Tiet 37 phuong trinh duong thang trong khong gian (muc II)

BÀI DẠY:

§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHƠNG GIAN
(TIẾT 37)



y

NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC

r
uur



2.Pt tham số, pt chính tắc của đường
thẳng 

u1

M

x

o
1)Vectơ chỉ phương của đường
thẳng 
r r
Vectơ u �0 ,có giá song song

hoặc trùng với đường thẳng 
được gọi là VTCP của đường
thẳng 

Qua M ( x0 ; y0 )
�
r
-Đường thẳng : �
VTCP u (a1 ; a2 )
�

a) Pt tham số của  có dạng:

�x=x 0 +a1t
2
2
(
a

a
�
1
2 �0)
�y=y0 +a 2 t
b) Pt chính tắc của  có dạng:

x  x0 y  y0

(a1.a2 �0)
a1

a2


z

r
u


r
a

O

x

M

y


I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:z

1. Định lý:
Trong không gian Oxyz cho

M0

đường thẳng  đi qua M(x0 ;y0;z0)
r

nhận a  (a1 ; a2 ; a3 ) làm vectơ chỉ
phương. Điều kiện cần và đủ để
điểm M(x; y; z) nằm trên



một số thực t sao cho:

�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t (t �R )
�z  z  a t
3
� 0

M

là có


a
0

CM:



y

x

uuuuuur
Ta có: M 0 M ( x  x0 ; y  y0 ; z  z0 )

r
uuuuuur
M � � M 0 M cùng phương với a
x  x0  ta1
�
uuuuuur r
�
� M 0 M  ta � �y  y0  ta2
�z  z  ta
3
� 0
�x  x0  a1t
�
� �y  y0  a2t (t �R )
�z  z  a t
� 0 3


I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm
r
M(x0 ;y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương a  (a1; a2 ; a3 ) là phương

trình có dạng:

�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t
�z  z  a t
3
� 0

trong đó t là tham số.

Chú ý:

Nếu a1 , a2 , a3 đều khác 0 ta còn viết pt của
đường thẳng  dưới dạng chính tắc như sau:
x - x0 y - y0 z - z0


a1
a2
a3


�qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
r
Đường thẳng  : �
VTCP a (a1 ; a2 ; a3 )
�

�x  x0  a1t
�

Pt tham số của  : �y  y0  a2t
�z  z  a t
3
� 0

x - x0 y - y0 z - z0


Pt chính tắc của  :
a1
a2
a3
(a1.a2 .a3 �0)
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz .Viết
pt tham số, pt chính tắc của đường
thẳng  đi qua điểm
r M(1;-2;3) và có
vectơ chỉ phương u (2;3; 4)
Giải:

Pt tham số của đường
thẳng  là:

�x  1  2t
�
�y  2  3t
�z  3  4t
�
Pt chính tắc của  :

x 1 y  2 z  3


2
3
4


�qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
r
Đường thẳng  : �
VTCP a (a1 ; a2 ; a3 )
�
�x  x0  a1t
�
Pt tham số của  : �y  y0  a2t (t �R)
�z  z  a t
3
� 0

Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A(1; -2; 3) và
B(3; 1; 1).Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Giải
uuu
r
Đường thẳng AB có VTCP là AB  (2;3; 2)
Pt tham số của đường thẳng AB là:

�x  1  2t
�

�y  2  3t
�z  3  2t
�

A

B


Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz. Viết phương trình tham số của
đường thẳng  qua M( -1;3;2) và song song với đường
thẳng d có phương trình:

� x  1 t
�
�y  2  3t
�z  3  2t
�

uu
r
ud

uur
Đường thẳng d có VTCP : ud ( 1; 3; 2)
Giải:

uur uur
 / /d suy ra  có VTCP u  ud (1; 3; 2)
Pt tham số của đường thẳng là:

x  1  t
�
�
y  3  3t
�
�
z  2  2t
�

d

M



VD4: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng có phương
trình tham số: �
x  3  2t
�
�y  1  t
�z  2  t
�
Hãy tìm tọa độ một điểm M trên và một vectơ chỉ phương
của 
Giải:
uur
Đường thẳng đi qua M(3;1;2) và một VTCP của là u  (2;1; 1)
Chú ý:
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng có pt tham số:

�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t
�z  z  a t
� 0 3
Với mỗi điểm M tùy ý thuộc  thì M ( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t )


Ví dụ 5:
Trong khơng gian Oxyz cho (P): 2x + 4y + z + 9 = 0.và điểm A(1; -2; 3)
a.Viết pt tham số của đường thẳng  đi qua A và vng góc với mp(P).
b.Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp(P).
uur
Giải
uur
nP
A
a) Ta có: mp(P) có VTPT nP (2; 4;1)



uur uur
Vì   ( P) nên  có VTCP u  n p (2;4;1)
Pt tham số của đường thẳng  là :
P)

H

�x  1  2t

�
�y  2  4t
�
z  3t
�

b) Gọi H (1+2t;-2+4t;3+t) là hình chiếu của A lên (P).
Ta có H �( P ) � 2(1+2t) + 4(-2+4t) + 3+t + 9 = 0

2
� 21t  6 � t   � H ( 3 ;  22 ; 19 )
7
7 7
7


VD6: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(2;3;1)và đường
thẳng có phương trình tham số:

x  3  2t
�
�
�y  1  t
�z  2  t
�
Tìm tọa độ hình hình chiếu H của A lên 
Giải
Gọi H(3-2t;1+t;2-t) là hình chiếu của A lên .

A

uur
u

H

uu
r
uuur
Ta có: AH (1  2t ; 2  t ;1  t ) ,  có VTCP u (2;1; 1)
Vì H là hình chiếu của A lên  nên:
r
uuur uu
r uuur uu
AH  u � AH .u  0 � 2(1  2t )  1(2  t )  1(1  t )  0 � 6t  5  0

5
4 11 7
� H( ; ; )
�t
3 6 6
6


Củng cố:

�qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
r
1) Đường thẳng  : �
VTCP a (a1 ; a2 ; a3 )

�
�x  x0  a1t
�
Pt tham số của  :�y  y0  a2t (t �R)
�
�z  z  a t
3
� 0

Pt chính tắc của  :
�

x - x0 y - y0 z - z0


a1
a2
a3
(với a1.a2 .a3 �0)

2) Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng có pt tham số:

�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t
�z  z  a t
� 0 3
Với mỗi điểm M tùy ý thuộc  thì M ( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t )

Bài tập trắc nghiệm:
1)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua M(3;2;-2) và

r
có VTCP a (2;3;3) pt tham số của đường thẳng d là:
�x  3  2t
�
A �y  2  3t
�
z  2  3t
�

x  2  3t
�
�
B �
y  3  2t
�
z  3  2t
�

x  3  2t
�
�
C �y  2  3t
�
z  2  3t
�

�x  3  2t

�
y  2  3t
D �
�
z  2  3t
�


2)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua M(3;4;-2) và
vng góc với mp(Q):3x-4y-z+2=0 .Phương trình tham số của
đường thẳng d là:

�x  3  3t
�
A �y  4  4t
�z  1  2t
�
�x  3  3t
�
C �y  4  4t
�z  2  t
�

�x  3  3t
�
B �y  4  4t
�z  2  t
�

�x  3  3t

�
y  4  4t
D �
�z  2  t
�