Đề,ĐA HSG Toán 9_QTrạch(2010-2011)

PHòNG gd&Đt quảng trạch đề thi hsg lớp 9 - Môn Toán
NĂM HọC 2010 - 2011
Thời gian: 150 phút - (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
x x 4x x 4
A
x x 7x 14 x 8
+
=
+
a) (1,0 im) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A.
b) (1,0 im) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thoả mãn: x
2
- 4y
2
= 5.
b) (2,0 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
và x
3
+ y
3
+ z

3
= 1. Tính giá trị biểu thức : M = x
2009
+ y
2010
+ z
2011

Câu 3 (2,0 điểm)
Trên các cạnh Ox, Oy của góc nhọn xOy lần lợt lấy các điểm M và N di động sao
cho OM + ON = m (m cố định, m > 0)
a) (1,25 im) Chứng minh rằng, trung điểm của đoạn thẳng MN chuyển động
trên một đoạn thẳng cố định, xác định đoạn thẳng đó.
b) (0,75 im) Xác định vị trí của M và N để đoạn thẳng MN có độ dài bé nhất ?
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A;
à
0
C 15=
. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO
= 2AC. Tính
ã
BCO
Câu 5 (1,0 điểm)
Có ba chiếc hộp: một hộp chỉ đựng hai quả cam, một hộp chỉ đựng hai quả quýt;
hộp còn lại chỉ đựng một quả cam và một quả quýt. Khi đóng kín các hộp, ngời ta đã dán
nhầm các nhãn CC (cam - cam), CQ (cam - quýt), QQ (quýt - quýt) nên tất cả các nhãn
dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng trong hộp. Làm thế nào để chỉ cần mở
một hộp và lấy một quả trong hộp đó mà không nhìn vào trong hộp có thể biết đợc chính
xác các quả đựng trong mỗi hộp ?

---- Hết ----
SBD:..
Lu ý: + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu
+ Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm
PHòNG gd&Đt quảng trạch HƯớNG DẫN CHấM
Thi hs giỏi lớp 9 - Môn toán
Năm học 2010-2011
I. Hớng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong Hội đồng
chấm thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II. Đáp án, biểu điểm:
Câu
Tổng
điểm
Nội dung
Điểm
thành
phần
1a
1,0 đ
Để A có nghĩa, trớc hết
x 0

. Đặt
( )
t x t 0=

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 2
3 2
3 2 3 2 2
t t 4t 4 t t 1 4 t 1
t 4t t 4
A
t 7t 14t 8 (t 8) (7t 14t) t 2 (t 2t 4) 7t t 2

+
= = =
+ + +
( )
( )
2
(t 1) t 1 (t 4)
(t 1)(t 1)(t 4)
A
t 2 (t 5t 4) (t 2)(t 1)(t 4)
+
+
= =
+
Để biểu thức A có nghĩa thì:
t 0, t 1, t 2, t 4 x 0, x 1, x 4, x 16
(*)
Khi đó, rút gọn ta đợc:
t 1 x 1
A

t 2
x 2
+ +
= =


0,25
0,25
0,25
0,25
1b
1,0 đ
( )
t 2 3
t 1 3
A 1
t 2 t 2 t 2
+
+
= = = +

Để A là số nguyên thì t - 2 là ớc của 3 nên t -2 bằng
1
hoặc
3
.
- Nếu
t 2 1 t 1 = =
( loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu

t 2 3 t 1 0 = = <
(loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu
t 2 1 t 3 x 9 = = =
và A = 4;
- Nếu
t 2 3 t 5 x 25 = = =
và A = 2;
Vậy để A nhận các giá trị nguyên thì x = 9 hoặc x = 25.
0,25
0,25
0,25
0,25
2a
1,0đ
Ta có: x
2
- 4y
2
= 5

(x-2y)(x+2y) = 5



x 2y 1
x 2y 5
x 2y 1
x 2y 5
x 2y 5

x 2y 1
x 2y 5
x 2y 1
=




+ =



=



+ =



=




+ =


=

+ =



0,25
0,25
2

2x 6=


x 3=
nên y=
2
x 5
4


=

1
Vậy các giá trị (x;y) cần tìm là: (1;3);(-1;-3);(-1;3);(1;-3)
0,25
0,25
2b
2,0đ
Từ giả thiết x

2
+ y
2
+ z
2
= 1 suy ra:
|x| 1; |y| 1; |z| 1; (1)
Ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
- (x
3
+ y
3
+ z
3
) = 0

x
2
(1 - x) + y
2
(1 - y) + z
2
(1 - z) = 0 (2)
Từ (1) suy ra: 1 - x

0; 1 - y

0; 1 - z

0;
Do đó: x
2
(1 - x)

0; y
2
(1 - y)

0; z
2
(1 - z)

0 (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
2
2
2
x (1 x) 0
y (1 y) 0
z (1 z) 0

=

=

=

Kết hợp với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 suy ra một trong ba số x, y, z
phải bằng 1, hai số còn lại bằng 0.
Do đó: x
2009
+ y
2010
+ z
2011
= 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3a
1,25đ
y
x

h
o
m
n
f
d
c
b
a
0,25
Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA=OB =
m
2
, ta
có đoạn thẳng AB cố định.
Trên Oy lấy điểm C sao cho NC=OM thì
OC=NC+ON=OM+ON=m;
OB=OC=
m
2
hay B là trung điểm của OC
Từ C kẻ đờng thẳng song song với Ox, trên đờng thẳng đó lấy F (F
nằm ngoài góc xOy) sao cho: CF=NC=OM ; FN cắt Ox tại D
Ta có OMCF là hình bình hành (OM//=CF); B là trung điểm của
OC nên B cũng là trung điểm của MF.
Ta lại có
ã
OBA
=
à

0
180 O
2

;
ã
OND
=
ã
FNC
=
ã
0
180 NCF
2

;
Mà
à
O
=
ã
NCF
(so le trong) suy ra
ã
OBA
=
ã
OND
Nên AB//FD (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau)

Do đó AB là đờng trung bình của tam giác MNF hay trung điểm
của MN thuộc đờng thẳng AB.
0,25
0,25
0,25
3
Khi M

O thì trung điểm của MN trùng với B
Khi N

O thì trung điểm của MN trùng với A
Vậy trung điểm của MN luôn chuyển động trên đoạn thẳng cố định
AB.
0,25
3b
0,75 đ
Ta có: AM=AD (AB là đờng trung bình của

MFD)
Dựng hình bình hành AHNB (H

FD),
Ta có AB=HN;

ADH cân tại A (vì đồng dạng với tam giác cân ODN) nên
AD=AH
Suy ra AM=AH =AD =
MD
2

MHD vuông tại H
Nên

MHN vuông tại H
Do đó MN

HN hay MN

AB
Vậy MN nhỏ nhất bằng AB khi M và N trùng A và B.
0,25
0,25
0,25
4
4
2,0 đ
Ta có:

ABC vuông tại A;
ã
BCA
= 15
0
(gt) =>
ã
CBO
= 75
0

Vẽ

MBC đều sao cho M và A cùng
nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là
đờng thẳng BC.
Từ đó ta có:
ã
0
OBM 15=
.
Gọi H là trung điểm của BO.
Xét

HMB và

ABC có:
HB = AC (cùng bằng
1
2
BO)
ã
ã
0
HBM ACB 15= =
;
MB = BC (vì

MBC đều);
Vậy

HMB =

ABC (c.g.c);
S uy ra:
ã
ã
0
MHB BAC 90= =

hay MH

OB, do đó MH vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyến
của

OMB.
Suy ra:

MOB cân tại M =>
ã
0
BMO 150=
=>
ã
0 0 0 0
CMO 360 (150 60 ) 150= + =
Xét

OMB và

OMC có:

OM cạnh chung;
ã
BMO
=
ã
0
CMO 150=
; MB = MC (vì

MBC
đều)
Vậy

OMB =

OMC (c.g.c)
Suy ra: OB = OC hay

OBC cân tại O.
Do đó
ã
BCO
=
ã
CBO
=75
0
0,25
(hình
vẽ)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1,0 đ
Vì các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng
trong hộp nên hộp có nhãn CQ đựng 2 quả cam hoặc đựng 2 quả
quýt.
Do đó ta lấy 1 quả trong hộp mà bên ngoài có ghi nhãn CQ thì cú
cỏc kh nng sau:
Nếu: Hộp có nhãn
CQ QQ CC
- Quả lấy
ra là cam
Đựng 2 quả cam Đựng 1 quả cam,
1 quả quýt
Đựng 2 quả quýt
- Quả lấy
ra là quýt
Đựng 2 quả quýt Đựng 2 quả cam Đựng 1 quả cam,
1 quả quýt
0,25
0,25
0,25
0,25
M

O
H
A
B
C
5