SKKN: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
        Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ  yếu là hình thành và 
phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến  
thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương  
pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết. Trong các đề  thi tốt nghiệp 
trung học phổ  thông, đề  thi   tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng,  
Trung học chuyên nghiệp những năm gần đây bao giờ  cũng có một câu hình 
tọa độ  trong không gian, hoặc có những câu hình không gian mà khi dùng  
phương pháp tọa độ  để  giải thì bài toán trở  nên đơn giản. Vì vậy khi dạy 
chương phương pháp tọa độ  trong không gian, bản thân tôi luôn trăn trở  làm  
thế nào để  khi học chương này học sinh không thấy khó, mà phải tự  tin làm 
bài.Với suy nghĩ như  vậy khi dạy phần bài tập phương trình đường thẳng 
trong không gian tôi đã chuẩn bị một chuyên đề  xem như  một đề  tài cải tiến 
phương pháp dạy học để dạy cho các em: 
“ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình 
đường thẳng trong không gian “. Và trong năm học 2014 ­ 2015 Bộ  giáo 
dục lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ 
năng giải các dạng toán là rất cần thiết vì vậy tôi mạnh dạn đưa   ra các bài 
toán này nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán tốt hơn.
                                        PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
    I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
   ­ Trong đề  tài cho phép tôi viết tắt: vtcp ( véc tơ  chỉ  phương ); vtpt (véc tơ 
pháp tuyến).
­ Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ  bản về  đường 
thẳng, phương trình của đường thẳng. Muốn viết phương trình đường thẳng 
cần biết một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương.
Viết phương trình của đường  thẳng
Bước 1: Tìm 1 vtcp  u (a; b; c)  của đường thẳng.
Bước 2:  Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng.
Bước 3:  Viết phương trình đường thẳng dưới dạng: 
x x0 at

           Phương trình tham số :   y y 0 bt      (t R)
x z 0 ct
           Phương trình chính tắc: 

x

x0
a

y

y0
b

z

z0
c

      (abc

0)

 Chú ý

1


1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
( P) : Ax By Cz D 0  ( A2 B 2 C 2 0) và  ( P ) : A x B y C z D

(A 2

B2

C2

0 

0) . Khi đó:

   ­ Đường thẳng ( d) có 1 vtcp  u

n1 , n 2  (Trong đó  n ; n lần lượt là vtpt của 
1
2

(P) và (P’) )                
    ­ Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y, 
z. (Thường cho x  một giá trị nguyên và tìm y, z nguyên).
uuur
2) Đường thẳng (d)  qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là  AB .
3) Đường thẳng (d)  vuông góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P).
4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng  ( )  thì (d)  và  ( ) có vtcp cùng 
phương.
5) Hai đường thẳng vuông góc thì hai vtcp của chúng vuông góc với nhau.
II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
      Đứng trước những bài toán hình học tọa độ  không gian học sinh thường 
lúng túng không xác định được đường lối, phương pháp giải. Các em cho rằng  
nhiều dạng toán như  thế  thì làm sao nhớ  hết các dạng và cách giải các dạng 

đó, nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được.  Một số  học 
sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề  chưa kỹ  đã kêu khó và không làm  
nữa. Số tiết bài tập
dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này không có 
nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng không có tính chất hệ thống . Tuy nhiên 
nó có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. Với 
thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài 
tập nói chung và các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian  
nói riêng giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai  
thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm các cách giải nhằm phát 
huy được tính tự  giác, tích cực của học sinh. Trong khuôn khổ  đề  tài này tôi  
chỉ nêu được một số bài toán, một số cách giải và một số bài tập.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm  và có một 
véc tơ chỉ phương.
Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp  u (a; b; c) của đường 
thẳng hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp.
­ Nếu cho trực tiếp vtcp  u (a; b; c) của đường thẳng thì ta viết được

2


x

x0

at

      Phương trình tham số :   y
x

y0

bt      (t

z0

ct

      Phương trình chính tắc: 

x

x0
a

y

y0
b

R)
z

z0
c

  (abc

0)

­   Nếu   cho   gián   tiếp   véc   tơ   chỉ   phương   của   đường   thẳng   thì   ta   tìm   vtcp 
u (a; b; c) của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài toán. 
 Ví dụ1: 
Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường 
thẳng (d) đi qua điểm M(­2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y ­ 2z +  
1= 0 .
 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là  n(1;2; 2) . Do đó đường thẳng 
(d) đi qua điểm M(­2;1;0) và nhận   n(1;2; 2)   làm 1 vtcp có phương trình 
x 2 y 1 z
1
2
2
Ví dụ2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết  
phương trình tham số của đường thẳng BC.
 Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận  BC (0; 1;2)  làm 1 

chính tắc là : 

x 1
vtcp. Vây BC có phương trình tham số là :  y 2 t
z 1 2t

 Ví dụ3: Trong không gian với hệ toạ  độ  Oxyz cho đường thẳng (d1) là giao 
tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y ­ z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z ­ 1 = 0.Viết  
phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;­2) và song 
song với đường thẳng (d1).
 Hướng dẫn giải: 
Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d)  là  u

n1 , n2

(4; 7; 3) (Trong đó  n ;n lần 
1
2

lượt   là   vtpt   của   (P)   và   (P’)).   Đường   thẳng   (d)   đi   qua   M(1;2;­2)   nhận  
u

x 1
(4 7 3)  làm 1 vtcp có phương trình là:  4

y 2
7

z 2
 .
3

Cách 2 : Gọi A(1;­4;­1), B(5;­11;­4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có 
AB

(4; 7; 3) là 1 vtcp của (d). Khi đó (d) có phương trình: 

x 1
4

y 2
7

z

2
.
3

Lưu ý: Có nhiều cách để  chọn hai điểm thuộc (d1), thông thường chọn một 
giá trị x nguyên để  tìm y nguyên và z nguyên, mục đích để  việc tính toán dễ 
dàng hơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán tìm điểm có tọa độ  nguyên thuộc  
3


đường thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm. 
Nên học sinh phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; ­2; ­2) và (P) : 2x – 2y 
+ z – 1= 0. Viết phương trình tham số  của đường thẳng đi qua điểm A và 
vuông góc với (P).
2. Trong không gian với hệ toạ  độ  Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng  
x 1 2t
(d 1 ) : y
3t . Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) 
z 2 3t

của đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1).
 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và 
C(­1;1;2). Viết phương trình tham số của đường thẳng :
a, Đi qua hai điểm A và B.
b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa 
tam giác ABC.  

Bài toán 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng 
chéo nhau (d1) và (d2).
 Cách giải :
  Cách  1:  Viết    phương trình   (d1 ) , (d 2 ) dưới dạng tham số,  suy ra toạ   độ 

M

(d1 )  theo tham số t, toạ độ của  N

   Giải hệ 

MN ..u1

0

MN ..u2

0

(d 2 )  theo tham số t'.

r r

tìm được t, t' ( u1;u2 lần lượt là vtcp của  (d1 ) và (d 2 ) ), suy 

ra toạ  độ  điểm M, N. Từ  đó viết được phương trình MN và cũng chính là  
phương trình của (d).

r

    Cách 2: Đường thẳng  (d1 )  có 1 vtcp  u1  và đi qua A; Đường thẳng  (d 2 )  có 

r

1 vtcp  u2 và đi qua B. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d); Gọi (Q) là mặt 
phẳng chứa  (d 2 ) và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Từ  đó suy ra 
được phương trình của đường thẳng (d). 
Ví   dụ:   Trong  không   gian  với  hệ   toạ   độ   Oxyz,  cho   hai   đường  thẳng (d1 ) : 
x
2

y 1
1

z

2
1

x
1 2t
 và (d 2 ) :  y 1 t . Viết phương trình chính tắc đường vuông 
z 3

góc chung (d) của  (d1 ) và (d 2 ) .
Hướng dẫn giải: 
4


Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp   u (2; 1;1) ; đường thẳng   (d 2 ) có 1 vtcp 

1
u 2 (2;1;0) .   Gọi   M (2t1 ;1 t1 ; 2 t1 ) (d1 ); N ( 1 2t ;1 t ;3) (d 2 ) .   Suy   ra 
MN (2t 1 2t1 ; t t1 ;5 t1 ) .Ta có  

MN ..u1

0

3t 6t1 3 0

MN ..u2

0

5t 3t1 2

t1 1 . Khi đó 

t

0

M(2;0;­1);  MN ( 1;2;4) . Do đó phương trình chính tắc đường vuông góc chung 
(d) là phương trình của đường thẳng MN :

x 2
1

y
2

z 1
4

 Cách 2: Đường thẳng  (d1 )  có 1 vtcp  u (2; 1;1)  và đi qua A(0;1;­2); Đường 
1
thẳng  (d 2 )  có 1 vtcp  u (2;1;0)  và đi qua B(­1;1;3); gọi  u
2

u1 , u2

( 1;2;4) . 

Đường vuông góc chung (d) của  (d1 )  và  (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
(P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa  (d1 )  và (d) nên (P) đi qua A nhận 
n1

1
u , u1
3

(2;3; 1) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y­1)­(z+2) = 0 hay 

2x+3y­z­5=0.   (Q)   là   mặt   phẳng  chứa   (d 2 )   và  (d)   nên   (Q)   đi   qua   B   nhận 
n2

u2 , u

( 4; 8;5)  làm 1 vtpt có phương trình là: 4x ­ 8y + 5z – 3 = 0.Vậy  

tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 

2x 3y ­ z ­ 5   0 .
4x 8 y 5z 3 0

(I) 
x 2 t
x 2
Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành  y 2t
hay  
1
z
1 4t

y
2

Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là: 

x 2
1

z 1
. 
4

y
2

z 1

4

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1); 
C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vuông góc chung của 
hai đường thẳng AC và BD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần 
x 2
lượt có phương trình là (d1) : 
2

y 3
3

z

x

4
; (d2):  y
5

z

1 3t
4 2t . 
4 t
5

Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của chúng. 
3.Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   đường   thẳng   (d1): 
x 2
1

y

2

z
và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0;
2

5

 x – 3z + 5 = 0. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của chúng.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với 
hai đường thẳng (d1) và (d2).
 Cách giải : 
Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp  u1 , đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp  u 2 . Chọn 
u

k u1 ,u 2   (k

0)  làm 1 vtcp của (d). Suy ra phương trình của (d).

Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó 
(P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d1 ) ; (Q) là mặt phẳng đi qua M 
và vuông góc với (d 2 )
   V

   í d
  ụ:   Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(2;­1;1) và hai 
đường thẳng (d1):  

x 2
3

y 1
2

z 1
x 3
; (d2): 
1
1

y 1
1

z
. Viết phương trình 
1

chính tắc đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với hai đường thẳng (d 1) và 
(d2).   
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp  u (3;2;1) , (d2 ) có 1 vtcp  u (1; 1;1) .
1
2
 Chọn   u

u1 , u 2

phương trình là:

(3; 2; 5)  làm 1 vtcp của (d). Đường thẳng (d) đi qua M có 

x 2
3

y 1
2

z 1
5

Giáo viên: Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
   Bài tập: Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, viết phương trình tham số 
đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vuông góc với hai đường thẳng có phương 
trình lần lượt là 

x 1
2

y 1
3

z 2
x 4
 và  

3
1

y 2
2

z 4
.
1

Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với 
đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
 Cách giải :
r
Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương  u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d) 
và (d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về  dạng tham số), giải phương trình 
MN .u 0  tìm được t. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp  MN
.
6


Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường  
thẳng (d1). Tìm giao điểm N của (P) với (d2), chọn véc tơ  k MN   (k 0)  là 1vtcp 
của (d). Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d).
Cách 3:  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường  
thẳng (d1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng 
(d2). Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P)  và (Q). 
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường 
thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d): 
x 1

1

y 1
2

x 2
2

y 2
1

z 3
; (d'):
1

z 1
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng  ( ) đi qua điểm A 
1

vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').
Hướng dẫn giải :
Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp  u (2; 1;1) ; gọi  ( )  là mặt phẳng qua A và 
1
vuông góc với (d) thì  ( )  nhận  u (2; 1;1) làm 1 vtpt có phương trình là: 
1
2x – y + z – 3 = 0. Gọi B là giao điểm của (d') và  ( )  tọa độ điểm B là nghiệm 
2x y z 3 0
của hệ:   x 1 y 1 z 1
1
2

1

x 2
y
1 Đường thẳng   ( )   đi qua điểm A nhận 
z
2

AB(1; 3; 5)  làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

x 1
1

y 2
3

z 3
5

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
 Bài tập: 
  1.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường  
thẳng (d1): 

x 1
3

y 2
1

z
; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2  
1

= 0; 
x + 1 = 0. Viết phương trình tham số  của đường thẳng đi qua điểm A vuông  
góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2). 
2.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(2;­1;1) và hai đường 
x 2
thẳng   (d1):  
3

y 1
2

x 3 t
z 1
;   (d2):   y 1 t .   Viết   phương   trình   chính   tắc 
1
z t

đường thẳng  đi qua M, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng 
(d2). 
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc và 
cắt đường thẳng (d1).
7


 Cách giải :
r

Cách 1 : Tìm véc tơ  chỉ  phương  u của (d1), biểu thị  toạ  độ  giao điểm N của 
(d) và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số). Giải  MN .u 0  tìm 
được t, viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp  MN .
  Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d1).Tìm 
giao điểm N của (P) với (d1) chọn  k MN   (k 0)  là 1 vtcp của (d) . Từ đó suy ra 
phương trình của đường thẳng (d).
  Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong  
đó  (P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1). 
Ví dụ  : Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz, cho điểm A(­4;­2;4) và đường  
x
3 2t
thẳng (d):  y 1 t
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng  ( )  đi qua 
z
1 4t

A, vuông góc và  cắt đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải: 
Cách1:   Gọi   M ( 3 2t;1 t ; 1 4t ) (d )   là   giao   điểm   của   (d)   và   ( ) thì 
AM (1 2t ;3 t ; 5 4t ) ; đường thẳng (d) có 1 vtcp  u (2; 1;4) .Vì  ( ) vuông góc 
(d) nên  AM .u 0
nhận  AM

21t

21

t

1 . Với t = 1 thì  AM

(3;2; 1) do đó  ( ) đi qua A 

(3;2; 1)  làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

x 4
3

y 2
2

z 4
1

Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (P) đi qua A nhận 
u (2; 1;4) là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x ­ y + 4z ­10 = 0. 
Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(­1;0;3); (∆) đi qua 
2 điểm A, M.Vậy phương trình (∆): 

x 4
3

y 2
2

z 4
1

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
 Bài tập: 

1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng 
(d) có phương trình:

x 1
2

y 1
1

z
 . Viết phương trình chính tắc đường 
1

thẳng ( )
đi qua điểm M cắt  và vuông góc với đường thẳng (d).
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;­1;0) và đường thẳng 
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0. Vi ết  
phương trình tham số  đường thẳng đi qua điểm M cắt   và vuông góc với 
đường thẳng (d).
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường 
thẳng (d1) và (d2).
8


Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1); (Q) là mặt phẳng đi 
qua M và chứa (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và  
(Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(1;­1;1) và đường 
thẳng (d1) 

x 1
2

y
1

z 3
; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z ­ 1 =  
1

0; y + 2z ­ 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M  
cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2). 
Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng  
(P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1), (Q) là mặt phẳng 
đi   qua   M   và   chứa   (d2).   Đường   thẳng   (d1)   đi   qua   N(1;0;3)   và   có   1   vtcp 
u (2;1; 1) . Ta chọn  n u ; MN (3; 4;2)  là 1 vtpt của (P). Suy ra (P) có phương  
trình là : 
3x ­ 4y + 2z ­ 9 = 0. Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z ­ 1 =  
0.   Tập   hợp   những   điểm   nằm   trên   (d)   có   tọa   độ   thỏa   mãn   hệ: 
3x 4 y 2 z 9
x y z 1 0

0

x 7 6t
   (I) Đặt y = t thì hệ  (I) trở  thành   y t
Vậy đường 
z
6 7t

thẳng (d) có phương trình chính tắc là:

x 7
6

y
1

z 6
7

Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ  (I) và (d) chính là đường 
thẳng đi qua hai điểm đó. Hoặc lấy một điểm bất kỳ  thỏa mãn hệ  (I) và 1 
vtcp của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P)  
và (Q). 
 Bài tập:
1.  Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(3;­2;5) và hai đường 
x
3 3t
x 3 2t
thẳng (d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d1) y 1 4t ; (d2) y 1 t . 
z 2 2t
z 2 3t

Viết phương trình tham số đường thẳng  ( ) đi qua A, cắt cả hai đường thẳng 
(d1) và (d2). 
x 2 2t
 2..Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1):  y 5t
z 2 t

và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x – y +z + 1 = 0. Vi ết  
phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả (d1) và (d2). 
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với  
mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d').
9


 Cách giải : 
 Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ 
độ giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t. Giải phương trình  
IM .n P 0   ( do (d) // mp(P) ) tìm được t. Từ  đó suy ra phương trình đường  
thẳng MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm. 
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương 
trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P). Từ  đó đường thẳng (d) là  
giao tuyến của (Q) và (R) .
 V í d
  ụ   :   Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt 
phẳng (P): x ­ 2y + 3z ­1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt  
phẳng   ( ) : 4 x y z 6 0; ( ) : x y 3 0 .   Viết  phương  trình  tham   số 
đường thẳng (d) đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt  
phẳng (P).
 Hướng dẫn giải:
  Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là   n
tuyến của hai  mặt  phẳng   ( ) : 4 x y

(1; 2;3) . Đường thẳng (d') là giao 
z 6 0; ( ) : x y 3 0   nên tập hợp 

những điểm nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ 
x

Đặt x = t thì hệ (I) trở thành  y
z

4x y z 6
x y 3 0

0

 (I) . 

t
3 t
3 3t

x
Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là: y
z

t
3 t
3 3t

gọi N(t;3­t;­3+3t) là giao điểm của (d) và (d') 

(t 1;1 t ;3t 4) , 

vì   (d)   //   (P)   nên   MN . n

4 MN

0

t

MN

5
.   Đường   thẳng   (d)   đi   qua   M   nhận 
4

x 1 t
(1; 1; 1)  làm 1 vtcp có phương trình tham số là:  y 2 t
z 1 t

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
 Bài tập :    Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(4;2;­3), đường 
thẳng (d): 

x 2
1

y
3

z

2
2

 và mặt phẳng (P): 2x + y ­ z +1 = 0. Viết phương  

trình đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng 
(d).

10


Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt 
phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d').
Cách giải :
Cách   1  :   Tìm   vtcp   u của   đường   thẳng   (d'),   vtpt   n của   mặt   phẳng   (P).   Vì 
(d )
(d )

(d )
nên (d) có 1 vtcp  v
( p)

u , n . Từ  đó suy ra (d) là đường thẳng qua M 

và có 1 véc tơ chỉ phương  v .
  Cách 2  :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường  
thẳng (d'). Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví   dụ:   Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   đường   thẳng   ( ) : 
x 1
1

y 2
2

z 3
 và mặt phẳng (P): 2x + z ­5 = 0 .Gọi A là giao điểm của  ( )  
2

và (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm 
trên (P), và (d) vuông góc với đường thẳng  ( ) . 
Hướng dẫn giải: Vì  A ( ) A(1 t ;2 2t ;3 2t ) .Lại có  A (P)  nên
 2(1+t)+3+2t­5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3). Đường thẳng  ( ) có 1 vtcp  u (1;2;2)
; (P) có 1 vtpt  n (2;0;1) ; Vì 

(d )
(d )

( )
nên (d) có 1 vtcp  v
( p)

(d) là đường thẳng qua A và có 1 vtcp  v
của đường thẳng (d) là :

x 1
2

y 2
3

u, n

( 2;3; 4) . Vậy 

(2;3; 4)  nên phương trình chính tắc 

z 3
 
4

Bài tập:
 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z ­1 =  
0 và đường thẳng (d'):

x 1
2

y
1

z

2
.Viết phương trình đường thẳng (d) 
3

nằm trên (P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vuông góc với (d').
 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17  
= 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng  3x ­ y + 4z ­ 27 = 0 ; 
6x +3y ­ z + 7 = 0. Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình 
đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d) và nằm trong (P).
Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng  ( )  đi qua M nằm trong mặt 
phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến  ( )
bằng k (k > 0 ). 

Cách giải :  Đường thẳng (d) có 1 vtcp  u ; (P) có 1 vtpt  n .  Vì  ( ) nằm trên 
(P), vuông góc với (d) nên   ( ) có vtcp   u1

u , n . Gọi N(a;b;c) là hình chiếu 

11


MN
vuông   góc   của   M   trên   ( ) khi   đó   từ   hệ   MN k tìm   được   điểm   N.  Viêt 
N (P )

phương trình đường thẳng  ( ) . 
Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= 
0 
y 2 z 1
 .Gọi M là giao điểm của (d) và (P), 
1
1
viết phương trình đường thẳng  ( )  nằm trên (P), vuông góc với (d) đồng thời 

và đường thẳng (d ) :

x 3
2

thỏa mãn khoảng cách từ M tới  ( ) bằng  42 .
x 3 y 2 z 1
1
1

Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ: 2
x  y   z  2   0 

x 1
y
3   
z 0

 vậy M(1;­3;0). Đường thẳng (d) có 1 vtcp  u (2;1; 1) ; (P) có 1 vtpt  n (1;1;1) . Vì
( ) nằm trên (P), vuông góc với (d) nên  ( ) có 1 vtcp  u1

u, n

N(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M trên  ( ) khi đó  MN
mặt khác  MN

( x 1) 2 ( y 3) 2 z 2
42  nên  x  y   z  2   0 
2 x 3 y z 11 0

( )  và  MN

Giải hệ tìm được 2 điểm N . Với N(5;­2;­5) ta có  ( ) :
Với N(­3;­4;5) ta có  ( ) :

x 3
2

y 4
3

( 2; 3;1) . Gọi 

(a 1; b 3; c) , 
42

x 5
2

y 2
3

z 5
1

z 5
1

Bài tập:  Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y 
z 1
 . Gọi M là giao điểm của (d) 
3
và (P), viết phương trình tham số  đường thẳng  ( )  nằm trên (P), vuông góc 

­z+1= 0 và đường thẳng (d ) :

x 2
1

y 1

1

với (d) và cách M một khoảng bằng  3 2 . 
Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P)  
và cắt 2 đường thẳng (d1) và (d2). 
Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d1) và (P); Tìm giao điểm B 
của  đường thẳng  (d2)  và  (P). Phương  trình  của  đường thẳng (d)  chính  là 
phương trình của đường thẳng AB.

12


Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho (P): x ­ 2y + z ­ 2 = 0 và hai đường thẳng  
x 1
( d1 ) :
1

3 y
1

x 1 2t
z 2
; ( d 2 ) : y 2 t .Viết phương trình tham số  của đường 
2
z 1 t

thẳng  ( ) nằm trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2). 
 Hướng dẫn giải: 
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A 
x 1 3 y z 2

1
2
là nghiệm của hệ: 1
x ­ 2y   z ­ 2   0 
x 1 2t
y 2 t
B là nghiệm của hệ:
z 1 t
x ­ 2y   z ­ 2   0 

x 10
y 14  vậy A(10;14;20); tọa độ  điểm 
z 20
x 9
y 6   vậy B(9;6;5). Đường thẳng  ( )
z 5

x 9 t
đi qua B nhận BA(1;8;15)  làm 1 vtcp có phương trình  là :  y 6 8t
z 5 15t

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x­3y+11z ­26 =  
0 và hai đường thẳng:  (d1 ) :

x
1

y 3
2

z 1
x 4
; (d 2 ) :
3
1

y
1

z 3
. Viết phương 
2

trình đường thẳng  ( )  nằm trên (P) đồng thời cắt cả  2 đường thẳng (d1) và 
(d2). 
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y ­13z+39= 
x 1
0   và   hai   đường   thẳng:   (d1 ) :
1

y 5
2

x 2
z 1
; (d 2 ) : y
3 t .   Viết   phương 
1
z 5 2t

trình đường thẳng  ( )  nằm trên (P) đồng thời cắt cả  2 đường thẳng (d1) và 
(d2). 
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d)  là hình chiếu vuông góc  
của (d') trên mặt phẳng (P).
Cách giải : 
 Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') . Tìm toạ  độ 
hình chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P). Từ đó suy ra phương  
trình đường thẳng HK chính là phương trình của (d) . 
  Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong  
đó (Q) là mặt phẳng chứa (d') và vuông góc với (P). 
13


*Đặc biệt:  + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A của (d') và (P). Lấy B ∈(d') 
tìm hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).Suy ra đường thẳng AB’ chính là 
(d).
+ Nếu (d') // (P) : Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d').
x
 Ví dụ :  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d): y
z

4t
4 3t và mặt phẳng 
1 2t

(P): x ­ y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d') 
của (d) lên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải : 

Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;4;­1) và có 1 vtcp  u (4;3; 2) . Mặt 
phẳng (P) có 1 vtpt là  n (1; 1;3) . Hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng 
(P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng 
chứa (d) và vuông góc với (P). (Q) đi qua A nhận  n1

u, n

7(1; 2; 1)  làm 1 

vtpt có phương trình: x ­ 2y ­ z + 7 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d')  
có tọa độ  thỏa mãn hệ:  

x ­ y 3z 8   0 .
   (I) Đặt z = t thì hệ  (I) trở  thành 
x 2y z 7 0

x
9 7t
y
1 4t
z t

hay 

x 9
7

y 1
4

z
x 9
.Vậy (d') có phương trình là: 
7
1

y 1
4

z
1

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại. 
Bài tập:
1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và đường 
x
thẳng (d): y
z

3
t

. 
5 t

Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x ­ y + z + 10 = 0, đường thẳng 
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x ­ y + z + 1 = 0 và x + 2y ­ z ­3 = 0 . 
Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài toán 12:  Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua 

(P).
14


 Cách giải : 
+ Nếu (d') và (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A của (d') và (P), lấy điểm B trên 
(d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P): Lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì (d) là 
đường thẳng đi qua B’ và song song với (d’) 
Chú ý: Có thể lấy 2 điểm A, B bất kỳ phân biệt trên (d') tìm A’, B’ lần lượt 
đối xứng với A, B qua (P) thì đường thẳng A’B’ chính là (d).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  (d1 ) :

x 2
1

y 3
1

z 1
 và 
1

(P): x + 3y ­ z + 2 = 0.Viết phương trình tham số  đường thẳng (d) đối xứng  
với đường thẳng (d1) qua mp (P).
 Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (P) tìm được A(­4 ;3;7) lấy 
z 1
 là đường thẳng qua B và vuông 
1
28 15 5

; ) ; B’ là 
góc với (P), gọi H là giao điểm của (d2) và (P) suy ra  H ( ;
11 11 11
34 3 1
điểm đối xứng của B qua (P) thì H là trung điểm của BB’ B ( ; ; ) . 
11 11 11

B(2;­3;1) ∈(d1), Gọi (d 2 ) :

x 2
1

y 3
3

Đường thẳng (d) chính là đường thẳng AB’ có phương trình là: 
x 4
39

y 3
15

z 7
39

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z ­ 17 = 0. Viết 
phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua 
mặt phẳng (P) biết:     
x 2
2

x 2
               b, Đường thẳng  (d1 ) :
1

               a, Đường thẳng  (d1 ) :

y 3
3
y 3
2

z 5
  
5
z 5
3

Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu song song 
của   (d1) lên   mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2). (hai đường thẳng 
(d1) và (d2) phân biệt và không song song). 
     Cách giải  : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d1) và 
song song (hoặc chứa) (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q). 
Ví   dụ:   Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   hai   đường   thẳng  
(d 1 ) :

x
1

y 1
2

z
x 1
;   (d 2 ) :
1
2

y
2

z 2
. Viết phương trình chính tắc của hình 
1

chiếu song song của (d1) lên  mặt phẳng (P) : x ­ 2y ­2z ­ 1 = 0 theo phương  
chiếu (d2).

15


  Hướng  dẫn  giải:   Đường  thẳng  (d1)   có  1  vtcp   u
M(0;1;0), đường thẳng (d2)  có 1 vtcp  v

(1;2;1)   và  đi  qua   điểm 

(2;2;1) suy ra  n

u, v

(0;1; 2) . Gọi 

(Q) là mặt phẳng chứa (d1) và song song (d2) thì (Q) đi qua điểm M và nhận 
véc tơ  n  làm 1 vtpt. Do đó (Q) có phương trình là : y ­ 2z ­ 1 = 0. Đường thẳng 
(d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên giải tìm được (d) có phương trình chính 
tắc là: 

x 3
6

y 1
2

z
1

Bài tập:
  1.Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   hai   đường   thẳng 
(d 1 ) :

x 1
2

y
3

z 1
x
;   (d 2 ) :
1
1

y 7
2

z 5
.   Viết   phương   trình   tham   số   của 
3

hình chiếu song song của (d1) lên   mặt phẳng (P): 3x + y ­2z ­ 4 = 0 theo  
phương chiếu (d2). 
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
x t
x 5
(d1 ) : y
11 2t ;  (d 2 ) :
2
z 16 t

y 2
1

z 6
. Viết phương trình tham số của 
3

hình chiếu song song của (d1) lên  mặt phẳng (P): 3x ­ 2y ­2z ­ 1 = 0 theo 
phương chiếu (d2). 
Bài   toán   14:  Viết   phương   trình   đường   thẳng   (d)   song   song   (d')   hoặc 
vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2). 
Cách giải :

Cách 1: Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra  AB , mặt 
phẳng (P) có 1 vtpt   n (hoặc (d') có 1 vtcp   n ), do  (d )

( P)  (hoặc (d)//(d') ) 

nên  AB  và  n cùng phương hay  AB = k n   (k 0)  giải tìm được tọa độ A (hoặc 
B). Khi đó đường thẳng (d ) đi qua A có 1 vtcp  n .
   Cách 2; ­ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1)và song 
song với đường thẳng (d').
­ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d2) và song song với 
đường thẳng (d').Từ đó suy ra phương trình (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
   Ví dụ: Trong không gian với hệ  toạ độ  Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và 
(d2) có phương trình lần lượt là 

x
1

y 1
2

z 1 x
;
1
1

y
2

z
. Viết phương trình 

2

16


tham số đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 3x ­ y + z ­1 = 0 đồng  
thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).
 Hướng dẫn giải :Gọi  A(t ;1 2t;1 t ); B(t1 ;2t1 ;2t1 ) lần lượt là giao điểm của (d) 
với (d1) và (d2) suy ra   AB (t1 t ;2t1 2t 1;2t1 t 1) , (P) có 1 vtpt   n (3; 1;1) . 
Do  (d )

( P) nên  AB  và  n cùng phương hay  

t1

t

2t1

3

2t 1
1

2t1

t 1
1

 giải 

7
3t
13
14
7
7 14 14
t
 khi đó  B( ; ; ) . Vậy (d )có phương trình là  y
13
13 13 13
13
14
z
t
13
x

tìm được  t1

 Bài tập:
1.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, Viết phương trình tham số  đường 
x
3
y 7
9

thẳng (d) song song với đường thẳng   ( ) :
thẳng  (d1 ) :

x 1
1

y 2
4

z 2
x 4
; (d 2 ) :
3
5

y 1
1
z
1

z 5
  và cắt hai đường 
1

2.Trong không gian với hệ toạ  độ  Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có 
x t
x 1 2t
phương trình lần lượt là   (d1 ) : y 4 t ;   (d 2 ) : y 3 t . Viết phương trình 
z 3 t
z 4 5t

chính tắc của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxz và cắt hai đường 
thẳng (d1) và (d2). 

 Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A song song với 
mặt phẳng ( ) (hoặc nằm trên   ( ) ; hoặc vuông góc với   ( ) ) sao cho 
khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ nhất.
 Cách giải :
Cách 1:Viết phương trình của (P) đi qua A và song song  ( ) .Gọi K là hình 
chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d). 
B
Ta có  BK KH nên  BH BK  khoảng cách BH nhỏ nhất 
bằng BK khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
Cách 2: ­ Tìm 1 vtpt  n của (P), tính  n

1

­ Tìm 1 vtcp của (d):  u

n., AB

P

K

(d)

A H

n, n1 , đường thẳng (d) đi qua 

A có 1 vtcp  u .
17

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d)  nằm trên  ( ) thì không cần viết 
(P).
 V í dụ
   : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x ­ y + z ­1=  
0 và hai điểm A(1;1;0); B(2;­1;1). Trong các đường thẳng đi qua A và song 
song với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) sao cho khoảng cách 
từ B đến (d) nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) đi qua 
A và song song (P) có phương trình là: x – y + z   = 0. Gọi K là hình chiếu 
vuông góc của B trên (Q), đường thẳng BK đi qua B nhận  n (1; 1;1)  là 1 vtpt 
x

của (Q) làm 1 vtcp có phương trình:  y
z
x
y

2 t

z 1 t
x y z
BH

x

1 t
0

2 t

1 t . Tọa độ  K là nghiệm của hệ 
1 t

2/3

y 1 / 3   Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d) ta có 
1
z
3

BK  dấu bằng xảy ra khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K. 

Đường thẳng (d) đi qua A nhận  AK

1
1;2;1 làm 1 vtcp có phương trình tham 
3

x 1 t

số là:  y 1 2t
z

t

Bài tập:
1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y ­ 2z ­3 = 0  
và hai điểm A(1;­1;­1); B(2;1;0). Viết phương trình tham số  đường thẳng (d) 
đi qua A  nằm trên (P), sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất.
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;­8;5) và  B(1;2;­3). 

Trong các đường thẳng (d) đi qua B và cắt đường thẳng  ( ) :

x
2

y 1
1

z
 viết 
3

phương trình đường thẳng (d) sao cho  khoảng cách từ A đến (d) là nhỏ nhất.
Bài toán 16: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với  
đường thẳng  ( ) ( hoặc song song với mặt phẳng ( ) hoặc nằm trên  ( )
)   sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn nhất.
Cách giải :
Cách 1:  ­ Viết phương trình của mp(P) đi qua A và vuông góc với ( ).
­ Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình      B

P

K

18
(d)
A H


chiếu vuông góc của B trên (d).                                               ( )

­ Ta thấy  BH BA  khoảng cách BH lớn nhất bằng AB khi 
H trùng A hay đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc (ABK).   
Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với AB và ( )
 V í dụ
   : 
Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz, cho đường thẳng  (d ) :

x 1
2

y 2
1

z
 
1

và hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) 
đi qua A vuông góc với (d) sao cho khoảng cách từ B đến ( ) lớn nhất.
Hướng dẫn giải : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) suy ra (P)  
nhận 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H là  
hình chiếu của B trên (P), đường thẳng BH đi qua B vuông góc (P) có phương 
x

2 2t

trình: y 1 t
z 1 t

của hệ:

x
y

H là giao điểm của BH và (P) nên tọa độ điểm H là nghiệm 

2 2t
1 t

z 1 t
2x y z 3

1 1
H (1; ; ) . Gọi K là hình chiếu của H trên ( ) suy ra
2 2
0

BK ( ) , d ( B; ) BK  mà  BK AB  (không đổi) nên BK lớn nhất bằng AB  
khi K trùng A. Do đó ( ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (ABH) 

nên ( ) có 1 vtcp  u

AB, v

( 1;1;1) ; (trong đó  v

) có phương trình chính tắc là  :

x 1
1

y 1
1

2 HA (0;1; 1)  ). Khi đó (

z
1

Bài tập:
1,Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) và  B(2;0;1).  
Viết phương trình đường thẳng (d)  đi qua A vuông góc với đường thẳng  
x t
y 1 t  và cách điểm B một khoảng lớn nhất.
z 1 2t

2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1): 

x 1
2

y 2
1

z
 và hai điểm 
1

A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và 
vuông góc với (d1) sao cho khoảng cách từ  điểm B đến đường thẳng (d) lớn 

nhất.

19


Bài toán 17: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P)  và 
tạo với đường thẳng  ( ) góc bé nhất, lớn nhất (đường thẳng   ( ) không 
song song hay nằm trên (P)).
Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với  ( ) . Trên đường thẳng này 
lấy điểm B khác A cố  định. Hình chiếu vuông góc của B trên (d) và (P) theo  
thứ tự là H và K.Ta có: (d,  ) = BAH; sin(d,  ) = 
Vậy (d,  ) nhỏ nhất khi và chỉ khi  H
 hay (d) chính là đường thẳng AK.
Ta thấy 1 vtcp của (d) là  v

BH
AB

BK
AB

B

K,

d

K

P

n , u  ( trong đó  u

A

H

n ,u1 ; 

n  là vtpt của (P) và  u1 là vtcp của  ( ) ). Còn đường thẳng (d) tạo với  ( )  góc 

lớn nhất bằng 900 và có 1 véc tơ chỉ phương là  v

n ,u1 .

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z ­1= 
0; điểm A(1;1;­1) và đường thẳng ( ) :

x
1

y 1
2

z
. Viết phương trình chính 
1

tắc đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d)  
và   ( ) là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải: Gọi (d1) là đường thẳng qua A song song với  ( ) ta có (d1):
x 1
1

y 1
2

z 1
, lấy điểm B(2;3;0) trên (d1). Gọi hình chiếu vuông góc của B 
1
trên (d) và (P) theo thứ tự  là H và K thì góc giữa đường thẳng (d) và  ( ) nhỏ 

2 5 4
) 
K , hay (d) chính là đường thẳng AK, giải tìm được  K ( ; ;
3 3 3
x 1 y 1 z 1
và phương trình (d) là: 
 .
1
2
1

nhất khi  H

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 =  
0, điểm A(1;­2;­1) và đường thẳng  ( ) :

x

3

y 1
2

z
. Viết phương trình tham 
1

số  đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d) 
và   ( ) là nhỏ nhất.
2.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(1;1;2) và đường thẳng 
x 1 y 2 z
. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc 
2
1
2
với   ( )  đồng thời (d) tạo với trục Oz một góc   sao cho 

( ):

 a, 

45 0 ;                                                     b, 

 nhỏ nhất.

20

Bài toán 18: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên 
(P) sao cho khoảng cách giữa đường thẳng (d) và đường thẳng   ( ) lớn 
nhất  (đường thẳng   ( )   không song song với (P), không nằm trên (P), 
không đi qua điểm A). 
Cách giải: Gọi (d’) là đường thẳng qua A và song song với  ( )  và B là giao 
điểm của  ( ) với  (P),  n  là 1 vtpt của (P) .Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của B trên mặt phẳng (d’,d). Khoảng cách giữa
 (d) và  ( ) bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B
 trên (d’).Ta thấy  BH BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi 
H C.  Khi đó đường thẳng (d) đi qua A và có 1 véc tơ
 chỉ phương  u

d’

B

P

n , BC  . 

Chú ý:Có thể  chọn 1 vtcp của (d) là   u

C
A

H

d

n , AK , trong đó K là hình chiếu 

vuông góc của A trên  ( ) .
 V í dụ
   :  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x ­ y­ z+2= 
x 2
0,  điểm A(­1;1;­1) và đường thẳng  ( ) :

y 1
1

1

z 1
. Viết phương trình 
1

tham số đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao khoảng cách giữa đường  
thẳng (d) và  ( ) là lớn nhất.
Hướng dẫn giải: Gọi (d’) là đường thẳng qua A và song song với  ( ) phương 
trình (d’):

x 1
1

y 1
1

z 1
, tìm được B(­1;2;­2) là giao điểm của  ( ) với (P), 
1

n (2; 1; 1)  là 1 vtpt của (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên mặt 
phẳng (d’,d), vì  ( ) song song với mặt phẳng (d’,d) nên khoảng cách giữa (d) 
và   ( ) bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên (d’) tìm được 
C(

5 5 5
; ; ) .Ta thấy  BH
3 3 3

BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ  khi  H

đường thẳng (d) đi qua A và có 1 vtcp  u
x

n , BC

C.  Khi đó 

2
(1;0;2)  
3

1 t

có phương trình tham số là: y 1
 . 
z
1 2t
Bài tập: Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z  

­1= 0 và  điểm A(1;1;­1) và đường thẳng  ( ) :

x
1

y 1
2

z
. Viết phương trình 
1

21


chính tắc đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao khoảng cách giữa đường  
thẳng (d) và   ( ) là lớn nhất.
IV. KIỂM NGHIỆM
     Trước đây chưa sử dụng đề tài này qua quá trình kiểm tra các em tôi thấy 
các em không biết nên làm thế nào, các bài kiểm tra có nhiều em còn bị điểm  
kém, điểm khá giỏi ít. Để  kiểm tra hiệu quả  của đề  tài này, sau khi các em 
được học các dạng bài toán trên. Tôi thấy các em đã tự  tin và giải bài toán 
loại này một cách thành thạo, các em đã yêu thích hơn phần hình học không  
gian đã định hướng và giải quyết tốt hơn các bài tập. Ngoài ra một số em khá  
giỏi còn tự tìm tòi thêm một số cách khác,  một số  bài tổng quát. Tôi đã tiến  
hành kiểm tra miệng, 15 phút , 1 tiết hoặc 2 tiết trên các lớp thực hiện đề tài  
này kết quả thu được đáng khích lệ như sau:
                                                 Năm học 2013­2014
Lớp Sỹ 
Điểm  dưới 5

Điểm từ 5 đến dưới  Điểm 8 đến 10
số
8
Số lượng %
Số lượng %
Số  
%
lượng
12B 45
4
8,9
25
55,5
16
35,6
12G 49
0
0
14
28,6
35
71,4
                                    
                             PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT            
1. Kết luận
           Qua quá trình thực hiện đề  tài này tôi thu được một số  bài học kinh 
nghiệm:
Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan. Cần rèn luyện cho học 
sinh sau khi đọc đề  bài phải biết phân tích bài toán để  đưa về  bài đơn giản  
hơn và tìm ra các cách giải khác nhau, từ  đó nhằm phát huy tư  duy, sáng tạo 

và khái quát hóa bài toán. Động viên các em nỗ lực tìm tòi những lời giải hay, 
tranh luận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ. Rèn luyện cách trình bày bài 
giải một cách chặt chẽ, logic và cẩn thận. Khơi dậy cho các em yêu thích  
môn toán và say mê học toán hơn.
       Khi dạy học sinh giải các bài toán hình học tọa độ  không gian giáo viên  
cần xây dựng một hệ  thống bài tập từ  dễ  đến khó để  nâng cao khả  năng tư 
duy và kỹ năng làm bài của học sinh. Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ mới đưa 
ra một số bài toán, một số ví dụ và một số bài tập nên chưa thể đầy đủ, chưa  
bao quát hết. Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý kiến để  có một cách dạy  
và khai thác hết các dạng bài tập này một cách tốt nhất và hiệu quả cao hơn.
2. Đề xuất: 
22


        Các sáng kiến kinh nghiệm của các thầy, cô giáo hàng năm lưu trữ ở thư 
viện để giáo viên và học sinh cùng nghiên cứu và học tập.
                                                                        Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 04 tháng 6 năm 
2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
mình viết, không sao chép nội dung 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG  của người khác.
                             Người viết
ĐƠN VỊ
                    
                     Mai Thị Quỳnh Hoa
                              Nguyễn Tuấn Anh

23