Về một bài toán giới hạn hàm số lạ và hay.

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Về một bài toán giới hạn hàm số lạ và hay. </b></i>

<i>Đỗ Ánh Linh </i>

<i>Trên tinh thần Dạy học đáp ứng đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá, tôi muốn giới </i>
<i>thiệu với các bạn học sinh một dạng toán mới, khá lạ thuộc chủ đề Giới hạn hàm số lớp 11. </i>
<i>Đó là một dạng toán xuất hiện trong một số đề kiểm tra trắc nghiệm gần đây. </i>

<i>Nội dung câu hỏi như sau. </i>

<i>Một vài cảm nhận ban đầu của tôi. </i>

<i>Thứ nhất, đây là cách hỏi khá lạ, lạ với cả người dạy và người học. Học sinh vẫn quen với các </i>
<i>dạng bài tập tính giới hạn mà ở đó hàm số đã cho “công khai” chứ không “ẩn” như f x</i>( )<i>hay </i>

( )

<i>g x</i> <i> như thế này. </i>

<i>Thứ hai, người ra đề đã giải quyết được vấn đề Casio theo cách nói hàng ngày. Thực tế là có </i>
<i>người học nào đủ tự tin hay ít ra là nghĩ đến việc cầm máy tính lên khi đọc đề bài này hay </i>
<i>không ? Tôi e là không. </i>

<i>Thứ ba, đây là một câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Vì thế, sẽ có cách giải đặc biệt cho câu </i>
<i>hỏi này hay có cả một phương pháp giải đầy đủ cho dạng tốn này ? </i>

<i>Trong vai trị của cả người đi dạy và người đi học, tôi cũng muốn tìm hiểu một số </i>
<i>hướng và bắt tay vào giải quyết câu hỏi này, với một suy nghĩ đơn giản là có thể tổng qt hóa </i>
<i>được khơng. </i>

<i>Hướng thứ nhất, tơi tạm gọi là phương pháp phân tích cổ điển. </i>

<i> Từ hai giả thiết </i>

2

( ) 3

lim 3

2
<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i> <i> và </i> 2

( ) 1

lim 4

2
<i>x</i>

<i>g x</i>

<i>x</i> <i> ta suy ra f</i>(2) 3<i> và g</i>(2) 1<i>. </i>
<i>Bằng cách phân tích ( ) ( )f x g x</i> <i>f x</i>( ) 3 . ( )<i>g x</i> 3 ( ) 1<i>g x</i> 3<i>, ta được </i>

2 2

( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1

lim lim . ( ) 3. 3.1 3.4 15

2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x g x</i> <i>f x</i> <i>g x</i>

<i>g x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>. </i>

<i>Từ đó </i>

2 2

( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 3 1 15

lim lim .

2 2 _{( ) ( )} ₁ ₂ 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x g x</i> <i>f x g x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_{f x g x}</i> <i>. Đáp án <b>B. </b></i>

Cho biết

2

( ) 3

lim 3

2
<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i> và 2

( ) 1

lim 4

2
<i>x</i>

<i>g x</i>

<i>x</i> . Tính 2

( ) ( ) 1 2
lim

2

<i>x</i>

<i>f x g x</i>

<i>x</i> .

<b>A. </b>15

2 . <b>B. </b>

15

4 . <b>C. </b>

17

2 . <b>D. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Hướng thứ hai, tôi tạm gọi là phương pháp chọn hàm số. </i>

<i> Ta tìm cặp hàm số f x g x</i>( ), ( )<i> thỏa mãn hai hệ thức trong giả thiết (kết quả không duy nhất). </i>

<i>Chẳng hạn, từ </i>

2

( ) 3

lim 3

2
<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i> <i> ta suy ra tử số có nghiệm bằng 2, ta viết </i>

( ) 3 ( 2)( )

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>, thay vào ta được </i>

2 2

( ) 3

3 lim lim( ) 2

2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i> hay </i>

1

<i>a</i> <i>, tức là _{f x}</i>_{( )} ₍<i>_x</i> ₂₎₍<i>_x</i> ₁₎ ₃ <i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁<i>_.</i>

<i>Tương tự, </i>

2 2 2

( ) 1 ( 2)( )

4 lim lim lim( ) 2

2 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>g x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>b</i>

<i>x</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i> hay </i> <i>b</i> 2<i>, tức là </i>

2

( ) ( 2)( 2) 1 3

<i>g x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>. </i>

<i>Từ đó </i>

2 2

2 2

( ) ( ) 1 2 ( 1)( 3) 1 2

lim lim

2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x g x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

2 2

2 2 2

( 1)( 3) 3

lim

( 2) ( 1)( 3) 1 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

3 2

2 2 2

3 15

lim

4

( 1)( 3) 1 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>. </i>

<i>Hướng thứ ba, tôi tạm gọi là phương pháp xấp xỉ gần đúng. </i>

<i> Vì </i>

2

( ) 3

lim 3

2
<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i> <i> nên khi x</i> 2<i> thì </i>

( ) 3
3
2
<i>f x</i>

<i>x</i> <i> hay f x</i>( ) 3<i>x</i> 3<i>. </i>
<i>Hồn tồn tương tự, vì </i>

2

( ) 1

lim 4

2
<i>x</i>

<i>g x</i>

<i>x</i> <i> nên </i>

( ) 1
4
2
<i>g x</i>

<i>x</i> <i> hay g x</i>( ) 4<i>x</i> 7<i> khi x</i> 2<i>. </i>

<i>Khi đó </i>

2

( ) ( ) 1 2 (3 3)(4 7) 1 2 12 33 22 2

2 2 2

<i>f x g x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

2

2
2

12 33 18 12 9

12 33 22 2

( 2) 12 33 22 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>. </i>

<i>Từ đó </i>

2 2 2

( ) ( ) 1 2 12 9 15

lim lim

2 ₁₂ ₃₃ ₂₂ ₂ 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>f x g x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>. </i>

<i>Với tính chất của một câu hỏi trắc nghiệm, máy tính cầm tay được sử dụng sau khi </i>
<i>các hàm số đã được cơng khai. Việc sử dụng máy tính cầm tay trong bài toán này thực sự giúp </i>
<i>cho người học đi đến kết quả nhanh hơn. </i>

<i>Một vài hướng giải quyết có thể cịn mang tính chủ quan, có thể còn nhiều hướng tiếp </i>
<i>cận khác đặc sắc hơn, thuyết phục hơn. Với vai trị người dạy, tơi vẫn muốn tìm kiếm thêm </i>
<i>nhiều câu hỏi dạng này để có thể tổng hợp được một phương pháp giải chung, giúp cho học </i>
<i>sinh của chúng ta khỏi bỡ ngỡ khi bước vào vườn hoa giới hạn. </i>

</div>

<!--links-->