(Luận văn thạc sĩ) nghiên cứu động lực học của dầm kép có vết nứt chịu tác dụng của tải trọng di động phục vụ cho việc giám sát kết cấu

                              
 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 

 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
 
 
 
BÙI TUẤN ANH
 
 

NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT  
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

 

PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU

 
 

 
 
 
 
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT
 
 
 
 
 
 
 

 
Hà Nội - 2014


                              
 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 

 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

 

 
 
BÙI TUẤN ANH

 
 

NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU
 
NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT

 

CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT

 

MÃ SỐ: 60520101

 

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VIỆT KHOA

Hà Nội - 2014


1                                  
LỜI CAM ĐOAN 
Tơi xin cam đoan: Luận văn: “Nghiên cứu động lực học của dầm kép có vết
nứt chịu tác dụng của tải trọng di động phục vụ cho việc giám sát kết cấu” 
là cơng trình nghiên  cứu của riêng tơi với sự hướng dẫn của  TS. Nguyễn  Việt 
Khoa. 

Các số liệu nêu ra và trích dẫn trong luận văn là trung thực, khơng phải là sao 
chép tồn văn của bất kỳ tài liệu, cơng trình nghiên cứu nào khác mà khơng chỉ 
rõ trong tài liệu tham khảo.  
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn

Bùi Tuấn Anh 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


2                                  
LỜI CẢM ƠN 
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Việt Khoa – cán 
bộ hướng dẫn. Thầy đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tơi rất nhiều trong suốt q 
trình làm luận văn. Nhờ đó, tơi đã học tập được rất nhiều kiến thức bổ ích. Thầy 
đã truyền cho tơi niềm say mê cũng như phương pháp nghiên cứu khoa học và 

những kinh nghiệm vơ cùng q giá. Tơi xin chân thành cảm ơn các cán bộ của 
Khoa Cơ học kỹ thuật – Đại học Cơng Nghệ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và 
giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn. 
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân về sự động viên, khích 
lệ tinh thần trong suốt q trình học tập cũng như thực hiện đề tài này. 
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn

Bùi Tuấn Anh 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


3                                  
MỤC LỤC 
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 7
CHƯƠNG  1:  CƠ  SỞ  LÝ  THUYẾT  DAO  ĐỘNG  CỦA  HỆ  DẦM  KÉP  CÓ 
VẾT NỨT DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN ..................................... 8
1.1. Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển, bỏ qua độ

mấp mô của mặt dầm ...................................................................................... 8
1.2. Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển có xét đến độ
mấp mơ của mặt dầm .................................................................................... 10
CHƯƠNG  2:  MƠ  HÌNH  PHẦN  TỬ  HỮU  HẠN  VÀ  PHƯƠNG  PHÁP 
NEWMARK .................................................................................................... 12
2.1. Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn ........................................ 12
2.2. Rời rạc hóa kết cấu dầm và xác định các ma trận phần tử ................... 13
2.3. Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm có vết nứt ...... 17
2.4. Ghép nối các ma trận phần tử thành ma trận tổng thể của dầm. .......... 19
2.5. Áp đặt điều kiện biên ............................................................................ 23
2.6. Xác định ma trận cản Rayleigh ............................................................ 24
2.7. Phương pháp giải bài toán động lực học dầm của Newmark ............... 24
CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET .................. 26
3.1. Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngược của nó .............................. 26
3.2. Biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi ngược của nó .............................. 27
3.3. Ví dụ áp dụng biến đổi wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín
hiệu  ………………………………………………………………………….28
CHƯƠNG 4: MƠ PHỎNG SỐ VÀ BIỆN LUẬN ............................................ 31
4.1. Ảnh hưởng của độ cứng và hệ số cản của môi trường đàn hồi giữa hai
dầm  ………………………………………………………………………….31
4.2. Ảnh hưởng đồng thời của biên độ và chiều dài mấp mô tới chuyển vị của
hệ dầm .......................................................................................................... 32
4.3. Ảnh hưởng đồng thời của biên độ mấp mô và vận tốc của xe tới chuyển
vị của hệ dầm ................................................................................................ 33
4.4. Ảnh hưởng đồng thời của chiều dài mấp mô và vận tốc của xe tới chuyển
vị của hệ dầm ................................................................................................ 36


4                                  
4.5. Ảnh hưởng đồng thời của chiều dài mấp mô và vị trí vết nứt trên dầm

chính tới chuyển vị của hệ dầm ..................................................................... 38
4.6. Xác định vị trí vết nứt ........................................................................... 40
4.6.1. Mặt dầm bằng phẳng ...................................................................... 40
4.6.2. Mặt dầm mấp mơ ........................................................................... 42
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 46
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐàCƠNG BỐ ......................................... 48
PHỤ LỤC: CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH .................................................... 55
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


5                                  

DANH MỤC CÁC BẢNG 
Bảng 1: Ảnh hưởng của βm và ζm tới chuyển vị lớn nhất của dầm chính (đơn vị: 
mm) .................................................................................................................. 31
Bảng 2: Ảnh hưởng của βm và ζm tới chuyển vị lớn nhất của dầm  phụ (đơn vị: 
mm) .................................................................................................................. 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


6                                  

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
Hình 1.1. Mơ hình hệ dầm kép và xe, bỏ qua độ mấp mơ của mặt dầm. ............. 8
Hình 1.2. Mơ hình hệ dầm kép và xe, có xét đến độ mấp mơ của mặt dầm. ...... 11
Hình 2.1. Rời rạc hóa kết cấu ........................................................................... 13
Hình 2.2. Chuyển vị tại nút của phần tử dầm .................................................... 13
Hình 2.3. Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn ................................................ 14
Hình 2.5. Mơ hình dầm có vết nứt .................................................................... 17
Hình 3.1. Tín hiệu f(t) với một xung nhỏ ẩn ở điểm 150 ms ............................. 29
Hình 3.2. Biến đổi wavelet liên tục của tín hiệu f(t) ......................................... 29
Hình 3.3. Biến đổi rời rạc của tín hiệu f(t) ........................................................ 30
Hình 4.1. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm chính khi v = 10 m/s ................ 33
Hình 4.2. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm phụ khi v = 10 m/s ................... 33
Hình 4.3. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm chính khi lm = 1,34m ................ 34
Hình 4.4. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm phụ khi lm = 1,34m .................. 34
Hình 4.5. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm chính khi lm = 10m................... 35
Hình 4.6. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm phụ khi lm = 10m ..................... 35
Hình 4.7. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm chính khi dm = 0,1m ................. 36
Hình 4.8. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm phụ khi dm = 0,1m ................... 36
Hình 4.9. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm chính khi dm = 0,3m ................. 37
Hình 4.10. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm phụ khi dm = 0,3m .................. 37
Hình 4.11. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm chính khi dm = 0,5m, α = 0,107, 
độ sâu vết nứt 30% ........................................................................................... 39
Hình 4.12. Chuyển vị của điểm chính giữa dầm phụ khi dm = 0,5m, α = 0,107, độ 
sâu vết nứt 30% ................................................................................................ 39
Hình 4.13. Chuyển vị của hai dầm với v = 2m/s, mặt dầm bằng phẳng. ............ 40
Hình 4.14. Biến đổi Wavelet chuyển vị của dầm chính, với vận tốc v = 2m/s. .. 41
Hình 4.15. Biến đổi Wavelet chuyển vị của dầm phụ, với vận tốc v = 2m/s. .... 42
Hình 4.16. Chuyển vị của hai dầm với v=2m/s, mặt dầm mấp mơ. ................... 43
Hình 4.17. Biến đổi Wavelet chuyển vị của dầm chính, với vận tốc v = 2m/s. .. 43

7                                  
MỞ ĐẦU
Kết cấu dầm có vai trị rất quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt là trong các ngành 
cơ khí, xây dựng. Kết cấu dầm đơn đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Tuy 
nhiên kết cấu dầm kép vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Các nghiên cứu trước 
đây  về  kết  cấu  dầm  kép  vẫn  cịn  rất  nhiều  hạn  chế.  Z.Oniszczuk  đã  có  nhiều 
nghiên cứu cả về hệ tấm kép [4], dầm kép [1] và dây kép [8, 9]. Trong nghiên 
cứu  về  dao  động  cưỡng  bức  của  hai tấm  mỏng  hình  chữ  nhật  [4], liên  kết  với 
nhau bằng mơi trường đàn hồi, chịu tải trọng phân bố tùy ý, tác giả này đã đưa 
ra được nghiệm giải tích tổng qt nhưng chưa giải được khi thay đổi điều kiện 
biên hoặc xét đến tải trọng động. Tương tự như vậy, trong nghiên cứu về hệ dầm 
kép [1], tác giả mới nghiên cứu dao động tự do của hệ mà chưa xét đến tải trọng 
động và các loại tải trọng khác. Cịn trong nghiên cứu về dao động của hệ hai 
dây  liên  kết  với  nhau  bằng  mơi  trường  đàn  hồi  [8,  9],  chịu  tải  trọng  phân  bố, 
phương  trình  dao  động  của  dây  khác  với  phương  trình  dao  động  của  dầm.  H. 
Erol và M. Gürgưze [10] đã nghiên cứu dao động dọc trục của hệ thống hai dầm 
conson  liên  kết  với  nhau  bằng  mơi  trường  đàn  hồi.  Nhưng  để  giải  hệ  phương 
trình dao động, các tác giả đã giả thiết hai dầm có độ cứng giống nhau. Do đó 
làm  cho  nghiên  cứu  khơng  cịn  mang  tính  tổng  quát.  H.  V.  Vu  và  các  đồng 
nghiệp  [3]  đã  nghiên  cứu  dao  động  cưỡng  bức  của  hệ  dầm  kép,  nhưng  tác giả 
cũng phải giả thiết hai dầm có độ cứng giống nhau để giải hệ phương trình dao 
động. Như vậy, đa số các nghiên cứu trên đều chủ yếu tập trung vào nghiên cứu 
các hệ dầm kép bao gồm hai dầm giống hệt nhau do sự khó khăn của việc giải 
các phương trình dao động của hệ dầm kép gồm hai dầm khác nhau. Trong khi 
đó,  các  kết  cấu  được  cấu  tạo  từ  hệ  hai  dầm  kép  với  hai  dầm  khác  nhau  chưa 
được quan tâm nhiều. Để giải bài tốn phức tạp là dầm kép được cấu tạo từ hai 
dầm khác nhau thì phương pháp phần tử hữu hạn là một giải pháp khả dĩ thay 
cho lời giải giải tích. Ngồi ra các nghiên cứu về dầm kép hiện này hầu hết chỉ 
dừng lại đối với các dầm ngun vẹn, cịn đối với dầm kép có vết nứt, theo hiểu 

biết tốt nhất của tác giả luận văn này, thì hiện vẫn chưa có tác giả khác nghiên 
cứu. 
Vì những lý do kể trên, tác giả của luận văn này đề xuất một nghiên cứu về động 
lực học kết cấu của hệ dầm kép có vết nứt chịu tác động của tải trọng di động. 
Trong nghiên cứu này hệ dầm kép được cấu tạo bởi hai dầm khác nhau. Bài tốn 
động lực học của hệ dầm kép này được mơ hình hóa bằng phương pháp phần tử 
hữu  hạn  và  giải  bằng  phương  pháp  Newmark.  Nghiên  cứu  này  xét  đến  ảnh 
hưởng của vết nứt đến dao động của hệ dầm kép và sử dụng biến đổi wavelet để 
phân tích dữ liệu dao động của hệ dầm nhằm phát hiện vị trí vết nứt. 


8                                  
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ DẦM KÉP CÓ
VẾT NỨT DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN
1.1.

Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển, bỏ qua độ mấp
mơ của mặt dầm

Mơ hình hệ dầm kép và xe được thể hiện trong hình 1.1. Trong đó xe được mơ 
hình hóa gồm lốp và thân xe là những vật thể cứng tuyệt đối. Xe di chuyển đều 
với vận tốc v. Độ mấp mơ của mặt dầm được bỏ qua và giả thiết bánh xe ln 
tiếp  xúc  với  mặt  dầm.  Hệ  dầm  kép  gồm  2  dầm  liên  kết  với  nhau  bằng  mơi 
trường đàn hồi. 
v

m1
c1

k1

E1, I1, 1

y1

m2

D1

u0
x

.....................................k m

c m.............

E2, I 2,  2
D2
X
L
Y

 

Hình 1.1. Mơ hình hệ dầm kép và xe, bỏ qua độ mấp mơ của mặt dầm. 
Phương trình dao động của xe: 
m1 
y1+c1(y1 -u0 )+k1(y1 -u0 )=0                                               (1.1) 

Phương trình dao động của dầm chính [14]: 

*
*
T
  C D



M1D
1
1 1  K1D1  K m  D1  D2   Cm  D1  D2   N f 0                   (1.2) 

f 0=  m1+m2  g-m1 
y1 -m2u0                                               (1.3) 

Phương trình dao động của dầm phụ [14]: 
*
*
  C D



M 2D
2
2 2  K 2 D2  K m  D1  D2   C m  D1  D 2   0 n1                   (1.4) 

Trong đó m1, m2 là khối lượng thân xe và lốp; k1 và c1 là độ cứng và cản nhớt 
của liên kết giữa thân xe và lốp xe; y1 là chuyển vị theo phương thẳng đứng của 
thân xe; u0 là chuyển vị theo phương thẳng đứng của lốp xe và bằng chuyển vị 
theo phương thẳng đứng của dầm chính tại vị trí tiếp xúc với lốp xe. M1, C1, K1 

9                                  
là ma trận khối lượng, ma trận cản Rayleigh và ma trận độ cứng của dầm chính. 
M2, C2, K2 là ma trận khối lượng, ma trận cản Rayleigh và ma trận độ cứng của 
dầm  phụ.  Cm,  Km  là  ma  trận  cản  và  ma  trận  độ  cứng  của  môi  trường  liên  kết 
giữa hai dầm được xác định theo công thức sau: 
1

K *m

m

  NT Nd 

m

   N T Nd 

k



1
1

C*m 

c

1



        (1.5) 

X
L

D1 và D2 là vecto chuyển vị nút của dầm chính và dầm phụ. f0 là độ lớn của lực 
tác dụng lên dầm chính; NT là ma trận chuyển của hàm dạng tại vị trí của lực f0. 
Ta có mối quan hệ giữa u0 và D1 là: 
u0=ND1                                                    (1.6)  

Các đạo hàm theo thời gian của u0 là: 
u0 ( x,t )=

u0 ( x,t )=

u
u

x+
                                           (1.7) 
x
t

 2u 2
 2u
u
 2u




                              (1.8) 
x
+2
x+
x+
x 2
xt
x
t 2

Giả thiết xe chuyển động đều nên: ẍ = 0 
Vậy phương trình (1.8) được viết lại như sau: 
  u0 ( x,t )=

 2u 2
 2u
 2u


                                (1.9) 
x
+2
x+
x 2
xt
t 2

Vì N là hàm phụ thuộc x, D phụ thuộc t nên:  
2
u
 2u
 2u
 ; u  ND
 ;  u  ND
            (1.10) 
=N x D1; 2 =N xx D1 ;
=N x D
1
1
1
x
x
xt
t
t 2

Vậy các đạo hàm của u0 bằng: 
                                     (1.11) 
 ND
u0 ( x,t )=N x D1 x+
1
 x+
                             (1.12) 
 ND
u0 ( x,t )=N xx D1 x 2 +2N x D
1
1

Thay (1.12) vào phương trình (1.4) ta được: 


10                                  
 x+
                 (1.13) 
 ND
f 0 =  m1+m2  g-m1 
y1 -m2  N xx D1 x 2 +2N x D
1
1

Thay (1.13) vào phương trình (1.2) ta được: 

M

1

  m N T 
   K  m x 2 N T N  D 
 m2 N T N  D
y1   C1  2m2 xN T N x  D
1
1
1
1
2
xx
1

 D
    m +m  gN T
K *m  D1  D2   C*m  D
1
2
1
2

       (1.14) 

Thay (1.11) vào phương trình (1.1) ta được: 
 +c y   -c xN  k N  D +k y =0                                 (1.15) 
m1 
y1 - c1ND
1
1 1
1
x
1
1
1 1

Kết hợp (1.4) (1.14) và (1.15) ta được phương trình sau: 
 m1
 m NT
 1
 0
 n1

y1   c1
01n
01n   
c1.N

 

*

M1  M 0 nn    D1    0 n1 C1  C*  C*m
   0 n1
0nn
M 2   D
C*m
2

01n   y1 
 
C*m    D
1
*  

C2  Cm   D2 

 k1
  0n1
0
 n1



c1.x.N x  k1.N
01n   y1  0




*
*
*
T
K1  K  K m
K m    D1   (m1  m2 ).g .N 

K *m
K 2  K *m   D2  0 n1


      (1.16) 

Trong đó: 
M*  m2 NT N; C*  2m2 xNT N x ; K *  m2 x 2 NT N xx                                                (1.17) 

1.2.

Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển có xét đến độ
mấp mơ của mặt dầm

Mơ hình hệ dầm kép và xe được thể hiện trong hình 1.2. Trong đó xe được mơ 
hình hóa gồm lốp và thân xe là những vật thể cứng tuyệt đối. Xe di chuyển đều 
với  vận  tốc  v.  Giả  thiết  độ  mấp  mô  của  mặt  cầu  được  mô  tả  bằng  hàm 

rX  

 2 X
dm 
1  cos 
2 
 lm


   và bánh xe luôn tiếp xúc với mặt dầm. Hệ dầm kép 


gồm 2 dầm liên kết với nhau bằng môi trường đàn hồi. 


11                                  
v

m1

y1
c1

k1

E1, I1, 1

lm

m2

dm

D1
y2

x

.....................................................k m

c m.......

E2, I 2,  2
D2
X
L
Y

 

Hình 1.2. Mơ hình hệ dầm kép và xe, có xét đến độ mấp mơ của mặt dầm. 
Phương trình dao động của xe: 
m1 
y1+c1(y1 -y 2 )+k1(y1 -y2 )=0                                         (1.18) 

Trong đó:  
(1.19)

y2  u0 +r ( X )
r( X ) 

dm
2


 2X
1  cos 
 lm






(1.20) 

Phương trình dao động của dầm chính và dầm phụ giống mục 1.1: 
*
*
T
  C D



M1D
1
1 1  K1D1  K m  D1  D2   Cm  D1  D2   N f 0  

f 0=  m1+m2  g-m1 
y1 -m2

y2  
*
*
  C D



M 2D
2
2 2  K 2 D2  K m  D1  D2   C m  D1  D 2   0 n1  

Phương trình dao động của cả hệ xe – dầm: 
 m1

T
 m1N
 0
 n1
 k1

  0n1
0
 n1

01n
M1  M *
0nn

y1   c1
01n   

c1.N

   
0nn    D1    0n1 C1  C*  C*m
   0n1
M 2   D
C*m
2

c1.x.N x  k1.N
K1  K *  K *m
K *m

  y1 
  
C*m    D
1
*  

C2  Cm   D2 
01n


  y1   k .r  X 





K *m    D1   (m1  m2 ).g .NT 


K 2  K *m   D2  0n1


01n

    (1.21) 


12                                  
CHƯƠNG 2: MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWMARK
2.1. Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là phương pháp rất tổng qt và hữu hiệu 
cho lời giải số nhiều bài tốn kỹ thuật khác nhau như phân tích trạng thái ứng 
suất,  biến  dạng  trong  các  kết  cấu  cơ  khí,  các  chi  tiết  trong  ô  tô,  máy  bay,  tàu 
thuỷ,  khung  nhà  cao  tầng,  dầm  cầu…  Với  sự  trợ  giúp  của  ngành  Công  nghệ 
thơng  tin  nhiều  bài  tốn  phức  tạp  đã  được  tính  tốn  và  phân  tích  một  cách  dễ 
dàng. 
Tư tưởng chủ yếu của phương pháp này là việc chia vật thể liên tục thành một số 
hữu hạn các phần tử có hình đơn giản (ví dụ như đoạn thẳng trong trường hợp 
một  chiều,  tam  giác  hay  tứ  giác  trong  trường  hợp  hai  chiều,  khối  hộp  trong 
trường  hợp ba chiều). Các phần  tử  được giả  thiết  liên  hệ với nhau qua  một số 
điểm nút tại biên của chúng. Chuyển dịch của các nút này là ẩn của bài toán. 
Xét  bài  toán:  Kết  cấu  dầm  hai  đầu  khớp có  chiều  dài là L,  chiều  rộng  mặt  cắt 
ngang là b, chiều cao mặt cắt ngang là h, khối lượng riêng   , modul đàn hồi E. 
Kết cấu chịu tải trọng F(t) di chuyển với vận tốc khơng đổi v. u cầu đặt ra là 
ta phải tính tốnh phản ứng động của kết cấu bằng phương pháp PTHH. 
Để giải bài tốn này ta cần phải thực hiện lần lượt các bước sau: 
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số bậc tự do. 

Bước 2: Thiết lập ma trận phần tử:  
- Ma trận khối lượng phần tử:  M e  
- Ma trận độ cứng phần tử:  K e  
- Vector lực nút  Fe  
Bước 3: Ghép nối các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, vector lực nút 
của phần tử trên cơ sở ma trận  mơ hình tương thích để tạo thành ma trận khối 
lượng tổng thể M, ma trận độ cứng tổng thể K (có kể đến điều kiện biên). Riêng 
ma  trận  hệ số  cản  C thường  áp  dụng  các giả  thiết  nhằm  đơn  giản  hóa  vì:  một 
phần do bản chất phức tạp của hệ số cản, phần khác do u cầu của các phương 
pháp  tính  tốn. Một dạng  cản  thường dùng trong kết  cấu  là  ma  trận  hệ  số  cản 
Rayleigh tính qua các ma trận M và K. 
Bước 4: Giải hệ phương trình động học 


13                                  
  CU
  KU  F  t    
MU

 

 

 

 

(2.1) 

Bước 5: Đưa ra kết quả tính. 

2.2. Rời rạc hóa kết cấu dầm và xác định các ma trận phần tử
Giả sử dầm được chia thành ne phần tử bởi ne+1 nút. Nếu mỗi nút có 2 bậc tự 
do thì số bậc tự do của cả hệ là  n   ne  1  2 . 
1

1,2

2

3,4

...

5,6

...

ne

n-3,n-2

n-1,n  

Hình 2.1. Rời rạc hóa kết cấu 
Ở đây, để đơn giản ta xét dầm Bernoulli.  Ta có giả thiết Bernoulli-Euler về dầm 
mỏng như sau: 


Mặt cắt duy trì phẳng trong q trình biến dạng uốn. 


Khơng có biến dạng trượt mặt phẳng, nghĩa là đường trung hịa trực giao 
với mặt cắt trước và sau biến dạng. 
Vậy theo giả thiết trên thì mỗi nút có 2 bậc tự do là độ võng  w   và góc xoay . 
Vậy tương ứng với mỗi phần tử dầm có 4 chuyển vị nút: 

UTe  U1e ;U 2e ;U 3e ;U 4e   w1;1; w2 ; 2 

   

             (2.2) 

Hình 2.2. Chuyển vị tại nút của phần tử dầm 
Trường chuyển vị  U   biểu diễn qua các chuyển vị nút  U ie nhờ các hàm nội suy 
(hàm dạng): 
U = NU e  

Trong đó N là ma trận nội suy chuyển vị: 

 

                                 (2.3) 


14                                  
N   N1

N2

N3

N4 

                         (2.4) 

   

Trong đó: 
2

3

2

x
 x
x 
N1  1  3    2    ; N 2  x   1  
l
l
l

2

3

x2  x 
 x
x

N 3  3    2    ; N 4    1                              (2.5)
l l

l
l
 

Ta có quan hệ giữa biến dạng và góc xoay khi dầm chịu uốn là: 


dw
  
dx

 

 

 

        (2.6)     

Do đó chuyển vị dọc trục u và độ võng w có quan hệ (hình 2.3): 
u  y

dw
   
dx

                              (2.7) 

Trong đó: y là khoảng cách từ điểm đang xét tới đường trung hịa. 

 
Hình 2.3. Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn 
Khi đó biến dạng dọc trục: 
du
d 2w
x 
 y 2    
dx
dx

 

 

        (2.8) 

Thay (2.2) vào (2.7) ta có  
x  y

Trong đó  B   y

d 2N
U e  BU e      
dx 2

                 (2.9)     

d 2N
 
dx 2

x 4
x 6
x 2 6x 
 6
 12 3 ;   6 2 ; 2  12 3 ;   2                                 (2.10) 
2
l
l
l l
l
l l 
 l

Hay  B   y  


15                                  
Ứng suất tại mọi điểm của dầm chịu uốn: 
 x  E x   

 

 

 

 

      (2.11)        

Hay ở dạng ma trận:    E  
Ma trận độ cứng phần tử dầm chịu uốn được xác định: 
K e   BT EBdV  E   BT BdA.dx                                  (2.12)      
Ve

l A

 

Hay: 
6l
 12
 6l 4l 2
EJ
Ke  3 z 
l  12 6l

2
 6l 2l

12
6l
12
6l

6l 

2l 2 
                                   (2.13)        
6l 

4l 2 
 

Trong đó:  J z   y 2 dA   là momen quán tính của mặt cắt ngang lấy với trục z.  
A

Ma trận ma trận khối lượng phần tử nhận được từ tích phân sau: 
l

M e   NT mNdx       

 

 

      (2.14) 

0

 156

 Al  22l
Me 
420  54

 13l

22l
4l 2
13l
3l 2

54
13l
156
22l

13l 
3l 2 
            
22l 

4l 2 

      (2.15)       
 

Trong đó:   là khối lượng riêng; E là modul đàn hồi; A là diện tích mặt cắt;  l  độ 
dài của phần tử. 
Ta có các hàm dạng và các đạo hàm của nó đã tính được ở trên như sau: 
2

3

2

x
 x
x 
N1  1  3    2    ; N 2  x   1  
l
l
l

2

3

x2  x 
 x
 x
N3  3    2    ; N 4    1
l l
 
l
l
dN1 6 x 2  6lx
dN 2 3lx 2  4l 2 x  l 3
   ;   
 


dx
l3
dx
l3

16                                  
dN 3 6 x 2  6lx
dN 4 3lx 2  2l 2 x
   ;   
 


dx
l3
dx
l3

Chọn hệ trục tọa độ như hình 2.4,  x là khoảng cách từ gốc tọa độ đến lực F(t): 

 
Hình 2.4. Quy đổi lực nút phần tử 
F1  F . N1 ( x ) ; M 1  F . N 2 ( x ) ;  

F2  F .N 3 ( x) ; M 2  F . N 4 ( x)

 

Lực thể tích tác dụng lên kết cấu là:  f   g . Lực nút của phần tử do lực 
thể tích gây ra là:  

 1 
 l 
 

 gAl  6 
e
T
fV   N fdV 
2  1 
Ve
 
 l 
 6 
   

(2.16)        

 

 

Vector lực nút của phẩn tử là:  

  gAl

 F .N1 ( xF ) 

2


2
  gAl  F .N ( x ) 
2
F



Fe   12

  gAl  F .N ( x ) 
3
F


2


2
   gAl  F .N 4 ( xF ) 

    
12

(2.17)        

 

 


17                                  
2.3. Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm có vết nứt
Dầm được chia thành n phần tử, vết nứt xuất hiện ở phần tử thứ i và R của dầm 
chính như hình 2.5. 

LcR
Lci
xi

xR

ai

Mi

Mi+1
Pi

Pi+1

 

Hình 2.5. Mơ hình dầm có vết nứt 
Giả thiết vết nứt chỉ ảnh hưởng đến ma trận độ cứng, khơng ảnh hưởng đến ma 
trận khối lượng và ma trận cản kết cấu của phần tử dầm chứa vết nứt. Các phần 
tử ngun vẹn có ma trận độ cứng khơng thay đổi. 
Xác định ma trận độ cứng của một phần tử có vết nứt như sau [15]: 
Bỏ qua biến dạng trượt, năng lượng biến dạng của một phần tử khơng có vết nứt 
có dạng: 
W  =
0

1  2
P 2l 3 
2

M
l

MPl


                              (2.18) 
2 EI 
3 

Trong  đó P  và  M  là  lực  cắt và  mơ  men uốn  ở  nút bên phải  của phần  tử  (hình 
2.5). Với dầm chữ nhật có chiều cao h, chiều rộng b, năng lượng biến dạng bổ 
sung do vết nứt được tính như sau: 
  K I2  K II2  1  ν  K 2 
III
da                               (2.19) 
W =b  



E'
E
0

a

1

Trong  đó a là độ sâu vết nứt, KI, KII, KIII, là hệ số cường độ ứng suất cho kiểu 
mở, kiểu trượt, kiểu rách tương ứng, E’ = E nếu ứng suất phẳng và  E ' 

nếu biến dạng phẳng. 

E
 
1  ν2


18                                  
Chỉ tính đến lực uốn thì phương trình (2.19) dẫn đến: 
a

W  =b 
1

K

2

IM

0

2
 K IP   K IIP

E'

da                                 (2.20) 

Trong đó: 

K IM 

6 M πaFI ( s )
3Pl πaFI ( s )
P πaFII ( s )
                (2.21) 
; K IP 
; K IIP 
2
2
bh
bh
bh
4


 πs  
0,923  0,199 1  sin   
2  πs 
 2 

                          (2.22) 
FI ( s ) 
tg  
πs  2 
 πs 
cos  
 2
1,122  0,561s  0,085s 2  0,18s 3
FII ( s )  (3s  2 s )

                       (2.23) 
1 s
2

Trong đó a là độ sâu vết nứt, s = a/h.
Các thành phần của ma trận độ mềm của phần tử nguyên vẹn được tính như sau: 
 2W  
; i,j  1, 2; P1  P, P2  M                                   (2.24) 
Pi Pj
0

0
cij  

Từ (2.18) và (2.24) ta có: 
0
c11  

l3
l2
l
0
 0
 0
                                (2.25) 
; c12   c21

; c22

3EI

2 EI
EI

Hệ số độ mềm bổ sung là: 
 2W  

; i,j  1, 2; P1  P, P2  M                              (2.26) 
Pi Pj
1

1

cij

Từ (2.19) và (2.26) ta có: 
1

c11

2 2
2
2
a
a
b 18πal FI  s  2πaFII  s  
b 36πalFI  s 
1
 

da  

da; c12  
E' 0 
b2h4
b2h2 
E' 0
b2h4

1

c21

2
2
a
a
b 36πalFI  s 
b 72πaFI  s 
1
 
da; c12  
da  
E' 0
b2h4
E' 0
b2h4

Do đó, hệ số độ mềm tổng thể là: 

          (2.27) 

19                                  
0
1
cij  cij   cij   

 

 

      (2.28) 

T

    (2.29) 

Từ điều kiện cân bằng của phần tử, ta có: 

 Pi

Mi

Pi+1

T

M i+1   T  Pi+1

M i+1    

Trong đó: 
T

 1 l 1 0 
T
  
 0 1 0 1 

 

 

  (2.30) 

Theo ngun lý cơng ảo, ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt được tính như 
sau:  K C  TTC 1T    
 
 
 
 
 
 
 
      (2.31) 
2.4. Ghép nối các ma trận phần tử thành ma trận tổng thể của dầm.
Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử Ue thuộc U người ta lập ma trận chỉ 
số b (cịn gọi là ma trận liên hệ Boolean) mà giá trị của mỗi phần tử thành phần 
chính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ i. 
Ma trận chỉ số b có số hàng bằng số phần tử của hệ, số cột bằng số bậc tự do của 
một phần tử. 

Sau  đây  là  là  cách  ghép  nối  đối  với  dầm  được  chia  thành  ne  =  3  phần  tử  một 
chiều  bậc  nhất.  Với  dầm  chia  thành  ne  phần  tử  ta  cũng  có  thể  làm  theo  cách 
tương tự. 
Ta có ma trận khối lượng của các phần tử lần lượt là: 

M (1)
e

 M 11(1)
 (1)
M
  21
 M 31(1)
 (1)
 M 41

M 12(1)
(1)
M 22
M 32(1)
(1)
M 42

M 13(1)
(1)
M 23
M 33(1)
(1)
M 43

M 14(1) 
(1) 
M 24

(1) 
M 34  ; 
(1) 
M 44


M (2)
e

 M 11(2)
 (2)
M
  21
 M 31(2)
 (2)
 M 41

M 12(2)
M 22(2)
M 32(2)
M 42(2)

M 13(2)
(2)
M 23
M 33(2)

(2)
M 43

M 14(2) 
(2) 
M 24

(2) 
M 34  ; 
(2) 
M 44



20                                  

M (3)
e

 M 11(3)
 (3)
M
  21
 M 31(3)
 (3)
 M 41

M 12(3)
(3)
M 22

M 32(3)

M 13(3)
(3)
M 23
M 33(3)

(3)
M 42

(3)
M 43

M 14(3) 
(3) 
M 24

(3) 
M 34  
(3) 
M 44


(2)
(3)
Để ghép nối các ma trận  M (1)
e  ; M e  ; M e thành ma trận độ cứng M tổng thể ta 

cần thực hiện lần lượt các bước như sau : 
 Bước 1 : Xây dựng ma trận chỉ số b để ghép nối phần tử : 

        Bậc tự do 
1 

2 

3 

4 

1 

1 

2 

3 

4 

2 

3 

4 

5 

6 

3 

5 

6 

7 

8 

Phần tử 

 
 Bước 2 : Xét phần tử 1:  

               1         2         3        4

M (1)
e

 M 11(1)
 (1)
M
  21
 M 31(1)
 (1)
 M 41

M 12(1)
(1)
M 22

M 32(1)
(1)
M 42

M 13(1)
(1)
M 23
M 33(1)
(1)
M 43

M 14(1) 

M 24(1) 
M 34(1) 

M 44(1) 

1
2
  
3
4

 

 

Ma trận này được cộng vào ma trận khối lượng tổng thể ta sẽ được: 

      (2.32)
 


21                                  

             1         2         3        4      
 M 11(1)
 (1)
 M 21
M   M 31(1)
 (1)
 M 41
 


M 12(1)
(1)
M 22

M 13(1)
(1)
M 23

M 32(1)
(1)
M 42


M 33(1)

(1)
M 43


M 14(1) 

(1)
M 24

M 34(1) 

(1)
M 44


 

1
2
3
4


(2.33) 

 

 

                 

 Bước 3 : Xét phần tử 2: 

               3         4         5        6

M (2)
e

 M 11(2)
 (2)
M
  21
 M 31(2)
 (2)
 M 41

M 12(2)
(2)
M 22
M 32(2)
(2)
M 42

M 13(2)
(2)
M 23
M 33(2)
(2)
M 43

M 14(2) 
(2) 
M 24

(2) 
M 34
(2) 
M 44


3
4
    
5

 

   (2.34) 

6

Các số hạng của ma trận khối lượng phần tử   M (2)
e  đươc cộng thêm vào ma trận 
tổng thể: 
              1         2              3                   4               5         6       

 M 11(1)
 (1)
 M 21
 M 31(1)


M   M 41(1)
 0

 0
 


M 12(1)
(1)
M 22
M 32(1)
(1)
M 42

M 13(1)
(1)
M 23
M 33(1)  M 11(2)
(1)
(2)
M 43
 M 21

M 14(1)
M 24(1)
M 34(1)  M 12(2)
(1)
M 44
 M 22(2)

0
0
M 13(2)
M 23(2)

0
0
M 14(2)
(2)
M 24

0
0


M 31(2)
(2)
M 41


M 32(2)
(2)
M 42


M 33(2)
M 43(2)


M 34(2)
(2)
M 44











 

1
2
3
4          (2.35) 
5
6


 Bước 4 : Xét phần tử 3: 

               5         6         7         8

M (3)
e

 M 11(3)
 (3)
M
  21
 M 31(3)
 (3)
 M 41

M 12(3)
(3)
M 22

M 13(3)
(3)
M 23

M 32(3)
(3)
M 42

M 33(3)
(3)
M 43

M 14(3) 
(3) 
M 24

(3) 

M 34
(3) 
M 44


5
6
  
7
8

 

      (2.36)  


22                                  
 Bước  5 :  Các số  hạng  của  ma  trận  khối  lượng  phần  tử    M (3)
e   đươc  cộng 
thêm vào ma trận tổng thể chung ở trên, ta được ma trận M tổng thể của 
dầm 3 phần tử là: 
            1         2              3                    4                     5                     6               7         8
 M 11(1)
 (1)
 M 21
 M 31(1)
 (1)
M
M   41
 0


 0
 0

 0

M 12(1)
(1)
M 22
M 32(1)
(1)
M 42
0
0
0
0

M 13(1)
(1)
M 23
M 33(1)  M 11(2)
(1)
M 43
 M 21(2)
M 31(2)
(2)
M 41
0
0

M 14(1)
(1)
M 24
M 34(1)  M 12(2)
(1)
M 44
 M 22(2)
M 32(2)
(2)
M 42
0
0

0
0
M 13(2)
M 23(2)
M 33(2)  M 11(3)
(3)
M 43(2)  M 21
M 31(3)
M 41(3)

0
0
M 14(2)
M 24(2)
M 34(2)  M 12(3)
(3)
M 44(2)  M 22

M 32(3)
M 42(3)

0
0
0
0
M 13(3)
M 23(3)
M 33(3)
M 43(3)

0 

0 
0 

0 
M 14(3) 

(3)
M 24

(3) 
M 34

(3)
M 44


1
2
3
4    
5
6
7
8

(2.37) 
Tương tự ta tìm ma trận độ cứng K tổng thể từ ma trận độ cứng của kết cấu dầm 
3 phần tử. 
Giải sử ma trận độ cứng của các phần tử lần lượt là: 

K (1)
e

 K11(1)
 (1)
K
  21
 K 31(1)
 (1)
 K 41

K12(1)
(1)
K 22
K 32(1)
(1)

K 42

K13(1)
(1)
K 23
K 33(1)
(1)
K 43

K14(1) 
(1) 
K 24

(1)   ; 
K 34
(1) 
K 44


K (2)
e

 K11(2)
 (2)
K
  21
 K 31(2)
 (2)
 K 41

K12(2)
(2)
K 22
K 32(2)
(2)
K 42

K13(2)
(2)
K 23
K 33(2)
(2)
K 43

K14(2) 
(2) 
K 24

(2)   ; 
K 34
(2) 
K 44


K (3)
e

 K11(3)
 (3)
K

  21
 K 31(3)
 (3)
 K 41

K12(3)
(3)
K 22

K13(3)
(3)
K 23

K 32(3)
(3)
K 42

K 33(3)
(3)
K 43

K14(3) 
(3) 
K 24

(3)   
K 34
(3) 
K 44


Ghép nối tương tự như ghép nối ma trận M ở trên ta có ma trận độ cứng K tổng 
thể như sau: 


23                                  
 K11(1)
 (1)
 K 21
 K 31(1)
 (1)
K
K   41
 0

 0
 0

 0

K12(1)

K13(1)

K14(1)

(1)
22
(1)
32

(1)
42

(1)
23

(1)
24

K
K
K
0
0
0
0

K
K  K11(2)
K  K 21(2)
K 31(2)
K 41(2)
0
0
(1)
33
(1)
43

K

K  K12(2)
K  K 22(2)
K 32(2)
(2)
K 42
0
0
(1)
34
(1)
44

0

0

0

0
K13(2)
K 23(2)
K 33(2)  K11(3)
(3)
K 43(2)  K 21
K 31(3)
K 41(3)

0
K14(2)
K 24(2)

K 34(2)  K12( 3)
(3)
K 44(2)  K 22
K 32(3)
(3)
K 42

0
0
0
K13(3)
K 23(3)
K 33(3)
K 43(3)

0 

0 
0 

0 
(2.38) 
K14(3) 

(3)
K 24

(3) 
K34


(3)
K 44


Đối với vector lực nút, giả sử vector lực nút của các phần tử lần lượt là: 

Fe(1)

 F1(2) 
 F1(3) 
 F1(1) 
 (2) 
 (3) 
 (1) 
F
F2
F
(2)
2
(3)
  2(1)   ;          Fe   (2)   ;          Fe   (3)   
 F3 
 F3 
 F3 
 (2) 
 (3) 
 (1) 
F
 F4 



 F4 
 4 
 
 

Khi đó ta có vector lực nút tổng thể như sau: 
 F1(1) 


(1)
 F2

 F3(1)  F1(2) 
 (1)

F4  F2(2) 

      
F  (2)
 F  F (3) 
3
1
 (2)

(3)
 F4  F2 
 F (3) 
3



 F4(3) 

 

 

      (2.39) 

2.5. Áp đặt điều kiện biên
Liên kết tại hai đầu dầm là liên kết khớp, do đó chuyển vị tại bậc tự do thứ nhất 
và  n-1 bằng  khơng.  Như vậy, các  ma trận và vecto trong  phương trình  2.1  trở 
thành: