Tiet 60 ung dung cua tich phan trong hinh hoc phang (muc i)

Tiết 60

ứng dụng tích
phân để tính
diện tích hình
phẳng


?1 Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa
diện tích hình thang cong và tích
phân?
Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không
âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x),
trục Ox, đờng thẳng x =a, x= b lµ:
b

S f ( x)dx
a


H1

Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn
bán kính R giới hạn bởi đờng tròn có
phơng trình : x2 + y2 = R2

Thực hiện
các bài tập
sau:

Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đờng
thẳng x = 1, x = 2.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh
diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = - x2 trục hoành và hai đờng thẳng x = 1, x =
2
vi kt3:qu
trờndiện
.
Nhóm
Tính
tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hµm sè y = x3 – 3x2 + 6, trơc hoành và hai đ
ờng thẳng x = 1, x = 3.
Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số
y = x2 2x + 1, trục hoành và hai đờng thẳng x = 1,


Lời giải
Xét đường trịn có phương trình: x2 + y2 = R2

N1

Diện tích hình trịn bán kính R là: S = 4S’
trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị
2
hàm
y  Rsố

 x2
và hai đường thẳng x = 0 và x = R.
R
Ta có:S'  R 2  x 2 dx
0

Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt.
x = 0 thì t = 0; x = R thì t = /2
 
R 2  x 2  R 2  R 2 sin 2 t R cos t (t   0;  )
 2
R
S'   R 2  x 2 dx
0


2


2


1  cos 2t
R 2  sin 2t 
R 2
 R cos t .R cos tdt R 
dt   t 
2 
2
2

2
4

0
0
0
Vậy S = 4S’ =
Quay lại…
R2
2


N2

Vậy diện tích hình thang cong giới
hạn bởi
thị hàm
y = f(x)
+ Diện
tíchđồhình
thangsốcong
giớiliên
hạn bởi
trên
trụcOx
Ox và
đồtục,
thị âm
hàm
sốđoạn

y = [a;b],
x2, trục
và hai
hai đường
= 2a,là:
x = b là gì?
đường
thẳng thẳng
x = 1, xx =

y

y = x2

2

3
2
x
2
S1  x dx 
3 1
1



7
3

x

+ Căn cứ vào hình vẽ nhận
thấy: Diện tích hình thang
cong
Diện
giới
tích
hạn
hình
bởithang
đồ thịcong
hàmgiới hạn
2
sốbởi
y =đồ
- xthị
, trục
hàmOx
sốvà
y=
hai
f(x) liên tục,
đường
âm trên
thẳng
đoạn
x =[a;b],
1, x =trục
2 là:
Ox và hai

7
đường thẳng x = a, x = b là:
S2 = S1 = 3
b

S   f ( x )dx
a

y = - x2
Tiếp tục…


N3
Diện tích hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2
+ 6 , trục Ox và hai đường thẳng x
= 1, x = 3 là:
3

S 3  ( x 3  3x 2  6)dx
1

 x4
3
3
  x  6x 
 4
1
 81
 1


  27  18     1  6 
 4
 4

6
Quay lại…


N4
Diện tích hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 ,
trục Ox và hai đường thẳng x = 1,
x = 3 là:
3

S 4  ( x 2  2x  1)dx
1

 x3
3
2
  x  x 
 3
1
 27
 1


 9  3     1  1

 3
 3

8

3
Quay lại…


Nhận xét:
Từ kết quả của nhóm 3 và
Diện tích hình phẳng giới hạn
nhóm 4, tính diện tích hình
bởi đồ thị các hàm số:
phẳng giới hạn bởi
đồ thị các
y = x3 – 3x2
hàm số:
+ 6 , y = x23 - 2x 2+ 1 và hai 2
y = x – 3x + 6 , y = x - 2x +
đường thẳng x = 1, x = 3 là:
1 và hai đường thẳng x = 1, x
3?
S = S=
3 – S4

1

Vậy8diện
10 tích hình phẳng

giới
6  hạn
 bởi đồ thị các
hàm3 số 3
y = f(x), y = g(x) liên tục
trên đoạn [a;b] và hai
đường thẳng x = a, x = b
bằng?

1
2x +
x 2-

x
+6

( x 3  3 x 2  6)dx  ( x 2  2 x  1)dx
1

y=

3

y = x 3 – 3x 2

3

y

Tiếp tục…

1. Một số cơng thức cần nhớ
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b là:
b

S  f ( x ) dx
a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =
f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng
x = a, x = b
b

S  f ( x )  g( x) dx
a

Quay lại…


2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số
y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng
x = 2.
y
Lời giải:
y = x3 - 1

Đặt f(x) = x3 – 1.
Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x)
≥ 0 trên [1; 2]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

S x 3  1dx
0
1

2

1  x 3 dx   x 3  1dx
0

3 11 7
 

4
4
2

1

x


Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
các hàm số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x

Lời giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm
số f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là:
3
y f1(x) =x – 3x
 x  2

x 3  3x x  x 3  4 x 0   x 0
 x 2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

S  x 3  4 x dx
2

0

x

2
3

3

 ( x  4 x )dx  (4x  x )dx
2

0

4
0
 x4


2
x
2
2

  2 x 
  2 x 
4 0
 4
 2 

4  4 8

f2(x) =x


3. Bài tập vận dụng
Thực hiện H1 và
H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
hàm sách
số: y = 4 –
H2thịtrong
x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hồnh.giáo khoa!
H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2
và Parabol y = x2 + x - 2

H1:

Giải:

Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên [2; 3] nên:
3

2

3

23
S 4  x dx (4  x )dx  ( x  4)dx 
3
0
0
2
2

H2:

2

2

Giải:

PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2; x = 2. Vậy:
2

32
2
S  4  x dx 
3
2


Chú ý:

+

Để khử dấu giá trị tuyệt đối

trong công thức:

b

S  f ( x)  g ( x) dx
a

Ta thực hiện như sau:
• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử pt
có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b).
• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) khơng đổi
dấu.
• Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có:
d

d

S f ( x )  g( x ) dx  [f ( x )  g ( x )]dx
c

c


Củng cố:

y=

- Ghi nhớ các cơng thức tính diện tích hình phẳng.
y
- Bài tập đề nghị:
y = x2 - 4x + 3
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị các hàm số:
y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và
y = 2x – 6.
-2x



1

3





 x 2  4 x  3  ( 2 x  6) dx
2

2

3

y=



S x 2  4 x  3  (  2 x  2) dx

2x

-6

+2

2

x