Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số- Phần 1 – Xuctu.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số- Phần 1 </b>

<b>A. Mục tiêu: </b>

- HS nắm được các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức
mở rộng, tam giác Pascal

- Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
<b>B. Phương tiện: </b>

- GV: giáo án, tài liệu Casio.
- HS: Máy tính Casio.

<b>C. Nội dung bài giảng: </b>
<b>a – biển đổi biểu thức nguyên </b>
<b>I. Một số hằng đẳng thức cơ bản </b>

1. (a ± b)2_{= a}2 ± 2ab + b2_;

(a + b + c)2_{= a}2_{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2bc + 2ca ;}
2

1 2 n

(a +a +...+a ) =

= a12 + + + +a22 ... a2n 2(a a1 2 +a a1 3+ +... a a1 n +a a2 3+ +... a a2 n + +... an 1 n₋a );
2. (a ± b)3_{= a}3 ± 3a2_{b + 3ab}2 ± b3 _{= a}3 ± b3 ± 3ab(a ± b);

(a ± b)4_{= a}4 ± 4a3_{b + 6a}2_b2 ± 4ab3_{+ b}4_;
3. a2_{– b}2_{= (a – b)(a + b) ;}

a3_{– b}3_{= (a – b)(a}2_{+ ab + b}2_{) ;}

an_{– b}n_{= (a – b)(a}n – 1_{+ a}n – 2_{b + a}n – 3_b2_{+ … + ab}n – 2_{+ b}n – 1_{) ;}
4. a3_{+ b}3_{= (a + b)(a}2_{– ab + b}2₎

a5_{+ b}5_{= (a + b)(a}4_{– a}3_{b + a}2_b2_{– ab}3_{+ b}5_{) ;}

a2k + 1_{+ b}2k + 1_{= (a + b)(a}2k_{– a}2k – 1_{b + a}2k – 2_b2_{– … + a}2_b2k – 2_{– ab}2k – 1_{+ b}2k_{) ;}
<b>II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n_{Tam giác Pascal}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Dòng 1 (n = 1) 1 1

Dòng 2 (n = 2) 1 2 1

Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1

Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1

Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ
dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dịng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dịng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 +
2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)n_{thành tổng thì các}
hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng
trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng
hạn, với n = 4 thì :

(a + b)4_{= a}4_{+ 4a}3_{b + 6a}2_b2_{+ 4ab}3_{+ b}4
và với n = 5 thì :

(a + b)5_{= a}5_{+ 5a}4_{b + 10a}3_b2_{+ 10a}2_b3_{+ 10ab}4_{+ b}5
<b>II. Các ví dụ </b>

Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3_{– (x + y – z)}3_{– (y + z – x)}3_{– (z + x – y)}3_.
Lời giải

A = [(x + y) + z]3_{– [(x + y) – z]}3_{– [z – (x – y)]}3_{– [z + (x – y)]}3

= [(x + y)3_{+ 3(x + y)}2_{z + 3(x + y)z}2_{+ z}3_{] – [(x + y)}3_{– 3(x + y)}2_{z + 3(x + y)z}2_{– z}3_{] –}
– [z3_{– 3z}2_{(x – y) + 3z(x – y)}2_{– (x – y)}3_{] – [z}3_{+ 3z}2_{(x – y) + 3z(x – y)}2_{+ (x – y)}3_]
= 6(x + y)2_{z – 6z(x – y)}2_{= 24xyz}

Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2_{≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :}
a) x2_{+ y}2_{; b) x}3_{+ y}3_{; c) x}4_{+ y}4_{; d) x}5_{+ y}5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) x3_{+ y}3_{= (x + y)}3_{– 3xy(x + y) = a}3_{– 3ab}

c) x4_{+ y}4_{= (x}2_{+ y}2₎2_{– 2x}2_y2_{= (a}2_{– 2b)}2_{– 2b}2_{= a}4_{– 4a}2_{b + 2b}2
d) (x2_{+ y}2_)(x3_{+ y}3_{) = x}5_{+ x}2_y3_{+ x}3_y2_{+ y}5_{= (x}5_{+ y}5_{) + x}2_y2_{(x + y)}

Hay : (a2_{– 2b)(a}3_{– 3ab) = (x}5_{+ y}5_{) + ab}2_{⇒ x}5_{+ y}5_{= a}5_{– 5a}3_{b + 5ab}2

<i> Chú ý : a6_{+ b}6_{= (a}2₎3_{+ (b}2₎3_{= (a}3₎2_{+ (b}3₎2</i>

<i> a7_{+ b}7_{= (a}3_{+ b}3_)(a4_{+ b}4_{) – a}3_b3_{(a + b)}</i>

<i> = (a2_{+ b}2_)(a5_{+ b}5_{) – a}2_b2_(a3_{+ b}3₎</i>

Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc = (a + b + c)(a}2_{+ b}2_{+ c}2_{– ab – bc – ca) ;}
b) (a + b + c)3_{– a}3_{– b}3_{– c}3_{= 3(a + b)(b + c)(c + a)}

Lời giải

a) a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc = (a + b)}3_{+ c}3_{– 3abc – 3a}2_{b – 3ab}2
= (a + b + c)[(a + b)2_{– (a + b)c + c}2_{] – 3ab(a + b + c)}
= (a + b + c) [(a + b)2_{– (a + b)c + c}2_{– 3ab]}

= (a + b + c)(a2_{+ b}2_{+ c}2_{– ab – bc – ca)}
b) (a + b + c)3_{– a}3_{– b}3_{– c}3_{= [(a + b + c)}3_{– a}3_{] – (b}3_{+ c}3₎

= (b + c)[(a + b + c)2_{+ (a + b + c)a + a}2_{] – (b + c)(b}2_{– bc + c}2₎
= (b + c)(3a2_{+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]}
= 3(a + b)(b + c)(c + a)

Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3_{– 3(a}2_{+ b}2_{)x + 2(a}3_{+ b}3₎
Lời giải

Đặt S = a + b và P = ab, thì a2_{+ b}2₌

_S

2

₋

_2P

_{; a}3_{+ b}3₌

_S

3

₋

_3SP

_{. Vì vậy :}
A = x3_{– 3(}

_S

2

₋

_2P

_{)x + 2(}

_S

3

₋

_3SP

_{) =}

_(x

3

₋

_{S )}

3

₋

_{(3S x}

2

₋

_{3S )}

3

₊

_(6Px

₋

_6SP)

=

(x

−

S)(x

2

+

Sx

+

S )

2

−

3S (x

2

−

S)

+

6P(x

−

S)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

= (x – a – b)[x2_{+ (a + b)x – 2(a + b)}2_{+ 6ab]}
= (x – a – b)[x2_{+ (a + b)x – 2(a}2

Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) = 5xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2₎
Lời giải

Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z ⇒ (x + y)3_{= –z}3
Hay x3_{+ y}3_{+ 3xy(x + y) = –z}3_{⇒ 3xyz = x}3_{+ y}3_{+ z}3
Do đó : 3xyz(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = (x}3_{+ y}3_{+ z}3_)(x2_{+ y}2_{+ z}2₎

= x5_{+ y}5_{+ z}5_{+ x}3_(y2_{+ z}2_{) + y}3_(z2_{+ x}2_{) + z}3_(x2_{+ y}2₎
Mà x2_{+ y}2_{= (x + y)}2_{– 2xy = z}2_{– 2xy (vì x + y = –z). Tương tự :}

y2_{+ z}2_{= x}2_{– 2yz ; z}2_{+ x}2_{= y}2_{– 2zx.}

Vì vậy : 3xyz(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = x}5_{+ y}5_{+ z}5_{+ x}3_(x2_{– 2yz) + y}3_(y2_{– 2zx) + z}3_(z3_{– 2xy)}
= 2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) – 2xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2₎

Suy ra : 2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) = 5xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2_{) (đpcm)}

Bài tập
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3_{+ 4x}2_{– 29x + 24 ;}
b) x4_{+ 6x}3_{+ 7x}2_{– 6x + 1 ;}
c) (x2_{– x + 2)}2_{+ (x – 2)}2_;

d) 6x5_{+ 15x}4_{+ 20x}3_{+ 15x}2_{+ 6x + 1 ;}
e) x6_{+ 3x}5_{+ 4x}4_{+ 4x}3_{+ 4x}2_{+ 3x + 1.}

2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x8_{+ x}4_{+ 1;}

b) x10_{+ x}5_{+ 1 ;}
c) x12_{+ 1 ;}

3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (x + y + z)3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_;

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4. Cho a + b + c = 0 và a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a}4_{+ b}4_{+ c}4_.
5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :

B = (x – 1)2007_{+ y}2008_{+ (z + 1)}2009_.

6. Cho a2_{– b}2_{= 4c}2_{. Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)}2_.
7. Chứng minh rằng nếu (x – y)2_{+ (y – z)}2_{+ (z – x)}2₌

= (x + y – 2z)2_{+ (y + z – 2x)}2_{+ (z + x – 2y)}2_{thì x = y = z.}

8. a) Chứng minh rằng nếu (a2_{+ b}2_)(x2_{+ y}2_{) = (ax + by)}2_{và x, y khác 0 thì}

a

b

x

=

y

.
b) Chứng minh rằng nếu (a2_{+ b}2_{+ c}2_)(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = (ax + by + cz)}2_{và x, y, z}
khác 0 thì

a

b

c

x

=

y

=

z

.

9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :

a) 5(x3_{+ y}3_{+ z}3_)(x2_{+ y}2_{+ z}2_{) = 6(x}5_{+ y}5_{+ z}5_{) ;}
b) x7_{+ y}7_{+ z}7_{= 7xyz(x}2_y2_{+ y}2_z2_{+ z}2_x2_{) ;}

c) 10(x7_{+ y}7_{+ z}7_{) = 7(x}2_{+ y}2_{+ z}2_)(x5_{+ y}5_{+ z}5_).
10. Chứng minh các hằng đẳng thức sau :

a) (a + b + c)2_{+ a}2_{+ b}2_{+ c}2_{= (a + b)}2_{+ (b + c)}2_{+ (c + a)}2_;
b) x4_{+ y}4_{+ (x + y)}4_{= 2(x}2_{+ xy + y}2₎2_.

11. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2_{+ b}2_{+ (a + b)}2_{= c}2_{+ d}2_{+ (c + d)}2_.
Chứng minh rằng : a4_{+ b}4_{+ (a + b)}4_{= c}4_{+ d}4_{+ (c + d)}4

12. Cho a2_{+ b}2_{+ c}2_{= a}3_{+ b}3_{+ c}3_{= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a}2_{+ b}9_{+ c}1945_.
13. Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau :

a3_{– 3a}2_{+ 5a – 17 = 0 và b}3_{– 3b}2_{+ 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.}
14. Cho a3_{– 3ab}2_{= 19 và b}3_{– 3a}2_{b = 98. Hãy tính : E = a}2_{+ b}2_.

15. Cho x + y = a + b và x2_{+ y}2_{= a}2_{+ b}2_{. Tính giá trị của các biểu thức sau :}
a) x3_{+ y}3_{; b) x}4_{+ y}4_{; c) x}5_{+ y}5_{; d) x}6_{+ y}6_;

e) x7_{+ y}7_{; f) x}8_{+ y}8_{; g) x}2008_{+ y}2008_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605</b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b>FB: </b>

<b>facebook.com/xuctu.book/</b>

</div>

<!--links-->