Bài 5. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của biến cố lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (771.07 KB, 80 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [1D2-5.1-1] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Gọi

 

là số các kết quả thuận lợi cho biến
cố A liên quan đến một phép thử T và n 

 

là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử T

đó. Xác suất P A

 

của biến cố đối của biến cố A không là đẳng thức nào trong các đẳng thức
sau?

A.

 

n A
P A

n


 . B. P A

 

 1 P A

 

. C.

 

n A
P A

n


 . D.

 





 

n A

P A
n





.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Vượng; Fb: Nguyen Vuong
Chọn A

Ta có

 

n A n A

P A P A P A P A

n n

     

  là sai.

Câu 2. [1D2-5.2-1] (Nguyễn Du số 1 lần3) Với các chữ “LẬP”, “HỌC”, “MAI”, “NGÀY”,
“NGHIỆP”, “TẬP”, “VÌ”, mỗi chữ được viết lên một tấm bìa, sau đó người ta trải ra ngẫu
nhiên. Xác suất để được dịng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” bằng:

A.
1

49 . B.

5040 . C.

720 . D. 7

1
7 .
Lời giải

Tác giả:Phan Thị Hồng Cẩm ; Fb: lop toan co cam

PB:Ngô Ngọc Hà ; Fb: Hà Ngọc Ngô 
Chọn B

Số phần tử không gian mẫu khi xếp ngẫu nhiên 7 miếng bìa là n  

 

Số cách xếp để được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” là n A 

 

1 1

7! 5040
n A

P A
n

  

 .

Câu 3. [1D2-5.2-1] (Trần Đại Nghĩa) Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất để
xuất hiện mặt chẵn chấm?

A. 
1

6. B.

4. C.

2. D.

1
3.

Lời giải

Tác giả:Võ Văn Trung; Fb: Van Trung
Chọn C

Gọi A là biến cố “ Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”

( ) 3 1
( ) 6, {2, 4,6} ( ) 3 ( )

( ) 6 2

        


n A

n A n A P A

n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A. 1. B. 
1

2. C.

3. D.

2
3.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tình ; Fb: Gia Sư Tồn Tâm 
Chọn B

Khơng gian mẫu là:  



1, 2,3, 4,5, 6



 n

 

 6.
Gọi A là biến cố: “Mặt có số chấm chẵn xuất hiện”.



2, 4,6



 A  n A

 

3
.

Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là:

 

3 1
6 2

  


n A
P A

n .

Câu 5. [1D2-5.2-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong một lớp học gồm 15 học sinh
nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4
học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?

A. 
219

323. B.

219

323. C.

442

506. D.

443

556.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Sơn; Fb: Nguyễn Văn Sơn

Chọn D

Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra A là biến cố “4 học sinh được 
gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”

Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C254 12650.

Ta có

 

4 4

15 10

63
1575

506
n A

n A C C P A

n

     

 .

Vậy xác suất của biến cố A là

 

63 443

1 1

506 506

P A   P A   

Câu 6. [1D2-5.2-2] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh
nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất chọn được một học sinh nữ.

A. 
10

19. B.

19. C.

9 . D.

1
38.

Lời giải

Fb: Bàn Thị Thiết
Chọn B

Ta có: n( ) C381 38.

Gọi A là biến cố: “Chọn được một học sinh nữ”.

1
18

( ) 18

n A C

   .

Xác suất để chọn được một học sinh nữ là:

( ) 18 9
( )

( ) 38 19
n A

P A
n

  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

viên bi xanh đánh số từ 1 đến 6. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai viên bi từ hộp đó sao cho
chúng khác màu và khác số?

A. 36. B. 42. C. 49. D. 30.

Lời giải
Chọn A

Gọi x là số lần viên bi đỏ được chọn.
Gọi y là số lần viên bi xanh được chọn.
TH1. 1 x 6.

Có 6 cách chọn viên đỏ.
Có 5 cách chọn viên xanh.

 Có 5.6 30 cách.
TH2. x 7.

Có 6 cách chọn viên xanh.
 Có 6 cách.

Vậy có 36 cách chọn.

Câu 8. [1D2-5.2-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy
ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó. Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là

A. 
13

143. B.

132

143. C.

143. D.

250
273.

Lời giải

Tác giả: Lê Bá Phi; Fb:Lee Bas Phi
Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu: n 

 

C155 3003 .

Gọi biến cố A: “5 quả lấy ra có đủ hai màu”. Suy ra biến cố A : “5 quả lấy ra chỉ có 1 màu”.

TH1: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu xanh, có C 105 252 cách.

TH2: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu đỏ, có C 55 1 cách.

Suy ra: n A

 

252 1 253.

Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là: P A

 

 1 P A

 

1 n A

n
 



253
1

3003

  250

273


Vậy xác suất cần tìm là
250
273.

Câu 9. [1D2-5.2-2] (Hùng Vương Bình Phước) Một tổ học sinh có

7

học sinh nam và

3

học sinh
nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.

A.

1
( )

2
P A 

. B.

1
( )

15
P A 

. C.

3
( )

8
P A 

. D.

7
( )

8
P A 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân. 
Chọn B

Số cách chọn 2 học sinh trong 10 học sinh là C102 .

Nên số phần tử của không gian mẫu là

 

2
10 45

n  C 

.
Gọi A : “ Biến cố chọn được hai học sinh đều là học sinh nữ”.
Số cách chọn 2 học sinh nữ trong 3 học sinh nữ là C32.

Khi đó số phần tử của biến cố A là

 

3 3

n A C 

Vậy xác suất để chọn được hai học sinh đều là nữ là

 

3 1

45 15
n A

P A
n

  

 .

Câu 10. [1D2-5.2-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Lấy ngẫu nhiên một
số nguyên dương không vượt quá 10000 . Xác suất để số lấy được là bình phương của một số
tự nhiên bằng? (tính dưới dạng %)

A. 1% . B. 5% . C. 3% . D. 2% .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trần Đức; Fb: Nguyen Tran Duc
Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu: ( ) 10000n   .

Gọi A là biến cố “Số lấy được là bình phương của một số tự nhiên”.

Bình phương của một số tự nhiên có dạng: n (theo đề 2 n   ).*

Ta có 1n2 10000 1 n 100 n A( ) 100 .

Vậy

( )
( )

100

( ) 1%

10000
n A

n

P A  

  .

Câu 11. [1D2-5.2-2] (HSG Bắc Ninh) Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người.
Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ

A. 
1

15. B.

15 . C.

15 . D.

1
5.

Lời giải

Tác giả: Phan Chí Dũng; Fb: Phan Chí Dũng
Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu n

 

 C102 .

Gọi A là biến cố 2 người được chọn đều là nữ, suy ra n A

 

C32.

Xác suất để 2 người được chọn đều là nữ là:

 

3
2

10
2

1
15

n A C

P A

n C

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

đỏ và 5 quả cầu màu xanh, hộp thứ hai chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu màu xanh. Lấy ngẫu
nhiên từ một hộp 1 quả cầu. Xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu đỏ.

A.
7

20 . B.

20 . C.

2 . D.

2
5.
Lời giải

Tác giả:Nguyễn Châu Vinh; Fb: Vinh Châu Nguyễn
Chọn A

Gọi T là phép thử lấy mỗi hộp ra một quả. Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử T là





1 1

12. 10 120

T

n  C C  .

Gọi A là biến cố hai quả lấy ra từ mỗi hộp đều là màu đỏ. Số phần tử của biến cố A là:

 

1 1

7. 6 42

n A C C 

Vậy xác suất của biến cốA là

 

42 7
120 20
n A

P A
n

  



Câu 13. [1D2-5.2-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Một tổ học sinh có 7 nữ và 4 nam. Chọn ngẫu
nhiên 2 người đi trực cờ đỏ. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nam.

A. 
5

55. B.

55. C.

55. D.

1
5.

Lời giải

Tác giả: Ngô Trang; Fb: Trang Ngô

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là: n

 

 C112.

Gọi biến cố A: “ Hai người được chọn đều là nam”.

 

2
4

n A C

 

Vậy xác suất cần tìm là:

 

2
4
2
11

6
55

n A C

P A

n C

  

 .

Câu 14. [1D2-5.2-2] (Ba Đình Lần2) Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu
nhiên 5 bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời
số nam nhiều hơn số nữ bằng

A. 
547

792 . B.

245

792 . C.

210

792 . D.

582
792 .
Lời giải

Tác giả: Trần Văn Tân; Fb: Trần Văn Tân

Chọn B.

Không gian mẫu có số phần tử là n

 

 C125 792.

Gọi A là biến cố: “Trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy xác suất cần tính là

 

245
792
n A

P A

n

 

 .

Câu 15. [1D2-5.2-2] (Kim Liên) Một người muốn gọi điện thoại nhưng nhớ được các chữ số đầu mà
quên mất ba chữ số cuối của số cần gọi. Người đó chỉ nhớ rằng ba chữ số cuối đó phân biệt và
có tổng bằng 5 . Tính xác suất để người đó bấm máy một lần đúng số cần gọi.

A. 
1

24. B.

36. C.

12. D.

1
60.
Lời giải

Tác giả: Thi Hồng Hạnh; Fb: ThiHongHanh

Chọn C

Có 2 bộ số



a b c; ;



có tổng các chữ số bằng 5 là:



0;1; 4 ; 0; 2;3

 



, mỗi bộ số có 3! hốn vị
nên có tất cả 12 khả năng.

Do đó xác suất để người đó bấm máy một lần đúng số cần gọi là
1
12.

Câu 16. [1D2-5.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 9) Một người đang đứng tại gốc O của trục tọa độ Oxy .
Do say rượu nên người này bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài
mỗi bước bằng 1 đơn vị. Xác suất để sau 10 bước người này quay lại đúng gốc tọa độ O bằng

A. 
15

128 . B.

100 . C.

256 . D.

3
20 .
Lời giải

Tác giả: Đỗ Phúc Thịnh; Fb: Đỗ Phúc Thịnh

Chọn C

Mỗi bước người này có 2 lựa chọn sang trái hoặc phải nên số phần tử không gian mẫu là 2 .10
Để sau đúng 10 bước người này quay lại đúng gốc tọa độ O thì người này phải sang trái 5 lần
và sang phải 5 lần, do đó số cách bước trong 10 bước này là C .105

Xác suất cần tính bằng

5
10
10

2 256

C


Câu 17. [1D2-5.2-2] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Có 8 học sinh nam, 5 học sinh nữ
và 1 thầy giáo được sắp xếp ngẫu nhiên đứng thành một vịng trịn. Tính xác suất để thầy giáo
đứng giữa 2 học sinh nam.

A. 
7

.
39

P 

B.

14
.
39
P 

C.

28
.
39
P 

D. 
7

.
13
P 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là: 13!.

Gọi A là biến cố: “Thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam”

Bước 1: Xếp hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo có A82.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: A82.11!.

Vậy

 

8.11! 14.

13! 39
A

P A  

Câu 18. [1D2-5.2-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng
chất.Tính xác suất P để hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2.

A. 
1

3 . B.

9 . C.

9 . D. 1.

Lời giải

Tác giả:Ngô Ngọc Hà ; Fb:Hà Ngọc Ngô

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: n  

 

6.6 36 .
Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán:



 





1; 3 , 3; 1 , 4; 2 , 2; 4 , 3; 5 , 5; 3 , 4; 6 , 6; 4



A 

nên n A 

 

Vậy

 

8 2

36 9

P A  

Câu 19. [1D2-5.2-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Kết quả



b c,



của việc gieo một con
súc sắc cần đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, c là
số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2bx c 0



x  



. Tính xác suất để phương trình bậc hai đó có nghiệm.

A. 
5

12. B.

36. C.

36. D.

31
36.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đức Thắng ; Fb: thangnd275 
Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu của phép thử gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp là 36.

Để phương trình bậc hai x2bx c  có nghiệm là 0 b2 4c (*) với 0 b c ,



1, 2,3, 4,5,6



.

Gọi A là biến cố chọn cặp số



b c;



thỏa mãn b2 4c trong đó 0 b c ,



1,2,3, 4,5,6



.

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 2,3,4,5,6. Suy ra có: 5cặp 1



b c;



 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 3,4,5,6 . Suy ra có: 2 4 cặp



b c;



 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 4,5,6 . Suy ra có: 3 cặp 3



b c;



 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 4,5,6 . Suy ra có: 3 cặp 4



b c;



 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 5,6 . Suy ra có: 5 2 cặp



b c;



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vậy, số cặp



b c;



thỏa mãn điều kiện (*) là 19.

Câu 20. [1D2-5.2-2] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Một đề
kiểm tra Tốn Đại số và Giải tích chương 2 của khối 11 có 20 câu trắc nghiệm. Mỗi câu có 4
phương án lựa chọn, trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm và mỗi
câu trả lời sai không được điểm nào. Một học sinh không học bài nên tích ngẫu nhiên câu trả
lời. Tính xác suất để học sinh nhận được 6 điểm (kết quả làm tròn đến 4 chữ số sau dấu phẩy
thập phân).

A. 0,7873 . B. 
1

4. C. 0,0609 . D. 0,0008 .

Lời giải

Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc 
Chọn D

Gọi A là biến cố “Học sinh nhận được 6 điểm”.

Xác suất đánh đúng 1 câu là 
1

4và đánh sai 1 câu là 
3
4.

Để nhận được 6 điểm học sinh đó cần đánh đúng 12 câu và sai 8 câu.

 

12 8

12
20

1 3

. .C 0,0008

4 4

P A    

     

    .

Câu 21. [1D2-5.2-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Một hộp đựng 15
quả cầu trong đó có 6 quả màu đỏ, 5 quả màu xanh, 4 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 quả
cầu trong 15 quả cầu đó. Tính xác suất để 6 quả lấy được có đủ ba màu.

A. 
757

5005. B.

4248

5005. C.

607

715. D.

850
1001.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú 
Chọn D

Gọi  là không gian mẫu, ta có

 

15 5005

n  C 
.

Gọi A là biến cố: “6 quả lấy được có đủ ba màu”

A

 : “6 quả lấy được khơng có đủ ba màu”.

TH1: 6 quả lấy được chỉ một màu đỏ có C  cách.66 1

TH2: 6 quả lấy được có hai màu

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và xanh: có C116  C66 461 cách.

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và vàng: có C106  C66 209 cách.

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và xanh: có C 96 84 cách.

 

1 461 209 84 755
n A

     

 

755 151
5005 1001
n A

P A
n

   

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vậy P A

 

 1 P A

 

 1 1001 1001 .

Câu 22. [1D2-5.2-2] (Đoàn Thượng) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 300 . Gọi A là biến cố
“số được chọn khơng chia hết cho 3 ”. Tính xác suất

P A

 

của biến cố A.

A.

 

2
3
P A 

. B.

 

124
300
P A 

. C.

 

1
3
P A 

. D.

 

99
300
P A 

.
Lời giải

Tác giả: Lê Thị Thu Hường ; Fb: Lê Hường 
Chọn A

Có 300 số tự nhiên nhỏ hơn 300 nên n  

 

300.

Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 mà chia hết cho 3 là:



297 0 : 3 1 100



  .

Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 mà không chia hết cho 3 là: 300 100 200  nên n A 

 

200.

Vậy

 

200 2
300 3

n A

P A
n

  

 .

Câu 23. [1D2-5.2-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Trong một hộp có 3
bi đỏ, 5 bi xanh và 7 bi vàng. Bốc ngẫu nhiên 4 viên. Xác suất để bốc được đủ 3 màu là

A. 
8

13 . B.

13 . C.

13 . D.

5
13 .
Lời giải

Tác giả: Trần Tố Nga; Fb: Trần Tố Nga

Chọn B

Hộp có 3 5 7 15   viên bi.

Số phần tử của không gian mẫu là:  C154 1365.

TH1: Bốc được 4 viên trong đó có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng.

 Có C32.5.7 105 cách.

TH2: Bốc được 4 viên trong đó có 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng và 1 viên bi vàng.

 Có 3. .7 210C52  cách.

TH3: Bốc được 4 viên trong đó có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi vàng.

 Có 3.5.C 72 315 cách.

Vậy số cách bốc 4 viên có đủ 3 màu là 105 210 315 630   cách.

Vậy xác suất cần tìm là:

630 6
1365 13

P  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

A.

27 . B.

28 . C.

25 . D.

4
9 .

Lời giải

Tác giả: Admin Tổ 4 – Strong Team

Chọn A

+ Ta có  94

+ abcd  và , , ,6 a b c dX

Ta có d có 4 cách chọn



2, 4,6,8



, a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn. Vì a b d  khi chia
cho 3 có 3 khả năng số dư



0;1;2



, mà



a b d c  



 nên c có 3 cách chọn.3

Ta có:  A 4.9.9.3

Xác suất cần tìm là: 4

4.9.9.3 4

9 27

P  

Câu 25. [1D2-5.2-2] (TTHT Lần 4) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ tập
hợp X 



1, 2,3, 4,5,6,7,8,9



. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất chọn được số chia
hết cho 15

Câu 26. [1D2-5.2-2] (TTHT Lần 4) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau
được lập từ tập hợp X 



1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9



. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất
chọn được số chia hết cho 30

Câu 27. [1D2-5.2-2] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4
quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu
xanh bằng

A. 
4

455 . B.

91 . C.

165 . D.

24
455 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tân Tiến ; Fb: Nguyễn Tiến

Chọn A

Ta có

 

3
15

n  C
.

Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh” 

 

3
4

n A C
.

Nên

 

4
455
n A

P A
n

 

 .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A. 7 . B. 42 . C. 21 . D. 42 .
Lời giải

Chọn D.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách có:

3
9 84

C

  

cách.

Gọi A là biến cố: 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển toán.

Suy ra A là biến cố: lấy 3 quyển sách và khơng có quyển nào là quyển tốn.

Khi đó  A C53 10. Vậy

10 5
84 42
A

A

p   



5 37

1 1

42 42

A A

p p

     

Câu 29. [1D2-5.2-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho



2;0 ,





2;2 ,





4;2 ,





4;0



A  B  C D

. Chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ



x y;



(với
,

x y ¢ ) nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các điểm trên cạnh). Gọi A là biến cố: “x y,
đều chia hết cho 2”. Xác suất của biến cố A là .

A.1 . B.

21 . C.

21 . D.

13
21 .

Lời giải

Tác giả: Võ Trọng Trí; Fb: Võ Trọng Trí

Chọn B

Ta có  





x y,



  2 x 4,0 y 2, ,x y¢



. Do đó n  

 

21.

Ta cũng có A





x y x,



 



2,0, 2, 4 ;



y



0, 2



 n A

 

8.

Vậy xác suất của biến cố A là

 

8
21
P A 

Câu 30. [1D2-5.2-3] (Sở Hà Nam) Một chiếc hộp chứa 6 quả cầu màu xanh và 4 quả cầu màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ chiếc hộp ra 5 quả cầu. Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy được có
đúng 2 quả cầu màu đỏ.

A.
5

14. B.

21. C.

21. D.

3
7.

Lời giải

Tác giả: Hồ Thanh Nhân; Fb: Nhan Ho Thanh
Chọn B

Chiếc hộp chứa 6 quả cầu màu xanh và 4 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ chiếc hộp ra 5

quả cầu nên số phần tử của không gian mẫu là

 

5
10

n  C
.

Gọi A là biến cố: ”5 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu màu đỏ”.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Xác suất cần tìm là:

 

2 3
4 6

5
10

. 10

n A C C

P A

n C

  



Câu 31. [1D2-5.2-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Tổ tốn của một trường
THPT có 4 thầy giáo và 10 cô giáo. Tổ chọn ngẫu nhiên 2 giáo viên để đi tập huấn. Tính xác
suất để 2 giáo viên được chọn gồm 1 thầy giáo và 1 cô giáo.

A. 
45

91 . B.

91 . C.

91 . D.

20
91 .
Lời giải

Tác giả: Phạm Bình ; Fb: Phạm An Bình
Chọn C

Gọi biến cố A: “2 giáo viên tập huấn gồm 1 thầy giáo và 1 cô giáo”.

Suy ra n  

 

C142 và

 

1 1
4 10

A C C

n  

Vậy

 

1 1
4 10

2
14

A C C 40

P A

C 91

n
n



  

 .

Câu 32. [1D2-5.2-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho tập hợp S 



1,2,3, ,17



gồm 17 số nguyên
dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của tập S. Tính xác suất để tập hợp con chọn được
có tổng các phần tử chia hết cho 3.

A.
27

34 . B.

68 . C.

34 . D.

9
17 .
Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong ; Fb: Võ Thanh Phong 
Chọn B

Không gian mẫu: n  

 

C173 .

Gọi A là biến cố chọn tập hợp con gồm 3 phần tử và có tổng chia hết cho 3.

Trường hợp 1: Có 5 số trong tập S chia hết cho 3 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn.35

Trường hợp 2: Có 6 số trong tập S chia hết cho 3 dư 1 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn.36

Trường hợp 3: Có 6 số trong tập S chia hết cho 3 dư 2 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn.36

Trường hợp 4: Chọn một phần tử trong tập S chia hết cho 3, một phần tử trong tập S chia hết
cho 3 dư 1, một phần tử trong tập S chia hết cho 3 dư . Suy ra có 5.6.6 cách chọn.

Vậy xác suất cần tìm là

 

3 3 3

5 6 6

3
17

C C C 5.6.6 23

C 68

n A
P A

n

  

  

 .

Câu 33. [1D2-5.2-3] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm
sáu chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ
số cịn lại mỗi chữ số có mặt đúng một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để
số được chọn khơng có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau.

A. 
1

6 . B. 0,3 . C. 0, 2 . D.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chọn C

Ta có

( ) 120

3!
n   

(vì chữ số 1 có mặt đúng 3 lần).

2 3 4

Xếp ngẫu nhiên 3 chữ số 2, 3, 4 có 3! (cách). Vì 3 chữ số 2, 3, 4 sau khi xếp sẽ có 4 vách ngăn
(gồm 2 vách ngăn giữa và 2 vách ngăn đầu) nên số cách xếp các chữ số 1 không kề nhau tương
ứng số cách xếp các chữ số 1 vào các vách ngăn là: C43 (cách).

Vậy xác suất cần tính là:

3
4

3! 1

0, 2
120 5

C

P   

Câu 34. [1D2-5.2-3] (Chuyên KHTN) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu
nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một
học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện một học sinh nữ.

A.
1

252 . B.

945. C.

63 . D.

4
63 .
Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đức Hoạch; Fb: Hoạch Nguyễn
Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu: n  

 

10!.

Gọi biến cố A: “Xếp 10 học sinh vào 10 ghế sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện một
học sinh nữ”.

Giả sử đánh vị trí ngồi như bảng sau:

A A2 A3 A4 A5

B B2 B3 B4 B5

Cách 1: Xếp vị trí A có 10 cách. Mỗi cách xếp vị trí 1 A sẽ có 5 cách xếp vị trí 1 B .1

Mỗi cách xếp vị trí A , 1 B có 8 cách xếp vị trí 1 A , tương ứng sẽ có 2 4 cách xếp vị trí B .2

Cứ làm như vậy thì số cách xếp thỏa mãn biến cố A là: n A 

 

10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 460800 .

 

460800 8
10! 63
n A

P A

n

   

 .

Cách 2: Đánh số cặp ghế đối diện nhau là C1, C2, C3, C4, C5

Xếp 5 bạn nam vào 5 cặp ghế có 5! cách.

Xếp 5 bạn nữ vào 5 cặp ghế có 5! cách.

Ở mỗi cặp ghế, ta có 2 cách xếp một cặp nam, nữ ngồi đối diện.

 Số phần tử của A là n A 

 

5!.5!.25 460800.

 

460800 8
10! 63
n A

P A
n

   

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 35. [1D2-5.2-3] (THPT Nghèn Lần1) Một hộp chứa

3

bi xanh, 4 bi đỏ và

5

bi vàng có kích
thước khác nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó 4 viên bi. Xác suất để 4 viên bi lấy ra có đủ ba

màu là

A. 
86

165. B.

11. C.

165. D.

6
11.

Lờigiải

Tác giả: Lưu Liên; Fb:Lưu Liên 
Chọn D

Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp có 12 viên bi thì có n( ) C124 .

Số cách lấy để được đủ ba màu là n A( ) 3.4. C524.5.C323.5.C42.

Xác suất để 4 viên bi lấy ra có đủ ba màu bằng

2 2 2

5 3 4

4
12

( ) 3.4. 4.5. 3.5. 6

( )

( ) 11

n A C C C

P A

n C

 

  

 .

Câu 36. [1D2-5.2-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Raashan, Sylvia và Ted cùng chơi một trò chơi.
Mỗi người bắt đầu với 1$. Chuông reo sau mỗi 15 giây, tại thời điểm đó mỗi người chơi mà
đang có tiền sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai người còn lại để đưa 1$ (Ví dụ sau khi chng
reo lần thứ nhất, Raashan và Ted có thể cùng đưa cho Sylvia 1$ và Sylvia có thể đưa tiền của
cơ ấy cho Ted, khi đó Raashan có 0$, Sylvia có 2$ và Ted có 1$. Đến vịng thứ hai, Raashan
khơng có tiền để đưa nhưng Sylvia và Ted có thể chọn đưa cho nhau 1$…). Xác suất để sau

2019 lần chuông reo, mỗi người chơi có 1$ là bao nhiêu?

A. 
1
7 . B.

2 . C.

3 . D.

1
4 .
Lời giải

Tác giả: Thu Hương; Fb: Hương Mùa Thu
Chọn D

Sau khi chia tiền lần đầu tiên sẽ có 8 trường hợp xảy ra như sau:

Raashan Sylvia Ted

1 1 1

2 1 0

2 0 1

1 2 0

0 2 1

1 0 2

0 1 2

Các số lần lượt là số tiền của mỗi bạn. Có hai trường hợp cho kết quả



1;1;1



đó là Raashan  Sylvia
 Ted  Raashan hoặc Raashan  Ted  Sylvia  Raashan.

Với mỗi trường hợp cho kết quả



1;1;1



thì lượt chơi tiếp theo sẽ có
1

4 cơ hội để số tiền mỗi người
bằng nhau.

Đối với trường hợp một người có 2$, một người có 1$ và người cịn lại khơng có tiền thì lượt chơi thứ
hai sẽ có 4 trường hợp xảy ra. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử Raashan có 2$, Sylvia có 1$
và Ted khơng có tiền, ta có những cách chuyển tiền như sau:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Raashan  Ted  Sylvia.
- Sylvia  Raashan  Ted.

Như vậy trong 4 khả năng trên chỉ có một khả năng cho kết quả



1;1;1



chiếm tỉ lệ
1
4 .

Cứ tiếp tục chơi như vậy đến lượt thứ 2019. Khi đó xác suất mỗi người chơi có 1$ là

2 1 6 1 1

. .

8 4 8 4 4.

Câu 37. [1D2-5.2-3] (Liên Trường Nghệ An) Có 3 quyển sách tốn, 4 quyển sách lý và 5 quyển sách
hóa khác nhau được sắp xếp ngẫu nhiên lên một giá sách có 3 ngăn, các quyển sách được sắp
dựng đứng thành một hàng dọc vào một trong 3 ngăn ( mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả các
quyển sách). Tính xác suất để khơng có bất kỳ hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau.

A. 
36

91 . B.

91 . C.

91 . D.

55
91 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn D

Tổng có 3 4 5 12   quyển sách được sắp xếp lên một giá sách có 3 ngăn (có 2 vách ngăn). Vì
vậy, ta coi 2 vách ngăn này như 2 quyển sách giống nhau. Vậy số phần tử không gian mẫu  là

 

14!
2!
n  

Gọi A là biến cố : “ Sắp xếp các 12 quyển sách lên giá sao cho khơng có bất kỳ hai quyển sách 
toán nào đứng cạnh nhau”.

+) Xếp 9 quyển sách ( lý và hóa) cùng 2 vách ngăn có
11!

2! cách.

+) Lúc này, có 12 “khoảng trống” ( do 9 quyển sách ( lý và hóa) cùng 2 vách ngăn tạo ra) để

xếp 3 quyển sách toán vào sao cho mỗi quyển vào một “khoảng trống” có A312 cách.

Vậy có tất cả

3
12

11!
.A

2! cách. Suy ra

 

3
12

11!
.A
2!
n A 

cách.

Vậy xác suất để khơng có bất kỳ hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau là:

 

3
12

11!

.A 55

14! 91
2!

n A
P A

n

  



Câu 38. [1D2-5.2-3] (CổLoa Hà Nội) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, tính xác suất để số được chọn lớn hơn số 6700.

A. 
10

27 . B.

33 . C.

29 . D.

21
46 .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan

Chọn A

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd



a 0



Số phần tử của không gian mẫu là

 

3
9

9. 4536
n   A 

Gọi biến cố A: ‘‘Số được chọn lớn hơn số 6700’’.
Ta các TH sau:

TH1: a 6 có 1 cách chọn.

+ b 



7;8;9



có 3 cách chọn.

+ Các chữ số ,c d được chọn từ 8 chữ số cịn lại có sắp thứ tự và số cách chọn là A .82

Số cách để chọn ở trường hợp 1 là: 3.A 82

TH2 : a 



7;8;9



có 3 cách chọn. Khi đó: , ,b c d có A cách chọn.93

Số cách để chọn ở trường hợp 1 là: 3.A 92

Như vậy, ta được n A

 

3.A823.A93 1680.

Suy ra,

 

1680 10
4536 27
n A

P A
n

  



Câu 39. [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Tại trạm xe buýt có 5 hành khách đang chờ xe đón,
trong đó có A và B. Khi đó có 1 chiếc xe ghé trạm để đón khách, biết rằng lúc đó trên xe chỉ
cịn đúng 5 ghế trống mỗi ghế trống chỉ 1 người ngồi như hình vẽ bên, trong đó các ghế trống
được ghi 1; 2;3; 4;5 như hình vẽ.

5 hành khách lên xe ngồi ngẫu nhiên vào 5 ghế còn trống, xác suất để A và B ngồi cạnh nhau

bằng

A.
2

5 B.

5 . C.

10 D.

3
5

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Văn Phú ;Fb:Nguyễn Văn Phú. 
Chọn B

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

+ Xếp A và B vào 2 vị trí cạnh nhau vừa chọn có 2! cách.
+ Xếp 3 người cịn lại có 3! cách.

Số cách xếp là 2.2!3!. Xác suất cần tính bằng

2.2!3! 1
.

5! 5

Câu 40. [1D2-5.2-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Gọi S là tập hợp các số tự
nhiên có ba chữ số (khơng nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 .
Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a b c 

A. 
1

6. B.

60. C.

60. D.

9
11.

Lời giải

Tác giả: Lương Thị Chính, FB: Chính Lương

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu n  ( ) 9.102 900.

Gọi biến cố A” Chọn được một số thỏa mãn a b c  ”.

Vì a b c  mà a  nên trong các chữ số sẽ khơng có số 0 .0

TH1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số.

TH2: Số được chọn tạo bới hai chữ số khác nhau.

Số cách chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: C92.

Mỗi bộ 2 chữ số được chọn tạo ra 2 số thỏa mãn yêu cầu.

Vậy có 2.C92 số thỏa mãn.

TH3: Số được chọn tạo bởi ba chữ số khác nhau.

Số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: C93.

Mỗi bộ 3 chữ số được chọn chỉ tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu.

Vậy có C93 số thỏa mãn.

Vậy n A( ) 9 2.  C92C93 165

Xác suất của biến cố A là:

( ) 165 11
( )

( ) 900 60

n A

P A
n

  

 .

Câu 41. [1D2-5.2-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Trong một lớp học có hai tổ. Tổ 1 gồm 8 học sinh nam và
7 học sinh nữ. Tổ 2 gồm 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ hai em học
sinh. Xác suất để trong bốn em được chọn có 2 nam và 2 nữ bằng

A. 
40

99 . B.

165 . C.

197

495 . D.

28
99 .
Lời giải

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chọn mỗi tổ hai học sinh nên số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C152.C122 6930

Gọi biến cố A: “Chọn 4 học sinh từ 2 tổ sao cho 4 em được chọn có 2 nam và 2 nữ”
Khi đó, xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Chọn 2 nam ở Tổ 1, 2 nữ ở Tổ 2. Số cách chọn là C C82. 72 .

TH2: Chọn 2 nữ ở Tổ 1, 2 nam ở Tổ 2. Số cách chọn là C C72. 52 .

TH3: Chọn ở mỗi tổ 1 nam và 1 nữ. Số cách chọn là C C C C81. . .71 51 17

Suy ra, n A

 

C C82. 72C C72. 52C C C C81. . .71 51 71 2758

Xác suất để xảy ra biến cố A là

 

2758 197
6930 495

P A  

Câu 42. [1D2-5.2-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Từ một cỗ bài
tú lơ khơ gồm 52 con, lấy ngẫu nhiên lần lượt có hồn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy
được con át thì dừng. Xác suất để quá trình lấy dừng lại sau khơng q ba lần bằng (làm trịn
đến bốn chữ số thập phân sau dấu phẩy)

A.0,0769 B.0,2134 C.0,2135 D.0,1500

Câu 43. [1D2-5.2-3] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MƠN II LẦN 3 NĂM 2019)

Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu trắng hoặc đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp đúng một viên bi. Biết tổng số bi ở hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là

84. Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng.

A. 
11

30. B.

30. C.

28. D.

1
28.

Lời giải

Tác giả: Phạm Minh Thùy; Fb: Phạm Minh Thùy
Chọn D

Giả sử hộp 1 có x viên bi, trong đó có a viên bi đen.

Hộp 2 có y viên bi, trong đó có

b

viên bi đen.

( , , ,x y a b là những số nguyên dương, xy a, x b y,  )

Từ giả thiết x y 20,

 

55 84 1

84
ab

xy ab

xy   

Từ đó ta có xy chia hết cho

84

Mặt khác





100
4

xy  x y 

suy ra xy 84 ta được x 14, y 6.

Thay vào

 

1 ta được ab 55 nên a là ước của 55. Do a 14 nên a 11suy ra b 5.

Vậy xác suất để lấy được 2 bi trắng

6 5 14 11 1

. .

6 14 28

 



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A.

8 5
8

.
3
C A

. B.

8 2
8
3

.
C C

A . C.

8 2
8
3

.
C A

A . D. 88

.2
3
C

Lời giải

Tác giả:Lê Tuấn Duy ; Fb: Lê Tuấn Duy

Chọn D

Số phần tử không gian mẫu: n  ( ) 3 .8

Gọi A là biến cố: ''Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất''.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n( )A C83 52 .

Xác suất của biến cố A:

3 5
8

( ) .

3
C
P A 

Câu 45. [1D2-5.2-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Đoàn trường THPT Nguyễn Đình Liễn
tổ chức giao lưu bóng chuyền học sinh giữa các lớp nhân dịp chào mừng ngày 26/3. Sau q
trình đăng kí có 10 đội tham gia thi đấu từ 10 lớp, trong đó có lớp 10A1 và 10A2. Các đội chia
làm hai bảng, kí hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng 5 đội. Việc chia bảng được thực hiện bằng
cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 2 đội 10A1 và 10A2 thuộc hai bảng đấu khác
nhau.

A. 
5

9 . B.

18 . C.

9 . D.

9
10 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Phản biện : Lê Thị Hồng Vân ;FB:Hồng Vân

Chọn A

+ Chia đều 10 đội vào 2 bảng A và B có C C105. 55 cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là :

 

5 5
10. 5

n  C C

+ Sắp xếp 2 đội của 2 lớp 10A1 và 10A2 vào 2 bảng khác nhau A và B có 2! cách.

Chọn 4 đội trong 8 đội cịn lại để xếp vào bảng có đội lớp 10A1 có C84 cách.

Bốn đội cịn lại xếp vào bảng còn lại.

Suy ra số cách chia đều 10 đội vào 2 bảng sao cho 2 đội 10A1 và 10A2 nằm ở 2 bảng khác
nhau là 2!.C84.

Gọi A là biến cố “Chia đều 10 đội vào 2 bảng sao cho 2 đội 10A1 và 10A2 nằm ở 2 bảng 
khác nhau ” thì số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n A

 

2!.C84

+ Xác suất cần tìm là:

 

4
8
5 5
10 5

2!. 5

. 9

n A C

p A

n C C

  

 .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

A. 
1

216. B.

54 . C.

72 . D.

1
108 .
Lời giải

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa
Chọn C

Không gian mẫu: “ gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 3 lần liên tiếp”  n

 

 63 216.

Biến cố A: “số abc chia hết cho 45”.

abc chia hết cho 45  abc chia hết cho cả 5 và 9.

Vì abc chia hết cho 5 nên c 5 (c 0 vì , ,a b c là số chấm xuất hiện của súc sắc khi gieo).
Vì abc chia hết cho 9 mà c 5 a b 5 chia hết cho 9.

Các cặp số



a b;



sao cho ,a b 



1; 2;3;4;5;6



mà a b 5 chia hết cho 9 là:



1;3 , 3;1 , 2;2

 



.
Do đó: n A 

 

Vậy

 

3 1

Ω 216 72

n A
P A

n

  

Câu 47. [1D2-5.2-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
NGÃI) Sắp ngẫu nhiên 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất
để khơng có học sinh nữ nào đứng cạnh nhau.

A. 
5

12 . B .

14 . C.

42 . D.

1
112 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Hương ; Fb: Thanh Hương Nguyễn

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là n  

 

8!.

Sắp 5 học sinh nam thành một hàng ngang, có 5! cách (tạo ra 6 khoảng trống).

Chọn 3 khoảng trống trong 6 khoảng trống để xếp 3 nữ, có C63 cách chọn. Khi đó, số cách

xếp 3 bạn nữ là C63.3! cách.

Vậy xác suất cần tìm là

3
6

5!. .3! 5

8! 14

C

P  

Câu 48. [1D2-5.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Một đoàn tàu
gồm ba toa đỗ sân ga. Có 5 hành khách lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với nhau. Chọn ngẫu
nhiên một toa. Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu.

A. 
50

81. B.

81. C.

81. D.

20
243.

Lời giải

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Số phần tử không gian mẫu: n  ( ) 3 .5

Gọi A là biến cố: ''Mỗi toa có ít nhất một khách lên tàu''.

Có hai trường hợp:

TH1: Một toa có 3 khách 2 toa cịn lại mỗi toa có 1 khách.

Trường hợp này có: C C31 532 60 (cách).

TH 2: Một toa có 1 khách 2 toa cịn lại mỗi toa có 2 khách.

Trường hợp này có: C C C  (cách).31 51 24 90

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: ( ) 150n A  (cách).

Xác suất của biến cố A : 5
150 50

( ) .

3 81

P A  

Câu 49. [1D2-5.2-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một quân vua được đặt ở một
ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh
hoặc chung đỉnh với ơ đang đứng ( xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu

nhiên 3 bước. Xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô ban đầu là

A.
3

64 . B.

3
8

8!
C

. C.

3
8

8!
A

. D.

3
512.

Lờigiải

Tácgiả:; Fb: Thanhhoa Nguyễn
Chọn A

Không gian mẫu là 83
Có hai trường hợp

+ Trường hợp 1: Bước 1 đi 4 ơ góc thì bước 2 có 2 cách đi, bước 3 có 1 cách đi

+ Trường hợp 2: Bước 1 đi 4 ơ cịn lại thì bước 2 có 4 cách đi, bước 3 có 1 cách đi

Vậy tât cả có 4.2 4.4 24 

Suy ra xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô ban đầu là 3 2
24 3
8 8

Câu 50. [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho đa giác đều 20 cạnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa
giác đều. Xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào là
cạnh của đa giác đều bằng

A.
3

38 . B.

114 . C.

57 . D.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lời giải

Tác giả: Lưu Liên ; Fb: : Lưu Liên 
Chọn C

Đa giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh có C cách.203

Để 3 đỉnh là 3 đỉnh một tam giác vng khơng có cạnh nào là cạnh của đa giác đều thực hiện
theo các bước:

Lấy một đường kính qua tâm đường trịn có 10 cách ta được 2 đỉnh.

Chọn đỉnh còn lại trong 20 2 4 14    đỉnh (loại đi 2đỉnh thuộc đường kính và 4 đỉnh gần 
ngay đường kính đó) cách.

Vậy có tất cả 10 14 140   tam giác thoả mãn.

Xác suất cần tính bằng 203

140 7
.
57

C 

Câu 51. [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 17) Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm; 3cm; 5cm;7cm;
9cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Xác suất để ba đoạn thẳng lấy
ra tạo thành ba cạnh của một tam giác bằng

A.
2

5. B.

10. C.

5. D.

3
10.
Lời giải

Chọn D

Lấy ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có C 53 10cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu

là n  

 

10.
Gọi A

là biến cố: " Ba đoạn thẳng lấy ra tạo thành ba cạnh của một tam giác ".

Khi đó 3 đoạn thẳng được chọn thỏa mãn tính chất: Tổng độ dài 2 đoạn thẳng luôn lớn hơn độ
dài đoạn thẳng cịn lại.

Có 3 bộ thỏa mãn là



3;5;7 , 3;7;9 , 5;7;9

 



 n A

 

3.

Vậy xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra tạo thành ba cạnh của một tam giác là

 

3
.
10
n A
P A

n

 



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

A. 21. B. 7. C. 35. D. 35.
Lời giải

Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương

Chọn A

Gọi C là biến cố: Xếp hai học sinh ,A B ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau.

Số cách xếp ngẫu nhiên 36 học sinh vào 36 cái bàn là 36!, hay n  36

 

Ta tìm số cách xếp thuận lợi cho biến cố C :

- Chọn 1 hàng hoặc 1 cột có C121 cách;

- Mỗi hàng hoặc cột đều có 6 bàn nên có 5 cặp bàn xếp kề nhau, chọn lấy 1 trong 5 cặp

bàn cạnh nhau trong hàng hoặc cột vừa chọn ra có C15 cách;

- Xếp A và B vào cặp bàn vừa chọn có 2! cách;

- Xếp 34 học sinh cịn lại có 34! cách.

Vậy tổng số cách xếp thoả mãn là: n C

 

C C121. .2!.34!51

Vậy xác suất cần tính:

 

1 1

12 52!34! 2 .

36! 21

C C

P C  

Câu 53. [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế.
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có
đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ
và bất kì hai học sinh ngồi liền kề nhau thì khác phái bằng

A. 
4

315. B.

252. C.

630. D.

1
126.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen
Chọn D

Cách 1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào hai dãy ghế có

10!

cách.
Đánh số ghế lần lượt từ 1 đến 10.

Xếp học sinh thỏa mãn bài toán xảy ra hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nam ngồi vị trí lẻ, nữ ngồi vị trí chẵn có

5!.5!

cách.

Khả năng 2: Nam ngồi vị trí chẵn, nữ ngồi vị trí lẻ có

5!.5!

cách.

Vậy có tất cả

 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Xác suất cần tìm bằng

 

2. 5! 1

10! 126.

Cách 2: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào hai dãy ghế, có

10!

cách xếp.
Ta chia hai dãy ghế thành 5 cặp ghế đối diện:

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 1 có C C51. .2!51 cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 2 có C C14. 14 cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 3 có C C31. 31 cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 4 có C C12. 12 cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 5 có 1 cách.

Vậy có tất cả





 

2 2

1 1 1 1

5. . .4 3 2 .2! 2. 5!

C C C C 

cách xếp thỏa mãn.

Xác suất cần tìm bằng

 

2. 5! 1

10! 126.

Câu 54. [1D2-5.2-3] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Xếp 4 người đàn ơng, 2 người
đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Xác suất để xếp
đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông là

A. 
1

15 B.

5 C.

15. D.

2
5

Lời giải

Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc

Chọn D

Gọi A là biến cố “ Xếp 7 người sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ơng”

Ta có: ( ) 6!n  

Xếp thỏa mãn đề bài theo các bước sau:

+Cố định đứa trẻ vào 1 ghế.

+Vì đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn ông nên xếp 2 người đàn ông ngồi bên cạnh đứa trẻ

có:A42 (cách)

+Xếp 2 người đàn ơng cịn lại và 2 người đàn bà vào 4 ghế còn lại có: 4! (cách)

2
4

(A) .4! 288

n A

  

Vậy:

( ) 288 2
(A)

( ) 6! 5

n A
P

n

  

 .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A. 5. B. 12. C. 5. D. 432.
Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Thúy Nhung; Fb: Thúy Nhung Đinh

Chọn A

Cách 1:

Ta có S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ X 



6;7;8



, trong đó chữ số 6

xuất hiện 2 lần; chữ số 7 xuất hiện 3 lần; chữ số 8 xuất hiện 4 lần nên

Có C92 cách xếp 2 chữ số 6 vào 2 trong 9 vị trí

Có C73 cách xếp 3 chữ số 7 vào 3 trong 7 vị trí cịn lại

Có 1 cách xếp 4 chữ số 8 vào 4 trong 4 vị trí cịn lại

 

2 3

9. .1 12607

n S C C

  

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S nên n  

 

1260

Gọi A là biến cố “số được chọn là số khơng có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”
TH1: 2 chữ số 6 đứng liền nhau

Có 8 cách xếp cho số 66 .Trong mỗi cách như vậy có C73 cách xếp chữ số 7 và 1 cách xếp cho

các chữ số 8

Vậy có 8. .1 280C73  số

TH2: Giữa hai số 6 có đúng 1 chữ số và số đó là số 8.

Có 7 cách xếp cho số 686 .Trong mỗi cách như vậy có C63 cách xếp chữ số 7 và 1 cách xếp các

chữ số 8

Vậy có 7.C 63 140 số

TH3: Giữa hai số 6 có đúng 2 chữ số và đó là hai chữ số 8.

Tương tự Có 6.C 53 60số

TH4: Giữa hai số 6 có đúng 3 chữ số và đó là ba chữ số 8.

Có 5.C 43 20số

TH5: Giữa hai số 6 có đúng 4 chữ số và đó là bốn chữ số 8.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Từ đó suy ra n A 

 

280 140 60 20 4 504    

Xác suất cần tìm là

 

504 2
1260 5
n A

P A
n

  

 .

Cách 2:

- Số phần tử không gian mẫu

 

1260
2!3!4!

n   

- Tính số phần tử của biến cố A“số được chọn là số khơng có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

Xếp 2 số 6 có 1 cách: 6 6

Xếp 3 số 7 vào 2 khoảng ; có C14 cách ( số cách xếp bằng số nghiệm nguyên khơng âm

của phương trình x1x2  ).3

Xếp 4 số 8 vào 6 khoảng tạo bởi 2 số 6 và 3 số 7 có C95cách ( số cách xếp bằng số nghiệm

ngun khơng âm của phương trình x1x2...x6  ).4

 

41. 95 504

n A C C

  

Xác suất cần tìm là

 

504 2
1260 5
n A

P A
n

  

 .

BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER VÀ ỨNG DỤNG

BÀI TỐN GỐC: Có n chiếc kẹo chia cho k em nhỏ



k n, ,1 k n



. Hỏi có bao nhiêu
cách chia kẹo sao cho em nhỏ nào cũng có kẹo?

Hướng dẫn giải:

Nếu k 1 thì chỉ có 1 cách chia kẹo.

Nếu k  , ta trải n chiếc kẹo thành hàng ngang. Tiếp theo ta dùng 2 k  cái thước đặt vào1



n 1



khe giữa các viên kẹo để chia nó thành k phần. Do đó có tất cả 1

k
n

C 

 cách chia.

Như vậy có tất cả
1
1

k
n

C 

 cách chia kẹo, đúng cho cả trường hợp k  .1

ỨNG DỤNG ĐẾM SỐ NGHIỆM NGUN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1.1: Phương trình x1 x2   xk n (với n k, *,n k ) có bao nhiêu nghiệm

nguyên dương?

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Coi xi là phần kẹo của em nhỏ thứ i trong bài tốn chia kẹo thì số nghiệm của phương trình

chính là số cách chia n chiếc kẹo cho k em nhỏ. Vậy phương trình có 
1

k
n

C 

 nghiệm ngun
dương.

Ví dụ 1.2: Phương trình x1 x2   xk n (với n k   ) có bao nhiêu nghiệm ngun , *

khơng âm?

Hướng dẫn giải:

Có x1 x2    xk n 



x11

 

 x2 1







xk 1



 n k.

Đặt xi  xi 1 thì x'ilà các số ngun dương.

Ta có phương trình x1 x2 xk  n k (*)

Áp dụng bài tốn gốc ta có tất cả
1

k
n k

C 

  nghiệm nguyên dương của phương trình (*).

Suy ra phương trình đã cho có
1

k
n k

C 

  nghiệm nguyên không âm.

Câu 56. [1D2-5.2-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho một bảng ô vuông 3 3 .

Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số). Gọi A là
biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ”. Xác suất của A bằng:

A.

 

1
3
P A 

. B.

 

5
7

P A 

. C.

 

1
56
P A 

. D.

 

10
21
P A 

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An
Chọn B

Ta có n  

 

Xét A : Có ít nhất một hàng hoặc một cột chỉ tồn số chẵn.

Vì chỉ có 4 số chẵn là 2, 4, 6, 8 nên chỉ có thể có đúng một hàng hoặc đúng một cột chỉ toàn các
số chẵn. Để điền như vậy cần chọn một trong số ba hàng hoặc ba cột rồi chọn 3 số chẵn xếp vào

hàng hoặc cột đó, 6 số cịn lại xếp tùy ý. Do đó

 

6. .6!
n A  A

Vậy

 

2 5

7 7

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 57. [1D2-5.2-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Trong kỳ thi ) Chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em
dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ thi. Biết các em đó có số thứ tự trong danh
sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi
dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được 1 học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai
em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.

A.

1
.

954 B.

1
.

945 C.

1
.

126 D.

1
.
252

Lời giải
Chọn B.

Giả sử số thứ tự trong danh sách là u , 1 u , 2 u , ... , 3 u .10

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có u1u10 u2u9 u3u8 u4u7 u5u6.

Số phần tử của không gian mẫu là n  

 

10!.

Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau”. Để biến cố 
này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự 5 cặp học sinh có các cặp số thứ tự là



u u1; 10



,



u u2; 9



,



u u3; 8



,



u u4; 7



,



u u5; 6



vào trước 5 cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách.

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước 1. Bước này có 25 cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A 

 

5!.25.

Vậy xác suất của biến cố A là

 

1
945
n A

P A
n

 

 .

Câu 58. [1D2-5.2-3] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt
phẳng, cho hai tia Ox và Oy vng góc với nhau tại gốc O . Trên tia Ox lấy 10 điểm

1, 2,..., 10

A A A và trên tia Oy lấy 10 điểm B B1, 2,...,B thỏa mãn10

1 1 2 ... 9 10 1 1 2 ... 9 10 1

OA A A  A A OB B B  B B  (đvd). Chọn ra ngẫu nhiên một tam giác

có đỉnh nằm trong 20 điểm A A1, 2,...,A ,10 B B1, 2,...,B . Xác suất để tam giác chọn được có10

đường trịn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy là

A. 
1

228 . B.

225 . C.

225 . D.

1
114 .

Lời giải

Tác giả: Huỳnh Hữu Hiền; Fb: Huu Hien Maths

Chọn B

 Bổ đề: Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vng góc với nhau tại gốc O . Trên tia Ox 
lấy 10 điểmA A1, 2,...,A và trên tia 10 Oy lấy 10 điểm B B1, 2,...,B thỏa mãn10

1 1 2 ... 9 10 1 1 2 ... 9 10 1

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

trong 10 điểm 1 2 A , 10 1 đỉnh nằm trong 10 điểm 1 2 B sao cho tam giác chọn 10

được có đường trịn ngoại tiếp, tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy?

Giải: Gọi A A Bm, n, p là 3 đỉnh của tam giác thỏa yêu cầu bài toán với m n p, , 1,10;mn.

Ta có OAm( ;0),m OAn ( ;0),n OBp (0; )p

  

Do đường trịn ln cắt Ox tại Am, A phân biệt nên đường tròn chỉ có thể tiếp xúc với n Oy tại

p

B , ta có phương tích OBp2 OA OAm. n  p2 m n.
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Do m n p, , 1,10;mn

nên dễ thấy

2 2 2 2

2 1.4, 3 1.9, 4 2.8, 6 4.9, hay nói cách khác bộ

ba ( , , )m n p 



(1, 4, 2), (1,9,3), (2,8, 4), (4,9,6)



Vậy có 4 tam giác thỏa mãn yêu cầu bổ đề.

 Bài tốn: Khơng gian mẫu

1 2 2 1

10 10 10 10

( ) . . 900

n  C C C C  .

Gọi A là biến cố chọn được tam giác có đường trịn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục

Ox hoặc Oy. Theo bổ đề ta chọn được 4 tam giác có 2 đỉnh thuộc tia Ox , 1 đỉnh thuộc tia

Oy; tương tự có 4 tam giác có 1 đỉnh thuộc tia Ox , 2 đỉnh thuộc tia Oy. Suy ra n A 

 

8.

Xác suất biến cố A là

 

8 2

( )

( ) 900 225
n A

P A
n

  

 .

Câu 59. [1D2-5.2-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho tập A 



0;1;2;3;4;5;6



. Xác suất để lập được
số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A sao cho số đó chia hết cho 5
và các chữ số 1,2,3 ln có mặt cạnh nhau là

A. 
1

45 . B.

420 . C.

40 . D.

11
360 .
Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Loan; Fb: Loan Vu
Chọn D

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A là abcde
(a0;a b c d e a b c d e A    ; , , , ,  ).

+) Chọn a có 6 cách.

+) Chọn bốn chữ số b, c,d, e có A64 cách.

Vậy số cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A là

4
6

6.A 2160 cách. Do đó số phần tử của khơng gian mẫu là n  

 

2160.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

TH1: Số lập được có dạng abcd0 .

+) Vì các chữ số 1, 2 ,3 ln có mặt cạnh nhau nên ta coi ba số đó là khối X. Xếp ba số 1, 2 ,3

trong khối X có P cách.3

+) Chọn 1 số trong tập



4;5;6



có C 31 3 cách.

+) Xếp khối X và số vừa chọn vào vị trí có P cách.2

Theo quy tắc nhân ta có P3.3.P 2 36 số.

TH2: Số lập được có dạng abc05 .

+) Vì các chữ số 1, 2 ,3 ln có mặt cạnh nhau nên ta có P cách chọn số 3 a,b,c.

Vậy có P  số.3 6

TH3: Số lập được có dạng abcd5



a b c d , , , 0



+) Vì các chữ số 1, 2 ,3 ln có mặt cạnh nhau nên ta coi ba số đó là khối X. Xếp ba số 1, 2 ,3

trong khối X có P cách.3

+) Chọn 1 số trong tập



4;6



có C 12 2 cách.

+) Xếp khối X và số vừa chọn vào vị trí có P cách.2

Theo quy tắc nhân ta có P3.2.P 2 24 số.

Vậy số kết quả xảy ra của biến cố B là n B   

 

36 6 24 66 số.

Xác suất của biến cố B là

 

66 11

2160 360
n B

P B
n

  

 .

Câu 60. [1D2-5.2-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho tập S 



1; 2;3;...;19;20



gồm 20 số tự
nhiên từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S . Xác suất để ba số lấy được lập thành một
cấp số cộng là

A. 
7

38. B.

38. C.

38. D.

1
114.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trí Chính; Fb: Nguyễn Trí Chính.
Chọn C

Lấy 3 phần tử từ tập S có C203 (cách).

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

 

3 1140
20

n  C 

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt S 1



1;3;5;...;19



, tập S có 10 phần tử.1





2 2;4;6;...;20

S 

, tập S có 10 phần tử.2

a , b , c là ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng  2a b c  .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Suy ra số cách chọn b , c là 2C10.

Mỗi cách chọn cặp b , c thì có duy nhất một cách chọn a sao cho 2a b c  .

Suy ra số phần tử của biến cố là n A

 

2C102 90.

Xác suất thỏa yêu cầu bài là

 

90 3

1140 38
n A

P A
n

  

 .

Vậy

 

3
38
P A 

Câu 61. [1D2-5.2-3] (Quỳnh Lưu Lần 1) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ
số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba
chữ số khác nhau là:

A. 
504

59049. B.

7560

59049. C.

1260

59049. D.

12600
59049.
Lời giải

Tác giả: Đỗ Thị Huyền Trang ; Fb: Trang Đỗ 
Chọn D

Không gian mẫu được mơ tả là : “Các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0”.

Số phần tử của không gian mẫu là:

 

9 59049
n   

Gọi biến cố A: “Các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 trong đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau”.

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a,b c từ 9 chữ số tự nhiên khác 0 là , C93. Chọn 2 chữ số còn

lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau:

TH1: Nếu cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 số a, b c thì có 3 cách chọn. Mỗi hoán vị từ,
5! hoán vị của 5 chữ số chẳng hạn a ,, a ,a b c tạo ra một số tự nhiên; nhưng cứ , 3! hoán vị của
các vị trí mà a ,, a a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng 1 số tự nhiên. Do đó, trong TH1 có tất cả

5!
3.

3!số tự nhiên.

TH2: 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b c và chữ số kia bằng một chữ số khác,
trong 3 chữ số đó thì có 3 cách chọn. Mỗi hốn vị từ 5! hốn vị chẳng hạn a ,,a b ,,b c tạo ra
một số tự nhiên nhưng cứ 2! cách hoán vị a và 2! cách hoàn vị b mà vẫn cho ra cùng 1 số. Do

đó, trong TH2 có tất cả:
5!
3.

2!.2! số tự nhiên.

Suy ra số phần tử của biến cốA là

 

3
9

5! 5!

3. 3. . 12600

3! 2!.2!

n A   C 

  .

Vậy xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau là:

 

12600
59049
n A

P A
n

 

 .

 HẾT 

Câu 62. [1D2-5.2-3] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Có 3
quả cầu màu vàng, 3 quả cầu màu xanh (các quả cầu cùng màu thì giống nhau) bỏ vào hai cái
hộp khác nhau, mỗi hộp 3 quả cầu. Tính xác suất để các quả cầu cùng màu thì vào chung một
hộp.

A. 
1

3. B.

120. C.

20. D.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Tác giả: Lục Minh Tân; Fb: Lục Minh Tân
Chọn A

* Không gian mẫu là n  

 

* Gọi biến cố A:"Các quả cầu cùng màu thì vào chung một hộp”

Bỏ 3 quả cầu vào một hộp, bỏ 3 quả màu xanh vào hộp cịn lại có 2 cách

 

2
n A

 

* Xác suất của biến cố A là

 

2 1
6 3
n A

P A
n

  



Câu 63. [1D2-5.2-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách
Toán, 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn sách đơi một khác nhau. Thầy giáo chọn
ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách
còn lại của thầy còn đủ 3 môn

A. 
54

715. B.

2072

2145. C.

661

715. D.

73
2145.
Lời giải

Tác giả: Bùi Duy Nam ; Fb: Bùi Duy Nam 
Chọn C

Xét phép thử T: “Chọn 7 cuốn sách từ 15 cuốn sách”.
Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử là C .157

Gọi A biến cố chọn 7 cuốn sách có đủ 3 mơn trong phép thử T.
Xác suất của biến cố cần tìm bằng xác suất của biến cố A.

Ta có n A

 

C157  C97  C107  C117 5949.

Vậy

 

157

5949 661
715
P A

C

 

Câu 64. [1D2-5.2-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác
suất để số được chọn có dạng abcd , trong đó 1    a b c d 9.

A. 0,014 . B. 0,0495. C. 0,079 . D. 0, 055 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trường Giang; Fb: Giang Nguyen

Chọn D

Chọn số tự nhiên có 4 chữ số bất kỳ có: n  

 

9.10.10.10 9000 (cách).

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có dạng abcd , trong đó 1    a b c d 9”. (*)

Cách 1: Dùng tổ hợp

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Do đó nếu đặt:

1
2
3
y b
z c

t d


  



 

  


Từ giả thuyết 1    a b c d 9 ta suy ra: 1 x y z t  12 (**).

Với mỗi tập con gồm 4 phần tử đôi một khác nhau được lấy ra từ



1, 2,...,12



ta đều có được duy

nhất một bộ số thoả mãn (**) và do đó tương ứng ta có duy nhất một bộ số



a b c d, , ,



thoả mãn
(*). Số cách chọn tập con thoả tính chất trên là tổ hợp chập 4 của 12 phần tử, do đó:

 

4
12 495

n A C 
.

Vậy:

 

495

0, 055
9000

n A
P A

n

  



Cách 2: Dùng tổ hợp lặp

Chọn số tự nhiên có 4 chữ số bất kỳ có: n  

 

9.10.10.10 9000 (cách).

Mỗi tập con có 4 phần tử được lấy từ tập



1, 2,...,9



(trong đó mỗi phần tử có thể được chọn lặp
lại nhiều lần) ta xác định được một thứ tự không giảm duy nhất và theo thứ tự đó ta có được
một số tự nhiên có dạng abcd (trong đó 1    a b c d 9). Số tập con thoả tính chất trên là 
số tổ hợp lặp chập 4 của 9 phần tử.

Do đó theo cơng thức tổ hợp lặp ta có: n A

 

C9 4 14  495.

Vậy:

 

495

0, 055
9000

n A
P A

n

  

 .

Câu 65. [1D2-5.2-3] (Gang Thép Thái Nguyên) Xếp ngẫu nhiên 2 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ, 2 quả
cầu trắng (các quả cầu này đôi một khác nhau) thành một hàng ngang. Tính xác suất để 2 quả
cầu màu trắng khơng xếp cạnh nhau?

A. 
2
3
P 

. B.

1
3
P 

. C.

5
6
P 

. D.

1
2
P 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Ngân ; Fb: Nguyễn Thị Thúy Ngân

Chọn A

Xếp ngẫu nhiên 6 quả cầu đôi một khác nhau thành một hàng ngang có 6!cách xếp.

Gọi A là biến cố “2 quả cầu màu trắng không xếp cạnh nhau”.

Suy ra A là biến cố “2 quả cầu màu trắng xếp cạnh nhau”.

Ta có n A 

 

2.5!. Vậy xác suất cần tìm là

 

2.5.4! 2

1 1

6! 3

P A   P A   

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Câu 66. [1D2-5.2-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Lập một số tự
nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số đó có chữ số đứng trước khơng nhỏ hơn chữ số đứng
sau.

A. 
14

25. B.

143

1800. C.

119

1500. D.

11
200.

Lời giải

Tác giả: Trần Ngọc Diễm; Fb: Trần Ngọc Diễm

Chọn C

Ta có 9.10 số tự nhiên có 3 4 chữ số.

Gọi số cần tìm có dạng ABCD A B C  D.

Cách 1: Ta có các trường hợp sau

*  A B C D : có  C104 120 số.

*  A B C D hoặc    A B C D hoặc   A B C D : có 3.C103 360 số.

*   A B C D hoặc   A B C D hoặc   A B C D : có 3.C102 135 số.

*   A B C D : có 9 số.

Vậy xác suất cần tìm là 3
210 360 135 9

9.10

   119

1500


Cách 2:

Ta có 0D C B A   9  0D C  1 B 2 A 3 12.

Do đó có C134 cách chọn bộ 4 số D, C1, B2, A3.

Suy ra, có C134 cách chọn bộ 4 số D, C , B, A.

Trong số C134 cách chọn đó, bỏ đi bộ số 0 , 1, 2, 3 .

Vậy xác suất cần tìm là

4
13

1 119
9.10 1500



C

Câu 67. [1D2-5.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) [1D2-5.4-3] (ĐH Vinh Lần 1) Giải bóng chuyền quốc tế VTV
Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia
thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khác
nhau bằng

A.
2

7 . B.

7 . C.

7 . D.

4
7 .
Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Tuấn; Fb: Phạm Tuấn
Chọn D

Nhận định bài toán:

1) Đây là dạng bài toán phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau.

2) Phương pháp:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

- Các nhóm khơng phân biệt thứ tự.

Nếu khơng phân biệt rõ ràng 2 bài tốn này thì rất dễ dẫn đến nhầm lẫn và sai kết quả.

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chia 20 người thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 5 người trong các trường
hợp sau:

a) Các nhóm được đánh tên theo thứ tự A, B, C, D.

b) Khơng phân biệt thứ tự nhóm.

Lời giải

a) Số cách chọn 5 người cho nhóm A là C205 . Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có số cách chọn 5

người cho nhóm B là C155 , nhóm C là
5
10

C và 5 người cịn lại vào nhóm D.

Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia nhóm là: C C C205 . 155. 105.1 (cách).

b) Vì các nhóm khơng phân biệt thứ tự nên khi ta hốn vị 4 nhóm trên sẽ cho cùng một kết quả.
Do đó số cách chia trong trường hợp này là

5 5 5

20. 15. 10.1

4!
C C C

(cách)

3) Phân tích bài tốn và lời giải.

Chia 8 đội thành hai bảng đấu, do đó hai bảng đấu này sẽ có thứ tự rõ ràng cho nên bài tốn của
chúng ta thuộc loại chia nhóm có thứ tự.

Gọi hai bảng đấu là bảng A và bảng B.

Chọn 4 đội vào bảng A ta có C84 cách, bốn đội cịn lại vào bảng B có 1 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có số cách chia 8 đội vào hai bảng đấu là:

 

4
8.1 70

n  C 

(cách)
Gọi A là biến cố “Hai đội Việt Nam nằm ở hai bảng khác nhau”.

Bảng A: Có 3 đội nước ngồi và 1 đội Việt Nam. Số cách chọn là C C63. 21.

Bảng B: Chỉ còn 1 cách chọn duy nhất cho 3 đội nước ngồi và 1 đội Việt Nam cịn lại vào
bảng B.

Do đó số cách chia 8 đội thành 2 bảng mỗi bảng có 1 đội Việt Nam là :

 

63. .1 4021

n A C C 

(cách)

Vậy xác suất của biến cố A là:

 

40 4
70 7
n A

P A
n

  

 .

Câu 68. [1D2-5.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 12 đội tham gia, trong
đó có 3 đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu, mỗi bảng 4
đội. Tính xác suất để 3 đội của Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu.

A.
3

55 . B.

330 . C.

110 . D.

6
55 .
Lời giải

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Gọi ba bảng đấu có tên là A, B, C.

Chọn 4 đội cho bảng A có C124 cách, chọn 4 đội cho bảng B có
4
8

C cách và 4 đội cịn lại vào 
bảng C có 1 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu là: n

 

 C C124. .1 3465084  (cách)

Gọi A là biến cố “3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu.
Giả sử 3 đội Việt Nam cùng nằm ở bảng A.

Khi đó bảng A sẽ chọn 1 đội trong 9 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam, 8 đội còn lại chia vào
bảng B và C. Trong trường hợp này ta có số cách chọn là C91.1. .1 630C84  (cách)

Vì vai trị của các bảng là như nhau nên trường hợp 3 đội Việt Nam ở bảng B hay bảng C đều
cho kết quả như nhau.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A

 

C C91. .3 189084  (cách)

Xác suất của biến cố A là :

 

1890 3
34650 55
n A

P A
n

  

 .

Câu 69. [1D2-5.2-4] (Hàm Rồng ) Cho tập X 



1;2;3;...;8



. Lập từ X số tự nhiên có 8 chữ số đơi
một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là

A.

2 2 2
8 6 4

8!
C C C

. B.

4!4!

8! . C.

384

8! . D.

2 2 2
8 6 4

8!
A A A

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Nga:; Fb:Con Meo
Chọn C

+ Gọi số cần tìm là A a a a a b b b b 1 2 3 4 1 2 3 4.

Ta có tổng các chữ số của A là 1 2 3 4 ... 8 36      chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.
Do 9 và 1111 có ƯCLN là 1 nên A chia hết cho 9999.

Đặt x a a a a 1 2 3 4; y b b b b 1 2 3 4 . Ta có:

+A10000x y 9999x



x y



chia hết cho 9999  x y chia hết cho 9999.

Mà 0 x y2.9999 x y 9999

+ x1000a1100a210a3a4; y1000b1100b210ab b 4.

1 1 2 2 3 3 4 4

1000( ) 100( ) 10( ) ( ) 9999

x y a b a b a b a b

          

1 1 2 2 3 3 4 4

(a b) (a b ) (a b ) (a b ) 9

         .

+ Từ tập X có 4 cặp số



1;8 ;(2;7);(3;6);(4;5)



nên có: 8 cách chọn a ; 6 cách chọn 1 a ; 4 cách chọn2

a và 2 cách chọn a .4

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

 Số các số cần tìm là: số.

Vậy xác suất cần tìm là:

384
8!

A
n
P

n

 

Câu 70. [1D2-5.2-4] (Sở Nam Định) ChoS là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu nhiên
một số từ tậpS. Xác suất để số lấy được có chữ số tận cùng bằng 3 và chia hết cho 7 có kết quả
gần nhất với số nào trong các số sau

A. 0,014. B. 0,012. C. 0,128. D. 0,035.

Lời giải

Tác giả: Lục Thị Xuyến; Fb: Xuyen Luc Thi 
Chọn A

Ta có tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số bắt đầu từ 1000000 đến 9999999 gồm 9000000 số.

Do đó n  

 

9000000

Mặt khác, ta thấy cứ 70 số tự nhiên liên tiếp thì có 10 số chia hết cho 7, trong đó có 1 số có chữ
số hàng đơn vị là chữ số 3.

Mà 9000000 70 128571 30   , nên ta chia 9000000 số thành 128571 bộ 70 số liên tiếp và 
còn lại 30 số cuối, trong đó:

128571 bộ 70 số tự nhiên liên tiếp có 128571 số thỏa mãn yêu cầu

30 số cuối có 3 số tận cùng bằng 3 được xét trong bảng sau

9999973 9999983 9999993

Chia cho 7 dư 4 Chia hết cho 7 Chia cho 7 dư 4
Vậy tất cả có 128572 số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 3.

Gọi A là biến cố ‘Chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 3’ thì

 

128572

n A 

Suy ra

 

128572

0,01429
9000000

P A  

Câu 71. [1D2-5.2-4] (Chuyên Vinh Lần 3) Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự
nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng

A.

145

729 . B.

448

729 . C.

281

729 . D.

154
729 .

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Số các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt là 9.9 81 số.

Số phần tử của không gian mẫu là n  

 

812.

Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

+ Khả năng 2: Hai bạn chọn số đảo ngược của nhau nên có 9.8 72 cách.

+ Khả năng 3: Hai bạn chọn số chỉ có một chữ số trùng nhau

- TH1: Trùng chữ số 0 : Cơng có 9 cách chọn số và Thành đều có 8 cách chọn số nên có
9.8 72 cách.

- TH 2: Trùng chữ số 1: Nếu Cơng chọn số 10 thì Thành có 16 cách chọn số có cùng chữ 
số 1. Nếu Cơng chọn số khác 10 , khi đó Cơng có 16 cách chọn số và Thành có 15 cách chọn 
số có cùng chữ số 1 với Cơng nên có 16 16.15 16.16 256   cách.

- Các trường hợp chọn trùng chữ số 2,3, 4,...9 tương tự.

Vậy n A  

 

81 72 72 9.256 2529   .

Xác suất cần tính là

 

2529 281
81 729
n A

P A
n

  



Cách 2: Số các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt là 9.9 81 số.

Số phần tử của không gian mẫu là n  

 

812.

Gọi A là biến cố thỏa mãn bài tốn. Xét biến cố A .

- TH 1: Cơng chọn số có dạng 0a nên có 9 cách. Khi đó có 25 số có ít nhất một chữ số trùng 
với số 0a nên Thành có 81 25 56  cách chọn số khơng có chữ số trùng với Cơng. Vậy có

9.56 504 cách.

- TH 2: Cơng chọn số khơng có dạng 0a : Có 72 cách, khi đó 32 số có ít nhất một chữ số 
trùng với số của Cơng chọn nên Thành có 81 32 49  cách chọn số khơng có chữ số nào trùng
với Thành. Vậy có 72.49 3528 cách.

 

3528 504 4032
n A

   

 

4032 281

1 1

81 729

P A P A

     

Câu 72. [1D2-5.2-4] (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một
khác nhau được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S .
Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11
.

A. 
1
63
P 

. B.

1
126
P 

. C.

63 . D.

8
21 .
Lời giải

Chọn A

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Gọi là biến cố lấy được số chia hết cho 11 và tổng của các chữ số của chúng cũng chia hết
cho 11.

Ta có:

1000 100 10 11 100 10 11

11 11

a b c d a b c d

abcd

a b c d a b c d

a b c d

        

 

  

     

    



 



 





 





 



10 11 11

11 11 11

a c b d

a b c d a c

a b c d a c b d b d

   



   

  

     

      

  



 

  

Từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta có 4 cặp tổng chia hết cho 11 là:



2;9 , 3;8 , 4;7 , 5,6

 



4.2.3.2 48
A

  

 

1
63

P A

 

Câu 73. [1D2-5.2-4] (Sở Bắc Ninh 2019) Gọi A là tập các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau.
Lấy ngẫu nhiên ra từ A hai số. Tính xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở
hai số đó giống nhau.

A. 
41

5823. B.

5823. C.

7190. D.

14
1941.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Le Mai Huong

Chọn A

+ Số các chỉnh hợp chập 3 của tập hợp các chữ số



0;1;2;3;4;5;6;7;8;9



là: A103 .

Số các chỉnh hợp chập 3 của tập hợp các chữ số



0;1;2;3;4;5;6;7;8;9



mà chữ số 0 đứng vị

trí đầu tiên ( 0bc ) bằng số các chỉnh hợp chập 2 của tập hợp các chữ số



1;2;3;4;5;6;7;8;9



và bằng A92.

Suy ra số các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau bằng

 

3 2

10 9 648

n A A  A 

số.

+ Lấy ngẫu nhiên ra từ A hai số có n

 

 C6482 cách.

+ Gọi M là biến cố “lấy được từ A hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau”
Trường hợp 1: Ba chữ số có mặt trong hai số được lấy khơng có chữ số 0 .

 Chọn ba chữ số trong tập



1;2;3;4;5;6;7;8;9



có

3
9

C cách.

 Ba chữ số này tạo thành 3! 6 số trong A.
 Lấy hai số trong 6 số này có

2
6

C cách (hai số các chữ số có mặt ở hai số đó giống
nhau).

 Suy ra có

3 2
9. 6

C C cách lấy hai số thỏa trường hợp 1.

Trường hợp 2: Ba chữ số có mặt trong hai số được lấy có chữ số 0 .

 Chọn thêm hai chữ số trong tập



1;2;3;4;5;6;7;8;9



có

2
9

C cách.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

 Lấy hai số trong 4 số này có

2
4

C (hai số các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau).

 Suy ra có

2 2
9. 4

C C cách lấy hai số thỏa trường hợp 2.

Suy ra

 

3 2 2 2

9. 6 9. 4 1476

n M C C C C 
.

+ Do đó, xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau là:









 

6482

1476 41
5823
n M

p M

n C

  

 .

Câu 74. [1D2-5.2-4] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho một quân cờ đứng ở
vị trí trung tâm của một bàn cờ 9 9 (xem hình vẽ). Biết rằng, mỗi lần di chuyển, qn cờ chỉ
di chuyển sang ơ có cùng một cạnh với ơ đang đứng. Tính xác suất để sau bốn lần di chuyển,
qn cờ khơng trở về đúng vị trí ban đầu.

A. 
55

64. B.

3. C.

8. D.

3
8.

Lời giải

Tác giả: Phi Trường ; Fb: Đỗ Phi Trường
Chọn A

Mỗi lần di chuyển, quân cờ chỉ có thể di chuyển một trong bốn cách sau: lên trên 1 ô (U),
xuống dưới 1 ô (D), sang phải 1 ô (R), sang trái 1 ô (L). Quân cờ di chuyển bốn lần sẽ có

4 256 cách.

 

256
n

  

Gọi A là biến cố qn cờ khơng trở về đúng vị trí ban đầu sau bốn lần di chuyển.

A

 là biến cố quân cờ trở về đúng vị trí ban đầu sau bốn lần đi chuyển.

Để quân cờ trở về đúng vị trí ban đầu sau bốn lần đi chuyển thì phải thực hiện 1 trong 3 trường
hợp sau:

 Trường hợp 1: Có một U, một D, một R, một L.

Xếp cách thực hiện U, D, R, L theo thứ tự có 4! 24 cách. 
 Trường hợp 2: Có hai U, hai D.

Xếp cách thực hiện hai U, hai D theo thứ tự có C C 42. 22 6 cách.

 Trường hợp 3: Có hai R, hai L.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

 

36 9

256 64
n A

n A P A

n

     



Vậy

 

9 55

1 1

64 64
P A   P A   

Câu 75. [1D2-5.2-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho A là tập tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu
nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị
là chữ số 1.

A. 
643

45000 . B.

1285

90000 . C.

107

7500 . D.

143
10000 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: Bien Nguyen Thanh
Chọn A

Ta có tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu từ 10000 đến 99999 gồm 90000 số.

Do đó n  

 

90000

Mặt khác, ta thấy cứ 70 số tự nhiên liên tiếp thì có 10 số chia hết cho 7, trong đó có 1 số có chữ
số hàng đơn vị là chữ số 1.

Mà 90000 70 1285 50   , nên ta chia 90000 số thành 1285 bộ 70 số liên tiếp và còn lại 50 số 
cuối, trong đó:

1285 bộ 70 số tự nhiên liên tiếp có 1285 số thỏa mãn yêu cầu
50 số cuối có 5 số tận cùng bằng 1 được xét trong bảng sau

99951 99961 99971 99981 99991

Chia cho 7 dư 5 Chia cho 7 dư 1 Chia cho 7 dư 4 Chia hết cho 7 Chia cho 7 dư 3
Vậy tất cả có 1286 số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 1.

Gọi A là biến cố ‘Chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 1’ thì

 

1286

n A  .

Suy ra

 

1286 643
90000 45000

P A  

Cách 2: Tác giả: Nguyễn Thị Thu Dung ; Fb: Dung nguyen

Vì A là tập tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số nên







: 0; , , , , 0,1, 2, ,9 .



A abcde a a b c d e 

 

9.10.10.10.10 90000.
n A

  

Số phần tử của không gian mẫu là n

 

 C190000 90000.

Gọi X là biến cố: “Chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 từ tập A”.

Khi abcde7 và abcde có tận cùng bằng 1, do đó abcde7.M với 1428M 14285 và M
có chữ số tận cùng là 3.

Xét các trường hợp sau:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

+) Khi n 4 thì p  nên 2 p 



3;4;5;6;7;8;9



. Ta được 7 số thỏa mãn.

+) Khi n 5: Có 5 cách chọn n thuộc tập hợp



5;6;7;8;9



. Khi đó p được chọn
tùy ý thuộc tập



0;1;2;3;4;5;6;7;8;9



. Ta được 50 số thỏa mãn.

- Với m 2 tức là có 8 cách chọn m từ tập



2;3; 4;5;6;7;8;9



. Khi đó mnpq 1428 với mọi
,

n p thuộc tập hợp



0;1;2;3;4;5;6;7;8;9



. Ta được 8.10.10 800 số thỏa mãn.

2) M là số có 5 chữ số có dạng mnpqr. Khi đó: mnpqr 14285 và r 3.
Do mnpqr 14285nên m chỉ nhận giá trị bằng 1 và n 4.

- Với m1;n0,1, 2,3 thì p,qlà các số tùy ý thuộc tập



0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9



. Ta được
4.10.10 400 số thỏa mãn.

- Với m1;n :4

+) Khi p  hoặc 0 p  thì 1 q là số tùy ý thuộc tập



0;1;2;3;4;5;6;7;8;9



. Ta được
2.10 20 số thỏa mãn.

+) Khi p  thì 2 q phải thuộc tập



0;1; 2;3;4;5;6;7;8



. Ta được 9 số thỏa mãn.

Vậy số phần tử của biến cố X là n X  

 

7 50 800 429 1286.  

Xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là 1 bằng

 

1286 643

.
90000 45000
n X

P X
n

  



Câu tương tự:

Câu 39-1.Cho A là tập tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập ,A
tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.

A. 
11

567 B.

643
.

45000 C.

79
.

4536 D.

643
.
13608
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thu Dung ; Fb: Dung nguyen
Chọn A

Vì A là tập tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số nên







: 0; ; , , , , 0,1, 2, ,9 .



A abcde a a b c d   e a b c d e 

 

9.9.8.7.6 27216.

n A

  

Số phần tử của không gian mẫu là

 

27216 27216.

n  C 

Gọi X là biến cố: “Chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 từ tập A”.

Khi abcde7 và abcde có tận cùng bằng 1,do đó abcde7.M với 1428M 14285 và M có
chữ số tận cùng là 3.

Xét các trường hợp sau:

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

- Với m 1, do mnpq 1428 và q  nên n 4.

+) Khi n 4 thì p  nên 2 p 



4;5;6;7;8;9



. Ta được 6 số thỏa mãn.

+) Khi n 5: Có 5 cách chọn n thuộc tập hợp



5;6;7;8;9



. Khi đó p m n q , , nên p có 7
cách chọn. Ta được 35 số thỏa mãn.

- Với m 2 tức là có 7 cách chọn m từ tập



2;4;5;6;7;8;9



. Khi đó mnpq 1428 với mọi
,

n p thuộc tập hợp



0;1;2;4;5;6;7;8;9



và np m , do đó có 8 cách chọn n , có 7 cách chọn
.

p Ta được 7.8.7 392 số thỏa mãn.

- Với m1;n0, 2 thì p,qlà các số tùy ý thuộc tập



0;2; 4;5;6;7;8;9



và p q n  . Ta được
2.7.6 84 số thỏa mãn.

- Với m1;n :4

+) Khi p  thì 0 q là số tùy ý thuộc tập



2;5;6;7;8;9 .



Ta được 6 số thỏa mãn.

+) Khi p  thì 2 q phải thuộc tập



0;5;6;7;8



. Ta được 5 số thỏa mãn.

Vậy số phần tử của biến cố X là n X  

 

6 35 392 84 6 5 528.    
Xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là 1 bằng

 

528 11

.
27216 567
n X

P X
n

  



Câu 39-2.Cho A là tập tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được lập từ tập



1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 .



Chọn ngẫu nhiên một số từ tập .A Xác suất để chọn được một số chia hết cho 11 và tổng bốn
chữ số của nó chia hết cho 11 bằng

A.

63 B.

8
.

21 C.

1
.

84 D.

1
.
42

Lời giải
Số phần tử của A là A 94 3024 số.

Số phần tử của không gian mẫu là

 

3024.
n  

Gọi A là biến cố: “Chọn được một số chia hết cho 11 và tổng bốn chữ số của nó chia hết cho 
11”.

Xét số tự nhiên có 4 chữ số có dạng abcdvới (a0;a b c d   ).
Theo bài ra ta có: (a c ) ( b d ) 11 và



a c

 

 b d



11.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Trong các chữ số 1;2;3; 4;5;6;7;8;9 có các bộ số mà tổng chia hết cho 11 là



2;9 ; 3;8 ; 4;7 ; 5;6 .

 



Chọn 2 cặp trong 4 cặp số trên để tạo số abcd 11.

Chọn



a c;



có 4 cách, chọn



b d;



có 3 cách, sau đó sắp thứ tự các số , , , .a b c d Ta được
4.3.2.2 48.

Suy ra ( ) 48.n A 

Vậy

 

48 1

.
3024 63
n A

P A
n

  



Câu 76. [1D2-5.2-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho đa giác 30 đỉnh nội tiếp
đường tròn, gọi

 

S là tập hợp các đường thẳng đi qua hai trong số 30 đỉnh đã cho. Chọn 2
đường thẳng bất kỳ thuộc tập

 

S . Tính xác suất để chọn được 2 đường thẳng mà giao điểm
của chúng nằm bên trong đường tròn.

A. 
7

25 . B.

5 . C.

14 . D.

9
31

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Thu Thủy; Fb: Vũ Thị Thu Thủy
Chọn D

Số phần tử của

 

S là số đường thẳng tạo nên từ 30 điểm đã cho là

30 435

C 

Số cách chọn 2 đường thẳng bất kỳ thuộc tập

 

S là số phần tử không gian mẫu

2
435

( ) 94395

n  C 

Giao điểm của hai đường thẳng nằm trong đường tròn tức là cũng nằm ở miền trong đa giác 30
đỉnh, khi đó giao điểm 2 đường thẳng cũng là giao điểm hai đường chéo của tứ giác có 4 đỉnh

thuộc 30 đỉnh đa giác đã cho, vậy số giao điểm nằm trong đa giác chính là C 304 27405

Vậy xác suất cần tìm là

27405 9
94395 31

Câu 77. [1D2-5.2-4] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho một đa giác đều
có 20 đỉnh nội tiếp trong đường trịn ( )C . Lấy ngẫu nhiên hai đường chéo trong số các đường
chéo của đa giác. Tính xác suất để lấy được hai đường chéo cắt nhau và giao điểm của hai
đường chéo trong đường tròn?

A. 
17

63 . B.

169 . C.

63 . D.

17
169 .
Lời giải

Tác giả: Lý Văn Công; Fb: Hà Minh
Chọn B

Gọi A là biến cố lấy ra hai đường chéo có giao điểm nằm trong đường tròn ( )C .

Số đường chéo của đa giác đều 20 đỉnh là C 202 20 170 . Khi đó, ta có số cách lấy ra 2 đường

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Để có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm nằm trong đường tròn ( )C thì hai đường chéo đó 
phải là đường chéo của tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh. Do đó, số cách lấy ra
2 đường chéo có giao điểm nằm trong đường trịn tâm O là C 204 4845

Vậy xác suất lấy ra hai đường chéo có giao điểm nằm trong đường trịn ( )C là
( ) 4845 57

( )

( ) 14365 169
n A

P A
n

  



Câu 78. [1D2-5.2-4] Bắc-Ninh-2019) 
(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho đa giác 30 đỉnh nội tiếp đường tròn, gọi

 

S là tập hợp các đường thẳng
đi qua hai trong số 30 đỉnh đã cho. Chọn 2 đường thẳng bất kỳ thuộc tập

 

S . Tính xác suất để
chọn được 2 đường thẳng mà giao điểm của chúng nằm bên trong đường tròn.

A. 
7

25 . B.

5 . C.

14 . D.

9
31

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Thu Thủy; Fb: Vũ Thị Thu Thủy
Chọn D

Số phần tử của

 

S là số đường thẳng tạo nên từ 30 điểm đã cho là

30 435

C 

Số cách chọn 2 đường thẳng bất kỳ thuộc tập

 

S là số phần tử không gian mẫu

2
435

( ) 94395

n  C 

thuộc 30 đỉnh đa giác đã cho, vậy số giao điểm nằm trong đa giác chính là C 304 27405

Vậy xác suất cần tìm là

27405 9
94395 31

Câu 79. [1D2-5.2-4] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Nhằm chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ
Chí Minh, Đồn trường THPT chun Lương Thế Vinh đã tổ chức giải bóng đá nam. Có 16 đội
đăng kí tham dự trong đó có 3 đội: 10 Toán, 11 Toán, 12 Toán. Ban tổ chức cho bốc thăm
ngẫu nhiên để chia đều 16 đội vào 4 bảng để đá vịng loại. Tính xác suất để 3 đội của 3 lớp
Toán nằm ở 3 bảng khác nhau.

A. 
53

56 . B.

28 . C.

35 . D.

3
56 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen

Phản biện: Nguyễn Phương Thu;Fb: Nguyễn Phương Thu

Chọn C

+ Chia đều 16 đội vào 4 bảng có C C C C cách.164. 124. .84 44

+ Sắp xếp 3 đội của 3 lớp Toán vào 3 bảng khác nhau trong 4 bảng có A cách.43

Chọn 3 đội trong 13 đội còn lại để xếp vào bảng có đội lớp 10 Tốn có C cách.133

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Chọn 3 đội trong 7 đội còn lại để xếp vào bảng có đội lớp 12 Tốn có C cách.73

Bốn đội còn lại xếp vào bảng còn lại.

Suy ra số cách chia đều 16 đội vào 4 bảng sao cho 3 đội của 3 lớp Toán nằm ở 3 bảng khác

nhau là A C C C .43. 133. 103. 73

+ Xác suất cần tìm là:

3 3 3 3

4 13 10 7

4 4 4 4

16 12 8 4

. . . 16

. . . 35

A C C C

C C C C  .

Câu 80. [1D2-5.2-4] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Tung đồng thời 2 con súc sắc cân
đối đồng chất. Gọi m là tích của số chấm trên hai con súc sắc trong mỗi lần tung. Tính xác suất

để phương trình

6 0

2x  x m  có hai nghiệm phân biệt.

A. 
28

36. B.

36 . C.

36. D.

26
36 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: thu thủy 
Chọn D

Ta có số phần tử của không gian mẫu là n  

 

36.

Phương trình

6 0

2x  x m  có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

9 0 18

2
m

m


     

Khi đó số chấm trên hai con con súc sắc là cặp số



i j,



với i j , 1, 6 thỏa mãn
+ i1, 2; j1,6 có 12 cặp số,

+ i3; j1,5 có 5 cặp số,
+ i4; j1, 4 có 4 cặp số,
+ i5; j1,3 có 3 cặp số,
+ i6; j1, 2 có 2 cặp số.

Như thế, có tất cả 12 5 4 3 2 26     cặp số



,i j



để .i j m 18.

Vậy xác suất cần tìm bằng
26
36.

Câu 81. [1D2-5.2-4] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Gọi X là tập
hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập X . Xác

suất để số lấy được luôn chứa đúng ba số thuộc tập Y 



1; 2;3; 4;5



và 3 số đứng cạnh nhau, số
chẵn đứng giữa hai số lẻ.

A. 
37

63. B.

189. C.

378. D.

17
945.

Lờigiải

Tác giả: Vương Hữu Quang; Fb: Vương Hữu Quang
Chọn D

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Từ 10 chữ số





, ta lập được 9.A9 số có 6 chữ số đơi một khác nhau.

Lấy ngẫu nhiên một số từ tậpX  n

 

 9.A95 136080 số.

GọiA là biến cố “Lấy một số thuộc X luôn chứa đúng ba số thuộc tập Y 



1; 2;3;4;5



và 3 số 
đứng cạnh nhau, số chẵn đứng giữa hai số lẻ ”.

Ta coi 3 vị trí liền nhau trong X là một phần tử Z, sắp xếp 3 chữ số khác nhau trong Z thỏa 
mãn biến cố :

+ Số thứ nhất là số lẻ thuộc Y có 3 cách chọn. 
+ Số thứ hai là số chẵn thuộc Y có 2 cách chọn. 
+ Số thứ ba là số lẻ thuộc Y có 2 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 12 cách sắp xếp phần tử Z.

Trường hợp 1: Số có 6 chữ số có dạng Za a a4 5 6

 Zcó 12 cách chọn.

 Xếp 5 chữ số còn lại khác các số tập Y vào 3 vị trí a a a4, ,5 6  có 
3
5

A cách.

Áp dụng quy tắc nhân, ta lập được 12.A 53 720 số.

Trường hợp2: Số có 6 chữ số có dạng a Za a1 2 3

 a1 có 4 cách chọn



a 1 0, Y



.

 Xếp Z vào 3 vị trí, Z có 12 cách chọn nên có 36 cách sắp xếp. 
 Xếp 4chữ số còn lại vào 2 vị trí a a2, 3  có

2
4

A .

Áp dụng quy tắc nhân, ta lập được 4.36.A 42 1728 số có 6 chữ số đơi một khác nhau thỏa mãn.

Vậy ta có tất cả 12.A 53 4.36.A24 2448 (số) thoả mãn yêu cầu bài toán.

 

2448 17
136080 945
n A

P A
n

   

 .

Câu 82. [1D2-5.2-4] (Hải Hậu Lần1)Trong một buổi dạ hội có 10 thành viên nam và 12 thành viên nữ,
trong đó có 2 cặp vợ chồng. Ban tổ chức muốn chọn ra 7 đôi, mỗi đôi gồm 1 nam và 1 nữ để
tham gia trị chơi. Tính xác suất để trong 7 đơi đó, có đúng một đơi là cặp vợ chồng. Biết rằng
trong trị chơi, người vợ có thể ghép đơi với một người khác chồng mình và người chồng có thể
ghép đơi với một người khác vợ mình

A. 
7

160 . B.

217

1980 . C.

217

3960 . D.

7
120 .

Lời giải

Tác giả: Lý Văn Nhân Fb: Lý Văn Nhân

Chọn B

Gọi 2 cặp vợ chồng là C1-V1 và C2-V2 (C=chồng, V=vợ).

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

- Đầu tiên chọn ra 7 nam trong 10 nam: C (cách).107

- Xếp 7 người nam này thành 1 hàng ngang, người đầu tiên có 12 cách ghép với nữ, người thứ
hai có 11 cách, cứ như thế suy ra số cách ghép đôi là 12.11.10.9.8.7.6 (cách).

- Theo quy tắc nhân có C107.12.11.10.9.8.7.6 479001600 (cách).

* Số cách chọn 7 đơi, chỉ có một cặp vợ chồng

- Trường hợp 1: chỉ có cặp vợ chồng C1-V1, khi đó lấy 6 nam trong 9 nam còn lại:

+ Nếu trong 6 nam này khơng có C2 thì số cách ghép 6 cặp còn lại là:

8.11.10.9.8.7.6 9313920

C  (cách)

+ Nếu trong 6 nam này có C2 thì số cách ghép 6 cặp cịn lại là: có 10 cách ghép C2 với nữ (trừ

V2 và trừ V1), 5 nam cịn lại có C cách, số cách ghép cặp cho 5 nam này là 10.9.8.7.6 cách. 85

Vậy theo quy tắc nhân có 10. .10.9.8.7.6 16934400C85  (cách)

Theo quy tắc cộng, có 9313920 16934400 26248320  (cách)

- Trường hợp 2: chỉ có cặp vợ chồng C2-V2, tương tự như trên có 26248320(cách)

Vậy xác suất cần tính là:

2.26248320 217
.
479001600 1980

Câu 83. [1D2-5.2-4] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Chọn ngẫn nhiên ba số tự nhiên trong các số từ
101 đến 200. Tính xác suất để ba số đó lập thành một cấp số cộng có cơng sai dương.

A. 
3

100 B.

2
.

33 C.

1
.

66 D.

1
.
33

Lời giải
Chọn C

Ta có  C1003 .

Gọi u d lần lượt là số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng. Ta có các trường hợp sau:1,

1
2
3

1: 160 2 98
2 : 100 2.2 96
3: 100 2.3 94
...

49 : 100 2.49 2

d n

   




   




   





   



 .

Suy ra số kết quả lấy ra 3 số lập thành cấp số cộng là



98 2 .49



2450
2

N   

Vậy số cách chọn thỏa mãn đề bài là 1003

2450 1
.
66
P

C

 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

nhau bằng

A. 
3

112. B.

80. C.

280. D.

39
1120.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nga ; Fb: Con Meo 
Chọn A

Ta đánh số các vị trí từ 1 đến 8.

Số phần tử không gian mẫu là n   

 

8! 40320.

Gọi A là biến cố: “xếp được tám bạn thành hàng dọc thỏa mãn các điều kiện: đầu hàng và cuối
hàng đều là nam và giữa hai bạn nam gần nhau có ít nhất một bạn nữ, đồng thời bạn Quân và
bạn Lan không đứng cạnh nhau”.

TH1: Quân đứng vị trí 1 hoặc 8 có 2cách.

Chọn một trong 3 bạn nam xếp vào vị trí 8 hoặc 1 cịn lại  có 3 cách.

Xếp 2 bạn nam cịn lại vào 2 trong 4 vị trí 3, 4,5, 6 mà 2 nam không đứng cạnh nhau

 có 6 cách.

Xếp vị trí bạn Lan có 3 cách.

Xếp 3 bạn nữ vào 3 vị trí cịn lại có 3! cách.
 TH này có 2.3.6.3.3! 648 cách.

TH2: Chọn 2 bạn nam ( khác Qn) đứng vào 2 vị trí 1 hoặc 8 có A cách.32

Xếp Quân và bạn nam còn lại vào 2 trong 4 vị trí 3, 4,5,6 mà 2 nam khơng đứng cạnh 
nhau  có 6 cách.

Xếp vị trí bạn Lan có 2 cách.

Xếp 3 bạn nữ vào 3 vị trí cịn lại có 3! cách.

 TH này có A32.6.2.3! 432 cách.

 n A 

 

648 432 1080  .

Vậy xác suất của biến cố A là

 

1080 3
40320 112

P A  

Câu 85. [1D2-5.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho tập hợp S 



1, 2,3, 4,5,6



. Hai bạn A, B mỗi bạn
chọn ngẫu nhiên một tập con của S . Xác suất để tập con của A và B chọn được có đúng 2

phần tử chung gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 15,08% . B. 29, 66% . C. 30,16% . D. 14,83% .

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Mai Sơn; Fb: Maison Pham
Chọn B

Số tập con của S là 26 64.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Giả sử tập con của A và B chọn được lần lượt có x y, phần tử





2x y, 6 , x, yN
.

Khi đó: A có 6

x

C cách chọn tập con, lúc này S còn 6 x phần tử.

Ta chọn ra 2 phần tử gọi là ,a b từ x phần tử trong tập con của A để xuất hiện trong tập con

của B, có Cx2 cách.

Như vậy, tập con của B đã có 2 phần tử chung với tập con của A là ,a b , ta cần chọn thêm



y  2



phần tử khác trong



6 x



phần tử còn lại sau khi A đã chọn tập con,ở bước này có

2
6

y
x
C 

 cách chọn.

Vậy có: 6 2 6 2

x y

x x
C C C 

 cách chọn tập con thỏa mãn.

Ta có điều kiện: * *

, 2 2 6

2 6 2 8

, ,

x y x

y x y x

x y N x y N

    

 

      

 

 

 

 

Cho x nhận các giá trị từ 2 đến 6, số cách chọn tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

6 5 4 3 2

2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2

6 6 6 2 6 3 6 3 0 4 6 4 6 5 6 5 6 6 6 6

2 2 2 2 2

240 480 360 120 15 1215

y y y y y

C C C  C C C  C C C  C C C  C C C 

    

    

   

     



Xác suất cần tính bằng: 2
1215

29,66%.
64 

 HẾT 

Câu 86. [1D2-5.2-4] (SGD-Nam-Định-2019) ChoS là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu
nhiên một số từ tậpS . Xác suất để số lấy được có chữ số tận cùng bằng 3 và chia hết cho 7 có
kết quả gần nhất với số nào trong các số sau

A. 0,014. B. 0,012. C. 0,128. D. 0,035.

Lời giải

Tác giả: Lục Thị Xuyến; Fb: Xuyen Luc Thi 
Chọn A

Ta có tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số bắt đầu từ 1000000 đến 9999999 gồm 9000000 số.

Do đó n  

 

9000000

Mặt khác, ta thấy cứ 70 số tự nhiên liên tiếp thì có 10 số chia hết cho 7, trong đó có 1 số có chữ
số hàng đơn vị là chữ số 3.

Mà 9000000 70 128571 30   , nên ta chia 9000000 số thành 128571 bộ 70 số liên tiếp và còn
lại 30 số cuối, trong đó:

128571 bộ 70 số tự nhiên liên tiếp có 128571 số thỏa mãn yêu cầu
30 số cuối có 3 số tận cùng bằng 3 được xét trong bảng sau

9999973 9999983 9999993

Chia cho 7 dư 4 Chia hết cho 7 Chia cho 7 dư 4
Vậy tất cả có 128572 số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 3.

Gọi A là biến cố ‘Chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 3’ thì

 

128572

n A 

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Suy ra P A 

 

90000000,01429.

Câu 87. [1D2-5.2-4] (Chuyên KHTN) Cho một đa giác đều 48 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa
giác. Tính xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh đó là một tam giác nhọn.

A. 
33

47 . B.

94 . C.

47 . D.

22
47 .
Lời giải

Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn
Chọn C

Số cách chọn ra 3 đỉnh tùy ý từ 48 đỉnh của đa giác là

 

n  C

Gọi A là biến cố “tam giác tạo thành từ ba đỉnh đó là một tam giác nhọn”.
* Tính số tam giác tù

+ Chọn đỉnh thứ nhất có 48 cách chọn.

+ Để tạo thành tam giác tù thì ba đỉnh của tam giác phải thuộc cùng 1 nửa đường tròn ngoại
tiếp tam giác. Trong 47 đỉnh cịn lại sẽ có 23 đỉnh cùng với đỉnh đã chọn thuộc cùng một nửa

đường tròn ngoại tiếp. Nên số tam giác tù tạo thành là 48C232 (tam giác).

* Tính số tam giác vng tạo thành

+ Có 24 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+ Mỗi đường chéo trên cùng với 46 đỉnh còn lại tạ thành 46 tam giác vuông. Nên số tam giác
vuông tạo thành là 24.46 1104 (tam giác).

Do đó:

 

3 2

48 48 23 1104 4048

n A C  C  

. Vậy

 

4048 11
47
n A

P A

n C

  



Câu 88. [1D2-5.2-4] (THPT ĐƠ LƯƠNG 3 LẦN 2) Trong chương trình giao lưu gồm có 15 người
ngồi vào 15 ghế theo một hàng ngang. Giả sử người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên 3
người trong 15 người để giao lưu với khán giả. Xác suất để trong 3 người được chọn đó khơng
có 2 người ngồi kề nhau là

A. 
2

5 . B.

35 . C.

35 . D.

3
5 .
Lời giải

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu 
Chọn C

Ta có n

 

 C153 455.

Gọi A là biến cố “trong 3 người được chọn đó khơng có 2 người ngồi kề nhau”
A

 là biến cố “trong 3 người đươc chọn có ít nhất 2 người ngồi kề nhau”

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

- Hai người ngồi cạnh nhau ngồi đầu hàng có 2 cách chọn, với mỗi cách chọn như vậy có 12
cách chọn người cịn lại vậy có: 2.12=24 cách.

- Hai người ngồi cạnh nhau khơng ngồi đầu hàng có 12 cách chọn, với mỗi cách chọn như vậy
có 11 cách chọn người cịn lại vậy có: 11.12=132 cách.

 

132 24 13 169

 

 

 

35 35

n A

n A P A P A

n

         

 .

Câu 89. [1D2-5.2-4] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 3
ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế
có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh
nữ bằng:

A. 
2

5 B. 
1

10 C.

5 D. 
1

Lời giải:

Tác giả: Cao Thị Nguyệt, FB: Chuppachip

Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu là n  6!.

Gọi A là biến cố : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (khơng ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (khơng ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ
hai).

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.

Theo quy tắc nhân ta có

n 

A

6.4.2.3! 288



cách

 

288 2
6! 5

P A

  

Câu 90. [1D2-5.2-4] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Gọi S là tập hợp các
số tự nhiên có chín chữ số đơi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập S . Xác suất

để số được chọn chia hết cho 3 là

A. 
11

27. B.

27 . C.

32 . D.

23
32 .
Lời giải

Tác giả: Vương Hữu Quang; Fb: Vương Hữu Quang
Chọn A

Gọi số có 9 chữ số có dạng a a a a a .1 2 3... 8 9

Từ 10 chữ số



0;1;2;3;4;5;6;7;8;9



, ta lập được 9.A98 số có 9 chữ số đôi một khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S  n

 

 9.A98.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Để a a a a a1 2 3... 8 93 T 3





(số có tổng các chữ số chia hết cho 3 sẽ chia

hết cho 3)

Trường hợp 1: T 45  Số có 9 chữ số được lập từ các chữ số



1;2;3; 4;5;6;7;8;9



 Lập được 9! số có 9 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3.

Trường hợp 2: T 42  Số có 9 chữ số được lập từ các chữ số



0;1; 2;4;5;6;7;8;9



 a có 8 cách chọn 1



a 1 0



 Xếp 8 chữ số còn lại vào 8 vị trí a a2, ,..., ,3 a a  có 8! cách8 9

Áp dụng quy tắc nhân, ta lập được 8.8! số có 9 chữ số đơi một khác nhau và chia hết cho 3.

Trường hợp 3: T 39  Số có 9 chữ số được lập từ các chữ số



0;1; 2;3;4;5;7;8;9



Trường hợp 4: T 36  Số có 9 chữ số được lập từ các chữ số



0;1; 2;3;4;5;6;7;8



Trường hợp T 39 và T 36 tương tự như trường hợp T 42

Vậy ta có tất cả 9! 3. 8.8!





1330560 (số) thoả mãn yêu cầu bài toán

 

1330560 11
1330560

9. 27

n A

n A p A

n A

     



Câu 91. [1D2-5.2-4] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trên đường tròn đặt 24 điểm cách đều nhau
sao cho độ dài cung giữa 2 điểm kề nhau đều bằng 1. Chọn ngẫu nhiên 8 trong 24 điểm đó.
Tính xác suất sao cho trong 8 điểm được chọn khơng có 2 điểm nào có độ dài cung bằng 8 hoặc
3.

A.

8
17

8
24

C

C . B. 8

258

C . C. 8

1548

C . D. 8

112
C .
Lời giải

Tác giả: Quang Pumaths; Fb: Quang Pumaths
Chọn B

Số phần tử không gian mẫu  C248 .

Gọi biến cố A = “Chọn 8 điểm sao cho khơng có 2 điểm nào có độ dài cung bằng 8 hoặc 3”.
Chia 24 điểm của đường tròn thành bảng sau:

1 9 17

4 12 20

7 15 23

10 18 2

13 21 5

16 24 8

19 3 11

22 6 14

Trong đó, mỗi cột là tập các số có cùng số dư khi chia 3, mỗi hàng là tập các số có cùng số dư
khi chia 8. Nhận thấy, mỗi cột khơng được chọn q 4 số vì chọn từ 5 số trở lên, sẽ xuất hiện 2
số kề nhau tạo cung có độ dài là 3.

TH1: Chọn 4 số của cột 1 không kề nhau: 2 cách là



1;7;13;19



hoặc



4;10;16; 22



1 9 17

4 12 20

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

10 18 2

13 21 5

16 24 8

19 3 11

22 6 14

Tiếp theo, chọn 4 số a,b,c,d cịn lại khơng nằm cùng hàng với 4 số của cột 1 và 2 số bất kỳ

trong 4 số a,b,c,d cũng không được cùng hàng với nhau, có 2 cách chọn.4

Vậy có 2.24 32 cách.

TH2: Chọn 3 số của cột 1 sao cho khơng có 2 số nào kề nhau: C  83 8 8.4 16 .

1 9 17

4 12 20

7 15 23

10 18 2

13 21 5

16 24 8

19 3 11

22 6 14

VD chọn



1;7;16



thì 5 số cịn lai sẽ thuộc 3 nhóm màu trắng như hình vẽ. Khi đó mỗi nhóm
màu trắng trong bảng chỉ có 2 cách chọn. Do đó TH2 có 16.2.2.2=128 cách.

TH3: Chọn 2 số không kề nhau của cột 1: C  82 8 20.

1 9 17

4 12 20

7 15 23

10 18 2

13 21 5

16 24 8

19 3 11

22 6 14

Khi đó, 6 hàng ngang cịn lai chia làm 2 nhóm màu trắng như hình vẽ. Mỗi nhóm có đúng 2
cách chọn nên có 20.2.2 = 80 cách.

TH4: Chọn 1 số của cột 1 có 8 cách.

1 9 17

4 12 20

7 15 23

10 18 2

13 21 5

16 24 8

19 3 11

22 6 14

Vd chọn số 1, thì cột 2 và 3 chỉ có 2 lựa chọn sao cho chúng đan xen là các dịng xanh hoặc
trắng. Vậy có 8.2=16 cách.

TH5: Chỉ chọn cột 2 với 3. Ta có 2 cách chọn là các dòng xanh hoặc trắng: 2 cách.

1 9 17

4 12 20

7 15 23

10 18 2

13 21 5

16 24 8

19 3 11

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Vậy A

 

258

A

P A

C


 

 .

Câu 92. [1D2-5.2-4] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Ơng Hùng muốn mở
két sắt của mình nhưng ông quên mất mật mã két. Biết rằng mã két gồm 4 chữ số khác 0 và có
tổng của 4 chữ số đó bằng 10. Tính xác suất để ông ấy mở được két sắt ở lượt bấm thứ nhất.

A. 
1

84 . B.

80 . C.

74 . D.

1
192 .

Lời giải

Tác giả: Phi Trường ; Fb: Đỗ Phi Trường
Chọn A

Gọi abcd là số có 4 chữ số sao cho , , ,a b c d khác 0 và a b c d   10.

Số cách chọn 4 chữ số , , ,a b c d chính là số cách “dùng 3 “vách ngăn” chèn vào giữa các chữ số
1 (như ví dụ bên dưới) để chia thành 4 phần”.

Suy ra có C 93 84 cách, tương ứng có 84 số abcd thỏa mãn.

Vậy xác suất để ông Hùng mở được két sắt ở lượt bấm thứ nhất là
1
84
P 

Câu 93. [1D2-5.2-4] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Hai mươi
lăm em học sinh lớp 12A được xếp ngồi vào một vòng tròn trong đêm lửa trại. Ba em học sinh
được chọn ( xác suất được lựa chọn đối với mỗi em là như nhau ) và cử tham gia một trị chơi.
Xác suất để ít nhất hai trong ba em học sinh được chọn ngồi cạnh nhau là

A. 
11

46. B.

92. C.

23. D.

1
4.

Lời giải

Tác giả:Phạm Hoàng Hải ; Fb:phamhoang.hai.900 
Chọn A

Gọi A là biến cố chọn được 3 em học sinh mà ít nhất 2 em trong đó ngồi cạnh nhau.

A là biến cố chọn được 3 em học sinh ngồi cạnh nhau.

A là biến cố chọn được 3 em học sinh mà trong đó chỉ có 2 em ngồi cạnh nhau.

 n(A) n(A ) 1 n A( )2 .

Số phương án chọn ra 3 em từ 25 em là :n( ) C253 2300 (cách).

Nhận thấy khi xét về 1 chiều, cứ 1 học sinh sẽ có duy nhất 1 học sinh khác ngồi cạnh. Việc đổi

chiều sẽ tạo ra các phương án trùng lặp. Vậy để chọn ra 2 em ngồi cạnh nhau ta có: 25 (cách).

Số phương án để chọn ra 3 học sinh ngồi cạnh nhau cũng tương tự và có là: n A1 25(cách).

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

 Số phương án chọn 3 học sinh sao cho có 2 em ngồi cạnh nhau là n A2 25.21 525 (cách).

Vậy xác suất xảy raAlà:

( ) 25 25.21 11
( )

( ) 2300 46

n A
P A

n



  

 .

Câu 94. [1D2-5.2-4] (Ba Đình Lần2) Có 3 quyển sách Văn học khác nhau, 4 quyển sách Toán học
khác nhau và 7 quyển sách Tiếng Anh khác nhau được xếp lên một kệ ngang. Tính xác suất để
hai cuốn sách cùng mơn không ở cạnh nhau

A. 
19

12012 . B.

1012. C.

1202 . D.

5
8008 .

Lời giải

Tác giả: Lê Nguyễn Phước Thành; Fb: Thành Lê

Chọn A.

T.A T.A T.A T.A T.A T.A T.A

1 2 3 4 5 6 7 8

Gọi  là biến cố “xếp 14 quyển sách lên kệ sách một cách tùy ý”  n

 

 14!.

A là biến cố “xếp 14 cuốn sách lên kệ sách sao cho hai cuốn sách cùng môn không ở cạnh
nhau”.

- Xếp 7 quyển sách Tiếng Anh vào kệ có 7! cách.

- 7 quyển sách Tiếng Anh tạo ra 8 chỗ trống (gồm 6 chỗ trống ở giữa và 2 chỗ trống trước
sau).

Đánh số từ 1 đến 8, từ trái sang phải cho các chỗ trống. Khi đó ta xét các trường hợp:

TH1: Xếp sách Văn hoặc Tốn vào vị trí từ 1 đến 7 có 7! cách.

TH2: Xếp sách Văn hoặc Tốn vào vị trí từ 2 đến 8 có 7! cách.

TH3: Xếp 1 cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn 2, các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 xếp tùy ý số sách
cịn lại. Ta có:

+ Số cách chọn 1 cặp sách Văn – Toán: 3.4 cách.

+ Vị trí 2 cuốn sách trong cặp sách: 2! cách.

+ Xếp các sách còn lại vào các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 có 5! cách.

Vậy ta có số cách xếp 1 cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn 2, các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 xếp
tùy ý số sách còn lại là 3.4.2!.5! cách.

Tương tự cho xếp cặp sách Văn – Toán lần lượt vào các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 .

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Vậy

 

12012
P A

n

 

 .

Câu 95. [1D2-5.3-2] ( Sở Phú Thọ) Một lớp có 20 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ
chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học
sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4)

A. 0,0849. B. 0,8826. C. 0,8783. D. 0,0325.

Lời giải

Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai ; Fb: Hồ Thị Hoa Mai 
Chọn C

Gọi A: “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.”
A

 : “4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.”

Số cách để lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác:

4
44

C

 
.

Số cách chọn 4 học sinh toàn là nam: C254 .

Số cách chọn 4 học sinh toàn là nữ: C194 .

Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ:

4 4

25 19
4
44

1 A 1 C C 0,8783

C


   

 .

Câu 96. [1D2-5.3-2] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Bạn Nam làm bài thi thử THPT
Quốc gia mơn Tốn có 50 câu, mỗi câu có 4 đáp án khác nhau, mỗi câu đúng được 0, 2 điểm,
mỗi câu làm sai hoặc không làm không được điểm cũng không bị trừ điểm. Bạn Nam đã làm
đúng được 40 câu còn 10 câu còn lại bạn chọn ngẫu nhiên mỗi câu một đáp án. Xác suất để bạn

Nam được trên 8,5 điểm gần với số nào nhất trong các số sau?

A. 0,53 . B. 0,47 . C. 0,25 . D.0,99 .

Lời giải

Tácgiả:Quỳnh Giao; Fb:QGiaoDo

Chọn A

Vì mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng nên xác suất để chọn đúng

đáp án là
1

4 , xác suất để trả lời sai là
3
4

Gọi A là biến cố bạn Nam được trên 8,5 điểm thì A là biến cố bạn Nam được dưới 8,5 điểm
Vì bạn Nam đã làm chắc chắn đúng 40c âu nên để có A xảy ra 2 trường hợp

TH1: Bạn Nam chọn được một câu đúng trong 10 câu còn lại, xác suất xảy ra là:

1 3
10. .

4 4

ổửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ

TH2: Bn Nam chn c hai câu đúng trong 10 câu còn lại, xác suất xảy ra là:

2 8

2
10

1 3

. .

4 4

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Vậy

( )

9 2 8

2
10

1 3 1 3

1 1 10. . . . 0,53

4 4 4 4

P A = - P A = - ố ứổửỗỗỗ ữữữ- C ổử ổửố ứ ố ứỗỗỗ ữữữỗỗỗ ữữữ;

Cõu 97. [1D2-5.3-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Một lơ hàng
gồm 30 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản
phẩm trong lơ hàng. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.

A. 
6

203 . B.

203 . C.

153

203 . D.

197
203 .
Lời giải

Tác giả: Phi Trường; Fb: Đỗ Phi Trường 
Chọn D

Ta có: n

 

 C303 .

Gọi A là biến cố lấy ra 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một sản phẩm tốt.

A

 là biến cố lấy ra 3 sản phẩm khơng có sản phẩm tốt và n A

 

C103 .

Vậy

 

3
10

3
30

197

1 1

203
C

P A P A

C

    

Câu 98. [1D2-5.3-3] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Một hộp kín chứa 50 quả bóng kích thước bằng
nhau, được đánh số từ 1 đến 50. Bốc ngẫu nhiên cùng lúc 2 quả bóng từ hộp trên. Gọi P là

xác suất bốc được 2 quả bóng có tích của 2 số ghi trên 2 quả bóng là một số chia hết cho 10,
khẳng định nào sau đây đúng?

A. 0,3P0,35. B. 0, 2P0, 25. C. 0, 25P0,3. D. 0,35P0, 4.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp

Chọn C

 

n  C . Gọi A là biến cố “bốc được 2 quả bóng có tích của 2 số ghi trên 2 quả bóng là

một số chia hết cho 10 ”. Xét các tập hợp sau: B



k k N ;1 k 50







1 10;20;30;40;50

B 





2 2 ;1 25; 5,10,15, 20, 25

B  k k N  k k

, Tập B có 20 phần tử.2





2 5;15; 25;35; 45

C 

Có ba trường hợp xảy ra khi tích của hai số trên hai quả bóng chia hết cho 10.

Trường hợp 1: 1 quả bóng có số ghi thuộc tập B , quả bóng cịn lại có số ghi thuộc tập 1 B B .\ 1

Khi đó số cách bốc 2 quả bóng là: C C15. 451 (cách).

Trường hợp 2: 2 quả bóng có số ghi đều thuộc tập B .1

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Trường hợp 3: 1 quả bóng có số ghi thuộc tập B , quả bóng cịn lại có số ghi thuộc tập 2 C .2

Khi đó số cách bốc 2 quả bóng là: C C15. 201 (cách).

Suy ra: n A

 

C C51. 451 C C15. 201 C52.

Vậy:

 

1 1 2 1 1

5 45 5 5 20

2
50

. . 67

0, 25 0,3
245

n A C C C C C

P P

n C

 

     

 .

Câu 99. [1D2-5.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Một lơ hàng có 20 sản phầm, trong
đó có 2 sản phẩm bị lỗi cịn lại là sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lơ hàng đó để
kiểm tra. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có sản phẩm lỗi.

A. 
7

25 . B.

23 . C.

14 . D.

7
19 .
Lời giải

Chọn D

Số phần tử không gian mấu bằng số cách lấy ra 4 sản phẩm từ 20 sản phẩm là: C204 (cách)
Cách 1: Để lấy ra 4 sản phẩm có sản phẩm lỗi ta chia các trường hợp:

TH1: Lấy được 3 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm lỗi, ta có: C C183. 12 (cách)

TH2: Lấy được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm lỗi, ta có: C C182. 22 (cách)

Vậy xác suất cần tìm là:

3 1 2 2

18 2 18 2
4
20

. . 7

C C C C

C

+ =

Cách 2: Xét biến cố đối:

Số cách lấy ra 4 sản phẩm khơng có sản phẩm lỗi C184 (cách)

Vậy xác suất cần tìm là:

4
18
4
20

7
1

19
C

C

- =

Câu 100. [1D2-5.3-3] Bắc-Ninh-2019) 
(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Một lơ hàng có 20 sản phầm, trong đó có 2 sản phẩm bị lỗi còn lại là sản
phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lơ hàng đó để kiểm tra. Tính xác suất để trong 4 sản
phẩm lấy ra có sản phẩm lỗi.

A. 
7

25 . B.

23 . C.

14 . D.

7
19 .
Lời giải

Chọn D

Số phần tử không gian mấu bằng số cách lấy ra 4 sản phẩm từ 20 sản phẩm là: C204 (cách)

Cách 1: Để lấy ra 4 sản phẩm có sản phẩm lỗi ta chia các trường hợp:

TH1: Lấy được 3 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm lỗi, ta có: C C183. 12 (cách)

TH2: Lấy được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm lỗi, ta có: C C182. 22 (cách)

Vậy xác suất cần tìm là:

3 1 2 2

18 2 18 2
4
20

. . 7

C C C C

C
+

=
.

Cách 2: Xét biến cố đối:

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Vậy xác suất cần tìm là:

4
18
4
20

7
1

19
C

C

- =

Câu 101. [1D2-5.3-3] (Chuyên Hà Nội Lần1) Xếp ngẫu nhiên 5 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông
ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Xác suất của biến cố “hai bạn An và
Bình khơng ngồi cạnh nhau” là:

A. 
3

5. B.

5. C.

5. D.

4
5
Lời giải

Tác giả Fb:linhnguyen
Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu: n  

 

Gọi A:”Hai bạn An và Bình khơng ngồi cạnh nhau”
Thì A :”Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau”
Xếp An và Bình ngồi cạnh nhau coi như 1 phần tử

- Xếp 1 phần tử (An+Bình) và 3 bạn cịn lại theo các thứ tự khác nhau có: 4! Cách
- Xếp 2 học sinh An và Bình ngồi cạnh nhau có 2! cách

Suy ra

 

4!.2! 2 3

=4!.2! P A =

5! 5 5

n A    P A 

Câu 102. [1D2-5.3-3] (Sở Phú Thọ) Một lớp có 20 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ
chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học
sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4).

A. 0,0849. B. 0,8826. C. 0,8783. D. 0,0325.

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm

Chọn C
CÁCH 1

Xét phép thử “Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác trong lớp”

Khi đó: n

 

 C444 135751.

Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ”.

Ta xét các trường hợp:

TH1: Chọn được 1 nữ, 3 nam. Số cách chọn là: C C 191 . 253 43700.

TH2: Chọn được 2 nữ, 2 nam. Số cách chọn là: C C 192. 252 51300.

TH3: Chọn được 3 nữ, 1 nam. Số cách chọn là: C C 193. 125 24225.

Suy ra n A 

 

43700 51300 24225 119225   .

Vậy xác suất cần tìm là:

 

119225

0,8783
135751

n A
P A

n

  



</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Khi đó: n

 

 C444 135751.

Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ” thì A là biến cố: “cả 4 học sinh
được chọn chỉ có nam hoặc nữ”.

Ta có:

 

4 4

19 25 16526

n A C C 

Do đó xác suất xảy ra của biến cố A là:

 

16526
135751
n A

P A
n

 



Suy ra

 

16526

1 1 0,8783

135751

P A   P A   

Câu 103. . Một lớp có 20 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học
sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả
nam và nữ, trong đó phải có bạn nữ B là bí thư chi đồn bằng (làm trịn đến chữ số thập phân
thứ 4).

A. 0,0849. B. 0,9339. C. 0,8783. D. 0,9151.

Câu 104. Câu 40 . [2H2-2.2-3] (Sở Phú Thọ) Cho tứ diện ABCD có AB BC AC BD 2a,
3

AD a ; hai mặt phẳng



ACD



và



BCD



vng góc với nhau. Diện tích mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ABCD bằng:

A.

64
27

a


. B.

4
27

a


. C.

16
9

a


. D.

64
9

a


Lời giải

Tác giả: Lê Thị Phương Liên; Fb: Phuonglien Le

Chọn D

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Do AB BC BD  2a và



ACD

 

 BCD



nên BM là trục của đường tròn ngoại tiếp ACD
.Suy ra ACD vuông tại A.

CD AC2AD2 a 7.

2 2 4 2 7 3

4 2

a a

BM  BD  DM  a  

Trong mp



BCD



kẻ đường trung trực của cạnh BD cắt BM tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại 
tiếp tứ diện ABCD .

Ta có :

2 2 4

3 3 3 3

BI BN a a

R BI BD

a

BD BM      

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

2 2

2 4 64

4 4

3 9

a a

S  R     

  (đvdt).

Câu 105. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB SD AB   2a,
3

AD a , mặt phẳng



SBD



vng góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .S ABCD

A.

64
27

a


. B.

4
27

a


. C.

16
9

a


. D.

64
9

a


Câu 106. [1D2-5.3-3] (Sở Quảng NamT) Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X. Gọi A là biến cố lấy
được số có đúng hai chữ số 1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số cịn lại đơi một khác nhau,
đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau. Xác suất của biến cố A bằng

A. 8
176400

9 B. 8

151200
.

9 C.

5
.

9 D. 8

201600
.
9

Lời giải

Tác giả: Đỗ Thị Nhàn; Fb: Nhando

Chọn D
*) Ta có:

( ) 9 .
n  

*) Tính ( ) :n A Giả sử 8 chữ số được viết vào 8 ô trống được đánh số từ 1 đến 8

TH1: Xếp bất kỳ

Xếp hai chữ số 1, hai chữ số 2 và 4 chữ số cịn lại: Có C C C82. . .4! 352.80062 74  (cách).
TH2: Số các cách xếp sao cho khơng thỏa mãn u cầu bài tốn

Xếp hai chữ số 1 đứng liền nhau: Có 7. . .4!C C62 74 cách.

Xếp hai chữ số 2 đứng liền nhau: Có 7. . .4!C C62 74 cách.

Số các cách xếp thuộc cả hai trường hợp trên:

+ Coi hai chữ số 1đứng liền nhau là nhóm X, hai chữ số 2 đứng liền nhau là nhóm Y

+ Xếp X, Y và 4 số cịn lại có:

4
7.6!

C (cách)

Vậy số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu là: 2.7. . .4!C C62 74  C74.6! 151200 (cách)

Vậy 8

201600
( ) 352.800 151.200 201.600 ( )

n A     p A 

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 , 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20 . Lấy
ngẫu nhiên một quả. Khi đó xác suất để lấy được quả màu xanh hoặc ghi số lẻ bằng

A. 
1

6 . B.

3 . C.

2 . D.

5
6 .

Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh

Chọn D

Chọn ngẫu nhiên một quả trong 30 quả có 30 cách. Vậy n  

 

30.

Gọi A là biến cố: “lấy được quả cầu màu xanh”.

Ta có

 

2
3
20

n A   P A 
.

Gọi B là biến cố: “lấy được quả cầu ghi số lẻ”.

Ta có

 

1
2
15

n B   P B 
.

Số quả cầu vừa màu xanh vừa ghi số lẻ: 10 (quả).

Xác suất để lấy được quả cầu vừa màu xanh vừa ghi số lẻ:





1
3
P A B 

Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh hay ghi số lẻ:





 





2 1 1 5

3 2 3 6
P AB P A P B  P AB    

Bài tập tương tự :

Câu 108. Một hộp chứa 15 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 15 , 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1
đến 20 . Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Khi đó xác suất để hai quả cầu lấy được đều màu đỏ
hoặc đều ghi số chẵn bằng

A. 
141

595 . B.

241

595 . C.

119 . D.

119 .

Câu 109. Trong ngày hội trại xuân, cô giáo chủ nhiệm tổ chức cho một nhóm 30 bạn trong lớp
tham gia hai tiết mục văn nghệ là tốp ca và tốp nhảy flashmob. Có 12 bạn tham gia tốp ca, 15
bạn tham gia nhảy flashmob và 6 bạn tham gia cả hai tiết mục. Chọn 1 bạn học sinh bất kì
trong lớp, tính xác suất để bạn học sinh này tham gia ít nhất một trong hai tiết mục văn nghệ đã
nêu.

A. 
7

10 . B.

30 . C.

2 . D.

9
10 .

Ghi nhớ: Công thức cộng xác suất: P A



B



P A

 

P

 

B  P



AB



</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

5 đội. Giả sử khả năng xếp mỗi đội vào mỗi bảng là như nhau. Tính xác suất để đội Việt Nam
và đội tuyển Malaysia được xếp trong cùng một bảng.

A.

9 . B.

9 . C.

9 . D.

1
9 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Bích Thanh; Fb: Nguyen Thanh 
Chọn A

Gọi A là biến cố “Đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Malaysia được xếp trong cùng một bảng”.

Ta có:

 

5 5 3 5

10.C ;5 2. .C8 5

n  C n A  C

Do đó:

 

3 5
8 5
5 5
10 5

2 4

9
C C
P A

C C

 

Câu 111. [1D2-5.4-2] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Sắp xếp
5 quyển sách Toán và 4 quyển sách Văn lên một kệ sách dài. Tính xác suất để các

quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau.

A. 
1

181440. B.

125

126. C.

63. D.

1
126.

Lời giải

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu 
Chọn C

Số cách xếp 9 quyển sách lên một kệ sách dài là 9! . Suy ra số phần tử không gian mẫu

 

n  
.

Gọi A là biến cố: “các quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau”. 
Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ mơn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 2 nhóm lên kệ sách chúng ta có: 2! cách xếp

Với mỗi cách xếp 2 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hốn vị các cuốn sách Toán và 4!cách hoán

vị các cuốn sách Văn. Suy ra n A 

 

5!.4!.2!.

Xác suất cần tìm là

 

5!.4!.2! 1

9! 63

n A
P A

n

  

 .

Câu 112. [1D2-5.4-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Giải bóng chuyền
quốc tế VTV Cup có 12 đội tham gia, trong đó có 3 đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu
nhiên để chia thành 3 bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội của Việt Nam cùng
nằm ở một bảng đấu.

A. 
1

110 . B.

330 . C.

55 . D.

3
55 .
Lời giải

Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng 
Chọn D

Gọi A là biến cố “3 đội của Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu”.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Chọn ra 3 đội của Việt Nam và 1 đội khác rồi xếp chung vào 1 trong 3 bảng có: 9 (cách).

Chọn ra 4 đội trong 8 đội còn lại để được bảng tiếp theo có: C48 (cách).

Bảng cịn lại có 1 cách chọn.

 

1 4
9 8

3. .C
n A  C

Vậy

 

1 4
9 8
4 4
12 8

3. .C 3

.C 55

C
P A

C

 

Câu 113. [1D2-5.4-3] (Chuyên Thái Nguyên) Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh
lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp B. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?

A. 108864 . B. 80640 . C . 145152 . D. 217728 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến.

Chọn C

Để xếp 9 em học sinh thành một hàng dọc ta thực hiện ba hành động liên tiếp

* Sắp xếp 3 học sinh lớp B. Có 3! cách.

* Sắp xếp 2 học sinh lớp A đứng cạnh các học sinh lớp B sao cho giữa hai học sinh lớp A

khơng có học sinh lớp B. Có A41.2! cách.

* Lần lượt sắp xếp 4 học sinh lớp C còn lại đứng cạnh các học sinh trên. Có A49 cách.

Vậy có tất cả 3!. .2!.A41 A 94 145152.

Bình luận: Trong đề thi thử THPT chuyên Thái Nguyên lần 2 trong câu hỏi này khơng có đáp

án 145152 mà thay bởi đáp án 145112 . . Tôi thiết nghĩ lỗi do người làm đề đã đánh máy nên
đã tự ý đổi lại một đáp án khác mà tôi nghĩ chính xác hơn.

Câu 114. [1D2-5.4-3] (Lý Nhân Tơng) Trước kì thi học sinh giỏi, nhà trường tổ chức buổi gặp mặt 10
em học sinh trong đội tuyển. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp số cộng.
Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ được
ngồi một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng
nhau.

A.

954 . B.

126 . C.

945 . D.

1
252 .

Lời giải
Chọn C.

Giả sử số thứ tự trong danh sách là u , 1 u , 2 u , ... , 3 u .10

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có u1u10 u2u9 u3u8 u4u7 u5u6.

Số phần tử của không gian mẫu là n  

 

10!.

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Bước 1: xếp thứ tự 5 cặp học sinh có các cặp số thứ tự là



u u1; 10



,



u u2; 9



,



u u3; 8



,



u u4; 7



,



u u5; 6



vào trước 5 cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách.

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước 1. Bước này có 2 cách.5

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A 

 

5!.25.

Vậy xác suất của biến cố A là

 

1
945
n A

P A
n

 

 .

Câu 115. [1D2-5.4-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Xếp chỗ cho 6 học sinh trong đó có học
sinh A và 3 thầy giáo vào 9 ghế kê thành hàng ngang (mỗi ghế xếp một người).
Tính xác suất sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa 2 học sinh và học sinh A ngồi ở một trong hai
đầu hàng.

A. 
5

252. B. 
5

126. C.

42. D. Đáp án khác.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trần Huyền Trang. Fb: Huyền Trang.
Chọn B

Xếp 9 người vào 9 ghế kê hàng ngang ta có:  9! cách sắp xếp.

Gọi B là biến cố để “mỗi thầy giáo ngồi giữa 2 học sinh và học sinh A ngồi ở một trong hai đầu
hàng.”

Theo đề, học sinh A ngồi ở một trong hai đầu hàng nên có 2 cách sắp xếp.

Xếp 5 học sinh cịn lại vào 5 vị trí có 5! cách sắp xếp. Xem mỗi học sinh tạo thành một vách

ngăn tạo thành 5 khoảng trống. Xếp 3 thầy vào 5 khoảng trống có A53 cách.

B 5!. .2 14400A5

   

cách.

14400 5
P

9! 126

  

Câu 116. [1D2-5.4-4] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có
5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 5học sinh trường X và 5 học sinh trường Y vào bàn
nói trên. Tính xác suất để bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau đều khác trường với nhau.

A. 
2

63 . B.

63 . C.

63 . D.

5
63 .
Lời giải

Tác giả: Phạm Nguyên Bằng; Fb: Phạm Nguyên Bằng
Chọn C

Ta có số phần tử không gian mẫu:  10!.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

+) Có cách chọn học sinh cho vị trí số ( Loại học sinh ở vị trí 1;10 ) . Với mỗi cách chọn

vị trí số 2 có 4 cách chọn học sinh cho vị trí số 9 ( Nếu vị trí số 2 là X thì có 4cách chọn vị
trí số 9 là Y , chỉ còn 4 do đã loại 1 em ở lần chọn trước).

+) Hoàn toàn tương tự cho đến hết ta được số phần tử của biến cố cần tính xác suất là:
10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 460800

A

   .

Vậy

460800 8
10! 63
A

P  

Câu 117. [1D2-5.5-1] (Chuyên Bắc Giang) Có 4 người xếp thành hàng ngang và mỗi người gieo 1 đồng
xu cân đối đồng chất. Xác suất để tồn tại hai người cạnh nhau có cùng kết quả là

A. 
7

8. B.

8. C.

8. D.

1
8.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tiến Phú ; Fb: Nguyên Tiến Phúc
Chọn A

 

24 16.

n    Gọi A là biến cố tồn tại 2 người cạnh nhau có cùng kết quả.

A

 là biến cố không tồn tại 2 người cạnh nhau không cùng kết quả. 
Các trường hợp của A là : S-N-S-N hoặc N-S-N-S.

 

2
n A

 

 

2 1

16 8

P A

  

Ta có:

 

1 7

1 1 1

8 8
P A P A   P A   P A   

Câu 118. [1D2-5.5-2] (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Một chiếc hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh
và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để lấy ra 4 viên bi có đủ
ba màu.

A. 
4

11. B.

11. C.

11. D.

6
11.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh ; Fb: Minh Nguyen 
Chọn D

Cách 1:

Số phần tử của không gian mẫu: n

 

 C124 495.

Gọi A là biến cố: “lấy ra 4 viên bi có đủ ba màu” 
Ta xét các khả năng của biến cố :A

TH1: Lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh và 2 bi vàng, trường hợp này có C C C15 13 42 (cách).

TH2: Lấy được 1 bi trắng, 2 bi xanh và 1 bi vàng, trường hợp này có C C C15 32 41 (cách).

TH3: Lấy được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi vàng, trường hợp này có C C C52 13 41 (cách).

Số cách lấy 4 viên bi có đủ cả ba màu là: n A

 

C C C15 13 42C C C51 32 41C C C52 31 41270.

Xác suất cần tìm là

270 6
.

495 11

Cách 2:

Số phần tử của không gian mẫu: n

 

 C124 495.

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Ta có: n A

 

C84C74C94 C54 C44 225.

Xác suất của biến cố A là:

225 5
( )

495 11

P A  

Vậy xác suất cần tìm là:

5 6

11 11

 

Câu 119. [1D2-5.5-2] (Chuyên Bắc Giang) Lớp 11A có 2 tổ. Tổ I có 5 bạn nam, 3 bạn nữ và tổ II có 4

bạn nam, 4 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên mỗi tổ 2 bạn đi lao động. Tính xác suất để trong các bạn đi
lao động có đúng 3 bạn nữ.

A. 
1

364 . B.

392. C.

14. D.

9
52.
Lời giải

Tác giả: Hoàng Minh Tuấn ; Fb: Minh Tuấn Hoàng Thị 
Chọn B

Chọn mỗi tổ 2 bạn nên số phần tử của không gian mẫu n

 

 C C82. 82 784.

Gọi A là biến cố : “Có đúng 3 bạn nữ trong 4 bạn đi lao động”, khi đó

TH1: Chọn 2 nữ tổ I, 1 nữ tổ II, 1 nam tổ II có C C C32. .14 14.

TH2: Chọn 2 nữ tổ II, 1 nữ tổ I, 1 nam tổ I có C C C42. .51 31.

Suy ra n A

 

C C C32. .41 14C C C42. .51 31138.

Xác suất để chọn 4 bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ là

 

138 69
784 392
n A

P A
n

  

 .

Câu 120. [1D2-5.5-2] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1) Một hội nghị gồm 6 đại biểu nước Anh, 7 đại
biểu nước Pháp và 7 đại biểu nước Nga, trong đó mỗi nước có 2 đại biểu là nam. Chọn ngẫu
nhiên ra 4 đại biểu. Xác suất chọn được 4 đại biểu để trong đó mỗi nước đều có ít nhất một đại
biểu và có cả đại biểu nam và đại biểu nữ bằng

A. 
3844

4845. B.

1937

4845. C.

95. D.

49
95.

Lời giải

Tác giả:Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu

 

20 4845

n  C 

Gọi A là biến cố: “chọn được 4 đại biểu để trong đó mỗi nước đều có 1 đại biểu và có cả đại biểu

nam và đại biểu nữ”

Số cách chọn 4 người đủ các nước tức là có một nước có 2 người, hai nước còn lại, mỗi nước 1

người là:

2 1 1 1 2 1 1 1 2

6. .7 7 6. .7 7 6. .7 7 2499

C C C C C C C C C  .

Số cách chọn 4 người đủ các nước và toàn đại biểu nam là:

2 1 1 1 2 1 1 1 2

2. .2 2 2. .2 2 2. .2 2 12

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

2 1 1 1 2 1 1 1 2
4. .5 5 4. .5 5 4. .5 5 550

C C C C C C C C C  .

Số phần tử của A là n A 

 

2499 12 550 1937   .

Xác suất của biến cố

 

1937
:

4845

A P A 

Câu 121. [1D2-5.5-2] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Đội thanh niên xung kích của một
trường THPT gồm 15 học sinh trong đó có 4 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh
khối 10. Chọn ngẫu nhiên ra 6 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất để chọn được 6 học
sinh đủ 3 khối.

A. 
4248

5005. B.

757

5005. C.

151

1001. D.

850
1001.

Lời giải

Tác giả: Võ Thị Kim Phượng; Fb: Phượng Kim Võ Thị
Chọn D

Số cách chọn 6 học sinh từ 15 học sinh là C 156 5005 (cách)

 

5005
n

  

Gọi biến cố A: “Chọn được 6 học sinh đủ 3 khối”
A

 : “Chọn được 6 học sinh không đủ 3 khối”.

Cách 1

+ Trường hợp 1: Chọn 6 học sinh từ 1 khối  Chọn 6 học sinh khối 10 có C  (cách).66 1

+ Trường hợp 2: 6 học sinh được chọn trong 2 khối.

* Chọn 6 học sinh trong khối 11 và khối 12 có C C41 55 C C42 54 C C43 53 C C44 52 84 (cách).

* Chọn 6 học sinh trong khối 10 và khối 12 có C C41 65 C C42 64 C C43 63 C C44 62 209(cách).

* Chọn 6 học sinh trong khối 11 và khối 10 có C C51 65 C C52 64 C C53 63 C C54 62 C C55 61 461

(cách).

Từ 2 trường hợp suy ra n A  

 

1 84 209 461 755   .

 

755 151 850

5005 1001 1001

n A

P A P A P A

n

      



Cách 2

+ Trường hợp 1: Chọn 6 học sinh từ 1 khối  Chọn 6 học sinh khối 10 có C (cách).66

+ Trường hợp 2: 6 học sinh được chọn trong 2 khối có



 



6 6 6 6 6

9 10 6 11 6

C  C  C  C  C

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Từ 2 trường hợp suy ra

 

6 6 6 6

9 10 11 9 755

n A C C C  C 
.

 

755 151 850

5005 1001 1001

n A

P A P A P A

n

      

 .

Câu 122. [1D2-5.5-2] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có bốn
ghế. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh, gồm 4 nam và 4 nữ, ngồi vào hai dãy ghế sao cho mỗi ghế có
đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ
và khơng có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau bằng

A. 
8

35. B.

35. C.

35. D.

4
35.
Lời giải

Tácgiả:Kim Liên; Fb: Kim Liên
Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 học sinh vào 8 chỗ ngồi khác nhau. Suy ra

( )

n W =

Gọi A là biến cố xếp 8 học sinh sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh
nữ và khơng có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau. Ta đánh số các chỗ ngồi từ 1 đến 8 như
sau:

Dãy 1:

1 2 3 4

Dãy 2:

8 7 6 5

Để sắp xếp các học sinh ngồi vào vị trí thỏa mãn u cầu bài tốn ta sắp xếp như sau:

Trường hợp 1: 4 học sinh nam ngồi vào các số lẻ, 4 học sinh nữ ngồi vào các số chẵn. Trường
hợp này có 4!4! cách.

Trường hợp 2: 4 học sinh nam ngồi vào các số chẵn, 4 học sinh nữ ngồi vào các số lẻ. Trường
hợp này có 4!4! cách.

Do đó n A

( )

=2.4!4!.

Vậy xác suất của biến cố A là

( )

1
35
n A
P A

n

= =

W .

Câu 123. [1D2-5.5-2] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Đội tuyển học sinh giỏi Tốn 12 của
trường THPT X có 7 học sinh trong đó có bạn Minh Anh. Lực học của các học sinh là như
nhau. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi thi. Tìm xác suất để Minh Anh được chọn đi
thi.

A. 
1

7 . B.

7 . C.

7 . D.

1
2 .
Lời giải

Tác giả: Phùng Hoàng Cúc ; Fb: Phùng Hồng Cúc
Chọn B

Khơng gian mẫu

 

4
7

n  C

Gọi biến cố A: “Minh Anh được chọn trong 4học sinh được chọn đi thi.”
+ Chọn Minh Anh đi thi có 1 cách.

+ Chọn 3 bạn trong 6bạn cịn lại có C63 cách.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Vậy xác suất để Minh Anh được chọn đi thi là:

 

20 4
35 7
P A

n

  



Câu 124. [1D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Trong Lễ tổng kết Tháng thanh niên, có 10 đồn viên xuất
sắc gồm 5 nam và 5 nữ được tuyên dương khen thưởng. Các đoàn viên này được sắp xếp ngẫu
nhiên thành một hàng ngang trên sân khấu để nhận giấy khen. Tính xác suất để trong hàng
ngang trên khơng có bất kì bạn nữ nào đứng cạnh nhau.

A. 
1

7 . B.

42. C.

252. D.

25
252.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn B

Gọi  là khơng gian mẫu. Ta có: n  

 

10!.

Gọi A là biến cố: “Xếp 10 bạn thành một hàng ngang khơng có bất kì bạn nữ nào đứng cạnh
nhau”.

 Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam vào 5 vị trí có 5! cách.

 Xếp 5 bạn nữ xen vào giữa 4 khoảng trống giữa 5 bạn nam, vị trí đầu và cuối hàng có A65

cách.

 

5
6

5!.

n A A

 

 

n A
P A

n

 



5
6

5!. 1

10! 42
A

 

* Phân tích bài toán

- Bài toán trêndùng phương pháp tạo vách ngăn để giải quyết.

- Nội dung của phương pháp.

Sắp xếp m đối tượng khác nhau thuộc nhóm 1 và n đối tượng khác nhau thuộc nhóm 2 vào

m n



m n



vị trí khác nhau sao cho thỏa mãn khơng có hai vật nhóm 2 nào đứng cạnh 
nhau.

- Cách giải:

+ Bước 1: Sắp xếp m vào m vị trí sẽ tạo ra m  vách ngăn.1

+ Bước 2: Sắp xếp n đối tượng còn lại theo yêu càu bài toán vào m  vách ngăn vừa tạo.1

* Phát triển bài tương tự

Câu 125. [1D2-5.5-3] (Chun Vinh Lần 2) Có 4 quyển sách Tốn, 6 quyển sách Lý và 8 quyển sách
Hóa khác nhau được xếp lên giá sách theo một hàng ngang. Tính xác suất để khơng có bất kỳ
hai quyển sách Hóa đứng cạnh nhau.

A. 
5

663. B.

663. C.

1326. D.

5
1326.

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Gọi  là không gian mẫu. Ta có: n  

 

18!.

Gọi A là biến cố: “Xếp 18 quyển sách lên giá sách theo một hàng ngang sao cho khơng có bất
kỳ hai quyển sách Hóa đứng cạnh nhau”.

 Xếp ngẫu nhiên 10 quyển sách gồm 4 quyển sách Toán và 6 quyển sách Lý vào 10 vị trí có
10! cách.

 Xếp 8 quyển sách Hóa vào 9 khoảng trống giữa 10 quyển sách Tốn và Lý, vị trí đầu và cuối

giá sách có A cách. 118

 

10!.

n A A

 

 

n A
P A

n

 



10!. 5

18! 1326
A

 

Câu 126. [1D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Người ta sắp xếp ngẫu nhiên 5 viên bi được đánh số từ 1
đến 5 vào năm chiếc hộp theo một hàng ngang. Tính xác suất để các viên bi được đánh số chẵn
luôn đứng cạnh nhau.

A. 
1

5. B.

5 . C.

5. D.

4
5 .

Lời giải
Chọn B

Gọi  là khơng gian mẫu. Ta có: n  

 

5!.

Gọi A là biến cố: “Xếp 5 viên bi được đánh số từ 1 đến 5 vào năm chiếc hộp sao cho các viên
bi được đánh số chẵn nằm trong các hộp đứng cạnh nhau ”.

 Xếp 2 viên bi có đánh số chẵn (viên bi số 2 và viên bi số 4) vào 2 hộp đứng cạnh nhau có
2! cách.

 Ta coi việc xếp 2 viên bi chẵn vào hai chiếc hộp đứng cạnh nhau là xếp chúng vào một chiếc
hộp lớn.

 Xếp 3 viên bi có đánh số lẻ (viên bi số 1, viên bi số 3 và viên bi số 5) vào 3 chiếc hộp và 2
viên bi đánh số chẵn (viên bi số 2 và viên bi số 4) vào 1 chiếc hộp lớn nên ta có 4 chiếc hộp để
sắp xếp, vậy có 4! cách.

Vậy n A 

 

2!.4!

 

2!.4! 2
5! 5
n A

P A
n

   



Câu 127. [1D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) [Vietted – 08 – Năm 2017-2018] Xếp ngẫu nhiên 10
học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 5 học sinh lớp C thành một hàng ngang.
Xác suất để khơng có học sinh lớp B nào xếp giữa hai học sinh lớp A bằng

A. 
3

5 B.

1
.

5 C.

2
.

5 D.

4
.

Lời giải

Chọn C

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

* Trước tiên xếp 2 học sinh lớp A có 2! cách.

Vì giữa hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp B nên chỉ có thể xếp học sinh lớp C vào giữa
hai học sinh lớp A vừa xếp:

* Vậy chọn k 



0,1, 2,3, 4,5



học sinh lớp C rồi xếp vào giữa hai học sinh lớp A có 5

k
A cách, 
ta được một nhóm X.

* Xếp 10 (2 k) 8  k học sinh cịn lại với nhóm X có (9 k)! cách.

Vậy tất cả có

5
5
0

2! k(9 )! 1451520
k

A k



 



cách xếp thỏa mãn.

Xác suất cần tính bằng

1451520 2
.
10! 5

Câu 128. [1D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) [Liên trường TP Vinh – Lần 1 – Năm 2018-2019]

Có 3 quyển sách toán, 4 quyển sách lí

và 5 quyển sách hóa khác nhau được sắp xếp ngẫu nhiên lên một giá sách gồm có 3 ngăn, các
quyển sách được sắp dựng đứng thành một hàng dọc vào một trong ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng
để chứa tất cả quyển sách). Tính xác suất để khơng có bất kì hai quyển sách toán nào đứng cạnh
nhau.

A. 
36

91. B.

91. C.

91. D.

55
91

Lời giải

Chọn D

Giá có 3 ngăn như vậy có 2 vách ngăn, coi 2 vách ngăn này là 2 quyển sách giống nhau. Khi đó
bài tốn trở thành xếp 14 quyển sách (2 quyển “VÁCH NGĂN” giống nhau) vào 14 vị trí. Đầu

tiên chọn 2 vị trị trí xếp vách ngăn là C , 12 vị trí cịn lại xếp 12 quyển sách là 12!. Vậy142

khơng gian mẫu là C142.12!.

Gọi A là biến cố “khơng có bất kì hai quyển sách tốn nào đứng cạnh nhau”. Ta tìm số cách
xếp thỏa mãn A

Đầu tiên ta xếp 11 quyển sách gồm 4 quyển lí, 5 quyển hóa và 2 quyển “VÁCH NGĂN”. Cũng

như trên, ta chọn 2 vị trí xếp 2 quyển “VÁCH NGĂN” trước là C , sau đó xếp 9 quyển cịn lại112

là 9! . Vậy số cách xếp 11 quyển này là C112.9!. Sau khi xếp xong 11 quyển này thì sẽ có sẽ có

12 khe. Ta chọn 3 khe để xếp 3 quyển tốn cịn lại, là A .123

Vậy số cách thỏa mãn biến cố A là C112.9!.A .123

Vậy

 

2 3

11 12
2
14

.9!. 55
.12! 91

C A

P A
C

 

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Câu 129. [1D2-5.5-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Hai bạn Công và Thành cùng
viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có
ít nhất một chữ số chung bằng?

A. 
145

729 . B.

448

729 . C.

281

729 . D.

154
729 .

Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Tuấn; Fb: Phạm Tuấn

Chọn C

Số các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt là 9.9 81 số.

Số phần tử của không gian mẫu là n  

 

812.

Gọi A là biến cố “Hai chữ số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

Khi đó ta có biến cố A là “Hai chữ số được viết ra khơng có chữ số chung”
Gọi hai chữ số mà Công và Thành viết ra lần lượt là ab và cd.

- TH1: b 0, khi đó a có 9 cách, c có 8 cách và d có 7 cách. Vậy có 9.8.7 504 cách viết. 
- TH2: b 0, khi đó a có 9 cách, b có 8 cách, c có 7 cách và d có 7 cách. Vậy có

9.8.7.7 3528 cách viết.

 

504 3528 4032
n A

   

cách viết.

Vậy xác suất của biến cố A là:

 

4032 281

1 1

81 729
P A   P A   

Nhận xét: Đây là một bài toán xác suất chọn số. Đối với bài toán này, ta sẽ đi theo hướng tính 
gián tiếp thơng qua phần bù. Khi đó cách làm sẽ ngắn hơn và tránh nhầm lẫn khơng đáng có.

PT 31.1. Cho tập hợp S 



1;2;3;....29;30



. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S. Tính xác suất để 3 số được
chọn lập thành một cấp số cộng.

A. 
3

58 . B.

116 . C.

29 . D.

3
56 .

Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Tuấn; Fb: Phạm Tuấn

Chọn A

Ta có khơng gian mẫu là n

 

 C303 .

Gọi A là biến cố “3 số được chọn lập thành một cấp số cộng”

Giả sử 3 số được chọn là a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng  a c 2b. Do đó a c là
một số chẵn nên a và c cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Chia S thành 2 tập S 1



1;3;5;...;29



và S 2



2; 4;6;...;30



.

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

 

2. 15

n A C

 

Vậy xác suất của biến cố A là

 

2
15
3
30

2 3

n A C

P A

n C

  

 .

PT 31.2. Từ các số 1; 2;3; 4;5;6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số sao cho trong mỗi số đó
có đúng ba chữ số 1, các chữ số cịn lại đơi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh

nhau?

A. 2612. B. 2400. C. 1376. D. 2530.

Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Tuấn; Fb: Phạm Tuấn

Chọn B

Bước 1: ta xếp các số lẻ: có các số lẻ là 1, 1, 1,3,5 vậy có
5!

3! cách xếp.

Bước 2: ta xếp 3 số chẵn 2 , 4 ,6 xen kẽ 5 số lẻ trên có 6 vị trí để xếp 3 số vậy có A36 cách xếp.

Vậy có

3
6

.A 2400

3!  số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 130. [1D2-5.5-3] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Một hội nghị gồm 6 đại biểu đến từ Việt
Nam, 7 đại biểu đến từ Mỹ, 7 đại biểu đến từ Anh, trong đó mỗi Quốc gia có đúng 2 đại biểu

nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 4 đại biểu. Tính xác suất để chọn được 4 đại biểu sao cho mỗi Quốc
gia đều có ít nhất 1 đại biểu và có cả đại biểu nam và nữ.

A. 
2908

4845. B.

4. C.

4. D.

1937
4845.

Lời giải

Tác giả:Nguyên Đông ; Fb:Nguyễn Đông 
Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là: C 204 4845.

Gọi A là biến cố “chọn được 4 đại biểu sao cho mỗi Quốc gia đều có ít nhất 1 đại biểu và có
cả đại biểu nam và nữ.”

Trường hợp 1: có 2 đại biểu Việt Nam,1 đại biểu Mỹ, 1 đại biểu Anh.

Số cách chọn ra 4 đại biểu có cả đại biểu nam và đại biểu nữ thỏa mãn trường hợp 1 là:





2 1 1 2 1 1 2 1 1

6 7 7 4 5 5 2 2 2 581

C C C  C C C C C C 

cách chọn.

Trường hợp 2: Có 1 đại biểu Việt Nam, 2 đại biểu Mỹ, 1 đại biểu Anh.

Số cách chọn ra 4 đại biểu có cả đại biểu nam và đại biểu nữ thỏa mãn trường hợp 2 là:





1 2 1 1 2 1 1 2 1

6 7 7 4 5 5 2 2 2 678

C C C  C C C C C C 
.

Trường hợp 3: Có 1 đại biểu Việt Nam,1 đại biểu Mỹ,2 đại biểu Anh.

Số cách chọn ra 4 đại biểu có cả đại biểu nam và đại biểu nữ thỏa mãn trường hợp 3 là:





1 1 2 1 1 2 1 1 2

6 7 7 4 5 5 2 2 2 678

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Nên tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là: 581 678 678 1937   .

Vậy xác suất của biến cố A là:

 

1937
4845
P A 

Câu 131. [1D2-5.5-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Xếp ngẫu nhiên tám học sinh gồm
bốn học sinh nam (trong đó có Hồng và Nam) cùng bốn học sinh nữ (trong đó có Lan) thành
một hàng ngang. Xác suất để trong tám học sinh trên khơng có hai học sinh cùng giới đứng
cạnh nhau, đồng thời Lan đứng cạnh Hoàng và Nam là

A. 
1

560. B.

1120. C.

35. D.

1
280.

Lời giải

Tác giả:Đặng Văn Quang; Fb: Dang Quang
Chọn D

Xếp ngẫu nhiên tám học sinh thành hàng ngang, có 8! cách. Suy ra n   

 

8! 40320.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất.

Ta coi Hồng, Lan, Nam ( Lan ở giữa) là một nhóm. Khi đó vì hai bên nhóm này bắt buộc là nữ
nên coi nhóm này là một nam. Vậy có thể coi ta có ba nam và ba nữ.

Khi đó có hai trường hợp xảy ra.
Trường hợp 1: Nam ngồi vị trí lẻ.

Xếp ba nam vào vị trí lẻ có 3! cách.

Xếp ba nữ vào vị trí chẵn có 3! cách.

Hốn vị hai học sinh nam trong nhóm ( Hồng- Lan- Nam) có 2! cách.

Vậy số cách sắp xếp trong trường hợp này là 3!.3!.2! 72 cách.
Trường hợp 2: Nam ngồi vị trí chẵn.

Tương tự trường hợp này có 3!.3!.2! 72 cách.

Suy ra n A  

 

72 72 144 cách.

Vậy

 

1
280
n A

P A
n

 

 .

Câu 132. [1D2-5.5-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60 . Lấy ngẫu
nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số trên hai quả cầu với nhau. Tính xác suất để tích
nhận được là số chia hết cho 10 .

A. 
78

295. B.

161

590. C.

590. D.

209
590.

Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.
Phản biện: Trần Đại Lộ ; Fb: Trần Đại Lộ . 
Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là: n

 

 C602 1770.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

TH1: Hai quả cầu bốc được có chữ số tận cùng là 0 có 6 (cách).

TH2: Hai quả cầu bốc được có 1 quả cầu có chữ số tận cùng là 0 có C C16. 541 (cách).

TH3: Hai quả cầu bốc được có 1 quả cầu có chữ số tận cùng là 5 và 1 quả cầu có chữ số tận

cùng là 2, 4,6,8 có C C16. 124 (cách).

Khi đó số phần tử của biến cố A là

 

2 1 1 1 1

6 6. 54 6. 24 483

n A C C C C C 
.

Vậy xác suất của biến cố A là

 

483 161
1770 590
n A

P A
n

  



Câu 133. [1D2-5.5-3] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Một nhóm gồm 3 học sinh lớp 10 , 3
học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngồi vào một hàng có 9 ghế, mỗi học sinh ngồi
1 ghế. Tính xác suất để 3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau.

A. 
5

12. B.

12. C.

12. D.

11
12.

Lời giải

Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii
Chọn D

Nhóm có tất cả 9 học sinh nên số cách xếp 9 học sinh này ngồi vào một hàng có 9 ghế là
9! 362880 (cách).

Vậy số phần tử không gian mẫu là n  

 

362880.

Đặt biến cố A: “ 3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau”.

Giả sử 3 học sinh lớp 10 ngồi 3 ghế liền nhau. Ta xem 3 học sinh này là một nhóm X

+/ Xếp X và 6 bạn còn lại vào ghế có 7! cách xếp.

+/ Ứng với mỗi cách xếp ở trên, có 3! cách xếp các bạn trong nhóm X .

Vậy theo quy tắc nhân ta có số cách xếp là: 7!.3! 30240 (cách).

Suy ra số cách xếp để 3 học sinh lớp 10 không ngồi cạnh nhau là 362880 30240 332640 

(cách)  n A

 

332640.

Vậy xác suất để 3 học sinh lớp 10 không ngồi cạnh nhau là

 

332640 11
362880 12
n A

P A
n

  

 .

Câu 134. [1D2-5.5-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Một nhóm có 8 học sinh gồm 4 bạn nam và 4
bạn nữ trong đó có 1 cặp sinh đôi gồm 1 nam và 1 nữ. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh này vào 2
dãy ghế đối diện, mỗi dãy 4 ghế, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để cặp
sinh đôi ngồi cạnh nhau và nam nữ không ngồi đối diện nhau bằng

A. 
3

70. B.

35. C.

105. D.

3
140.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh; Fb: Minh Nguyen 
Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu: n   

 

8! 40320.

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Ta tính n A

 

như sau:

Đánh số các ghế ngồi của 8 học sinh như hình vẽ sau:

1 2 3 4

5 6 7 8

- Để xếp cho cặp sinh đơi ngồi cạnh nhau có 6 cách.
- Mỗi cách như vậy có 2 cách đổi chỗ.

- Với mỗi cách xếp cặp sinh đơi, ví dụ: Cặp sinh đơi ở vị trí 1 và 2.
Do nam nữ khơng ngồi đối diện nên:

+ Vị trí 5 và 6 đều có 3 cách.

+ Vị trí 3 có 4 cách, vị trí 7 có 1 cách.
+ Vị trí 4 có 2 cách, vị trí 8 có 1 cách.

Suy ra n A 

 

6.2.3.3.4.1.2.1 864 .

Vậy

 

864 3

40320 140

P A  

Câu 135. [1D2-5.5-3] (Cẩm Giàng) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác
nhau. Gọi A là biến cố: “Lập được số mà tổng của ba chữ số thuộc hàng đơn vị, chục, trăm lớn
hơn tổng của ba chữ số còn lại là 3 đơn vị”. Xác suất của biến cố A là:

A. 
1

30. B.

10. C.

10. D.

3
20.
Lời giải

Tác giả: Mai Thị Hoài An ; Fb: Hoài An 
Chọn D

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, lập được 6! 720

số. Vậy số phần tử của không gian mẫu là n  

 

720.

Gọi abcdef là số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau thuộc biến cố A.

Ta có:

( ) ( ) 21 9

( ) ( ) 3 12

a b c d e f a b c

d e f a b c d e f

        

 



 

        

  .

Từ sáu chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta phân chia thành bộ ba số có tổng là 9 và bộ ba số có tổng là 12,

có 3 cách phân chia, đó là



1; 2; 6



và



3; 4; 5





1; 3; 5



và



2; 4; 6





2; 3; 4



và



1; 5; 6



Trong mỗi cách phân chia này, ta lập được 3!.3! 36 số. Do đó n A 

 

3.36 108 .

Vậy xác suất của biến cố A là:

 

108 3
720 20
n A

P A
n

  



Câu 136. [1D2-5.5-3] (Đặng Thành Nam Đề 3) Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập



0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9



. Tính xác suất để trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều
nhất một số giống nhau bằng:

A. 10. B.

203

480. C.

60. D.

17
24.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Sỹ Quý; Fb: Nguyễn Sỹ Quý

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Số cách chọn của An là 10; số cách chọn của Bình là 10. Vậy số phần tử của không gian mẫu

là:

 





3 3 3

10 10 10

n  C C  C
.

Gọi A là biến cố “ Hai bộ ba số An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau”.

TH1: Khơng có số nào giống nhau thì có C C103. 73 cách chọn.

TH2: Có một số giống nhau thì có C C C103. .31 72 cách chọn.

Do đó n A

 

C C103 73C C C103 31 72.

Vậy xác suất cần tìm là:

 





3 3 3 1 2

10 7 10 3 7
2
3

49
60
n A C C C C C
P A

n C



  



Câu 137. [1D2-5.5-3] (Yên Phong 1) Cho E là tập các số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau lập
được từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên từ E được một số có dạng

abcdef sao cho a b c d e f     .

A. 
1

90. B.

135. C.

225. D.

5
138.
Lời giải

Tác giả: Mai Thị Hoài An; Fb: Hoài An 
Chọn B

Số phần tử của tập hợp E là 6.A 65 4320.

Vì 3

a b c d e f
a b c d e f          

nên



a b c d e f    



 .3

Mà 0 1 2 3 4 5 6 21       chia hết cho 3 nên khi lấy ra 6 chữ số thỏa điều kiện ta phải loại 
ra một số chia hết cho 3. Ta có 3 trường hợp sau:

1) Trường hợp 1:

Loại bỏ số 0, khi đó a b c d e f      .7

Bước 1: Chia ra làm 3 cặp số có tổng bằng 7 là



1; 6 , 2; 5 , 3; 4

 



: có 1 cách chia.

Bước 2: Chọn a có 6 cách; chọn b có 1 cách; chọn c có 4 cách; chọn d có 1 cách; chọn e có 
2 cách; chọn f có 1 cách: có 6.1.4.1.2.1 = 48 cách.

Trường hợp này có 48 số.

2) Trường hợp 2:

Loại bỏ số 3, khi đó a b c d e f      .6

Bước 1: Chia ra làm 3 cặp số có tổng bằng 6 là



0; 6 , 1; 5 , 2; 4

 



: có 1 cách chia.

Bước 2: Chọn a có 5 cách (vì có số 0); chọn b có 1 cách; chọn c có 4 cách; chọn d có 1 cách;
chọn e có 2 cách; chọn f có 1 cách: có 5.1.4.1.2.1 = 40 cách.

Trường hợp này có 40 số.

3) Trường hợp 3:

Loại bỏ số 6, khi đó a b c d e f      . Tương tự như trường hợp 2, có 40 số.5
Vậy trong tập hợp E có tất cả 48 40 40 128   số có dạng abcdef sao cho

a b c d e f     . Xác suất cần tìm là

128 4

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Câu 138. [1D2-5.5-4] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Có hai chiếc hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang màu
xanh hoặc màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là

20 và xác suất để lấy được hai viên bi màu xanh là 
55

84 . Tính xác suất để lấy được hai viên bi
màu đỏ.

A. 
4

7 . B.

84 . C.

28 . D.

5
8 .

Lời giải

Tác giả: Đoàn Phạm Hồng Hưng; Fb: Đoàn Phạm Hồng Hưng

Chọn C

Gọi x là số bi của hộp thứ nhất nên số bi ở hộp thứ hai là 20 x ( 0 x 20,x  ).

Gọi a , b( ,a b   ) lần lượt là số bi xanh hộp thứ nhất và số bi xanh ở hộp thứ hai. 
Suy ra: 0 a x  , 0b20 x.

Số cách lấy bi ở mỗi hộp là độc lập với nhau nên ta đặt:

+) Xác suất lấy một bi xanh ở hộp thứ nhất là
a

x và ở hộp thứ hai là 20
b

x

 . Với a , b, x là 
các số tự nhiên thỏa mãn ax, b20 x, 1 x 20.

+) Xác suất lấy được hai bi xanh





20 84

ab

x  x  .

Ta có x



20 x



84   x220x 84 0  6 x 14. 
Lập bảng thử từng giá trị

Khi đó, các giá trị của x là 6 hoặc 84.

Ta lại có

55 5 11 5 11
84 6 14 6 14

.

.
.

 

. Do đó,
5
6
a
x  ,

20 14

b
x 

 hoặc ngược lại.

Vậy xác suất để lấy được hai viên bi đỏ là

5 11 1

1 1 1 1

20 6 14 28

a b

x x

           

        

        .

Câu 139. [1D2-5.5-4] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Gọi A là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các
chữ số đều khác 0. Lấy ngẫu nhiên từ tập A một số. Tính xác suất để lấy được số mà chỉ có
đúng 3 chữ số khác nhau.

A. 
1400

19683 . B.

560

6561 . C.

1400

6561 . D.

2240
6561 .
Lời giải

Tác giả: Đặng Mai Hương ; Fb: maihuongpla 
Chọn C

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt , ,a b c từ 9 chữ số khác 0 là C39.

TH1. Có 1 chữ số trong 3 chữ số , ,a b c được lặp 3 lần.
Chọn chữ số lặp: có 3 cách, giả sử là a.

Xếp 5 chữ số , , , ,a a a b c có 
5!

3! cách, (vì cứ 3! hốn vị của các vị trí mà a a a, , chiếm chỗ thì tạo
ra cùng một số n ).

Suy ra trong trường hợp này có

3
9

5!
C .3

3!


số tự nhiên.

TH2. Có 2 trong 3 chữ số , ,a b c , mỗi chữ số được lặp 2 lần.
Chọn 2 chữ số lặp: có C23 cách, giả sử là a, b.

Xếp 5 chữ số , , , ,a a b b c có 
5!

2!2! cách, (vì cứ 2! hốn vị của các vị trí mà a a, chiếm chỗ và 2! 
hoán vị của các vị trí mà ,b b chiếm chỗ thì tạo ra cùng một số n ).

Suy ra trong trường hợp này có

3
9

5!
C .3

2!2!


số tự nhiên.

Do đó ta có

3 3

9 9

5! 5!

C .3 C .3 12600

3! 2!2!

B

     

số.

Kết luận:

 

12600 1400

59049 6561
B

P B   



.

Cách 2: Lưu Thêm

Gọi A là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0 .

Xét phép thử: “ Chọn ngẫu nhiên 1 số từ A”  n  

 

95.

Gọi B là biến cố: “ Số được chọn chỉ có đúng 3 chữ số khác nhau”. 
TH1: Có 1 chữ số được lặp 3 lần, 2 chữ số còn lại khác nhau.

+) Chọn 1 chữ số khác 0 có 9 cách ( gọi là a ).

+) Xếp 3 chữ số a vào 3 trong 5 vị trí có C53 cách.

+) Chọn 2 chữ số từ 8 chữ số còn lại và xếp vào 2 vị trí cịn lại có A82 cách.

 Có 9. .C A 53 82 5040 (số).

TH2: Có 2 trong 5 chữ số, mỗi chữ số được lặp 2 lần.

+) Chọn 2 chữ số từ 9 chữ số có C92 (gọi là a , b ).

+) Xếp 4 chữ số: a , a , b , b vào 4 trong 5 vị trí có C C52. 32 cách.

+) Xếp 1 chữ số cịn lại có 7 cách.
 Có C C C92. . .7 756052 32  (số).

 

5040 7560 12600
n B

    .

Kết luận:

 

12600 1400

9 6561

n B
P B

n

  

 .

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

A. 
31

45. B.

120. C.

119

200. D.

119
180.

Lời giải.
Chọn A

Số phần tử không gian mẫu:  A74  A63720.

TH1: Nếu a  .2

 b 0 c



3;4;8;9



có 4 cách; d có 4 cách.
Vậy có 16 số.

 b 



1;3;4;8;9



có 5 cách; c có 5 cách; d có 4 cách.
Vậy có 100 số.

TH2: Nếu a 



3; 4;8



có 3 cách; b có 6 cách; c có 5 cách; d có 4 cách.

Vậy có 360 số.

TH3: Nếu a  .9

b  ; c 



1; 2;3; 4;8



có 5 cách; d có 4 cách.
Vậy có 20 số.

Kết luận: A 16 100 360 20 496    số.

 

496 31
720 45

A

P

  

Câu 141. [1D2-5.5-4] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. Lấy ngẫu
nhiên hai số từ tập X . Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4 gần nhất với số nào
dưới đây?

A. 0, 23. B. 0, 44 . C. 0,56 . D. 0,12 .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Hữu Nam; Fb:Nam Nguyen Huu 
Chọn B

Các số tự nhiên của tập X có dạng abcde , suy ra tập X có 9.10 số. Lấy từ tập X ngẫu nhiên4

hai số có C900002 số.

Vì abcde4 de4  de



00,04,08,12,...,92,96



có 25 số.

Suy ra số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 4 là 9.10.10.25  22500 số.
Số tự nhiên có năm chữ số không chia hết cho 4 là 9.10.10.75  67500 số.

Vậy xác suất để ít nhất một số chia hết cho 4 là:

2 1 1

22500 22500 67500
2

90000

0, 437

C C C

P

C


 

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

trong số 18 đỉnh của đa giác đã cho. Chọn tam giác trong tập hợp . Xác suất để tam giác
được chọn là tam giác cân bằng

A. 
23

136 . B.

144

136. C.

17 . D.

11
68.

Lời giải

Tác giả:Trương Văn Tâm ; Fb: Văn Tâm Trương
Chọn D

Số cách chọn 1 tam giác có 3 đỉnh trùng với 3 trong số 18 đỉnh của đa giác đã cho là

 

18 816

n  C 
.

Gọi A là biến cố: “ tam giác được chọn là tam giác cân”.
- TH1: Tam giác được chọn là tam giác đều: có 6 cách.

- TH2: Tam giác được chọn là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều:

+ Chọn đỉnh của tam giác cân có 18 cách.

+ Chọn cặp đỉnh cịn lại để cùng với đỉnh đã chọn tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác cân (không

đều) có 7 cách.

Suy ra số cách chọn tam giác cân nhưng không phải tam giác đều là 18.7 126 cách.

Vậy

 

132 11
6 126 132

816 68

n A     P A  

Câu 143. [1D2-5.5-4] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 4
đỉnh trong các đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh lấy được tạo thành tứ giác có2 góc ở

2 đỉnh kề chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù.

A. 
112

323. B.

323. C.

19. D.

16
19.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến

Chọn D

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Số phần tử không gian mẫu: n

 

 C204 , biến cố A: “tứ giác khơng có góc vng”

Xét các tứ giác có góc vng:

+ TH1: tứ giác có 4 góc vng (hình chữ nhật).

Có C102 tứ giác.

+ TH2: tứ giác có 2 góc vng (AB là đường kính, CD khơng là đường kính và C, D khác
phía so với đường kính AB).

- Chọn A, B có 10 cách.

- Chọn C(thuộc nửa đường trịn đường kínhAB) có 9 cách.

- Chọn D(để CD khơng là đường kính và ,C D khác phía so với đường kính AB) có 8 cách.
Suy ra có 10.9.8 tứ giác.

Vậy

 

10 10.9.8 765

n A C  

 

20 765

n A C

  

Xác suất để 4 đỉnh lấy được tạo thành tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh kề chung một cạnh của tứ giác

là 2 góc tù:

 

4
20

765 16
19
C

P A

C


 

Câu 144. [1D2-5.5-4] (THTT lần5) Chọn ngẫu nhiên một bộ



a b;



từ tập hợp





2 3 25

2, 2 , 2 , ..., 2
A 

.
Xác suất để logab là số nguyên bằng

A. 
2

200. B.

300. C.

300. D.

7
50.
Lời giải

Tác giả: Trần Hồng Minh; Facebook: Hồng Minh Trần
Chọn B

+) Tập hợp A có 25 phần tử. Chọn ngẫu nhiên một bộ



a b;



từ tập hợp A  A252

+) Gọi E là biến cố để logab là số nguyên.

+) Vì a b A,   a2n, b2m với m n, 



1, 2,3,..., 25



và m n .

Khi đó: loga
m
b

n


là số nguyên  m n 

25
1

2 2

m
n

  

1 n 12

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

+) Nhận xét: Số bội không lớn hơn 25 của n và khác n là

1
n
 


 
  .



25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E                

                   

25 25

11 12

   
   

   

25 12 8 6 5 4 3 3 2 2 2 2 12

             62. Vậy

 

252

62 31
100
P E

A

 

+) Nhận xét: Dữ kiện bài toán thiếu a b bởi vì nếu khơng nói rõ a b thì cặp số



a a,



là

một cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, xác suất là: 2

62 12 74

25 625




</div>

Bài 5. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của biến cố lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 





<sub> </sub>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



