Chuyen de phuong trinh bac nhat mot an DAI SO 8 chuong 3

Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Chun đề: Phương trình bậc nhất- Đại số 8- Chương 3
Kiến thức cơ bản

a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b > 0 (
hoặc ax + b < 0 : ax + b ≥ 0 ; ax + b ≤ 0 ) trong đó x là ẩn a , b là các số đã cho
a ≠0
b) Bất phương trình tương đương
ĐN : hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng một
tập hợp nghiệm .
Các phép biến đổi tương đương
+ Định lí 1 : Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất
phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương .
- Hệ quả 1 ; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương
trình thì được một bất phương trình tương đương .
- Hệ quả 2 : Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó
thì được một bất phương trình tương đương .
+ Định lí 2 :
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì được một
bất phương trình tuơng đương .
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi chiều của
bất phương trình thì được một bất phương đương

2- Các dạng bài tập
Dạng 1 : Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau .
a) x – 4 < - 8
b)x+3>-6
c ) -2x > -3x +d ) -4x -2 > -5x +6

Với bài tập này học sinh có thể giải rễ ràng bằng cách sử dụng các phếp biến
đổi tương đương .
1


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Giải

a ) x – 4 < - 8 ↔ x < -8 + 4 ↔ x < - 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x / x < - 4 }
b ) x + 3 > - 6 ↔ x > - 6 – 3 ↔ x > -9
Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình đã cho là S = {x / x > - 9 }
c ) -2x > - 3x + 3 ↔ -2x + 3x > 3 ↔x > 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x / x > 3 }
d) – 4x – 2 .> -5x + 6 ↔ - 4x + 5x > 6 + 2 ↔ x > 8
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là : S = {x / x > 8 }

Bài 2 : Giaỉ các bất phương trình sau ;
a ) (x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) +4
b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x + 8) + 26
Bài tập này sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x
khơng là bậc nhất nên không biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một
gợi ý nhỏ cho các em : Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn .

Giải
a) ( x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) + 4
↔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4
↔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0 ↔ x > 0 hoặc x < 0.
Sau khi giải đến bất phương trình x2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi như

sau ; x2 > 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu nghiệm của
bất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số ,
biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm các
gía trị của x để x2 > 0 ta đưa về tìm x để x2 = 0 khi đó những giá trị cịn lại
của x sẽ làm cho x2 > 0 .
b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26
↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26
↔0 > 2 ( vơ lí )
→ Bất phương trình vơ nghiệm .
2


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm :
Bước 1 : Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình .
Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế , các hạng tử bằng số
sang một vế rồi thu gọn bất phương trình
Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn.

Bài 3 : Giải các bất phương trình sau :
1 − 2 x
1 − 5 x
− 2 ≤
4
8
x − 1
x + 1
b :
− 1 ≥

+ 8
4
3
a :

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc điểm gì và
gợi ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu .

Giải
1− 2x
1− 5x
2 − 4 x − 16 1 − 5 x
−2≤
⇔
≤
⇔ 2 − 4 x − 16 ≤ 1 − 5 x
4
8
8
8
⇔ − 4 x + 5 x ≤ 14 + 1 ⇔ x ≤ 15
a;

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = {x / x ≤ 15}
b)

x −1
x +1
3 x − 3 − 12 4 x + 4 + 96
−1 ≥

+8⇔
≥
4
3
12
12
⇔ 3 x − 4 x ≥ 100 + 15 ⇔ − x ≥ 115 ⇔ x ≤ − 115

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; S = {x / x ≤ -115}
Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có
chứa mẫu :
Bước 1 : Quy đồng và khử mẫu
Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số
sang một vế và thu gọn bất phương trình .
Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn .

Bài 4 : Giải bất phương trình :
mx + 1 ≥ m2 + x ( với m là tham số )
3


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường
mx + 1 ≥ m2 + x ⇔ mx − x ≥ m 2 − 1 ⇔ ( m − 1) x ≥ ( m − 1)( m + 1)

Đến bước này sẽ có nhiều em vội vàng suy ra x ≥ ( m + 1 ) bàng cách chia (m1)(m+1) cho (m-1) mà quên mất điều kiện để một phép chia có nghĩa là số chia
phải khác không và quy tắc chia hai vế của bất phương trình cho một số âm
phải đổi chiều bất phương trình . Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân
chia trường hợp của m- 1 là ( m-1) > 0 ; (m – 1 ) <0 ; ( m- 1 ) = 0 và học sinh

có thể giải tiếp như sau :
+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1
+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1
+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giá
trị của x.

Bài 5 : Giải bất phương trình ( với a là hằng số ) .
x +1
+ ax
a

>

x+2
− 2x
a

Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để cho
mẫu có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình .

Giải
Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0
x +1
+ ax
a
⇔

>

x 1

+ + ax
a a

⇔ ax + 2 x

>

x+2
− 2x
a

>

x 2
+ − 2x
a a

2 1
−
a a

⇔ (a + 2) x >

1
a

- Nếu a > - 2 : a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là : x >
- Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là : x <
- Nếu a = -2 thì bất phương trình có dạng 0x > -

Bài 6 : Giải bất phương trình :
4

1
2

1
a (a + 2)

1
a (a + 2)

nghiệm đúng với mọi x


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

x + 2 x + 5 x + 8 x + 11
+
>
+
89
86
83
80
Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc
đó là quy đồng , rút gọn rồi mới giải bất phương trình , làm như vậy thì các em
sẽ khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành
x
2

x
5
x
8
x
11
+
+
+
>
+
+
+
89 89 86 86 83 83 80 80
Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về
mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng dẫn học sinh tạo ra
các phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng thêm vào mỗi phân thức với 1
khi đó ta có :

x + 2 x + 5 x + 8 x + 11
+
>
+
89
86
83
80
x+2
  x+5
  x+8

  x + 11

⇔
+ 1 + 
+ 1 > 
+ 1 + 
+ 1
 89
  86
  83
  80

x + 91 x + 91 x + 91 x + 91
⇔
+
>
+
89
86
83
80
1
1
1 
 1
⇔ ( x + 91 ) 
+
−
−
>0

 89 86 83 80 
⇔ x + 91 < 0
⇔ x < − 91

Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì cịn
những bài tốn mà để giải được nó thì phải đưa về bài tốn giải bất phương
trình . Bài tốn này địi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic , phân tích chặt chẽ
.

Bài 7 : Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình
2 x 3 − 2 x 3x + 2
+
≥
và
5
3
2

x 3 − 2x 3x − 5
+
≥
2
5
6

5


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai

bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm
phần chung trong tập nghiệm của chúng .

2x 3 − 2x 3x + 2
+
≥
⇔ 12x + 30 − 20x ≥ 45x + 30
5
3
2
*
⇔ 12x − 20x − 45x ≥ 0 ⇔ −53x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
x 3 − 2x 3x − 5
≥
* +
2
5
6

(1)

⇔ 15 x + 18 − 12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ − 12 x ≥ − 48

( 2)
⇔ x≤4

Từ (1) và (2) ta có x ≤ 0

Bài 8: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình
2x − 5 3 − x
3x − 2 x
>
≥ + 0, 8 và 1 −
6
4
5
2

Giải
Xét bất phương trình :

3x − 2 x
≥ + 0,8
5
2
⇔ 6x − 4 ≥ 5x + 8
⇔ 6x − 5x ≥ 4 + 8

⇔ x ≥ 12
Xét bất phương trình :

(1)

2x − 5 3 − x
>
6
4
12 − 4 x + 10 > 9 − 3 x

−4 x + 3 x > 9 − 22
− x > −13
x < 13

1−
⇔
⇔
⇔

(2)

⇔
Từ (1) và (2) ta có 12 ≤ x <13
Sau khi tìm được các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình thì học
sinh lại thêm bước lựa chọn các giá trị nguyên của x
6


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Vì x € Z nên x = 12
Nhận xét : Khi cho bài tập thì giáo viên có thể cho những bài tập tương tự
nhau nhưng tập sau phải đòi hỏi cao hơn bài tập trước để tạo cho các em vừa
biết lợi dụng các bài tập đã biết để làm tương tự nhưng lại phải tư duy thêm để
trả lời được câu hỏi của bài như vậy sẽ tạo cho các em sự hứng thú và say mê
học tập .
Bài 9 : tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau

a) 5,2 + 0,3x < - 0,5
b) 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) <4,4

Giải
a) 5,2 + 0,3x < - 0,5

⇔ 0, 3 x < − 0, 5 − 5, 2
⇔ 0, 3 x < − 5, 7
⇔ x < − 19
Học sinh khi làm đến đây có nhiều em sẽ khơng biết vậy x sẽ nhận giái trị
nào thì giáo viên có thể gợi ý : Số nguyên nhỏ hơn -19 và gần với -19 nhất là
bao nhiêu thì học sinh sẽ tìm được đó là -20
b) 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) < 4,4
⇔ 1, 2 − 2,1 + 0, 2 x < 4, 4
⇔ 0, 2 x < 4, 4 + 0, 9
⇔ x < 26, 5
Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26.
Bài 10: Với giá trị nào của x thì

a) Giá trị phân thức

5x − 2
5 − 2x
lớn hơn giá trị phân thức
6
3

4x + 5
1, 5 − x
b) Giá trị phân thức
nhỏ hơn giá trị phân thức
5

2
Ở bài tập này học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa các phân thức và
đưa về giải bất phương trình.
Giải
7


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!
5x − 2
5 − 2x
a) Giá trị phân thức
lớn hơn giá trị phân thức
nghĩa là
3
6

5 − 2x 5x − 2
>
⇔ 5 − 2 x > 10 x − 4
6
3
⇔ − 2 x − 10 x > − 4 − 5 ⇔ − 12 x > − 9
⇔ x<

3
4

5 − 2x
5x − 2
lớn hơn giá trị phân thức

khi x <
Vậy giá trị của phân thức
6
3
b) Giá trị phân thức

3
4

1, 5 − x
4x + 5
nhỏ hơn giá trị phân thức
nghĩa là
5
2
1, 5 − x
4x + 5
<
5
2

⇔ 3 − 2 x < 20 x + 25

⇔ 22 x > −22
⇔ x > −1
1, 5 − x
Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức
nhỏ hơn giá trị phân thức
5

4x + 5
2
Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm của bất
phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo yêu cầu của bài
.

Bài 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau dương
m +1
= 1− m
x −1

Đây là phương trình chứa mẫu vì vậy cần tìm điều kiện để phương trình có
nghĩa : Điều kiện x – 1 ≠ 0 suy ra x ≠ 1
Là bài tốn về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử dụng đến
bất phương trình
8


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Giải

m+1
=1− m ⇔ (1+ m) = (1− m)x −1+ m
x −1
⇔ (1− m)x =1+ m+1− m ⇔ (1− m)x = 2
- Nếu m = 1 thì phương trình có dạng 0x = 0 phương trình vơ nghiệm

2
x

=
- Nếu m ≠ 0 thì
1− m
2
≠ 1 ⇒ m ≠ −1
Vì x ≠ 1 nên
1− m
Nghiệm của phương trình là x =

2
với m ≠ +-1
1− m

m ≠ + −1 m ≠ + −1 m < 1
⇒
⇒
Phương trình có nghiệm dương khi 
1 − m > 0 m < 1
m ≠ −1
5− x

1− 2x



+
−
: 2
Bài 12: Cho biểu thức A = 
2 

1
−
x
x
+
1
1
−
x

 x −1
1

2

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 0
Giải

1
x
≠
1;
x
≠
−
1;
x
≠
Điều kiện

2
2
 x +1+ 2 − 2x − 5 + x  1− x
A=
.
1 − x2

 2x −1
a)
2
=−
2x −1

b) A > 0 ⇒

−2
1
> 0 ⇒ 2x −1 < 0 ⇒ 2x < 1 ⇒ x <
2 x −1
2

Kết hợp với điều kiện ta được x <

1
2

và x ≠ -1

9

Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Vậy với x <

1
2

và x ≠ -1 thì A > 0

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế giá trị
của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa :
các mẫu thức khác 0 ; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm được các giá trị của
biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết luận .

Bài 13 : Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0
Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất đẳng thức sau
đó đánh giá để tìm được a , b.

Giải
Do a , b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta được
a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0

⇔ a 2 − 2 ab + 2b 2 − 4 a + 8 ≤ 0
⇔ 2 a 2 − 4 ab + 4b 2 − 8 a + 16 ≤ 0

⇔( a2 − 4ab + 4b2 ) + ( a2 −8a +16) ≤ 0
⇔( a − 2b) +( a − 4) ≤ 0
2

2

⇔ a = 4; b = 2

 3x − 5 
=x
Bài 14: Tìm x biết rằng 

 7 
Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên : Phần nguyên
của a kí hiệu [a] là số ngun lớn nhất khơng vượt q a
Ví d ụ ;

[3,135] = 3

;

[-1,47] = -2

0 ≤ a − b < 1
- Nếu b là phần nguyên của a thì ta có 
b ∈ Z
Từ đó học sinh có thể dựa vào đó để giải bài tốn .

Giải
Theo đề bài , x là số nguyên lớn nhất không vượt qua
10

3x − 5
. Do đó

7


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

 3x − 5
− x <1
0 ≤
 3x − 5 
=
x
⇔
7

 7 
x ∈ Z
Giải bất phương trình 0 ≤

3x − 5
− x < 1 ta có
7

−4 x − 5
< 1 ⇔ 0 ≤ −4 x − 5 < 7
7
5
⇔ 5 ≤ −4 x < 12 ⇔ − ≥ x > −3
4

0≤

Ta lại có x € Z do đó x = -2.

 34 x + 19 
= 2x + 1

11



Bài 15: Tìm x biết rằng 

Ta có 2x +1 là số ngun lớn nhất khơng vượt quá

34 x + 19
nên
11

 34x +19
− 2x −1<1
0 ≤
34x +19
=
2
x
+
1
⇔
11


 11 
2x +1∈Z
34 x + 19
− 2 x − 1 < 1 ⇔ 0 ≤ 12 x + 8 < 11
11
Giải
4
1
1
3
⇔ −8 ≤ 12 x < 3 ⇔ − ≤ 2 x < ⇔ − ≤ 2 x + 1 <
3
2
3
2
0≤

Mặt khác 2x + 1 € Z nên 2x + 1 = 0 hoặc 2x + 1 = 1
Suy ra x = -

1
2

hoặc x = 0

Bài 16 : Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 . Người ta xóa đi một số thì
7
trung bình cộng của các số cịn lại bằng 35
. Tìm số bị xóa .
17

Giải
Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n :
- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số cịn lại là
11


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!
2 + 3 + 4 + ..... + n ( 2 + n )( n − 1) 2 + n
=
=
n −1
2 ( n − 1)
2

- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là
1 + 2 + 3 + ..... + (n − 1) n ( n − 1) n
=
=
n −1
2 ( n − 1) 2

n
7 n+2
≤ 35 ≤
2
17
2
7
⇔ n ≤ 70 ≤ n + 2
Ta có

17
14
14
⇔ 68 ≤ n ≤ 70
17
17
Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70
Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là 35
Nếu n = 69 thì tổng của 69 số cịn lại là 35

7
.69 ∉ N loại
17

7
.68 = 2408 số bị xóa là
17

( 1 + 2 + 3 + …..+ 69 ) – 2408 = 7

Dạng 2 : Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ .
Với dạng tốn này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị
tuyệt đối . Ta nhớ lại rằng : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó
nếu biểu thức khơng âm , bằng số đối của nó nếu biểu thức âm .

│A│= A nếu A≥ 0
-A nếu A < 0
Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức
âm hay không âm . Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức
bậc nhất ta cần nhớ định lí sau :

Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 )
Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 )
+ Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức .
12


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau
a) │3x - 1│ > 5

b) │3-2x│ < x + 1

Giải
a) │3x - 1│ > 5

(1)
1
3

* Xét khoảng x <

thì ( 1) có dạng

1 – 3x > 5 ⇔ −3x > 5 − 1

⇔ −3x > 4 ⇔ x <

−4
3

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x <
* Xét khoảng x ≥

1
3

−4
3

thì (1) có dạng

3x − 1 > 5 ⇔ 3x > 5 + 1
⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x > 2 : x <

−4
3

b) │3-2x│ < x + 1
* Xét khoảng x >

3
2

,(2) có dạng

2x − 3 < x +1 ⇔ 2x − x < 3 +1 ⇔ x < 4
Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là
* Xét khoảng x ≤

3
2

3
< x < 4
2

, ( 2 ) có dạng

3 − 2x < x +1 ⇔−2x − x <1− 3 ⇔−3x < −2 ⇔ x >
Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là

13

2
3

2
3
3
2


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

2
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : < x < 4
3

Bài 2 : Giải bất phương trình
a) │x│- x + 2 ≤ 2│x - 4│
b) │x - 1│+│x - 5│> 8

(1)
(2)

Giải
a) Lập bảng xét dấu các biểu thức x và x - 4
x

0

4

x

-

0

+

│

+

x-4

-

│

-

0

+

* Xét khoảng x < 0 ; ( 1) có dạng
- x – x + 2 ≤ 2 ( 4 – x ) ⇔ 0x = 6
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0
* Xét khoảng 0 ≤ x < 4 ,(1) có dạng
x – x + 2 ≤ 8 - 2x ⇔ x ≤ 3
Nghiệm của bất phương trình đang xét trong khoảng này là 0 ≤ x ≤ 3
* Xét khoảng x ≥ 4 , (1) có dạng
x – x + 2 ≤ 2x – 8 ↔ x ≥ 5 thỏa mãn x ≥ 4
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3 ; x ≥ 5
b) Lập bảng xét dấu các biểu thức ( x – 1 ) ; ( x – 5 )
x

1

5

x-1

-

0

+

│

+

x-5

-

│

-

0

+

* Xét khoảng x < 1 , (2) có dạng
1− x + 5 − x > 8 ⇔ −2x > 2 ⇔ x < −1 thỏa mãn x < 1
* Xét khoảng 1 ≤ x < 5 , (2) có dạng
x −1 + 5 − x > 8 ⇔ 0x > 2

không xảy ra với mọi x do

phương trình vơ nghiệm trong khoảng đang xét .
* Xét khoảng x ≥ 5 , ( 2) có dạng
14

đó bất


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

x −1+ x −5 > 8 ⇔2x >14 ⇔x > 7 nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1 ; x > 7.
Nhận xét : Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng
khoảng giá trị của biến . Trong một số trường hợp , có thể giải nhanh hơn cách
dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau :
Dạng 1
a) Với a là số dương , ta có : │f(x) │ < a ⇔ − a < f ( x ) < a
b) │f(x) │ < g (x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x)

Dạng 2 :
a) Với số a dương ta có : │f(x) │ > a

 f ( x) < − a
⇔ 
 f ( x) > a

 f ( x) < − g ( x)

b) │f(x) │ > g (x) ⇔ 

 f ( x) > g ( x)

Dạng 3 : │f(x)│ > │g(x)│ ⇔ [ f ( x)]2 > [ g ( x)]2
Bài 3 : Giải bất phương trình
a) 3│2x - 1│ < 2x + 1 (1)

b) │5x - 3│ < 3x + 2 ( 2)

Giải
a) Cách 1 : (Theo phương pháp chung )
* Xét khoảng x <

1
,
2

(1) có dạng

3( 1 – 2x ) <2x + 1 ⇔ 3 − 6 x < 2 x + 1 ⇔ −8 x < −2 ⇔ x >
Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là
* Xét khoảng x ≥

1
,(1)
2

1
4

1

1
4
2

có dạng

3(2 x − 1) < 2 x + 1 ⇔ 6 x − 3 < 2 x + 1 ⇔ 4 x < 4 ⇔ x < 1

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là

1
≤ x <1
2

1
< x <1
4

Cách 2 : Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1b
15


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

3│2x - 1│ < 2x + 1

3(2 x − 1) > −(2 x + 1)

⇔
3(2 x − 1) < 2 x + 1

6 x − 3 > −2 x − 1 8 x > 2
⇔
⇔
6 x − 3 < 2 x + 1
4 x < 4
1

1
x >
⇔
4 ⇔ < x <1
4
 x < 1
5 x − 3 < −(3 x + 2)

b) │5x - 3│ < 3x + 2 ⇔ 
5 x − 3 > 3 x + 2

1

x < 8
8 x < 1
⇔
⇔
2 x > 5
x > 5


2

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x <

1
8

hoặc x >

5
2

Dạng 3 : Bất phương trình tích , bất phương trình thương .
Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể
sử dụng các phép biến đổi tương đương . Khi sử dụng phép biến đổi tương

đương cần chú ý :
- Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương
- Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm .

Bài 1 : Tìm x sao cho a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0
b)

x+2
x−5

<0

Giải
a) Cách 1 : lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5

x

2

5

x–2

-

0

+

│

+

x–5

-

│

-

0

+

(x – 2) ( x – 5 )

+

0

-

0

+

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5
Cách 2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương .
16


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

(x–2)(x–5)>0

 x − 2 > 0
 x > 2


 x − 5 > 0 ⇔  x > 5 ⇔  x > 5

 x − 2 < 0
 x < 2
x < 2



  x − 5 < 0
  x < 5

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là : x > 5 ; x < 2
c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức
x

-2

5

x+2

-

0

+

│

+

x–5

-

│

-

0

+

x+2
x−5

+

0

-

║

+

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < -2 ; x > 5

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau
a) x2 - 2x + 1 < 9
b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
Giải
a) Cách 1 :

a) x2 - 2x + 1 < 9 ⇔ ( x −1)2 < 9 ⇔ x −1 < 9
⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4

Cách 2 : Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích
x2 − 2 x + 1 < 9 ⇔ x2 − 2 x − 8 < 0
⇔ ( x + 2 )( x − 4 ) < 0

Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ) , ( x – 4 )
x

-2

4

x+2

-

0

+

│

+

x–4

-

│

-

0

+

(x + 2) ( x – 4 )

+

0

-

0

+

Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4
b)
( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
17


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!
⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) ( x + 1) ( x 2 − x + 1) ( 3 − x )( x + 1) ≥ 0
⇔ ( x − 3)( x + 1) ( 3 − x ) ≥ 0
2

⇔ − ( x − 3) ( x + 1) ≥ 0

2

2

x = 3
⇔
 x = −1

Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3 , x = - 1

Bài 3 : Giải bất phương trình sau
x3 − 4x2 + 5x − 20
>0
a) 3 2
x − x −10x − 8

x2 + 2 x + 2 x2 + 4 x + 5
>
−1
b)
x +1
x+2

Giải
x3 − 4x2 + 5x − 20
x2 ( x − 4) + 5( x − 4)
>0⇔
>0
a) 3 2
x − x −10x − 8

( x + 2)( x +1)( x − 4)

(1)

ĐK ; x ≠ -1 ; x ≠ -2 ; x ≠ 4
x2 + 5)
( x − 4 ) ( x 2 + 5)
(
⇔
>0⇔
>0
(1)
( x + 1)( x + 2 )( x − 4 )
( x + 1)( x + 2 )
⇔ ( x + 1)( x + 2) > 0

x

-2

-1

x+2

-

0

+

│

+

x+1

-

│

-

0

+

(x + 2) ( x + 1 )

+

║

-

║

+

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x < -2 ; - 1 < x < 4 ; x > 4

x2 + 2x + 2 x2 + 4x + 5
>
−1 (2)
b)
x +1
x+2
ĐK : x ≠ -1 ; x ≠ -2

x2 + 2x = 2 x2 + 4x + 5 − x − 2
>
(2) ⇔
x +1
x+2

18


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!
x2 + 2x + 2 x2 + 3x + 3
⇔
>
x +1
x+2
x2 + 2x + 2 x2 + 3x + 3
⇔
−
>0
x +1
x+2
( x2 + 2 x + 2)( x + 2) ( x2 + 3x + 3)

⇔
−
>0
( x + 1)( x + 2)
( x + 1)( x + 2)

⇔

1
> 0 ⇔ ( x +1)( x + 2) > 0
( x +1)( x + 2)
x +1 > 0

 x > −1

⇔
Vì (x + 2) > ( x + 1 ) nên ta có (x + 1)( x + 2) > 0 ⇔ 
x
+
2
<
0

 x < −2

Kết luận : Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x > -1 , x < - 2 .
Bài 4: Tìm điều kiện của x , y để biểu thức A có giá trị lớn hơn 1

 x
x − y   y2

1  x
A= 2
− 2
:
+
:
  3
2
 y + xy x + xy   x − xy x + y  y
 x
x− y  
y2
1  x
A=
−
−
:
:
y
(
x
+
y
x
(
x
+
y
)
x

(
x
+
y
)(
x
−
y
)
x
+
y

 
 y

ĐK : xy ≠ 0 ; x ≠ y ; x ≠ - y
 x 2 − xy + y 2   y 2 + x 2 − xy  x
A=
:
:
xy
(
x
+
y
)
x
(
x

+
y
)(
x
−
y
)

 
 y

=

x− y
y
= 1−
x
x

y
 xy < 0
 <0
⇔
⇔
x


A>1
x ≠ −y


 xy ≠ 0, x ≠ y , x ≠ − y
Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0
Qua việc tham khảo một số loại sách và đồng nghiệp tơi thấy hầu hết các
loại sách được trình bày theo lối :
- Đưa ra nội dung kiến thức cơ bản .
- Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng toán này .
19


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

- Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này .

- Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo . Đó
chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên
khơng thể bồi dưỡng được . Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để
cho học sinh từ yếu , kém , trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm đuộc
cái can bản của chi thức .
- Kinh nghiệm đúc rút ra trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi là khơng
những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn
củng cố cho học sinh một số kĩ năng , cách giải các bài toán , cách phân tích
các bài tốn để có thể giải một số bài tốn khó nhưng được quy về một số dạng
nào đó mà học sinh đã có dịp bồi dưỡng , đặc biệt là rèn luyện cho các em cách
tư duy các bài tốn , từ dễ đến khó , từ đơn giản đến phức tạp , một số kĩ xảo
để giải các bài tốn có liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn .
- Rèn cho các em có tinh thần học tập , khả năng tự học tự đọc và tìm lời
giải hay , phong phú , tạo hứng thú học tập bộ mơn tốn mà nhiều người cho là
khô khan .

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019

20


Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và hơn nữa!

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:

/>
Đọc trước những quyển sách này tại: />
21