Chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn số đầy đủ phương pháp giải và dạng toán- Đại Số 8-Chương 4 – Xuctu.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b > 0 ( hoặc
ax + b < 0: ax + b ≥0; ax + b ≤0) trong đó x là ẩn a, b là các số đã cho a ≠0.

b) Bất phương trình tương đương

ĐN: hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng một tập

hợp nghiệm.

Các phép biến đổi tương đương

+ Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất phương 
trình thì được một bất phương trình mới tương đương.

- Hệ quả 1; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương 
trình thì được một bất phương trình tương đương.

- Hệ quả 2: Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì 
được một bất phương trình tương đương.

+ Định lí 2:

- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì được một
bất phương trình tuơng đương.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với bài tập này học sinh có thể giải rễ ràng bằng cách sử dụng các phép biến đổi
tương đương.

Hướng dẫn giải

a ) x – 4 < - 8 ⇔ x < -8 + 4 ⇔x < - 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ∈

{

x ℝ |x< −4

}

b ) x + 3 > - 6 ⇔ x > - 6 – 3 ⇔ x > -9

Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình đã cho là: S = ∈

{

x ℝ |x> −9

}

c ) -2x > - 3x + 3 ⇔ -2x + 3x > 3 ⇔x > 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

d) – 4x – 2.> -5x + 6 ⇔ - 4x + 5x > 6 + 2 ⇔ x > 8

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: S = ∈

{

x ℝ |x>8

}

Bài tập mẫu 2: Giaỉ các bất phương trình sau ;

a ) (x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) +4 b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x + 8) + 26 
Bài tập mẫu 1: Giải các bất phương trình sau.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài tập này sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x không là bậc nhất nên không 
biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một gợi ý nhỏ cho các em: Hãy thực hiện các phép tính ở hai 
vế và thu gọn.

Hướng dẫn giải

a. ( x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) + 4⇔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4

⇔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0⇔ x > 0 hoặc x < 0.

Sau khi giải đến bất phương trình x2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi như sau; x2
> 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu nghiệm của bất phương
trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số, biểu thức bao giờ
cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm các gía trị của x để x2 > 0 ta 
đưa về tìm x để x2 = 0 khi đó những giá trị còn lại của x sẽ làm cho x2 > 0.

b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26

↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26 ↔0 > 2 ( vơ lí )

Nên: Bất phương trình vơ nghiệm.

Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm:

Bước 1: Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình.

Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hạng tử bằng số sang một
vế rồi thu gọn bất phương trình

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc điểm gì và gợi
ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu.

Hướng dẫn giải

1 2 1 5 2 4 16 1 5

; 2 2 4 16 1 5

4 8 8 8

4 5 14 1 15

x x x x

a x x

x x x

− − ≤ − ⇔ − − ≤ − ⇔ − − ≤ −

⇔ − + ≤ + ⇔ ≤

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x / x ≤ 15}

1 1 3 3 12 4 4 96

1 8

4 3 12 12

3 4 100 15 115 115

x x x x

− − ≥ + + ⇔ − − ≥ + +

⇔ − ≥ + ⇔ − ≥ ⇔ ≤ −

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là; S = {x / x ≤ -115}

Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có chứa mẫu:

Bước 1: Quy đồng và khử mẫu

Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số sang
một vế và thu gọn bất phương trình.

Bước 3: Giải bất phương trình sau khi thu gọn.

Hướng dẫn giải

Bài tập mẫu 4: Giải bất phương trình:

mx + 1 ≥ m2 + x ( với m là tham số ) 
Bài tập mẫu 3: Giải các bất phương trình sau:

1 2 1 5 1 1

) 2 ) 1 8

4 8 4 3

x x x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường

(

) (

)(

)

2 2

1 1 1 1 1

mx+ ≥m + ⇔x mx− ≥x m − ⇔ m− x≥ m− m+

Đến bước này sẽ có nhiều em vội vàng suy ra x ≥ ( m + 1 ) bàng cách chia
(m-1)(m+1) cho (m-1) mà quên mất điều kiện để một phép chia có nghĩa là số chia

phải khác không và quy tắc chia hai vế của bất phương trình cho một số âm phải
đổi chiều bất phương trình. Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân chia
trường hợp của m- 1 là ( m-1) > 0; (m – 1 ) <0; ( m- 1 ) = 0 và học sinh có thể giải
tiếp như sau:

+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1

+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1

+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giá trị
của x.

Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để cho mẫu
có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0

x 1 ax

a+ + >

2
2

x

x
a

+ − 1

x
a a

⇔ + + > x 2 2x
a+ −a

Bài tập mẫu 5: Giải bất phương trình ( với a là hằng số ).

1
ax

x

a+ + >

2
2

x

x
a

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

⇔ax 2x+ > 2 1

a−a

1
(a 2)x

a

⇔ + >

- Nếu a > - 2: a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là: x > 1
( 2)

a a+

- Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1
( 2)

x
a a

<
+
- Nếu a = -2 thì bất phương trình có dạng 0x > -1

2 nghiệm đúng với mọi x

Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc đó

là quy đồng, rút gọn rồi mới giải bất phương trình, làm như vậy thì các em sẽ
khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành

2

5

8

11

89

86

83

80 x

+

>

+

Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về
mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng dẫn học sinh tạo ra các
phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng thêm vào mỗi phân thức với 1 khi đó

ta có:

2

5

8

11

89

86

83

80 x

+

x

+

x

+

x

+

>

+

Bài tập mẫu 6: Giải bất phương trình:

2

5

8

11

89

86

83

80 x

+

x

+

x

+

x

+

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(

)

2 5 8 11

1 1 1 1

89 86 83 80

91 91 91 91

89 86 83 80

1 1 1 1

91 0

89 86 83 80

91 0 91

x x x x

x

x x

+ + + +

       

⇔  + + +  > + + + 

       

+ + + +

⇔ + > +

 

⇔ +  + − −  >

 

⇔ + < ⇔ < −

Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì cịn những
bài tốn mà để giải được nó thì phải đưa về bài tốn giải bất phương trình. Bài
tốn này địi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic, phân tích chặt chẽ.

Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai
bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm
phần chung trong tập nghiệm của chúng.

2 3 2

3

2

12 30 20

45

30

5

3

2

12

20

45

0

53

0 x

−

+

≥

⇔

+ −

≥

+

⇔

−

≥ ⇔ −

≥ ⇔ ≤

(1)

3

2

3

5

2

5

6 x

−

x

−

+

≥

15 18 12 15 30 12 48

x x x x

x

⇔ + − ≥ − ⇔ − ≥ −

⇔ ≤ ( 2)

Từ (1) và (2) ta có x ≤0.

Bài tập mẫu 7: Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình

2 3 2

3

2

5

3

2 x

−

x

+

≥

và

3

2

3

5

2

5

6 x

−

x

−

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hướng dẫn giải

Xét bất phương trình:

3

2 0,8

5

2 x

− ≥ +

x

6 x

4

5 x

8

6 x

5 x

4

8 x

1 2

⇔

− ≥

+ ⇔

−

≥ + ⇔

≥

(1)

Xét bất phương trình:

1

2

5

3

6

4 x

−

x

−

>

1 2

4 1 0

9

3

4

3

9 2 2

1 3

x

⇔

−

+

> −

⇔ −

+

> −

⇔ − > −

⇔

<

(2)

Từ (1) và (2) ta có 12 ≤ x <13

Sau khi tìm được các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình thì học sinh
lại thêm bước lựa chọn các giá trị nguyên của x

Vì x € Z nên x = 12

Nhận xét: Khi cho bài tập thì giáo viên có thể cho những bài tập tương tự nhau
nhưng tập sau phải đòi hỏi cao hơn bài tập trước để tạo cho các em vừa biết lợi
dụng các bài tập đã biết để làm tương tự nhưng lại phải tư duy thêm để trả lời
được câu hỏi của bài như vậy sẽ tạo cho các em sự hứng thú và say mê học tập.

Bài tập mẫu 9: tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau

a. 5,2 + 0,3x < - 0,5 b. 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) <4,4

Bài tập mẫu 8: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình

3

2 0, 8

5

2 x

− ≥ +

x

và

1

2

5

3

6

4 x

−

x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Hướng dẫn giải

a. 5,2 + 0,3x < - 0,5

0, 3

x

0, 5 5, 2

0, 3

x

5, 7

x

19 ⇔

< −

−

⇔

< −

⇔ < −

Học sinh khi làm đến đây có nhiều em sẽ không biết vậy x sẽ nhận giái trị nào
thì giáo viên có thể gợi ý: Số ngun nhỏ hơn -19 và gần với -19 nhất là bao nhiêu
thì học sinh sẽ tìm được đó là -20

b. 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) < 4,4

1, 2 2,1 0, 2

x

4, 4

0, 2

x

4, 4 0, 9

x

26, 5

⇔

−

+

<

⇔

<

+

⇔ <

Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26.

Ở bài tập này học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa các phân thức và

đưa về giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a. Giá trị phân thức 5 2
6

x
−

lớn hơn giá trị phân thức

5 3

2 x

−

nghĩa là
Bài tập mẫu 10: Với giá trị nào của x thì

a) Giá trị phân thức

5 −

6

2 x

lớn hơn giá trị phân thức

5

2

3 x

−

b) Giá trị phân thức

1, 5

5

−

x

nhỏ hơn giá trị phân thức

4

5

2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

5 2

5

2 5 2

10

4

6

3

2

10 4 5

12

9

4 x

−

>

−

⇔ −

>

−

⇔ −

−

> − − ⇔ −

> − ⇔ <

Vậy giá trị của phân thức

5 2

6 x

−

lớn hơn giá trị phân thức

5

2

3 x

−

khi x < 3
4

b. Giá trị phân thức

1, 5

5 x

−

nhỏ hơn giá trị phân thức

4

5

2 x

+

nghĩa là

2

5

4

5 ,

1 −

x

<

x

+

⇔

3 −

2 x

<

20 x

+

25

1

22 −

>

⇔

−

>

⇔

x

Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức

1, 5

5 x

−

nhỏ hơn giá trị phân thức

4

5

2 x

+

Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm của bất
phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo yêu cầu của bài.

Đây là phương trình chứa mẫu vì vậy cần tìm điều kiện để phương trình có
nghĩa: Điều kiện x – 1 ≠ 0 suy ra x ≠ 1

Bài tập mẫu 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau dương

1 1
1

m

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Là bài toán về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử dụng đến
bất phương trình

Hướng dẫn giải

1 (1

) (1

)

1 (1

)

1 (1

)

2 m

m x

m

x

m x

m

m x

+ = − ⇔ + = − − +

−

⇔ −

= + + − ⇔ −

=

- Nếu m = 1 thì phương trình có dạng 0x = 0 phương trình vơ nghiệm

- Nếu m ≠ 0 thì

2

1 x

m

=

−

Vì x ≠ 1 nên

2

1 −

m

≠

⇒

m

≠ −

Nghiệm của phương trình là

2

1 x

m

=

−

với m ≠ +-1

Phương trình có nghiệm dương khi

1

0

1 m

≠ + −

<



⇒



− >

<

≠ −



Hướng dẫn giải

Điều kiện

1 1;

2 x

≠

x

≠ −

x

≠

Bài tập mẫu 12: Cho biểu thức 2 2

1

2

5 1 2

:

1 1 1

1 x

A

x

−





=



+

−



−

+

−





</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1 2 2

5

1

2 .

1

2

1

2

1 x

A

x

+ + −

− +

−





=



−



−

= −

−





0

2

0

2 1 0

2

1

2

1

2 A

x

−

>

⇒

>

⇒

− <

⇒

<

⇒

<

−

Kết hợp với điều kiện ta được x < 1

2 và x ≠ -1

Vậy với x < 1

2 và x ≠ -1 thì A > 0

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế giá trị của
biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa: các mẫu
thức khác 0; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm được các giá trị của biến thì phải
so sánh với điều kiện trước khi kết luận.

Hướng dẫn giải

Do a, b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta được

a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0

2 2 2 2

2

4

8

0

2

4

8

16

0 a

ab

b

a

ab

b

a

⇔

−

+

−

+ ≤ ⇔

−

+

−

+

≤

(

2 2

) (

2

)

(

) ( )

2 2

4 8 16

0

2

4

0 a

ab

b

a

b

a

⇔ −

+

+ − + ≤ ⇔ −

+ − ≤

4;

2 a

b

⇔ =

=

Bài tập mẫu 13: Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên: Phần nguyên của
a kí hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a

Ví d ụ; [3,135] = 3 ; [-1,47] = -2

- Nếu b là phần nguyên của a thì ta có

0 a

b

1 b

Z

≤ − <





∈



Từ đó học sinh có thể dựa vào đó để giải bài toán.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, x là số nguyên lớn nhất không vượt qua

3

5

7 x

−

. Do đó

3

5

0

1

3

5

7 x

x Z

−



≤

− <

−







= ⇔













∈



Giải bất phương trình

0

3 7

5

1 x

−

≤

− <

ta có:

4

5

0

1

0

4 5 7

7

5

4

12

3

4 x

− −

≤

< ⇔ ≤ − − <

⇔ ≤ − <

⇔ − ≥ > −

Ta lại có x∈ℤ do đó x = -2.
Bài tập mẫu 14: Tìm x biết rằng

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Hướng dẫn giải

Ta có 2x +1 là số nguyên lớn nhất không vượt quá 3 4 1 9

1 1

x +

nên

34 19

0 2 1 1

34 19

2 1

11 2 1

x

Z

+



≤

− − <

+







= + ⇔













+ ∈



34

19

0

2 1 1

0 12

8 11

11

4

1

3 8 12

3

2

1

3

2

3

2 x

+

≤

−

− < ⇔ ≤

+ <

⇔ − ≤

< ⇔ − ≤

+ <

Mặt khác 2x + 1 € Z nên 2x + 1 = 0 hoặc 2x + 1 = 1

Suy ra x = - 1

2 hoặc x = 0.

Hướng dẫn giải

Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n:

- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là

2 3 4 ...

(

2 (

)(

)

1 )

2

1

2

1

2 n

+

−

+ + +

+

=

+

−

Bài tập mẫu 16: Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1. Người ta xóa đi

một số thì trung bình cộng của các số cịn lại bằng

35

7

17

. Tìm số bị xóa.
Bài tập mẫu 15: Tìm x biết rằng

34 11

19

2

1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là

(

)

(

1 )

1 2 3 ... (

1)

1

2

1

2 n n

n

−

+ + +

+ − =

=

−

Ta có

35

7

2

70

7

2

68

14

70

14

2

17

2

17 n

+

≤

⇔ ≤

≤ + ⇔

≤ ≤

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là 35 7 .69

17 ∉N loại

Nếu n = 69 thì tổng của 69 số còn lại là

35

7 .68 2408

17 =

số bị xóa là

( 1 + 2 + 3 + …..+ 69 ) – 2408 = 7

Dạng 2: Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ.

Với dạng tốn này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị tuyệt
đối. Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu biểu
thức khơng âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức âm.

│A│= A nếu A≥ 0

-A nếu A < 0

Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức âm
hay không âm. Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc
nhất ta cần nhớ định lí sau:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 )

+ Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức.

+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Hướng dẫn giải

a) │3x - 1│ > 5 ( 1 )

* Xét khoảng x < 1

3 thì ( 1) có dạng

1 – 3x > 5

⇔ − > −

3 x

5 1

3

4

3 x

−

⇔ − > ⇔ <

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x < 4
3
−

* Xét khoảng 1
3

x≥ thì (1) có dạng

3x− > ⇔1 5 3x > + ⇔5 1 3x > ⇔ >6 x 2

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x > 2: x < 4
3
−

b) │3-2x│ < x + 1

* Xét khoảng x > 3

2 ,(2) có dạng

Bài tập mẫu 1: Giải các bất phương trình sau

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2 x

− < + ⇔ − < + ⇔ <

3 x

1

2 x x

3 1

x

4

Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là 3 4
2 < x <

* Xét khoảng 3

x ≤ , ( 2 ) có dạng

3 2

1

2 1 3

3

2

3 x x

x

− < + ⇔− − < − ⇔− <− ⇔ >

Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là

2

3 < ≤

x

2

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là:

2

4

3 < <

x

Hướng dẫn giải

a) Lập bảng xét dấu các biểu thức x và x - 4

x 0 4

x - 0 + │ +

x - 4 - │ - 0 +

* Xét khoảng x < 0; ( 1) có dạng

- x – x + 2 ≤ 2 ( 4 – x ) ⇔0x=6

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0
Bài tập mẫu 2: Giải bất phương trình

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

* Xét khoảng 0 ≤ x < 4 ,(1) có dạng

x – x + 2 ≤ 8 - 2x ⇔ ≤x 3

Nghiệm của bất phương trình đang xét trong khoảng này là 0 ≤ x ≤ 3

* Xét khoảng x ≥ 4, (1) có dạng

x – x + 2 ≤ 2x – 8 ↔ x ≥ 5 thỏa mãn x ≥ 4

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3; x ≥ 5

b) Lập bảng xét dấu các biểu thức ( x – 1 ); ( x – 5 )

x 1 5

x - 1 - 0 + │ +

x - 5 - │ - 0 +

* Xét khoảng x < 1, (2) có dạng

1 − + − > ⇔− > ⇔ < −

x

5 x

8

2 x

1

thỏa mãn x < 1

* Xét khoảng 1 ≤ x < 5, (2) có dạng

x− + − > ⇔1 5 x 8 0x>2 không xảy ra với mọi x do đó bất phương
trình vơ nghiệm trong khoảng đang xét.

* Xét khoảng x ≥ 5, ( 2) có dạng

x

− + − > ⇔ > ⇔ >

1 x

5 8

2 x

14 x

7

nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Nhận xét: Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng

khoảng giá trị của biến. Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn cách
dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau:

Dạng 1:

a) Với a là số dương, ta có: │f(x) │ < a⇔ − <a f x( )<a
b) │f(x) │ < g (x)

⇔ −

g x

( )

<

f x

( )

<

g x

( )

Dạng 2:

a) Với số a dương ta có: │f(x) │ > a ( )
( )
f x a
f x a

< −


⇔  >


b) │f(x) │ > g (x) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x
< −



⇔  >


Dạng 3: │f(x)│ > │g(x)│

[

] [

]

2
( ) ( )

f x g x

⇔ >

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: (Theo phương pháp chung )

* Xét khoảng x < 1

2, (1) có dạng

3( 1 – 2x ) <2x + 1 3 6 2 1 8 2 1
4

x x x x

⇔ − < + ⇔ − < − ⇔ >

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 1 1
4< <x 2
Bài tập mẫu 3: Giải bất phương trình

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

* Xét khoảng x ≥ 1

2,(1) có dạng

3(2x− <1) 2x+ ⇔1 6x− <3 2x+ ⇔1 4x< ⇔ <4 x 1

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 1 1
2≤ <x

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 1
4< <x

Cách 2: Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1b

3│2x - 1│ < 2x + 1 3(2 1) (2 1)
3(2 1) 2 1

x x

− > − +


⇔

− < +


6 3 2 1 8 2 1

1
4

6 3 2 1 4 4 4

x x x x

x

x x x

x


− > − − > >

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <

− < + <

   <



b) │5x - 3│ < 3x + 2 5 3 (3 2)
5 3 3 2

x x

− < − +


⇔ − > +


8 1 8

2 5 5

2
x
x
x
x

<

<

⇔ ⇔
>

  >


Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1

8 hoặc x >
5
2

Dạng 3: Bất phương trình tích, bất phương trình thương.

Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể sử
dụng các phép biến đổi tương đương. Khi sử dụng phép biến đổi tương đương
cần chú ý:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5

x 2 5

x – 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

(x – 2) ( x – 5 ) + 0 - 0 +

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5 
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương. 
( x – 2 ) ( x – 5 ) > 0
2 0 2
5 0 5 5
2
2 0 2
5 0 5
x x
x x x
x
x x
x x
 − >  >
 

 
− > >  >
 
 ⇔ ⇔

 − <  <  <
 
− < <
 
 

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: x > 5; x < 2
c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức
x -2 5

x + 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +
Bài tập mẫu 1: Tìm x sao cho

a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0 b) 2
5

x
x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

2
5

x

− + 0 - ║ +

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < -2; x > 5.
 
Hướng dẫn giải 
a) Cách 1: a. x2 - 2x + 1 < 9

⇔ −

(

x

1)

< ⇔ − <

9 x

1 9

⇔ − < − < ⇔ − < <3 x 1 3 2 x 4
Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích

(

)(

)

2 2 1 9 2 2 8 0
2 4 0
x x x x
x x
− + < ⇔ − − <
⇔ + − <
Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ), ( x – 4 )
x -2 4

x + 2 - 0 + │ +

x – 4 - │ - 0 +

(x + 2) ( x – 4 ) + 0 - 0 +

Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4

b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

Bài tập mẫu 2: Giải các bất phương trình sau

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)

(

) (

)

2 2

2 2 2

3 3 9 1 1 3 1 0

3 1 3 0 3 1 0

x x x x x x x x

x

x x x x x

x
⇔ − + + + − + − + ≥

=

⇔ − + − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ = −


Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3, x = - 1.

Hướng dẫn giải

3 2 2

3 2

4

5

20 (

4) 5(

4)

0

10

8 (

2)(

1)(

4)

x

x x

x

−

+ −

> ⇔

− +

−

>

− −

−

+

−

(1)

ĐK; x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ 4

(1)

(

(

)(

)

(

)(

)

)

(

(

)(

)

)

2 2

4 5 5

0 0 ( 1)( 2) 0

1 2 4 1 2

x x x

x x

x x x x x

− + +

⇔ > ⇔ > ⇔ + + >

+ + − + +

x -2 -1

x + 2 - 0 + │ +

x + 1 - │ - 0 +

(x + 2) ( x + 1 ) + ║ - ║ +

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x < -2; - 1 < x < 4; x > 4

2 2

2

4

5

1

2 x

+ +

>

+ +

−

+

(2)

Bài 3: Giải bất phương trình sau

3 2

4

5

20

0

10

8 x

−

+ − >

− −

−

2 2

2

4

5

1

2 x

+ +

>

+ +

−

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

ĐK: x ≠ -1; x ≠ -2

(2)

2 2 2 2

2

4

5

2

3

1

2

1

2 x

+ =

+ + − −

+ +

⇔

>

⇔

>

+

2 2 2 2

2

3 (

2 2)(

2)

(

3 3)

0

1

2 (

1)(

2)

(

1)(

2)

x

+ +

+

+ +

⇔

−

> ⇔

−

>

+

1

0 (

1)(

2) 0

(

x

1)(

x

2)

x

⇔

> ⇔ +

+ >

+

Vì (x + 2) > ( x + 1 ) nên ta có (x + 1)( x + 2) > 0 1 0 1

2 0 2

x x

+ > > −

 

⇔  ⇔ 

+ < < −

 

Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x > -1, x < - 2.

Hướng dẫn giải

ĐK: xy ≠ 0; x ≠ y; x ≠ - y

2 2 2 2

: :

( ) ( )( )

x xy y y x xy x

A

xy x y x x y x y y

 − +   + − 

=   

+ + −

   

1 x

y

x

− = −

. Với A > 1

0 0,

,

y

xy

x

y

xy

x

y x

y



<





⇔



⇔



≠ −





≠

≠ −



Bài tập mẫu 4: Tìm điều kiện của x, y để biểu thức A có giá trị lớn hơn 1

2 2 3 2

1 :

(

)

(

)(

)

x

y

x

A

y

xy

x

xy

x

xy

x

y

x

y

x

A

y x

y

x x

y

x x

y x

y

x

y

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605(Zalo)

Đặt mua tại:

/>

FB:

facebook.com/xuctu.book/

Email:

Đặt online tại biểu mẫu:

/>

ADD Zalo của Nhà Sách để lấy MK chỉnh sửa FILE WORD này!!!

ĐẶT TRƯỚC BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 NĂM HỌC MỚI

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

+ Cập nhật dạng toán mới và Phương pháp mới
+ Cập nhật các đề thi mới trên toàn quốc

+ Viết chi tiết và dễ hiểu.

* Trọn bộ gồm 4 quyển,

Giá 480.000 đồng

=> Free Ship, thanh toán tại nhà.

Bộ phận bán Sách:

0918.972.605(Zalo)

Đặt trực tiếp tại:

/>

</div>

Chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn số đầy đủ phương pháp giải và dạng toán- Đại Số 8-Chương 4 – Xuctu.com

<b>BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN </b>

{

}

{

}

{

}

(

) (

)(

)

2

5

8

11

89

89

86

86

83

83

80

80

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

+

+

+

>

+

+

+

2

5

8

11

89

86

83

80

<i>x</i>

+

<i>x</i>

+

<i>x</i>

+

<i>x</i>

+

+

>

+

2

5

8

11

89

86

83

80

<i>x</i>

+

<i>x</i>

+

<i>x</i>

+

<i>x</i>

+

(

)

2

3 2

3

2

12

30 20

45

30