(Luận văn thạc sĩ) định lý kiểu perron của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRỊNH THỊ THÙY

ĐỊNH LÝ KIỂU PERRON
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRỊNH THỊ THÙY

ĐỊNH LÝ KIỂU PERRON
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2015


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của TS. Lê
Huy Tiễn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các
thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy
cơ đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất
đối với cơng lao dạy dỗ trong suốt q trình học tập của tơi tại Trường.
Để hồn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này,
trong thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ q báu của
gia đình, thầy cơ và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm
ơn tới mọi người.
Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2015.
Học viên
Trịnh Thị Thùy


Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian con bất biến . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Góc giữa hai không gian con bù . . . . . . . . .

1.4 Bổ đề Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . .
1.5 Công thức biến thiên hằng số . . . . . . . . . . .
1.6 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân . . . .
1.7 Số mũ Lyapunov và các tính chất cơ bản của nó

3
3
4
5
6
7
7
9

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

2 Định lý kiểu Perron của phương trình vi phân khơng ôtônôm 11
2.1 Các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Dáng điệu nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Định lý kiểu Perron của phương trình vi phân khơng ôtônôm
19
2.4 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

1


Mở đầu
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều trong các lĩnh vực

kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và môi trường. Vì vậy, lý thuyết ổn
định của phương trình vi phân đang được phát triển mạnh mẽ. Có hai phương
pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân là phương
pháp sử dụng số mũ đặc trưng Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp thứ
nhất Lyapunov), phương pháp hàm Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp
thứ hai Lyapunov). Luận văn tập trung vào phương pháp thứ nhất. Cơ sở
của phương pháp này là khái niệm số mũ Lyapunov.
Với trường hợp phương trình vi phân ơtơnơm x = Ax trong không gian
hữu hạn chiều, giá trị riêng được dùng để nghiên cứu tính ổn định. Một kết
quả chúng ta đã biết cho trường hợp này là:
Định lý 0.0.1. (xem [2]) Phương trình vi phân ơtơnơm thuần nhất x = Ax,
x ∈ Rn ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều có
phần thực khơng dương, và các giá trị riêng có phần thực bằng 0 đều có ước
cơ bản đơn. Nó là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của
ma trận A đều có phần thực âm.
Cịn trong trường hợp phương trình vi phân không ôtônôm thuần nhất x =
A(t)x, số mũ Lyapunov được dùng để nghiên cứu tính ổn định. Chúng ta
cũng đã biết điều kiện đủ của tính ổn định nghiệm của phương trình này
như sau:
Định lý 0.0.2. (xem [2]) Phương trình x = A(t)x ổn định tiệm cận khi số
mũ Lyapunov lớn nhất của nó là âm.
Trong trường hợp phương trình ôtônôm hữu hạn chiều, với giả thiết thích
hợp, một nguyên lý cơ bản là từ sự ổn định nghiệm của phương trình thuần
nhất x = Ax sẽ kéo theo sự ổn định nghiệm của phương trình nửa tuyến tính
với nhiễu nhỏ x = Ax + f (x). Còn trong trường hợp không ôtônôm, điều
1


này khơng đúng nữa. Vậy bài tốn đặt ra là với điều kiện nào thì phương
trình vi phân nửa tuyến tính x = A(t)x + f (t, x) ổn định tiệm cận. Để giải

quyết bài toán này, chúng ta sử dụng số mũ Lyapunov. Mục đích chính của
luận văn là chỉ ra rằng số mũ Lyapunov của phương trình phi tuyến không
ôtônôm là ngặt và trùng với số mũ Lyapunov của phương trình thuần nhất
khơng ơtơnơm với điền kiện nhiễu f (t, x) đủ bé và một số giả thiết khác. Nội
dung của luận văn là trình bày lại bài báo [4], thực hiện chi tiết các chứng
minh và minh họa bằng các ví dụ.
Ngồi các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian con bất biến,
tốn tử chiếu, góc giữa hai khơng gian con bù, bổ đề Gronwall-Bellman, công
thức biến thiên hằng số, các khái niệm về ổn định nghiệm. Sau đó, chúng tơi
trình bày khái niệm số mũ Lyapunov và các tính chất cơ bản của nó.
Chương 2: Định lý kiểu Perron của phương trình vi phân khơng
ơtơnơm
Mục đích của chương 2 là chỉ ra rằng số mũ Lyapunov của phương trình
phi tuyến khơng ơtơnơm là ngặt và trùng với số mũ Lyapunov của phương
trình thuần nhất khơng ơtơnơm và đưa ra các ví dụ minh họa.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian con bất biến,
tốn tử chiếu, góc giữa hai khơng gian con bù, bổ đề Gronwall-Bellman, công
thức biến thiên hằng số, các khái niệm về ổn định nghiệm. Sau đó, chúng tơi
trình bày khái niệm số mũ Lyapunov và các tính chất cơ bản của nó.

1.1

Khơng gian con bất biến

Định nghĩa 1.1. (xem [3]) Giả sử ϕ là một phép biến đổi tuyến tính trong
K -khơng gian vectơ V . Không gian con L của không gian V được gọi là bất
biến đối với phép biến đổi tuyến tính ϕ nếu x ∈ L thì ϕ(x) ∈ L.
Ví dụ 1.1. Đối với mỗi phép biến đổi tuyến tính ϕ trong khơng gian vectơ
V có các khơng gian con bất biến hiển nhiên đó là {θ}, Kerϕ, Imϕ và V .
Ví dụ 1.2. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : R3 −→ R3 xác định bởi

ϕ ((x, y, z)) = (x − 3y + 4z, 4x − 7y + 8z, 6x − 7y + 7z) .
Chúng ta thấy, đối với cơ sở chính tắc phép biến đổi ϕ có ma trận

A=

1 −3 4
4 −7 8
6 −7 7

Ma trận A có đa thức đặc trưng

p(λ) =| A − λI |= (3 − λ)(1 + λ)2 .

3


Như vậy, phép biến đổi ϕ có các giá trị riêng λ1 = 3, λ2 = −1 (bội 2).
Ta có R3 = R3 ⊕ R−1 .
Vì dim R3 = 1 nên R3 = P3 . Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ =
λ1 = 3 có dạng u = (t, 2t, 2t), với mọi giá trị thực t = 0. Với t = 1 ta có

u1 = (1, 2, 2). Vậy không gian con riêng R3 = span{u1 } bất biến đối với phép
biến đổi tuyến tính ϕ.
Ta có dim R−1 = 2. Vì R−1 = m≥1 Ker(ϕ + I)m do đó R−1 chứa khơng
gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
2

(A + I)
Mà

(A + I)2 =

x
y
z

=

0
0
0

=

16 −16 16
32 −32 32
32 −32 32

2

2 −3 4

4 −6 8
6 −7 8

(1.1)

nên hệ phương trình (1.1) tương đương với hệ một phương trình

x − y + z = 0.

(1.2)

Hệ phương trình (1.2) có hệ nghiệm cơ bản

{v1 = (1, 1, 0); v2 = (−1, 0, 1)}.
Vậy không gian con riêng suy rộng R−1 = span{v1 , v2 } cũng bất biến đối
với phép biến đổi tuyến tính ϕ.

1.2

Tốn tử chiếu

Định nghĩa 1.2. Cho E là một không gian vectơ. Tốn tử tuyến tính P :
E −→ E được gọi là toán tử chiếu nếu P 2 = P .
Đặt E1 = ImP và E2 = KerP .
Toán tử chiếu có các tính chất sau:
(i) P |E1 = Id|E1 ;
(ii)Q = Id − P cũng là toán tử chiếu và được gọi là toán tử chiếu bù của
toán tử chiếu P . Khi đó
4

ImP = KerQ và ImQ = KerP ;
(iii) E1 ⊕ E2 = E . Ta nói P là tốn tử chiếu lên E1 song song với E2 ;
(iv) T : E −→ E là ánh xạ tuyến tính. Khi đó P T = T P khi và chỉ khi E1
và E2 là các không gian con bất biến của T .
Ví dụ 1.3. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : R3 −→ R3 xác định bởi

ϕ ((x, y, z)) = (x − 3y + 4z, 4x − 7y + 8z, 6x − 7y + 7z) .
Theo Ví dụ 1.2 ta có R3 = R3 ⊕ R−1 , ở đây R3 = span{(1, 2, 2)} và
R−1 = span{(1, 1, 0); (−1, 0, 1)} là các không gian con bất biến đối với phép
biến đổi tuyến tính ϕ.
Do đó, mỗi x ∈ R3 có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

x = y + z với y ∈ R3 , z ∈ R−1 .
Xét các toán tử

P : R3 −→ R3 được định nghĩa bởi P x = y .
Q : R3 −→ R3 được xác định bởi Qx = z .
Khi đó P và Q là các tốn tử chiếu bù nhau.

1.3

Góc giữa hai khơng gian con bù

Định nghĩa 1.3. (xem [10]) Cho X là không gian Banach, E và F là các
khơng gian con tuyến tính của X sao cho X = E ⊕ F . Gọi α là góc giữa hai
khơng gian con E và F . Khi đó góc α được xác định bởi cơng thức sau

α = inf{ x − y : x ∈ E, y ∈ F, x = y = 1}.
Ví dụ 1.4. Trong khơng gian R2 . Hãy xác định góc giữa hai trục Ox và Oy

bởi định nghĩa trên ?
Gọi không gian E là trục Ox và không gian F là trục Oy . Dễ thấy E, F
là các không gian con tuyến tính của khơng gian R2 và E ⊕ F = R2 .
Lấy u = (x, 0) ∈ E , v = (0, y) ∈ F sao cho u = v = 1.
5


Vì u = v = 1 nên x2 = y 2 = 1.
Do đó, chúng ta có

u − v = (x, 0) − (0, y) = (x, −y) = x2 + y 2 =
√
Vậy góc giữa hai trục Ox và Oy là α = 2.

√

1+1=

√

2.

Ví dụ 1.5. Trong khơng gian R3 . Xác định góc giữa trục Oz và mặt phẳng
(Oxy) bởi Định nghĩa 1.3 ?
Gọi không gian E là trục Oz và không gian F là mặt phẳng (Oxy). Dễ
thấy E, F là các khơng gian con tuyến tính của không gian R3 và E⊕F = R3 .
Lấy u = (0, 0, z) ∈ E , v = (x, y, 0) ∈ F sao cho u = v = 1.
Vì u = v = 1 nên z 2 = x2 + y 2 = 1.
Do đó, chúng ta có

u − v = (0, 0, z) − (x, y, 0) = (−x, −y, z)
√
√
= x2 + y 2 + z 2 = 1 + 1 = 2.
√
Vậy góc giữa trục Oz và mặt phẳng (Oxy) là α = 2.

1.4

Bổ đề Gronwall-Bellman

Bổ đề 1.1. (xem [1]) Giả sử λ(t) là một hàm thực liên tục và µ(t) là hàm
liên tục khơng âm trên đoạn [a, b]. Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn
t

y(t) ≤ λ(t) +

µ(s)y(s)ds,
a

với a ≤ t ≤ b, thì trên đoạn đó
t

y(t) ≤ λ(t) +

λ(s)µ(s)e
a

Nói riêng, nếu λ(t) ≡ λ là hằng số thì

y(t) ≤ λe

6

t
a

µ(s)ds

.

t
s

µ(τ )dτ

ds.


1.5

Công thức biến thiên hằng số

Trong không gian Cn , xét phương trình vi phân thuần nhất

x = A(t)x,

(1.3)

ở đây A(t) là ma trận phức liên tục cấp n × n với mọi t ≥ 0. Với mỗi s ≥ 0

và xs ∈ Cn thì phương trình (1.3) có một nghiệm duy nhất x(t) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(s) = xs . Tốn tử tiến hóa T (t, s) : Cn −→ Cn với mỗi
t ≥ s, xác định bởi T (t, s)xs = x(t).
Xét phương trình vi phân

x = A(t)x + f (t, x)

(1.4)

với hàm f (t, x) liên tục. Gọi x(t) là nghiệm của phương trình (1.4). Khi đó
nghiệm này được xác định bởi cơng thức
t

x(t) = x(t, s, xs ) = T (t, s)x(s) +

T (t, τ )f τ, x(τ ) dτ.

(1.5)

s

Công thức (1.5) được gọi là cơng thức biến thiên hằng số.

1.6

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân sau

x = A(t)x + f (t, x),

f (t, 0) = 0

(1.6)

Định nghĩa 1.4. (xem [2]) Nghiệm u = u(t), a < t < +∞ của phương trình
(1.6) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞ (hay ngắn gọn
là ổn định), nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, +∞) tồn tại số δ = δ(ε, t0 ) > 0
sao cho:
(i) tất cả các nghiệm x = x(t) của phương trình (1.6) thỏa mãn điều kiện
x(t0 ) − u(t0 ) < δ xác định trong khoảng t0 < t < +∞;
(ii) đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau được thỏa mãn

x(t) − u(t) < ε khi t0 ≤ t < +∞.
7


Trường hợp đặc biệt, nghiệm không (nghiệm tầm thường) u(t) = 0, (a <
t < +∞) ổn định nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, +∞) tồn tại δ = δ(ε, t0 ) > 0
sao cho bất đẳng thức ||x(t0 )|| < δ kéo theo bất đẳng thức ||x(t)|| < ε khi
t0 < t < +∞.
Định nghĩa 1.5. (xem [2]) Trong định nghĩa trên, nếu số δ > 0 có thể
chọn khơng phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t0 ∈ G (G = (a, +∞)), tức là
δ = δ(ε) thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G.
Định nghĩa 1.6. (xem [2]) Nghiệm u = u(t) (a < t < +∞) được gọi là ổn
định tiệm cận khi t → +∞, nếu:
(i) nghiệm u = u(t) ổn định theo nghĩa Lyapunov;
(ii) với mọi t0 ∈ (a, +∞) tồn tại
= (t0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm x(t)
(t0 ≤ t < +∞) thỏa mãn điều kiện x(t0 ) − u(t0 ) < sẽ có tính chất

lim

t→+∞

x(t) − u(t) = 0.

Trường hợp đặc biệt, nghiệm không u(t) = 0 ổn định tiệm cận, nếu nó ổn
định và

lim

t→+∞

x(t) = 0 khi x(t0 ) <

.

Định nghĩa 1.7. (xem [2]) Nghiệm u = u(t) (a < t < +∞) được gọi là ổn
định tiệm cận đều khi t → +∞, nếu:
(i) nghiệm u = u(t) ổn định đều theo nghĩa Lyapunov;
(ii) tồn tại
> 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho mọi nghiệm x(t)
(t0 ≤ t < +∞) thỏa mãn x(t0 ) − u(t0 ) <
thì

lim

t→+∞

x(t) − u(t) = 0.

Định nghĩa 1.8. Nghiệm u(t) = 0 được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu
tồn tại số λ > 0 sao cho với mọi t0 , tồn tại số M = M (t0 ) mà x(t) ≤
M e−λ(t−t0 ) , trong đó x(t) là nghiệm với điều kiện ban đầu x(t0 ) đủ bé.
Định nghĩa 1.9. Nghiệm u(t) = 0 được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞
nếu như số M ở trên không phụ thuộc vào t0 .
8


1.7

Số mũ Lyapunov và các tính chất cơ bản của nó

Đầu tiên, chúng ta nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov của phương trình
vi phân được trình bày trong [7].
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

x = A(t)x,

(1.7)

ở đây x(t) ∈ Cn và A(t) là ma trận phức cấp n×n liên tục với mọi t ≥ 0. Với
mỗi x0 ∈ Cn thì phương trình (1.7) tồn tại duy nhất nghiệm x(t) = x(t, x0 )
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 .
Xét nghiệm tầm thường x(t) = 0 với mọi t ≥ 0. Nếu A(t) ≡ A là ma
trận hằng thì nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định mũ khi và chỉ khi tất
cả các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm. Tương tự, kết quả này
cũng đúng nếu A(t) là ma trận tuần hoàn.
Để đặc trưng sự ổn định của nghiệm tầm thường trong trường hợp tổng

quát, người ta đưa ra khái niệm số mũ Lyapunov λ : Cn −→ R ∪ {−∞} của
phương trình (1.7) xác định bởi công thức

1
log x(t) ,
t→+∞ t

λ(x0 ) = lim

(1.8)

với x0 ∈ Cn và x(t) là nghiệm của phương trình (1.7) thỏa mãn điều kiện
ban đầu x(0) = x0 . Từ công thức (1.8) trực tiếp suy ra hàm λ thỏa mãn các
tính chất sau:
(i) λ(αv) = λ(v) với mọi v ∈ Cn và α = 0;
(ii) λ(v + w) ≤ max{λ(v), λ(w)} với mọi v, w ∈ Cn ;
(iii) λ(0) = −∞.
Số mũ Lyapunov của phương trình (1.7) được gọi là ngặt, nếu tồn tại giới
hạn hữu hạn
1
λ(x0 ) = lim log x(t) .
t→+∞ t
Tiếp theo, chúng ta nhắc lại định nghĩa số mũ Lyapunov tổng quát
Định nghĩa 1.10. (xem [5]) Cho V là một không gian vectơ thực n chiều.
Hàm χ : V → R ∪ {−∞} được gọi là số mũ Lyapunov trên V nếu:
9


(i) χ(αv) = χ(v) với mọi v ∈ V và α ∈ R\{0};
(ii) χ(v + w) ≤ max{χ(v), χ(w)} với mọi v, w ∈ V ;

(iii) χ(0) = −∞.
Số mũ Lyapunov có một số tính chất cơ bản sau:
(i) nếu v, w ∈ V sao cho χ(v) = χ(w) thì

χ(v + w) = max{χ(v), χ(w)};
(ii) nếu v1 , . . . , vm ∈ V và α1 , . . . , αm ∈ R\{0} thì

χ(α1 v1 + · · · + αm vm ) ≤ max{χ(vi ) : 1 ≤ i ≤ m};
ngoài ra, nếu tồn tại i sao cho χ(vi ) > χ(vj ) với mọi j = i thì

χ(α1 v1 + · · · + αm vm ) = χ(vi );
(iii) cho các vectơ v1 , . . . , vm ∈ V \{0}. Nếu χ(v1 ), . . . , χ(vm ) nhận các giá
trị khác nhau thì các vectơ v1 , . . . , vm ∈ V \{0} là độc lập tuyến tính;
(iv) hàm χ chỉ nhận tối đa là n giá trị hữu hạn khác nhau.

10


Chương 2
Định lý kiểu Perron của phương
trình vi phân khơng ôtônôm
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết lại các kết quả trong bài
báo [4]. Để cho đơn giản, trước khi trình bày kết quả chính của luận văn,
chúng tơi sẽ trình bày một trường hợp đặc biệt của kết quả chính.
Chúng ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

x = A(t)x,

(2.1)

ở đây A(t) là ma trận phức liên tục cấp n × n với mọi t ≥ 0. Khi đó, với
mỗi s ≥ 0 và xs ∈ Cn thì phương trình (2.1) có một nghiệm duy nhất x(t)
với điều kiện ban đầu x(s) = xs .
Chúng ta xét tốn tử tiến hóa T (t, s) : Cn −→ Cn với mỗi t ≥ s, xác định
bởi T (t, s)xs = x(t).
Định nghĩa 2.1. Số mũ Lyapunov λ : Cn −→ R ∪ {−∞} của phương trình
(2.1) được định nghĩa như sau

1
log x(t) ,
t→+∞ t

λ(x0 ) = lim

trong đó x(t) là nghiệm của phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(0) = x0 .
Chúng ta giả sử rằng:
A1. tồn tại một phân tích
C n = F 1 ⊕ F 2 ⊕ · · · ⊕ Fp
11


thành tổng trực tiếp của các không gian con Fi (dim Fi = ki ) sao cho
ma trận A(t) có thể viết được ở dạng chéo khối, tức là


A1 (t)
0
...


A(t) = 
0
Ap (t)
tương ứng với phân tích trên, ở đây Ai (t) là ma trận cấp ki × ki với mọi
i = 1, . . . , p;
A2. tồn tại các số thực λ1 < · · · < λp sao cho với mỗi i = 1, . . . , p và
x0 ∈ Fi \{0},
1
lim log x(t) = λi ,
t→+∞ t
ở đây x(t) là nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 .
Nhận xét: Chúng ta thấy rằng, nếu A(t) là ma trận hằng số và ma trận tuần
hồn thì điều kiện A1-A2 ln được thỏa mãn.
Sau đây là trường hợp đặc biệt của kết quả chính.
Xét phương trình vi phân có nhiễu

x = A(t)x + f (t, x).

(2.2)

Định lý 2.1. Giả sử rằng các điều kiện A1-A2 được thỏa mãn, x(t) là nghiệm
của phương trình (2.2) và hàm liên tục f : R × Cn −→ Cn sao cho

f (t, x(t)) ≤ γ(t) x(t) ,

t≥0

(2.3)

eδτ γ(τ )dτ → 0 khi t → +∞

(2.4)

với γ : R −→ R là hàm liên tục thỏa mãn
t+1

t

đối với một số δ > 0 nào đó. Khi đó một trong hai phát biểu sau xảy ra:
1. x(t) = 0 với mọi t đủ lớn;
2. giới hạn

1
log x(t)
t→+∞ t
lim

12


tồn tại và trùng với một giá trị số mũ Lyapunov λi nào đó của phương
trình (2.1).
Định lý 2.2. Giả định rằng điều kiện A1-A2 được giữ. Cho f : R×Cn −→ Cn
là hàm liên tục sao cho

f (t, x(t)) ≤ γ(t) x(t) ,

t ≥ 0, x ∈ Cn

với γ : R −→ R là hàm liên tục thỏa mãn (2.4) với một số δ > 0 nào đó.
Nếu tất cả các số mũ Lyapunov của phương trình (2.1) đều nhận giá trị âm
thì tất cả các nghiệm của phương trình (2.2) giảm cấp mũ về 0.
Chứng minh. Định lý 2.2 được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.
Thật vậy, vì tất cả các số mũ Lyapunov của phương trình (2.1) đều nhận
1
giá trị âm nên theo Định lý 2.1 ta có lim log x(t) = λi với mọi i =
t→+∞ t
1, . . . , p. Mà λi < 0 nên tất cả các nghiệm của phương trình (2.2) giảm cấp
mũ về 0.
Bây giờ chúng ta xét trường hợp đặc biệt của nhiễu tuyến tính. Xét phương
trình tuyến tính
x = A(t)x + B(t)x
(2.5)
với B(t) là một ma trận phức liên tục xác định với mọi t ≥ 0.
Định lý 2.3. Giả sử điều kiện A1-A2 được thỏa mãn. Nếu B(t) ≤ γ(t)
với γ : R −→ R là hàm liên tục thỏa mãn (2.4) đối với một số δ > 0 nào đó
thì số mũ Lyapunov của phương trình (2.1) và (2.5) nhận các giá trị giống
nhau.
Chứng minh. Định lý 2.3 hiển nhiên đúng vì nó là trường hợp đặc biệt của
Định lý 2.1.
Nhận xét: Định lý 2.3 có thể xem như là một tiêu chuẩn cho sự ổn định vững
của phổ của phương trình tuyến tính.

2.1

Các giả thiết

Cho T (t, s) là tốn tử tiến hóa trong không gian Cn , T (t, s) : Cn −→ Cn
là tốn tử tuyến tính với mỗi t, s ≥ 0 sao cho T (t, t) = Id với t ≥ 0, và

13


T(t, s)T(s, r) = T(t, r) với t, s, r ≥ 0.
Số mũ Lyapunov λ : Cn −→ R ∪ {−∞} của tốn tử tiến hóa T (t, s)
được xác định bởi
1
λ(x) = lim log T (t, 0)x ,
t→+∞ t
với x ∈ Cn . Bởi lý thuyết tổng quát về số mũ Lyapunov, hàm λ chỉ có thể
nhận tối đa là n giá trị hữu hạn khác nhau trong Cn \{0} nên chúng ta có
thể giả sử
λ1 < · · · < λp
với p ≤ n, p ∈ Z. Hơn nữa, với mỗi i = 1, . . . , p tập

Ei = {x ∈ Cn : λ(x) ≤ λi }

(2.6)

là khơng gian con tuyến tính. Chúng ta cũng có ki = dim Ei − dim Ei−1 và
quy ước E0 = {0}.
Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu các giả thiết trong luận văn. Đơn giản,
chúng ta giả sử rằng tốn tử tiến hóa là ở dạng khối, mỗi khối tương ứng với
một số mũ Lyapunov (hữu hạn). Chính xác hơn, chúng ta giả sử rằng:
B1. tồn tại các phân tích
Cn = F1 (t) ⊕ F2 (t) ⊕ · · · ⊕ Fp (t)
với mỗi t ≥ 0, thành tổng trực tiếp của các không gian con Fi (t)
(dim Fi (t) = ki ) sao cho với mỗi t, s ≥ 0 và i = 1, . . . , p,

T (t, s)Fi (s) = Fi (t);

(2.7)

B2. với mỗi i = 1, . . . , p số thực λi là hữu hạn và x ∈ Fi (0)\{0},

1
log T (t, 0)x = λi ;
t→+∞ t
lim

B3. với mỗi S ⊂ {1, . . . , p} với 1 ≤ |S| < p,
1
lim log ∠
Fi (t),
t→+∞ t
i∈S

Fj (t) = 0.
j ∈S
/

Từ (2.6) chúng ta dễ dàng nhận thấy, với mỗi i

Ei =

Fj (0).
j≤i

14

(2.8)


2.2

Dáng điệu nghiệm

Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày một số kết quả thu được từ các
điều kiện B1-B3.
Cho số thực b ∈ R không phải là số mũ Lyapunov, chúng ta xét phân tích
Cn = E(t) ⊕ F (t),

(2.9)

ở đây

Fi (t)

Fi (t) và F (t) =

E(t) =

λi >b

λi
với mỗi t ≥ 0. Chúng ta lưu ý rằng E(t) và F (t) là các không gian con. Cho
P (t) và Q(t) là các phép chiếu ứng với phân tích (2.9). Theo (2.7) ta có

T (t, s)E(s) = E(t) và T (t, s)F (s) = F (t)

với mỗi t, s ≥ 0. Điều này tương đương

T (t, s)P (s) = P (t)T (t, s) và T (t, s)Q(s) = Q(t)T (t, s)

(2.10)

với mỗi t, s ≥ 0.
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng T (t, s)E(s) = E(t) ⇔ T (t, s)P (s) =
P (t)T (t, s) còn T (t, s)F (s) = F (t) ⇔ T (t, s)Q(s) = Q(t)T (t, s) được chứng
minh tương tự.
Chứng minh. Thật vậy, với xs ∈ Cn và x(t) = T (t, s)xs .

• Giả sử T (t, s)E(s) = E(t) ta có
T (t, s)P (s)xs = P (t)x(t)
⇔ T (t, s)P (s)xs = P (t)T (t, s)xs .
Vì xs ∈ Cn tùy ý nên T (t, s)P (s) = P (t)T (t, s).

• Giả sử T (t, s)P (s) = P (t)T (t, s).
Lấy hai vế phương trình trên tác động vào xs ∈ Cn ta được
T (t, s)P (s)xs = P (t)T (t, s)xs
⇔ T (t, s)E(s) = P (t)x(t)
⇔ T (t, s)E(s) = E(t).
15


Tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra các ước lượng cho tốn tử chiếu và nghiệm
của phương trình (2.1) trên không gian con bất biến. Chọn đoạn [a, c] sao
cho nó khơng chứa số mũ Lyapunov nào. Lấy số thực b ∈ (a, c).
Định lý 2.4. Giả sử các điều kiện B1-B3 được thỏa mãn. Khi đó:
1.

E(0) = {x ∈ Cn : λ(x) < b}
và

λ(x) > b với mọi x ∈ F (0)\{0};
2. với ε > 0 cho trước, tồn tại M = M (ε) > 0 (không phụ thuộc vào b) sao
cho
P (t) ≤ M eεt và
Q(t) ≤ M eεt
(2.11)
với mọi t ≥ 0;
3. với ε > 0 cho trước, tồn tại K = K(ε) > 0 (không phụ thuộc vào b) sao
cho
T (t, s)P (s) ≤ Kea(t−s)+εs , t ≥ s
(2.12)
và

T (t, s)−1 Q(t) ≤ Kec(s−t)+εt ,

t ≥ s.

Chứng minh. Tính chất 1 dễ dàng được suy ra từ các điều kiện B1 và B2.
Để chứng minh tính chất 2, trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra rằng

1
2
1
2
≤ P (t) ≤
và

≤ Q(t) ≤
,
α(t)
α(t)
α(t)
α(t)

(2.13)

ở đây α(t) là góc giữa hai không gian E(t) và F (t). Hơn nữa, chúng ta lưu
ý rằng
E(t) =
Fi (t) và F (t) =
Fj (t)
i∈S

j ∈S
/

với tập
16


S = {i ∈ {1, . . . , p} : λi < b}.
Định nghĩa α(t) = inf{ x − y : x ∈ E(t), y ∈ F (t), x = y = 1}.
Bây giờ chúng ta chỉ xây dựng các bất đất thức đối với P (t), tức là
1
2
≤ P (t) ≤
còn các bất đẳng thức đối với Q(t) được thiết lập

α(t)
α(t)
tương tự. Đối với bất đẳng thức đầu tiên, chúng ta nhận thấy P (t)(x−y) = x
với mọi x ∈ E(t) và y ∈ F (t) thỏa mãn x = y = 1. Do đó,

1 = x = P (t)(x − y) ≤ P (t) · x − y
⇔ 1 ≤ P (t) · α(t)
1
≤ P (t) .
⇔
α(t)
Đối với bất đẳng thức thứ hai, lấy v, w ∈ Cn sao cho v¯ = P (t)v = 0 và
w¯ = Q(t)w = 0 chúng ta có

v¯
w¯
−
v¯
w¯

=

v¯ w¯ − w¯ v¯
v¯ w¯

=

v¯ w¯ − w¯ w¯ + w
¯ w¯ − w¯ v¯
v¯ w¯

=

w¯ (¯
v − w)
¯ + w(
¯ w¯ − v¯ )
v¯ w¯

v¯ − w¯
+
v¯
2 v¯ − w¯
≤
.
v¯

≤

w¯ − v¯
v¯

Lưu ý P (t)(¯
v − w)
¯ = v¯. Với mọi ε1 > 0 cho trước, chúng ta có thể chọn
n
v, w ∈ C sao cho z = v¯ − w¯ thỏa mãn

z
1

≤
+ ε1 .
P (t)z
P (t)
Do đó,

w¯
v¯
−
v¯
w¯

≤
17

2
+ 2ε1 .
P (t)


2
2
điều này tương đương với P (t) ≤
.
P (t)
α(t)
Do vậy, bởi điều kiện B3, với ε > 0, tồn tại M = M (ε) > 0 sao cho
Vì ε1 > 0 tùy ý nên α(t) ≤

α(t) = ∠(E(t), F (t)) ≥ M e−εt

với mọi t ≥ 0 (chúng ta có thể chọn M khơng phụ thuộc vào b bởi vì phân
tích (2.9) chỉ có hữu hạn). Cùng với (2.13) ta thu được
2
2
và
Q(t)
≤
.
P (t) ≤
M e−εt
M e−εt
2
Vậy, với ε > 0 cho trước, tồn tại M =
> 0 sao cho
M
P (t) ≤ M eεt và Q(t) ≤ M eεt .
Đối với tính chất cuối cùng, đầu tiên chúng ta nhận thấy rằng bằng cách
lặp lại các lập luận trong chứng minh của Định lý 10.6 trong [8], chúng ta
thấy rằng với ε > 0, tồn tại L = L(ε) > 0 (không phụ thuộc vào b) sao cho

T (t, s)|E(s) ≤ Lea(t−s)+εs ,

t≥s

và

T (t, s)−1 |F (t) ≤ Lec(s−t)+εt ,

t ≥ s.

Do vậy,

T (t, s)P (s) ≤ T (t, s)|E(s) · P (s)
≤ L(ε/2)ea(t−s)+(ε/2)s M (ε/2)e(ε/2)s
= K(ε)ea(t−s)+εs ,
ở đây K(ε) = L(ε/2)M (ε/2), và tương tự,

T (t, s)−1 Q(t) ≤ T (t, s)−1 |F (t) · Q(t)
≤ L(ε/2)ec(s−t)+(ε/2)t M (ε/2)e(ε/2)t
= K(ε)ec(s−t)+εt .

Đặc biệt, nếu lấy d > λp thì theo (2.12) ta có

T (t, s) ≤ Ked(t−s)+εs ,

t ≥ s.

(2.14)

Cuối cùng, chúng tơi xin trình bày kết quả chính của luận văn đó là số
mũ Lyapunov của phương trình phi tuyến trùng với số mũ Lyapunov của
phương trình thuần nhất với nhiễu đủ bé.
18


2.3

Định lý kiểu Perron của phương trình vi phân
khơng ơtơnơm

Trong mục này, chúng ta xét phương trình phi tuyến
t

x(t) = T (t, s)xs +

T (t, τ )f τ, x(τ ) dτ

(2.15)

s

với nhiễu f : R × Cn −→ Cn .
Sau đây là kết quả chính của luận văn.
Định lý 2.5. Giả sử rằng các điều kiện B1-B3 được thỏa mãn, x(t) là nghiệm
của phương trình (2.15) và hàm liên tục f : R × Cn −→ Cn sao cho

f (t, x(t)) ≤ γ(t) x(t) ,

t≥0

với γ : R −→ R là hàm liên tục thỏa mãn
t+1

eδτ γ(τ )dτ → 0 khi t → +∞
t

đối với một số δ > 0 nào đó. Khi đó một trong hai điều sau xảy ra:
1. x(t) = 0 với mọi t đủ lớn;
2. tồn tại i ∈ {1, . . . , p} sao cho

1
log x(t) .
t→+∞ t

λi = lim

(2.16)

Chứng minh. Đầu tiên chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả phụ sau.
Lấy ε = δ/4.
Bổ đề 2.1. Chúng ta có
t

x(t) ≤ K x(s) ed(t−s)+εs exp K

eεu γ(u)du

(2.17)

s

cho tất cả các t ≥ s. Đặc biệt, với r > 0 tồn tại C = C(r) > 0 sao cho

C −1 e−ε(k+1)r x (k + 1)r

≤ x(t) ≤ Ceεkr x(kr)

với mọi số nguyên k ≥ s/r và tất cả kr ≤ t ≤ (k + 1)r.
19

(2.18)


Chứng minh. Từ phương trình (2.15) ta có
t

x(t) = T (t, s)xs +

T (t, τ )f τ, x(τ ) dτ
s
t

≤ T (t, s)x(s) +

T (t, τ )f τ, x(τ ) dτ
s
t

≤ T (t, s) x(s) +

T (t, τ ) f τ, x(τ ) dτ
s
t

≤ Ked(t−s)+εs x(s) +

Ked(t−τ )+ετ γ(τ ) x(τ ) dτ.
s

Nhân cả hai vế bất phương trình trên với e−d(t−s) chúng ta thu được

t

e−d(t−s) x(t) ≤ Keεs x(s) +

Keετ γ(τ )e−d(τ −s) x(τ ) dτ.
s

Áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman ta được
t

e−d(t−s) x(t) ≤ Keεs x(s) exp

Keετ γ(τ )dτ
s
t

⇔

x(t) ≤ K x(s) ed(t−s)+εs exp K

eετ γ(τ )dτ
s
t

⇔

x(t) ≤ K x(s) ed(t−s)+εs exp K

eεu γ(u)du .
s

Bởi (2.4), chúng ta có
t+r

eετ γ(τ )dτ < +∞

S = sup
t≥0

t

20


với mỗi r > 0. Do đó, từ (2.17) với kr ≤ t ≤ (k + 1)r ta có
t

x(t) ≤ Ked(t−kr)+εkr x(kr) exp K

eεu γ(u)du
kr

dr+εkr

≤ Ke

x(kr) e

KS

= KeKS+dr eεkr x(kr)
= Ceεkr x(kr) .
và
(k+1)r

x (k + 1)r

≤ Ked

(k+1)r−t +εt

eεu γ(u)du

x(t) exp K
t

dr+ε(k+1)r

≤ Ke

x(t) e

KS

= KeKS+dr eε(k+1)r x(t)
= Ceε(k+1)r x(t) .
Như vậy, tồn tại C = C(r) = KeKS+dr > 0 sao cho

C −1 e−ε(k+1)r x (k + 1)r

≤ x(t) ≤ Ceεkr x(kr) .

Nhận xét: Bổ đề 2.1 cho thấy nghiệm của phương trình (2.15) bị chặn khơng
q cấp mũ.
Cho số thực b ∈ R không phải là số mũ Lyapunov và a < b < c như trong
mục 2.2. Chúng ta xét chuẩn

x

t

= sup e−a(σ−t) T (σ, t)P (t)x

+ sup e−c(σ−t) T (σ, t)Q(t)x

σ≥t

(2.19)

σ≤t

với mỗi t ≥ 0 và x ∈ Cn . Khi đó chúng ta dễ dàng chứng minh được

x

t

= P (t)x

x ≤ x

t

t

+ Q(t)x t ,

≤ 2Keεt x .

21

(2.20)
(2.21)