Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi luận văn ths lý luận và phương pháp dạy học bộ môn (toán) 60 14 01 11

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC HẬU

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ
CÁC HỆ THỨC LƯƠNG GIÁC
LIÊN QUAN CHO HỌC SINH
KHÁ, GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - NĂM 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC HẬU

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ
CÁC HỆ THỨC LƯƠNG GIÁC
LIÊN QUAN CHO HỌC SINH
KHÁ, GIỎI
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHUƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)

Mã số: 60.14.01.11

Người

hướng
dẫn khoa
họcMẬU
GS.
TSKH.
NGUYỄN
VĂN

HÀ NỘI - NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành đánh dấu một mốc quan trọng trong
công việc học tập và nghiên cứu khoa học của tác giả. Nhân dịp này, tác giả
gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến những người thân yêu, gia định ban bè
và đồng nghiệp đã luôn ửng hộ, động viên, chia sẻ, tạo điều kiện, giúp đỡ
trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài.
Bản luận văn cũng là lời chi ân sâu sắc của tác giả gửi tới các thầy cô
giáo đã giảng dạy và giúp đỡ trong quá trình học tập tại trường Đại học
Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt tới GS.TSKH. Nguyễn Văn
Mậu người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền cho tác giả những kinh nghiệm
quý báu trong học tập và nghiên cứu; thầy Nguyễn Bá Đang (Hà Nội) đã
động viên, khích lệ, định hướng, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Nội dung của cơng trình nghiên cứu, giảng dạy cho đối tượng là học
sinh khá giỏi các trường THPT và học sinh chuyên tốn nên chắc chắn
khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến
đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để bản luận văn đưọc
hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năn 2016

Tác giả

Trần Đức Hậu

3


Mục lục

4


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần
thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục và đào tạo nêu rõ " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát
triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy và
bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh...Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời". Nhiệm vụ của dạy
học mơn Tốn là trang bị những kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ
đó phát triển những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học Tốn, năng
lực tính tốn,...và qua đó hình thành và phát triển phẩm chất con người mới
đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội ngày nay.
Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực không thể thiếu
đó là năng lực sáng tạo. Khi đó cần phải có những phương pháp dạy học phù
hợp để khơi gợi và phát huy năng lực người học " Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ
phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tích cực, chủ động,
sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền
thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ,

khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức,
kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang hình thức
tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khoá, nghiên cứu
khoa học" (Nghị quyết 29, Trung ương lần thứ 8, BCHTƯ khố XI). Vì vậy,
nhiệm vụ của người dạy là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng và
định hướng phát triển phẩm chất cho học sinh, chứ không phải làm đầy trí
tuệ cho học sinh bằng cách truyền thụ tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ
địi hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợp
với các phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh phát
triển năng lực sáng tạo giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hình
thực tế cuộc sống, góp phần nhỏ bé của các nhân xây dựng nước Việt Nam

5


XHCN trong thời kỳ mới.
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn cấp THPT khơng thể thiếu nội dung
về đa thức, hệ thức lượng trong tam giác. Khi học sinh có kiến thức cơ bản,
cần thiết về đa thức, hệ thức lượng giác, thông qua phương pháp giảng dạy
của người thầy định hướng được năng lực phát triển tư duy sáng tạo. Từ đó
hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ra nhúng bài toán mới.
Khác với các cơng trình nghiên cứu khác, người dạy đi sâu vào nghiên cứu,
phân tích một bài tốn cụ thể với nhiều cách giải. Cơng trình này đạt được
kết quả đó và xuất phát nguồn gốc của vấn đề, từ đó sáng tạo nhúng nội
dung mới.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề
tài: "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học
sinh khá, giỏi" làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu.

Đề xuất nhúng biện pháp cần thiết nhằm giúp cho học sinh định hướng
giải quyết được một lớp các bài toán về ứng dụng của phương trình bậc ba
tạo ra một số hệ thức lượng trong tam giác.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu cuộc thi học sinh giỏi toán quốc tế (IMO), cuộc thi học sinh
giỏi các cấp trong nước.
Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặc
biệt là tư duy sáng tạo.
Nghiên cứu nhúng biểu hiện của tư duy sáng tạo của học sinh THPT,
đặc biệt là học sinh của các trường THPT chuyên và các trường THPT chất
lượng cao; sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông
qua việc giải quyết vấn đề và sáng tạo ra nhúng bài tốn mới.
Tìm hiểu thực trạng của việc dạy các hệ thức lượng trong tam giác trong
trường THPT cho học sinh khá, giỏi (lý thuyết và ví dụ phần đa thức chủ
yếu là cơ sở để giải quyết nhúng nội dung về hệ thức lượng giác trong tam
giác).
Đề xuất biện pháp cần thiết rèn tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi
thông qua việc phát triển nhúng kiến thức cơ bản đã có để có nhúng hệ thức
mới về lượng giác trong tam giác.
Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của
đề tài.

6


4. Khách thể và đối tương nghiên cứu.
Lớp 12T1, 12T2 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong và lớp 12A1,
12A2 trường THPT xây dựng trung tâm CLC Trần Hưng Đạo, tỉnh Nam
Định.

5. Phạm vi nghiên cứu.
Kiến thức về Đa thức bậc ba, đặc biệt các định lý về nghiệm, định lý
Viete; hệ thức lượng trong tam giác.

6. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý
học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách tham khảo, tạp chí,
đặc san, các văn bản chỉ đạo của Bộ, Nghị quyết 29-NQ/TW...có liên quan
đến logic học, tư duy sáng tạo, các phương pháp tư duy sáng tạo, các phương
pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực, phẩm chất
cho học sinh khá giỏi.
Nội dung của luận văn chú ý nghiên cứu sâu việc phát triển tư duy sáng
tạo và định hướng phát triển năng lực cho học sinh khá giỏi thông qua việc
"Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh
khá, giỏi".

7. Giả thuyết khoa học.
Thông qua hệ thống các hệ thức cơ bản đã được xậy dựng và định hướng
xây dựng bài toán mới nhằm rèn cho học sinh tư duy sáng tạo, khả năng tự
học, tự nghiên cứu, lịng say mê tốn học, khuyến khích học tập suốt đời.

8. Đóng góp mới của đề tài.
Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên
và các trường THPT xây dựng trung tâm chất lượng cao.

9. Cấu trúc của luận văn.
Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phần nội dung và
phần kết luận.
Nội dung luận văn gồm ba chương:

- Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
- Chương 2. Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác.
- Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

7


Chương 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi
1.1.1

Thi học sinh giỏi toán quốc tế

Trên thế giới, việc lựa chọn những học sinh có năng khiếu về toán để đào tạo,
bồi dưỡng nhằm phát huy tối đa khả năng tích cực, năng lực của người học đã
được nhiều nước quan tâm, chú trọng. ở một số nước châu Âu, các kỳ thi học sinh
giỏi toán được tổ chức thống nhất ở tất cả các cấp với đề thi thống nhất từ cơ sở
đến toàn quốc, như ở Bungari, CHDC Đức; vòng 1-cấp cơ sở, vịng 2-cấp huyện,
vịng 3-cấp tỉnh, vịng 4-vịng chung khảo tồn quốc. Để có một sân chơi khoa học
bổ ích về toán nhằm giao lưu, học hỏi, đào tạo bồi dưỡng năng khiếu cho học sinh,
một số nước họp lại với nhau tổ chức kỳ thi học sinh giỏi quốc tế cấp trung học
phổ thông (International Mathematical Olympiad) viết tắt là IMO. Kỳ thi lần đầu
tiên được tổ chức ở Rumani năm 1959, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu:
Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan và Liên Xô. Trong giai
đoạn đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống XHCN và
địa điểm tổ chức chỉ trong phạm vi các nước Đơng Âu. Từ năm 1970, số lượng
các đồn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng, IMO thực sự trở thành một kỳ
thi quốc tế về toán cho học sinh giỏi cấp trung học phổ thông của các quốc gia.
Cho tới nay, cuộc thi được tổ chức liên tục, hàng năm (trừ năm 1980) kỳ thi có số

lượng đồn tham gia đông nhất là IMO 2011 tổ chức tại Amsterdam, Hà Lan với
101 đoàn tham dự.

8


Mỗi đồn tham dự được phép có tối đa 6 thí sinh, một trưởng đồn, một phó
đồn và các quan sát viên. Theo quy định, thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi và
trình độ khơng vượt q cấp THPT (Secondary school hay high school trong tiếngAnh,
lyce’e trong tiếng Pháp). Việt Nam lần đầu tham dự năm 1974 đã đạt ngay
được kết quả đáng tự hào.
Để có học sinh tham dự kỳ thi IMO, các quốc gia tham dự đều tổ chức chọn
lựa, đào tào bồi dưỡng học sinh theo đặc thù riêng của từng quốc gia. Những đoàn
thường đạt được những thành tích cao như Mỹ, Nga, Trung Quốc, Hàn Quốc...Việt
Nam thường lọt vào trong top 10 của kỳ thi.

1.1.2 Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam
Kỳ thi học sinh giỏi các cấp nhằm động viên, khuyến khích người dạy và
người học phát huy năng lực sáng tạo, dạy giỏi, học giỏi; góp phần thúc đẩy việc
cải tiến, nâng cao chất lượng dạy và học, chất lượng cơng tác quản lí, chỉ đạo của
các cấp quản lý giáo dục; đồng thời phát hiện người học có năng khiếu về mơn học
để tạo nguồn bồi dưỡng, thực hiện mục tiêu đào tạo nhân tài cho địa phương, đất
nước.
Kỳ thi học sinh giỏi tốn tồn quốc nhằm chọn những học sinh giỏi toán
THPT được tổ chức hàng năm, lần đầu tiên vào năm học 1961-1962. Từ 1962 đến
năm 1975 kỳ thi chỉ được tổ chức cho miền Bắc; sau ngày giải phóng miền Nam,
thống nhất đất nước, kỳ thi được tổ chức trong phạm vi toàn quốc. Từ năm 1974
đến nay, dựa trên kết quả kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, chúng ta đã chọn đội tuyển
học sinh Việt Nam tham dự thi vô địch toán quốc tế (IMO) và đã đạt được một
số kết quả đáng phấn khởi.

Hàng năm, các nhà trường, các lớp đều lựa chọn, thành lập các đội tuyển học
sinh giỏi dự kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Để đạt được những mục đích nêu trên,
một khâu quan trọng đó cơng tác đào tạo và bồi dưỡng học sinh.
Bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn nói riêng
là q trình chuẩn bị những kiến thức có hệ thống, mơi trường giáo dục thuận lợi,
người thầy sử dụng các phương pháp dạy học hiệu quả tác động vào trị nhằm
nâng cao trình độ, kỹ năng cho học sinh và bằng sự nỗ lực, cố gắng của học sinh
đạt được năng lực đặc biệt, vận dụng nó vào giải quyết những bài tốn thực tế
cuộc sống.

9


Trong quá trình bồi dưỡng, để phát huy hiệu quả các loại tư duy, đặc biệt là
tư duy sáng tạo thì người thầy có vai trị hết sức quan trọng; nắm bắt năng lực
sẵn có của học sinh, tác động có chủ đích của người thầy để học sinh phát huy caonhất
năng lực sẵn có bằng phương pháp học tập, nghiên cứu, biết tự đánh giá, tự
tìm kiếm, thu thập tài liệu, xử lý thơng tin nhằm mục đích chuyển từ quá trình
học, bồi dưỡng sang quá trình tự học, tự bồi dưỡng.

1.1.3 Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các
lớp chọn trong trường THPT chuyên
Thuận lợi

Đối với các trường THPT chuyên, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi theo
hướng thi học sinh giỏi cấp quốc gia được quy định trong Điều lệ trường THPT
chuyên. Các trường được sự đầu tư về cơ sở vật chất, trang thiết bị, đội ngũ giáo
viên, chương trình theo chuẩn. Các giáo viên thường xuyên được tập huấn, trao
đổi, thảo luận về chuyên môn do Bộ GDĐT hoặc các Sở GDĐT trong cùng khu

vực tổ chức.
Đối với các trường trong lộ trình xây dựng trung tâm chất lượng cao của
tỉnh Nam Định, được sự quan tâm của Tỉnh uỷ, HĐND, UBND và trực tiếp là
Sở GDĐT đã tạo điều kiện bước đầu về cơ sở vật chất, đội ngũ mũi nhọn ở các
mơn...Cho phép các trường có học sinh tham gia chọn đội tuyển HSG cấp quốc
gia.
Khó khăn

Các trường THPT không chuyên mặc dù công tác bồi dưỡng HSG đã được
lãnh đạo nhà trường quan tâm, coi trọng; là một trong các mục tiêu mũi nhọn
để đảm bảo những tiêu chí thi đua. Tuy nhiên, vẫn cịn nhiều hạn chế với những
ngun nhân chủ yếu sau:
• Do khơng có chương trình riêng như học sinh chuyên, các tài liệu do các giáo

viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện giáo viên dạy phải
đảm bảo yêu cầu khác nên cịn thiếu tính hệ thống, tính liên thơng trong
chương trình.
• Quy chế ưu tiên cho HSG nói chung chưa có (chỉ có cho HSG đoạt giải cấp

quốc gia). Do đó, học sinh chưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian công sức

10


cho các mơn mình có thế mạnh mà đầu tư theo khối thi đại học.

11


•

Phần nhiều kiến thức còn xa lạ, nhiều kiến thức khơng có trong chương
trìnhsách giáo khoa, đặc biệt là các mơn thuộc lĩnh vực KHTN. Do đó, việc tiếp
cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn.

1.2 Tư duy
Như đã trình bày ở trên, việc bồi dưỡng học sinh giỏi là bồi dưỡng nhân tài
cho địa phương, cho đất nước, một nội dung quan trọng bậc nhất đó là phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm phát huy cao nhất năng lực, phẩm chất của
người học. Chính vì thế luận văn "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng
giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" chủ yếu đi sâu vào nghiên cứu, phân tích
cách phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi.

1.2.1Khái niệm
Theo từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam [22]: "Tư duy là sản phẩm cao
nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt vào não, quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận....Tư duy
xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh
thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật với thực
tại".
Theo quan điểm Tâm lý học [4]: "Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận
thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư
duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính
quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết."
Vậy, tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và
phát hiện ra tính quy luật của sự vật, hiện tượng bằng những hình thức như biểu
tượng, phán đốn, suy lý.

1.2.2Đặc điểm của tư duy
Tính có vấn đề: Khi gặp những tình huống mới, với trình độ, kiến thức,

phương pháp đã biết ta không thể giải quyết được vấn đề, ta rơi vào "Tình huống
có vấn đề"; ta có xu hướng bằng mọi cách thoát khỏi hiểu biết cũ để đạt được
những cái mới, tức là chúng ta phải tư duy.

12


Tính khái qt: Tư duy ln mang tính khái qt do khả năng phản ánhnhững

thuộc tính chung, những mối liên hệ có tính quy luật của hàng loạt các sự
vật hiện tượng.
Tính độc lập tương đối của tư duy: Trong cuộc sống, con người bắt buộc

phải giao tiếp, trao đổi thơng tin, tư duy biến đổi trong q trình hoạt động của
bản thân, đồng thời chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua
những hoạt động mang tính vật chất. Do đó, tư duy khơng chỉ gắn với bộ não của
từng cá thể mà còn gắn với sự tiến hoá của xã hội, trở thành sản phẩm mang tính
xã hội trong khi vẫn giữ được tính cá thể của một con người nhất định. Vậy mặc
dù bị ảnh hưởng tác động của môi trường nhưng tư duy vẫn mang tính độc lập
tương đối.
Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ: Con người sống, hoạt động có

nhu cầu giao tiếp, tiếp nhận thơng tin đó chính là điều kiện để phát sinh ngơn
ngữ. Ngay ban đầu xuất hiện tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và tư duy được thực
hiện truyền tải thông qua ngơn ngữ. Do vậy, ngơn ngữ chính là vỏ của tư duy. Sự
ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển của tư duy và từ đó tư duy phụ
thuộc vào ngôn ngữ.
Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức: Nhận thức là những cảm giác,

tri giác và biểu tượng...được phản ánh từ thực tiễn thế giới khách quan với những
thơng tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ.
Do vậy, tư duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời
là sự phát triển cấp cao của nhận thức. ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức
có được tư duy cụ thể; phát triển lên nữa, kết hợp với ngôn ngữ hoạt động tư duy
tiến hành các thao tác so sánh, phân tích tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông
tin đơn lẻ gắn chúng vào đúng sự vật để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật,
hiện tượng, quy nạp nó thành các khái niệm, phạm trù, định luật...Lúc này được
gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng.
Chẳng hạn, học sinh đã được định hướng có được cơng thức
r
cos A + cos B + cos C = 1 + —
R

Một cách rất tự nhiên học sinh đi tìm những cơng thức nào liên quan đến tỷ
■■'',,■
số — hoặc liên quan đến cos A + cos B + cos C.
R

Lúc này học sinh phải tổng hợp, đối chiếu, phân tích tức là phải tư duy đến

13


„ 3’ , , , .

...................

14

công thức cos A + cos B + cos C < và kết hợp với kiến thức vừa biết đi so sánhđược
R > 2r.

Đây cũng chính là thực hiện tư duy sáng tạo ta sẽ nghiên cứu lý luận cụ thể ở
phần sau.

1.2.3 Những phẩm chất của tư duy
Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh

hội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu để đạt được mục đích đó.
Be rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác.
Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức vào hoạt động

và những tình huống khác nhau một cách sáng tạo.
Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các hướng

xi hoặc ngược chiều.
Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện những vấn đề, đề xuất cách

giải quyết và tự giải quyết được vấn đề.
Tính khái quát: Khi giải quyết một vấn đề nào đó, sẽ đưa ra được mơ hình

khái qt, trên cơ sở đó có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùng
loại.

1.2.4 Các thao tác của tư duy
Phân tích-tổng hợp: Theo Nguyễn Cảnh Tồn [20]: Phân tích là một chỉnh

thể tách ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận.
Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối
liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và chính chỉnh thể đó với mơi trường xung
quanh.
Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của q trình tư duy.
Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời nhau, chúng là sự
thống nhất biện chứng giữa hai mặt đối lập.
So sánh và tương tự:

15


So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa
các sự vật, hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật, hiện thượng ta phải phân tíchdấu hiệu,
các thuộc tính của chúng, đối chiếu các thuộc tính đó với nhau rồi tổng
hợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì giống và khác nhau.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu
hiệu, rút ra hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. Do đó, tương tự là
sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở mức độ nào đó.
Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tương hoá:

Theo các tác giả [7]: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn
hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung các phần tử
trong tập hợp xuất phát".
Theo Polya [24]: "Khái quát hoá là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập
hợp ban đầu".
Như vậy, có thể hiểu khái qt hố là q trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt
đến cái chung, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát lớn hơn. Trong toán học,

người ta thường khái quát hoá một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định
lý, bài toán ...thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược với khái quát hoá.
Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá thường được vận dụng trong
tìm tịi, giải tốn, sáng tạo ra những bài toán mới.
Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc
tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần
thiết cho tư duy.
Theo Hoàng Chúng [2]:" Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ
với nhau. Nhờ trừu tượng hố ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự
vật sâu sắc hơn. Ngược lại, khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được
những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu
tượng hoá. Trừu tượng hoá là một hoạt động tư duy, hoạt động này của bộ não
con người có thể hướng tới bất kỳ vấn đề gì của khoa học nói chung và tốn học
nói riêng".

1.2.5 Vấn đề phát triển năng lực của tư duy

16


Phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là tư duy tốn học cho học sinh là rất
cần thiết, nó giúp cho học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, khơng máymóc,
thói quen, biết vận dụng kiến thức vào bài tập, cao hơn nữa là biết vận dụng
những kiến thức đã học vào giải quyết những bài toán thực tế. Chỉ thực sự lĩnh
hội được tri thức khi có tư duy tích cực của bản thân học sinh và sự hướng dẫn,
định hướng của giáo viên, khi đó học sinh mới biết phân tích, khái quát sự vật...và
rút ra được những kết luận cần thiết.
Muốn phát triển năng lực tư duy, ta phải xây dựng nội dung dạy học sao cho
nội dung khơng được "Thích nghi, thoả mãn" với trình độ sẵn có của học sinh mà

địi hỏi học sinh phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động
trí tuệ phức tạp hơn. Khi đó học sinh ln tìm tịi và tư duy để đạt được trình độ
mới.

1.2.6Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
Có khả năng tự chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới.
Trong quá trình học tập, học sinh phải giải quyết vấn đề, đòi hỏi liên tưởng, tái
hiện những kiến thức học trước đó. Nếu học sinh chuyển tải, vận dụng vào tình
huống mới thì chứng tỏ có biểu hiện tư duy phát triển.
Tái hiện kiến thức và thiết lập được sơ đồ các mối quan hệ bản chất một cách
nhanh chóng.
Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài tốn.
Có khả năng vận dụng những kiến thức đã học giải quyết những bài toán
thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đốn, vận dụng các thao tác tư duy
để tìm phương án tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.

1.3 Tư duy sáng tạo
1.3.1Một số cơng trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng tạo
Theo tác giả Phạm Văn Hoàn [6] cho rằng, biểu hiện của tư duy sáng tạo là
không rập khuôn cái cũ, biết thay đổi cái cái cũ, biết thay đổi các biện pháp giải
quyết vấn đề; thấy được những mối liên hệ khăng khít giữa những sự kiện trơng
bề ngồi tưởng chừng xa lạ để tìm ra những phương pháp giải quyết đúng, gọn và
hay. Tác giả đã trình bày 7 biện pháp để rèn luyện tư duy sáng tạo:
1) Khắc phục "Tính ỳ" của tư duy bằng cách cho học sinh làm các bài toán

17


khác nhau.

18


2) Khuyến khích học sinh tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau của một bài
toán và chọn ra cách giải hay nhất.
3) Sử dụng các phép tính và bài tốn không giải theo lối rập khuôn.
4) Cho học sinh giải các bài toán vui để tập suy luận khác với cách giải thơng
thường
5) Rèn luyện trí tưởng tượng cho học sinh.
6) Tập cho học sinh ý thức xem xét một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác
nhau.
7) Cần và tiến hành rèn luyện tư duy ở tất cả các lớp song phải có phương
pháp phù hợp.
Tác giả Hồng Chúng [2] đã nghiên cứu vấn đề rèn luyện cho học sinh các
phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học: Đặc biệt hố, tổng qt
hố và tương tự. Có thể vận dụng các phương pháp đó để giải các bài tập đã cho,
để mị mẫm, dự đốn kết quả, tìm ra phương pháp để giải bài tốn, để mở rộng,
đào sâu và hệ thống hoá kiến thức. Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo
tốn học, ngồi lòng say mê học tập, cần rèn khả năng phân tích vấn đề một cách
tồn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng:
-

Phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều hình thức, khía
cạnh khác nhau, từ đó tổng qt hố hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều
khía
cạnh khác nhau.

-

Tìm tịi lời giải khác nhau của một bài tốn, khai thác các lời giải đó để giải

các bài tốn tương tự hay tổng quát hơn hoặc đề xuất bài tốn mới.
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Tồn [20] đã đề ra mục đích của cuốn sách chủ

yếu là rèn luyện tư duy sáng tạo, nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào
việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua
lao động tìm tịi cái mới. Thơng qua 10 đề tài trong cuốn sách, tác giả khẳng định:
"Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp,
phân tích và tổng hợp đan xen lẫn nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cho
cái kia".

19


Trong [6], các tác giả Trần Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc
khẳng định rằng, phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụ
đặc biệt quan trọng của người thầy giáo. Cần có những cơng trình nghiên cứu tỉ
mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học của học sinh nước ta; để từ đó có nộidung,
phương pháp bồi dưỡng năng lực sáng tạo toán học cho học sinh một cách
chủ động.

1.3.2 Tư duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là cái mới, cách giải quyết vấn đề
mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý
chính có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như
vậy sáng tạo cần thiết cho bất kỳ một hoạt động nào trong xã hội loài người. Sáng
tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như một quá trình phát sinh
cái mới trên nền tảng của cái cũ.
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo
Nguyễn Bá Kim [7]: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều
cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư

duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét khả năng tạo ra cái mới,
phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tuy nhiên, nhấn
mạnh cái mới khơng có nghĩa coi nhẹ cái cũ".
Theo Tơn Thân [19]: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý
tưởng mới, độc đáo, có tính hiệu quả giải quyết vấn đề cao" và theo tác giả "Tư
duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó khơng bị gị bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp.
Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm của dấu ấn cá nhân tạo ra
nó".
Theo G.Polya cho rằng [23]: "Một tư duy được gọi là có hiệu quả nếu tư duy
đó dẫn đến lời giải một bài tốn cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy
đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận
dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng mn màu,
mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy ngày càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng
của người giải vạch ra các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác"

20


Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: "Đối
với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như
vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải
nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức lànếu
người giải chưa biết trước thuật tốn để giải và phải tiến hành tìm hiểu những
bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thơng có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn
sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Vậy, nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng
tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở

tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp. Nói chung lại, tư
duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu
quả giải quyết vấn đề cao.

1.3.3 Cấu trúc của tư duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý, giáo dục học,...đã thống nhất đưa ra
5 thành phần cơ bản của cấu trức tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo, tính hồn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,
vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hố,
khái qt hóa, cụ thể hố và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,
tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng
trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan
niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây
dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ khơng
rập khn, khơng áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn
vào hồn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả

21


năng thốt khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp,
những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện
quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.

22


Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sángtạo.
Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải
các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả
thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh
ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
-

Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải tốn, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn
để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.

-

Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một
cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khơng phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

Ví dụ 1.1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1 1
ab bc

1
1
ca < 4r
2

Đây là ví dụ tiếp theo của nội dung cuối chương 2, khi ta đã có kiến thức cơ
bản về hệ thức lượng giác. Chẳng hạn
1. a + b + c < 9R .
2

2

2

2

2. R > 2r.
3. sin sin sin < ỉ
2

2

2<8

Lời giải.
Cách 1: Ta đã có

1 1
ab bc

23

1_1
ca 2Rr


Kết hợp với R > 2r được đpcm.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
1
À + ẻ + ;1
ab bc ca

„ 3/
1
33 4 ———
Vabc
' a2 + b + c \
)
k 3
9
2
a +b +c ’
2

2

2

2

2

2

3

2

Sử dụng kết quả trên, ta được đpcm.
Cách 3:

Ta ln có (ab + bc + ca) (^ + -*- + — ^ > 9. Suy ra -Ị- + -*- + — > , , ,9 Ệ------------------.
\ab bc ca)

ab bc ca ab + bc + ca

Mặt khác, ta dễ ràng có được a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca, sử dụng kết quả trên
được đpcm.
Cách 4:
nv . ' ...

...

16S
(abc)2

1

X.. 2»

2

Bài toán tương đương với —7- > ,,,
abc

R

, abc > 8(p — a)(p — b)(p — c).

2

Thật đơn giản, ta có a = (p — b) + (p — c) > ỵ/(p — b)(p — c), tương tự b =
(p — c) + (p — a) > ỵ/(p — c)(p — a), c = (p — c) + (p — a) > ỵ/(p — c)(p — a). Suy ra
abc > 8(p — a)(p — b)(p — c).
4

Cách 5: Ta có (a + b) > 4ab , ~ĩ)> (—+ ^2, suy ra:
2

ả ab+bcèca+\(a
è >4(7-^
+ b) 9(b+ +7-^72
c) (c++7-^2
a)
>4
, + c) + (c
, + a) .

(a +, b) +„ (b
18
(a + b + c ) + (ab + bc + ca)
9
a +b +c ’
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Sử dụng kết quả trên, ta có đpcm.
Cách 6:
1

1

1

ab

1
bc

ca > R2

, sin A + sin B + sin C > 4 sin A sin B sin C

24


o cos — + cos — + cos —
> sin A sin B sin C
2
2
2
o sin ~ sin — sin — < -7.
2
2
2-8

Sử dụng kết quả trên, ta được đpcm.
Tính độc đáo (Originality)

Là khả năng tìm và đề xuất, quyết định phương thức hồn tồn mới. Tính
độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng:
-

Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.

-

Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng
như khơng có liên hệ với nhau.

-

Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.

Tính hồn thiện (Elabolation)

Tính hồn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)

Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu
logic, chưa tối ưu...Từ đó đề xuất hướng giải quyết tạo ra cái mới.
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
-

Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.

-

Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó
có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Tóm lại: Ngồi 5 thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo cịn có một số

yếu tố quan trọng khác: Tính chính xác (Precise), năng lực định giá (Ability to

valued), phán đoán (Decide), năng lực định nghĩa lại (Redefinition).

25