Tiet 58 ham so lien tuc

TT GDTX- HN Thanh


Hệ thống kiến thức về hàm số liên
tục
Hàm số f(x) xác định trên
1) HàmKsố liên tục tại một điểm
khoảng
f(x) liên tơc t¹i x0 ∈ K lim
⇔f (x) = f (x0 )
xx0

2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) đợc gọi là
liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của
khoảng
*) Địnhấy
lý 1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lợng giác liên
tục trên tập xác định của chúng
*) Định lý 2:
Tổng, hiệu, tích, thơng ( với mẫu khác 0) của những hàm
số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó


3) Chứng minh phơng trình f(x) = 0 có
nghiệm
*) Định lý:
f(x) liªn tơc trªn
⇒ ∃ c ∈ (a;

f(c) = 0
[a ;b]
f(a).f(b) < 0
b):
Phơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên
tục
f(x) liên
tục
tại một
điểm

f(x) liên tục
trên một
khoảng

f(x) = 0
có
nghiệm


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Vấn đề Xét tính liên tục của hàm số tại
*)Phơng
điểm x0
1:
Xác định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D.
ph¸p:

f ( x)
 Tính f(x0) và xlim
→x
0

f ( x) Rồi đi đến kt lun
So sỏnh f(x0) v xlim
x
0

Bài 1 (SGK140)
Bài giải

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số
3
f ( x ) = x + 2 x − 1 t¹i x0 = 3
Tập xác định của hàm x0 = 3 R
sè3 lµ R,

f (3) = 3 + 2.3 − 1 = 32

⇒ lim f ( x) = f (3)

lim( x 3 + 2 x − 1) = 33 + 2.3 − 1 = 32  x→3
x →3
VËy hµm

f ( x) = x + 2 x 1
3

liên tục
tại

x0 = 3


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

*)Phơng
pháp:

Xác định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D.

f ( x)
 Tính f(x0) và xlim
→x
0

So sánh f(x0) và

lim f ( x ) Rồi đi đến kết luận
x → x0
x3 − 8
nếu x
x2

*)Bài 2 (141):

Cho hàm
g(x)
2
số:
=
nếu x =
5
a, Xét tính liên tục của hàm số g(x) tại
2
điểm
x
=
2
b, Trong0biểu thức trên cần thay số 5 bởi số nào để hàm số
liên
x0 = R2 x0 = 2 R
Bài tục tạiTXĐ:
3
giải:
x
2
Tớnh lim g ( x) = lim − 8
lim
x
+ 2 x + 4 ) = 12
(
= x →2
x→2
x →2 x − 2
= lim g ( x) g (2)

g
=
x2
>
(2)
5
Kết
Hàm số đà cho không liên tục tại điểm
luận: x = 2
b, hàm số0 liên tơcxt¹i
0 = 2 ⇔ lim g ( x ) = g (2)
x→2

=> g(2) = 12 => Thay sè 5 b»ng sè 12 th×

x =2


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên
một khoảng
*)Phơng
pháp
:
áp dụng
định lý các hàm số đa thức, hàm số hữu
1,
2: số lợng
tỷ,tục trên tập xác định
hàm

liên
giác,
của chúng
x +1
x +1
=
Bài 4 (SGK-141)
a, Hµm sè = 2
x + x − 6 ( x 2)( x + 3)
f(x)
Cho hàm
số
có tập xác
x +1
f ( x) = 2
định là:

x + x6

Với mỗi hàm số, hÃy
xác định các khoảng
trên đó hàm số liên
tục

x (−∞; −3) ∪ (−3; 2) ∪ (2; +∞)

=> hµm sè f(x) liên tục trên các
khoảng

(; 3) (3; 2) (2; +∞)

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
Vấn đề Chứng minh phơng trình f(x) = 0 có
nghiệm
*)3
Phơng
Sử dụng định
lý trên
3
pháp f(x) liên tục

c (a; f(c) = 0
[a ;b]
f(a).f(b) < 0
b):
Phơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
Ví dụ áp
khoảng (a; b)
dụng
Cho phơng trình: x3 - 3 x
+ 1 = minh
0
Chứng
rằng phơng trình cã nghiƯm ∈
( 1; 2 ) 3
Bµi
f(x)= x - 3 x
giải:
+ 1liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên

Hàm số f(x)
đoạn
f(1) [1- ;2]
f(1).f(2) = - 3
=
1
f(2) 3
<0
= ∃ x ∈ ( 1; 2) : f(x ) = 0

0
0
Kết
phơng trình có nghiệm


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
Vấn đề Chứng minh phơng trình f(x) = 0 có
*)3
Phơng
nghiệm
Sử dụng định
pháp f(x) liên tục
lý trên
3

c (a; f(c) = 0
[a ;b]
f(a).f(b) < 0
b):

Phơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng
b) Chứng minh rằng phơng cosx=x có
Bài
6b, (a;
(SGK141) Ta có: cosx
trình
nghiệm
Giải:
= x <=> cosx x =
Đặt f(x)
= cosx x. Khi

0
đó
Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục ;
2 2
tại đoạn



f ( ) = cos − = − < 0

2
2 2
2
π
π
 =>f ( ). f (− ) < 0
π

π π π
2
2
f (− ) = cos(− ) + = > 0 
2
2
2 2

π π
⇒ ∃x0 ∈ (− ; ) :
2 2

f ( x) = 0

VËy ph¬ng tr×nh cã
nghiƯm ∈

π π
(− ; )
2 2


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
Bài 6a (SGK- Chøng minh r»ng ph¬ng
141) 2 x 3 − 6 x +trình
1 = 0 Có ít nhất hai nghiệm
3
Giải:
Đặt f(x) 2 x − 6 x + 1 = 0
=

Hµm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục
[ 2;0] và 0;1
tại đoạn
[ 2;0]
Xét
f(= -9 < đoạn:
f ( −2). f (0) < 0 ⇒ ∃x0 ∈ ( −2;0 ) : f ( x0 ) = 0
2)
0<
f(0)
=1

0
Ph¬ng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (-2; 0)
0;1
Xét
f(0) = 1 <

đoạn:

f (0). f (1) < 0 ⇒ ∃x0 ∈ ( 0;1) : f ( x0 ) = 0

0
f(1) = -3 <
Phơng 0trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (0; 1)
Vậy phơng trình ®· cho cã Ýt nhÊt hai nghiƯm
−2;1
thc kho¶ng

[

[

]

]

(

)


BàI tập
Đ3 hàm số liên tục
Xét tính liên tục của hàm số tại
một điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên
một khoảng
Chứng minh phơng trình có nghiệm trên
khoảng
Bài tập về nhµ:
Bµi sè: 3, 5, 6(SGK-Trang 141)
Bµi sè: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)



Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
Bài toán:

Cho các hàm số f(x) cha xác định tại x = 0

x2 − 2x
x2 + 2x
a) f (x) =
b) f (x) =
x
x2
Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở
thành liên tục tại xBài
= 0gi¶i:
?
x2 − 2x
x(x − 2)
a) Ta cã:lim f (x) = lim
lim (x − 2) = -2
=
lim
=
x→ 0
x→ 0
x→ 0
x→ 0
x
x
VËy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại
x=0
x+ 2
x(x + 2)

x2 + 2x
=
= lim
lim f (x) = lim
= lim
b) Ta
2
2
x
→
0
x→ 0
x→ 0
x
x→ 0
x
x
cã:
VËy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục
tại x = 0.


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
2
( a lµ h»ng
ax
nÕu
x
Bµi sè 3 ( tr137 ): Cho
sè )

≤
2
f(x) =
3
nếu x >
Tìm a để hàm số f(x) là liên tục
2 với mọi x; Khi đó hÃy vẽ đồ
thị hàm số y = f(x)
Bài
Khi x < 2: f(x) = ax2
nên hàm số
giải:
liên tục.
Khi x > 2: f(x) = 3
nên hàm sè
liªn tơc. Lim f ( x ) = lim ax 2 = 4a = f ( 2 )
Khi x =
x→2
x→2
2:
−

−

Lim f ( x ) = lim 3 = 3
x → 2+

x 2+

3

Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3
a=
= 4a
4
3 thì f(x) liên tục với
Vậy a =
4 mäi x.
3 2
x nÕu x ≤
4
2
Khi ®ã
nÕu x > 2


Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục
Vẽ đồ thị hàm f( x)
=
số

3 2
x nếu x
4
2
nếu x > 2
3
y
3

3/4

-2

-1 O

1

2

x