Phương trình bậc hai với hệ số thực - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

§5

<b>PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM</b>

Các căn bậc hai của số thực a âm là ±ip|a|.

<b>2</b> <b>PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC</b>

Cho phương trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt thức ∆ = b}2_{− 4ac của phương}
trình. Khi đó:

• Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = − b
2a.

• Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 =

−b ±√∆
2a .

• Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 =

−b ± ip|∆|
2a .

Định lí 1. Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0 thì








x1+ x2 = −
b
a
x1x2 =

c
a

.

<b>| Dạng 1. Giải phương trình bậc hai hệ số thực</b>

Áp dụng cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai đã biết.

!

Với phương trình trùng phương ax_{phương trình bậc hai và lưu ý rằng trong tập số phức thì khơng cần điều kiện t ≥ 0.}4 + bx2 + c = 0, a 6= 0 ta có thể đặt t = x2 để đưa về

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải phương trình x2_{+ 4x + 5 = 0 trên tập số phức.}

Lời giải.

Biệt thức thu gọn của phương trình là ∆0 = 22_{− 1 × 5 = −1 = i}2_.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức: x1 = −2 − i và x2 = −2 + i. 

Ví dụ 2. Giải phương trình z2− 3z + 10 = 0 trên tập số phức.

Lời giải.

Ta có ∆ = (−3)2− 4 × 1 × 10 = −31 = 31i2_.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phức z1 =

3 − i√31

2 và z2 =

3 + i√31

2 . 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Lời giải.

Đặt t = z2 _{thì phương trình (?) thành t}2_{+ 5t + 4 = 0 ⇔}
"

t = −1

t = −4
.

Với t = −1 thì z2 _{= −1 ⇔ z = ±i.}
Với t = −4 thì z2 _{= −4 ⇔ z = ±2i.}

Vậy phương trình (?) có bốn nghiệm là z = ±i và z = ±2i. _

Ví dụ 4. Gọi z1và z2lần lượt là hai nghiệm của phương trình z2−2z+5 = 0. Tính F = |z1|+|z2|.

Lời giải.

Giải phương trình z2− 2z + 5 = 0 ta được hai nghiệm là z1 = 1 + 2i và z2 = 1 − 2i.
Khi đó F = |z1| + |z2| = |1 + 2i| + |1 − 2i| = 2

√

5. _

Ví dụ 5. Gọi z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 − 3z2 − 2 = 0. Tính tổng
T =

z1

2

+

z2




2

+

z3




2

+

z4




2

.

Lời giải.

Đặt t = z2 thì phương trình 2z4− 3z2_{− 2 = 0 thành 2t}2_{− 3t − 2 = 0 ⇔}



t = 2

t = −1

2
.

Với t = 2 thì z2 = 2 cho ta z1 = −
√

2 và z =√2.

Với t = −1
2 thì z

2 _{= −}1

2 cho ta z3 = −
i√2

2 và z4 =
i√2

2 .
Do đó T =

z1

2

+

z2




2

+