Chuyên đề 1 hàm số lượng giác

CHƯƠNG 1
CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số y = sinx

2. Hàm số y = cosx

* Tập xác định:  .

* Tập xác định:  .

* Hàm số tuần hồn với chu kì T  2 .

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .

* Tập giá trị:  1;1 .

* Tập giá trị:  1;1 .


* Đồng biến trên  k 2 ;   k 2  và nghịch biến
 

* Đồng biến trên    k 2 ;  k 2  và nghịch
2
 2

trên    k 2 ; k 2  , k   .
3



 k 2  , k   .
biến trên   k 2 ;
* Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là
2
2

trục đối xứng.
* Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là
y
tâm đối xứng.
y

− π2

−π

− π2
−π

π

π
2

π

x

Hàm số

Đồ thị hàm số y = sin x

lượng giác

3. Hàm số y = tanx
* Tập giá trị:  .

x

π
2

Đồ thị hàm số y = cos x

4. Hàm số y = cotx
* Tập giá trị:  .

* Tập xác định: D   \ k , k  



* Tập xác định: D   \   k , k   
2


* Hàm số tuần hồn với chu kì T   .

* Hàm số tuần hồn với chu kì T   .

* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là

* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm tâm đối xứng.
đối xứng.
* Hàm nghịch biến trên  k ;   k  , k  

 

* Hàm đồng biến trên    k ;  k  , k  
* Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k , k   làm
2
 2

một đường tiệm cận.

* Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x   k , k  
2
làm một đường tiệm cận.
y
y

−π
−π − π2
O

π
2

π

x

3π
2

− π2
O

π
2

π

x

HDedu - Page 1


5 Một số trường hợp đặc biệt
Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x
sin

sin

sin

B
cos

O

sin x = 1 ⇔ x =

π
2

+ k2π

cos

O

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

A

A
cos

O

sin x = 0 ⇔ x = kπ

Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x

A
O

sin

sin

sin

cos

cos x = 1 ⇔ x = k2π

B

A
O

cos

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

O

B
cos x = 0 ⇔ x =

cos

π
2

+ kπ

HDedu - Page 2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tập xác định của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải

f  x
y  2 n f  x  , n  * xác định khi f  x   0.
xác định khi g  x   0,
g  x
y  sin u  x   xác định khi u  x  xác định, y  cos u  x   xác định khi u  x  xác định.
y



y  tan u  x   xác định khi u  x  xác định và cos u  x    0  u  x    k , k  
2
y  cot u  x   xác định khi u  x  xác định và sin u  x    0  u  x   k , k  

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y 

2019
sin x





A. D   \   k , k   
B. D   \   k 2 

3

2



D. D  
C. D   \ k , k  


1
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y  cos    2 x
x

A. D  [2; 2] .

B. D  [1;1] \ 0 .

C. D  .

D. D   \  0  .

Ví dụ 3: Điều kiện xác định của hàm số y  tan 2 x
A. x  


3



k
, k  .
2

B. x 


2

 k , k  .

C. x 


4



k
, k  .
2

D. x 


4

 k , k  .

BÀI TẬP

Bài 4.

Tìm tập xác định của mỗ i hàm số sau:
x
a) y = sin 3x
b) y = cos
2
π

f) y = tan  2 x + 
e) y = 3 − sin x
3


c) y =

3
2 cos x

g) y = cos x

2x
x −1
π

h) y = cot  2 x − 
4


d) y = cos

HDedu - Page 3


3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Điều kiện xác định của hàm số y  cot x là
A. x 


2

 k , k  .

B. x 


4

 k , k  .

C. x 


8

k


2

, k  .

D. x  k , k  .



Câu 2. Tập xác định của hàm số y  tan  2 x  
3




A. D   \   k , k    .
2
3





B. D   \   k , k    .
2
4





C. D   \   k , k    .
2

12





D. D   \   k , k    .
2
8


Câu 3. Tập xác định của hàm số y  cos x là:
A. D   0; 2  .

B. D   0;   .

C. D  .

D. D   \ 0 .

HDedu - Page 4


Dạng 2: Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải


 

Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2   k    , nghịch biến trên mỗi khoảng

2
 2

3


 k 2   k   
  k 2 ;
2
2


Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  k    , đồng biến trên mỗi khoảng

   k 2 ; k 2  k    .

 

Hàm số y  tan x đồng biến trên mỗi khoảng    k ;  k   k    .
2
 2

Hàm số y  cot x nghịch biến trên mỗi khoảng  k ;   k  k    .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét hàm số y  sin x trên đoạn   ;0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?



  
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;   và   ;0  .

2

 2 


B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;   ; nghịch biến trên khoảng
2


  
  ;0  .
 2 



C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng   ;   ; đồng biến trên khoảng
2


  
  ;0  .
 2 



  
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;   và   ;0  .
2

 2 

Ví dụ 2: Hàm số y  cos 2 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?




A.  k ;  k   k    .
2




 

B.    k 2 ;  k 2   k   
2
 2




C.   k ;   k   k   
2


3


 k 2   k   
D.   k 2 ;
2

2


Ví dụ 3: Xét các mệnh đề sau:
 3
(I): x    ;
2


1

nghịch biến
 : hàm số y 
sin x


 3
(II): x    ;
2


1

nghịch biến
 : hàm số y 
cos x


Hãy chọn mệnh đề đúng:
A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đúng.

D. Cả hai sai.

HDedu - Page 5


3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Hàm số y  sin 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
 
A.  0;  .
 4

 
B.  ;   .
2 

 3
C.   ;
2



.


 3


D.  ; 2  .
 2


Câu 2. Xét hàm số y  cos x trên đoạn   ;   . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;0  và  0;   .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;0  và nghịch biến trên khoảng  0;   .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;0  và đồng biến trên khoảng  0;   .
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng   ;0  và  0;   .
 31 33 
;
Câu 3. Với x  
 , mệnh đề nào sau đây là đúng?
4 
 4

A. Hàm số y  cot x nghịch biến.

B. Hàm số y  tan x nghịch biến.

C. Hàm số y  sin x đồng biến.

D. Hàm số y  cos x nghịch biến

HDedu - Page 6


Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Phương pháp giải

Áp dụng các bất đẳng thức sau:
1  sin x  1

1  cos x  1

1  sin  ax  b   1

1  sin  ax  b   1

0  sin x  1

0  cos x  1

0  sin  ax  b   1

0  cos  ax  b   1

0  sin x  1

0  cos x  1

0  sin  ax  b   1

0  cos  ax  b   1

2. Ví dụ minh họa



Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  1  3sin  2 x  

4

A. max y  2, min y  4.

B. max y  2, min y  4.

C. max y  2, min y  3.

D. max y  4, min y  2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2x  4sin x

A. -5.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Ví dụ 3: Hàm số y  1  2 cos 2 x đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?
A. x    k 2 , k  .
C. x  k 2 , k  .

B. x 


2

 k , k  .

D. x  k , k  .

C. BÀI TẬP
Bài 4.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗ i hàm số sau:
1 + 4cos2 x
b) y = 4sin x
c) y = 2(1 + cos x ) + 1
a) y =
3
e) y = 2 + 3cos x
f) y = 3 – 4sin 2 x cos2 x
d) y = cos2 x + 2cos 2 x
h) y = 3 – 2 sin x
i) y = 3 – 4sin x
g) y = 2sin 2 x – cos 2 x

π

j) y = 3sin  x −  − 2
6


k) y = 5 − 2cos2 x sin 2 x

π

l) y = cos x + cos  x − 

3


HDedu - Page 7


3. Bài tập tự luyện



Câu 1. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin  x  
3

A. 4.

B. 2.

C. 0.

D. -2.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1  4 cos 2 2 x
A. min y  2; max y  1.

B. min y  3; max y  5.

C. min y  5; max y  1.

D. min y  3; max y  1.

Câu 3. Hàm số y  sin 6 x  cos 6 x đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?
A. x 


4



k
.
3

B. x 


4



k 3
.
2

C. x 


3



k
.
3

D. x 


4



k
.
2

HDedu - Page 8


Dạng 4: Tính chẵn lẻ của hàm số
1. Phương pháp giải
x  D thì  x  D
Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: 
 f   x   f  x 
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
x  D thì  x  D
Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: 
 f   x    f  x 
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y  2 cos x.

B. y  2sin x.

C. y  2sin   x  .

D. y  sin x  cos x.

C. y  sin 2 2 x.

D. y   sin 3 3 x.

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y  cos 2 x.

B. y  sin x  16.

C. BÀI TẬP
Bài 3.

Xét tính chẵn lẻ của mỗ i hàm sồ sau:
tan x + cot x
1 + cos x
b) y =
a) y =
1 − sin 2 x
1 − cos x
π

e) y = tan  x + 

d) y = cos3 x
5


c) y = x 3 sin 2 x
f) y =

x3 − sin x
cos 2 x

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số không chẵn không lẻ?
A. y  sin x.cos 3 x

B. y  sin x  cos x

C. y   cos x

D. y  cos x  sin 2 x

C. y  cos x.cot x

D. y 

Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y  sin 2 x

B. y  x.cos x

tan x

sin x

HDedu - Page 9


Dạng 5: Tính tuần hồn của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Định nghĩa tính tuần hồn của hàm số.
Hàm số y  f  x  xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 , sao cho x  D .
Khi đó: x  T  D và f  x  T   f  x  .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hồn với
chu kì T.

Chú ý:
Các hàm số y  sin  ax  b  , y  cos  ax  b  tuần hoàn với chu kỳ T 

2
.
a

Các hàm số y  tan  ax  b  , y  cot  ax  b  tuần hoàn với chu kỳ T 


a

.

2. Ví dụ minh họa




Ví dụ 1: tìm chu kì T của hàm số y  sin  5 x   .
4

A. T 

2
5

B. T 

5
2

Ví dụ 2: tìm chu kì T của hàm số y  cot
A. T  4

C. T 


2

D. T 

8

x
 sin 2 x .
3

C. T  3

B. T  

D. T 

x

Ví dụ 3: Nếu chu kì T của hàm số y  sin 
 2  là 8 thì a nhận giá trị nào dưới đây?
 a


A. 2.



B. 4.

C. 4.


3

D. 8.

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Chu kỳ của hàm số y  sin

x

A.  .
B. 2.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?

2

là:
C.


2

.

D. 4.

A. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì 2 .
C. Hàm số y  tan x tuần hồn với chu kì 2 .
D. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  .
Câu 3. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y 

sin x
.
x

B. y  tan x  x

C. y  x 2  1 .

D. y  cot x

HDedu - Page 10


Dạng 6: Đồ thị hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Đồ thị hàm số y  m sin  ax  b  , y  m cos  ax  b  có chu kỳ T 

2
, biên độ: m
a

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là (C), với p > 0, ta có:
* Tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x   p.
* Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x   p.
* Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x  p  .
* Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x  p  .
2. Ví dụ minh họa
x
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số y  3cos ?
2
A. Biên độ là 3, chu kì là 4
B. Biên độ là -3, chu kì là 180

D. Biên độ là 3, chu kì là 

C. Biên độ là 3, chu kì là 2

Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số nào dưới đây là đồ thị của hàm số y  cos x dịch theo phương thẳng đứng lên
trên 2 ?
A. y  cos x  2

B. y  cos  x  2 

C. y  cos  x  2 

D. y  cos x  2

Ví dụ 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. sin

x
2

B. cos

x
2

C.  cos

x
4

 x
D. sin   

 2

Ví dụ 4: Hình vẽ dưới đây thuộc đồ thị của hàm số nào?

A. y  3cos x

B. y  2 cos  x

C. y  2sin  x

D. y  3sin  x

HDedu - Page 11


3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào?



A. sin  x  
4


3 

B. cos  x 

4 


C.



2 sin  x  
4




D. cos  x  
4


Câu 2. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có biên độ 3 và chu kỳ 4 ?
A. y  3cos

x
2

1
x
B. y   cos
3
2

1
x
C. y  cos

3
4

D. y  3cos

x
4

Câu 3. Đồ thị hàm số y  sin x suy ra từ đồ thị y  cos x  1 C  bằng cách:
A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là




B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là
C. Tịnh tiến (C) qua trên một đoạn có độ dài là
D. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là

và lên trên 1 đơn vị.

2

2


2


2

và lên trên 1 đơn vị.
và xuống dưới 1 đơn vị.

và xuống dưới 1 đơn vị.

HDedu - Page 12


PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tập xác định của hàm số y 
A. x 


2

 k 2

1  sin x
là
sin x  1

B. x  k 2

C. x 

3
 k 2
2

D. x    k 2

 
Câu 2. Trong khoảng  0;  , hàm số y  sin x  cos x là hàm số:
 2

A. Đồng biến.

B. Nghịch biến.

C. Không đổi.

D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.



Câu 3. Tập xác định của hàm số y  tan  2 x   là
3

A. x 


6



k
2

B. x 

5
 k
12



D. x 

5

k
12
2

C. y  cos x.cot x

D. y 

tan x
sin x

C.  2;8

D. 5;8

C. x 

2

 k

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
B. y  x cos x

A. y  sin 2 x

Câu 5. Tìm tập giá trị của hàm số y  3cos 2 x  5
A.  1;1

B.  1;11

Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. y  sin x.cos 2 x
C. y 

B. y  cos x.sin 3 x



D. y  sin 3 x.cos  x  
2


tan x
tan 2 x  1

Câu 7. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
A. y  cos x và y  cot
C. y  sin

x
2

B. y  sin x và y  tan 2 x

x
x
và y  cos
2
2

D. y  tan 2 x và y  cot 2 x

x

Câu 8. Tìm chu kì T của hàm số y  cos   2019 
2


A. T  4

B. T  2

C. T  2

D. T  

HDedu - Page 13

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I MƠN TỐN
LỚP 11
Năm học: 2017 - 2018
Thời gian làm bài: 60 phút (Không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT NHÂN CHÍNH

Câu 1. Miền giá trị của hàm số: y 

A.  1; 2 .

sin 3x  2cos 3x  1
là:
sin 3x  cos 3x  2

B.  ; 2  1;   .

Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số y 

C.  2; 1 .

D.  2;1 .

1  cos 3x
1  sin 4 x


 


A. D  R \   k , k  Z  .
2
 4



 

B. D  R \   k , k  Z  .
2
 6



 3

C. D  R \ 
 k ,k  Z .
2
 8



 

D. D  R \   k , k  Z  .
2
 8


Câu 10. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y  x  tan x .

B. y  x  cos x .

C. y  x  cos x .

D. y  1  sin x .

Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x  4cos x  1 :
A. max y  4;min y  4 .

B. max y  6;min y  2 .

C. max y  6;min y  4 .

D. max y  6;min y  1.

Câu 20. Hàm số y  sin 2 x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ?
A. T 


2

.

B. T  2 .

C. T  4 .

D. T   .

Câu 21. Hàm số y  sin 2 x  4sin x  3 đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. x 
C. x 


3


6



 k 2 , k là số nguyên.

B. x 

 k 2 , k là số nguyên.

D. x  

2

 k 2 , k là số nguyên.


2

 k 2 , k là số nguyên.

Câu 24. Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  cos x  sin x lần lượt là m và
M . Tính mM .

A. 2 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 1 .
HDedu - Page 14




Câu 25. Tìm tập xác định của hàm số y  tan  2 x  
4

 3 k

A. D  R \  
, k  Z .
2
5


 3 k


B. D  R \  
,k  Z .
2
7


 3 k

C. D  R \  
, k  Z .
2
8


 3 k

D. D  R \  
,k  Z .
2
4


Câu 27. Tìm tập xác định của hàm số y 

tan x
1  sin x

  k

A. D  R \  

,k Z.
4 2




B. D  R \   k , k  Z  .
4




C. D  R \   k , k  Z  .
2


  k

D. D  R \  
,k Z.
2 2


Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin x  4cos x  1 :

A. min y  2;max y  3 .

B. min y  1;max y  3 .

C. min y  1;max y  2 .

D. min y  1;max y  3 .

HDedu - Page 15


HDedu - Page 16