HUYÊN đề 27 PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI với hệ số THỰC, bài TOÁN MIN MAX

CHUYÊ
N ĐỀ 27

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC, BÀI TOÁN MIN-MAX

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI
Phương trình bậc 2 với hệ số thực

z1 , z2 , z3 z4
(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu
và là bốn nghiệm phức của phương
T = z1 + z2 + z3 + z4
z 4 − z 2 − 12 = 0
trình
. Tính tổng
T = 2+2 3
T =2 3
T = 4+2 3
T =4
A.
B.
C.
D.
Câu 1.

Câu 2.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Gọi

4z2 − 4z + 3 = 0

A.

. Giá trị của biểu thức

3 2

B.

z1 + z2
2 3

z1

và

z2

là hai nghiệm phức của phương trình

bằng:
C.

3

D.

3

z1 z2
z2 + 4 = 0
Câu 3. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Kí hiệu ,
là hai nghiệm của phương trình
. Gọi
z1 z2
T = OM + ON
O
M N
,
lần lượt là điểm biểu diễn của ,
trên mặt phẳng tọa độ. Tính
với
là gốc tọa
độ.
T =8
T= 2
4
T =2
A.
B.
C.
D.
z1 , z2

Câu 4. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Gọi
z12 + z22
của
bằng:
16.

56
A.
B.
.

là hai nghiệm phức của phương trình

C.

20.

D.

z 2 − 6 z + 10 = 0

26

. Giá trị

.

1+ 2i
Câu 5. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
1− 2i
là nghiệm.
z2 + 2z + 3 = 0
z2 − 2z + 3 = 0
z2 + 2z − 3 = 0
z2 − 2z − 3 = 0

A.
B.
C.
D.

1


z1 , z2

Câu 6.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
P = z1 + z2
3z 2 − z + 1 = 0
. Tính
.
2
3
2 3
14
P=
P=
P=
P=
3
3
3
3

A.
B.
C.
D.

Câu 7. (Mã 102 - BGD - 2019) Kí hiệu
z12 + z2 2
của
bằng
36
8
A.
.
B. .
Câu 8. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Gọi
z12 + z22
của
bằng
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. 2.
B. 8.

z1 , z2

là hai nghiệm phức của phương trình

C.

z1 , z2

28

.

D.

là hai nghiệm phức của phương trình

C. 16.

z 2 − 6z + 14 = 0

18

. Giá trị

.

z 2 − 4 z + 7 = 0.

Giá trị

D. 10.

z1 ; z2
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu
là hai nghiệm của phương trình
2
2
P = z1 + z 2 + z1 z2

z2 + z +1 = 0
. Tính
.
P=0
P=2
P = −1
P =1
A.
B.
C.
D.

Câu 9.

Câu 10. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Kí hiệu
z − 3z + 5 = 0
2

trình

A.

10

. Giá trị của

z1

và

z2

là hai nghiệm phức của phương

z1 + z2

bằng:
2 5
B.
.

C.

5

.

D.

3

.

z1 , z 2
Câu 11. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
1 1
P= +
z1 z2
z2 − z + 6 = 0

. Tính
.
1
1
1
−
6
6
6
12
A.
B.
C.
D.

z1 , z2

Câu 12. (Mã 103 - BGD - 2019) Gọi
z12 + z22
bằng
A. 16.
B. 26.

là 2 nghiệm phức của phương trình
C. 6.

z 2 − 4z + 5 = 0

. Giá trị của

D. 8.

2


z1 z2
Câu 13. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi ;
là hai nghiệm
z 2 + 2 z + 10 = 0

của phương trình
10 3
A.
.

2

. Tính giá trị biểu thức
B.

5 2

.

A = z1 + z2

C.

2 10

2

.

.

D.

Câu 14. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Ký hiệu
z1 . z2
z 2 + 2 z + 10 = 0
. Giá trị của
bằng
5
5
10
2
A. .
B. .
C. .
Câu 15. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Kí hiệu
z1 + z2
z 2 = −3
trình
. Giá trị của
bằng
2 3
3
6
A. .

B.
.
C. .

20

.

z1 z2
,
là nghiệm của phương trình

D.

20

.

z1 z2
,
là hai nghiệm phức của phương

3

D.

.

z1 z2
Câu 16. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi ,

là các nghiệm phức của
2
z1 − z2
z − 8 z + 25 = 0
phương trình
. Giá trị
bằng
A.

5

.

B.

3

.

Câu 17. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Biết

C.

8

.

D.

6

.

z

là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương
z
w=
2
z − 6 z + 10 = 0
z
trình
. Tính tổng phần thực và phẩn ảo của số phức
.
7
1
2
4
5
5
5
5
A. .
B. .
C. .
D. .

z1 z2
Câu 18. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi ,
là hai nghiệm

2
z − 4z + 5 = 0
phức của phương trình
. Tính
1 1
w = + + i ( z12 z2 + z2 2 z1 )
z1 z2
.
4
4
4
w = 20 + i
w = − + 20i
w = + 20i
w = 4 + 20i
5
5
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 19. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Với các số thực
z0 = 8 + 16i
w = a + bi
nghiệm phức

. Tính môđun của số phức

a, b

biết phương trình

z 2 + 8az + 64b = 0

có

3


w = 19
A.

w = 3

B.

C.

D.

Câu 20. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Phương trình
1+ i
số thực nhận số phức
là một nghiệm.
Tính

a − b?

.

A.

−2

.

B.

w = 29

w = 7

−4

.

C.

4

z2 + a. z + b = 0

.

D.

0

a ,b

, với

là các

.

w = b + ci b, c ∈ ¡
Câu 21. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tính modun của số phức
,
8
i − 1 − 2i
z 2 + bz + c = 0
1 − i7
biết số phức
là nghiệm của phương trình
.
3
2 2
3 2
2
A. .
B. .
C.
.
D.
.

Câu 22. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
phương trình
A.

z2 + 4z + 7 = 0
2

. Số phức
B.

z1.z2 + z2.z1

10

z1 , z2

là các nghiệm phức của

bằng
C.

2i

D.

10i

z1 ; z2
Câu 23. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Gọi
là hai nghiệm phức của phương trình

z1 z2 + z 2 z1
3 z 2 − 2 z + 27 = 0
. Giá trị của
bằng:
3 6
6
6
2
A.
B.
C.
D.
z1

Câu 24. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi và
4
4
z1 + z2
z 2 + 4 z + 29 = 0
phức của phương trình
.Tính giá trị của biểu thức
.
841
1682
1282
58
A.
.
B.
.

C.
.
D. .

z2

là hai nghiệm

z1; z2

Câu 25. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Kí hiệu
là hai nghiệm
2
P = z1 + z2
3z − z + 1 = 0
phức của phương trình
. Tính
.
14
2
3
2 3
P=
P=
P=
P=
3
3
3
3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 26. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Gọi
2
2
T = z1 + z2
3z 2 − z + 2 = 0
nghiệm phức của phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.

z1 z2
,

là hai

4


T=

A.

2

3

T=

.

B.

8
3

T=

.

C.

4
3

11
9

T =−

.

D.

.

A, B
Câu 27. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Gọi
là hai điểm trong mặt
z12 + z22 − z1 z2 = 0,
z1 , z 2
0
phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức
khác thỏa mãn đẳng thức
khi
OAB O
đó tam giác
( là gốc tọa độ):
A. Là tam giác đều.
B. Là tam giác vuông.
C. Là tam giác cân, không đều.
D. Là tam giác tù.

Câu 28. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hai số phức z và w khác 0 ,
3 4
5
+ =
w =1
thỏa mãn z w z + w và
. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

z =2 3

.

B.

z=

2 3
3 .

C.

z = 3

.

D.

3
2 .

z=

Câu 29. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho phương trình
với

a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0

P=

có các nghiệm
2

b − 2ac

A.

a

z1 , z2
P=

2

.

B.

2

P = z1 + z2 + z1 − z2

đều không là số thực. Tính
2c
a

P=

.

C.

4c

a

P=
.

D.

az 2 + bz + c = 0

,

2

a, b, c.
theo
2b 2 − 4ac

a2

.

S
m
Câu 30. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi là tổng các số thực
z = 2.
z2 − 2z +1− m = 0
S.
để phương trình
có nghiệm phức thỏa mãn
Tính

S = 6.
S = 10.
S = −3.
S = 7.
A.
B.
C.
D.

Câu 31. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho số phức
z + 1 + 3i − z i = 0
( a, b ∈ ¡ )
S = 2a + 3b
thỏa mãn
. Tính
.
S = −6
S =6
S = −5
S =5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

z = a + bi

S
Câu 32. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi
là tổng các giá trị thực của
2
z
=
1
m
9z + 6z +1− m = 0
S
để phương trình
có nghiệm phức thỏa mãn
. Tính .
20
8
12
14
A.
.
B. .
C. .
D. .

Bài toán MIN-MAX

5


z = a + bi

Câu 33. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xét số phức
. Tính

P = a+b

A.

( a, b ∈ ¡ )

z − 4 − 3i = 5
thỏa mãn

z + 1 − 3i + z − 1 + i
khi

đạt giá trị lớn nhất.

P =8

B.

P = 10

C.

P=4

D.

P=6

z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2.

z

Câu 34. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Xét số phức thỏa mãn
z −1 + i .
m, M
P = m + M.
Gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
Tính
5 2 + 2 73
5 2 + 73
P=
P=
P
=
5
2
+
73
P = 13 + 73
2
2
A.
B.
C.
D.

z1 , z2
Câu 35. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hai số phức
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau
z1 − z2
z − 1 = 34, z + 1 + mi = z + m + 2i
m
(trong đó
là số thực) và sao cho
là lớn nhất. Khi đó giá trị
z1 + z2
bằng
130
10
2
2
A.
B.
C.
D.

z − 2 − 2i = 1

z

Câu 36. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho số phức thỏa mãn
có môđun nhỏ nhất là:
5−2
5 −1
5 +1
A.

.
B.
.
C.
.

. Số phức
D.

5+2

z −i

.

m
M
Câu 37. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
và
lần lượt là giá trị lớn
2z + i
M
P=
z
≥
2
z
0
m
z

nhất và giá trị nhỏ nhất của
với là số phức khác và thỏa mãn
. Tính tỉ số
.
M
M 4
M 5
M
=
=2
=3
=
m
m 3
m 3
m
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
z − 2 − 3i = 1

z

z +1+ i

Câu 38. Cho số phức thoả mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của
13 + 3
13 + 5
13 + 1
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 39. Xét tất cả các số phức
khoảng nào?
( 0;1009 )
A.
.

z

.
D.

B.

( 1009; 2018)

.

z 2 + 7 − 24i

z − 3i + 4 = 1
thỏa mãn

13 + 6

. Giá trị nhỏ nhất của

.

C.

( 2018; 4036 )

.

D.

nằm trong

( 4036; +∞ )

.

6


Câu 40. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho số phức z thỏa mãn

z+z + z−z =4
A= M +m

P = z − 2 − 2i
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A∈ 34;6
A ∈ 6; 42
A.
.
B.
.

(

)

(

)

(

A∈ 2 7; 33
C.

Câu 41. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho số phức
M −n
M n
Gọi
, lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính

M −n =7
M −n =2
M −n=4
A.
.
B.
.
C.
.

)

z

. Đặt

(

A∈ 4;3 3
.

D.

)

.

z − 6 + z + 6 = 20

thỏa mãn

D.

.

M − n = 14

.

z
Câu 42. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho số phức
thỏa mãn
z − 3 + 4i = 2 w = 2 z + 1 − i
w
và
. Khi đó
có giá trị lớn nhất bằng
4 + 74
2 + 130
4 + 130
16 + 74
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
z

Câu 43. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Xét số phức và số phức liên
z ( 4 + 3i )
M
M′
hợp của nó có điểm biểu diễn là
và
. Số phức
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu

N

diễn là
và
z + 4i − 5
.

A.

N′

5
34

. Biết rằng

.

Câu 44. Biết số phức
bằng:
2

5
A. .

M M ′ N N′
,

,

B.

z

,

2
5

là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

C.

iz − 3 = z − 2 − i
thỏa mãn

B.

D.

.

có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức

−
.

.

4
13

z
và

1
5

1
2

C.

2
5

−
.

D.

1
5

.

Câu 45. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Xét các số phức
z − 1 − 3i = 2
z −1
z
mãn
. Số phức mà
nhỏ nhất là
z = 1 + 5i
z = 1+ i
z = 1 + 3i
z = 1− i
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
z

z

z

thỏa

z + z + z − z = 4.

Câu 46. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Cho số phức thỏa mãn
Gọi
P = z − 2 − 2i .
M,m
A = M + m.
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Đặt
Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
7


A∈
A.

(

34; 6

)

(

A∈ 6; 42
.

B.

)

(

A∈ 2 7; 33
.

C.

)

.

A ∈  4;3 3

D.

Câu 47. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong các số phức
z − 1 + i = z + 1 − 2i
z
, số phức có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là
3
3
3
3
−
−

10
5
5
10
A.
.
B. .
C.
.
D.
.

Câu 48. Cho hai số phức
2 2
A.
.

z1 , z2

z1 − i
z +i
= 1; 2
= 2
z1 + 2 − 3i
z2 − 1 + i

thỏa mãn
2
B.
.

1
C. .

. Giá trị nhỏ nhất của
2 −1
D.
.

)

z

.
thỏa mãn

z1 − z2

là

S
z
Câu 49. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
là tập hợp các số phức
thỏa
z − 1 = 34
z + 1 + mi = z + m + 2i
z1 z2
m∈¡
S

mãn
và
, (trong đó
). Gọi ,
là hai số phức thuộc sao cho
z1 − z2
z1 + z2
lớn nhất, khi đó giá trị của
bằng
130
2
10
2
A.
B.
C.
D.

z −3 2 = 2

z,w

Câu 50. Cho hai số phức
thỏa mãn
3z0 − w0
z = z0 w = w0
nhất khi
,
. Tính
.

2 2
4 2
A.
.
B.
.

w − 4 2i = 2 2
,

z−w
. Biết rằng

C. 1.

D.

w

z

Câu 51. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho hai số phức và
thỏa mãn
z+w
Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng
4 6.
2 26.
66.
A.

B.
C.

z

z =1

Câu 52. Cho số phức thoả mãn
. Gọi
2
P = z +1 + z − z +1
M .m
biểu thức
. Tính
13 3
39
4
4
A.
.
B.
.

M

và

m

đạt giá trị nhỏ

6 2

.

z + 2 w = 8 − 6i

D.

z − w = 4.
và

3 6.

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

C.

3 3

.

Câu 53. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hai số phức
z + 5 + z − 5 = 6 5a − 4b − 20 = 0
z −ω
;
. Giá trị nhỏ nhất của
là

D.

z

13
4

và

.

ω = a + bi

thỏa mãn

8


A.

3
41

.

5
41

B.

.

C.

4
41

Câu 54. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Gọi

.

D.

3
41

z = a + bi ( a, b∈ R )

.

là số phức thỏa mãn

z - 1- 2i + z + 2 - 3i = 10
điều kiện

và

có mô đun nhỏ nhất. Tính
7
A. .

S = 7a + b?

B.

0

.

C.

5
.

D.

−12

.

Câu 55. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho số phức z thỏa mãn

z +z +2z - z = 8

M + m.

P = z - 3 - 3i
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
. Tính

A. 10 + 34 .

B. 2 10 .

C. 10 + 58 .

5 + 58 .

D.

z =1
Câu 56. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho số phức z có
. Tìm giá trị lớn nhất
2
2
P = z − z + z + z +1
của biểu thức
.
13
11
3
4
4
A.
B. 3
C.
D.
Câu 57. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giả sử

( z − 6 ) ( 8 + zi )

phức thỏa mãn
5 − 21

A.

là số thực. Biết rằng
20 − 4 21
B.

z1 − z2 = 4
C.

, giá trị nhỏ nhất của
20 − 4 22

z1 , z2

là hai trong các số

z1 + 3z2
D.

z

bằng
5 − 22

z − 3 − 4i = 2

Câu 58. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong các số phức thỏa mãn
2
2
z1 − z2 = 1

z1 − z2
z1 , z2
có hai số phức
thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
−4 − 3 5
−6 − 2 5
−10
−5
A.
B.
C.
D.
z1 , z2
Câu 59. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hai số phức
thoả
iz2 − 1 + 2i = 1
T = z1 + z2
z1 + 2 − i + z1 − 4 − 7i = 6 2
mãn
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
2 −1
2 +1
2 2 +1
2 2 −1
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
z
Câu 60. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho là số phức thỏa
z = z + 2i
z − 1 + 2i + z + 1 + 3i
mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
là
9


A.

5 2

.

B.

13

.

C.

29

.

5

D.

.

z1 = −2 + i z2 = 2 + i
Câu 61. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho các số phức
,
và số phức
2
2
z − z1 + z − z2 = 16
m
z
M
thay đổi thỏa mãn
. Gọi
và
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z
M 2 − m2
. Giá trị biểu thức
bằng
8
15

7
11
A. .
B. .
C. .
D. .
z
Câu 62. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho số phức
thỏa mãn
z − 2i ≤ z − 4i
z − 3 − 3i = 1
P = z −2
và
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
là:
13 + 1
10 + 1
13
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
z − 2 − 2i = 2

z

Câu 63. (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Xét số phức thỏa mãn
P = z − 1 − i + z − 5 − 2i
biểu thức
bằng
1 + 10
17
4
A.
.
B. .
C.

. Giá trị nhỏ nhất của

5
D. .

z − 3 − 4i = 5
m
z
M
Câu 64. (SGD&ĐT CẦN THƠ - HKII - 2018) Cho số phức thỏa mãn
. Gọi
và
lần
2
2
P = z + 2 − z −i
w = M + mi

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Môđun của số phức
là
w = 3 137
w = 1258
w = 2 309
w = 2 314
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

z1 , z2

Câu 65. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hai số phức
thỏa mãn
z1 − z2
m
giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
?
m=2
m = 2 −1
m=2 2
A.
.

B.
.
C.
.

z1 + 1 − i = 2

D.

và

z2 = iz1

m = 2 2 −2

. Tìm

.

z, w
Câu 66. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Hcho hai số phức
thỏa mãn
 z − 3 − 2i ≤ 1

P= z−w
Pmin
 w + 1 + 2i ≤ w − 2 − i
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
.

3 2 −2
5 2 −2
3 2 −2
Pmin =
Pmin =
Pmin =
P
=
2
+
1
min
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

10


z =1
m M
z

Câu 67. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Cho số phức thỏa
. Gọi ,
P = z5 + z 3 + 6z − 2 z 4 + 1
M −m
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
. Tính
.
m = −4 n = 3
m=4 n=3
m = −4 n = 4
m = 4 n = −4
A.
,
.
B.
,
C.
,
.
D.
,
.
w z
Câu 68. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho các số phức , thỏa mãn
5w = ( 2 + i ) ( z − 4 )
P = z − 1 − 2i + z − 5 − 2i
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng
6 7
4 + 2 13

2 53
4 13
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

z = a + bi

Câu 69. (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Xét các số phức

(

w +i =

a, b ∈ ¡

3 5
5

và

) thỏa mãn

c

z − 3 − 2i = 2

A.

. Tính
4− 3

a +b

.

z + 1 − 2i + 2 z − 2 − 5i

khi
B.

2+ 3

.

đạt giá trị nhỏ nhất.
3
C. .

D.

4+ 3

.

z1 z2
Câu 70. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Biết rằng hai số phức
,
thỏa mãn
1
z2 − 3 − 4i =
z1 − 3 − 4i = 1
a
b
3a − 2b = 12
2
z
và
. Số phức
có phần thực là
và phần ảo là
thỏa mãn
.
P = z − z1 + z − 2 z2 + 2
Giá trị nhỏ nhất của
bằng:
9945
9945
Pmin =
Pmin =
P
=
5
−
2

3
Pmin = 5 + 2 5
min
11
13
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phương trình bậc 2 với hệ số thực
Câu 1. Chọn D
 z 2 = −3  z = ± i 3
4
2
z − z − 12 = 0 ⇔  2
⇔
 z = 4
 z = ±2
T = z1 + z2 + z3 + z4 = i 3 + i 3 + −2 + 2 = 2 3 + 4

Câu 2.
Lời giải
Chọn D

11


1
 z1 = +
2


1
 z2 = −

2

4z2 − 4z + 3 = 0

Xét phương trình
ta có hai nghiệm là:
3
⇒ z1 = z2 =
2 ⇒ z1 + z2 = 3
Câu 3.

Chọn B
 z = −2i
z2 + 4 = 0 ⇔  1
 z2 = 2i

Ta có:

2

i
2
2
i
2

.

T = OM + ON =
M ( 0; −2 ) N ( 0; 2 )
Suy ra
;
nên
Câu 4. Chọn A

( −2 )

2

+ 22 = 4

.

 z1 + z2 = 6

 z1 z2 = 10

Áp dụng định lý Viet áp dụng cho phương trình trên ta được:
.
2

2
2
z1 + z2 = ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 = 36 − 20 = 16
Khi đó ta có
.
Câu 5. Chọn B
 z1 + z2 = 2

z1 , z2
 z1.z2 = 3
z2 − 2z + 3 = 0
Theo định lý Viet ta có
, do đó
là hai nghiệm của phương trình
Câu 6. Chọn C
2
∆ = ( −1) − 4.3.1 = −11 < 0
3z 2 − z + 1 = 0
Xét phương trình
có
.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt
1 + i 11 1
11
1 − i 11 1
11
z1 =
= +
i; z2 =
= −

i
6
6
6
6
6
6
Suy ra
2

2

2
2
 1   11 
 1   11 
1
11
1
11
3
3 2 3
+
i+ −
i =  ÷ + 
÷ +  ÷ +  −
÷
÷ =
+
=

6
6
6
6
P = z1 + z2 = 6 6
6  6 ÷





3
3
3

Câu 7.
 z = 3 + 5i
2
z 2 − 6z + 14 = 0 ⇔ 
⇒ z12 + z2 2 = 3 + 5i + 3 − 5i
 z = 3 − 5i

(

Ta có :
Câu 8.

Chọn A

∆′ = 4 − 7 = −3 =

( 3i )

2

) (

)

2

= 8.

.

Ta có

z1 = 2 + 3i, z2 = 2 − 3i.
Do đó phương trình có hai nghiệm phức là
12


(

z12 + z22 = 2 + 3i

) + ( 2 − 3i )
2

Suy ra

Câu 9. Chọn C
Cách 1

1
z = − +
2
z2 + z +1 = 0 ⇔ 

1
z = − −
2


2

= 4 + 4 3i − 3 + 4 − 4 3i − 3 = 2.

3
i
2
3
i
2
2

2

 1
3   1
3   1

3  1
3 
P = z + z + z1 z2 =  − +
i÷
+
−
−
i
+
−
+
i
−
−
i÷

÷

÷
÷ 
÷ 
÷
÷= 0
 2 2   2 2   2 2  2 2 
2
1

2
2

z1 + z2 = −1 z1.z2 = 1

Cách 2: Theo định lí Vi-et:
;
.
2
2
2
P = z1 + z2 + z1 z2 = ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 + z1 z2 = 12 − 1 = 0
Khi đó
.
Câu 10. Chọn B

3
11
i
 z1 = −
2
2


3
11
i
 z2 = +
2

2
2
z − 3z + 5 = 0

Xét phương trình
ta có hai nghiệm là:
⇒ z1 = z2 = 5 ⇒ z1 + z2 = 2 5
.
Câu 11. Chọn A
 z1 + z2 = 1
1 1 z +z
1
P= + = 1 2=

z1 z2
z1.z2
6
 z1z2 = 6
Theo định lí Vi-et, ta có
nên
Câu 12. Chọn C
V' = b'2 − ac = 4 − 5 = −1
z1 = −2 + i, z2 = −2 − i
Phương trình có 2 nghiệm phức
2
2
z12 + z22 = ( −2 + i ) + ( −2 − i ) = 4 − 4i + i 2 + 4 + 4i + i 2 = 8 + 2i 2 = 8 − 2 = 6
nên
 z = −1 + 3i
z 2 + 2 z + 10 = 0 ⇔  1
 z2 = −1 − 3i
.
Câu 13.
2

2
2
2
A = z1 + z2 = −1 + 3i + −1 − 3i = 20
Do đó:
.

Câu 14. Phương trình
Suy ra

 z = −1 + 3i
z 2 + 2 z + 10 = 0 ⇔ 
 z = −1 − 3i

z1 . z2 = 10. 10 = 10

z1 = −1 + 3i z2 = −1 − 3i
. Vậy
,
.

.
13


Câu 15. Ta có:

z = i 3
z 2 = −3 ⇔ 
 z = −i 3 ⇒ z1 + z2 = i 3 + −i 3 = 2 3

 z1 = 4 − 3i

z 2 − 8 z + 25 = 0 ⇔  z2 = 4 + 3i

Câu 16. Phương trình
z1 − z2 = −6i = 6
Suy ra:
.
Câu 17. Ta có:
z = 3 − i
⇔
z = 3 + i

w=
Suy ra

.

.

z 2 − 6 z + 10 = 0

. Vì

z

là số phức có phần ảo âm nên

⇔ z = 3−i

z 3−i 4 3
=
= − i
z 3+i 5 5

Tổng phần thực và phần ảo:

4  3 1
+  − ÷=
5  5 5

.
 z1 + z2 = 4

 z1 z2 = 5

Câu 18. Theo hệ thức Vi-et, ta có
.
z +z
w = 2 1 + i ( z1 + z2 ) z1 z2 = 4 + 20i
z1 z2
5
Suy ra
.
Câu 19. Chọn D

Theo Viet ta có

 z1 + z2 = −8a = 16 a = −2
⇒


 z1.z2 = 64b = 64.5 b = 5

Câu 20. Do số phức

Nên ta có:

(1+ i)

2

. Vậy

là một nghiệm của phương trình

.
z2 + a . z + b = 0

.

a + b = 0
 a = −2
⇔
⇔
+ a ( 1 + i) + b = 0 ⇔ a + b + ( a + 2) i = 0
 a + 2 = 0 b = 2

a − b = −4
Vậy:
.

Câu 21. Chọn C

+) Đặt

1+ i

w = 29

i 8 − 1 − 2i
zo =
1 − i7

.

i 8 = ( i 2 ) 4 = ( −1) 4 = 1


3
i 7 = ( i 2 ) .i = −i


, ta có
1 − 1 − 2i −2i −2i ( 1 − i )
⇒ zo =
=
=
= −1 − i
1+ i
1+ i
1− i2

.
14


+)

P ( z ) = z 2 + bz + c ⇒ zo

zo

là nghiệm của đa thức
b
z o + z o = − = −b = − 2 ⇒ b = 2
a
+) Ta có:
.
c
zo .zo = ⇒ ( −1 − i ) ( −1 + i ) = c ⇒ c = 2
a

là nghiệm còn lại của

P( z)

.

⇒ w = 2 + 2i ⇒ w = 22 + 22 = 2 2
.
Câu 22. Chọn A

 z = −2 + 3i
 1
⇒ z1.z2 + z2.z1 = −2 + 3i
 z2 = −2 − 3i

(

) + ( −2 − 3i )
2

2

=2

Ta có
Câu 23.
Lờigiải
Chọn A

3 z 2 − 2 z + 27 = 0

z1 =

1 + 80i
1 − 80i
; z2 =
3
3

Câu 24. Phương trình

Suy ra
4

4

z1 + z2 =
Vậy
Câu 25. Cách 1:

Ta có

(

29

z1 z2 + z 2 z1

=2

 z1 = −2 − 5i
2
2
2
z 2 + 4 z + 29 = 0 ⇔ ( z + 2 ) = −25 ⇔ ( z + 2 ) = ( 5i ) ⇔ 
 z2 = −2 + 5i

( −2 )

z1 = z2 =

vậy

2

.

+ 5 = 29
2

) +(
4

29

)

.
4

= 1682
.

1
1
11
 1
3z 2 − z + 1 = 0 ⇔ z 2 − z + = 0 ⇔  z − ÷ 2 = −
3
3
36

 6


1
z= +

1
11

6
⇔  z − ÷ 2 = i2 ⇔ 
6
36



1
z = −
6

2

Khi đó
Cách 2:

11
i
6
11
i

6

.
2

2
2
2 3
 1   11 
 1   11 
P =  ÷ + 
+  ÷ +  −
=
÷
÷
÷
÷
3
6  6 
6  6 

.

15


Theo tính chất phương trình bậc 2 với hệ số thực, ta có
1
3
z1.z2 =

z1 = z2 =
3
3
Mà
suy ra
.
2 3
P = z1 + z2 =
3
Vậy
.

3z 2 − z + 2 = 0

z1; z2

z1.z2 = z12 = z22
là hai số phức liên hợp nên


1 − 23i
 z1 =
6
∆ = (−1) 2 − 4.3.2 = −23 ⇒ 

1 + 23i
 z2 =
6


Câu 26. Phương trình
có
2
2
2
2 2 4
2
2
 1   23 
z2 = z1 =  ÷ + 
= ⇒T = + =
÷
÷
3
3 3 3
6  6 

.

.

.

Câu 27. Cách 1:
z1 = a + bi (a, b ∈ ¡ : a 2 + b 2 ≠ 0) A ( a; b )
+ Gọi
.
.
2
2

z2 − ( a + bi ) z2 + ( a + bi ) = 0
z2
Khi đó là nghiệm phương trình:
2

2
2
2
∆ = ( a + bi ) − 4 ( a + bi ) = −3 ( a + bi ) =  3 ( a + bi ) i  =  3 ( −b + ai ) 

2

+ Ta có:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 a − 3b 3a + b 
a − 3b
3a + b
B 
;
÷
z2 =
+
i
2
2 ÷


2
2
nên

.
 a + 3b − 3a + b 
a + 3b − 3a + b
B
;

÷
z2 =
+
i
÷
2
2


2
2
Hoặc
nên
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
OA = a + b , OB = a + b , AB = a + b .

OAB
+ Tính
Vậy tam giác
đều.
Cách 2:
z12 + z22 − z1 z2 = 0 ⇒ ( z1 + z2 ) ( z12 + z22 − z1 z2 ) = 0
Theo giả thiết:
⇔ z13 + z 32 = 0 ⇔ z13 = − z23 ⇒ z1 = z2 → OA = OB
.
2
1
2
z2 + z2 − z1 z 2 = 0 ⇔ ( z1 − z2 ) = − z1 z2
Mặt khác:

⇒ ( z1 − z2 ) = − z1 z2 ⇒ z1 − z2
2

Mà

OA = OB

Vậy tam giác

nên
OAB

2

AB = OA = OB

= z1 z2 ⇒ AB 2 = OA.OB
.
.

đều.
16


Cách 3:
2

z 
z
z + z − z1 z2 = 0 ⇔  1 ÷ − 1 + 1 = 0
z2
 z2 
2
1

+

2
2

2

z 
z
z

z
1 ± 3i
⇔  1 ÷ − 1 +1 = 0 ⇔ 1 =
⇒ 1 = 1 ⇒ z1 = z2
z2
z2
2
z2
 z2 

Vậy

OA = OB

.

z1 − z2 =

1 ± 3i
z2 − z2 = z2 ⇒ AB = OB
2

Mặt khác:
Vậy tam giác

OAB

đều.

3 4

5
+ =
Câu 28. Ta xét phương trình z w z + w với điều kiện z + w ≠ 0 .
3 4
5
+ =
⇔ 3w2 + 4 z 2 + 2 wz = 0
Ta có z w z + w
.
2

 w
w
3  ÷ + 2  ÷+ 4 = 0
z
Vì z ≠ 0 nên ta được phương trình  z 
.

w
1
11
i
 =− +
z
3
3

w
1
11

i
 =− −
z
3
3

Giải phương trình được kết quả
.
w 2 3
3
=
z
=
3 . Mà w = 1 nên
2 .
Suy ra z
Câu 29. Chọn C
Cách 1: Tự luận.
z1 , z2
az 2 + bz + c = 0
∆ = b 2 − 4ac < 0
Ta có phương trình
có các nghiệm
đều không là số thực, do đó
. Ta
2
2
∆ = i 4ac − b
có
.

(

*


−b + i
 z1 =



−b − i
 z2 =


)

4ac − b 2
2a
4ac − b 2
2a


b2
2
 z1 + z2 = 2
4c

2
2

a
⇒ P = z1 + z2 + z1 − z2 =

2
a
4ac − b
2

z
−
z
=
1
2

a2

Khi đó:
Cách 2: Trắc nghệm.

P=

. Vậy

4c
a

.
17

Cho

a = 1, b = 0, c = 1
2

, ta có phương trình

P = z1 + z2 + z1 − z2

2

z2 +1 = 0

có 2 nghệm phức là

z1 = i , z2 = −i

. Khi đó

=4

.

a = 1, b = 0, c = 1
Thế
lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.
Câu 30. Chọn D
2
z 2 − 2 z + 1 − m = 0 ⇔ ( z − 1) = m ( 1)

Ta có:
m = 1
z = 2 ⇔ 1± m = 2 ⇒ 
( 1) ⇔ z = 1 ± m
m = 9
m≥0
+) Với
thì
. Do
(thỏa mãn).
( 1) ⇔ z = 1 ± i −m .
m<0
+) Với
thì
z = 2 ⇔ 1 ± i − m = 2 ⇔ 1 − m = 4 ⇔ m = −3
Do
(thỏa mãn).
S = 1+ 9 − 3 = 7
Vậy
.

)

(

2
2
z + 1 + 3i − z i = 0 ⇔ ( a + 1) + b + 3 − a + b i = 0

Câu 31. Ta có

a = −1
 a + 1 = 0
⇔
⇔
2
2
2
 1 + b = b + 3
b + 3 − a + b = 0

b ≥ −3

b ≥ −3
⇔
4
( *) ⇔  2
2
b=− ⇔b=−4

1
+
b
=
b
+
3
(
)

3


3

Vậy

 a = −1

4

b = − 3
⇒ S = 2a + 3b = −6

Câu 32.

9 z 2 + 6 z + 1 − m = 0 ( *)

( *)

.

có nghiệm thực



(thỏa mãn).



z = −1 ⇒ m = 4

Trường hợp 2:

( *)

.

.

.

Trường hợp 1:
z =1
z =1⇔ 
 z = −1

.
z = 1 ⇒ m = 16

( *)

.

(thỏa mãn).
có nghiệm phức

⇔ ∆′ ≥ 0 ⇔ 9 − 9 ( 1 − m ) ≥ 0 ⇔ m ≥ 1

.

z = a + bi ( b ≠ 0 ) ⇔ ∆′ < 0 ⇔ 9 − 9 ( 1 − m ) < 0 ⇔ m < 1

.

18


9z 2 + 6z + 1− m = 0

z

z
Nếu là một nghiệm của phương trình
thì cũng là một nghiệm của phương trình
9z 2 + 6z + 1 − m = 0
.
c
1− m
2
z = 1 ⇔ z = 1 ⇔ z.z = 1 ⇔ = 1 ⇔
= 1 ⇔ m = −8
a
9
Ta có
(thỏa mãn).
m
12
Vậy tổng các giá trị thực của
bằng .
Bài toán MIN-MAX
Câu 33.

Lời giải
Chọn B
Goi

M ( a; b )

là điểm biểu diễn của số phức z.
2
2
z − 4 − 3i = 5 ⇔ ( a − 4 ) + ( b − 3 ) = 5 ⇒
z
Theo giả thiết ta có:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là
I ( 4;3)
R= 5
đường tròn tâm
bán kính

 A ( −1;3)
⇒ Q = z + 1 − 3i + z − 1 + i = MA + MB

B
1;
−
1
(
)


Gọi:

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D
Q 2 = MA2 + MB 2 + 2 MA.MB

Ta có:
⇔ Q 2 ≤ MA2 + MB 2 + MA2 + MB 2 = 2 ( MA2 + MB 2 )
⇒ ME 2 =

∆MAB
là trung tuyến trong

AB 2 
2
2
2
2
⇒ Q ≤ 2  2 ME +
÷ = 4 ME + AB
2 


Vì

ME

MA2 + MB 2 AB 2
AB 2
−
⇒ MA2 + MB 2 = 2ME 2 +
2
4

2

. Mặt khác

ME ≤ DE = EI + ID = 2 5 + 5 = 3 5

 MA = MB
⇒ Q ≤ 10 2 ⇒ Qmax = 10 2 ⇔ 
M ≡ D
uur
uur
 4 = 2( xD − 4)
x = 6
2
⇔ EI = 2 ID ⇔ 
⇔ D
⇔⇒ M ( 6; 4 ) ⇒ P = a + b = 10
2
⇒ Q ≤ 4. 3 5 + 20 = 200
 2 = 2( yD − 3)
 yD = 4

(

)

19


z = a + bi.

Cách 2:Đặt
Theo giả thiết ta có:
 a − 4 = 5 sin t

b − 3 = 5 cos t
Đặt
. Khi đó:

Q = z + 1 − 3i + z − 1 + i =
=

(

)

( a + 1)

2

5 sin t + 5 + 5cos 2 t +

(

2

( a − 4)

+ ( b − 3) +
2

) (
2

5 sin t + 3 +

2

+ ( b − 5 ) = 5.
2

( a − 1)

2

+ ( b + 1)

5 cos t + 4

)

2

2

= 30 + 10 5 sin t + 30 + 2 5 ( 3sin t + 4 cos t )

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

(

)

(

)

Q ≤ 2 60 + 8 5 ( 2 sin t + cos t ) ≤ 2 60 + 8 5. 5 = 200 = 10 2

⇒ Q ≤ 10 2 ⇒ Qmax = 10 2

Dấu bằng xảy ra khi
Câu 34.


sin t =

cos t =


2
a = 6
5
⇒
⇒ P = a + b = 10.
1
b = 4
5
Lời giải

Chọn A

Gọi

A

là điểm biểu diễn số phức

N ( 1; −1) .
z E ( −2;1) , F ( 4; 7 )
,
và

20


AE + A F = z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2

EF = 6 2
A
EF
H
và
nên ta có
thuộc đoạn thẳng
. Gọi
là
3
3



5 2 + 2 73
H − ; ÷
P = NH + NF =
.
 2 2
N
2
EF
hình chiếu của
lên
, ta có
. Suy ra
Câu 35. Chọn C
Từ

Gọi
Gọi

M,N

lần lượt là điểm biểu diễn của số phức
z = x + iy, ( x, y ∈ ¡ )
z − 1 = 34 ⇒ M , N

Ta có

thuộc đường tròn

( C)

z1 , z2

có tâm

I ( 1;0 )

, bán kính

R = 34

z + 1 + mi = z + m + 2i ⇔ x + yi + 1 + mi = x + yi + m + 2i
Mà

⇔

( x + 1)

2

+ ( y + m) =
2

( x + m)

2

+ ( y + 2)

2

⇔ 2 ( m − 1) x + 2 ( m − 2 ) y − 3 = 0
M,N

Suy ra
Do đó
Ta có

M,N

thuộc đường thẳng

là giao điểm của đường thẳng

z1 − z2 = MN

⇔ MN

d : 2 ( m − 1) x + 2 ( m − 2 ) y − 3 = 0

nên

z1 − z2

( C)

d

và đường tròn

lớn nhất khi và chỉ khi

MN

( C)
lớn nhất

z1 + z2 = 2OI = 2

đường kính của
. Khi đó
Câu 36. Cách 1:
w = z −i ⇒ z = w+i
Đặt
.
M ( x; y )
w.
Gọi
là điểm biểu diễn hình học của số phức
z − 2 − 2i = 1
Từ giả thiết
ta được:
21


2
2
w + i − 2 − 2i = 1 ⇔ w − 2 − i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) = 1

Suy ra tập hợp những điểm

R =1
.

Giả sử

OI

cắt đường tròn
w = OM

M ( x; y )

( C)

biểu diễn cho số phức

tại hai điểm

A, B

với

A

w

là đường tròn

nằm trong đoạn thẳng

Ta có
OM + MI ≥ OI ⇔ OM + MI ≥ OA + AI ⇔ OM ≥ OA
Mà
w
OA = OI − IA = 5 − 1
M ≡ A.
Nên
nhỏ nhất bằng
khi
Cách 2:
2
2
z − 2 − 2i = 1 ⇒ ( a − 2 ) + ( b − 2 ) = 1
z = a + bi ( a, b ∈ ¡
Từ
với
a − 2 = sin x; b − 2 = cos x ⇒ a = 2 + sin x, b = 2 + cos x

Khi đó:
≥ 6−

z − i = 2 + sin x + ( 2 + cos x ) i − i =

(4

z −i
Nên

Ta được
Cách 3:

2

( 2 + sin x )

+ 22 ) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 6 − 2 5 =

5 −1
nhỏ nhất bằng
khi

2 5 
5
z =  2 −
+
2
−
÷

÷
÷ 
÷i
5
5

 


(

( C)

2

OI

.
có tâm

I ( 2;1)

bán kính

.

)

+ ( 1 + cos x ) = 6 + ( 4sin x + 2 cos x )
2

)

5 −1

2

= 5 −1


2 5

sin x = −

5
⇒
4 cos x = 2sin x
cos x = − 5


4sin
x
+
2cos
x
=
−
2
5

5

z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2

Sử dụng bất đẳng thức
z − i = ( z − 2 − 2i ) + ( 2 + i ) ≥ z − 2 − 2i − 2 + i = 5 − 1

22


P=

2z + i
2z − i
2z + i
2z + i
1
1
3
5
=
⇒
≤P≤
⇔ 2− ≤ P ≤ 2+ ⇔ ≤ P ≤
z
z
z
z
z
z
2
2

Câu 37. Ta có
M 5
=
m 3
Vậy
.
Câu 38. Chọn C
2
1 = z − 2 − 3i = ( z − 2 − 3i ) .( z − 2 − 3i ) = ( z − 2 − 3i ) ( z − 2 + 3i )

Ta có
⇔ 1 = ( z − 2 − 3i ) ( z − 2 + 3i ) ⇔ z − 2 + 3i = 1`⇔ z + 1 + i − 3 + 2i = 1(*)

+Đặt

w = z +1+ i

.

.

⇔ w − 3 + 2i = 1

, khi đó

.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

( I ;1)

w = z +1+ i

w

là đường tròn
và
là khoảng cách từ gốc tọa độ
w
OQ

đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của
chính là đoạn
.
⇒ w max = 1 + 32 + 22 = 1 + 13

.
1 = z − 3i + 4 ≥ z − 3i − 4 = z − 5 ⇒ −1 ≤ z − 5 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ z ≤ 6

Câu 39. Ta có
z0 = 4 − 3i ⇒ z0 = 5, z0 2 = 7 − 24i
Đặt
.

.

(

A = z 2 + 7 − 24i = z 2 + zo 2 = ( z 2 + zo 2 ) z + zo
2

2

Ta có
2
( z + z o ) z + z o = 1 ⇒ z . z o + z o .z = 1 − z − z o
Mà

(

)

4

4

(

2

A = z + z o + 1 − z − zo
Suy ra

y = 2t − 2t + 1201
4

Hàm số

2

)

2 2

2

2

2

)=z

4

4

(

+ zo + z. z o + z o . z

)

2

− 2 z. z o

2

2

4

2

− 2 z.zo = 2 z − 2 z + 1201

[ 4; 6]

đồng biến trên
nên
 z = 4


 z + 4 − 3i = 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
2
z + 7 − 24i
( 1009; 2018)
Do đó
nằm trong khoảng
.

.

A ≥ 2.4 − 2.4 + 1201 = 1681
4

2

.

23


z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ N ( x; y )
Oxy
Câu 40. Giả sử:
: điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ
.
Ta có:
z + z + z − z = 4 ⇔ x + y = 2⇒ N

•
thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ).
y
I

B 2

1

E
F

C
1

O

-2

x

2

D -2

P = z − 2 − 2i ⇒ P =
•
Từ hình ta có:

( x − 2)

2

+ ( y − 2) ⇒ P = d ( I ; N )
2

E ( 1;1)

m = Pmin = IE =

M = Pmax = ID = 42 + 22 = 2 5

A= M +m = 2+2 5∈
Vậy,

(

và
34; 6

)

( 2 − 1)

Gọi

M ( x; y )

F1 ( 6;0)

F2 ( −6;0 )

2

+ ( 2 − 1) = 2
2

.

( x, y ∈ ¡ ) . Theo giả thiết, ta có
Câu 41. Gọi z = x + yi ,
⇔ x − 6 + yi + x + 6 + yi = 20 ⇔

với

I ( 2; 2 )

( x − 6)

2

+ y2 +

z − 6 + z + 6 = 20

( x + 6)

.
2

+ y 2 = 20

( ∗)

.

,
và
.
( ∗) ⇔ MF1 + MF2 = 20 > F1F2 = 12

E
( E ) có hai tiêu điểm F1
Khi đó
nên tập hợp các điểm
là đường elip
F2
20
và . Và độ dài trục lớn bằng
.
b 2 = a 2 − c 2 = 64 ⇒ b = 8
c = 6 2a = 20 ⇔ a = 10
Ta có
;
và
.
2
2
x
y

+
=1
100
64
E
( ) là
Do đó, phương trình chính tắc của
.
'
max z = OA = OA = 10
min z = OB = OB ' = 8
z = ±10
z = ±8i
Suy ra
khi
và
khi
.
M −n =2
Vậy
.
24


Câu 42. Theo bất đẳng thức tam giác ta có
w = 2 z + 1 − i = ( 2 z − 6 + 8i ) + ( 7 − 9i ) ≤ 2 z − 6 + 8i + 7 − 9i = 4 + 130

w
Vậy giá trị lớn nhất của

là

4 + 130

.

.

Câu 43.
z = x + yi
z = x − yi M ( x; y ) M ′ ( x; − y )
x, y ∈ ¡
Gọi
, trong đó
. Khi đó
,
,
.
w = z ( 4 + 3i ) = ( x + yi ) ( 4 + 3i ) = ( 4 x − 3 y ) + ( 3 x + 4 y ) i ⇒ N ( 4 x − 3 y;3 x + 4 y )
Ta đặt
. Khi đó
w = z ( 4 + 3i ) = ( 4 x − 3 y ) − ( 3 x + 4 y ) i ⇒ N ′ ( 4 x − 3 y; −3 x − 4 y )

M

Ta có

và

M′ N

N′

và

Ox

từng cặp đối xứng nhau qua trục
. Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ
yM = yN
yM = y N ′
y = 3x + 4 y
y = −3 x − 4 y
M
nhật thì
hoặc
. Suy ra
hoặc
. Vậy tập hợp các điểm
là hai
đường thẳng:

;

.

d1 : x + y = 0

P = z + 4i − 5 =
Đặt

và

( x − 5)

2

d2 : 3x + 5 y = 0

+ ( y + 4)

Pmin ⇔ MAmin ⇔ MA = d ( A; d1 )

Pmin = d ( A; d1 ) =

hoặc

.

2

. Ta có

P = MA

MA = d ( A; d 2 )

với

A ( 5; −4 )

.

d ( A; d1 ) =
. Mà

1
5
d ( A; d 2 ) =
2
34
,

, vậy

1
2

.
z = x + yi x y ∈ ¡
Câu 44. Đặt
( ,
).
Khi đó
2
iz − 3 = z − 2 − i ⇔ x + ( − y − 3) =
2

z = x +y
2

Lại có
Thay

( 1)

vào

( 2)

2

( 2)

( x − 2)

2

+ ( y − 1) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 ⇔ x = −2 y − 1 ( 1)
2

.

.

ta được:
2

2 1
5


2
= 5 y + ÷ + ≥
2
2
2
2
z = x + y = ( −2 y − 1) + y = 5 y + 4 y + 1
5 5 5


25