � 6 x  3 y  2 z  12  0
Phương trình
:

.
 P  song song với mặt phẳng  ABC  nên phương trình có dạng:
Mặt phẳng
6 x  3 y  2 z  d  0 , d �12 .

 P  cách đều D và mặt phẳng  ABC 
Mặt phẳng
� d   ABC  ,  P    d  D,  P   � d  A,  P    d  D,  P  
�

6.2  d
6 3 2
2

2

2



6.2  3.4  2.6  d
6 2  32  2 2

Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 63.

� d  12  d  36 � d  24
(thỏa mãn).

 P  : 6 x  3 y  2 z  24  0 .

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong không gian hệ
tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 Q  : x  2y  2z  3  0 và mặt phẳng  P 

không qua O , song

 Q  và d   P  ; Q    1. Phương trình mặt phẳng  P  là
song mặt phẳng
A. x  2y  2z  3  0. B. x  2y  2z  0 .
C. x  2y  2z  1  0 . D. x  2y  2z  6  0 .
Lời giải.

 P  có dạng x  2y  2z  d  0 Với d �0;d �3.
Gọi phương trình mặt phẳng
d 3
d 0
�
d   P  ; Q    1 �
 1� �
d  6.
12  22  22
�
Có
Trang 17/81 - Mã đề 135


 P  có dạng: x  2y  2z  6  0 .
Kết hợp điều kiện �

Dạng 2.3 Xác định phương trình mặt phẳng đoạn chắn
Câu 64.

M  2;0;0 
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
N  0;  1;0  P  0;0; 2 
 MNP  có phương trình là:
,
. Mặt phẳng
x y z
x y z
x y z
   1
  1
  1
A. 2 1 2
.
B. 2 1 2
.
C. 2 1 2
Lời giải
Chọn C
x

y

x y z
  0
D. 2 1 2

.

z

M  2;0;0  N  0;  1;0  P  0;0; 2  �  MNP  : 2  1  2  1
Ta có:
,
,
Câu 65.

(ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua

A  1; 0;0  B  0; 2; 0  C  0;0; 3
ba điểm
,
,
có phương trình là
x y z
x y z
x y z
 
 1
  1
 
1
A. 1 2 3
. B. 1 2 3
.
C. 1 2 3
.

Lời giải
x y z
 
1
Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 2 3
Câu 66.

x y z
 
1
D. 1 2 3
.

(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho điểm
M  1;2;3

. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox , Oy , Oz .

 ABC  .
Viết phương trình mặt phẳng
x y z
x y z
  1
  1
A. 1 2 3
.
B. 1 2 3
.

x y z

  0
C. 1 2 3
.
Lời giải

D.



x y z
  1
1 2 3
.

A  1;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;3

lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy, Oz .
x y z
  1
Phương trình đoạn chắn có dạng: 1 2 3
.
Ta có

Câu 67.

(ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , phương
A 3; 0;0  B  0; 4; 0 
C 0;0; 2 
trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
;

và 
là.
A. 4 x  3 y  6 z  12  0 . B. 4 x  3 y  6 z  12  0 .

C. 4 x  3 y  6 z  12  0 . D. 4 x  3 y  6 z  12  0 .
Lời giải
x y z
ABC  3  4  2  1 � 4 x  3 y  6 z  12  0

Phương trình mặt phẳng
:
.
Câu 68.

(THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa
A  1;0;0  B  0;3;0  C  0;0;5
độ Oxyz , mặt phẳng qua các điểm
,
,
có phương trình là

Trang 18/81 - Mã đề 135


x y z
   1  0.
B. 1 3 5

A. 15 x  5 y  3z  15  0.
C. x  3 y  5z  1.

x y z
   1.
D. 1 3 5

Lời giải
Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng qua các điểm

x y z
   1.
A  1;0;0  B  0;3;0  C  0;0;5
,
,
là 1 3 5
Câu 69.

(THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , phương

A  1;0;0  B  0;  2;0 
C  0;0;3 
trình mặt phẳng đi qua ba điểm
,
và
là
x y z
x y z
x y z
x y z

 1


  1

 0
  1
A. 1 2 3
.
B. 1 2 3
. C. 1 2 3
.
D. 1 2 3
.
Lời giải
A  1;0;0  B  0;  2;0 
C  0;0;3
Ta có phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
,
và
là:
x y z

 1
1 2 3
.
Câu 70.

(THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A  1;1;1 và B  0; 2; 2  đồng thời cắt các tia
Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM  2ON

A.
C.

 P  : 3x  y  2 z  6  0
 P : 2x  y  z  4  0

Chọn D
Cách 1.
Giả sử

 P

đi qua 3 điểm
x y z
 P :   1
a b c
Suy ra

B.

 P  : 2x  3y  z  4  0
 P : x  2y  z  2  0

D.
Lời giải

M  a;0;0  N  0; b;0  P  0;0; c 
,
,

�1 1 1
a2
  1 �
�
�a b c
�
� �2 2
�
 1
�2  2  1
�
b
c
�
 P  đi qua A  1;1;1 và B  0; 2; 2  nên ta có hệ �b c
Mà
OM  2ON � a  2 b � b  1
Theo giả thuyết ta có
 P : x  2y  z  2  0
TH1. b  1 � c  2 suy ra
2
�c  
3 suy ra  P  : x  2 y  3 z  2  0
TH1. b  1

Trang 19/81 - Mã đề 135


Câu 71.

(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,

M  1; 2;3
nếu ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
lên các trục tọa độ

 ABC  là
thì phương trình mặt phẳng
1 2 3
x y z
  1
  1
A. x y z
.
B. 1 2 3
.

1 2 3
x y z
  0
  0
C. x y z
.
D. 1 2 3
.
Lời giải
M  1; 2;3
Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
lên Ox, Oy, Oz .
A  1;0; 0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3 

Suy ra:
.
x y z
  1
ABC 

Vậy phương trình mặt phẳng
theo đoạn chắn là 1 2 3
.
Câu 72.

(TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Trong không
A 2; 0;0  B  0;  1;0  C  0; 0;  3 
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 
,
,
. Viết phương trình
ABC 
mặt phẳng 
.
A. 3 x  6 y  2 z  6  0 .B. 3x  6 y  2 z  6  0 .

C. 3 x  6 y  2 z  6  0 .D. 3 x  6 y  2 z  6  0 .
Lời giải
ABC 
Phương trình mặt phẳng 
(theo đoạn chắn) là
x y
z
 

 1 � 3 x  6 y  2 z  6  0
2 1 3
.
Câu 73.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz ,
cho điểm M (8; 2; 4) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz .
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B và C là
A. x  4 y  2 z  8  0
B. x  4 y  2 z  18  0 C. x  4 y  2 z  8  0 D. x  4 y  2 z  8  0
Lời giải
M (8; 2; 4) chiếu lên Ox, Oy , Oz lần lượt là A(8;0;0), B(0; 2; 0), C (0;0; 4)

x y z

  1 � x  4 y  2z  8  0
Phương trình đoạn chắn qua A, B, C là: 8 2 4
Câu 74.

(CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Viết phương trình mặt phẳng
M  2;1; 3



đi qua

   cắt trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M
, biết
làm trực tâm
A. 2 x  5 y  z  6  0. B. 2 x  y  6 z  23  0.

C. 2 x  y  3 z  14  0. D. 3x  4 y  3z  1  0.
Lời giải
A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  , abc �0.
Giả sử
x y z
  1


Khi đó mặt phẳng
có dạng: a b c
.
Trang 20/81 - Mã đề 135


Do

2 1 3
   1  1
a b c
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
AM   2  a;1; 3 , BM   2;1  b; 3 , BC   0; b; c  , AC    a;0; c 

M �   �

Ta có:

uuuu
r uuur
b  3c
�
�
�b  3c  0
�AM . BC  0
�
��
��
r uuur
�uuuu
3c
a
BM . AC  0
�2a  3c  0
�
�
�
2
Do M là trực tâm tam giác ABC nên:
4 1 3
14
    1 � c   � a  7, b  14.
2
1


3

Thay
vào
ta có: 3c 3c c

 :

Do đó
Câu 75.

 2

x y 3z
   1 � 2 x  y  3z  14  0.
7 14 14

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
H  2;1;1

. Gọi các điểm A, B, C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox, Oy , Oz sao cho H là trực
tâm của tam giác ABC . Khi đó hoành độ điểm A là:
A. 3 .

B. 5 .
A  a;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0; c 

Giả sử
Ta có:
uuur
uuur
AH   2  a;1;1 ; BH   2;1  b;1

uuur
uuur
BC   0; b; c  ; AC   a;0; c 

C. 3.
Lời giải
. Khi đó mặt phẳng

D. 5

 ABC  :

x y z
  1
a b c

�2 1 1
�H � ABC 
�a  b  c  1
a3
�
u
u
u
r
u
u
u
r
�

�
�
�
b6
�AH .BC  0 � � b  c  0 � �
�uuur uuur
� 2a  c  0
�
c6
�
�BH . AC  0
�
�
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
A 3;0;0 
Vậy 

   đi qua điểm M  1; 2;3 và cắt các trục Ox, Oy,
Câu 76. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
Oz lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt
phẳng
A. 8 .



có phương trình dạng ax  by  cz  14  0 . Tính tổng T  a  b  c .
B. 14 .
C. T  6 .
D. 11 .
Lời giải

Trang 21/81 - Mã đề 135


Mặt phẳng



A  m; 0;0  , B  0; n; 0  , C  0;0; p 
cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
,

x y z
  1
m, n, p �0 . Ta có phương trình mặt phẳng    có dạng m n p
.
1 2 3
M �   �    1
 1
m n p
Mà
.
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
AM   1  m; 2;3 , BM   1; 2  n;3 , BC   0; n; p  , AC    m;0; p 
Ta có

.
uuuu
r uuur
�
3 p  2n  0
�
�AM .BC  0
� �uuuu
��
r uuur
3 p  m  0  2
�
�BM . AC  0
M là trực tâm tam giác ABC
.
14
p
1
2


3 .
Từ
và
suy ra: m  14; n  7;
x y 3z
 
 1 � x  2 y  3z  14  0
có phương trình 14 7 14
.

Vậy T  a  b  c  1  2  3  6 .


Suy ra
Câu 77.

(THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Mặt phẳng

M  1;1;1

D. 18 .

Lời giải
Từ giả thiết ta có a  0, b  0, c  0 và thể tích khối tứ diện OABC là
x y z
 P  có dạng a  b  c  1 .
Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng
Mà

Do đó
Vậy

minVOABC 

VOABC 

1
abc
6
.

1 1 1
  1
a b c
.

1 1
1 �
a b
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có:
VOABC 

đi qua điểm

A  a;0; 0  B  0; b;0  C  0;0; c 
cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại
,
sao cho thể tích
,

khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a  2b  3c bằng
A. 12 .
B. 21 .
C. 15 .

M � P  �

 P

1

c

33

1
abc

abc 27

1
9
abc �
6
2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  3 .
9
� a bc 3
2
. Khi đó a  2b  3c  18 .

Trang 22/81 - Mã đề 135

.


Câu 78.

(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho điểm
phẳng

 P

M  1; 2;5

. Mặt

đi qua điểm M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm

 P  là
tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng
A. x  y  z  8  0 .
B. x  2 y  5 z  30  0 .
x y z
  0
C. 5 2 1
.

x y z
  1
D. 5 2 1
.
Lời giải

Cách 1 :
Ta có tính chất hình học sau : tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc thì
điểm M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm O

 ABC  .
uuuu
r
P

M  1; 2;5 
OM  1; 2;5 

Do đó mặt phẳng
đi qua điểm
và có véc tơ pháp tuyến
.
 P  là  x  1  2  y  2   5  z  5   0 � x  2 y  5 z  30  0.
Phương trình mặt phẳng
lên mặt phẳng

Cách 2:
A  a;0; 0  ; B  0; b; 0  ; C  0; 0; c 
Giả sử
x y z
  1
có dạng a b c
.
1 2 5
   1 1
M � P 
a b c
Theo giả
thiết
ta
có
nên
.
uuuu
r

uuur
uuuu
r
uuur
AM   1  a; 2;5  ; BC  0;  b; c  ; BM   1; 2  b;5  ; AC   a;0; c 
Ta có
uuuu
r uuur
�
2b  5c
�
�AM .BC  0
��
 2
r uuur
�uuuu
a  5c
BM
.
AC

0
�
�
ABC
Mặt khác M là trực tâm tam giác
nên
 1 và  2  ta có a  30; b  15; c  6 .
Từ
x

y z

P
  là 30 15  6  1 � x  2 y  5 z  30  0.
Phương trình mặt phẳng

 P
Khi đó phương trình mặt phẳng

 P  : x  4 y  2z  6  0 ,  Q : x  2 y  4z  6  0 .
Câu 79. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
Mặt phẳng



chứa giao tuyến của

 P  ,  Q  và cắt các trục tọa độ tại các điểm

A, B, C sao

   là
cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. Phương trình mặt phẳng
A. x  y  z  6  0 .
B. x  y  z  6  0 .
C. x  y  z  3  0 . D. x  y  z  6  0 .
Lời giải
uur
P  : x  4 y  2z  6  0
nP   1; 4; 2 


Mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến
.
uur
 Q  : x  2 y  4 z  6  0 có véctơ pháp tuyến nQ   1;  2; 4  .
Mặt phẳng
uur uur
r
�
�  12; 6; 6 
n
u   2;  1; 1
P ; nQ �
�
Ta có
, cùng phương với
.

Trang 23/81 - Mã đề 135


Gọi

d   P  � Q 

điểm

M  6;0;0 

Mặt phẳng

. Ta có đường thẳng d có véctơ chỉ phương là

r
u   2;  1; 1

và đi qua

.

   cắt các trục tọa độ tại các điểm A  a ;0;0  , B  0; b ;0  , C  0;0; c 

với abc �0 .

x y z
  1
a b c
Phương trình mặt phẳng
.
r �1 1 1 �
n� ; ; �


�a b c �.
Mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến
�2 1 1
  0
�a  6

�
r r
�a b c
�
��
� �1 1 1
�
�n  u
   
��
�6  1
�
b
c 3
�
M
�

   chứa d �   �a
Mặt phẳng
.
� OA  OB  OC � a  b  c � b  c  6
Ta lại có hình chóp O. ABC là hình chóp đều
  ta được b  c  6 .
Kết hợp với điều kiện
x y z
  :   1� x  y  z  6  0
6 6 6
Vậy phương trình của mặt phẳng
.

 :

Câu 80.

(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ

M  9;1;1
tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  đi qua điểm
cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C
không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
81
243
81
A. 2 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 243 .
Lời giải
Giả sử

A  a;0; 0  , B  0; b; 0  , C  0;0; c 

với a, b, c  0 .
x

y

z

  1
Mặt phẳng  P  có phương trình ( theo đoạn chắn): a b c
.

Vì mặt phẳng  P  đi qua điểm

9 1 1
1  �
a b c
Ta có

33

9
a.b.c

M  9;1;1

a.b.c

9 1 1
  1
nên a b c
.

243

.

1

243 81
81
VOABC  a.b.c �
 .
6
6
2 Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là 2 .

Dạng 3. Một số bài toán liên quan điểm với mặt phẳng
Dạng 3.1 Điểm thuộc mặt phẳng
Câu 81.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

   :x  y  z  6  0 . Điểm nào dưới đây không thuộc    ?
Trang 24/81 - Mã đề 135

Oxyz , cho mặt phẳng


A.

Q  3;3;0

B.

N  2;2;2

C.
Lời giải

P  1;2;3

Chọn D
Ta có:

Câu 82.

1 1 1 6  5 �0 � M  1; 1;1

là điểm không thuộc

D.

  .

(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

 P  : x  2y  z  5  0. Điểm nào dưới đây thuộc  P  ?
A.

P  0;0; 5

B.

M  1;1;6

Q  2; 1;5

C.
Lời giải

M  1; 1;1

D.

, cho mặt phẳng

N  5;0;0

Chọn B

M  1;1;6
 P .
Ta có 1 2.1 6  5  0 nên
thuộc mặt phẳng

Câu 83.

(ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

 P : x  y  z  3  0

đi qua điểm nào dưới đây?
M  1; 1; 1
N  1;1;1
P  3;0;0 
Q  0;0; 3
A.

B.
C.
D.
Lời giải
N  1;1;1
 P  nên N � P  .
Điểm
có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng
Câu 84.

(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

 P  :2 x  y  z  3  0 . Điểm nào trong các phương án dưới đây thuộc mặt phẳng  P 
phẳng
M  2;1;0 
M  2;  1; 0 
M  1;  1;6 
M  1;  1; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
2.2  1  0  3  0 � M  2;1;0  � P  :2 x  y  z  3  0
Ta có:
.

Câu 85.

(CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới
P : 2x  y  z  2  0
đây nằm trên mặt phẳng  
.
Q 1; 2; 2 
P 2; 1; 1
M  1;1; 1
N 1; 1; 1
A. 
.
B. 
.
C.
.
D. 
.
Lời giải
P
2.1   2   2  2  4 �0
+ Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng   ta được
nên
Q � P 

.

P
2.2   1   1  2  2 �0
+ Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng   ta được

nên

P � P 

.

P
2.1  1   1  2  2 �0
+ Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng   ta được

nên

M � P 

.

Trang 25/81 - Mã đề 135