Các đường đặc biệt trong tam giác hình học lớp 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC </b>

<b>I. Đường trung tuyến </b>
<b>1. Định nghĩa </b>

Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng xuất phát từ một đỉnh và đi qua
trung điểm của cạnh đối diện.

AD được gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A hay đường trung tuyến
ứng với cạnh BC.

<b>2. Định lý </b>

Một tam giác có ba đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt
nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm của tam giác cách
mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

= 2

3 , =

2

3 ; =

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>3. Bài tập </b>

<b>Bài 1: Cho hình vẽ. Hãy điền vào chỗ </b>

trống để được kết quả đúng.

a) GM = …GA; GN = …GB; GP = …GC.
b) AM = …GM; BN = …GC; CP = …GP

<b>Bài 2: Cho G là trọng tâm </b>∆DEF với đường trung tuyến DH. Trong các khẳng

định sau đây, khẳng định nào đúng?

= 1

2; = 3; =

1

3; =

2
3

<b>Bài 3: Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh </b>

huyền bằng một nửa cạnh huyền. Giải bài tốn sau:

Cho ∆ABC vng tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ A đến
trọng tâm của ∆ABC.

<b>Bài 4: Cho </b>∆ABC cân tại A, BM và CN lần lượt là đường trung tuyến xuất phát

từ đỉnh B và C của tam giác. Chứng minh BM = CN.

Từ đó đưa ra chú ý:

<b>Định lý: Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên </b>
<b>thì bằng nhau. Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng </b>
<b>nhau thì tam giác đó cân. </b>

<b>Bài 5: Cho </b>∆DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI

b) , là những góc gì?

c) DE = DF = 13 cm, EF = 10cm. Tính DI.

<b>Bài 6: Cho </b>∆ABC có BM, CN là hai đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B và

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Chứng minh EF = BC

b) AG đi qua trung điểm của BC

<b>Bài 7: Cho </b>∆ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác. Cho GM = 1,5cm,

AB = 5cm. Tính AC và chu vi của ∆ABC.

<b>II. </b> <b>Đường cao </b>

<b>1. Định nghĩa </b>

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vng góc kẻ từ một đỉnh đến đường
thẳng chứa cạnh đối diện.

<b>2. Định lý </b>

Ba đường cao của tam giác cắt nhau (đồng quy) tại một điểm, điểm đó được gọi
là trực tâm của tam giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>3. Bài tập </b>

<b>Bài 1: Cho hình vẽ sau </b>

a) Chứng minh CS ⊥ AB

b) Cho = 50 , tính và

<b>Bài 2: Trên đường thẳng d lấy 3 điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ </b>

đường thẳng d’ vng góc với d tại J. Trên d’ lấy điểm M khác điểm J. Đường
thẳng qua I vng góc với MK cắt d’ tại N. Chứng minh rẳng KN ⊥ IM.

<b>Bài 3: Cho </b>∆ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác BD cắt nhau

tại I. Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE = BA. Chứng minh rằng:

a) EI vng góc với AB
b) EI song song với AC.

<b>Bài 4: Cho </b>∆ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của ∆ABC.

a) Chỉ ra các đường cao của ∆HBC, từ đó chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của ∆HAB, ∆HAC.

<b>III. Đường trung trực </b>

<b>1. Đường trung trực của đoạn thẳng </b>
<b>a) Định nghĩa </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>b) Định lý </b>

<b>Thuận: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của </b>

đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
đó.

<b>Đảo: Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì </b>

nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

<b>2. Đường trung trực của tam giác </b>
<b>a) Định nghĩa </b>

Đường trung trực của cạnh tam giác là đường
trung trực của tam giác. Mỗi tam giác có ba
đường trung trực.

<b>b) Định lý </b>

Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua
một điểm, điểm đó cách đều ba đỉnh của tam
giác (gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác).

<b>c) Bài tập </b>

<b>Bài 1: Cho </b>∆ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên cạnh

AB, điểm E trên cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng:

a) AM là đường trung trực của BC.
b) AM là đường trung trực của DE.

<b>Bài 2: Cho </b>∆ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh

AC sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AI là
đường trung trực của BC.

<b>Bài 3: Cho </b>∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Điểm I thuộc đoạn AM,

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a) Nếu AI = 2IM thì I là giao điểm của ba đường….

b) Nếu = thì I là giao điểm của ba đường….

c) Nếu = thì I là giao điểm của ba đường….

<b>Bài 4: Cho </b>∆ABC cân tại A, O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm

D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng:

a) OA = OB = OC

b) O nằm trên đường trung trực của DE.

<b>Bài 5: Cho </b>∆ABC cân tại A có = 36 , đường phân giác CD, tia phân giác

của góc A cắt đường trung trực của AC tại O. Chứng minh rằng:

a) O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.
b) O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ACD.

<b>Bài 6: Tìm tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các </b>

trường hợp sau:

a) , , đều nhọn

b) = 90

c) > 90

<b>IV. </b> <b>Đường phân giác </b>

<b>1. Đường phân giác của một góc </b>
<b>a) Định nghĩa </b>

Đường phân giác trong của
một góc là đường thẳng chia
góc đó thành hai góc bằng
<b>nhau. </b>

Đường phân giác ngoài của
một góc là đường thẳng chia
góc kề bù của góc đó thành

hai góc bằng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>b) Tính chất </b>

Mọi điểm nằm trên đường phân giác cách
đều hai đường thằng hợp thành góc mà nó
chia đôi.

HA = HB

<b>2. Đường phân giác trong tam giác </b>
<b>a) Định nghĩa </b>

Đường phân giác trong tam giác là đường phân
giác trong của các góc trong tam giác. Mỗi tam
giác có ba đường phân giác.

<b>b) Định lý </b>

Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại
một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam
giác (gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác).

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

AM là tia phân giác của góc A nên ta có tỉ số:

=

<b>3. Bài tập </b>

<b>Bài 1: Tính độ dài x trong các hình vẽ sau: </b>

<b>Bài 2: Tam giác ABC có AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng </b>

minh rằng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng .

<b>Bài 3: Cho </b>∆ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tia phân giác của góc

cắt BC tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng EB và EC.

<b>Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với CD và </b>

cắt AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

a) = ;

b) = ;

c) = ;

<b>Bài 5: Cho hình vẽ sau. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9></div>

<!--links-->