Bài 2 TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ

CHƯƠNG 2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
MỤC TIÊU
 Kiến thức
+ Phát biểu được định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ.
+ Nắm được các tính chất của tích vơ hướng và biểu thức tọa độ của tích vơ hướng.
+ Nắm được cơng thức tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ và khoảng cách giữa hai điểm
bất kì trên mặt phẳng tọa độ.
 Kỹ năng
+ Tính được tích vô hướng của hai vectơ dựa vào định nghĩa hoặc dựa vào biểu thức tọa độ của
tích vơ hướng.
+

Làm được một số bài tốn vận dụng tích vơ hướng của hai vectơ.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa

r
r
r
r
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Tích vơ hướng của a Ví dụ: Cho tam giác ABC vng cân tại A ,
r
rr
AB  a
và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công
thức sau:

rr r r
r r
a.b  a . b .cos a , b .

 

Chú ý
r
r
r
rr
r r
Với a và b khác 0 ta có a.b  0 � a  b .
Khi đó ta có
r r
ur r
r2
r uuur
Khi a  b tích vơ hướng a.a được kí hiệu là a và số uuu
AB. AC  a.a.cos 90� 0 ;
r
uuu
r uuur
này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a .
BA.BC  a.a. 2 cos 45� a 2 .

Tính chất của tích vơ hướng
r r r
Với ba vectơ a, b, c và mọi số k ta có
rr rr

 a.b  b.a (tính chất giao hoán);
r r r rr rr
 a b  c  a.b  a.c (tính chất phân phối);





r r

rr

ur

r



 ka  .b  k  a.b   a.  k.b  ;



r2
r2
r r
a �0, a  0 � a  0.

r r

2

r2
r r r2
 a  2a.b  b ;

r r

2

r2
r r r2
 a  2a.b  b ;

r r r r

uuu
r uuur
uuur uuur
uuur 2
AB.BC  3BC .BC  3BC  3BC 2 ;






    4BC
uuu
r uuu
r uuu

r uuu
r
 AB  CB   AB  CB 

suy ra

 a  b

mãn AB  3BC , B nằm giữa A và C .

uuu
r uuu
r 2
uuur
AB  CB  2 BC

Nhận xét. Từ tính chất tích vơ hướng của hai vectơ ta

 a  b

Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng thỏa

2

2

;

uuu
r 2 uuu

r2
 AB  CB

 9 BC 2  BC 2
 8 BC 2

r2 r2
b .

 a  b  a  b  a

Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho
rr
Trên mặt phẳng tọa độ O, i, j , cho hai vectơ
A  3;1 , B  2;3 .
r
r
a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  . Khi đó tích vơ hướng
Khi đó ta có
uuu
r
uuur
rr
OA   3;1 , OB   2;3
a.b  a1.b1  a2 .b2 .
uuu
r uuu
r
r

r
OA.OB  2.3  1.3  9;
Nhận xét. Hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  đều khác
r
vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi





Trang 2


a1.b1  a2 .b2  0.
Ứng dụng


r
Độ dài của véctơ a   a1 ; a2  được tính theo cơng
r
2
2
thức a  a1  a2



Góc giữa hai vectơ:
r
r
r

Nếu a   a1 ; a2  và b   b1 ; b2  đều khác vectơ 0 thì
ta có:

rr
rr
a.b
a1.b1  a2 .b2
cos a.b  r r 
.
a.b
a12  a2 2 . b12  b2 2

 



Khoảng cách giữa hai điểm

A  xA ; y A 

 xB  x A 

2

uuu
r uuu
r 3.2  1.3
9
cos OA, OB 


.
10. 3
130
uuu
r uuur
52�
Suy ra OA; OB �37�



và

B  xB ; yB  được tính theo cơng thức:
AB 

uuu
r
uuu
r
OA  12  32  10; OB  2 2  32  13;





AB 

 3  2



2

  1  3  5.
2

  yB  y A  .
2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tích vơ hướng của hai vectơ
Phương pháp giải
Áp dụng công thức của định nghĩa
rr r r
r r
a.b  a . b .cos a, b .

 

Ví dụ: Cho ABC có cạnh đều bằng a . Khi đó
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AB. AC  AB . AC .cos AB, AC

Dùng tính chất phân phối
r r r rr rr
a b  c  a.b  a.c





=a.a.cos60�
=





a2
.
2

Như vậy, để xác định được tích vơ hướng của hai
vectơ, ta cần xác định được độ dài của hai vectơ
và góc giữa hai vectơ đó.

Ví dụ mẫu
�  60�
Ví dụ 1. Cho ABC vng tại A có BC  a, B
.
uuur uuu
r
Giá trị của tích vơ hướng BC.CA là
uuur uuu
r 3a 2
A. BC.CA 
.
4

uuur uuu
r 7a 2
B. BC.CA 
.
4
Trang 3


uuur uuu
r
3a 2
C. BC.CA  
.
4

uuur uuu
r
7a 2
D. BC.CA  
.
4

Hướng dẫn giải
Xét ABC vng tại A , ta có AC  BC.sin B  a.sin 60�

a 3
.
2

uuur uuu

r
ACB  180� 90� �
ABC  180�  90� 60�
  150�.
Ta có BC , CA  180� �









uuur uuu
r
uuur uuu
r
a 3
3a 2
Do đó BC.CA  BC.CA.cos BC , CA  a.
.cos150�
.
2
4





uuur uuu
r
3a 2
Vậy BC.CA  
.
4
Chọn đáp án C.
�  30�và BC  6 . Lấy M là điểm thuộc
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân đỉnh A , có B
uuur uuuu
r
đoạn BC sao cho MC  2MB . Giá trị của tích vơ hướng MA.MC bằng
A. 4.

B. 20.

C. 2 3 .

D. 4 3 .

Hướng dẫn giải

uuuu
r 1 uuur uuuu
r 2 uuur
Ta có MC  2 MB � BM  BC ; MC  BC.
3
3
Gọi I là trung điểm của BC .
uuur uuuu

r uuu
r uuuu
r 2 uuur �
uuu
r 1 uuur �2 uuur
. BC
Ta có MA.MC  BA  BM . BC  �BA  BC �
3
3
�
�3







r uuur 2 uuur2
2 uuu
BA.BC  BC
3
9



2
2 uuur2
 BA.BC.cos B   BC
3

9



2
2
BI .BC  BC 2 (do BA.cos B  BI )
3
9

Trang 4


2
2
 .3.6  .6 2  4.
3
9

uuur uuuu
r
Vậy MA.MC  4.
Chọn đáp án A.

Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a và �
ADC  60�. Gọi M là trung điểm
của CD . Tính
uuur uuur
a) DA.DC .

uuur uuu
r
b) MA.CB .

(Trích đề thi HK1, Trường THPT Đinh Thiện Lý, Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017-2018)
Hướng dẫn giải
uuur uuur
a2
a) Ta có DA.DC  DA.DC.cos �
ADC  a.a.cos 60� .
2
b) Ta có DA  DC , �
ADC  60�� ADC đều � AM  DC.
Xét tam giác AMD vng tại M có
AM 2  AD 2  MD 2  a 2 

a2 3 2
a 3
 a � AM 
.
4 4
2

Gọi  O  AC �BD và  N   MO �AB.
Xét tam giác BDC có M là trung điểm DC , O là trung điềm DB � MO là đường
trung bình BDC
1�
�
AMN  DAM
 DAC

 30�
.
� MO //BC � MO //AD (do BC //AD ) � �
2
uuur uuu
r
uuur uuuu
r
�
AMN  DAM
 30�
.
Ta có MA, CB  MA, MN  �



 



uuur uuu
r
uuur uuu
r
a 3
3a 2
Vậy MA.CB  MA.CB.cos MA, CB 
.a .cos 30�
.
2

4





�  60�
Ví dụ 4. Cho ABC có BAC
, AB  4, AC  6.
uuuruuur
a) Tính AB. AC.
uuur2
b) Tính BC , từ đó suy ra độ dài cạnh BC .
c) Gọi M là trung điểm của BC . Tính AM .
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a) Ta có AB. AC  AB. AC.cos AB, AC  4.6.cos 60� 12.



uuur2
uuu
r uuur
b) Ta có BC  BA  AC





2



uuu
r2
uuu
r uuur uuur 2
 BA  2.BA.BC  AC

uuu
r uuur
 BA2  AC 2  2 AB. AC  42  62  2.12  28.
uuur 2
Vậy BC  28 suy ra BC 2  28 � BC  28  2 7.
Trang 5


uuuu
r uuu
r uuur
c) Ta có 2AM  AB  AC
uuuu
r2
uuu
r uuur uuu
r2
uuu

r uuur uuur 2
� 4 AM  AB  AC  AB  2. AB. AC  AC  42  2.12  62  76





� 4 AM 2  76 � AM 2  19 � AM  19.
Vậy AM  19.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
r
r
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ u   2; 1 và v   3; 4  . Giá trị của tích vơ
rr
hướng u.v bằng
A. -2.

B. -10.

C. 5.

D. -14.
uuur uuur
Câu 2: Cho ABC vng cân có AB  AC  a . Giá trị của tích vơ hướng AB. AC bằng
A. 0.

B. a.

C. a 2 .

D.

a
.
2

Câu 3: Cho ba điểm phân biệt O, A, B thẳng hàng và OA  a , OB  b. Biết O nằm ngoài đoạn AB , giá
uuu
r uuu
r
trị của tích vơ hướng OA.OB bằng
A. ab.

B. 0.
C. ab.
D. a  b.
rr r r
r
r
r
Câu 4: Cho hai vectơ a và b khác vectơ không thỏa mãn a.b  a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a và
r
b bằng
r r
r r
r r
r r
.
.

.
.
A. a, b  180�
B. a, b  0�
C. a, b  90�
D. a, b  45�

 

 

 
uuur uuur
Câu 5: Cho ABC có H là trực tâm. Giá trị của biểu thức  AB  HC 

 

2

bằng

B.  AB  HC  .
2

A. AB 2  HC 2 .
C. AC 2  AH 2 .

D. AC 2  2 AH 2 .
uuur uuur uuur uuu
r uuu

r uuu
r
Câu 6: Cho ABC đều cạnh a . Giá trị của AB.BC  BC.CA  CA. AB bằng
A. 

3a 2
.
2

B.

3a 2
.
2

C.

a2 3
.
2

D. 

a2 3
.
2

�  60�
Câu 7: Cho tam giác RST có SRT
, RS  7, RT  8 . Gọi I là trung điểm ST . Độ dài IR là

A.

57
.
2

B.

13
.
2

C. 169.

D.

169
.
4

�  60�
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB  4, AD  6, BAD
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các
uuuu
r uuur
cạnh AB và BC . Giá trị của CM .DN là
A. 2.

B. 3.

C. -5.

D. 1.

Câu 9: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Khẳng định nào sau đây sai?

Trang 6


uuu
r uuur 1
2
A. AB.AC  AC .
2
uuur uuur 1
2
C. AO.BC  AC .
4

uuur uuu
r 1
2
B. BO.CB  BD .
4
uuur uuur 1
2
D. DC.DO  BD .
4
Câu 10: Cho hình vng ABCD , tâm O , cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu

r uuur
uuur uuur
A. AB. AC  a 2 .
B. AC.BD  0.
uuu
r uuur a 2
C. AB. AO  .
2

uuur uuur a 2
D. AB.BO  .
2

�  60�
Câu 11: Cho hình bình hành ABCD có AB  4, AC  6, BAD
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các
uuuu
r uuur
cạnh AB và BC . Giá trị của CM .DN là
A. 2.

B. 3.

C. -5.

D. 1.

r
r
r r

1
1
. Giá trị biểu thức A  r r  r r
Câu 12: Cho a  2, b  3 và a, b  60�
là
a.b  1 a.b  2

 

1
5
3
.
C. .
D. .
2
2
2
r
r
r r
r
r
rr
Câu 13: Cho hai vectơ a và b thỏa mãn các điều kiện a  3, b  4, a  b  2. Tích vơ hướng a.b
A. 1.

B.

bằng

A.

21
.
2

B. 

21
.
2

C. 

21
.
4

D.

21
.
4

Bài tập nâng cao

r r
r
r
r r r

Câu 14: Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a  b  1 . Biết vectơ x  a  2b vng góc với vectơ
u
r
r r
r
r
y  5a  4b. Góc giữa hai vectơ a và b bằng
r r
r r
r r
r r
.
.
.
.
A. a, b  60�
B. a, b  120�
C. a, b  90�
D. a, b  30�

 

 

 

 

Câu 15: Cho hình thang ABCD vng tại A và D , AB  4a, CD  2a, AD  3a . Gọi N là điểm thuộc
uuur uuur uuur

cạnh AD sao cho NA  2a . Giá trị của T  NB  NC .DC là





B. 14a 2 .

A. 16a 2 .

C. 8a 2 .

D. 12a 2 .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
1- B
2- A
3- C
11- D
12- D
13- B
Hướng dẫn giải

4- B
14- A

5- A
15- D

6- A

7- B

8- D

9- B

10- D

Câu 14.

u
r
r r
r r r
Ta có vectơ x  a  2b vng góc với vectơ y  5a  4b nên
ru
r
r
r
r r
r2
r2
rr
rr
rr 1
x. y  0 � a  2b . 5a  4b  0 � 5 a  8 b  6a.b  0 � 5.12  8.12  6a.b  0 � a.b  .
2







1
rr
r r
r r
Từ đó suy ra cos a; b  ra.br  2  1 � a, b  60�
.
a . b 1.1 2

 

 

Trang 7


Chọn đáp án A.
Câu 15.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên.
Khi đó A  0;0  , B  4a;0  , N  0; 2a  , D  0;3a  , C  2 a;3a  .
uuur
uuur
uuur
Suy ra NB   4a; 2a  , NC  2a; a  , DC   2a;0  .
uuur uuur
Suy ra NB  NC   6a;  a  .

uuur uuur uuur
2
Vậy T  NB  NC .DC  6a.2a    a  .0  12a .





Chọn đáp án D.

Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức có liên quan đến tích vơ hướng
Phương pháp giải
- Để chứng minh một đẳng thức, ta có thể
biến đổi từ vế này thành vế kia, biến đổi hai
vế cùng bằng một biểu thức thứ ba hoặc biến
đổi tương đương để đưa về một đẳng thức
ln đúng.
- Sử dụng tính chất phân phối của tích vơ
hướng đối với phép cộng các vectơ.
uuu
r uuur uuur
- Dùng quy tắc ba điểm AB  BC  AC hay
uuu
r uuu
r uuu
r
quy tắc AB  OB  OA .
- Sử dụng tính chất: Nếu G là trọng tâm
ABC thì
uuu

r uuur uuur r
GA  GB  GC  0 .
uuur2
- Chú ý công thức AB  AB 2 .

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Chứng minh
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r
DA.BC  DB.CA  DC. AB  0 .
Hướng dẫn giải
uuur uuu
r uuur r
Nhận thấy BC  CA  AB  0 nên ta tìm cách
tách ra để xuất hiện ba vectơ này cộng với nhau
bằng quy tắc ba điểm
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r
DA.BC  DB.CA  DC. AB
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
 DA.BC  DA  AB .CA  DA  AC . AB
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
 DA.BC  DA.CA  AB.CA  DA. AB  AC. AB

uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
 DA.BC  DA.CA  DA. AB  AB.CA  AC. AB











 

uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
 DA. BC  CA  AB  AB. CA  AC
uuur r uuu
rr
 DA.0  AB.0











0.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho ABC có ba đường trung tuyến AI , BJ , CK .
uuu
r uuur uuur uur uuu
r uuu
r
Chứng minh rằng AB.CK  BC. AI  CA.BJ  0 .
Hướng dẫn giải

Trang 8


uur 1 uuu
r uuur
uuur uur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur uuur

Ta có AI  AB  AC � BC. AI  BC. AB  AC  . BC. AB  BC. AC .
2
2
2
uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
Tương tự AB.CK  . AB.CA  AB.CB ;
2
uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuu
r uuu
r uuur
CA.BJ  . CA.BA  CA.BC .
2
uuu
r uuur uuur uur uuu
r uuu
r
Vậy AB.CK  BC. AI  CA.BJ





















r uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
1 uuur uuu
BC. AB  BC. AC  AB.CA  AB.CB  CA.BA  CA.BC
2
r uuu
r uuu
r uuur uuur uuu

r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
1 uuur uuu
 BC. AB  AB.CB  BC. AC  CA.BC  AB.CA  CA.BA  0
2










Ví dụ 2. Cho ABC có trực tâm H . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh:
uuuur uuur 1
2
b) MH .MA  BC .
4

uuu
r uuur
a) AB. AC  MA2  MB 2 .
Hướng dẫn giải

uuur uuuu

r r
uuuu
r
uuur
a) Vì M là trung điểm BC nên MB  MC  0 và MC   MB .
uuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r 2 uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuuu
r
Ta có AB.AC  AM  MB . AM  MC  AM  AM .MC  AM .MB  MB.MC







uuuu
r 2 uuuu
r uuuu
r uuur uuur 2
uuuu
rr
 AM  AM MC  MB  MB  AM 2  AM .0  MB 2  AM 2  MB 2 .





uuu
r uuur
Vậy AB. AC  MA2  MB 2

uuuur
r uuur
1 uuur uuur uuur
1 uuu
b) Ta có MH   HB  HC ; MA   AB  AC .
2
2









Trang 9


uuuur uuur 1 uuur uuur uuu
r uuur

Suy ra MH .MA  HB  HC . AB  AC
4
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
1 uuur uuu
 HB. AB  HB. AC  HC. AB  HC. AC .
4
uuur uuur r uuur uuu
r r
Mà HB. AC  0; HC. AB  0. .











uuuur uuur 1 uuur uuu
r uuur uuur 1 uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
HB AC  CB  HC. AB  BC �
Suy ra MH .MA  HB. AB  HC. AC  �
�
4
4�

r uuur uuur uuur uuur
1 uuur uuur uuur uuu
 HB. AC  HB.CB  HC .AB  HC .BC
4
1 uuur uuur uuur 1
 HC  HB BC  BC 2 .
4
4
uuuur uuur 1
2
Vậy MH .MA  BC .
4





















Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi M là một điểm tùy ý.
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
Chứng minh MA.MC  MB.MD.
Hướng dẫn giải
uuur uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur
Ta có MA.MC  MB  BA . MD  DC







uuur uuuu
r uuur uuur uuu
r uuuu
r uuu
r uuur
 MB.MD  MB.DC  BA.MD  BA.DC.
uuu
r
uuur

uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuu
r uuur
Mà BA   DC nên MA.MC  MB.MD  MB.DC  DC.MD  BA.DC
uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuu
r
 MB.MD  DC. MB  MD  BA



uuur uuuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuuu
r uuur uuur
 MB.MD  DC  DB  BA   MB.MD  DC .DA

uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
 MB.MD  DC.DA.cos 90� MB.MD .
uuur uuuu
r uuur uuuur
Vậy MA.MC  MB.MD.
Bài tập tự luyện dạng 2

r
r
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hao vectơ a   a1; a2  và b   b1 ; b2  . Khẳng định nào
sau đây sai?
r r 1 r2 r2 r r 2 �
a b  a b .
A. a.b  �
�
2�
r r 1 r r 2 r2 r2
.
C. a.b  �a  b  a  b �
�
2�









rr
B. a. b  a1b1  a2 .b2 .
rr r r
r r
D. a.b  a . b cos a, b .

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O và điểm

uuur uuur
A. MA.MB  OA2  OM 2 .
B.
uuur uuur
uuuu
r
C. MA.MB  2MO .
D.

 

M tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur
MA.MB  OM 2  OA2 .
uuur uuur
MA.MB  2OM 2 .

Câu 3: Cho bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng theo thứ tự đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 10


uuu
r uuur uuu
r uuur
A. AB.CD  BA.CD.
uuur uuur uuu
r uuur
C. AC.CD  CA.CD .

uuu

r uuur uuu
r uuu
r
B. AB. AC  BA.CA .
uuur uuu
r
D. AB.BA  AB 2 .

Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Gọi M , N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao
cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I . Khẳng định nào sau đây đúng?
uur uuuu
r uur uuu
r
uur uuuu
r uuur uuu
r
A. AI . AM  AI . AB .
B. AI . AM  AN . AB.
uur uuuu
r uur uuur
uur uuuu
r uur uuu
r
C. AI . AM  AI . AN .
D. AI . AM  AI .BA.
r r2
r
r
r
Câu 5: Cho a và b là hai vectơ đều khác 0 . Khi đó u  v bằng

r 2 r2
rr
A. u  v  2u.v.
r 2 r2
C. u  v .

r 2 r2
rr
B. u  v  2u.v.
rr r r
D. u.v. u  v .





Câu 6: Cho M là trung điểm của AB , đẳng thức nào sau đây sai?
uuur uuu
r
uuur uuur
A. MA. AB   MA. AB .
B. MA.MB  MA.MB
uuuu
r uuu
r
uuur uuur
C. AM . AB  AM .AB .
D. MA.MB   MA.MB .
r
r

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a   a1; a2  và b   b1 ; b2  . Khẳng định nào sau đây
sai?

r
2
2
B. a  a1  a2 .

rr
A. a.b  a1.b1  a2 .b2 .
rr
r r
a.b
C. cos a, b  r r .
a.b

r r
a.b
r r
D. cos a, b  r r .
a.b

 

 

Bài tập nâng cao
Câu 9: Cho tam giác ABC có AB  a  0 . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện
uuur uuur uuuu
r uuur

MA  MB . MC  MB  0 là







A. Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và BC .
B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB .
C. Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vng góc với BC .
D. Đường thẳng đi qua trung điểm của BC và vuông góc với AB .
Câu 10: Cho AB  a  0 và I là trung điểm của AB . Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện
MA2  MB 2  a 2 là
A. đường tròn tâm I , bán kính
C. đường trịn tâm I , bán kính

a
.
4
a
.
2

B. đường trịn tâm I , bán kính

a
.
2

D. đường trịn tâm I , bán kính a .

uuur uuur
Câu 11: Cho ABC có các cạnh bằng BC  a, AC  b, AB  c . Tích vơ hướng AB. AC theo a, b, c là
uuu
r uuur 1 2
uuu
r uuur 1 2 2 2
2
2
A. AB. AC   a  b  c  .
B. AB. AC   a  c  b  .
2
2
uuu
r uuur 1 2
uuu
r uuur 1 2 2
2
2
2
C. AB. AC   a  b  c  .
D. AB. AC   b  c  a  .
2
2
Trang 11


Câu 12: Cho ABC vng tại A có AB  1, AC  2 . Dựng điểm M sao cho AM  BC , AM  3. Đặt
uuuu

r
uuu
r
uuur
AM  x. AB  y. AC . Giá trị của T  x 2  y 2 là
A. T 

153
.
20

B. T 

151
.
20

C. T 

157
.
20

D. T 

159
.
20

Câu 13: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và M là trung điểm của cạnh BC . Đẳng thức nào sau

đây đúng?
uuuur uuur 1
uuuur uuur
1
2
2
A. MH .MA  BC .
B. MH .MA   BC .
2
4
uuuur uuur 1
uuuur uuur
1
2
2
C. MH .MA  BC .
D. MH .MA   BC .
4
2
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2
1- A
2- B
3- B
11- A
12- C
Hướng dẫn giải

4- A

5- B

6- B

7- D

8- C

9- B

10- D

Bài tập nâng cao
Câu 8.
Gọi I là trung điểm của AB
uuur uuur uuuu
r uuur
uuu
r uuur
Ta có MA  MB . MC  MB  0 � 2MI .BC  0 � MI  BC







Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vng góc với BC .
Chọn đáp án C.
Câu 9.
Ta có

uuu
r uu
r 2 uuu
r uur
MA2  MB 2  MI  IA  MI  IB



 



2

uuu
r uu
r uur
1
1
 2MI 2  2MI . IA  IB  IA2  IB 2  2MI 2  AB 2  2MI 2  a 2 .
2
2





Mà MA2  MB 2  a 2 .
1
a2

a
Suy ra 2 MI 2  a 2  a 2 � MI 2 
� MI  .
2
4
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường trịn tâm I , bán kính

a
.
2

Chọn đáp án B.
Câu 10.
uuur2
uuur uuu
r 2
uuu
r uuur
Ta có BC  AC  AB � BC 2  AC 2  2 AB. AC  AB 2





uuu
r uuur AB 2  AC 2  BC 2 c 2  b 2  a 2
� AB. AC 

.

2
2
uuu
r uuur 1 2 2
2
Vậy AB. AC   b  c  a  .
2
Chọn đáp án D.
Trang 12


Câu 11.

uuuu
r
uuu
r
uuur
Ta có AM  x. AB  y. AC � AM 2  x 2 .AB2  y 2 . AC 2 � 9  x 2  4 y 2 .
uuuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
Mặt khác AM  BC � AM .BC  0 � x. AB.BC  y. AC .BC  0 .
uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r

� x. AB. AC  AB  y. AC AC  AB  0 �  x  4 y  0.









� 144
� 2 144 �x 2 
�x  4 y  9
�x 
�
20
��
.
20 � �
Từ đó ta có hệ phương trình �
9
x  4 y  0
2
�
�
�y 
�x  4 y
�
20
2

2
2
Vậy T  x  y 

2

153
.
20

Chọn đáp án A.
Câu 12.
�uuuur 1 uuur uuur
MH  BH  CH
�
�
2
Vì M là trung điểm của cạnh BC nên �uuur
uuu
r uuu
r
�MA  1 BA  CA
�
2
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
uuuur uuur 1 uuu

Suy ra MH .MA  . BA.BH  CA.BH  BA.CH  CA.CH
4
r uuur uuu
r uuur
1 uuu
 BA.BH  CA.CH
4
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur
1 uuu
 �
BA. BC  CH  CA. CB  BH �
�
4�





A









H













B



r uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur
1 uuu
BA.BC  BA.CH  CA.CB  CA.BH
4
r uuur
1 uuur uuu
1 uuur2 1
 �

BC. BA  AC � BC  BC 2 .
� 4
4�
4




M

C





Chọn đáp án C.
Dạng 3. Chứng minh hai vectơ, hai đường thẳng vng góc
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của tích vơ hướng
r r
rr
a  b � a.b  0.

r
r
Ví dụ: Cho hai vectơ a và b vng góc với nhau
r
r
thỏa mãn a  1, b  2 . Chứng minh rằng hai

r r
r r
vectơ 2a  b và a  b vng góc với nhau
Hướng dẫn giải

r r
Ta sẽ đi tính tích vơ hướng của hai vectơ 2a  b và
r r
a  b , sau đó chứng minh tích này bằng 0.
r r r r
r2
r r r r r2
Ta có 2a  b a  b  2a  2a.b  a.b  b







Trang 13


r2 rr r2
 2 a  a.b  b
 2.1  0  2
0.
r r
r r
Vậy 2a  b và a  b vng góc với nhau.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình vng cạnh ABCD cạnh a có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và
N là trung điểm của BC . Chứng minh rằng AN  DM .
Hướng dẫn giải

uuur uuuur
Ta chứng minh AN .DM  0.

uuur uuur
uuur
Vì ABCD là hình vng nên BC  AD   DA và AB  AD .
uuur uuur
uuur uuu
r
Do đó AB.DA  0; BC. AB  0.
uuur uuuur �uuu
r 1 uuur ��
uuur 1 uuu
r�
. �DA  AB �
Ta có AN .DM  �AB  BC �
2
2
�
��
�
r 2 1 uuur uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r
1 uuu

 AB  BC.DA  AB.DA  BC. AB
2
2
4


1
1
1
1
AB 2  BC 2  0  a 2  a 2  0.
2
2
2
2

Vậy AN  DM .
Ví dụ 2. Cho hình vng ABCD có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm
thuộc đoạn AC sao cho AN  3NC . Chứng minh rằng DN  MN .
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
Vì AN  3NC và N nằm giữa A và C nên AN  3NC
uuur uuur
uuur uuur
uuur 3 uuur 1 uuur
� AD  DN  3 ND  DC � DN  DC  DA.
4
4

uuuu
r uuur uuur 1 uuu
r 3 uuur 1 uuu
r 3 uuu
r uuur 1 uuu
r 3 uuur
Ta lại có MN  MA  AN  BA  AC  BA  AB  BC  AB  BC .
2
4
2
4
4
4









Trang 14


uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r

uuur uuur
Mà ABCD là hình vng nên DC. AB  AB 2 ; DC.BC  0; DA. AB  0; AD.BC  AD 2 .
uuur uuuu
r �3 uuur 1 uuur ��1 uuu
r 3 uuur �
. � AB  BC �
Từ đó suy ra DN .MN  � DC  DA �
4
4
�4
��4
�


r 3 uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuu
r 1 uuur 3 uuur
3 uuur 1 uuu
DC. AB  DC . BC  DA. AB  DA. BC
4
4
4
4
4
4
4
4



3

3
AB 2  DA2
16
16

=0 (do AB 2  DA2 ).
Vậy DN  MN .
Ví dụ 3. Cho ABC vng tại A có AB  a, AC  2a. Gọi M là trung điểm của BC và
điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD 

uuur uuuu
r
a
. Chứng minh rẳng BD  AM .
2

Hướng dẫn giải
uuuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
Ta có 2 AM .BD  AB  AC . AD  AB







uuu

r uuur uuu
r 2 uuur uuur uuur uuu
r
 AB. AD  AB  AC .AD  AC. AB
uuur uuur
 0  AB 2  AC. AD cos AC. AD  0





a
 a 2  2a.  0
2
uuuu
r uuur
uuur uuuu
r
Do đó AM  BD . Vậy BD  AM .
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A  1;1 , B  3; 2  và C  2; m  1 . Với giá trị
uuur
uuur
nào của m thì vectơ AB vng góc với vectơ OC ?
A. m  5.

B. m  3.

C. m  3.

D. m  5.
r
ur
r
2
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a   4;1 , b   x  1;8 x  . Giá trị âm của x để hai vectơ a
ur
và b vng góc với nhau là
1
A. x   .
2

1
B. x  ; x  1.
2

1
C. x   ; x  1.
2

D. x  1.

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  2a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm trên
uuur
uuur
cạnh AD sao cho AD  k AN . Giá trị của k để CM  BN là
A. k  7,9.

B. k  8.

C. k  8,1.

D. k  7,8.
Trang 15


Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 4  và B  8; 4  . Điểm C thuộc trục hoành sao
cho ABC vuông tại C là
A. C  6;0  .

B. C  0;0  hoặc C  6;0  .

C. C  0;0  .
D. C  1;0  .
r
r
r r
r r
r r
r
r
Câu 5: Cho a và b có vectơ a  2b vng góc với vectơ 5a  4b và a  b . Khi đó cos a, b bằng



2
.
2

A.





B. 0

C.



 

3
.
2

D.

1
.
2

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M  1; 2  , N  3; 4  . Điểm P trên trục Ox sao cho tam
giác MNP vuông tại M là
A. P  0;3 .

B. P  1;0  .

C. P  3;0  .

D. P  0; 1 .

Bài tập nâng cao
Câu 7: Cho tam giác đều ABC cạnh 3a,  a  0  . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh
BC , CA, AB sao cho BM  a, CN  2a, PA  x  0  x  3a . Giá trị của x để AM  PN là
A. x 

3a
.
5

B. x 

4a
.
5

a
C. x  .
5

D. x 

2a
.
5

uuur
uuur

�  60�. Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME  k MP .
Câu 8: Cho tam giác MNP có MN  4, MP  8, M
Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF của tam giác MNP .
2
A. k  .
3

2
B. k  .
5

1
C. k  .
3

1
D. k  .
2

Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB  2 và AD  4 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB và
uuur
uuur
N là điểm trên cạnh AD sao cho AN  k AD . Biết CM vng góc với BN , khi đó k thuộc vào khoảng
nào sau đây?
� 1�
0; �
.
A. �
� 16 �

�1 1 �
.
B. � ; �
16 20 �
�

�1 1 �
.
C. � ; �
�20 9 �

�1 1 �
.
D. � ; �
�9 6 �

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3
1- D
2- A
3- B
Hướng dẫn giải

4- B

5- D

6- C

7- B

8- B

9- D

Bài tập nâng cao
Câu 8.
uuur uuur uuu
r 1 uuur x uuu
r
Ta có PN  AN  AP  AC  AB;
3
3a
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur uuu
r
r 1 uuur
2 uuu
AM  AB  BM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC .
3
3
3
3





Do đó AM  PN khi và chỉ khi
uuuu
r uuur
r 1 uuur ��1 uuur x uuu
r�
�2 uuu
AM .PN  0 � � AB  AC �
. � AC  AB � 0
3
3a �
�3
��3
Trang 16


�

r uuur 2x uuu
r 2 1 uuur 2 x uuu
r uuur
2 uuu
AB. AC 
AB  AC  AB. AC  0
9
9a
9
9a

2

۰�
AB. AC.cos 60
9

2x
2
 3a 
9a

1
2
 3a 
9

x
AB. AC .cos 60
9a

0

5
4a
� 2a2  ax  0 � x 
.
2
5
Vậy với x 

4a
thì AM  PN

5

Câu 9.
r
uuur uuuur uuur
uuur uuuu
r uuur 1 uuur uuuu
Ta có NE  NM  ME  k MP  MN ; MF  MP  MN .
2
uuur uuur
Do đó NE  MF � NE.MF  0
uuur uuuu
r 1 uuur uuuu
r
� k .MP  MN . MP  MN  0
2
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
� k .MP  MN . MP  MN  0
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
� k .MP 2  k .MP.MN  MN .MP  MN 2  0





 











� k .82   k  1 .8.4.cos 60� 42  0
� 80k  32  0

2
�k .
5
2
Vậy k  .
5
Chọn đáp án B.
Câu 10.
uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuur 1 uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu

r uuur
Ta có CM  CB  BM   AD  AB; BN  BA  AN   AB  k AD.
2
Theo giả thiết, ta có
uuuu
r uuur
r � uuu
r uuur
1
1
� uuur 1 uuu
CM  BN � CM .BN  0 � �
 AD  AB �
.  AB  k AD  0 � 16k  .4  0 � k  .
2
2
8
�
�





�1 1 �
.
Vậy k �� ; �
�9 6 �
Chọn đáp án D.
Dạng 4. Ứng dụng của tích vơ hướng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc

giữa hai vectơ
Phương pháp giải

Trang 17


r
r
- Cho hai vectơ a   a1 ; a2  và b   b1 ; b2  . Ta có
rr
a.b  a1b1  a2b2
r
r
2
2
- Cho vectơ u   u1 ; u2  . Ta có u  u1  u2 .

- Cho hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  . Ta có
uuur
2
2
AB  AB   xB  x A    y B  y A  .
r
- Tính góc giữa hai vectơ a   a1 ; a2 
r
b   b1 ; b2  . Ta dùng công thức
r r
a1b1  a2b2
cos a, b 
.

a12  a2 2 . b12  b2 2

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho A  0; 2  ,
B  1,3 , C  3; 2  .
Ta có
uuu
r
uuur
AB   1;1 , AC   3;0  .
uuu
r
AB  AB  12  12  2;
uuur
AC  AC  32  02  3.
uuu
r uuur 1.3  1.0
uuu
r uuur
cos AB, AC 
� AB, AC  45�
.
2.3



và







 

Ví dụ mẫu

r
r
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a   1; 2  và b   2; 4 
r r
a) Tính a , b .
rr
r
r
b) Tính a.b và tính cơsin góc giữa hai vectơ a và b .
ur
r
r
r
r r
r ur
c) Cho c  4a  b và d  mi   m  1 j. Tìm m để c  d .
Hướng dẫn giải
r
r
2
a) Ta có a   1  22  5, b  22  42  2 5.
rr
b) Ta có a.b  1.2  2.4  6.

rr
r r
a.b
6
3
 .
Khi đó cos a, b  r r 
5.2 5 5
a.b
r
r r r
uu
r
r
r ur
c) Ta có c  4a  b � c   6; 4  ; d  mi   m  1 j � d   m; m  1 .
r u
r
r ur
Do đó c  d � c.d  0 � 6.m  4.  m  1  0 � 2m  4 � m  2.
r ur
Vậy m  2 thì c  d .

 

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho A  2;1 , B  3; 2  , C  0;3 .
a) Tính độ dài trung tuyến BM của ABC .
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
uuur uuur
c) Tính cos AB, AC .





(Trích Đề thi HK1, Trường THPT Lê Minh Xuân Thành Phố Hồ Chí Minh , năm 2017-2018)
Hướng dẫn giải
Trang 18


uuuu
r
a) Vì M là trung điểm của AC nên M  1; 2  . Suy ra BM   4; 4  .
Vậy BM 

 4 

2

 42  4 2.

b) Giả sử điểm D cần tìm có tọa độ là  x; y  .
uuu
r uuur
�
3   2   0  x
�x  5
��
.
Ta có ABCD là hình bình hành � AB  DC � �

2  1  3  y
�
�y  6
Vậy D  5;6  .
uuur
uuur
c) Ta có AB   5; 3 và AC  2; 2  .
uuu
r uuur
Suy ra cos AB, AC 





5.2   3 .2
52   3 . 22  22
2



17
.
17

uuu
r uuur
17
Vậy cos AB, AC 
.

17





Ví dụ 3. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 4  và B  1;1 . Tìm tọa độ điểm C sao cho tam
giác ABC vuông cân tại B .
A. C  16; 4  .

B. C  0; 4  hoặc C  2; 2  .

C. C  1;5  hoặc C  5;3 .

C. C  4;0  hoặc C  2; 2  .

Hướng dẫn giải

uuu
r
uuur
Giả sử C  x; y  . Khi đó BA   1;3 và BC   x  1; y  1 .
Tam giác ABC vuông cân tại B khi và chỉ khi
�
�x  4
uuu
r uuur
�
�
�x  1  3 y  3  0

�x  4  3 y
�BA.BC  0
�
�
�y  0
�
��
�
�
2
2 � �
2
2
10   x  1   y  1
 y  1   3 y  3  10 �
�x  2
�
�
�BA  BC
�
�
�
�y  2.
Vậy C  4;0  hoặc C  2; 2  .
Chọn đáp án D.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có A  4; 1 , B  2; 4  và C  2; 2  .
a) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC .
b) Tính chu vi ABC .
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho ABM cân tại M .
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
a) Giả sử tọa độ điểm H là  x; y  . Khi đó AH   x  4; y  1 , BH   x  2; y  4  ,
uuur
uuur
BC   0; 2  , AC   6; 1 .
Do H là trực tâm của ABC nên

Trang 19


uuur uuur
�y  1
�AH .BC  0
�
0.  x  4   2.  y  1  0
�AH  BC
�
�
�
� �uuur uuur
��
��
�
5.
x


6.  x  2   1.  y  4   0

�BH  AC
�
�BH . AC  0
�
�
2
�5
�
 ; 1�.
Vậy H �
�2
�
uuu
r
uuur
uuuu
r
b) Ta có AB   6; 3 , AC   6; 1 , BC   0; 2  .
Suy ra AB 

 6 

2

  3  3 5, AC 
2

 6 

2

  1  37, BC  0 2  2 2  2
2

Vậy chu vi ABC là AB  AC  BC  3 5  37  2 .
uuuu
r
uuuu
r
c) Giả sử tọa độ điểm M là  xM ;0  . Khi đó AM   xM  4;1 , BM   xM  2; 4  .
Do ABM cân tại M nên AM  BM �

 xM  4 

2

 12 

 xM  2 

2

 42

� xM 2  8 xM  17  xM 2  4 xM  20
1
� xM   .
4
�1 �
.

Vậy M � ;0 �
�4 �
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập cơ bản
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 1 , B  2;1 và điểm M có tung độ
bằng 2. Tất cả các điểm M để ABM vuông tại M là
A. M  1; 2  .

B. M  3; 2  ; M  1; 2  .

C. M  1; 2  .

D. M  1; 2  ; M  1; 2  .

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A  4;3 , B  5;6  , C  4; 1 . Tọa độ trực tâm H của
tam giác ABC là
A. H  3; 2  .

B. H  3; 2  .

C. H  3; 2  .

D. H  3; 2  .

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  1;5  , B  3; 1 , C  6;0  . Chân đường cao
H kẻ từ B lên AC là
A. H  5;1 .

B. H  5;1 .

C. H  1; 5  .

D. H  5; 1 .

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  1;1 , B  2; 3  , C  2;1 . Chu vi của tam giác ABC bằng
A. 9.

B. 10.

C. 11.

D. 12.
r
r
r r
r
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có hai vectơ đơn vị trên hai trục là i và j . Cho v  ai  b j , nếu
rr
rr
v. j  3 và v.i  2 thì  a; b  là cặp số nào sau đây?
A.  2;3 .

B.  3; 2  .

C.  3; 2  .

D.  0; 2  .

uuur2
�  30�

Câu 6: Cho tam giác ABC có NMP
, MN  4, MP  5. Giá trị của NP là
Trang 20


A.

B.

41  20 3.

C. 41  20 3 .

41  20 3.

D. 41  20 3.

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A  3; 3 , B  1;3 , C  7; 1 . Tam giác ABC là tam
giác gì
A. Tam giác nhọn.

B. Tam giác tù.

C. Tam giác vuông cân.

D. Tam giác đều.

�  60�. Độ dài của đoạn thẳng BD bằng
Câu 8: Cho tam giác ABD có AB  4, AD  6, BAD
A. 28.

B. 2 7 .

C. 20.

D. 2 5 .

Câu 9: Điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến N  2;3 bằng 3 là điểm nào sau đây?
A. M  0;3 .

B. M  2;0  .

C. M  3;0  hoặc M  2;0  .

D. M  3;1 .

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A  3; 4  , B  4;1 , C  2; 3 . Tọa độ tâm I
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
� 2�
3; �.
A. �
� 3�

B.  7; 2  .

C.  9; 2  .

D.  1;1 .

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M  1; 2  , N  3; 4  . Điểm P trên trục Ox sao cho

tam giác MNP vuông tại M là
A. P  0;3 .

B. P  1;0  .

C. P  3;0  .

D. P  0; 1 .

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;5  và B  3;3 . Điểm M nằm trên trục Ox sao
cho MA  MB là
A. M  0;1 .

B. M  1;0  .

C. M  2;0  .

D. M  2;0  .

Bài tập nâng cao
Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  6; 6  , B  1; 5  , C  3;3 . Gọi I  a; b 
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giá trị của a  b bằng
A. a  b  6.

B. a  b  1.

C. a  b  1.

D. a  b  6.

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC  2a , M là điểm trên đoạn BC sao cho MB  2MC .
uuuu
r uuur
Biết rằng AM .BC  a 2 . Độ dài cạnh AC là
A.

a 33
.
3

B. a 3.

C.

a 21
.
3

D. a 5.

Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  3; 2  , B  5; 2  và trực tâm H  5;0  .
Tọa độ đỉnh C là
A.  6; 2  .

B.  4; 2  .

C.  5; 2  .

D.  4; 1 .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 4
Trang 21


1- D
2- A
3- B
11- C
12- B
13- C
Hướng dẫn giải

4- D
14- C

5- A
15- A

6- C

7- C

8- B

9- B

10- D

Bài tập nâng cao
Câu 13.

Vì I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA  IB  IC . Từ đó, ta có hệ phương trình
2
2
2
2
�
 a  6    b  6    a  1   b  5
14a  2b  46
a3
�
�
�
�
�
.
�
�
�
2
2
2
2
8a  16b  8
b  2
�
�
a

1


b

5

a

3

b

3








�
�

Vậy a  b  1 .
Chọn đáp án C.
Câu 14.
uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur uuu
r uuur uuuu

r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur 8a2
Ta có AM .BC  AB  BM .BC  AB.BC  BM .BC  AB.BC  BM .BC.cos 0� AB.BC 
.
3
uuu
r uuur 8a 2
uuu
r uuur
uuuu
r uuur
5a 2
Mà AM .BC  a 2 nên AB.BC 
 a 2 � AB.BC  
.
3
3
uuur 2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
2
2
2
Ta lại có AC  AC  AB  BC  AB  BC  2. AB.BC









� 5a2 �
2a2
2
 AB 2  4a 2  2. �


AB

.  1
�
3
� 3 �
Mặt khác AB 2  AC 2  BC 2  4a 2 .  2 
Từ  1 và  2  suy ra AB 2 
Vậy AC 

5a 2
7a 2
, AC2 
.
3
3

a 21
.
3

Chọn đáp án C.
Câu 15.
Gọi tọa độ đỉnh C là  x; y  .
uuur
uuur
uuuur
uuur
Ta có AC   x  3; y  2  , BC   x  5; y  2  , AH   8; 2  , BH   0; 2  .
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên

uuur uuur
�AH .BC  0
�
8  x  5  2  y  2   0
�AH  BC
�x  6
�
�
� �uuur uuur
��
��
.
�
2  y  2   0
�BH  AC
�y  2

�
�BH . AC  0

Vậy C  6; 2  .
Chọn đáp án A.

Trang 22


Trang 23