Toán 8 Đề thi học kì 2 [WWW.VIETMATHS.COM] ôn tập đại số 8 THEO chuyên đề

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1

<b>chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ. </b>
<b>I) Nhân đơn thức vi a thc: </b>

1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bµi tập áp dụng:

Bài 1. Làm tính nhân:

a) 3x(5x2_{- 2x - 1);} _{b) (x}2_{- 2xy + 3)(-xy);}

c) 1
2x

2

y(2x3

- 2
5xy

2

- 1); d) 2

7 x(1,4x - 3,5y);

e) 1
2xy(

2
3x

2

- 3
4xy +

4
5y

2

); f)(1 + 2x - x2

)5x;

g) (x2

y - xy + xy2

+ y3

). 3xy2

; h) 2
3x

2

y(15x - 0,9y + 6);

i) 3
7


x4

(2,1y2

- 0,7x + 35);

Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trÞ cđa chóng.

a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = 3
2


.

b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1.

c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 víi a = -0,2.

d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = 1
2
Bµi 3. Thùc hiƯn phÐp tÝnh sau:

a) 3y2

(2y - 1) + y - y(1 - y + y2

) - y2

+ y;
b) 2x2

.a - a(1 + 2x2

) - a - x(x + a);
c) 2p. p2

-(p3

- 1) + (p + 3). 2p2

- 3p5

;
d) -a2_{(3a - 5) + 4a(a}2_{- a).}

Bài 4. Đơn giản các biểu tức:

a) (3b2₎2_{- b}3_{(1- 5b);} _{b) y(16y - 2y}3_{) - (2y}2₎2_;

c) (-1
2x)

3

- x(1 - 2x - 1
8x

2

); d) (0,2a3

)2

- 0,01a4

(4a2

- 100).

Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
a) x(2x + 1) - x2

(x + 2) + (x3

- x + 3);

b) x(3x2_{- x + 5) - (2x}3_{+3x - 16) - x(x}2_{- x + 2);}

Bµi 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);

b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bµi tËp nâng cao

Bài 7. Tính giá trị biểu thức:
a) P(x) = x7

- 80x6

+ 80x5

- 80x4

+….+ 80x + 15 víi x = 79.
b) Q(x) = x14

- 10x13

+ 10x12

- 10x11

+ …+ 10x2

- 10x + 10 víi x = 9.
c) M(x) = x3

- 30x2

- 31x + 1 víi x = 31.
d) N(x) = x5

- 15x4

+ 16x3

- 29x2

+ 13x víi x = 14.
Bµi 8. Chøng minh r»ng :

a) 356 _{- 35}5_{chia hÕt cho 34} _{b) 43}4_{+ 43}5_{chia hÕt cho 44.}

Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chøng minh r»ng:
a) nÕu 2a + b 13 và 5a - 4b 13 thì a - 6b 13;
b) nÕu 100a + b 7 th× a + 4b 7;

c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11;

II) Nhân đa thức với đa thức.

1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bài tập áp dụng:

Bài 1. Thực hiện phép tÝnh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2

c) 1

2x

2

y2

(2x + y)(2x - y); d) (1

2x - 1) (2x - 3);

e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 1
2)(x +

1

2)(4x - 1);
g) (x + 2)(1 + x - x2

+ x3

- x4

) - (1 - x)(1 + x +x2

+ x3

+ x4

);
h) (2b2

- 2 - 5b + 6b3

)(3 + 3b2

- b);
i) (4a - 4a4

+ 2a7

)(6a2

- 12 - 3a3

);
Bµi 2.Chøng minh:

a) (x - 1)(x2

- x + 1) = x3

- 1; b) (x3

+ x2

y + xy2

+ y3

)(x - y) = x3

- y3

;
Bài 3. Thực hiện phép nhân:

a) (x + 1)(1 + x - x2

+ x3

- x4

) - (x - 1)(1 + x + x2

+ x3

+ x4

);
b) ( 2b2_{- 2 - 5b + 6b}3_{)(3 + 3b}2_{- b);}

c) (4a - 4a4_{+ 2a}7_)(6a2_{- 12 - 3a}3_);

d) (2ab + 2a2_{+ b}2_)(2ab2_{+ 4a}3_{- 4a}2_b)

e) (2a3

- 0,02a + 0,4a5

)(0,5a6

- 0,1a2

+ 0,03a4

).
Bài 4. Viết các biểu thức sau d-ới dạng đa thức:

a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);

Bµi 5. Chøng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vµo biÕn y:
a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4_{- (y}2_{- 1)(y}2_{+ 1);}

Bài 6. Tìm x, biết:

a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x2

+ 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);

d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bài tập nâng cao

Bi 7. Chng minh hằng đẳng thức:
a3

+ b3

+ c3

- 3abc = (a + b + c)(a2

+ b2

+ c2

- ab - bc - ca).
Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :

M = a(a + b)(a + c);
N = b(b + c)(b + a);
P = c(c + a)(c + b);
Bµi 9. Sè 350

+ 1 cã lµ tÝch cđa hai sè tù nhiên liên tiếp không ?

HD: Tr-c ht chng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì d- 0 hoặc 2. Thật vậy
nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai
số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 d- 2 ( tự chứng minh). Số 350

+ 1 chia cho 3
d- 1 nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 10. Cho A = 29

+ 299

. Chøng minh r»ng A 100
HD: Ta cã A = 29

+ 299

= 29

+ (211

)9

= (2 + 211

)(28

- 27

.211

+ 26

.222

- …-2.277

+ 288

)




 




11

Thõa sè thø nhÊt 2 + 2 2050

4100 100
Thõa sè thø hai ch½n A A

III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1) Kiến thức cơ bản:

1.1) (A + B)2_{= A}2_{+ 2AB + B}2_.

1.2) (A - B)2

= A2

- 2.AB + B2

.
1.3) A2

- B2

= (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3

= A3

+ 3A2

B + 3AB2

+ B3

.
1.5) (A - B)3

= A3

- 3A2

B + 3AB2

+ B3

.
1.6) A3

+ B3

= (A + B)(A2

- AB + B2

).
1.7) A3

- B3

= (A - B)(A2

+ AB + B2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3

Bµi 1. TÝnh

a) (x + 2y)2

; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2

.

d) (x - 1)2_; _{e) (3 - y)}2 _{f) (x -}1

2 )

2_.

Bµi 2. Viết các biểu thức sau d-ới dạng bình ph-ơng cđa mét tỉng:

a) x2

+ 6x + 9; b) x2

+ x + 1

4; c) 2xy

2

+ x2

y4

+ 1.

Bµi 3. Rót gän biĨu thøc:
a) (x + y)2

+ (x - y)2

;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2

+ (x + y)2

;
c) (x - y + z)2

+ (z - y)2

+ 2(x - y + z)(y - z).

Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;
a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2_{- mn + n}2_);

c) (2 - a)(4 + 2a + a2_); _{d) (a - b - c)}2_{- (a - b + c)}2_;

e) (a - x - y)3

- (a + x - y)3

; f) (1 + x + x2

)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2

);
Bài 5. HÃy mở các dấu ngoặc sau:

a) (4n2

- 6mn + 9m2

)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2

- 4b + 49);
c) (25a2

+ 10ab + 4b2

)(5a - 2b); d)(x2

+ x + 2)(x2

- x - 2).
Bài 6. Tính giá trị biểu thøc:

a) x2

- y2

t¹i x = 87 víi y = 13;
b) x3

- 3x2

+ 3x - 1 Víi x = 101;
c) x3_{+ 9x}2_{+ 27x + 27} _{víi x = 97;}

d) 25x2_{- 30x + 9} _{víi x = 2;}

e) 4x2_{- 28x + 49} _{với x = 4.}

Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:
a) 126 y3

+ (x - 5y)(x2

+ 25y2

+ 5xy) víi x = - 5, y = -3;
b) a3

+ b3

- (a2

- 2ab + b2

)(a - b) với a = -4, b = 4.
Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:

a) (a + 1)(a + 2)(a2

+ 4)(a - 1)(a2

+ 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);

c) (1 - x - 2x3

+ 3x2

)(1 - x + 2x3

- 3x2

);
d) (a6

- 3a3

+ 9)(a3

+ 3);

e) (a2_{- 1)(a}2_{- a + 1)(a}2_{+ a + 1).}

Bµi 9. T×m x, biÕt:

a) (2x + 1)2_{- 4(x + 2)}2_{= 9;} _{b) (x + 3)}2_{- (x - 4)( x + 8) = 1;}

c) 3(x + 2)2

+ (2x - 1)2

- 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2

+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3

- (x - 1)3

- 6(x - 1)2

= -19.

Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:
a) 192

; 282

; 812

; 912

; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292

- 82

; 562

- 462

; 672

- 562

;
Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau:

a) a2

+ b2

= (a + b)2

- 2ab; b) a4

+ b4

= (a2

+ b2

)2

- 2a2

b2

;

c) a6_{+ b}6_{= (a}2_{+ b}2_)[(a2_{+ b}2₎2_{- 3a}2_b2_]; _{d) a}6_{- b}6_{= (a}2_{- b}2_)[(a2_{+ b}2₎2_{- a}2_b2_].

Các bài toán nâng cao

Bi 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
X4_{+ y} 4_{+ (x + y)}4_{= 2(x}2_{+ xy + y}2₎2_;

Bài 13. HÃy viết các biểu thức d-ới dạng tỉng cđa ba b×nh ph-ong:
(a + b + c)2

+ a2

+ b2

+ c2

.
Bµi 14. Cho (a + b)2

= 2(a2

+ b2

). Chøng minh r»ng a = b.
Bµi 15. Cho a2

+ b2

+ c2

= ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.
Bµi 16. Cho ( a + b + c)2

= 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.
Bµi 17. Cho a + b + c = 0 (1)

a2

+ b2

+ c2

= 2 (2)
TÝnh a4_{+ b}4_{+ c}4_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4

a) a4

+ b4

+ c4

= 2(a2

b2

+ b2

c2

+c2

a2

);
b) a4

+ b4

+ c4

= 2(ab + bc + ca)2

;

c) a4_{+ b}4_{+ c}4₌





2
2 2 2

2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

;

Bµi 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị d-ơng với mọi giá trị của biến.
a) 9x2_{- 6x}_+2; _{b) x}2_{+ x + 1;} _{c) 2x}2_{+ 2x + 1.}

Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của c¸c biĨu thøc sau:
a) A = x2

- 3x + 5;
b) B = (2x -1)2

+ (x + 2)2

;

Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc:
a) A = 4 - x2

+ 2x;
b) B = 4x - x2

;
Bµi 22. Cho x + y = 2; x2

+ y2

= 10. TÝnh gi¸ trị của biểu thức x3

+ y3

.
Bài 23. Cho x + y = a; xy = b.

TÝnh gi¸ trị của các biểu thức sau theo a và b:

a) x2_{+ y}2_; _{b) x}3_{+ y}3_; _{c) x}4_{+ y}4_; _{d) x}5_{+ y}5_;

Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: x3_{+ y}3_{+ 3xy.}

b) cho x - y = 1. Tính giá trị cđa biĨu thøc: x3

- y3

- 3xy.
Bµi 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của c¸c biĨu thøc sau:

M = a3

+ b3

+ 3ab(a2

+ b2

) + 6a2

b2

(a + b).

Bµi 26. Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

a) A = (3x + 1)2

- 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2

;
b) B = (3 + 1)(32

+ 1)(34

+ 1)(38

+ 1)(318

+ 1)(332

+ 1);
c) C = (a + b - c)2

+ (a - b + c)2

- 2(b - c)2

;

d) D = (a + b + c)2_{+ (a - b - c)}2_{+ (b - c - a)}2_{+ (c - b - a)}2_;

e) E = (a + b + c + d)2_{+ (a + b - c - d)}2_{+ (a + c - b - d)}2_{+ (a + d - b - c)}2_;

g) G = (a + b + c)3_{- (b + c - a)}3_{- (a + c - b)}3_{+ (a + b - c)}3_;

h) H = (a + b)3_{+ (b + c)}3_{+ (c + a)}3_{- 3(a + b)(b + c)(c + a).}

Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b + c)2

+ a2

+ b2

+ c2

= (a + b)2

+(b + c)2

+ (c + a)2

;
b) (a + b + c)3

- a3

- b3

- c3

= 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3

+ b3

+ c3

= 3abc.
Bµi 30. Chøng minh r»ng:

a) nÕu n là tổng hai số chính ph-ơng thì 2n cũng là tổng của hai số chính ph-ơng.
b) nếu 2n là tổng hai số chính ph-ơng thì n cũng là tổng của hai số chính ph-ơng.
c) nếu n là tổng của hai số chính ph-ơng thì n2_{cũng là tổng của hai số chính ph-ơng.}

Bài 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 là số
chính ph-ơng.

b) Cho một dÃy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn
số 15 vào chính giữa số hạng liền tr-íc :

16, 1156, 111556, …

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính ph-ơng.

Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph-ơng với a = 1112(n chữ số 1),
b = 1114(n chữ số 1).

Bài 33. Cho a gồm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8
lµ sè chính ph-ơng.

Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính ph-ơng:
a) A =

2

11...1 22...2

<i>n</i> <i>n</i>

 b) B =

2

11...1 44...4 1

<i>n</i> <i>n</i>

Bài 35. Các số sau là bình ph-ơng cđa sè nµo ?
a) A = 99...9 00...0 25

<i>n</i> <i>n</i>

; b) B = 99...9800...01

<i>n</i> <i>n</i>

;

c) C =

1

44...488...89

<i>n</i> <i>n</i>

; d) D =

1

11...122...25

<i>n</i> <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

5

<b>chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử </b>

I) Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6

 

 




 

  
  
  
  

  
  

  
  

2 3 2

2 2 2 2

3 2

10 6

2 2 2

2

a) 3x - 3y

b) 2x 5x x y

c)14x 21xy 28x y

d)4x 14x

e)5y 15y

f)9x y 15x y 21xy

g)x(y 1) y(y 1)

h)10x(x y) 8y(y x)

i)3x (x 1) 2(x 1)

j)a(b c) 3b 3c

k)a(c d) c d

l)b(a c) 5a 5c

m)b(a c) 5a 5c

n)a(m n) m n

o)mx   
  
  

   

     

  

   

2

2 2

2 2 2

2 2

my 5x 5y

p)ma mb a b

q)1 xa x a

r)(a b) (b a)(a b)

t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)2x(x+3)+2(x+3)

b)4x(x-2y)+8y(2y-x)

c) y (x y) zx zy

d)3x(x 7) 11x (x 7) 9(

   


  

  
  

  
  

  

  

  

  


  

2

2

2

2 3

2

m 2 m 1 3 2 n 1 n 3

5 5

2 2

x 7)

e)(x 5) 3(x 5)

f)2x(x 3) (x 3)

g)x(x 7) (7 x)

h)3x(x 9) (9 x)

i)5x(x 2) (2 x)

j)4x(x 1) 8x (x 1)

k)p .q p .q p .q p.q

o)5x (x 2z) 5x (2z x)

p)10x(x y) 8y(y x)

q)21x 12xy

r)2x(x 1) 2(x 1)

t)4x(x 2y) 8y(2y  x)











 











2

2 2

3 2

2

2 2 2 2 2

5

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x 6 x;

b)21x y 12xy ;

c)x x 2x;

d)3x x 1 7 x x 1 ;
e)x y z xy z x yz;

f )2x x 1 2 x 1 ;
g)4x x 2y 8y 2y x

Bài 4: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc
a) 15.91,5+ 150.0,85

b) 5x (x 2z)




 

  

 

  

  

 5

2

2

5x (2z x)tại x= 1999; y= 2000; z= -1
Bài 4: Tìm x, biÕt

a) 5x(x-2)-(2-x)= 0
b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)

1 2

c) x(2x-1)+ x 0

3 3

d)x(x 4) (x 4) 0
e)x 5x 0;

f )3x(x 2) 2(2 x) 0;

g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) 0.
Bµi 5:Chøng minh r

 

 

   

 

   

     









2

»ng

a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4
thì dư 1

b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8
thì dư 1

Bµi 6: chøng minh r»ng:
n n 1 2n n 1

lu«n chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n.

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7

1. A2

+ 2AB + B2

= (A + B)2

2. A2

- 2AB + B2

= (A + B)2

3. A2_{- B}2_{= (A - B)(A + B)}

4. A3_{+ 3A}2_{B + 3AB}2_+B2_{= (A + B)}3

5. A3_-3A2_{B + 3AB}2_{- B}3_{= ( A - B)}3

6. A3 _{+ B}3_{= (A + B)(A}2_{- AB + B}2₎

7. A3

- B3

= (A - B)(A2

+ AB +B2

)
2)Bài tập:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tö:
a) x2

- 9; b) 4x2

- 25;

c) x6

- y6

d) 9x2

+ 6xy + y2

;
e) 6x - 9 - x2

; f) x2

+ 4y2

+ 4xy
g) 25a2

+ 10a + 1; h)10ab + 0,25a2

+ 100b2

i)9x2

-24xy + 16y2

j) 9x2

- xy + 1
36y

2

k)(x + y)2

- (x - y)2

l)(3x + 1)2

- (x + 1)2

n) x3

+ y3

+ z3

- 3xyz.

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3

+ 8; b) 27x3

-0,001
c) x6

- y3

; d)125x3

- 1
e) x3

-3x2

+ 3x -1; f) a3

+ 6a2

+ 12a + 8
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x6_{+ 2x}5_{+ x}4_{- 2x}3_{- 2x}2_{+ 1;}

b) M = ₄<i>_abcd</i>



<i>_a</i>2<i>_b</i>2



<i>_c</i>2<i>_d</i>2



2₄<i>_{cd a}</i>



2<i>_b</i>2

 

<i>_{ab c}</i>2<i>_d</i>2



2

   

Bµi 4 TÝnh nhanh:
a) 252

- 152

; b) 872

+ 732

- 272

- 132

c) 732

-272

; d) 372

- 132

e) 20092_{- 9}2

Bµi 5 T×m x, biÕt

a) x3_{- 0,25x = 0;} _{b) x}2_{- 10x = -25}

c) x2_{- 36 = 0; d) x}2 _{- 2x = -1}

e) x3

+ 3x2

= -3x - 1

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x8

- 12x4

+ 18; b) a4

b + 6a2

b3

+ 9b5

;
c) -2a6

- 8a3

b - 8b2

; d) 4x + 4xy6

+ xy12

.

Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm
a) x2

- 2xy + y2

+ a2

;

b) x2

+ 2xy + 2y2

+ 2y + 1;
c) 9b2_{- 6b + 4c}2_{+ 1;}

d) x2_{+ y}2_{+2x + 6y + 10;}

Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ:
a) x2_{+ y}2_{- 2xy + x - y + 1}

b) 2x2

+ 9y2

+ 3z2

+ 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2

+ y2

+ 11z2

+ 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2

+ 5y2

+ 5z2

+ 6xy - 8xz - 8yz

Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2

- 25 chia hết cho 8.

III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph-ơng pháp nhóm các hạng tử.

1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân
tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thỡ xut hin nhõn t chung.

2) Bài tập áp dụng:

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2

- xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2

-3xy - 5x + 5y.
d) x2

+ 4x - y2

+ 4; e) 3x2

+ 6xy + 3y2

- 3z2

;
f) x2

-2xy + y2

- z2

+ 2zt - t2

;
g) x2

- x - y2

- y; h) x2

- 2xy + y2

- z2

; i) 5x - 5y + ax - ay;
j) a3

- a2

x - ax + xy; k) 7a2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8

Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;

a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2

+ ax2

-y - ax +cx2

- cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2_{+ 5y - bx}2_{+ ay + 5x}2_{- by;}

Bài 3 Phân tích đa thức thành nh©n tư.

a) x3_{+ y}3_{+ 2x}2_{-2xy + 2y}2_; _{b) a}4_{+ ab}3_{- a}3_{b - b}4_;

c) a3_{- b}3_{+ 3a}2_{+ 3ab + 3b}2_; _{c) x}4_{+ x}3 _{y - xy}3_{- y}4_;

Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2

; b) 12y - 9x2

+ 36 - 3x2

y;
c) 21bc2

- 6c - 3c3

+42b; d) 30a3

- 18a2

b - 72b + 120a.
Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x3

+ 3x2

y + x +3x2

y + y + y3

; b) x3

+ y(1 - 3x2

) + x(3y2

- 1) - y3

;

c) 27x3

+ 27x2

+ 9x +1 + x + 1

3; d) x(x + 1)

2

+ x(x - 5) - 5(x +1)2

.

Bài 6 Tìm x, biết:
a) x3

+ x2

+ x + 1 = 0; b) x3

- x2

- x + 1 = 0;
c) x2

- 6x + 8 = 0; d) 9x2

+ 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau;

a) x2

- 2xy - 4z2

+ y2

t¹i x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2

+ 48 tại x = 0,5
Bài 8. TÝnh nhanh :

a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452_{+ 40}2_{- 15}2_{+ 80.45.}

Bµi 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3

z + x2

yz - x2

z2

- xyz2

; b) pm+2

q - pm+1

q3

- p2

qn+1

+ pqn+3

.
IV) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều ph-ơng pháp.

1) Kiến thức cơ bản:

- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.

- Nhóm nhiều hạng tử và các ph-ơng pháp khác.
2) Bài tập áp dụng:

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x3_{- 2x}2_{+ x;} _{b) 2x}2_{+ 4x + 2 - 2y}2_; _{c) 2xy - x}2_{- y}2 _{+ 16;}

d) a4_{+ a}3_{+ a}3_{b + a}2_{b e) a}3_{+ 3a}2_{+ 4a + 12;} _{f) a}3_{+ 4a}2_{+ 4a + 3;}

g) x2

y + xy2

+ x2

z + xz2

+ y2

z + yz2

+ 2xyz; h) a2

+ b2

+ 2a - 2b - 2ab;
i) 4a2

- 4b2

- 4a + 1; j) a3

+ 6a2

+ 12a + 8;
k) (a + b + c)3

- (a + b - c)3

- ( a - b + c)3

- (-a + b +c)3

.
Bµi 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (2x + 3y)2

- 4(2x + 3y); b) (x + y)3

- x3

- y3

;
c) (x - y + 4)2

- (2x + 3y - 1)2

; d) (a2

+ b2

- 5)2

- 4(ab + 2)2

.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);

f) 2a2_{b + 4ab}2_{- a}2_{c + ac}2_{- 4b}2_{c + 2bc}2_{- 4abc;}

g) y(x - 2z)2_{+ 8xyz + x(y - 2z)}2_{- 2z(x + y)}2_; _{h) x}5_{- 5x}3_{+ 4x;}

i) x3 _{- 11x}2_{+ 30x;} _{j) 4x}4_{- 21x}2_y2_{+ y}4_;

k) x3_{+ 4x}2_{- 7x - 10;} _{l) (x}2_{+ x)}2_{- (x}2_{+ x) + 15;}

n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2

+ 8x + 7)(x2

+ 8x + 15) + 15;
o) (x2

+ 3x + 1)(x2

+ 3x + 2) - 6.
Bài 2: Tìm x, biÕt.

a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2_{- 5x = 0;} _{c) x}3_-1

4x = 0;
d) (2x - 1)2_{- (x + 3)}2_{= 0} _{e) x}2_{(x - 3) +12 - 4x =0.}

Bµi 3. TÝnh nhanh giá trị biểu thức:

a) x2

+ 1
2x +

1

16 t¹i x = 49,75; b) x

2

- y2

- 2y - 1 tại x = 93 và y = 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9

Bµi 4. a) Sè 717

+ 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718

+ 18.3 - 1 có chia hết cho 9 khơng?
b) Biến đổi thành tích các biểu thức:

A = 1 + a[(a + 1)9_{+ (a + 1)}8_{+ (a + 1)}7_{+ …+ (a + 1)}2_{+ a + 2].}

Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

1) x6_{+ 3x}2_y2_{+ y}6_{= 1} _{Víi x}2_{+ y}2_{= 1}

2) x4_{+ x}2_y2_{+ y}4_{= a}2_{- b}2 _{víi x}2_{+ y}2_{= a, xy = b}

3) (a3

+ b3

- a3

b3

)3

+ 27a6

b6

= 0 víi ab = a + b.
4) p2

+ (p - a)2

+ (p - b)2

+ (p - c)2

= a2

+ b2

+ c2

víi a + b + c = 2p.
Bµi 6. Tính giá trị biểu thức:

a) A = 217

- 216

- 215

- 214

- …- 22

- 2 - 1.
b) B = x17

- 12x16

+ 12x15

- 12x14

+…- 12x2

+ 12x - 1 víi x = 11.
Bµi 7. Rót gän:

a) A = 3(22

+ 1)(24

+ 1)(28

+ 1)(216

+ 1)(232

+ 1)(264

+ 1).
b) Më réng: B = 3(221)(2221)(223 1)(224 1)...(22<i>n</i> 1)

Bµi 8. Chøng minh:

a5

(b2

+ c2

) + b5

(a2

+ c2

) + c5

(a2

+ b2

) = 1
2(a

3

+ b3

+ c3

)(a4

+ b4

+ c4

) víi a + b + c = 0

Bµi 9. Chøng minh: 2(a5

+ b5

+ c5

) = 5abc(a2

+ b2

+ c2

) víi a + b + c = 0.
Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, , an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng

A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3

V) Một số ph-ơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Ph-ơng pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác.

1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2_{+ bx + c.}

- B-íc 1: T×m tÝch ac.

- B-íc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cđa hai thøa số nguyên bằng mọi cách.
- B-ớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Các bài tập áp dụng dạng này:

Bài 1. Phân tích đa thức thành nh©n tư
a) 4x2

- 4x - 3; b) x2

- 4x + 3; c) x2

+ 5x + 4;
d) x2

- x - 6; e) x2

+ 8x+ 7; f) x2

- 13 x + 36;
g) x2

+3x - 18; h) x2

- 5x - 24; i) 3x2

- 16x + 5;
j) 8x2

+ 30x + 7; k) 2x2

- 5x - 12; l) 6x2

- 7x - 20.
1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ng-êi ta dïng ph-ơng pháp tìm nghiệm của đa thức.

a) Chỳ ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.
Trong đó a là -ớc số của an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2<i>+ …+ a</i>n-1 + an.

b) VÝ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3_{- x}2_{- 4.}

Lần l-ợt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23

- 22

- 4 = 0.
Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2.

Ta t¸ch nh- sau:
C¸ch 1: x3

- x2

- 4 = x3

- 2x2

+ x2

- 2x + 2x - 4
= x2

(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= ( x - 2)(x2

+ x + 2).
C¸ch 2: x3

- x2

- 4 = x3

- 8 - x2

+ 4
= (x - 2)(x2

+ 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x - 2)(x2_{+ 2x + 4 - x - 2)}

= (x - 2)(x2_{+ x + 2).}

2) Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “
giảm bậc” của đa thức để phân tích.

2.1) VÝ dơ. Ph©n tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) f(x) = (x2

+ x + 1)(x2

+ x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) §Ỉt y = x2

+ x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2

+ y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ng-ợc trở lại y = x2

+ x + 1 vào đa thức f(x) ta đ-ợc:
f(x) = (x2

+ x + 1 - 3)(x2

+ x + 1 + 4) = (x2

+ x + 5)(x2

+ x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2

+ x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24

= (x2_{+ 5x + 4)(x}2_{+ 5x + 6) - 24}

= y(y + 2) - 24 víi y = x2_{+ 5x + 4}

= y2_{+ 2y - 24}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10

Thay ng-ợc trở lại y = x2

+ 5x + 4 ta đ-ợc
f(x) = (x2

+ 5x + 4 - 4)(x2

+ 5x + 4 + 6) = (x2

+5x)(x2

+ 5x + 10) = x(x + 5)(x2

+ 5x + 10)

3) Ph-ơng pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình ph-ơng.
*) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x8_{+ x}4_{+ 1;}

b) x4_{+ 4;}

HD: a) x8

+ x4

+ 1 = x8

+ 2x4

+ 1 - x4

= (x4

+ 1)2

- x4

= (x4

+ x2

+1)(x2

- x2

+ 1)
= [(x4

+ 2x2

+ 1) - x2

][(x4

+ 2x2

+ 1) - 3x2

]
= [(x2

+ 1)2

- x2

][(x2

+ 1)2

- ( 3 x)2

]

= (x2

+1 - x)(x2

+ 1 - 3 x)(x2

+ 1 + x)(x2

+ 1 + 3 x)
*) Bµi tËp áp dụng :

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) f(x) = x4

+ 324 b) f(x) = x8

+ 1024; c) f(x) = x8

+ 3x4

+ 4

Bài 2. a) Phân tích n4

+ 1
4

b) ¸p dơng: Rót gän S =

4 4 4

4 4 4

1 1 1

1 2 ... 19

4 4 4

1 1 1

2 4 ... 20

4 4 4

 _  _   _ 

    

    

 _  _   _ 

    

    

4) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng: Tr-ớc hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi
gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại.

a) VÝ dơ: Ph©n tÝch thµnh thõa sè:
P = x2

(y - z) + y2

(z - x) + z2

(x - y).
Gi¶i:

Thư thay x bëi y th× P = y2

(y - z) - y2

(z - y) = 0. Nh- vËy P chøa thõa sè x = y

nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P khơng đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y),
(y - z), (z - x). vậy P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x).

Vì đăngt thức x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z,}

Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta đ-ợc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k  k = -1
vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x)

Các bài tập áp dụng của các dạng trên.
Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tè

a) 6x2_{- 11x + 3;} _{b) 2x}2_{+ 3x - 27;}

c) 2x2_{- 5xy + 3y}2_; _{d) 2x}2_{-5xy - 3y}2_.

Bài 2. Phân tích ra thõa sè nguyªn tè:
a) x3

+ 2x - 3; b) x3

- 7x + 6;
c) x3

+ 5x2

+ 8x + 4; d) x3

- 9x2

+ 6x + 16;
e) x3

- x2

- 4; f) x3

- x2

- x - 2;
g) x3

+ x2

- x + 2; h) x3

- 6x2

- x + 30.
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiều cách).

x3

- 7x - 6.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 27x3

- 27x2

+ 18x - 4; b) 2x3

- x2

+ 5x + 3.
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (x2_{+ x)}2_{- 2(x}2_{+ x) - 15;} _{b) x}2_{+ 2xy + y}2_{- x - y - 12;}

c) (x2_{+ x + 1)(x}2_{+ x + 2) - 12;} _{d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;}

e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4

f) (x2

+ y2

+ z2

)(x + y + z)2

+ (xy + yz + zx)2

;
g) 2(x4

+ y4

+ z4

) - (x2

+ y2

+ z2

)2

- 2(x2

+ y2

+ z2

)(x + y + z)2

+ (x + y + z)4

.
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng ph-ơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ)

a) (a + b + c)3

- 4(a3

+ b3

+ c3

) - 12abc
HD: Đặt x = a + b, y = a - b.

Bài 7. Phân tích đa thức thành nh©n tư:

a) 4x4_{- 32x}2_{+ 1;} _{b) x}6_{+ 27;}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

11

e) 4x4

+ 1; f) 64x4

+ y4

;
g) x4

+ 324; h) x8

+ x + 1;
i) x7_{+ x}5_{+ 1;} _{j) x}8_{+ x}4_{+ 1;}

k) a6_{+ a}4_{+ a}2_b2_{+ b}4_{- b}6_; _{l) x}3_{+ 3xy + y}3_{- 1.}

Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph-ơng pháp hệ số bất định

a) 4x4_{+ 4x}3_{+ 5x}2_{+ 2x + 1;} _{b) 3x}2_{+ 22xy + 11x + 37y + 7y}2_{+ 10}

c) x4

- 7x3

+ 14x2

- 7x + 1; c) x4

- 8x + 63.
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử:

x8

+ 98x2

+ 1.

Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng ph-ơng pháp xét giá trị d-¬ng).
a) M = a(b + c - a)2

+ b(c + a - b)2

+ c( a + b - c)2

+ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
b) N = a(m - a)2

+ b(m - b)2

+ c(m - c)2

- abc víi 2m = a + b + c

<b>chuyên đề chia đa thức cho đa thức </b>

I) Chia đơn thức cho đơn thức (tr-ờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B).
1) Ph-ơng pháp:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

- Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B.
- Nhân các kết quả tìm đ-ợc với nhau.

1) VÝ dơ vµ bµi tËp:

Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia:
a) 10015

: 10012

; b) (-79)33

: (- 79)32

;

c)

16 14

1 1
:
2 2
   
   

    ; d)

21 18

3 3

:

5 5

_  _ 
   
    .
Bài 2. Chia các đơn thức:

a) -21xy5_z3_{: 7xy}2_z3_; _{b) (} 1

2


a3_b4_c5_{) :}3

2a

2_bc5_;

c) x2_{yz : xyz;} _{d) x}3_y4_{: x}3_y;

e) 18x2_y2_{z : 6xyz;} _{f) 5a}3_{b : (-2a}2_b);

g) 27x4_y2_{z : 9x}4_y; _{h) 9x}2_y3_{: (-3xy}2_);

i) ( 3
4


m2

n4

) : 1
2m

2

n2

; j) 5x4

y3

z2

: 3xyz2

;

k) (-7a3

b4

c5

) : (-21b3

c2

); l) 3

2(a - b)

5

: 1
2(b - a)

2

;

n) (x + y)2

: (x + y); m)(x - y)5

: (y - x)4

;

o) (x - y +z)4

: (x - y + z)3

; ¬) 0,5am

bn

c3

: ( 2
3


a2

bc);

p) 1,8an+3

bn+2

cn +1

: (-0,9an+1

bn-1

c).
Bµi 3. TÝnh giá trị của biểu thức sau:

(-x2

y5

)2

: (-x2

y5

) tại x = 1

2 vµ y = -1.
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia:

a) (xy2_-4

3x

2_y3₊6

5x

3_y2_{) : 2xy;} _{b) (x}3_{- 3x}2_{y +5xy}2_{) : (} 1

3


x);

c) (3
4a

3

b6

c2

+ 6
5a

4

b3

c - 9
10a

5

b2

c3

) : 3
5a

3

bc;

d) [3(a - b)5

- 6(a - b)4

+ 21(b - a)3

+ 9(a - b)2

] : 3(a - b)2

e) (u4

- u3

v + u2

v2

- uv3

) : (u2

+ v2

).

Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện đ-ợc các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đ-ợc hãy
thực hiện phép chia đó .

a)x2n_{: x}n + 3_; _{b) 3x}n_y2_{: 4x}2_y;

c) 6x3_y5_{: 5x}n_y2_; _{d) x}n_yn+2_{: 3x}3_y4_.

II) Chia đa thức cho đơn thức.

1) Ph-ơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

12

2) Bài tập áp dụng:

Bài 1. Thực hiÖn phÐp tÝnh:

a) (7. 35_{- 3}4_{+ 3}6_{) : 3}4_; _{b) (16}3_{- 64}2_{) : 8}3_;

Bµi 2. Lµm tÝnh chia:

a) (5x4_{- 3x}3_{+ x}2_{) : 3x}2_; _{b) (5xy}2_{+ 9xy - x}2_y2_{): (-xy);}

c) (x3

y3

- 1

2x

2

y3

- x3

y2

) : 1
3x

2

y2

; d) (24x4

y3

- 40x5

y2

- 56x6

y3

) : (-24x4

y2

);

e) [a3_{- (4a}6_{+ 6a}5_{- 9a}4_{) : 6a}2_].(1,5a2₊2

3a

4_);

f) [(3x2_{y - 6x}3_y2_{) : 3xy + (3xy - 1)x]}2_{: 0,5x}2_.

g) [7(a - b)5

+ 5(a - b)3

] : (b - a)2

; h) [7(a - 3b)3

+ (a - 3b)] : (2a - 6b);
i) (x3

+ 3x2

y+ 3xy2

+ y3

) : (2x + 2y).
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) (3am_bn - 1_cp-2_{x - 7a}5_b3_c5₊15

4 a

2mn_bn-1_cp+2_{x) : (-3a}3-m_b5_c4_);

b) [(a + b - c)3_{+ (a - b + c)}3_{+ (-a + b + c)}3_{- (a + b + c)}3_{] : 24abc;}

c) [(x + y)7_{- (x}7_{+ y}7_{)] : 7xy.}

d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4_{- 4}3n + 3_{chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).}

Bµi 4. Lµm tÝnh chia:
a) [5(a - b)3

+ 2(a - b)2

] : (b - a)2

b) 5(x - 2y)3

: (5x - 10y);
c) (x3

- 8y3

) : (x + 2y);

d) [5(a + b)7

- 12(a + b)5

+ 7(a + b)11

] : 4(-a - b)3

e) [3(a - b)4

(2a + b)3

+ 10(a - b)5

- (a - b)6

(2a + b)] : 5(a - b)3

.
Bµi 5. Rót gän råi tính giá trị của biểu thức với x = -2.

A = (2x2

- x) : x + (3x3

- 6x2

) : 3x2

+ 3.

III) Chia đa thức một bin ó sp xp:

1) Ph-ơng pháp chung:

- Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì đ-ợc hạng tử cao
nhất của th-ơng.

- Nhân hạng tử cao nhất của th-ơng với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm đ-ợc, ta
đ-ợc d- thứ nhất.

- Chia hạng tử cao nhất của đa thức d- thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta đ-ợc hạng tử
thứ hai của th-ơng.

- Nhân hạng tử thứ hai của th-ơng với đa thức chia rồi lấy d- thứ nhất trừ đi tích vừa tìm đ-ợc, ta đ-ợc
d- thø hai.

- Lặp lại quá trình trên cho đến khi:

+) nÕu d- cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia có d- bằng 0 và đ-ợc gọi là phép chia hÕt.

+) nếu d- cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức d- thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó
đ-ợc gọi là phép chia cú d-.

2) Ký hiệu:

A(x) là đa thức bị chia;
B(x) là đa thức chia;
Q(x) là đa thức th-ơng;
R(x) là đa thức d-;

Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);

- NÕu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phÐp chia hÕt.

- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cđa R(x) nhá h¬n bËc cđa B(x)) gäi lµ phÐp chia cã
d-.

3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính chia:

a) (6x2

+ 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3

- 3x2

+ x - 3) : (x - 3);
c) (2x4

+ x3

- 5x2

- 3x - 3) : (x2

- 3);

Bµi 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thõa cña biÕn:
a) (12x2

- 14x + 3 - 6x3

+ x4

) : (1 - 4x + x2

);
b) (x5

- x2

- 3x4

+ 3x + 5x3

- 5) : (5 + x2

- 3x);
c) (2x2

- 5x3

+ 2x+ 2x4

- 1) : (x2

- x - 1);
d) (x3

- 7x + 3 - x2

) : (x - 3);

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

13

f) (x3

+ 2x2

- 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4

- 6x3

+15x2

+ 2x - 1) : (3x2

- 2x + 5);
h) (6x3_{- 2x}2_{- 9x + 3) : (3x - 1);}

i) (3x4_{+ 11x}3_{- 5x}2_{- 19x + 10) : (x}2_{+ 3x - 2);}

j) (-3x2_{+ 10x}3_{- x - 3 + 12x}4_{) : (x + 1 + 3x}2_);

k) (5x + 3x2_{- 2 + 2x}4_{- 11x}3_{+ 6x}5_{) : (-3x + 2x}2_{+ 2);}

l) (2x3

+ 5x2

- 2x + 3) : (2x2

- x + 1);
n) (2x3

- 5x2

+ 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x4

- x - 14) : (x - 2).

Bài 3. Không thực hiện phép chia, hÃy xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức
d- trong tr-ờng hợp không chia hết;

a) (x3

+ 2x2

- 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x4

- 6x3

+15x2

+ 2x - 1) : (3x2

- 2x + 5).
HD:

a) KÝ hiƯu sè d- lµ r, ta cã thÓ biÕt:
x3_{+ 2x}2_{- 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r}

Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta đ-ợc:
r = (-3)3

+ 2(-3)2

- 3(-3) + 9 = 9
vËy d- trong phÐp chia lµ 9.

b) Ta thấy ngay th-ơng trong b-ớc thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức d- thứ nhất là
2x - 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2

- 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đ-ợc nữa. Do đó
phép chia khơng là phép chia hết và đa thức d- là 2x - 1.

Bài 4. Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức
d- trong tr-ờng hợp không chia hết.

a) (8x2

- 6x + 5) : (x - 1

2); b) 6x

2

- 3x + 3) : (2x - 1);

c) (x4

+ x3

+ x2

+ x - 4) : (x - 1);
d) (18x5

+ 9x4

- 3x3

+ 6x2

+ 3x - 1) :(6x2

+ 3x - 1).
Bµi 5. TÝnh nhanh:

a) (9a2

- 16b2

) : (4b - 3a);
b) (25a2

- 30ab + 9b2

) : (3b - 5a);
c) (27a3

- 27a2

+ 9a - 1) : (9a2

- 6a + 1);

d) (64a3

- 1
27b

3

) : (16a2

+ 4
3ab +

1
9b

2

).

4) Một số ph-ơng pháp khác để tìm đa thức th-ơng và đa thức d-:
4.1) Ph-ơng pháp đặt phép chia:

VÝ dô:

Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3

+ ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 2.
Gi¶i

Thùc hiƯn phÐp chia

x3 _{+ ax} ₊ _b _x2_{+ x - 2}

x3₊ _x2_{- 2x}

-x2_{+ (a +2)x +} _b _{x - 1}

-x2

- x + 2
(a + 3)x + (b -2)

Để chia hết, đa thức d- phải đồng nhất băng 0, nên :

3 0 3

2 0 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>b</i> <i>b</i>

   

 _

 _{ }  _

 

vËy víi a = -3; b = 2 th× x3

+ ax + b chia hÕt cho x2

+ x + 2.
4.2) Ph-ơng pháp hệ số bất định.

- Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì ng-ời ta goi là hai đa thức hằng
đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất. Kí hiệu f(x)  g(x).

- Hai đa thức (đã viết d-ới dạng thu gọn) đ-ợc gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của
các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau.

*) VÝ dô:

Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3_{+ ax + b chia hết cho đa thức x}2_{+ x + 2.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

14

§a thøc bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên th-ơng là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc
nhất là x3

: x2

= x.

Gọi th-ơng của phép chia là x + c, ta cã:
x3_{+ ax + b = (x}2_{+ x - 2)(x + c)}

x3_{+ax + b = x}3_{+ (c + 1)x}2_{+ (c - 2)x - 2c.}

Hai đa thức trên đồng nhất nên :

1 0 1

2 3

2 2

<i>c</i> <i>c</i>

<i>c</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>c</i> <i>b</i> <i>b</i>

   

 

 _{  } _{ }

 

_{ }  _

 

VËy víi a = -3, b = 2 th× x3

+ ax + b chia hÕt cho x2

+ x - 2, th-ơng là x - 1.
4.3) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng.

*) Ví dụ:

Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3

+ ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 2.
Giải

Gọi th-ơng của phép chia x3

+ ax + b cho x2

+ x - 2 lµ Q(x), ta cã:
x3

+ ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)

Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần l-ợt cho x = 1, x = -2 ta đ-ợc :

1 0 1 3

8 2 0 2 8 2

<i>a b</i> <i>a b</i> <i>a</i>

<i>a b</i> <i>a b</i> <i>b</i>

       

  

 

_{ } _{ } _{  }  _

  

Víi a = -3; b = 2 th× x3_{+ ax + b chia hÕt cho x}2_{+ x - 2 vµ th-ơng là x - 1.}

4.4) Ph-ng phỏp vn dng vo nh lý Bdu

a) Định lý: Số d- trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x
= a.(Nghĩa là r = f(a)).

b) Chú ý: Đa thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chỉ khi f(a) = 0
Các bài tập áp dụng cho các ph-ơng pháp trên.

Bi 1. Xỏc nh a và b để đa thức x4

- 6x3

+ ax2

+ bx + 1 là bình ph-ơng của một đa thức.
HD: sử dụng ph-ơng pháp hệ số bất định, ta có ha đáp số.

x4

- 6x3

+ 7x2

+ 6x + 1 = (x2

- 3x - 1)2

x4

- 6x3

+ 11x2

- 6x + 1 = (x2

- 3x +1)2

Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4

- 3x3

+ 2x2

- ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

- x - 2.
HD: sử dụng ph-ơng pháp giá trị riêng, ta đ-ợc kết quả a = 2; b = - 4.

Bài 3. Xác định các hệ số a và b sao cho:
a) x4_{+ ax}2_{+ b chia hết cho x}2_{+ x + 1;}

b) 2x3

+ ax + b chia cho x + 1 d- -6, chia cho x - 1 d- 21.
HD: ta cã kÕt qu¶

a) a = 1; b = 1;
b) a = 3; b = -1.

Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để:
a) Giá trị của biểu thức x3

+ 3x2

+ 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1;

b) Giá trị của biểu thức 2x2

+ x - 7 chia hết cho giá trị của biểu thức x - 2.
HD

a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3_{+ 3x}2_{+ 3x - 2) : (x + 1) = x}2_{+ 2x + 1 d- lµ -3}

Suy ra -3 (x + 1) x{0; -2; 2; -4}.
b) x  {3; 1; 5; -1}.

Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2

x3

+ 3ax2

- 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
HD

*) C¸ch 1. (Đặt phép chia đa thức).

A(x) = a2_x3_{+ 3ax}2_{- 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) đ-ợc th-ơng là}

a2_x2_{+ (3a - a}2_{)x + (a}2_{- 3a - 6) và đa thức d- là -a}2_{+ a + 6}

- Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + 1 thì đa thức d- phải bằng 0, tức là
-a2

+ a + 6 = 0, giải ph-ơng trình ta đ-ợc a = -2; a = 3.
*) Cách 2. (Dựng ph-ng phỏp h s bt nh).

+) Tìm hạng tư bËc cao nhÊt a2

x3

: x = a2

x2

, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a
+) BiĨu diƠn A(x) = (a2

x2

+ bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng ph-ơng pháp đồng nhất để tìm ra a = -2;
a = 3 và kết luận.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

15

a) 10x2

- 7x + a chia hÕt cho2x - 3;
b) 2x2

+ ax + 1 chia cho x - 3 d- 4;
c) ax5_{+ 5x}4_{- 9 chia hÕt cho x - 1.}

Bài 7. Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) x4_{+ ax}2_{+ b chia hết cho x}2_{- x + 1;}

b) ax3_{+ bx}2_{+ 5x - 50 chia hÕt cho x}2_{+ 3x - 10;}

c) ax4

+ bx3

+ 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2

;
d) x4

+ 4 chia hÕt cho x2

+ ax + b.
Bµi 8. Tìm các hằng số a và b sao cho x3

+ ax + b chia cho x + 1 th× d- 7, chia cho x - 3 th× d- - 5.

<b>Chuyên đề phân thức đại số </b>

I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:

a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng <i>A</i>
<i>B</i>,
trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0

A lµ tư thøc (tử).
B là mẫu thức

Mỗi một đa thức cũng đ-ợc coi là một đa thức có mẫu là 1.

b) Hai phân tức bẳng nhau:

Với hai phân thøc <i>A</i>
<i>B</i> vµ

<i>C</i>

<i>D</i>, ta nãi
<i>A</i>
<i>B</i> =

<i>C</i>

<i>D</i> nÕu A.D = B.C
2) Bµi tËp:

Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

a)

2 3 3 4

7

5 35

<i>x y</i> <i>x y</i>
<i>xy</i>

 ; b)









2

2

2

2
2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x x</i>






 ;

c)

2
2

3 6 9

3 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _  

  ; d)

3 2

4 2

10 5 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 _ 

 ;

e)5 20
7 8

<i>y</i> <i>xy</i>

<i>x</i>

 ; f)









3 5 3

2 5 2

<i>x x</i> <i>x</i>

<i>x</i>




 ;

g) 2



2₂



1



1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 _

  ; h)

2 2

2 3 2

1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  _  

  ;

i)

3
2

8

2
2 4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _{ }
  .

Bà i 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.

a)

2
2

6 3
2 1 4 1

<i>A</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>




  ; b)

2

4 3 7 4 7
2 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i>

  _ 
 ;

c)

2

2 2

4 7 3

1 2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 


   ; d)

2 2

2

2 2

2 3 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>A</i>

 



  .

Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai
cho đúng.

a)

2
2

5 3 5 13 6

2 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _  

  ; b)

2
2

1 3

3 6 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 
   ;

c)

2
2

2 2

1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 



  ; d)

2 2

2 2

2 5 3 2 3

3 4 5 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   



    .
Bµi 5. Ba phân thức sau có bằng nhau không?

2 2

2 2

2 2 4

; ;

1 1 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

    .
Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau:

a) 3

5<i>x </i>2; b)

2
2

3
6 9
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  ;

c) ₂
3
<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>; d) 2

2 1
3 2
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

16

Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.

a) 3₂ 1
5
<i>x</i>
<i>x</i>



 ; b)

2
2 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>


 ;
c)
2
2
3 2
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
 

 ; d)

2
2
2
4 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  ;
e)
4 3

4 3 2

1

2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

    ; f)

4 2
4 2
5 4
10 9
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
  .
Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:

a) ₂ 3
1

<i>x</i>  <i>x</i> ; b)

6
3

<i>x </i> ; c)





3

2 1
1
<i>x</i>
<i>x</i>

 ;
II) Tính chất cơ bản của phân thức i s:

1) Kiến thức cơ bản:
a) Tính chÊt:

- TÝnh chÊt 1: .
.

<i>A</i> <i>A M</i>

<i>B</i> <i>B M</i> (M là đa thức khác đa thøc 0).

- TÝnh chÊt 2: :
:

<i>A</i> <i>A M</i>

<i>B</i> <i>B M</i> (M là nhân tử chung khác 0).

b) Quy tắc đổi dấu: <i>A</i> <i>A</i>

<i>B</i> <i>B</i>





 .
2) Bài tập áp dụng:

Bi 1. Dựng tớnh cht cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các
đẳng thức sau:

a)

2
2

5 5 ...

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
 _

 ; b)

2 3

8 3 24
2 1 ...

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 _ 
 ;
c)





2
2

... 3 3

3

<i>x</i> <i>xy</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>_y</i> <i>_x</i>




  ; d)

2 2

2 2

2 ...

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>

  

  ;
e)
3 2
2
...
1 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 _

  ; f)

2 2

5 5 5 5
... 2 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 _ 
 .

Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho tr-ớc.

a) 4₂ 3, A= 12x +9x 2
5

<i>x</i>
<i>x</i>



 ; b)







2

8 8 2

, 1 2
4 2 15 1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
 
  ;

Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức
bằng nó và có cùng tử thức.

a) 3
2
<i>x </i> vµ

1

5
<i>x</i>

<i>x</i>


; b) 5

4
<i>x</i>
<i>x</i>

vµ
2
25
2 3
<i>x</i>
<i>x</i>

 ;

Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau
thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:

a) 3
5
<i>x</i>
<i>x </i> vµ

7 2

5

<i>x</i>
<i>x</i>


 ; b)

4
1
<i>x</i>
<i>x </i> vµ

3
1
<i>x</i>
<i>x </i> ;

c) ₂ 2
8 16
<i>x</i>  <i>x</i> vµ

4
2 8

<i>x</i>
<i>x</i>



 ; d)







2
1 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> vµ







3
1 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  ;
Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không?

a)

3 3
3

<i>x y</i>
<i>xy</i> và

2

<i>x</i>

<i>y</i> ; b)

2

2

<i>x</i>

<i>x</i><i>y</i> vµ

2
2 2

<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> ;

c) 1

( 1)(3 )
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  vµ

1
( 1)( 3)

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  ; d) 2

3( 1)
(1 )

<i>x</i>
<i>x</i>
 

 vµ 2

3( 1)
( 1)
<i>x</i>
<i>x</i>

 ;
Bµi 6. H·y viết các phân thức sau d-ới dạng một phân thức cã mÉu thøc lµ 1 - x3_;

a)

2
3

1
<i>x</i>

<i>x </i> ; b) 1

<i>x</i>

<i>x </i> ; c) 2

1
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

17

a)
2
2
<i>xy</i>
<i>x</i> <i>x</i>


 ; b)

2
1
1
<i>x</i>
<i>x</i>

 ;
c)

2 2
<i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>


 ; d)

2 1
2
<i>x</i>
<i>x</i>
 
  .

Bài 8. Viết các phân thức sau d-ới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:

a) <i>x và </i>2
1
<i>x</i>

<i>x </i> ; b) 2

<i>x</i>
<i>y</i> vµ

<i>y</i>
<i>x</i> ;

c) <i>2x</i>₃ <i>y</i>₃

<i>x</i> <i>y</i>


 vµ

<i>x</i>

<i>x</i><i>y</i>; d) 5 4

1
<i>x</i>
<i>x y</i>



vµ <i>1 x</i>₄ ₅
<i>x y</i>


.

Bài 9. Viết các phân thức sau d-ới dạng những phân thức có cùng tử thức:

a)1
<i>x</i> và

2
3
<i>x</i>
<i>x</i>

; b)

<i>x</i>
<i>y</i> vµ

<i>y</i>
<i>x</i> ;
c)
2 2
2
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>xy</i>


 vµ

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i>


; d)

3 2

<i>x y</i>
<i>x</i><i>y</i> vµ

2 3

<i>x y</i>
<i>x</i><i>y</i>;

III) Rót gän phân thức
1) Ph-ơng pháp:

- Phõn tớch c t và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân t chung ú.

2) Bài tập áp dụng:

Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:

a)

5

2 2

14 (2 3 )

21 (2 3 )

<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x y</i> <i>x</i> <i>y</i>



 ; b)

3
3

8 (3 1)
12 (1 3 )

<i>xy x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 ;
c)
2
2
20 45
(2 3)
<i>x</i>
<i>x</i>


 ; d)

2
3
5 10
2(2 )
<i>x</i> <i>xy</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 ;
e)
3
80 125

3( 3) ( 3)(8 4 )

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



    ; f)

2
2

9 ( 5)
4 4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
  ;
g)
2 3
3

32 8 2
64

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
 

 ; h)

3
4
5 5
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 ;
i)
2
2
5 6
4 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 

  . J)

2

3

10 ( )

15 ( )

<i>xy x</i> <i>y</i>
<i>xy x</i> <i>y</i>



 ;

k)

2
2

<i>x</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>

  

   ; l)

2
4

3 12 12

8
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
 ;
n)
2
2

7 14 7
3 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 ; m)

2

2<i>a</i> 2<i>ab</i>
<i>ac</i> <i>ad</i> <i>bc bd</i>


   ;
o)
2
2 2

<i>x</i> <i>xy</i>
<i>y</i> <i>x</i>


 ; ¬) 2 2

2 2
2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>



  ;

p) 2 2₃
1
<i>a</i>
<i>a</i>



 ; q)

2
2
6 9
8 15

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
  ;
v)
4 3
4 3
2
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>


 ; u)

7 4
6
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 ;
-)
2 2

( 2) ( 2)
16

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
  

; x)

2 2
2
24,5 0,5
3,5 0,5
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>xy</i>

 ;
y)
3 2
2

3 2 6
2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

  

 ; z) 2 2 2 2

( )( )
( )( )

<i>a b c d</i>

<i>b</i> <i>a</i> <i>d</i> <i>c</i>

 
  .
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

2 2 3 2

2 2

2

2 2

<i>x y</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

  



   ; b)

2 2

3 2 2 3

3 2 1

2 2

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x y</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

 



    .

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

18

a) 45 (3 )₃

15 ( 3)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i>


 ; b)

2 2

3 2 3

3 2 3

<i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x y</i> <i>xy</i> <i>y</i>

.

Bài 4. Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:

a)

4 4

2 2

<i>ax</i> <i>a x</i>
<i>a</i> <i>ax</i> <i>x</i>



  víi a = 3, x =
1

3; b)

3 2
3

6
4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 víi x = 98

c)
3
3 5
3
3
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>


 víi x =
1
2

 ; d)

4 3
2 3
2
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>


 víi x =
1
2
 ;
e)
2
2
10 5
16 8
<i>ab</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>ab</i>


 víi a =
1
6, b =

1

7; f)

7

15 8
1
<i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>


 víi a = 0,1;

g) 2₂ 4 ₂
0, 2 0,8

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 víi x + 2y = 5; h)

2 2

9
1, 5 4, 5

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 víi 3x - 9y = 1.

Bµi 5. Cho 3a2

+ 3b2

= 10ab vµ b > a > 0. TÝnh giá trị của biểu thức P = <i>a b</i>
<i>a b</i>

.
Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phơ thc vµo biÕn x.

a)

2 2

( )( )

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y ay</i> <i>ax</i>



  ; b)

2 2 3 3
4 6 6 6

<i>ax</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>ay</i>

<i>ax</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>ay</i>

  
   ;
Bµi tËp nâng cao.

Bài 7. Rút gọn các biểu thức.

a)

4
2

2 2 2

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>



  ; b)

2 3 2

3 4

<i>ab</i> <i>a</i> <i>a b</i>

<i>a b b</i>

 

 ;

c) 1
1

<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i>

  

   ; d)

<i>ax</i> <i>ay bx by</i>
<i>ax ay bx by</i>

  
   ;

e)

2 2 2
2 2 2

2
2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ac</i>

  

   ; f)

2 2

2 2

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a b b</i>


   ;
g)
3
2
1
2 4 2

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>



  ; h)

3 2 2 3 2 2 3 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

<i>a b</i> <i>c</i> <i>b c</i> <i>a</i> <i>c a</i> <i>b</i>

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>

    
     ;
i)
2
2
( )
( )

<i>x</i> <i>a b x</i> <i>ab</i>

<i>x</i> <i>a b x ab</i>

  

   ; j)

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2
2 2

<i>x</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>bc</i> <i>ax c</i>

<i>x</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>bx</i> <i>ac c</i>

    
     ;

k)

3 2

2

3 2 4 5
6 3 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  

  ; l) 2

2
5 6
<i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  .
n)

2<i>x</i> 2<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>



 ; m)

2

1 (2 3 )
2 3 1

<i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
 
  ;
o)

3 3
3 3
3 3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 ; ¬)
4 4
2 2
2 2
2 2
<i>m</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>m</i>

 ;
p)

2 2 2

2 2 3 2

( ) ( ) ( )

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>

<i>ab</i> <i>ac</i> <i>b</i> <i>bc</i>

    

   ; q)

3 2

3 2

2 7 12 45
3 19 33 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  
   ;

u)

3 3 3

2 2 2

3
( ) ( ) ( )

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>

  

     ; -)

3 3 3

2 2 2

3
( ) ( ) ( )

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>

  

     .
Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.

a)

4 3

4 3 2

1

2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

    ; b)

4 2
4 2
5 4
10 9
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
  .
Bµi 9. ViÕt gän biểu thức sau d-ới dạng một phân thức.

A = (x2

- x + 1)(x4

- x2

+ 1)(x8

- x4

+ 1)(x16

- x8

+ 1)(x32

- x16

+ 1).
HD: Nh©n biĨu thøc A víi x2

+ x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau

Bµi 10. Rót gän

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

 

     biÕt r»ng x + y + z = 0.

Bài 11. Tính giá trị của phân thức A = 3 2
3 2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 , biÕt r»ng 9x

2

+ 4y2

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

19

HD

Ta cã A2

=

2 2

2 2

9 4 12 20 12 8 1

9 4 12 20 12 32 4

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i>

  _  _ _

  

Do 2y < 3x < 0 3<i>x</i>2<i>y</i>0,3<i>x</i>2<i>y</i>  0 <i>A</i> 0. vËy A = 1
2
 .

Bµi 12. Rót gän biĨu thøc: P =

4 4 4 4

4 4 4 4

(1 4)(5 4)(9 4)...(21 4)
(3 4)(7 4)(11 4)...(23 4)

   

    .

HD
XÐt n4

+ 4 = (n2

+ 2)2

- 4n2

= (n2

+2n + 2)(n2

- 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]

Do đó P = ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) .... (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1
(1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577

        

   

Bài 13. Cho phân sè A = 1

1, 00...01 (mÉu cã 99 ch÷ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ sè thËp ph©n.
HD

Ta cã A =

100
100

10

10 1. Nhân tử và mẫu với 10

100_{- 1, ta đ-ợc:}

A=

100 100
100 100

200

100 100
200

10 (10 1) 99...9 00...0

0, 99...9 00...0

10 1 99...9

 _ _



(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hồn đơn ra phân số).

Bµi 14. Cho ph©n thøc: M =

2 2 2 2 2

2

( )( ) ( )

( ) ( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>

<i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>

      
    
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.

HD:

a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.

XÐt (a + b + c)2_{- (ab + bc + ca) = 0}  a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ ab + bc + ca = 0.}

 2a2

+ 2b2

+ 2c2

+2ab + 2bc + 2ca = 0
 (a + b)2_{+ (b + c)}2_{+ (c + a)}2_{= 0}

 a + b = b + c = c + a
 a = b = c.

vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0,

tức là a2

+ b2

c2 

0.
b) Do (a + b + c)2

= a2

+ b2

+ c2

+ 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2

+ b2

+ c2

= x;
ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2

= x + 2y.

Ta cã M =

2 2 2 2

2 2 2

( 2 ) 2 ( )

2

<i>x x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ca</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

  _   _  _{  }    

(Điều kiện là a2

+ b2

c2

 0)
IV) Quy đồng mẫu thức.

1) T×m mÉu thøc chung cđa nhiỊu phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:

+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.

+) Nhân tử bằng chữ là l thõa víi sè mị lín nhÊt.
2) Bµi tËp áp dụng

Các bài tập cơ bản và nâng cao.

Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) 25₂ , 14 ₅

14<i>x y</i> 21<i>xy</i> ; b) 4 3

11 3
,

102<i>x y</i> 34<i>xy</i> ;

c) 3 1₄, ₂ 2₃
12 9

<i>x</i> <i>y</i>

<i>xy</i> <i>x y</i>
 

; d) 1₃ ₂, ₂ 1₄, 1₃

6 9 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x y</i> <i>x y</i> <i>xy</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

20

e) 3 2₄ , 5₂ ₂ , 2₅

10 8 3
<i>x</i>

<i>x y</i> <i>x y</i> <i>xy</i>


; f) 4 4 , 3 ;

2 ( 3) 3 ( 1)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x x</i>

 

 

g) 2 ₃, 2 ₂
( 2) 2 ( 2)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x x</i>



  ; h) 3

5 3

,

3<i>x</i> 12<i>x</i> (2<i>x</i>4)(<i>x</i>3).
Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.

a) 7₂ 1 ,5 3₂

2 6 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x x</i>

 

  ; b) 2 2

1 2

,

2 4 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

   ;

c)

2

3 2

4 3 5 2 6

, ,

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

    ; d) 2 2

7 4
, ,

5 2 8 2
<i>x</i> <i>y</i>

<i>x x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>



  ;

e)

2

3 2 2

5 4 3

, ,

6 12 8 4 4 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> ; f) 3 2 2

1 1

, ,

1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i>

 

    ;

g) ₂ ₂, ₂ ₂

6 2 3 4 4

<i>a</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i>

 

    ; h) 2 , 2

<i>a d</i> <i>a</i> <i>d</i>

<i>a</i> <i>ab ad</i> <i>bd a</i> <i>ab ad</i> <i>bd</i>

 

      ;

i) ₂ ₂ ₂ , ₂ ₂ ₂ , ₂ ₂ ₂

2 2 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>  <i>xy</i><i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>  <i>yz</i><i>z</i> <i>x</i>  <i>xz</i><i>y</i> <i>z</i> ;

j) ₃1 , 3 , ₂ 2

1 2 2 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> ; k)

2 2

2 2

, ,

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y x</i> <i>xy</i> <i>y</i>





   ;

l)

2

2 2 2

2 1 1

, ,

6 7 3 2 7 6 3 5 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

      .
Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:

a) <i>a</i> <i>x b</i>₃ , ₂ <i>x b a</i>₂, ₂
<i>axb</i> <i>a xb</i> <i>axb</i>

  

; b) ₂ 2 1 ₂, ₂ 2

4 4 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>ax</i>

 

   ;

c) ₂ ₂, ₂ ₂

6 2 3 4 4

<i>a</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i>

 

    ; d) 2 , 2 2

<i>a b</i> <i>a c</i>

<i>a</i> <i>bc ac ab a</i> <i>bc ac b</i>

 

      ;

e) ₃ , ₂ 2 , ₂ 1
27 6 9 3 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

     ; f) 2 2 2

2 2 1

, ,

3 2 2 5 3 2 7 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

        .
Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện).

a) 1 , 1 , 1 ₂
2 2 2 2 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

   ; b)

2

2 2 3 3

2 1 2 1

, ,

<i>x</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>ax a</i> <i>x</i> <i>a</i>

  

     ;

c) 24₃ , 4 ₂, 18₂

4 2 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>; d) 2 4 4 2 7

1 2 1

, ,

2 2 4 8

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

    ;

e) ₂ 2 ₂ , ₂ ₂, ₂ 4 ₂

3 2 3 4 3 7 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

<i>x</i>  <i>xy</i> <i>y</i>  <i>x</i>  <i>xy</i><i>y</i> <i>x</i>  <i>xy</i> <i>y</i> .
Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.

a)

2 2

2 2

5 6 2 7 5
,

4 4 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

    ; b)

3 2 3

3 2 3 2

2 2 5 4

,

4 4 2 3 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

      ;

c)

3 2 3 2

3 2 3 2

2 5 26 4 10 12
,

5 17 13 2 16

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     

      ;

d)

2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 3

,

2 ( ) ( ) ( )

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>

       

        .

Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3

+ 3x2

- 29x + 30 và hai phân thức ₂ , ₂ 2
2 7 15 3 10

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


   
a) Chia đa thức B lần l-ợt cho các mẫu của hai phân thức đã cho.

b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.

Bµi 7. Cho hai ph©n thøc: ₂ 1 , ₂ 2
4 5 2 3

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> . Chøng tá r»ng cã thĨ chän ®a thøc

x3_{- 7x}2_{+ 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy ng mu}

thức.

V) Phép cộng các phân thức đai sè.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

21

2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau:

- Quy đồng mẫu thức các phân thức.

- Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng).
3) Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thức:

a) 1 2₃ 3 2₃ 2 ₃ 4

6 6 6

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x y</i> <i>x y</i> <i>x y</i>

 _  _ 

; b)

2

2 2

2 2

( 1) ( 1)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x x</i>

 _ 

  ;

c)

2

2 2

3 1 6

3 1 3 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 

    ; d)

2 2

2 2

38 4 3 4 2
2 17 1 2 17 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  _ 
.
Bài 2. Cộng các phân thøc kh¸c mÉu thøc:

a) 5₂ 7 ₂ 11

6<i>x y</i>12<i>xy</i> 18<i>xy</i> ; b) 3 2 3
4 2 5 3 1

15 9 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x y</i> <i>x y</i> <i>xy</i>

  

  ;

c) 3 3 3 3 2₂
2 2 1 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

  ; d)

3

3 2

2 2 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ _

    ;

e) ₂ ₂4

2 2

<i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>  <i>xy</i>; f) 2 2

1 3 14

2 4 ( 4 4)( 2)
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

     ;

g) 1 1
2 ( 2)(4 7)

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> ; h)

1 1 1

3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)
<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> ;
Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng.

a) 4 2 5 6₂
2 2 4

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

   ; b) 2

1 3 3 2 3 2
2 2 1 2 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

  ;

c) ₂ 1 1₂ ₂

6 9 6 9 9

<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i><i>x</i>  <i>x</i>  ; d)

2

3 2

2 2 1

1 1 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ _

    ;

e) 4₂ ₂

2 2 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>xy</i>

<i>x</i> <i>y</i><i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> .
Bµi 4. Cộng các phân thức:

a) 1 1 1

(<i>x</i><i>y y</i>)( <i>z</i>)(<i>y</i><i>z z</i>)( <i>x</i>)(<i>z</i><i>x x</i>)( <i>y</i>);

b) 4 3 3

(<i>y</i><i>x z</i>)( <i>x</i>)(<i>y</i><i>x y</i>)( <i>z</i>)(<i>y</i><i>z x</i>)( <i>z</i>);

c) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )
<i>x x</i><i>y x</i><i>z</i>  <i>y y</i><i>x y</i><i>z</i>  <i>z z</i><i>x z</i><i>y</i> ;

d) 4 3 3

(<i>a</i><i>x c</i>)( <i>x</i>)(<i>a</i><i>x a c</i>)(  )(<i>a c x c</i> )(  ) ;

e) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )
<i>a a b a c</i>  <i>b b a b c</i>  <i>c c a c b</i>  .
Bµi 5. Làm tính cộng các phân thức.

a) 11 13 15 17
3 3 4 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 



  ; b)

2

2 2 2

2 1 32 1 2

2 1 4 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

   ;

c) ₂ 1 ₂1 2 ₃

1 1

<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> ; d)

4

3 2

1
1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>   

 ;

e) 5₂ 3₂ ₃

2 5

<i>x</i>

<i>x y</i> <i>xy</i>  <i>y</i> ; f)

1 2 3
2 6 ( 3)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x x</i>

 



  ;

g) 3₂ 5 25
5 25 5

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 

  ; h)

4
2

2

1

1
1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>


 

 ;

i)

2

3 2

4 3 17 2 1 6

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

22

A = 1 1 5

5 ( 5)
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>


 

  , B =

3
5
<i>x </i>
Chøng tá r»ng A = B.

Bµi 7. Tính giá trị của biểu thức :

a) A = 2 ₃ ₂1 ₂ 1

1 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i><i>x</i> <i>x</i>

    víi x = 10;

b) B =

4

3 2

2
1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>   

 với x = -99
Các bài tập nâng cao

Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức

2
3

5
3 2
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

viết đ-ợc thành 2

2 ( 1)

<i>a</i> <i>b</i>

<i>x</i>  <i>x</i>

HD: Dùng một trong hai ph-ơng pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi
quy đồng.

Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuéc vµo x

a) <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>

<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>

  

  ; b)

( )( ) ( )( ) ( )( )

<i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>

<i>x</i><i>y y</i><i>z</i>  <i>y</i><i>z z</i><i>x</i>  <i>z</i><i>x x</i><i>y</i> .
Bµi 10. Cộng các phân thức :

2 2 2 2 2 2

1 1 1

(<i>b c a</i> )( <i>ac b</i> <i>bc</i>)(<i>c a b</i> )( <i>ab c</i> <i>ac</i>)(<i>a b c</i> )( <i>bc a</i> <i>ab</i>) .

(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn qc 1980)
Bµi 11. Rót gän biĨu thøc :

A = 1 1 2 ₂ 4 ₄ 8 ₈
1<i>x</i>1<i>x</i>1<i>x</i> 1<i>x</i> 1<i>x</i> .
Bài 12. Tìm các số A, B, C để có :

2

3 3 2

2

( 1) ( ) ( 1) 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>

<i>x</i> <i>x a</i> <i>x</i> <i>x</i>

  _ _ _

    .

Bài 13. Chứng minh hằng đẳng thức :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 2 5 3

9 6 9 3 3

<i>a</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>an ab bn</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a</i> <i>b</i> <i>bn a</i> <i>an</i> <i>ab</i>

 _   _   

      .

VI) Phép trừ các phân thức đại số.
1) Phân thức đối:

- Hai phân thức đ-ợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- C«ng thøc: <i>A</i> <i>A</i>

<i>B</i> <i>B</i>



  vµ <i>A</i> <i>A</i>

<i>B</i> <i>B</i>



  .

2) PhÐp trõ:

- Quy t¾c: Muèn trõ ph©n thøc <i>A</i>

<i>B</i> cho ph©n thøc
<i>C</i>

<i>D</i>, ta céng
<i>A</i>

<i>B</i> với phân thức đối của
<i>C</i>
<i>D</i>

- C«ng thøc: <i>A</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>C</i>

<i>B</i> <i>D</i> <i>B</i> <i>D</i>

3) Bài tập áp dụng:

Bài 1. Làm tính trừ các phân thức:

a) 3 2 7 4

2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>xy</i> <i>xy</i>

 _ 

; b)3 ₃ 5 5 15₃

4 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x y</i> <i>x y</i>

 _ 
;

c) 4 7 3 6
2 2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _ 

  ; d) 2 2

9 5 5 7

2( 1)( 3) 2( 1)( 3)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 

    ;

e)

2

2 2 2 2

<i>xy</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i>  <i>y</i> <i>x</i> ; f)

2 2

2 2

5<i>x</i> <i>y</i> 5<i>y</i> <i>x</i>

<i>x y</i> <i>xy</i>

 _ 

;

g)

5 5 10 10

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i> ; h) 2 2

9 3

9 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _

  ;

j)

4 2

2

2

3 2
1

1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>
 
 

 ;
i) 3 ₂ 6

2 6 2 6
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>




</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

23

k) 1 1 2 (1 ₂ )

3 3 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _ 

   ; l) 2 2

3 1 1 3

( 1) 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ _ 
   ;

n)

2

2 2

5 4 3

3

2 6 9

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

  ; m) 2 2 2

3 2 6 3 2

2 1 1 2 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ _ 

     .
Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết

<i>A</i> <i>C</i> <i>E</i> <i>A</i> <i>C</i> <i>E</i>

<i>B</i> <i>D</i> <i>F</i> <i>B</i> <i>D</i> <i>F</i>

 
     .

áp dụng điều này để làm các phép tính sau:

a) 1 1 3 6₂
3 2 3 2 4 9

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

   ; b) 2 2 2

18 3

( 3)( 9) 6 9 9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> .
Bài 3. rút gọn các biÓu thøc :

a)

2

3 2

3 5 1 1 3

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  _  _

    ; b)

2

2 3

1 2

1

1 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 

   ;

c) 7 ₂36

6 6

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> .
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) 1 2 3

(<i>x</i>1)(<i>x</i>2)(<i>x</i>2)(<i>x</i>3)(<i>x</i>3)(<i>x</i>1);

b) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )
<i>A</i>

<i>a a b a c</i> <i>b b a b c</i> <i>a c c b</i>

  

     .

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thøc:

a) A =

2

2 3

1 2

1

1 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 

   víi x = 99;

b) B = 2 1 1 2 2 ₂
4 2 4 2 1 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _

  với x =

1
4.
Các bài toán nâng cao

Bài 6. Rút gọn các biểu thức :

a) A = 1

( ) ( )( 2 ) ( 2 )( 3 ) 3

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>x x</i><i>a</i>  <i>x</i><i>a x</i> <i>a</i>  <i>x</i> <i>a x</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>a</i>;

b) B = 1 1 1 ... 1

2.55.88.11 (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5);

HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta đ-ợc 3.B = 3 3 3 ... 3
2.55.88.11 (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5)

Từ đó ta có 3 1 1
(3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5)3<i>n</i>23<i>n</i>5

XÐt tõng sè h¹ng cơ thÓ : 3 1 1
2.5  2 5

3 1 1
5.8  5 8
…..

3 1 1

(3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5)3<i>n</i>23<i>n</i>5

3 3 3 3

...

2.55.88.11 (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5)=

1 1 3 5 2 3( 1)
2 3 5 2(3 5) 2(3 5)

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

  

  

  

Hay 3.B = 3( 1) 1
2(3 5) 2(3 5)

<i>n</i> <i>n</i>

<i>B</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 _{ } 

 

c) C = 1 1 1 ... 1
1.22.33.4 <i>n n</i>( 1).
HD : Thực hiện nh- phần trên

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

24

( )( ) ( )( ) ( )( )

<i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y x</i> <i>z</i>

 _  _ 

      .

Bµi 8. Thùc hiÖn phÐp tÝnh :

a) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )
<i>A</i>

<i>a b a c</i> <i>b a b c</i> <i>c a c b</i>

  

      ;

b) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )
<i>B</i>

<i>a a b a c</i> <i>b b a b c</i> <i>c c a c b</i>

  

      ;

c)

( )( ) ( )( ) ( )( )

<i>bc</i> <i>ac</i> <i>ab</i>

<i>C</i>

<i>a b a c</i> <i>b a b c</i> <i>c a c b</i>

  

      ;

d)

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>D</i>

<i>a b a c</i> <i>b a b c</i> <i>c a c b</i>

  

      ;

Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:

a) ₂ 1 ₂

( 1)( 1) 1 1

<i>ax b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

    ;

Đáp số: Dùng ph-ơng pháp đồng nhất ta đ-ợc a = 1
2

 , c = 1
2, b =

1
2
 .

b) 1

( 1)( 2) 1 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> ; (§S :

1 1

; 1;

2 2

<i>a</i> <i>b</i>  <i>c</i> )

c) ₂1 ₂

( 1) ( 2) 1 ( 1) 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> . (§S: a = -1; b = 1; c = 1)
Bµi 10. Cho abc = 1 (1)

1 1 1
<i>a b c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

     (2)

Chøng minh trong 3 sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng 1.
HD

Tõ (2) :<i>a b c</i> <i>bc</i> <i>ac</i> <i>ab</i>
<i>abc</i>
 
  

Do abc = 1 nªn a + b + c = ab + bc + ca (3)

§Ĩ chøng minh trong 3 sè a, b, c cã mét sè b»ng 1 ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)

= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)

Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn

tại một trong ba số a, b, c bằng 1.

Bµi 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biÓu thøc : A = 2 3

2 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>




  .

HD : A =3 6 2 ( 6) 3 1 4

2 6

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 _   _{  }

  .

Bµi 12. T×m x, y, z biÕt :

2 2 2 2 2 2

2 3 4 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

   .

HD:

Tõ

2 2 2 2 2 2

2 3 4 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

   suy ra :

2 2 2 2 2 2

0

2 5 3 5 4 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>

     

     

     

     

2 2 2

3 2 1

0 0.

10<i>x</i> 15<i>y</i> 20<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
       

Bài 13. Tìm x, y biết: <i>x</i>2 <i>y</i>2 1₂ 1₂ 4

<i>x</i> <i>y</i>

    .

HD

Ta cã

2
2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

4 2 2 0 0

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

     

 _ _ _ _{ } _ _ _ _ _ _{ } _  _ _ _

     

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

25

2

2

1

1

1 ₁

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>y</i>

<i>y</i>

 

 _{ }

 

_ _




 _ 



Có bốn đáp số nh- sau:

x 1 1 -1 -1

y 1 -1 1 -1

Bµi 14. Cho biÕt : 1 1 1 2

<i>a</i>   (1), <i>b</i> <i>c</i> 2 2 2
1 1 1

2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  (2). Chøng minh r»ng a + b + c = abc.
HD

Tõ (1) suy ra : 1₂ 1₂ 1₂ 2 1 1 1 4

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i>

 

   _   _

 

Do (2) nªn : 1 1 1 1 <i>a b c</i> 1 <i>a b c</i> <i>abc</i>

<i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i> <i>abc</i>

 

        

Bµi 15. Cho <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 0

<i>a</i>   (1) ,<i>b</i> <i>c</i> 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> (2). Tính giá trị biểu thức: <i>y</i> <i>z</i>

2 2 2

2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i>  <i>y</i> <i>z</i> .
HD

Tõ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3)

Tõ (2) suy ra :

2 2 2

2 2 2 2 4

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>xz</i> <i>yz</i>

 

   _   _

 

Do đó :

2 2 2

2 2 2 4 2 4

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abz</i> <i>acy bcx</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>

 

    

Bµi 16. Cho (a + b + c)2

= a2

+ b2

+ c2

và a, b, c khác 0. CMR: 1₃ 1₃ 1₃ 3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>abc</i>.
HD

Tõ gi¶ thiÕt suy ra : ab + bc + ca = 0.

Do đó : <i>ab bc ca</i> 0 1 1 1 0

<i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

  _{    }

Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3

+ y3

+ z3

= 3xyz.

Bµi 17. Cho <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>b</i>     . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau. <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
HD

Tõ gi¶ thiÕt suy ra : a2

c + ab2

+ bc2

= b2

c + ac2

+a2

b <i>a c b</i>2(  ) <i>a c</i>( 2<i>b</i>2)<i>bc c b</i>(   ) 0

2

(<i>c b a</i>)( <i>ac ab bc</i>) 0 (<i>c b a b a c</i>)( )( ) 0
          

Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên :

a)

3 2

2 6 8

3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

  


 ; (§S :

2 5

2 1
3

<i>A</i> <i>x</i>

<i>x</i>
  

   <i>x</i>



2; 2; 4;8



)
b)

4 3 2

2

2 3 8 1
2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   


  ; (§S :

 

2

2

3

4 0; 2

( 1)

<i>B</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

    

 )

c)

4 3 2

2

3 2 6 2
2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>C</i>

<i>x</i>

   


 . (§S :

 

2

2

2

3 0

2

<i>C</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

    


Bµi 19. Rót gän biĨu thøc : 1 1 2 ₂ 4 ₄ 8 ₈

1 1 1 1 1

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

    

HD

Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một :

2 4 8 2 2 4 8 4 4 8

1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

           

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

26

= 8 ₈ 8 ₈ 16₁₆

1<i>x</i> 1<i>x</i> 1<i>x</i>

Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

Bài 20. Rút gọn biểu thức :

B =





2

2 2

3 5 2 1

...

(1.2) (2.3) ( 1)
<i>n</i>

<i>n n</i>

HD

Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng ph-ơng pháp khử liên tiếp, ta đ-ợc :

2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 ( 1) 1 1

( 1) ( 1) ( 1)

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k k</i> <i>k k</i> <i>k</i> <i>k</i>

 _   _ _

  

Do đó B = 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ ... 1₂ 1 ₂ 1 1 ₂ ( 2)₂
1 2 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)

<i>n n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>



        

  

VII) Phép nhân các phõn thc i s.

1) Kiến thức cơ bản: .
.

<i>A C</i> <i>A C</i>

<i>B D</i>  <i>B D</i>.
2) TÝnh chất cơ bản:

- Giao hoán: <i>A C</i> <i>C A</i>
<i>B D</i>  <i>D B</i>

- KÕt hỵp: <i>A C</i> <i>E</i> <i>A</i> <i>C E</i>

<i>B D</i> <i>F</i> <i>B</i> <i>D F</i>

 _ _ _{ } _ 

   

   

- Phân phối đối với phép cộng: <i>A C</i> <i>E</i> <i>A C</i> <i>A E</i>

<i>B D</i> <i>F</i> <i>B D</i> <i>B F</i>

 _ _{   }



.

3) Bài tập cơ bản:

Bài 1. Làm tính nhân phân thức :

a)

3 5

2

10 121
11 25

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>  <i>x</i> ; b)

5

2 3

24 21

7 12

<i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 

 _ _

 ;

c)

3 2

4 3

18 15

25 9

<i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i>

   

  

   

   ; d) 3 2

4 8 2 20
( 10) ( 2)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _ 
  ;

e)

2 2

3

2 20 50 1

3 3 4( 5)

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  



  ; f)

2 2 3 3

2 2 3 2 2 3

(<i>x</i> <i>xy</i>) <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i> <i>x y</i> <i>xy</i>

 



   ;

g)

2 4 8

16

( 1)( 1)( 1)
1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

  

 . h)

2 3

2

6 9 27
3 9 3 9

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  _ 
   ;

i) ₂ 1 ₂ ( 3 8 3)

5<i>x</i> 10<i>xy</i>20<i>y</i>  <i>x</i>  <i>y</i> ; j)

2 2 2

2 2 2

2

<i>x</i> <i>ax bx ab x</i> <i>ax</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>ax bx ab</i> <i>x</i> <i>bx b</i>

    



     ;

k)

2 2

2 2

<i>a</i> <i>ax ba bx a</i> <i>ax bx</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>ax ab bx a</i> <i>ax bx ab</i>

   _   

      ; l)

2 2

2 2

3 3 4 4

3 3 4 4

<i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i> <i>x x</i> <i>x ax</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>a ax</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i>

   _   
      .
Bài 2. Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy đ-ợc nhân tử chung).

a)

2 3

2

3 8 12 6
4 9 27

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   



  ; b)

2

2 3

6 3 25 10 1

5 1 8

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  



  ;

c)

2 4

2 3

3 1

1 (1 3 )

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>


.

Bài 3. Phân tích các tử thức và mẫu thức (nếu cần thì dùng ph-ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử hoặc
tách một số thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thøc :

a)

2
2

2 2 3
1 5 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  

   ; b) 2 2

1 4
2 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 
   ;

c)

2
2

2 36

4 24 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



   .

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

27

a)

3 3

2 1954 21

1975 1 1975 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

  

    ;

b) 19 8 5 9 19 8 4 2
7 1945 7 1945

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

  

    .

c)

2 2 2 2 2

2 2

( ) ( )

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 _  _ _ 

  ;

Bµi 5. Rót gän biĨu thøc :

a)

4 3

3 2 4

15 7 4 4

2 2 14 1 15 7

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

    ; b)

7 2 2

3 7 2

3 2 3 1

1 1 3 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

 

    .

c) <i>x</i> <i>y</i> (<i>x</i>2 <i>y</i>2)

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

 

 

 _ _ 

  ;

Bµi 6. Rót gọn rồi tính giá trị biểu thức :

2 2

2 2

1

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

   

 

  _ _ _ 

 

  víi x = 15, y = 5.
Bµi 7. Chøng minh r»ng :











32 16

2 4 2 8 4 16 8

2

1

1 1 1 1

1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

        

</div>

<!--links-->