(Luận văn thạc sĩ) sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THẾ TUẤN

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT
XÚC TÁC - ỨC CHẾ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2011


Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1

Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach . . . .

1

1.1.1

Không gian các hàm khả vi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian các hàm liên tục Holder . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Không gian các hàm liên tục Holder có trọng . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Khơng gian các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Hạn chế của tốn tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.4

Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Nội suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Khơng gian và các tốn tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3

Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Ngoại suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Tốn tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . .

12

1.6.1

Dạng tựa tuyến tính và tốn tử liên kết . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.2

Dạng liên hợp và toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Không gian Sobolev-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7.1

Biên của miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7.2

Không gian Sobolev với cấp nguyên . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2

1.7

1.7.3
1.7.4
1.7.5

n

Không gian Sobolev-Lebesgue trong R . . . . . . . . . . . . . .
Không gian Sobolev-Lebesgue trong

Rn+

15

hoặc trong một miền bị

chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

i


1.7.6

17

1.7.7

Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˚ps (Ω) và H−s
Không gian H
p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.8

Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa
2.1

2.2

2.3

18

20

Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1

Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . .

21

2.1.3

Tốn tử quạt trong không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.4

Tính chất chuyển trong L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1

Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . .

26

2.2.2

Bài tốn Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . .

29

Tốn tử lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.1

Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.2

Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L2 . . . . . . . . .

32

2.3.3

Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . .

33

3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế

36

3.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2

Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3

Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4

Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4.1

Uớc lượng dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4.2

Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4.3

Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.4.4

Ước lượng toàn cục.

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

48

ii


Lời mở đầu
Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phương
trình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm. Lý thuyết này dựa trên những
kết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước. Điểm
nổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm. Chẳng
hạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh bởi tốn tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bản
dU
+ AU =
của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ơ-tơ-nơm,
dt
F (t), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức
U (t) = e−tA U0 +

t −(t−s)A
e
F (s)ds.
0

Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài tốn Cauchy
dU
đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính,
+ AU = F (U ), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0
dt
t
cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U (t) = e−tA U0 + 0 e−(t−s)A F (U (s))ds.
Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các

nghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn ...v.v. Đặc biệt đối với
các bài tốn phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàm
Frechet của nghiệm theo giá trị ban đầu. Từ đó xây dựng được hệ động lực xác định
bởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồn
tại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng;
xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định ...v.v. thậm trí bằng phương
pháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm.
Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại
nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Chúng tôi chia luận văn ra làm
ba chương.
Chương 1 nói về một số khơng gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach,
những nét khái quát nhất về các khơng gian Sobolev, về tốn tử tuyến tính, khơng
gian liên hợp và tốn tử liên hợp. Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một
số tính chất nội suy, ngoại suy của một khơng gian Banach.
Chương 2 giành để nói về tốn tử quạt, hàm mũ và tốn tử lũy thừa. Chúng tơi đề
cập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiên
cứu tính chất chuyển của tốn tử này trong L2 . Ngồi ra sự tồn tại nghiệm của Bài
tốn Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phát
biểu.
Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục
của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm
giải tích, chúng tơi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng

iv


các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng.
Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể cịn
thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của
các bạn đồng nghiệp.

Hà nội, tháng 04 năm 2011
Hoàng Thế Tuấn

v


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian các hàm nhận giá trị trong một
không gian Banach

Cho X là một không gian Banach với chuẩn || . ||. Ta sẽ giới thiệu một số không
gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền
của C.

Không gian các hàm bị chặn đều
Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí
hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum
F = sup F (t) .
a≤t≤b

Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach.

1.1.1

Không gian các hàm khả vi liên tục

Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, ... là số nguyên không âm. Kí hiệu

C ([a, b]; X) là khơng gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0,
m

C0 ([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản
là C([a, b]; X). Trên Cm ([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau
m

F

Cm

max ||F (i) (t)||.

=
i=0

a≤t≤b

Với chuẩn này Cm ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau đây là
hai kết quả cơ bản.

1


Định lý 1.1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X. Nếu F ∈ C([a, b]; X)
và AF ∈ C([a, b]; X), thì

b

b

AF (t)dt.

F (t)dt =

A

a

a

Chứng minh. Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t0 < t1 < ... <
tN = b và lấy tổng
N

(tn − tn−1 )F (τn ) với tn−1 ≤ τn ≤ tn .
n=1

Rõ ràng
N

N

(tn − tn−1 )F (τn )) =

A(
n=1

(tn − tn−1 )AF (τn ).
n=1

Cho N → ∞ với điều kiện max1≤n≤N (tn − tn−1 ) → 0, ta được
A

b
a

F (t)dt =

b
a

b
a

F (t)dt ∈ D(A) và

AF (t)dt.

Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩
C1 ((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
du
+ a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T,
dt
thì
u(t) ≤ e−

t
0

t

a(τ )dτ

e−

u(0) +

t
s

a(τ )dτ

f (s)ds,

(1.1)

0 < t ≤ T.

0

Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì
u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 ,

0 < t ≤ T.

Chứng minh. Với mỗi t cố định, ta có
t
t
t

d
u(s)e− s a(τ )dτ = [u (s) + a(s)u(s)]e− s a(τ )dτ ≤ f (s)e− s a(τ )dτ .
ds
Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được
u(t) − u(0)e

−

t
s

t
a(τ )dτ

f (s)e−

≤

t
s

a(τ )dτ

ds.

0

Từ (1.1) chúng ta có
u(t) ≤ e−

t
0

t
a(τ )dτ

e−

u(0) +

t
s

a(τ )dτ

f (s)ds,

0 < t ≤ T.

0

Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì
t

u(t) ≤ e−δt u(0) +

e−δ(t−s) f (s)ds,

0 < t ≤ T.

0

Thêm vào đó, nếu f (t) ≡ f > 0 thì
u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 ,

2

0 < t ≤ T.


1.1.2

Không gian các hàm liên tục Holder

Với m = 0, 1, 2, ... và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ ([a, b]; X) là khơng gian
các hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ
σ. Trên Cm+σ ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn
F

Cm+σ

= F

Cm

+ sup
a≤s
F (m) (t) − F (m) (s)
.

|t − s|σ

Với chuẩn này, Cm+σ ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [3, Tr. 241]).
Khi σ = 1, gọi Cm,1 ([a, b]; X) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục tới cấp m, có
đạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b]. Trên lớp hàm này ta đưa vào chuẩn sau
F

Cm,1

= F

Cm

+ sup
a≤t
F (m) (t) − F (m) (s)
.
|t − s|

Tương tự như trong trường hợp trên, với chuẩn vừa chỉ ra Cm,1 ([a, b]; X) là một không
gian Banach (xem [1, Tr. 10]).

1.1.3

Không gian các hàm liên tục Holder có trọng

Cho hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, kí hiệu F β, σ ((a, b]; X) là không gian các hàm liên
tục trên (a, b] (tương ứng trên [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng khi β = 1) với các tính
chất sau

1. Khi β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn khi t → a;
2. F liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β+σ , tức là:
sup (s − a)1−β+σ
a≤s
F (t) − F (s)
F (t) − F (s)
= sup sup (s − a)1−β+σ
< ∞;
σ
(t − s)
(t − s)σ
a≤t≤b a≤s
3. Khi t → a,
ωF (t) = sup (s − a)1−β+σ
a≤s
||F (t) − F (s)||
→ 0.
(t − s)σ

Trên F β, σ ((a, b]; X) ta đưa vào chuẩn
F

F β, σ

= sup (t − a)1−β F (t) + sup (s − a)1−β+σ
a≤t≤b

a≤s
F (t) − F (s)
.
(t − s)σ

Khi đó F β,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach (xem [14, Tr. 5]).

3


1.1.4

Khơng gian các hàm giải tích

Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C. Một hàm f (λ) xác định trên D, nhận
giá trị trong X được gọi là giải tích trong D nếu f khai triển được thành chuỗi Taylor
tại mọi điểm trong D. Tất cả các tính chất của các hàm giải tích phức thơng thường
đều có thể được mở rộng cho hàm giải tích nhận giá trị trong X. Chẳng hạn ta có cơng
thức Tích phân Cauchy
1
2πi

f (λ) =

C

f (µ)
dµ
µ−λ

đúng cho mọi đường cong Jordan C trơn, hoặc trơn từng khúc bao quanh λ trong D.

1.2

Toán tử tuyến tính

Tốn tử tuyến tính bị chặn
Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là || . ||X , || . ||Y . Không
gian các tốn tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ). Khơng gian L(X, Y )
được trang bị chuẩn
A

L(X,Y )

= sup
U

AU

Y.

X ≤1

Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach. Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn
là L(X). Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều.
Định lý 1.2.1 ([15], Tr. 69). Giả sử X và Y là các không gian Banach. Cho {Aα }α∈I
là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I. Nếu supα∈I Aα U
với mọi U ∈ X, thì supα∈I Aα

L(X, Y )

Y

<∞

< ∞.

Dễ thấy rằng với mỗi U ∈ X, phiếm hàm pU (.) xác định bởi pU (A) = AU

Y,

A ∈ L(X, Y ) là một nửa chuẩn trên L(X, Y ). Rõ ràng họ các nửa chuẩn pU (.), U ∈ X
thỏa mãn tính chất tách, tức là pU (A) = 0 với mọi pU kéo theo A = 0. Cho trước một
số tự nhiên n khác 0, xét n phần tử bất kì trong X mà ta kí hiệu là U1 , ..., Un và một
bộ n số thực dương nhỏ tùy ý

1 , ..., n .

Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trong

L(X, Y ) là tập U có dạng
U = {A ∈ L(X, Y ) : pUi (A) < i , i = 1, ..., n}.
Trường hợp A ∈ L(X, Y ) là tốn tử bất kì, lân cận của A là tập có dạng A + U. Trên
L(X, Y ) ta định nghĩa một tô-pô như sau. Một tập được gọi là mở trong L(X, Y ) khi
và chỉ khi nó chứa lân cận của mọi điểm nằm trong nó. Với tơ-pơ này, L(X, Y ) trở
thành một khơng gian tơ-pơ tuyến tính, lồi địa phương (xem [15, Tr. 26]). Không gian
4

tơ-pơ này được kí hiệu là Ls (X, Y ). Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ). Trong khi đó,
tơ-pơ xác định bởi chuẩn tốn tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ). Chú ý, theo Định
lý 1.2.1 vừa phát biểu Ls (X, Y ) là không gian đủ.
Xét một dãy {An } trong L(X, Y ). Ta nói rằng {An } hội tụ mạnh tới một toán tử
bị chặn A nếu An hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là An U → AU trong Y với mọi
U ∈ X. Một cách tương tự, xét hàm A(ω) xác định trên tập Ω ⊂ Rd (d là một số
nguyên dương) và nhận giá trị trong L(X, Y ). Ta nói A(ω) liên tục mạnh tại ω0 ∈ Ω
nếu A(ω) liên tục tại ω0 theo tô-pô mạnh, nói cách khác A(ω) liên tục mạnh tại ω0 khi
chỉ khi A(ω)U → A(ω0 )U trong Y khi ω → ω0 với mọi U ∈ X.

1.2.1

Hạn chế của toán tử tuyến tính

Cho X là một khơng gian Banach và cho A là một tốn tử tuyến tính từ X vào
chính nó. Miền xác định của A sẽ được kí hiệu là D(A) cịn miền giá trị của nó được
kí hiệu bởi R(A). Cho Y là một không gian con của X. Toán tử A|Y xác định trên
D(A|Y ) = {U ∈ D(A) ∩ Y : AU ∈ Y } bằng công thức A|Y U = AU được gọi là Hạn
chế của A trong Y . Dễ dàng kiểm tra rằng A|Y là một tốn tử tuyến tính từ Y vào Y .
Khi D(A) ⊂ Y, D(A|Y ) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }.

1.2.2

Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford

Cho A là một tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong khơng gian Banach
X. Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có tốn tử ngược (λ − A)−1 ∈ L(X)
được gọi là tập giải thức của A. Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ − A)−1 là
một hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). Vì
vậy với mỗi λ0 ∈ ρ(A) ta có

∞
−1

(λ − A)

(−1)n (λ − λ0 )n (λ0 − A)−(n+1) , |λ − λ0 | < (λ0 − A)−1

=

−1

.

(1.2)

n=0

Phần bù của ρ(A) trong C, kí hiệu là σ(A), được gọi là phổ của A. Chú ý phổ của A
độc lập với cách chọn chuẩn trên X (xem [14, Tr. 10]). Ngoài ra, dễ thấy rằng
(λ − A)−1 − (µ − A)−1 = −(λ − µ)(λ − A)−1 (µ − A)−1 ,

λ, µ ∈ ρ(A).

(1.3)

Giả sử A là một tốn tử tuyến tính bị chặn trong X và σ(A) là phổ của nó. Lấy
f (λ) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D chứa σ(A) và đặt
f (A) =

1

2πi

f (λ) (λ − A)−1 dλ,
C

5


ở đây C là đường cong Jordan trơn, hoặc trơn từng khúc nằm trong D bao quanh
σ(A). Tích phân này xác định trong L(X), không phụ thuộc vào cách chọn đường cong
Jordan C. Người ta gọi nó là Tích phân Dunford. Trong khi đó tốn tử f (A) được gọi
là Tích phân hàm liên kết với f (λ).

1.2.3

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Banach. Một họ {T (t)}t≥0 các toán tử
bị chặn trong X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hoặc C0 -nửa nhóm nếu các
tính chất sau được thỏa mãn
1. T (t + s) = T (t)T (s);
2. T (0) = I;
3. Với mỗi x ∈ X, ánh xạ: [0, ∞)

t → T (t)x ∈ X liên tục theo t.

Định nghĩa 1.2.2. Cho {T (t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh các tốn tử bị chặn
trên khơng gian Banach X. Toán tử A định nghĩa bởi
Ax = lim+
h→0

T (h)x − x
h

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t≥0 . Miền xác định D(A) của A là tập
tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại.
Sau đây ta phát biểu một định lý quan trọng trong lý thuyết tốn tử tuyến tính.
Định lý 1.2.2. (Lumer-Phillips) Giả sử H là một khơng gian Hilbert với tích trong
., . . Cho A là một toán tử tuyến tính trong H thỏa mãn các điều kiện sau
1. D(A) trù mật trong X;
2. Tồn tại một số thực ω sao cho Re x, Ax ≤ ω x, x với mọi x ∈ D(A);
3. Tồn tại số thực λ0 > ω sao cho A − λ0 I là toán ánh.
Khi đó A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {etA }t≥0 và etA ≤ eωt .
Chứng minh. Xem chứng minh trong [10, Tr. 407].

6


1.2.4

Nửa nhóm giải tích

Cho X là khơng gian Banach. Một hàm U (z) nhận giá trị trong L(X), xác định
trên miền quạt
π
2
được gọi là một nửa nhóm giải tích trên X nếu nó thỏa mãn
Σφ = {z ∈ C : | arg z| < φ}, 0 < φ <

1. U (z) là một hàm giải tích trong Σφ ;

2. U (z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U (z + z ) = U (z)U (z ) với mọi z, z ∈ Σφ ;
3. Với bất kì φ sao cho 0 < φ < φ, U (z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi
Σφ \ {0}

z → 0.

Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U (0) = 1. Vì nửa nhóm giải tích U (z)
trong Σφ có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nên
một cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U (z)
có thể mở rộng lên được. Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U (z) và kí hiệu nó là
φU .
Xét tốn tử tuyến tính A đóng, xác định trù mật trong X, có phổ σ(A) thỏa mãn
σ(A) ⊂ β + Σω ,

−∞ < β < ∞, 0 < ω <

π
.
2

(1.4)

Ngoài ra, giả sử thêm rằng tồn tại hằng số Mω ≥ 1 sao cho
(λ − A)−1 ≤

Mω
,
|λ − β|

λ∈

/ β + Σω .

(1.5)

Ta có định lý sau.
Định lý 1.2.3. Cho A là tốn tử đóng, xác định trù mật trong X, thỏa mãn (1.4)
và (1.5). Khi đó, e−zA là một nửa nhóm giải tích xác định trong Σ π2 −ω , thỏa mãn ước
lượng
e−zA ≤ Cφ e−(β+δφ )|z| ,

z ∈ Σφ , 0 < φ <

với các hằng số δφ > 0 và Cφ ≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ.
Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119].

7

π
− ω,
2

(1.6)


1.3

Nội suy không gian Banach

Với X0 , X1 là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là

.

X0 ,

.

X1 .

Giả sử X1 được nhúng trù mật và liên tục vào X0 . Cho S là dải
S = {z : 0 < Rez < 1}
trong mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu H(X0 , X1 ) là khơng gian tất cả các hàm giải tích
như sau
1. F (z) là một hàm giải tích trong S, nhận giá trị trong X0 ;
¯ nhận giá trị trong X0 ;
2. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục trong S,
3. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục theo biến z = 1 + iy, nhận giá trị trong X1 .
Trên H(X0 , X1 ) ta đưa vào chuẩn
F

H

= max

sup

F (iy)

−∞
X0 ,

sup
−∞
F (1 + iy)

X1

.

Với chuẩn này H(X0 , X1 ) là một không gian Banach (xem [13, Định lý 1.9.1]).
Cho θ là một số không âm thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ 1, ta định nghĩa không gian [X0 , X1 ]θ
như sau
[X0 , X1 ]θ = {U ∈ X0 : tồn tại hàm F ∈ H(X0 , X1 ) sao cho U = F (θ)}.
Trên [X0 , X1 ]θ ta đưa vào chuẩn
U

θ

=

inf

F ∈H,F (θ)=U

F

H.

Khi đó [X0 , X1 ]θ là một không gian Banach và được gọi là Không gian nội suy từ X1 ,

X0 (xem [13, Định lý 1.9.2]). Sau đây là vài tính chất cơ bản của các Không gian nội
suy, chứng minh chi tiết xem [13, Định lý 1.9.3].
1. [X0 , X1 ]0 = X0 và [X0 , X1 ]1 = X1 ;
2. Với 0 < θ < 1, X1 ⊂ [X0 , X1 ]θ ⊂ X0 , các phép nhúng ở đây là liên tục, trù mật;
1−θ
3. Với 0 < θ < 1, bất đẳng thức ||U ||θ ≤ ||U ||X
||U ||θX1 đúng cho mọi U ∈ X1 ;
0

4. Với 0 ≤ θ < θ ≤ 1, [X0 , X1 ]θ ⊂ [X0 , X1 ]θ , phép nhúng ở đây là liên tục.

8


1.4

Khơng gian và các tốn tử liên hợp

1.4.1

Khơng gian đối ngẫu

Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Coi C như một không gian Banach
với chuẩn thông thường, xét không gian Banach L(X, C) với chuẩn
||Φ|| = sup |Φ(F )|,

Φ ∈ L(X, C).

F ≤1

Ta thường kí hiệu khơng gian này là X và gọi nó là khơng gian đối ngẫu của X. Mỗi
tốn tử tuyến tính trong X được gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Tuy nhiên
để thuận tiện thay vì xét phép nhân vô hướng thông thường, trên X ta sẽ xét phép
nhân vô hướng sau
(αΦ)(F ) = α
¯ Φ(F ) với mọi α ∈ C, Φ ∈ X , F ∈ X.
Vì X là một khơng gian Banach, ta có thể xét khơng gian đối ngẫu X của X . Khi
đó tốn tử ι từ X vào X xác định bởi
F ∈ X, Φ ∈ X .

(ι F )(Φ) = Φ(F ),

là một ánh xạ tuyến tính bảo tồn chuẩn từ X vào X . Khi ι là toàn ánh, tức là
ι(X) = X , X được gọi là không gian Banach phản xạ. Kết quả sau đây là một hệ quả
của Định lý Hahn-Banach mở rộng. Nó được sử dụng để xây dựng không gian liên hợp
của X. Chứng minh chi tiết có trong [15, Tr 108].
Định lý 1.4.1. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó với mọi F ∈ X, F = 0
tồn tại một phiếm hàm Φ ∈ X sao cho Φ(F ) = F và ||Φ|| = 1.

1.4.2

Không gian liên hợp

Giả sử X và Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là .
Một hàm nhận giá trị phức ., .

X×Y

X,

.

xác định trên khơng gian tích X × Y được gọi là

một dạng tựa tuyến tính nếu nó thỏa mãn
αF + β F , G X×Y = α F, G X×Y + β F , G X×Y , α, β ∈ C, F, F ∈ X, G ∈ Y,
F, αG + β G X×Y = α
¯ F, G X×Y + β¯ F, G X×Y , α, β ∈ C, F ∈ X, G, G ∈ Y.
Dạng tựa tuyến tính ., .
1. | F, G

X×Y |

≤ F

X×Y

X

G

này được gọi là một tích đối ngẫu nếu nó thỏa mãn
Y,

Y.

F ∈ X, G ∈ Y ;

9

2. F

X

= sup

G

Y

3. G

Y

= sup

F

X ≤1

≤1

Khi có tích đối ngẫu ., .
X với tích đối ngẫu ., .

| F, G

X×Y |,

F ∈ X;

| F, G

X×Y |,

G ∈ Y.

X×Y

X×Y

giữa X và Y, thì Y được gọi là khơng gian liên hợp của
và được ký hiệu là X ∗ . Dễ thấy nếu Y là khơng gian liên

hợp của X với tích đối ngẫu ., .
đối ngẫu ., .

1.4.3

X×Y

thì X cũng là khơng gian liên hợp của Y với tích

Y ×X .

Tốn tử liên hợp

Cho {X, X ∗ } (tương ứng {Y, Y ∗ }) là một cặp không gian Banach liên hợp với tích
đối ngẫu ., .

X×X ∗

(tương ứng ., .

Giả sử A là một tốn tử tuyến tính xác định

Y ×Y ∗ ).

trù mật từ không gian con D(A) ⊂ X vào Y . Lấy một toán tử A∗ xác định trong
D(A∗ ) ⊂ Y ∗ và nhận giá trị trong X ∗ như sau. Một véctơ Ψ ∈ Y ∗ nằm trong D(A∗ )
khi và chỉ khi tồn tại một véctơ Φ ∈ X ∗ sao cho AU, Ψ

Y ×Y ∗

= U, Φ

X×X ∗

với mọi

U ∈ D(A). Vì D(A) trù mật trong X nên Φ như vậy được chọn một cách duy nhất.
Với mỗi Ψ ∈ D(A∗ ), chúng ta đặt A∗ Ψ = Φ. Từ đây,
U, A∗ Ψ

X×X ∗

= AU, Ψ

Y ×Y ∗

với mọi U ∈ D(A), Ψ ∈ D(A∗ ).

Dễ dàng kiểm tra được rằng D(A∗ ) là một khơng gian con tuyến tính của Y ∗ và A∗ là
một tốn tử tuyến tính. Tốn tử A∗ này được gọi là liên hợp của A đối với các cặp liên
hợp {X, X ∗ } và {Y, Y ∗ }. Nếu A bị chặn thì A∗ cũng bị chặn, hơn nữa A = A∗ .
Ngoài ra nếu X và Y là các không gian Banach phản xạ, ta có định lý sau.
Định lý 1.4.2 ([14], Tr. 21). Giả sử X, Y là các không gian Banach phản xạ và các
cặp liên hợp {X, X ∗ }, {Y, Y ∗ }. Nếu A là một tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào
Y , thì A∗ là một tốn tử tuyến tính liên tục từ Y ∗ vào X ∗ . Hơn nữa A∗ = A và
A∗∗ = A.
Trong trường hợp X = Y , X ∗ = Y ∗ và cặp liên hợp là {X, X ∗ } với tích đối ngẫu
., . , ta có kết quả sau.
Định lý 1.4.3 ([14], Tr. 21-22). Cho X là một không gian Banach phản xạ và {X, X ∗ }
là một cặp liên hợp. Nếu A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X,
thì A∗ cũng là một tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X ∗ . Hơn nữa A và
A∗ thỏa mãn các tính chất sau
1. A∗∗ = A;
10


¯ ∈ ρ(A);
2. λ ∈ ρ(A∗ ) khi và chỉ khi λ
¯ − A)−1 ]∗ .
3. Nếu λ ∈ ρ(A∗ ), thì (λ − A∗ )−1 = [(λ
Chú ý khi A∗ = A, A được gọi là toán tử tự liên hợp.

1.5

Ngoại suy không gian Banach

Xét hai không gian Hilbert Z và X với các tích trong ((., .)), (., .) và các chuẩn
tương ứng . , | . |. Giả sử rằng Z được nhúng trù mật, liên tục vào X. Kết quả trong
[14, Tr. 23] chỉ ra sự tồn tại duy nhất của một khơng gian Banach, kí hiệu là Z ∗ , thỏa
mãn các điều kiện sau
1. Z ⊂ X ⊂ Z ∗ với các phép nhúng trù mật và liên tục;
2. {Z, Z ∗ } tạo thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., . ;
3. Tích đối ngẫu ., . thỏa mãn
U, F = (U, F ) với mọi U ∈ Z, F ∈ X.
Ta gọi không gian Z ∗ này là Không gian ngoại suy từ Z ⊂ X và bộ ba không gian
Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba. Theo định nghĩa của tích đối ngẫu, tích trong ., . phải
thỏa mãn
| U, Φ | ≤ U

Φ ∗,

U ∈ Z, Φ ∈ Z ∗ ,

U = sup | U, Φ |,
Φ

Φ

∗

U ∈ Z,

∗ ≤1

= sup | U, Φ |,

Φ ∈ Z ∗,

U ≤1

ở đây .

∗

là chuẩn trên Z ∗ . Ngoài ra, ta cũng thấy rằng với U, V ∈ Z
U, V

Z ∗ ×Z

= V, U

U, V

Z×Z ∗

Z×Z ∗

= (V, U ) = (U, V ) = U, V

Z×Z ∗ ,

tức là
= (U, V ) = U, V

Z ∗ ×Z ,

U, V ∈ Z.

(1.7)

Liên quan đến tính chất ngoại suy của khơng gian Hilbert, ta có định lý sau.
Định lý 1.5.1. Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba không gian. Nếu A là một toán tử tự
liên hợp bị chặn trên X và là một tốn tử tuyến tính bị chặn trên Z, thì A mở rộng
được trên Z ∗ thành một toán tử tuyến tính bị chặn với ước lượng A
11

L(Z ∗ )

≤ A

L(Z) .


Chứng minh. Với F ∈ X bất kì, ta có
AF

∗

= sup | U, AF | = sup |(U, AF )| = sup |(AU, F )| ≤ A
U ≤1

U ≤1

L(Z)

F

∗.

U ≤1

Vì X trù mật trong Z ∗ , A được mở rộng một cách duy nhất lên Z ∗ thành một tốn
tử bị chặn.

1.6

Tốn tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến
tính

1.6.1

Dạng tựa tuyến tính và tốn tử liên kết

Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba. Theo định nghĩa {Z, Z ∗ } là một cặp liên hợp. Trong
mục này ta sử dụng tích đối ngẫu ., .
., .

Z×Z ∗ .

Z ∗ ×Z

thay vì ., .

Z×Z ∗ ,

tất nhiên ., .

Z ∗ ×Z

=

Xét dạng tựa tuyến tính a(U, V ) trên Z × Z.

Nếu với mọi U, V ∈ Z, tồn tại hằng số dương M sao cho
|a(U, V )| ≤ M U

V ,

(1.8)

thì a(U, V ) được gọi là một dạng liên tục. Rõ ràng (1.8) suy ra a(Un , Vn ) → a(U, V )
nếu Un → U và Vn → V đồng thời trong Z. Giả sử a(U, V ) là một dạng liên tục trên
Z. Với mỗi U ∈ Z, a(U, .) là phiếm hàm liên tục trong Z. Theo Định lý 1.17 trong [14]
ta tìm được duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho a(U, V ) = V, Φ

Z×Z ∗ ,

tức là tìm được duy nhất

Φ ∈ Z ∗ để a(U, V ) = Φ, V với mọi V ∈ Z. Như vậy tương ứng A : U → Φ là một
tốn tử tuyến tính từ Z vào Z ∗ . Tương ứng này được gọi là toán tử liên kết với dạng
a(U, V ). Nó thỏa mãn
a(U, V ) = AU, V ,

U, V ∈ Z.

(1.9)

Dễ thấy A là một tốn tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn ước lượng
AU

∗

= sup | AU, V | ≤ M U ,

U ∈ Z.

V ≤1

Nếu với mọi U ∈ Z, tồn tại hằng số dương δ sao cho
Re a(U, U ) ≥ δ U

2

,

(1.10)

thì a(U, V ) được gọi là một dạng bức. Hiển nhiên từ (1.10) suy ra rằng nếu a(U, U ) = 0
thì U = 0.
Sau đây ta phát biểu Định lý Lax-Milgram. Chứng minh chi tiết định lý này có
trong [15, Tr. 92].
12

Định lý 1.6.1. Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z. Khi đó với bất kì
Ψ ∈ Z , tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U ) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z.
Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là một
đẳng cấu từ Z tới Z ∗ .
Định lý 1.6.2 ([14], Tr. 26). Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính thỏa mãn (1.8),
(1.10). Gọi A là tốn tử liên kết với dạng này. Khi đó A là một đẳng cấu từ Z tới Z ∗
với đánh giá δ U ≤ AU

∗

≤ M U . Ngoài ra, A là tốn tử tuyến tính đóng và xác

định trù mật trong Z ∗ .
Cuối cùng ta nói về Hạn chế của A lần lượt trên X và Z. Theo định nghĩa, do
D(A) ⊂ X, Hạn chế của toán tử A trong X được cho bởi
D(A|X ) = {U ∈ Z, AU ∈ X},
A|X U = AU.
Từ định nghĩa của Không gian ngoại suy, ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|X ) thì a(U, V ) liên
tục theo V đối với chuẩn trong X. Hơn nữa, nếu U ∈ D(A|X ) thì a(U, V ) = (A|X U, V )
với mọi V ∈ Z. Một cách tương tự, vì Z = D(A), Hạn chế của A trong Z được cho bởi
D(A|Z ) = {U ∈ Z, AU ∈ Z},
A|Z U = AU.
Từ (1.7), ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|Z ) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong
Z ∗ . Hơn nữa khi U ∈ D(A|Z ), ta có a(U, V ) = U, V

1.6.2

Z×Z ∗

với mọi V ∈ Z.

Dạng liên hợp và toán tử liên hợp

Khi a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức, các Hạn chế A|X và A|Z
của toán tử liên kết A đối với dạng này là các tốn tử đóng, xác định trù mật tương
ứng trong X và Z. Thật vậy, xét dạng tựa tuyến tính a∗ (U, V ) như sau
a∗ (U, V ) = a(V, U ),

(U, V ) ∈ Z × Z.

Ta gọi a∗ (U, V ) là dạng liên hợp của a(U, V ). Rõ ràng a∗ (U, V ) cũng liên tục và bức
trên Z. Gỉa sử B là toán tử liên kết với a∗ (U, V ). Như đã chỉ ra trong mục trước,
dưới các Giả thiết (1.8) và (1.10), B là tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật
trong Z ∗ và thỏa mãn a(U, V ) = a∗ (V, U ) = BV, U với mọi U, V ∈ Z. Hơn nữa,
AU, V = a(U, V ) = U, BV với mọi U, V ∈ Z. Theo (1.7), rõ ràng A|Z là toán tử
liên hợp B ∗ của B ứng với cặp đối ngẫu {Z, Z ∗ }. Thật vậy, U = B ∗ U khi và chỉ khi
13


U, V

Z×Z ∗

= U , BV

với mọi V ∈ Z; tuy nhiên theo tính chất của tốn tử B vừa

định nghĩa ở trên, U = B ∗ U khi và chỉ khi U, V

Z ∗ ×Z

= AU , V với mọi V ∈ Z; tóm

lại, U = B ∗ U khi và chỉ khi U = AU ∈ Z và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.6.3. Cho A là tốn tử tuyến tính liên kết với a(U, V ). Giả sử các Điều
kiện (1.8) và (1.10) được thỏa mãn. Khi đó A|X , A|Z là các tốn tử đóng, xác định
trù mật tương ứng trong X và Z. Ngồi ra các tốn tử liên hợp A∗ và (A|Z )∗ ứng với
cặp {Z, Z ∗ } tương ứng là B|Z và B. Trong khi đó, tốn tử liên hợp (A|X )∗ ứng với cặp
{X, X} là B|X .
Chứng minh. Vì A|Z = B ∗ , tính trù mật của D(A|Z ) trong Z thu được trực tiếp từ
Định lý 1.4.3. Mặt khác, D(A|Z ) ⊂ D(A|X ) và Z trù mật trong X nên D(A|X ) trù mật
trong X.
Lập luận tương tự như đối với A|Z = B ∗ , ta thấy A|X là toán tử liên hợp (B|X )∗
của B|X đối với cặp liên hợp {X, X}. Khẳng định còn lại suy ra trực tiếp từ (1) trong
Định lý 1.4.3.

1.7

Không gian Sobolev-Lebesgue

1.7.1

Biên của miền

Cho Ω là một tập mở trong Rn . Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứng
Lipschitz, thuộc lớp Cm (m = 1, 2, 3, . . .)) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V
của x trong Rn và một hệ tọa độ trực giao mới (y1 , . . . , yn ) sao cho
1. V là một hình hộp trong hệ tọa độ mới:
V = {(y1 , . . . , yn ); −ai < yi < ai , i = 1, . . . , n};
2. Tồn tại một hàm ϕ liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp Cm ) xác định trong

V = {(y1 , . . . , yn−1 ); −ai < yi < ai , i = 1, . . . , n − 1}
thỏa mãn
|ϕ(y )| ≤ an /2 với mọi y = (y1 , . . . , yn−1 ) ∈ V ,
Ω ∩ V = {y = (y , yn ) ∈ V ; yn > ϕ(y )},
∂Ω ∩ V = {y = (y , yn ) ∈ V ; yn = ϕ(y )};
3. ϕ

C(V )

≤ c (tương ứng ϕ

Lip(V )

≤ c, hoặc ϕ

c > 0 nào đó.
14

Cm (V )

≤ c) với một hằng số


1.7.2

Không gian Sobolev với cấp nguyên

Cho Ω là một tập mở trong Rn . Với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, . . ., kí hiệu Hpk (Ω) là
không gian các hàm u thuộc lớp Lp (Ω) sao cho các đạo hàm riêng Dα u đến cấp k đều
thuộc Lp (Ω) theo nghĩa phân bố, ở đây α = (α1 , α2 , . . . , αn ) là một đa chỉ số và cấp

của đạo hàm riêng Dα u là số |α| = α1 + α2 + . . . + αn . Ta trang bị cho Hpk (Ω) chuẩn
u

Hpk

p
Lp

Dα u

=

1
p

,

u ∈ Hpk (Ω).

|α|≤k

Với chuẩn này Hpk (Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt khi p = 2, H2k (Ω) là một
không gian Hilbert với tích trong
u, v

H2k

Dα u, Dα v

=

L2 ,

u, v ∈ H2k (Ω).

|α|≤k

Trong trường hợp Ω là tập Rn+ = x = (x , xn ) : x ∈ Rn−1 , xn > 0 hoặc là một
miền bị chặn trong Rn với biên Lipchitz, theo các Định lý 5 và 5’ trong [12], ta có thể
xây dựng một tốn tử mở rộng biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn .
Định lý 1.7.1. Giả sử Ω là Rn+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz.
Khi đó tồn tại một tốn tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn
với các tính chất sau
1. (Cu)|Ω = u;
2. C là một toán tử liên tục từ Hpk (Ω) vào Hpk (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞, k = 0, 1, 2, . . .) thỏa
mãn
Cu

Hpk (Rn )

≤ Ap,k u

Hpk (Ω) ,

ở đây Ap,k > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và k.

1.7.3

Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn

Khi 1 < p < ∞, không gian Sobolev Hpk (Ω) có thể được mở rộng cho trường hợp
các cấp k không nguyên. Trong mục này, chúng ta xét Ω = Rn . Giả sử s ≥ 0, kí hiệu
Hps (Rn ) là khơng gian các hàm có tính chất như sau
s

Hps (Rn ) = {u ∈ S(Rn ) : F −1 [(1 + |ξ|2 ) 2 Fu] ∈ Lp (Rn )},
ở đây S(Rn ) là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, F, F −1 tương ứng là phép
biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier ngược trên S(Rn ) . Hps (Rn ) là một không gian
Banach với chuẩn
u

s

Hps

= F −1 [(1 + |ξ|2 ) 2 Fu]
15

Lp ,

u ∈ Hps (Rn ).


Khi s nguyên, không âm, người ta chứng minh được rằng hai định nghĩa của Hpk (Rn )
và Hps (Rn ) thật ra là tương đương.
Khi p = 2, H2s (Rn ) là khơng gian Hilbert với tích trong
s

s

(u, v)H2s = (1 + |ξ|2 ) 2 Fu, (1 + |ξ|2 ) 2 Fv

L2

,

u, v ∈ H2s (Rn ).

Hơn nữa, với s = k + σ, k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn của H2s (Rn )
tương đương với
u

H2s

= u

L2

+
|α|≤k

Rn ×Rn

|Dα u(x) − Dα u(y)|2
dx dy
|x − y|n+2σ

1
2

,

u ∈ H2s (Rn )

(xem [13, Tr. 15]).

1.7.4

Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn+ hoặc trong một
miền bị chặn

Giả sử Ω là Rn+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz. Với 1 < p < ∞
và s ≥ 0, Hps (Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hạn chế u của các hàm trong Hps (Rn )
trên Ω, tức là một hàm u ∈ Lp (Ω) nằm trong Hps (Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm
U ∈ Hps (Rn ) sao cho U|Ω = u hầu khắp nơi trong Ω. Với u ∈ Hps (Ω), chuẩn trong Hps
của nó được định nghĩa là
u

Hps (Ω)

=

inf

U ∈Hps (Rn ), U|Ω =u

U

Hps (Rn ) .

Theo chuẩn này Hps (Ω) là một không gian Banach. Thật vậy, vì K = U ∈ Hps (Rn ) :
U = 0 trong Ω là một không gian con đóng của Hps (Rn ), nên Hps (Ω) thực chất là
không gian thương Hps (Rn )/K. Theo Định lý 1.7.1, ta thấy định nghĩa này là phù hợp
với định nghĩa của chuẩn ở phần trước khi s là một số nguyên.
Khi p = 2 và s = k + σ, trong đó k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn
của H2s (Ω) tương đương với
||u||H2s = ||u||L2 +
|α|≤k

Ω×Ω

|Dα u(x) − Dα u(y)|2
dxdy
|x − y|n+2σ

1
2

,

u ∈ H2s (Ω)

(1.11)

(xem trong [13, Chú ý 4.4.2/2]). Ta cũng thấy rằng với 0 < s0 < s1 < ∞
Hps1 (Ω) ⊂ Hps0 (Ω) ⊂ Lp (Ω), ở đây các phép nhúng là liên tục.
Các không gian Hps (Ω) này được gọi bằng các tên khác nhau. Khi bậc k nguyên,
Hpk (Ω) được gọi là không gian Sobolev. Khi p = 2, H2s (Ω) thường được viết gọn là
H s (Ω) và cũng được gọi là không gian Sobolev. Khi 1 < p < ∞, p = 2, Hps (Ω) được
gọi là không gian Lebesgue.

16


1.7.5

Các định lí nhúng

Theo Định lý 2.8.1/Chú ý 2 và Định lý 4.6.1 trong [13] ta thu được kết quả sau.
Định lý 1.7.2. Cho Ω là Rn , Rn+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử
1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞. Ta có các khẳng định sau
1. Nếu 0 ≤ s <

n
pn
và p ≤ r ≤
thì
p
n − ps
Hps (Ω) ⊂ Lr (Ω) với phép nhúng liên tục.

2. Nếu s =

(1.12)

n
và p ≤ r < ∞ thì
p
n

3. Nếu s >

Hps (Ω) ⊂

Hpp (Ω) ⊂ Lr (Ω) với phép nhúng liên tục.

(1.13)

C(Rn ) (tương ứng C(Rn+ )), khi Ω = Rn (tương ứng Rn+ ),
C(Ω),
khi Ω bị chặn.

(1.14)

n
, thì
p

Đặc biệt khi Ω bị chặn, phép nhúng ở đây là liên tục.

1.7.6

Vết
n
, từ (1.14) ta thấy rằng
p
xác định từ H s (Rn+ ) đến C(∂Rn+ ),

Trước hết xét trường hợp Ω = Rn+ . Nếu 1 < p < ∞ và s >
H s (Rn+ ) ⊂ C(Rn+ ). Do đó, tốn tử vết γ : f → f|∂Rn+

ở đây ∂Rn+ = {x = (x , 0); x ∈ Rn−1 }. Nếu s > p1 , γ mở rộng được thành một toán tử

bị chặn từ Hps (Rn+ ) đến Lp (∂Rn+ ) (xem [13, Định lý 2.9.3]).
Trong mục này ta sẽ giới thiệu một số mở rộng của những kết quả trên khi Ω là
Rn+

hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Chứng minh những kết quả có trong

[14, Tr. 46]. Nhắc lại rằng D(Ω) là không gian các hàm khả vi vơ hạn có giá compact
trong Ω.
Định lý 1.7.3. Cho Ω là Rn+ hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử 1 <
1
p < ∞. Nếu s > , thì vết γ : f → f|∂Ω là một tốn tử bị chặn từ Hps (Ω) lên Lp (∂Ω).
p
Định lý 1.7.4. Cho Ω là Rn+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipchitz và 1 < p < ∞.
1
Nếu 0 ≤ s ≤ , không gian D(Ω) trù mật trong Hps (Ω).
p
1
Định lý 1.7.5. Cho Ω là miền như trong Định lý 1.7.4 và 1 < p < ∞. Với 0 ≤ s < ,
p
n
tương ứng f → f , ở đây f = f trong Ω và f = 0 trong R − Ω, là một toán tử bị chặn
từ Hps (Ω) vào Hps (Rn ).
17


Khi

1
< s ≤ 1, theo Định lý 1.42 trong [14], ta có kết quả sau.
p

Định lý 1.7.6. Cho Ω là miền như trong hai định lý trên và 1 < p < ∞. Nếu
1
< s ≤ 1, một hàm u ∈ Hps (Ω) thuộc bao đóng của D(Ω) trong Hps (Ω) khi và chỉ khi
p
u|∂Ω = 0.

1.7.7

˚ps (Ω) và H−s
Không gian H
p (Ω)

˚s (Ω) là bao đóng của tập D(Ω) trong không gian
Với 1 < p < ∞ và s ≥ 0, kí hiệu H
p
s
s
˚
Hp (Ω). Ta thấy u ∈ Hp (Ω) khi và chi khi có một dãy {un } ⊂ D(Ω) sao cho un → u
˚ps (Rn ) = Hps (Rn ) với mọi 0 ≤ s < ∞. Khi Ω là Rn+ hoặc
trong Hps (Ω). Khi Ω = Rn , H
là một miền bị chặn với biên Lipchitz thì theo Định lý 1.7.4
˚s (Ω) = H s (Ω) nếu 0 ≤ s ≤ 1 ,
H
p
p
p

(1.15)

nhưng
˚s (Ω) = H s (Ω) nếu 1 < s < ∞.
H
p
p
p
Định lý 1.7.6 dẫn đến
˚ps (Ω) = u ∈ Hps (Ω); u|∂Ω = 0
H

nếu

1
< s ≤ 1.
p

(1.16)

˚2s (Ω) được viết gọn là H
˚s (Ω). Khi s ≥ 0, không gian đối
Khi p = 2, không gian H
1
1
˚s (Ω), H−s
˚s (Ω) là H−s
+ = 1. Vì vậy {H
ngẫu của H
p (Ω)}
p (Ω), ở đây 1 < p < ∞,

p
p
p p
˚s (Ω) × H−s
lập thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., . H˚s ×H−s
trên H
p (Ω). Mặt
p
p
p
˚s (Ω) nên H−s
˚s
khác do D(Ω) được nhúng trù mật trong H
p (Ω) = H (Ω) ⊂ D(Ω) . Như
p

vậy ta có Lp (Ω) ⊂

H−s
p (Ω)

u, f

p

theo quan hệ

˚s ×H−s
H
p

p

= u, f

Lp ×Lp ,

˚ps (Ω), f ∈ Lp (Ω).
u∈H

(1.17)

−s
Khi p = p = 2, H−s
2 (Ω) được viết gọn là H (Ω). Chú ý rằng ba không gian

˚s (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H−s (Ω),
H

0
lập thành một Bộ ba.
Khi Ω = Rn , Hp−s (Ω) được cho bởi
s

Hp−s (Rn ) = {f ∈ S(Rn ) : F −1 [(1 + |ξ|2 )− 2 Ff ] ∈ Lp (Rn )},
Theo [13, Định lý 2.6.1], với bất kì −∞ < s < ∞,
(Hps (Rn )) = Hp−s (Rn )
18

1

1
+ =1 .
p p

(1.18)


1.7.8

Khơng gian tích

Cho Ω là Rn , Rn+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Với 1 ≤ p ≤ ∞,
khơng gian tích Lp (Ω) được định nghĩa như sau


f1


Lp (Ω) = F =  ...  ; fj ∈ Lp (Ω) với j = 1, . . . , l .
fl

(1.19)

Trên khơng gian này lấy chuẩn tích ||F ||Lp = max{||f1 ||Lp , . . . , ||fl ||Lp } nếu 1 ≤ p < ∞
và ||F ||L∞ = max{||f1 ||L∞ , . . . , ||fl ||L∞ } nếu p = ∞.
Tương tự với 1 < p < ∞ và s ≥ 0, khơng gian tích Hsp (Ω) được định nghĩa bởi


Hsp (Ω) =


u1


U =  ...  ; uj ∈ Hps (Ω) với j = 1, . . . , l
ul

(1.20)

với chuẩn tích ||U ||Hsp = max{||u1 ||Hps , ..., ||ul ||Hps }.
Những kết quả liên quan đến Lp (Ω) và Hps (Ω) một cách tự nhiên cũng đúng cho
Lp (Ω) và Hsp (Ω). Ví dụ khi p = 2, L2 (Ω) và Hs (Ω) = Hs2 (Ω) là các không gian Hilbert.

19


Chương 2
Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử
lũy thừa
2.1
2.1.1

Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản
Định nghĩa tốn tử quạt

Cho X là không gian Banach với chuẩn

. , A là tốn tử tuyến tính đóng, xác

định trù mật trong X. Giả sử rằng tập phổ của A được chứa trong miền quạt mở

σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C : |argλ| < ω}, 0 < ω ≤ π,

(2.1)

và giải thức của nó thỏa mãn ước lượng
(λ − A)−1 ≤

M
,
|λ|

λ∈
/ Σω

(2.2)

với hằng số M ≥ 1. Khi đó A được gọi là toán tử quạt trong X. Điều kiện (2.1) suy
ra 0 ∈
/ σ(A), hay nói cách khác A có nghịch đảo bị chặn trong X. Theo (1.2), ta có
λ ∈ ρ(A) và
(λ − A)−1 ≤

A−1
, miễn là |λ| < A−1
1 − A−1 |λ|

−1

.

(2.3)

Tương tự đối với λ0 = r0 e±iω , r0 > 0, ta thấy
λ ∈ C : |λ − λ0 | <

r0
M

⊂ ρ(A)

và
(λ − A)−1 ≤
Vì inf argλ : |λ − λ0 | <

M
r0
, với mọi λ miễn là |λ − λ0 | <
.
r0 − M |λ − λ0 |
M
r0
M

= sin−1

1
,
M

nên với ω thỏa mãn ω − sin−1

1
M

< ω < ω, ta

có
σ(A) ⊂ Σω = λ ∈ C; |argλ| < ω ,
20

(2.4)