Bài tập có đáp án chi tiết về phép dời hình môn toán lớp 11 trường học trực tuyến sài gòn | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH</b>

<b>I. Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến</b><i>T_u</i>

<i>Phương pháp: </i>

Xác định phép tịnh tiến <i>T biến điểm M thành M' _u</i>

Tìm quỹ tích điểm M

Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm M'

<i><b>Bài tốn 1: </b></i>Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O).
Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: <i>MM</i>'<i>MA</i><i>MB</i>

<b>Bài giải </b>

Ta có <i>MM</i>'<i>MB</i><i>MA</i><i>AB</i>

<i>Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’ </i>

Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO'<i>AB</i> thì quỹ tích M' là đường trịn O' có bán kính
bằng bán kính đường trịn (O).

<i>ABC</i>


<i><b>Bài tốn 2:</b></i> có <i>A</i>900<i>. Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC</i> vẽ các đường
vng góc PR, PQ với các cạnh vng AB, AC ( RAB, Q



AC). Tìm quỹ tích trung điểm M của
đoạn thẳng RQ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Dựng hình chữ nhật ABSQ

Ta có PRAB, PQAC và RAAQ

ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ nhật.

Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN=1
2SQ

MN//BA và MN=1
2BA
Đặt

1

2

<i>u</i>



<i>BA</i>



<i>NM</i>



<i>u</i>

. Phép tịnh tiến <i>T_u</i>: NM
Khi PC thì ND là trung điểm cạnh BC

Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC.
1

: B

<i>u</i>

<i>T</i> <i>B</i> và <i>Tu</i>: D<i>N</i>1 thì B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của điểm M là
đoạn thẳng B1N1.

<b>II. Tìm tập hợp điểm bằng phép đối xứng Đa </b>

<i>Phương pháp: </i>

Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M'
Tìm quỹ tích điểm M

Từ quỹ tích của ddierm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng trục để suy ra quỹ tích điểm M'

<i><b>Bài tốn 3: </b></i>Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' sao
cho <i>MM</i>'<i>MA MB</i> . Tìm quỹ tích điểm M' sao cho M chạy trên (O;R).

<b>Bài giải </b>

Gọi I là trung điểm của AB

thì I cố định và <i>MA MB</i> 2<i>MI</i>, <i>MM</i>'<i>MA MB</i>

' 2

<i>MM</i> <i>MI</i>

 

'

<i>MM</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M'. Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R) thì quỹ tích
điểm M' là ảnh của đường trịn qua ĐI. Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của
M' là đường trịn (O'; R).

<i><b>Bài tốn 4: </b></i>Cho đường trịn (O) có dây cung BC cố định và điểm A di động trên đường trịn (O).

Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC.

<b>Bài giải </b>
<i>Ta có: HAC</i><i>CBH</i> (góc có cạnh tương ứng vng góc)

<i>HAC</i><i>KBC (cùng chắn cung KC ) </i>

<i>Suy ra: CBH</i><i>CBK nên BC là phân giác góc KBH </i>
Mặt khác <i>AI</i> <i>BC</i>

Suy ra BHK cân tại B HI=IK
Phép đối xứng trục BC là ĐBC: K<i>H</i>

Khi A chạy trên đường trịn (O) thì K cũng chạy trên đường trịn (O)

Quỹ tích điểm H là đường trịn (O), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC.



;



<i>Q O</i>

<b>III. Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp quay </b>

<i>Phương pháp: </i>

Xác định phép quay biến điểm M thành M'
Xác định quỹ tích của điểm M

Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích của điểm M'

<i><b>Bài tốn 5: </b></i>Cho đường trịn (O) và một điểm I khơng nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A thay đổi
trên đường tròn, ta xét hình vng ABCD có tâm là I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D

<b>Bài giải </b>

Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C. Vậy quỹ tích C là đường trịn đối xứng với (O) qua I.

Phép quay Q tâm I góc quay 900_{biến A thành B( hoặc thành D), phép quay Q' tâm I góc quay - 90}0_biến
A thành D ( hoặc thành B). Vậy quỹ tích B và D là ảnh của (O) qua hai phép quay đó.

<i><b>Bài toán 6: </b></i>Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên đường
thẳng a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Phép quay tâm G góc quay 1200_{biến A thành B ( hoặc C)}
Phép quay tâm G góc quay 2400_{biến A thành C ( hoặc B)}

Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên.

<i><b>Bài tốn 7: </b></i>Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d. Với mỗi điểm Bd ta dựng tam
giác đều ABC. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d.

<b>Bài giải </b>

Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay 600_.
Tập hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó.

<b>IV. Tìm tập hợp điểm bằng phép vị tự </b>

<i>Phương pháp: </i>

Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M'
Tìm quỹ tích của điểm M

<b> Dựa vào tính chất của phép vị tự để tìm quỹ tích của điểm M' </b>

<i><b>Bài tốn 8: </b></i>Tam giác ABC có bán kính B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O;R) cố
<i>định khơng có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC</i>

<b>Bài giải </b>

Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định

<i>Điểm G là trọng tâm ABC</i> khi và chỉ khi 1
3

<i>IG</i> <i>IA</i>

Phép vị tự tâm I tỉ số 1

3 biến điểm A thành điểm G.

Khi A chạy trên (O;R) thì quỹ tích g là ảnh của đường trịn đó
qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O', R') mà ' 1

3

<i>IO</i>  <i>IO</i> và ' 1

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Bài toán 9: </b></i>Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn.
Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.

<b>Bài giải </b>
Đặt IO=d ( d<i>0). Theo tính chất tia phân giác của MOI</i> ta có:

<i>IN</i> <i>IO</i> <i>d</i>

<i>NM</i> <i>OM</i>  <i>R</i>

Suy ra <i>IN</i> <i>d</i> <i>IN</i> <i>d</i>

<i>IN</i><i>NM</i> <i>d</i><i>R</i> <i>IM</i> <i>d</i><i>R</i>

<i>Hai vecto IN và IM cùng hướng nên IN</i> <i>d</i> <i>IM</i>

<i>d</i> <i>R</i>




Gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số <i>k</i> <i>d</i>

<i>d</i> <i>R</i>



 thì V biến điểm M thành

điểm N. Khi M ở vị trí M0 trên đường tròn (O; R) sao cho 0

0 0

<i>IOM</i>  thì tia phân giác của góc <i>IOM</i>₀

cắt IM. Điểm N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O; R) (M khơng trùng M0) thì quỹ tích điểm N là
ảnh của (O;R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0.

Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A1B1.

<b>V. Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đồng dạng </b>

<i>Phương pháp: Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đối xứng tâm </i>

<i><b>Bài toán 10: </b></i>Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường trịn đó.
Dựng hình vng ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.

<b>Bài giải </b>

<i>Giải </i>

Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O)
vng góc với AR ((AR,AP)=450₎

 Phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B là
đường trịn đường kính AP.

Tương tự quỹ tích D là đường trịn đường kính AQ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Bài tốn 11: </b></i>Cho đường trịn (O), đường kính AB=2R. M là một điểm bất kỳ trên (O), dựng hình vng

AMNP có các đỉnh theo chiều dương. Tìm quỹ tích các điểm N.

<b>Bài giải </b>

Ta có <i>AN</i> 2<i>AM</i> và (AM, AN)=450
Phép quay Q(A;450_{): M}_M1

Phép vị tự V(A; 2 ): M1  N







0



; 2 . ;45 :

<i>V A</i> <i>Q A</i> <i>M</i> <i>N</i>

 

M thuộc đường trịn (O), đường kính AB=2R nên N
thuộc đường tròn (O') là ảnh của (O) qua phép đồng dạng
là hợp thành của <i>V A</i>



; 2



và <i>Q A</i>



;450



có tâm O' là
<i>trung điểm của cung AB và bán kính R'= 2R . </i>

</div>

<!--links-->