1. Tổng của hai vectơ:
ur
F
1. Tổng của hai vectơ:
Định nghĩa: (Xem SGK)
B
r
a
r
a
r
b
A
r
b
r r
a+b
r r uuu
r uuur uuur
a + b = AB + BC = AC
uuu
r uuur uuur
⇒ AB + BC = AC
C
2. Quy tắc hình bình hành:
uuur uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC.
B
A
C
D
r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
AB + AD = AB + BC = AC
3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
r
b
B
r
a
A
r r
a+b
r r
b+a
r
b
C
r
a
E
r r uuu
r uuur uuur
a + b = AB + BC = AC
r r uuur uuur uuur
b + a = AE + EC = AC
3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
r
b
B
r
a
A
r r
a+b
r r
b+a
r
b
r r
b+c
r
a
C
r
c
D
E
r r r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
a + b + c = ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD
r r r uuu
uuu
r uuur uuur
r uuur uuur
a + b + c = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD
(
(
)
)
3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
r r r
Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có
r r r r
a + b = b + a ( tính chất giao hoán)
r r r r r r
a + b + c = a + b + c ( tính chất kết hợp)
r r r r r
a + 0 = 0 + a = a ( tính chất của vectơ - không)
(
)
(
)
4. Hiệu của hai vectơ:
4. Hiệu của hai vectơ:
a) Vectơ đối:
Hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng
độ dài và ngược hướng.
B
A
r
r
r
r
a và b đối nhau, ta viết: a = − b
uuu
r
uuu
r
Ví dụ 1: AB = − BA
uuur
uuur
MP = − NB
uuur
uuuu
r
NP = − AM
uuu
r
uuur
PA = − PC
D
C
A
M
P
B
N
C
uuu
r uuur r
uuu
r
uuur
Bài tập a: Chứng minh rằng AB + BC = 0 ⇔ AB = − BC
Giải:
uuu
r uuur r
uuur r
uuu
r
uuur
AB + BC = 0 ⇒ AC = 0 ⇒ A ≡ C ⇒ AB = − BC
uuur uuu
r
uuu
r
uuur
AB = − BC ⇒ AB = CB
uuu
r uuur uuu
r uuur
⇒ AB + BC = CB + BC
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur r
⇒ AB + BC = CC ⇒ AB + BC = 0
r
Ghi nhớ: Hai vec tơ đối nhau có tổng bằng 0 và ngược lại.
4. Hiệu của hai vectơ:
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: (Xem SGK)
B
r
a
r
−b
r r
a −b
A
r
a
r
b
O
r r r
r
r
uuu
r uuu
r uuu
a − b = a + −b = OA + AB = OB
( )
uuu
r uuu
r uuu
r
⇒ OB − OA = AB
Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có:
uuu
r uuur uuur
AB + BC = AC
uuu
r uuur uuu
r
AB − AC = CB
(quy tắc ba điểm)
(quy tắc trừ)
uuu
r uuur uuur uuu
r
Ví dụ 2: Cho A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh AB + CD = AD + CB
Giải: Lấy O tùy ý
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
uuur uuur
VT = AB + CD = OB − OA + OD − OC
r
uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuu
= OD − OA + OB − OC = AD + CB = VP
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur
Cách 2: VT = AB + CD = AD + DB + CB + BD
uuur uuu
r
uuur uuur
= AD + CB + DB + BD
uuur uuu
r r
= AD + CB + 0 = VP
(
(
(
(
) (
) (
) (
) (
)
)
)
)
5. Áp dụng:
uu
r uur r
a) I là trung điểm của AB ⇔ IA + IB = 0
uuu
r uuu
r uuur r
b) G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GA + GB + GC = 0
Chứng minh:
uu
r
uur
uu
r uur r
a) I là trung điểm của AB ⇔ IA = − IB ⇔ IA + IB = 0
b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm
ΔABC nên GA=2GI. Lấy D đối xứng với
G qua I. Khi đó, GADC là hình bình hành
và G là trung điểm AD.
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur r
⇒ GB
GD
uuu
r + GC
uuu
r =u
uur vàr GA + GD = 0
⇒ GA + GB + GC
uuu
r = 0uuu
r uuur r
Ngược lai, nếu GA + GB + GC = 0 thì ta
cũng dựng được hình như bên và suy ra
G là trọng tâm ΔABC.
I
A
B
A
G
B
C
I
D
Bài 1/12: uCho
uuurvà M
uuurnằm giữa AB sao cho MA>MB. Vẽ
uur đoạn
uuur AB
các vectơ MA + MBvà MA − MB.
Giải:
uuur uuur
Lấy N trên AB sao cho AN = MB.
N
M
A
B
Vì MA>MB nên N nằm giữa AM.
Ta có:
uuur uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB = MA + AN = MN
M
uuur uuur uuu
r
A
B
MA − MB = BA
Bài 2/12: Cho hìnhuubình
ur uhành
uuu
r ABCD
uuur uuvà
uu
r một điểm M tùy ý.
Chứng minh rằng: MA + MC = MB + MD.
Giải:
uuu
r
uuur
Cách 1: ABCD là hbh nên BA = − DC
B
uuur uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r uuur
VT = MA + MC = MB + BA + MD + DC
uuur uuuu
r
uuu
r uuur
= MB + MD + BA + DC
A
uuur uuuu
r r
D
= MB + MD +uu0ur= VPuuur
Cách 2: ABCD là hbh nên BC = − DA
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MA + MC − MB − MD
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
= MA − MD + MC − MB
r
uuur uuur
= DA + BC = 0
uuur uuuu
r uuur uuuu
r
⇒ MA + MC = MB + MD.
(
(
) (
) (
(
) (
)
)
)
C
Bài 3/12: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kỳ la ln có:
uuur uuur uuur uuur r
uuu
r uuur uuu
r uuur
a) AB + BC + CD + DA = 0
b) AB − AD = CB − CD
Giải:
uuu
r uuur
uuur uuur
a) VT= AB + BC + CD + DA
uuur uuu
r r
= AC + CA =0 = VP
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
b) VT= AB − AD = DB
b) AB − AD − CB − CD
uuu
r uuur uuur
uuur uuur
VP=CB − CD = DB
(
) (
)
(
⇒ VP=VT
) (
)
r
= DB − DB = 0
uuu
r uuur uuu
r uuur
⇒ AB − AD = CB − CD
Bài 4/12: Cho ΔABC. Bên ngồi tam giác
uuu
rvẽ các
uur hình
uuu
r bình
r hành
ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: RJ + IQ + PS = 0.
Giải:
uuu
r uuu
r uuu
r
Ta có: RJ = RA + AJ
uur uur uuur
IQ = IB + BQ
uuu
r uuur uuu
r
PS = PC + CS
R
J
A
S
I
B
C
mà ABIJ, BCPQ, CARS là
các hình bình hành nên
Q
uuur
uuu
r
uuu
r uuu
r
uur uuur
RA = −CS ; AJ = − IB; BQ = − PC
r uuu
r uur uuur uuur uuu
r
uuu
r uur uuu
r uuu
⇒ RJ + IQ + PS = RA + AJ + IB + BQ + PC + CS
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uur
uuur uuur
= RA + CS + AJ + IB + BQ + PC =0
(
) (
) (
)
P
Bài 5/12: Cho ΔABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ
uuu
r uuur
uuur uuur
AB + BC và AB − BC
Giải:
uuu
r uuur uuur
*) Ta có: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
AB + BC = AC
nên
A
I
a
= AC = a
E
B
**) Lấy E đối xứng với C qua
B, I là trung điểm AE.
a 3
⇒ AE = a 3
ΔABI là nửa tam giác đều cạnh a nên AI =
uuur uuur uuu
r uuu
r
2
+ CB
Ta có: AB − BC = AB
uuu
r uuu
r uuur
= AB + BE = AE
uuur uuur uuur
AB − BC = AE = AE = a 3
nên
C
Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuu
r
b) AB − BC = DB
a ) CO − OB = BA
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
c ) DA − DB = OD − OC
d ) DA − DB + DC = 0.
Giải:
uuur uuu
r
B
a) Ta có: CO = OA
r uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
O
=urOA − OB = BA
−urOBuu
nên COuu
b) Ta có: BC = AD
A
uuu
r uuur uuur uuur uuur
D
nên AB − BC = AB − AD = DB
uuu
r uuur
c) Ta có: BA = CD
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
và DA − DB = BA; OD − OC = CD nên DA − DB = OD − OC.
uuu
r
uuur
uuur uuur uuur uuu
r uuur r
d) Ta có: BA = − DC nên DA − DB + DC = BA + DC = 0.
C
r r
Bài 8/12: So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a, b nếu:
r r
a+b = 0
Giải:
r r
r r r
a+b = 0 ⇔ a+b = 0
r
r
⇔ a = −b
r r
⇔ a, b cùng độ dài và ngược hướng.
r r
r
Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0 . Khi nào có đẳng thức:
r r r r
r r r r
b) a + b = a − b
a) a + b = a + b
Giải:
uuu
r r
uuur r
Dựng AB = a và BC = b
a) Ta có:
r r
r r uuu
r uuur uuur
a + b = AB + BC = AC ⇒ a + b = AC
r r
và a + b = AB + BC
r r r r
a + b = a + b ⇔ AB + BC = AC
B
r
a
r
a
r
b
r r
a+b
A
A
Suy ra A,B, C thẳng hàng, B nằm giữa A,C.
r r
Suy ra a, b cùng phương.
r
a
r
b
B
C
r
b
C
r r
r
Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0 . Khi nào có đẳng thức:
r r r r
r r r r
b) a + b = a − b
a) a + b = a + b
Giải:
uuu
r r
uuu
r r
Dựng OA = a và OB = b , lấy C để
OACB là hbh
b) Ta có:
r r
r r uuu
r uuu
r uuur
a + b = OA + OB = OC ⇒ a + b = OC
r r
r r uuu
r uuu
r uuu
r
và a − b = OA − OB = BA ⇒ a − b = AB
r r r r
a + b = a − b ⇔ AB = OC
A
r
a
r
a
r r
a −b
O
r
b
r r
a+b
C
r
b
B
r r
Suy ra OABC là hình chữ nhật. Suy ra giá của a, bvng góc với nhau.
r r
*) Nếu a, b cùng phương thì đẳng thức trên khơng xảy ra.