Tải bản đầy đủ (.docx) (103 trang)

Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli – villars trong lý thuyết trường lượng tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (436.15 KB, 103 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

VŨ THỊ MINH PHƢƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƢƠNG PHÁP PAULI -VILLARS TRONG
LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

VŨ THỊ MINH PHƢƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƢƠNG PHÁP PAULI -VILLARS TRONG
LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành :
Mã số

:

Vật lý lý thuyết và vật lý toán



60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, ngƣời đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể
cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể ngƣời thân, bạn bè đã giúp
đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học
quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa
Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này .

Hà Nội, 16 tháng 1 năm 2014
Học viên


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON .. 4

1.1 Phƣơng trình Pauli........................................................................................... 4
1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối
tính......................................................................................................................... 5
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli....................................... 8
CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMENT
TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON..................................................................... 18
2.1 S-ma trận........................................................................................................ 18
2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng.....................22
2.3 Hệ số dạng điện từ......................................................................................... 23
CHƢƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG............................27
3.1. Bổ chính cho moment dị thƣờng trong gần đúng một vòng.......................... 27
3.2. Moment từ dị thƣờng cùng với các bổ chính lƣợng tử.................................35
KẾT LUẬN............................................................................................................. 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................... Error! Bookmark not defined.
PHỤ LỤC A............................................................................................................ 38
PHỤ LỤC B............................................................................................................ 43
PHỤ LỤC C............................................................................................................ 44


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2. 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng..................................................... 19


BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT

QED:


Điện động lực học lƣợng tử


MỞ ĐẦU

Lý thuyết lƣợng tử về tƣơng tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là
điện động lực học lƣợng tử QED, đã đƣợc xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển
của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R.
Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc
tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành
công các quá trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, cả định tính lẫn định lƣợng. Ví dụ
nhƣ sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lƣợng trong nguyên tử Hydro hoặc
moment từ dị thƣờng của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực
nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác của
electron với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng
độ của tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng moment từ electron  , và nó bằng
e0 h





2mc
0

electron, 0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng tƣơng tác của chân không vật
lý với electron – khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
cho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lƣợng electron m0  mR  và

điện tích electron e0  eR  sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó đƣợc gọi là
moment từ dị thƣờng. Lƣu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị đƣợc lấy từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo đƣợc moment từ của electron bằng
 1, 003875 0 , giá trị này đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng của electron.

J.Schwinger /13/ là ngƣời đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thƣờng của
electron vào năm 1948 và ông thu đƣợc kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ
chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai

1


số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 1010 % ). Biểu thức giải tích của moment
từ dị thƣờng electron về mặt lý thuyết đã thu đƣợc :



01

ly thuyet



 1,001159652

R 1,0011596524120.0

23628.0

(0.2)



đây về cơ bản các giá trị moment đƣợc tính bằng lý thuyết theo thuyết

nhiễu loạn (0.1) và giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp
với nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
moment từ dị thƣờng của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình
tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh Pauli -Villars.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng,
kết luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo.

Chƣơng 1. Phƣơng trình Pauli và moment từ của electron. Phƣơng trình
Pauli và moment từ dị thƣờng có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất
phát từ phƣơng trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu đƣợc
phƣơng trình Pauli với số hạng tƣơng tác của moment từ electron với trƣờng v 
ngoài /1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phƣơng trình Pauli bằng việc lấy gần

c

đúng phi

vc
t ƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng điệ n từ ngoài trong gần đúng

,v

– là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tƣơng đối tính tiếp
t he o cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn t hu đƣợc bằng việ c sử


dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen ở mục 1.3.


2


Chƣơng 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị
thƣờng của electron. Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác của electron với trƣờng
ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ
electron với trƣờng điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman
trong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thƣờng của electron. Mục
2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong
gần đúng phi tƣơng đối tính.
Chƣơng 3. Moment từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một
vòng. Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp Pauli - Villars ta tách phần hữu hạn và
phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức
bổ chính cho moment từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành ở
mục 3.2.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng
quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự. Trong bản luận văn này chúng
tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h  c 1 và metric Feynman. Các véctơ phản
biến là tọa độ:
x

thì các véctơ tọa độ
x  g  x   x0  t , x1  x, x2  y , x3  z    t , x  ,

trong đó:

g   g  




Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.

3


CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA
ELECTRON

Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa moment từ của electron với
trƣờng điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của momen từ với
trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở
trƣờng điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tƣơng đối tính ở gần đúng bậc



v

c

 ta có phƣơng trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ

chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng
phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen.
1.1 Phƣơng trình Pauli
Phƣơng trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trƣờng điện
từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phƣơng

trình Pauli có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song
hàm sóng  trong phƣơng trình Pauli không phải là một vô hƣớng có một thành
r
phần  r , t  phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số

spin của hạt là sz . Kết quả để cho hàm sóng  r , s z , t 
phần:

r

   r , s z

Vì hạt có spin nên nó có moment từ. Từ
moment từ của hạt với spin bằng
r

r

  0,

h

thực nghiệm hiệu ứng Zeemann

2.
(1.2)


4



ngoài, ta có thêm năng lƣợng tƣơng tác phụ.
r
r

(1.3)

Hamiltonian của phƣơng trình Schrodinger có dạng:
r2

(1.4)

p

H  2 m0 U (r)

Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay
thế dƣới đây trong phƣơng trình Schrodinger:
rr
pp
E

 E  e0

Kể thêm spin của hạt thì phƣơng trình mô tả phải có thêm một năng lƣợng
r
r

phụ U   H  


Kết quả ta thu đƣợc phƣơng trình:



r 2

ih

A   e0   r   U  r  


r

ở đây  r , A( r) là thế vô hƣớng và thế véc tơ của trƣờng điện từ. Phƣơng trình
(1.6) là phƣơng trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích đƣợc hiệu ứng
Zeemann.
1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn
phi tƣơng đối tính
Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trong trƣờng ngoài ở dạng
chính tắc ta có:
 (x)
ih

t


  c  p 





5


Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (1.7), thuận
tiện ta viết các spinor hai thành phần:
(1.8)

u

Nhƣ vậy, phƣơng trình (1.7) sẽ biến thành hệ phƣơng trình:

ih

(1.9)

t


ih

t

Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai
thành phần dƣới). Kể thêm:



(1.10)


ih


Phƣơng trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm dƣơng (+):

(1.11)





d

Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-):

(1.12)

() 
u

Điều này có nghĩa nhƣ sau: trong trƣờng hợp nghiệm dƣơng thì spinor  d
liên hệ với  u và trong trƣờng hợp nghiệm âm thì spinor  u liên hệ với  d thừa
số

v c . Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm

dƣơng ta có:

 O (v / c) 


ih


t





u (1.13) 

6

Và để cho nghiệm âm:


ih

t


 

O (v / c)

1d


(1.14)






Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau:



A

r

r

(1.15)

r
p



Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac:


nr

H

   m0 c





đúng đến bậc

v c  cùng với toán tử và tự liên hợp H
2

2

nr

. Nếu chúng ta giới hạn ở

nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu, thì phƣơng trình này với độ chính xác
m0 c2 trùng với phƣơng trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trƣờng điện từ ngoài.

Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa của

rr
phƣơng trình Dirac ở trƣờng ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tƣơng tác MB

giữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trƣờng ngoài, trong đó electron có
moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn:
eh

M ( e) 

2mc


7


Ngƣợc lại trong phƣơng trình Pauli số hạng này đƣa vào phƣơng trình
theo kiểu hiện tƣợng luận – “đƣa vào bằng tay”.
Đối với hạt không phải là cơ bản, nhƣ các proton hay các neutron quá trình
r

r

giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai M  p eS / m pc. Rõ ràng trong những
trƣờng hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trƣờng điện từ ngoài.
Chính vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhận đƣợc phƣơng trình phi
tƣơng đối tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tƣợng luận là
cộng “bằng tay” các số hạng moment.
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lƣu ý các biểu thức để cho mật độ
xác suất và mật độ dòng xác suất tƣơng ứng với phƣơng trình (1.16) với độ

chính xác

v

2



   , j 

Chúng liên hệ với nhau bằng phƣơng trình liên tục  / t j  0 và trong
trƣờng hợp nghiệm dƣơng, các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi


tƣơng đối tính.
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở
trƣờng điện từ ngoài ta thu đƣợc lý thuyết Pauli đúng tới bậc
Hamilton ở bậc

v c . Trong giới hạn này H
3

3

nr

v c  và sai sót trong
2

2

là chéo nhƣng các nghiệm

âm và dƣơng là hoàn toàn “phân ly ”. Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao
hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tƣơng đối tính, bằng cách
sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phƣơng trình Dirac.
Để đơn giản ta bắt đầu từ bậc v / c và phƣơng trình Dirac ở dạng:
m0 c 2 K  0,

K    



(1.19)


8

cùng với:
(1.20)


Và:
(1.21)




đây  và     là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo).
Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen thích hợp

U  eiS , U  eiS , ... với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn

và cao hơn bậc v / c điều đó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới bậc

v / c . Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc:
m c 2 K   0,

(1.22)

(1.23)
K  ,


Và phép biến đổi thứ hai ta có:
m0 c 2 K   0,
U,
K  ,

KUKU1


   O
hơn)



và tiếp tục...

c

2

v2

(1.24)

v 

,O  5 (hay cao

(1.25)

 

 c  
5

Lựa chọn tốt nhất cho phép
biến đổi đầu tiên là:
(1.26)

U  e iS  ,

Cuối cùng ta đƣợc:
K  

(1.27)


9


Cùng với:

O
c

(1.28)


(1.29)


Nhƣ ta đã thấy  bây giờ đã nâng lên hai bậc v / c . Từ đây chúng ta nhận

đƣợc toán tử K   đúng đến bậc

v

3

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực
hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K  cùng :
U  e iS  , S

Từ đây suy ra:
K  

cùng với:
v2

 v12 

O
O


c

 c12 

 v18 

O


 c18 











 
1 , , ...
 8 48







(1.32)
2

Ov 

 2
c 


Và:
 3



  ,

3


10


chẵn:

K  

Cuối cùng kết quả dẫn đến phƣơng trình Dirac:


ih

t

Sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen ta tính một số công thức sau:
2 


1
e 

e
Ai  p j 
2 2  i j  pi 

Aj  m0 c i , j  c  c 


i


2

2

m0 c
ie

m0 c
eh

m0 c

Tiếp theo ta tính giao hoán tử:

,







ijk

ˆ

p

k i


11




 m



ie h 
   i ijk ˆ k   ij  pi E j  2i ijk ˆk E j pi
3c 4


0i,j,ki , j

ieh2
m3c4




ˆ  E

0

Khi tính các công thức (1.36), (1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau:

Đúng đắn đến bậc O

v

4


H    m0 c




eh2



Và ta có hàm sóng :

8m0 c


×