CAC DANG BAI TAP PHUONG TRINH MAT PHANG DUONG THANG

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP
I/Các kiến thức cơ bản:
Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
+ Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương
tuyến
(VTPT):
r r (VTCP) và vectơ pháp
r
r r r
mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a; b và vectơ pháp tuyến n thì n =[ a; b]
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M0(x0; y0; z0 ) và có một vectơ
r
pháp tuyến n = (A; B;C) phương trinh mặt phẳng (P ): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
+ Phương trình mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 +B2+C2 ≠ 0)
Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cáchr sau:
+ Biết một điểm M0(x0; y0; z0) vả một vectơ pháp tuyến n = (A; B;C) ta sử dụng
công thức: (α): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
+ Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A 2+B2 +C2 ≠ 0) dựa vào giả
thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D.
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0; y0; z0 ) và một
r
vectơ pháp tuyến n = (A; B;C )
+Cách 1: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
+ Cách 2: (P): Ax + By + Cz + D = 0; M 0 ∈ (P) ⇒ D trả lời phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M0(−2;3;1) và vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1; −2): B(4; −3;1)
Giải: r uuur
- VTPT n = AB = (1; −4;3)
- Cách 1: (P): 1(x + 2) − 4(y − 3) + 3(z − 1) = 0 ⇔ (P ): x − 4y + 3z + 11= 0
- Cách 2: (P): x − 4y + 3z + D = 0 ; M0 (−2;3;1) ∈ (P ) ⇒ D = 11

⇒ (P): x − 4y + 3z + 11= 0
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0; y0; z0 ) và
song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0 .
uuur
r
+Cách 1: (P)//(Q) ⇒ VTPTn(P ) = VTPTn(Q) = (A; B;C )
(P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

+ Cách 2: (P) // (Q) ⇒ (P): Ax + By + Cz + D' = 0(D' ≠ D) ; M0 ∈ (α) ⇒ D '
⇒ phương trình mp (P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M0(−2;3;1) và song song với mặt phẳng (Q): 4x − 2y + 3z − 5 = 0
Giải:
uuur
r
(P)
(Q)
⇒
VTPTn
=
VTPTn
(Q) = (4; −2;3)
+ Cách 1:
//
(P )
1


(P): 4(x + 2) − 2(y − 3) + 3(z − 1) = 0
⇔ (P): 4x − 2y + 3z + 11= 0

+ Cách 2: (P ) // (Q) ⇒ (P ): 4x-2y + 3z + D = 0(D ≠ −5)
M0 (−2;3;1) ∈ (P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P ): 4x-2y + 3z + 11= 0

Daïng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M0(x0; y0; z0 ) và
vng góc với đường thẳng(d)
uuur
uuur
+ (P) ⊥ (d) ⇒ VTPTn(P ) = VTCPu(d)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
x+ 1 y− 3 z+ 4
M0(−2;3;1) và vng góc với đường thẳng (d):
=
=
−2
1
3
Giải:
uuur
uuur
⊥
(
d
)
⇒
VTPTn
=
VTCPu
= (−2;1;3)
(P)

(P )
( d)
(P ): −2(x + 2) + (y − 3) + 3(z − 1) = 0
⇔ (P ): −2z + y + 3z − 10 = 0
Daïng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0; y0; z0 ) và
vng góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)
uuur
uuur
uuur uuur uuur
(P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(Q) 
⇒
VTPTn
=  n(Q) ,n(R) 
u
u
u
r
u
u
u
r
+

(P)


(P) ⊥ (R) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(R) 

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M0(−2;3;1) và vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
Giải:
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
(P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(Q) = (1; −3;2)
uuur
uuur
 ⇒ VTPTn(P) =  n(Q) ,n(R)  = (1;5;7)
(P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(R) = (2;1; −1) 

(P):(x + 2) + 5(y − 3) + 7(z − 1) = 0
⇔ (P): z + 5y + 7z − 20 = 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(xA ; yA; zA );
B(xB ; yB ; zB );C(xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng:
uuur
uuur
uuur uuur
 AB

⇒
VTPTn
=
AB, AC 
u
u
u
r

+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
(P )


AC


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
A(2;0; −1); B(1; −2;3);C(0;1;2)

Giải:

uuur
uuur
uuur uuur
 AB = (−1; −2;4)

⇒
VTPTn
=
AB, AC  = (−10; −5; −5)
u
u
u
r
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
(P )



 AC = (−2;1;3)

2


(P ): −10(x − 2) − 5(y − 0) − 5(z + 1) = 0
⇔ (P ): 2x + y + z − 3 = 0

Daïng 6: Viết ptmp (P) đi qua A(xA ; yA; zA ); B(xB ; yB ; zB ) và ⊥ (Q)
uuur
 AB
uuur uuur uuur
 uuur
(
α
)
⇒
VTPTn
=  AB, n(Q) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng 
(P )


n
 (Q)

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
A(2;0; −1); B(1; −2;3) và vng góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + 1= 0
Giải:

uuur
 AB = (−1; −2;4)
uuur uuur uuur
u
u
u
r
⇒
VTPTn
=  AB, n(Q)  = (2;5;3)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
(P )


n(Q) = (1; −1;1)

(P ): 2(x − 2) + 5(y − 0) + 3(z + 1) = 0
⇔ (P ):2x + 5y + 3z − 1= 0

Daïng 7: Viết ptmp (P) đi qua A(xA; yA; zA ) ; ⊥ (Q) và // với đt (d)
uuur
n
uuur
uuur uuur
 (Q)
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) =  n(Q) ,u(d) 
u(d)

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x + 2y − z + 5 = 0 và song song với đường
thẳng (d):
Giải:

x+ 1 y− 3 z+ 4
=
=
−2
1
3

uuur
n = (1;2; −1)
uuur
uuur uuur
 (Q)

⇒
VTPTn
=
n
,u(d)  = (7;1;5)
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur
(P )
(Q)


u(d) = (−2;1;3)
(P ): 7(x − 1) + (y + 2) + 5(z − 3) = 0

⇔ (P ):7x + y + 5z − 20 = 0

Daïng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
uuur
u
uuur uuur uuur
 ( d)
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) = u(d) ,u(d') 
u(d')

+ Lấy điểm M0∈ (d) hoặc M0 ∈ (d’)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường

 x = 1− t

x − 1 y + 1 z − 12
=
=
thẳng cắt nhau (d):
và (d’):  y = 2 + 2t
1
−1
−3
z = 3

3


Giải:

uuuu
r
uuur
d ∋ M (1; −1;12)VTCP u(d) = (1; −1; −3) ; d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u(d') = (−1;2;0)
uuuuur
uuur uuur
MM ' = (0;3; −9); u(d) ,u(d')  = (6;3;1)


(d)& (d ') cắt nhau
uuur uuur uuuuur
u ,u  .MM ' = 0
 (d) (d') 
uuur
u
uuur
uuur uuur
 ( d)
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) =  u(d) ,u(d')  = (6;3;1)
u(d')

(P ): 6(x − 1) + 3(y − 2) + (z − 3) = 0
⇔ (P ):6x + 3y + z − 15 = 0

Daïng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
+ M1 ∈ (d) , VTCP

r
r

M
∈
(d')
;
,
VTCP
ud 2
u d’.

uuuuuur
 M M
uuur
uuuuuur uuur
1 2

uuur ⇒ VTPTn(P ) = M1M2 ,u(d) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (α)  uuur


ë u(d') )
u(d) (hoac

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường

 x = 1+ t

x − 1 y + 1 z − 12
=
=

thẳng song song với nhau (d):
và (d’):  y = 2 − t
1
−1
−3
z = 3− 3t

Giải:

uuuu
r
d ∋ M (1; −1;12)VTCP u(d) = (1; −1; −3)
uuur
d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u(d') = (1; −1; −3)
uuuuur
uuuuur uuur
r


MM ' = (0;3; −9); MM ',u(d) = (−18; −9; −3) ≠ 0



⇒ (d) P(d ')

Cặp VTCP mặt phẳng (P)

uuuuuur
 M M = (0;3; −9)
uuur

uuuuuur uuur
1 2

u
u
u
r
⇒
VTPTn
=
M1M2,u(d)  = (−18; −9; −3)

(P )


u(d) = (1; −1; −3)

(P ): −18(x − 1) − 9(y − 2) − 3(z − 3) = 0
⇔ (P ): 6x + 3y + z − 15 = 0

Daïng 10:uuurViết ptmp (P) là trung trực của AB.
uuur
+ VTPTn(P ) = AB
+ Tìm tọa độ trung điểm M0 của đoạn AB
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của
đoạn AB biết A(1;1; −1); B(5;2;1).
Giải:

4

uuur uuur
3
VTPTn(P ) = AB = (4;1;2) Trung điểm M0 của đoạn AB: M0(3; ;0)
2
3
27
(P): 4(x − 3) + (y − ) + 2(z − 0) = 0 ⇔ (P): 4x + y + 2z −
=0
2
2

Daïng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
r
+ (d) ∋ M 0 , VTCP u d
uuuuu
r
M A
uuur uuuuu
r uuur
 0
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) =  M0A,u(d) 
u(d)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
x − 1 y + 1 z − 12
thẳng (d):
=
=

và đi qua điểm A(1;1; −1)
1
−1
−3
Giải:
uuuu
r
uuuuu
r
d ∋ M0(1; −1;12)VTCP u(d) = (1; −1; −3) ; M0A = (0;2; −13)
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
uuuuu
r
 M A = (0;2; −13)
uuur
uuuuu
r uuur
0

u
u
u
r
⇒
VTPTn
=
M
A
,u  = (−19; −13; −2)


(P )
 0 (d) 
u
=
(1
;
−
1
;
−
3)
 (d)

(P ): −19(x − 1) − 13(y − 1) − 2(z + 1) = 0
⇔ (P ):19x + 13y + 2z − 30 = 0

Daïng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ∆ )
+ Tìm điểm M0∈ (d)
uuur
u
uuur uuur uuur
 ( d)
u
u
u
r
⇒
VTPTn
= u(d) ,u(∆ ) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 

(P )


u(∆ )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ:

Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng (d):

x y z
= = ; (∆)
1 1 2

x + 1 y z −1
= =
Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với (∆)
−2
1
1
Giải:

uuur
u = (1;1;2)
uuur uuur uuur
 (d)
⇒
VTPTn
= u(d) ,u(∆ )  = (−1; −5;3)
u
u

u
r
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
(P )


u(∆ ) = (−2;1;1)

uuur

(d) ∋ M 0 = (0;0;0) Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT n(P ) = (−1; −5;3)

⇒ (P): −1(x − 0) − 5(y − 0) + 3(z − 0) = 0 ⇔ (P) : x + y − 3z = 0

Daïng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) và ⊥ (Q)
+ Tìm điểm M0∈ (d)
5


uuur
u
uuur
uuur uuur
 ( d)

u
u
u
r
⇒

VTPTn
=
u
, n(Q) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
(P )
(d )


n(Q)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d):

x −1 y z + 2
= =
và mặt
2
1
−3

phẳng (Q): 2x + y + z − 1= 0. Viết phương trình mp (P) chứa (d) và vng góc với
mp (Q)
Giải:
uuur
(d) ∋ M(1;0; −2) VTCP u(d) = (2;1; −3)
uuur
u = (2;1; −3)
uuur
uuur uuur
 ( d)


⇒
VTPTn
=
u
, n(Q)  = (4; −8;0)
u
u
u
r
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
(P )
( d)


 n(Q) = (2;1;1)
(P): 4(x − 1) − 8(y − 0) + 0(z + 2) = 0
⇔ (P): 2x − 4y − 2 = 0
Daïng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 và d(A;(P))=h
A(xA ;yA ;zA ) cho trước
+ Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’ ≠ D)
+ Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ . Kết luận pt mặt phẳng (P)
Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2
Giải:
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D ≠ - 3)
d(A;(P))=2 ⇔

3+ D
3

 D = −9(n)
= 2 ⇔ 3+ D = 6 ⇔ 
 D = 3(n)

Vậy (P1): x − 2y + 2z − 9 = 0;(P2): x − 2y + 2z + 3 = 0
Daïng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) và d(A,( P))=h; A(xA ; yA ; zA )
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
r
+ (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d

uuur uuur
+ Vì (d) nằm trong (P) ⇒ n(P) ⊥ u(d)

⇔

r
u

d.

r
n ( P ) = 0 (1)

+ PT mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
+ d(A,( P)) = h (2)
+ Giải (1); (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ, ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d):

x −1 y z + 2
= =
và điểm
2
1
−3

A(3;1;1). Viết pt mp (P) chứa (d) và d (A,( P))= 2 3 .
Giải:
6


r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
uuur
(d) ∋ M 0(1;0; −2) VTCP u(d) = (2;1; −3)
uuur uuur
Vì d ⊂ (P)d. ⇒ n(P) ⊥ u(d) ⇔ 2A + B − 3C = 0 ⇒ B = 3C − 2A 1

( )

()

(P): A(x − 1) + B(y − 0) + C(z + 2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz − A + 2C = 0
d(A,( P))= 2 3
2A + B + 3C

⇔

A 2 + B2 + C2

= 2 3 ⇔ 2A + B + 3C = 2 3 A 2 + B2 + C2 (2)

(1)Λ(2) ⇒ 6 C = 2 3 5A 2 − 12AC + 10C2
A = C
2
2
⇔ 5A − 12AC + 7C = 0 ⇔ 
A = 7 C

5
*A = C choïn A=C=1⇒ B=1⇒ (P):x+y+z+1=0
7
*A = C choïn C=5;A=7 ⇒ B = 1⇒ (P):x+y+z+3=0
5
Daïng 16: Viết Pt mp (P) chứa
(d) và hợp với mp (Q) một góc α ≠ 900
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0

r

+ (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r r
+ Vì d ⊂ (P) ⇒ u d . n ( P ) = 0 (1)
+ cos ((P),(Q))= cos α (2)
+ Giải (1) ; (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết
được pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và

x+1 y− 2 z+ 3
=
=
. Viết phương trình mp (P) chứa (d) và hợp với
1
−1
−1
3
mp (Q) một góc α thỏa cos α = .
6

đường thẳng (d):

Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
uuur
(d) ∋ M 0(−1;2; −3),VTCP u(d) = (1; −1; −1)

r r
Vì d ⊂ (P) ⇒ u d. n ( P ) = 0 ⇔ A − B − C = 0 ⇒ A = B + C (1)
cos

(

uuur uuur
3
P
,
Q

=
cos 
α
⇔
cos(n
,n(Q) ) =
⇔
( )( )
(P)
6

)

A + 2B + C
6 A 2 + B2 + C2

=

3
6

⇔ 6 A + 2B + C = 3 A 2 + B2 + C2 (2)
 B = −C
(1)Λ(2) ⇒ 2 4C − 3B = 3 A 2 + B2 + C2 ⇔ 8B2 + 11B + 3C2 = 0 ⇔ 
 B = −3 C

8

*B = −C choïn B=1;C=-1⇒ A=0 ⇒ (P):(y-2)-(z+3)=0 ⇔ (P):y-z-5=0
7

−3
C chọn B=3;C=-8 ⇒ A=-5 ⇒ (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0
8
⇔ -5x+3y-8z-35=0
α ≠ 900
Dạng 17: Viết Pt mp (P) chứa
r (d) và hợp với đth( ∆ )một góc
+ Gọi VTPT của mp ( α ) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
*B =

r

+ (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r r
+ Vì d ⊂ (P) ⇒ u d. n ( P ) = 0 (1)
+ sin ((P),( ∆ )) = sin α (2)
+Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (∆) lần lượt có
y−2
x−2
z+5
(∆) :
= z và
= y −3=
. Viết phương trình
−1
2

−1
mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (∆) một góc 300

phương trình: (d): x =

Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
uuur
uuur
d) ∋ M1(0;2;0) và VTCP u(d) = (1; −1;1) ; (∆) ∋ M 2(2;3; −5) và VTCP u(∆ ) = (2;1; − 1)

r r

Vì d ⊂ (P) ⇒ u d.

n ( P ) = 0 ⇔ A − B + C = 0 ⇒ B = A + C (1)

uuur uuur
sin ((P),(∆)) = sin300  ⇔ cos(n(p);u(∆ ) ) = sin300 ⇔

2A + B − C
6 A 2 + B2 + C2

=

1
2

⇔ 2 2A + B − C =   6 A 2 + B2 + C2   (2)     

A = C
(1)Λ(2) ⇒ 2 3A = 6 A + (A + C) + C ⇔ 2A − AC − C = 0 ⇔ 
 A = −1C

2
2

2

2

2

2

*A = C choïn A=C=1⇒ B=2 ⇒ (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0 ⇔ (P):x + 2y + z − 4 = 0
−1
C choïn C=-2;A=1⇒ B=-1⇒ (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x − y − 2z + 2 = 0
2
Daïng 18: Cho A (xA; yA; zA) và (d), viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d (A,
(P)) là lớn nhất
+ Gọi H là hình chiếu ⊥ của A lên (d)
+ Ta có: d (A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc và đường xiên). Do
đó d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H uuur
+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
 x = −1 − 2t

Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):  y = t
z = 1+ t


*A =

và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn
nhất.
Giải:
8


Gọi H là hình chiếu ⊥ của A lên (d)
Ta có: d (A, (P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc và đường xiên).
Do đó d(A, (P)) max ⇔ AKuu=ur AH ⇔ K ≡ H
Mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
uuur
H ∈ (d) ⇒ H(−1− 2t;t;1+ t) ⇒ AH = (−2 − 2t;t − 2;t − 2)
uuur uuur
Vì H=hc(d) (A) ⇒ AH ⊥ u(d) = (−2;1;1) ⇔ 6t = 0 ⇔ t = 0
uuur uuur
⇒ H(−1;0;1) ⇒ VTPT n(p) = AH = (2;2;2)

⇒ (P): 2(x + 1) + 2(y − 0) + 2(z − 1) = 0 ⇔ (P): x + y + z = 0
Daïng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt
cầu (S)
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = 0 (D’ ≠ D)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R ⇒ tìm được D'
+ Từ đó ta có pt (P) cần tìm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = 0. Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz
+ D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:

(S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 25 ⇒ I(−1;2;1) BK R=5
Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x - 2y + 2z + D = 0 (D ≠ -3)
D−3
  (P)tieá
p xú
c vớ
i mặ
t cầ
u (S) ⇒ d I,( P ) = R ⇔
= 5 ⇔ D − 3 = 15
3
 D = 18⇒ P1 : x − 2y + 2z − 12 = 0
⇔
 D = −12 ⇒ P2 : x − 2y + 2z + 18 = 0

(

)

( )
( )

2 Daïng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 và cắt mặt cầu (S)
theo giao tuyến là đường trịn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho
trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+Adct : Chu vi đường trịn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r.
+ d(I,(P)) = R 2 − r 2 (1)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' ≠ D)
+ Suy ra d (I,(P)) (2) ⇒ ( 1) Λ ( 2)  ⇒ D' ⇒ pt (P).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + 4 = 0 và mặt
cầu
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Viết pt mp(P) // (Q và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường trịn(C) có bán kính r = 2
Giải:
(S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 ⇒ Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = 3
Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x+y-2z+D = 0 (D ≠ 4)
9


 D = −1+ 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − 1+ 30 = 0
d I,( P ) = R 2 − r2  ⇔ 1+ D = 30 ⇔ 
 D = −1− 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − 1− 30 = 0


(

)

Daïng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)không cắt
mặt cầu)
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
r
∋
+ (d) M0(x0; y0; z0), VTCP u d
r
n
+ Gọi VTPT của mp (P) là ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x
uuur0)u+

uurB(y-y0) + C(z-z0) = 0
+ (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) .n(P) = 0 (1)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2)
+ Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ pt mp (P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0
x−1 y z+ 2
và ( d) :
. Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
= =
−1 1
4
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (zuu-ur3)2 = 9 ⇒ tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3
(d) ∋ M 0(1;0; −2),VTCP u(d) = (−1;1;4)
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0

⇒ mp(P) đi qua điểm M0:
(P): A(x -1) +uu
B(y
–ur0) + C(z +2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz -A +2C = 0
ur uu
(d) ⊂ (P) ⇒ u(d) .n(P) = 0 ⇔ − A + B + 4C = 0 ⇒ A = B + 4C (1)
(P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇔ 5C − 2B = 3 A 2 + B2 + C2 (2)
(1)Λ(2) ⇒ 5C − 2B = 3 2B2 + 8BC + 17C2 ⇔ 14B2 + 92BC + 128C2 = 0
 B = −2C
⇔
 B = −32 C

7

*B = −2C choïn B=-2; C=1⇒ A=2 ⇒ (P):2x-2y+z=0

*B =

−32
C choïn B=32;C=-7 ⇒ A=4 ⇔ (P): 4x+32y-7z-18=0
7

Daïng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường trịn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Adct : Chu vi đường trịn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r.
r
+(d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n (P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0,
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
10


uur r

+ Vì d ⊂ (P) ⇒ ud . n ( P )=0 (1)
+ Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
+Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ pt mp (P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S):
x− 3 y z− 4
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và ( d) :
. Viết pt mp (P) chứa
=

=
3
−1 1
(d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) có bán kính r = 6 .
Giải:
2
⇒
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z
uuu+1)
r = 9 tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
(d) ∋ M 0(3;0;4),VTCP u(d) = (3; −1;1)
r
n
Gọi VTPT của mp (P) là ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
=>pt mp (P) đi qua M0
⇔
(P): A(x - 3) +uuB(y
ur uu-ur0) + C(z - 4) = 0 Ax + By + Cz –3A – 4C = 0
(d) ⊂ (P) ⇒ u(d) .n(P) = 0 ⇔ 3A – B + C = 0 ⇒ B = 3A + C (1)
Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r
⇔ 2A + 2B + 5C = 6 A 2 + B2 + C2 (2)
(1)Λ(2) ⇒ 8A + 7C = 6 10A 2 + 6AC + 2C2 ⇔ 4A 2 + 76AC + 37C2 = 0


−1
 A = 2 C choïn A=1; C=-2 ⇒ B=1⇒ (P):x+y-2z+5=0
⇔
 B = −37 Cchoïn A=37;C=-2 ⇒ B=109 ⇔ (P): 37x+109y-2z-103=0

2

Daïng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường trịn (C) có bán kính nhỏ nhất ((d) cắt mặt cầu) .
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Bán kính r = R 2 − d 2 (I,(P))
+Để r min ⇒ d(I,(P)) max
+ Gọi H là hình chiếu ⊥ của I lên (d) ; K là hình chiếu ⊥ của I lên (P)
+Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
+Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK u=urAH ⇔ K ≡ H
+ Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT ⇒ pt mp(P).
Ví
dụ:
Trong
khơng
gian
Oxyz,
cho
mặt
cầu
(S):
x−1 y+1 z
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và ( d) :
=
= . Viết pt mp (P) chứa (d)
2
−1 1
và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) có bán kính r nhỏ nhất
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = 9 ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3

11

uuur
uuuu
r
uuuu
r uuur
(d) ∋ M 0(1; −1;0),VTCP u(d) = (2; −1;1);IM 0 = (0;1;1); IM 0,u(d)  = (2;2; −2)


uuuu
r uuur
 IM ,u 
 0 (d) 
d(I,(d)) =
= 2 < R ⇒ (d) cắ
t mặ
t cầ
u
uuur
u(d)

Bán kính r = R 2 − d 2 (I,(P)) = 9 − d 2 (I, (P))
Để r min ⇒ d(I,(P)) max
Gọi H là hình chiếu ⊥ của I lên (d) ; K là hình chiếu ⊥ của I lên (P)
Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AKuu
=r AH ⇔ K ≡ H
Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT
Gọi (Q) làrmặt phẳng đi qua điểm I và vng góc vơi (d)

⇒ VTPT n ( Q ) =(2;-1;1)
⇒ (Q) 2x –y +z – 3=0; H là hình chiếu ⊥ của I lên (d); tọa độ điểm H lả
x = 1
 x −1 y +1 z
=
=


⇔  y = −1 ⇒ H(1; −1;0)
−1 1
nghiệm của hệ phương trình:  2
2x – y + z – 3 = 0
z = 0

r
uur
⇒ VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1)

(P): (y + 1) + (z – 0) = 0 ⇔ y + z + 1 = 0
Các bài toán cơ bản về Phơng trình đờng thẳng
Dạng r1 : ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coự
vtcp u = (a; b; c).
Phơng pháp: PT tham số của đờng thẳng d là:
x = xo + at

(d) : y = yo + bt ; t∈¡
z = z + ct
o

tắc là:

Chú ý: Nếu abc 0 thì (d) cã PT chÝnh

x − xo y − yo z- z0
=
=
a
b
c

Chó ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đờng thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm thuộc d và toạ độ véc tơ
chỉ phơng của d.
Dạng 2: ẹửụứnguuthaỳng
(d) ủi qua 2 điểm A, B.
ur
Bớc 1: Tìm AB
uuur
Bớc 2: Viết PT đờng thẳng d đi qua điểm A và nhận AB
làm véc tơ chỉ phơng.
Dạng 3: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua A và song song
với đờng thẳng .
r
B1: Tỡm VTCP u của .
r
B2: Viết PT đờng thẳng d đi qua A và nhận u làm VTCP.
Dạng 4: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua ®iĨm A và
vuông góc mp(α)
r
B1: Tìm VTPT của (α) là n .

r
B2: Viết PT đờng thẳng d đi qua điểm A vµ nhËn n lµm
VTCP.
12


Dạng 5: Viết PT đửụứng thaỳng (d) đi qua điểm A vaứ
vuoõng goực với cả 2urđờng
thẳng (d1),(d2)
uu
r
B1: Tỡm các VTCP u1 , u2 của d1; d2.
ur uu
r

r


B2: Đờng thẳng d có VTCP lµ: u = 
u1 , u2 
r
B3: ViÕt PT đờng thẳng d đi qua điểm A và nhận u làm
VTCP.
Dạng 6: Viết PT của đờng thẳng d là giao tuyến của hai
mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): Ax+By+Cz+D=0
Cách 1:

B1: Giải hệ

Ax + By + Cz + D = 0

A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0

t×m mét nghiƯm (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ta đ-

ợc 1 điểm M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ d. (Cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi
giải hệ với 2 ẩn còn lại tìm 2 ẩn còn lại)
r

b c c a a b

;
;
B2: Đờng thẳng d có VTCP là: u =
ữ
b
'
c'
c'
a'
a' b'

B3: Viết PT đờng thẳng d đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận
r
u làm VTCP.
Cách 2:
B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B d . (Tìm 2 nghiệm của hệ 2PT
trên)

B2: Viết PT đờng thẳng AB.
Cách 3: Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x=t), giải hệ 2 PT với
2 ẩn còn lại theo t råi suy ra PT tham sè cđa d.
D¹ng 7: Viết PT hình chiếu của đờng thẳng d trên mp(P).
B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
B2: Hình chiếu cần tìm d= (P) (Q)
(Chú ý: Nếu d (P) thì hình chiếu của d là điểm H= d ∩ (P)
Dạng 8 : ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1 ,
d2
C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng (α ) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d1 .
B2: Tỡm giao im B= () d 2
B3: Đờng thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
Cách 2:
B1: ViÕt PT mặt phẳng (α ) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d1
B2: ViÕt PT mặt phẳng ( β ) ®i qua điểm A và chứa đường thng d2.
B3: Đờng thẳng cần tìm d = () ()
Dạng 9: Viết PT đờng thẳng d song song với d1 và cắt cả
hai đờng thẳng d2 và d3.
B1: Viết PT mp(P) song song víi d1 vµ chøa d2.
B2: ViÕt PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
B3: Đờng thẳng cần tìm d= (P) (Q)
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d ®i qua điểm A, vng góc đường thẳng
d1 và cắt đường thẳng d2

13


C¸ch 1:
B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) qua điểm A và vng góc đường thẳng d1 .
B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ d 2

B3 : §êng thẳng cần tìm là đờng thẳng đi qua 2 điểm A,
B.
Cách 2:
B1: Viết PT mp ( ) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
B2: Viết PT mp () đi qua điểm A và chứa d2.
B3: Đờng thẳng cần tìm d = () ()
Dng 11 : Lp đường thẳng d ®i qua điểm A , song song mặt phẳng ( α ) và
cắt đường thẳng d’
C¸ch 1:
B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song víi mp( α ).
B2: ViÕt PT mp(Q) ®i qua ®iĨm A và chứa đờng thẳng d.
B3: Đờng thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
C¸ch 2:
B1: ViÕt PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng ( α )
B2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d '
B3: ng thng cần tìm d đi qua hai im A và B.
D¹ng 12: ViÕt PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và cắt hai đường
thẳng d1, d2 cho trước .
B1: Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P) ; B = d 2 ∩ (P)
B2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
D¹ng 13: ViÕt PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và vng góc đường
thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp( P ).
B1: Tìm giao điểm I = d’ ∩ ( P ).
r
r r
r
r


v

=
u,
B2: T×m VTCP u cđa d’ vµ VTPT n cđa (P) vµ
 n
r
B3: ViÕt PT ®ường thẳng d qua điểm I và có VTCP v
Dạng 14: Viết PT đờng vuông góc chung d của hai đờng
thẳng chéo nhau d1, d2.
Cách 1:
uu
r uur
B1: Tìm các VTCP u1 , u 2 của d1 và d2 . Khi đó đờng thẳng d
r

uu
r uur

có VTCP là u =  u1 , u 2 
uu
r
r uu
r
B2: ViÕt PT mp(P) chøa d1 vµ cã VTPT n1 =  u, u1 
uur
r uur
B3: ViÕt PT mp(Q) chøa d2 vµ cã VTPT n 2 =  u, u 2 
B4: §êng thẳng cần tìm d = (P) (Q) . (Lúc này ta chỉ cần
tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
Cách 2:
B1: Gäi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1 ; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’;

z0’+c’t’) ∈ d 2 là chân các đờng vuông góc chung của d1 vµ d2.
uuuu
r uu
r
MN.u1 = 0
 MN ⊥ d1
⇒  uuuu
⇒ t, t '
r uur
B2: Ta cã 
 MN ⊥ d 2
 MN.u 2 = 0

B3: Thay t vµ t’ tìm đợc vào toạ độ M, N tìm đợc M, N. Đờng thẳng cần tìm d là đờng thẳng đi qua 2 ®iĨm M, N
14


(Chú ý : Cách 2 cho ta tìm đợc ngay độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đờng thẳng chéo nhau)
Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mp(P) và
cắt cả hai đờng thẳng d1 và d2.
B1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
B2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).
B3: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q)
Dạng 16: Lp ng thng d đi qua im A , cắt và vuụng gúc với
ng thng d.
PP giải: Đây là trờng hợp đặc biệt của dạng 10.

15