Chuyen de he thuc vi et

ôn thi vào THPT
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Toán nâng cao

ứng dụng định lí vi- Ðt
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S = x1 + x2 = 5
Theo hệ thức VI-ÉT ta có 
vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
 P = x1 x2 = 6
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
Bài tập áp dụng:
1.
x1 = 8
vµ
x2 = -3
2.

x1 = 3a vµ

x2 = a

3.

x1 = 36 vµ

x2 = -104

4.

x1 = 1 + 2

vµ

x2 = 1 − 2

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Khơng giải phương trình trên,
hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 +

1
1
và y2 = x1 +
x1
x2

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 1
1
1
x +x
3 9
S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
2 2

 x1 x2 
1
1
1
1 9
P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 +
= 2 +1+1+ =
x1
x2
x1 x2
2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay

y 2 − Sy + P = 0
9
9
y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Khơng giải phương trình, Hãy lập
phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 +
2
(Đáp số: y +

1
1
và y2 = x2 +

x2
x1

5
1
y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )
6
2

2/ Cho phương trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn
y1 = x14 và y2 = x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(Đáp số : y 2 − 727 y + 1 = 0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương

trình bậc hai có

các nghiệm y1 ; y2 sao cho :

(Đáp số

a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3

b) y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1

a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0

b) y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0

)

II. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
(§iều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )
x 2 − Sx + P = 0
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3 x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3
và
P=2
2. S = − 3
và
P=6
3. S = 9
và
P = 20
4. S = 2x
và
P = x2 − y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41

2. a − b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm
tích của a v à b.
81 − ( a 2 + b 2 )
T ừ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) 2 = 81 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = 81 ⇔ ab =
= 20
2
 x1 = 4
2
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x − 9 x + 20 = 0 ⇔ 
 x2 = 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36
 x1 = −4
2
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x − 5 x − 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9
Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9
nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
 a + b = −13
2
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ 

 a + b = 13
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2


«n thi vµo THPT
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 = −4
2
*) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x + 13x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = −9
Vậy a = −4 thì b = −9
 x1 = 4
2
*) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x − 13 x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9
Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 a + b = −11
2
T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ 
 a + b = 11
 x1 = −5
2
*) Nếu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x + 11x + 30 = 0 ⇔ 
 x2 = −6
Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5
 x1 = 5
2
*) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x − 11x + 30 = 0 ⇔ 

 x2 = 6
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm
đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ẫT ri tớnh
giỏ tr ca biu thc
1.Phơng pháp: Bin i biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2
D¹ng 1. x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
2
3
3
2
2
D¹ng 2. x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 

D¹ng 3. x14 + x24 = ( x12 ) 2 + ( x22 ) 2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x22
D¹ng 4. x15 + x25 = ( x13 + x 2 3 )( x1 2 + x 2 2 ) − x1 2 .x 2 2 ( x1 + x 2 )
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2
2

D¹ng 5.

2

x1 − x2 = ? Ta biết ( x1 − x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ±

(

D¹ng 6. x12 − x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ± ( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2 .( x1 + x 2 )

)

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

2
2
D¹ng 7. x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =…….
2

2
2
2
2
D¹ng 8. x14 − x24 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =……

2 3
2 3
2
2
4
2 2
4
D¹ng 9. x16 + x26 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ……..

[

]

D¹ng 10. x16 − x26 = ( x1 2 ) 3 − ( x 2 2 ) 3 = ( x1 2 − x 2 2 ) ( x1 2 ) 2 + x1 2 .x 2 2 + ( x 2 2 ) 2 = ...
D¹ng 11.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3


ôn thi vào THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
+
Dạng13.
x1 1 x2 1
2. Bài tËp ¸p dơng: Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình, hãy tính
2
2
1. x1 + x2

3.

x1 x2
+
x2 x1

1 1
+
x1 x2

(34)

2.

 34 
 ÷
 15 

4. ( x1 + x2 )

8
 ÷
 15 
2

(46)

b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1
+
x1 x2

9
 ÷

8

2
2
2. x1 + x2

(65)

c) Cho phương trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Khơng giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1
+
x1 x2

 14 
 ÷
 29 

2
2
2. x1 + x2

(138)

d) Cho phương trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Khơng giải phương trình, hãy tính:
1 1
+
x1 x2

(3)

2.

1 − x1 1 − x2
+
x1
x2

(1)

2
2
3. x1 + x2

(1)

4.

x1
x
+ 2
x2 + 1 x1 + 1

5
 ÷
6

1.

e) Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính
Q=
HD: Q =

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
6.(4 3) 2 − 2.8
17
=
=
=
3
3
2
2
5 x1 x2 + 5 x1 x2
5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80



IV. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, c¸c em làm lần lượt theo các bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
−b
c
; x1 .x 2 =

a
a
3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các
vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không ph thuc vo tham s.Đó chính là h thc liờn hệ
2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT:

x1 + x 2 =

giữa cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham sè m.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ thức liên hệ
giữa x1 ; x2 sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
(Bài này đà cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bíc 1)
Gi¶i:
Bíc2:

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
2m
2


 x1 + x2 = m − 1
 x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔


 x .x = m − 4
 x .x = 1 − 3 (2)
1 2
1 2
m −1
m −1



Bíc2: Rút m từ (1) ta có :
2
2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =
m −1
x1 + x2 − 2

(3)

Rút m từ (2) ta có :
3
3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =
m −1
1 − x1 x2
Bíc 3:

(4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2

2
Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh rằng biểu

thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
2m

x
+
x
=
1
2

m −1

 x .x = m − 4
 1 2 m − 1

§K:( m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ) ;Thay vào A ta c ó:

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)

0
+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1
Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 . Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc vào m
Bài tập áp dụng:
A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3.

2
1 1. Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc

lập đối với m.
Hướng dẫn:
B1: Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0 . Do đó phương trình đã cho ln
2

2

có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5


«n thi vµo THPT

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 m = x1 + x2 − 2(1)
 x1 + x2 = m + 2

⇔

x1 x2 + 1
 x1.x2 = 2m − 1
 m = 2 (2)
B3:

Từ (1) và (2) ta có:
x1 + x2 − 2 =

2

x1 x2 + 1
⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0
2

2
Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho ln có 2
nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1 + x2 = −(4m + 1)
4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⇔


 x1.x2 = 2(m − 4)
4m = 2 x1 x2 + 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
V.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM
ĐÃ CHO
Đối với các bài tốn dạng này,c¸c em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
 m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
 m ≠ 0
⇔
⇔
⇔

2
2
2
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
 m ≥ −1
∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0
 ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0

6(m − 1)

 x1 + x2 = m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
 x x = 9(m − 3)
 1 2
m

v à t ừ gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:

6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m
(thoả mãn điều kiện xác định )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
2
2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0

⇔ 4 m 2 + 4m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥

7
4

 x1 + x2 = 2m + 1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 
và từ giả thiết 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra
2
 x1 x2 = m + 2
3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
 m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
 m = 4 ( KTM )
3

2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2

nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Bài tập áp dụng
2
1. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
2

2. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
2
3. Cho phương trình : 3 x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở
chỗ
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể
vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Cịn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây
là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm
x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
16
BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤
15
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−( m − 4)

 x1 + x2 =
m
(1)
-Theo VI-ÉT: 
x x = m + 7
 1 2

m
 x1 + x2 = 3 x2
⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: 
2(
x
+
x
)
=
3
x
 1 2
1
2
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m + 127 m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128
BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
 x1 + x2 = 1 − m
(1)
- Theo VI-ÉT: 
 x1 x2 = 5m − 6
 x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⇒ x1 x2 = [ 1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]

- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1
(2)
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ 
(thoả mãn ĐKXĐ)

m = 1
BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nên phương
trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
3m − 2

x
+
x
=
1
2

3
(1)
- -Theo VI-ÉT: 
−
(3
m
+
1)
x x =
 1 2
3
8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6]

- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6
(2)
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
m = 0

32
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ 
m=−
15


(thoả mãn )

VI. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình:
ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:
trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
S = x1 + x2
P = x1 x2
∆
Dấu nghiệm
x1
x2
Điều kiện chung
m
∆≥ 0
∆ ≥ 0 ; P < 0.
±
trái dấu
P<0
∆≥ 0
∆≥ 0 ;P>0
±
±

cùng dấu,
P>0
∆≥ 0
∆≥ 0 ;P>0;S>0
cùng dương,
+
+
S>0
P>0
−
−
∆≥ 0
∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
cùng âm
S<0
P>0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0
∆ = ( m − 7) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

2
⇔

⇔
⇔ −2 < m < 3



m −m−6
P
=
(
m
−
3)(
m
+
2)
<
0
P
=
<
0
P < 0



2
Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
2
1. mx − 2 ( m + 2 ) x + 3 ( m − 2 ) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu.

2
2. 3mx + 2 ( 2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm.
2
3. ( m − 1) x + 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm khơng âm.

VII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta ln phân tích được:
A+ m
C=
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)(*)
k − B
⇒ min C = m ⇔ A = 0
Thì ta thấy : C ≥ m (v ì A ≥ 0 )
C ≤ k (v ì B ≥ 0 )

⇒ max C = k ⇔ B = 0

2
Ví dụ 1: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
 x1 + x2 = −(2m − 1)
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
 x1 x2 = − m
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2
2

Theo đ ề b ài :

= ( 2m − 1) + 8m
2

= 4m 2 − 12m + 1
= (2m − 3) 2 − 8 ≥ −8
Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay m =

3
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2 − mx + m − 1 = 0
Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu
thức sau:
B=

2 x1 x2 + 3
x + x22 + 2 ( x1 x2 + 1)
2
1

 x1 + x2 = m
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
 x1 x2 = m − 1
2 x1 x2 + 3

2 x1 x2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1
⇒B= 2
=
=
= 2
2
2
x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2
m2 + 2
m +2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
2
m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1)
m − 1)
(
B=
= 1− 2
m2 + 2
m +2
2
m −1
Vì ( m − 1) 2 ≥ 0 ⇒ ( 2 ) ≥ 0 ⇒ B ≤ 1
m +2
Vậy max B=1 ⇔ m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2

1
2
m + 2m + 1 − m 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 )
(
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
2
m +2
m +2
2 ( m + 2) 2
Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

( m + 2)

2

2 ( m + 2)

2

≥0⇒ B≥−

1
2

1
⇔ m = −2
2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để
phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.
2m + 1
B= 2
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
m +2
Ta có: ∆ = 1 − B (2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B
Để phương trình (**) ln có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
−2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
hay
Vậy min B = −


1
B≤−


 2 B + 1 ≤ 0
2




1
B ≥ 1
B −1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10


«n thi vµo THPT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy: max B=1 ⇔ m = 1
1
min B = − ⇔ m = −2
2
Bài tập áp dụng
2
2
1. Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị

nhỏ nhất.
2. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 . Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện
x12 + x22 ≥ 10 .
3. Cho phương trình : x 2 − 2(m − 4) x + m 2 − 8 = 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa
mãn
a) A = x1 + x2 − 3 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
2
2
b) B = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
2
2
4. Cho phương trình : x 2 − ( m − 1) x − m 2 + m − 2 = 0 . Với giá trị nào của m, biểu thức C = x1 + x2 dạt giá
trị nhỏ nhất.
2
2
5. Cho phương trình x 2 + (m + 1) + m = 0 . Xác định m để biểu thức E = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11